#14 Files d'attente

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14. Introduction aux files d’attente

MTH2302D

S. Le Digabel, ´Ecole Polytechnique de Montr´eal

A2017

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Plan

1. Introduction

2. Mod`ele M/M/1

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1. Introduction 2. Mod`ele M/M/1 3. Mod`ele M/M/1/K

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Introduction

La théorie des files d’attente consiste en l’étude de systèmes où des clients se présentent à un dispositif de service, appelé serveur. Puisqu’un client occupe le serveur pendant un certain temps, les autres clients doivent attendre avant d’être servis, formant ainsi une file d’attente. Quelques exemples d’application :

I R´eseaux informatiques : serveur = routeur, client = paquet.

I Ateliers (job shop) : serveur = machine, client = tâche. En ingénierie, on s’intéresse à des métriques de performance des files d’attente, par exemple :

I Taille moyenne de la file d’attente.

I Taux d’utilisation du serveur.

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Mod`

ele ´

el´

ementaire de file d’attente

En général, pour étudier l’impact de différents choix de conception sur la performance d’une file d’attente, il faut construire un modèle de simulation. On peut aussi utiliser un modèle simplifié pour lequel les métriques s’expriment par des équations analytiques. Le modèle de base en files d’attente se nomme M/M/1 et se généralise en notation de Kendall A/B/C/K/N/D :

I A : processus d’arriv´ee (M = markovien ou memoryless).

I B : processus de service (M = markovien ou memoryless).

I C : nombre de serveurs.

I K : capacit´e du syst`eme (file + serveurs).

I N : taille de la population des clients (habituellement infinie).

I D : discipline de service (par d´efaut, FIFO, ou PAPS : 1er arriv´e 1er servi, mais aussi RANDOM ou PRIORITY).

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Mod`

ele M/M/1

I Les clients se présentent au système aléatoirement selon un processus de Poisson de taux λ.

I Le temps de service suit une loi exponentielle de taux µ, ind´ependamment d’un client `a l’autre.

I La file d’attente peut s’´etendre `a l’infini. Rappel sur le processus de Poisson :

I Le nombre A(t) d’arriv´ees dans l’intervalle de temps [0; t] suit une loi de Poisson de param`etre c = λt.

I Les arriv´ees dans deux intervalles de temps disjoints sont ind´ependantes.

I Le temps qui s’´ecoule entre deux arriv´ees suit une loi exponentielle de taux λ.

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Exemple 1

Soit Tn le temps d’arriv´ee du ni`eme client dans une file M/M/1.

On dit que Tn suit une loi d’Erlang de param`etres n et λ, i.e.

Tn∼ Γ(α = n, λ).

1. Trouver la fonction de r´epartition de Tn (utiliser le processus

de Poisson).

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Arriv´

ee avant un d´

epart et d´

epart avant une arriv´

ee

I Temps pour qu’une nouvelle arriv´ee se produise :

A ∼ Exp(λ).

I Temps pour qu’un nouveau d´epart se produise : D ∼ Exp(µ).

(A et D sont ind´ependantes).

I Probabilité qu’une arrivée se produise avant un départ : P (A < D) = λ

λ + µ.

I Probabilité qu’un départ se produise avant une arrivée : P (D < A) = µ

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Analyse en r´

egime stationnaire

Il est difficile d’étudier la variable aléatoire N (t) représentant le nombre de clients au temps t dans le système. On s’intéresse plutôt à N = limt→∞N (t). On parle alors d’analyse en régime

stationnaire (ou analyse à l’équilibre). Pour qu’une file M/M/1 puisse atteindre l’équilibre, il faut que λ < µ(sinon la taille de la file augmentera à l’infini). À l’équilibre, on peut montrer que

P (N = n) = λ

λ + µP (N = n − 1) + µ

λ + µP (N = n + 1) . Il s’agit de la r`egle des probabilit´es totales. Le terme _λ+µλ

représente la probabilité qu’un nouveau client arrive avant que le client en service quitte le système, et _λ+µµ est la probabilité que le client en service quitte avant qu’un nouveau client n’arrive.

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´

Equations d’´

equilibre

Soit πn= P (N = n). En posant les ´equations

π1= _λ+µλ π0+ _λ+µµ π2, π2 = _λ+µλ π1+ _λ+µµ π3, . . . ,

πn= _λ+µλ πn−1+_λ+µµ πn+1, . . . , etP∞n=0πn= 1, on trouve que

πn= (1 − ρ)ρn

pour n = 0, 1, 2, 3, . . ., où ρ = λ_µ < 1 est défini comme l’intensité du trafic.

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Notations

I NQ : nombre moyen de clients faisant la queue.

I NS : nombre moyen de clients en train d’ˆetre servis.

I N = E(N ) = NQ+ NS : nombre total (attente + service)

moyen de clients dans le syst`eme en ´equilibre.

I NQ, NS et N sont les v.a. correspondantes.

I On a P (N = k) = πk. I TQ : temps moyen d’attente.

I TS : temps moyen de service.

I T = TQ+ TS : temps moyen qu’un client passe dans le

syst`eme.

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La loi de Little

La loi s’´enonce ainsi :

N = λeT

où λe est le taux d’entrée dans le système (λe= λ pour une file

M/M/1). Puisque N = NQ+ NS et T = TQ+ TS, on trouve

´egalement que

NQ = λeTQ et NS= λeTS .

Remarque : La loi de Little s’applique à tous les modèles de file d’attente rencontrés en pratique (pas seulement à la file M/M/1).

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Exemple 2

On considère une file d’attente M/M/1 de taux λ = 1 et µ = 2. Calculer (à l’équilibre) :

1. Le nombre moyen de clients dans le syst`eme, N .

2. Le nombre moyen de clients en service, NS.

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Mod`

ele M/M/1 : formules

I ρ = λ/µ. I N = ρ 1 − ρ. I NS =1 − π0 =ρ. I NQ=N − NS = ρ2 1 − ρ. I T =N /λ = ρ λ(1 − ρ) = 1 µ − λ. I TS = 1/µ. I TQ=T − TS= λ µ(µ − λ).

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Mod`

ele M/M/1 : formules (suite)

I Un seul serveur : NQ = 0 si N = 0 ou N = 1, N − 1 si N > 1 . I P (NQ= 0) =P (N = 0) + P (N = 1) = π0+ π1 = 1 − ρ + ρ(1 − ρ) =(1 − ρ)(1 + ρ). I P (NQ= k) =P (N = k + 1) = πk+1 =ρk+1(1 − ρ), pour k > 0.

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Mod`

ele M/M/1 : formules (suite)

I Si N est le nombre de clients dans le système à l’équilibre, alors N + 1 = N1 ∼ Geom(p = 1 − ρ).

I Nombre de clients en train d’ˆetre servis : NS ∼ Bern(ρ).

I Temps total (attente + service) pass´e dans la file : T ∼ Exp(µ − λ).

I Temps d’attente TQ (variable mixte) :

I P (TQ= 0) = π0= 1 − ρ. I TQ

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Exemple 3

On considère une file d’attente M/M/1 de taux λ = 1 et µ = 2. Calculer (à l’équilibre) :

1. Le temps moyen de s´ejour d’un client dans le syst`eme, T .

2. Le temps moyen d’attente d’un client dans la file, TQ.

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Mod`

ele M/M/1/K

Pour un syst`eme de capacit´e K (taille maximale de la file de K − 1) avec ρ = λ_µ 6= 1, on peut montrer que pour

n = 0, 1, . . . , K : I Si ρ < 1 : πn= P (Y = n+1|Y ≤ K+1) = P (Y = n + 1) P (Y ≤ K + 1) = ρn(1 − ρ) 1 − ρK+1 avec Y ∼ Geom(1 − ρ). I Si ρ > 1 : πn= P (Y = K − n + 1|Y ≤ K + 1) = P (Y = K − n + 1) P (Y ≤ K + 1) = ρ n_{(1 − ρ)} 1 − ρK+1 avec Y ∼ Geom(1 − 1/ρ).

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Mod`

ele M/M/1/K (suite)

I L’´equilibre est atteint pour tout ρ :

I Si ρ 6= 1, πn= ρn 1 − ρ 1 − ρK+1.

I Si ρ = 1, on considère des états équiprobables : πn= 1 K + 1 pour n = 0, 1, . . . , K .

I Le système est à pleine capacité avec probabilité πK.

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Exemple 4

Pour le système M/M/1/2 avec λ = µ, trouver l’espérance et la variance du nombre de clients dans le système en équilibre.

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Exemple 5

On considère une file d’attente M/M/1/5 de taux λ = 1 et µ = 2. Calculer (à l’équilibre) :

1. Le nombre moyen de clients dans le syst`eme.

2. Le nombre moyen de clients dans la file d’attente.

3. La proportion de clients ne pouvant entrer dans le syst`eme.

4. Le temps moyen de s´ejour d’un client dans le syst`eme.

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Exemple 6

On considère une file d’attente M/M/1 avec priorité : Les clients de classe 1 ont une priorité absolue sur les clients de classe 2, c’est-à-dire qu’ils dépassent automatiquement tous les clients de classe 2 dans la file. De plus, un client de classe 2 en service retourne immédiatement dans la file d’attente si un client de classe 1 se présente. On a λ1 = 1 pour les clients de classe 1,

λ2 = 2 pour les clients de classe 2, et µ = 4. Calculer (`a

l’´equilibre) :

1. Le nombre moyen de clients de chaque classe dans le syst`eme.

2. Le temps moyen de séjour dans le système pour chaque classe. Indication : On peut montrer que les équations d’équilibre de la file M/M/1 ne dépendent pas de la politique de service de la file.