Propriétés combinatoires des f-palindromes

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL

PROPRIÉTÉS COMBINATOIRES DES j-PALINDROMES

MÉMOIRE

PRÉSENTÉ

COMME EXIGENCE PARTIELLE

DE LA MAÎTRISE EN MATHÉMATIQUES

PAR

SÉBASTIEN LABBÉ

Avertissement

La diffusion de ce mémoire se fait dans le respect des droits de son auteur, qui a signé le formulaire Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles supérieurs (SDU-522 - Rév.01-2006). Cette autorisation stipule que «conformément

à

l'article 11 du Règlement no 8 des études de cycles supérieurs, [l'auteur] concède

à

l'Université du Québec

à

Montréal une licence non exclusive d'utilisation et de publication de la totalité ou d'une partie importante de [son] travail de recherche pour des fins pédagogiques et non commerciales. Plus précisément, [l'auteur] autorise l'Université du Québec

à

Montréal

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reproduire, diffuser, prêter, distribuer ou vendre des copies de [son] travail de recherche

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des fins non commerciales sur quelque support que ce soit, y compris l'Internet. Cette licence et cette autorisation n'entraînent pas une renonciation de [la] part [de l'auteur] à [ses] droits moraux ni à [ses] droits de propriété intellectuelle. Sauf entente contraire, [l'auteur] conserve la liberté de diffuser et de commercialiser ou non ce travail dont [il] possède un exemplaire."

REMERCIEMENTS

Je désire remercier avant tout le Pl' Srecko Brlek, mon directeur de recherche, pour sa grande disponibilité malgré ses responsabilités de directeur du Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (LaCIM). Il m'a encouragé à présenter nos résultats depuis le début et m'a guidé dans la rédaction d'articles. Il m'a aussi permis de travailler avec d'éminents chercheurs français et italiens. J'ai pu ainsi rencon­ trer Valérie Berthé (LIRMM, Montpellier), Laurent Vuillon (LAMA, Chambéry où j'ai séjourné un mois), Simone Rinaldi et Andrea Frosini (Université de Sienne).

Merci à Christophe Reutenauer, professeur à l'UQAM et membre du LaCIM, qui m'a consacré du temps et qui a discuté avec moi sur un automate de chevauchement alors que mes idées n'étaient pas encore tout à fait limpides.

Merci à Alexandre Blondin Massé, étudiant à la maîtrise en mathématiques de l'UQAM. Nos discussions sur l'exposant critique et les lacunes palindromiques du mot de Thue-Morse étaient très plaisantes et fécondes.

Je veux dire merci aussi à Franco Saliola, postdoctorant au LaCIM, qui a répondu à mes nombreuses questions à propos de Linux, Ubuntu et IbTEX, entre autres, et surtout pour m'avoir fait connaître le logiciel libre Sage.

Merci à Amy Glen, postdoctorante au LaCIM, qui a toujours su répondre à mes questions sur la combinatoire de mots.

De plus, merci à Anne Bergeron, Yannick Gingras, André Lauzon, Pierre Le­ roux, François Bergeron, Laurent Vuillon, Arnaud Bergeron et Lise Tourigny pour leurs conseils, leur influence ou pour leur soutien au cours des deux dernières années.

naturelles et en génie du Canada) et québécois (Fonds québécois de la recherche sur la nature et les technologies) qui m'ont permis au cours des deux dernières années de me consacrer pleinement à mes études et recherches.

Merci à mes parents Jean et Madeleine et à mon frère Jean-Philippe pour leur soutien indéfectible. Finalement, merci à Renée avec qui la vie est tellement plus pas­ sionnante et qui m'a accompagné pendant ces deux années bien occupées.

TABLE DES MATIÈRES

LISTE DES FIGURES vii

RÉSUMÉ . . . ix INTRODUCTION 1 CHAPITRE l PRÉLIMINAIRES 5 1.1 Mots . . . 5 1.2 Morphismes. 8

1.3 Théorie des langages et des automates 12 CHAPITRE II

STRUCTURE DES F-PALINDROlVIES 15

2.1 Définition et exemples . 15

2.2 Équations sur les f-palindromes 18

2.3 Paire d'équations sur les f-palindromes

20

2.4 Mots récurrents. . . 22 CHAPITRE III MORPHISMES DE CLASSE F-P 25 3.1 Morphismes de classe P . 25 3.2 Morphismes de classe P' . 27 3.3 Morphismes conjugués . . 28

3.4 La classe P' est un monoïde . 32

3.5 Sur la conjecture de Hof, Knill et Simon 34 3.6 Le carré de certains morphismes .. . 37 CHAPITRE IV

LE GRAPHE DES CHEVAUCHEMENTS 39

4.1 Chevauchements . . . . 39

4.2 Définition de l'automate 42

CHAPITRE V

CONJECTURE DE HOF, KNILL ET SIMON 53

5.1 Morphismes uniformes sur un alphabet binaire 53

5.2 Théorème principal .. 55 5.3 Nouvelles conjectures. 56 APPENDICE A APPENDICE B APPENDICE C CONCLUSION . 59 QUELQUES CALCULS .

63

GRAPHES DE CHEVAUCHEMENT 71

PROGRAMMES POUR LA COMBINATOIRE DES MOTS 75

C.l Classe Partition. 75

C.2 Classe Mot . . . 77

C.3 Classe Algo Defaut .

87

C.4 Classe Morphisme .

90

C.5 Classe Etat 104

LISTE DES FIGURES

49 Bol Le graphe des chevauchements obtenu pour l<p(a) 1

=

6 et lep(b)1

=

11 et

un décalage de 4. . . 0 • • • • 0 0 • • 0 • • • • 0 0 • • • • • 0 0 • 0 • • • • 71

B.2 Le graphe des chevauchements obtenu pour lep(a)1

=

7 et lep(b)1

=

7 et un décalage de 3 0 • 0 • • • • • • • 0 0 • • 0 0 • • • • • • • 0 • • 0 • • • • 0 72

Bo3 Le graphe des chevauchements obtenu pour 1<p(a)1

=

4 et lep(b)1

=

12 et un décalage de 2. . . . 0 • • • • • • • • 0 • 0 • • • • • 0 • • • • • • 0 • 0 0 73

BA Le graphe des chevauchements obtenu pour l<p(a) 1

=

5 et lep(b)1

=

15 et un décalage de 3 • • • • • • 0 • • • • • 0 • • • • 0 0 0 • • • • 0 0 • 0 • 0 • • 74

Ce mémoire fait partie du domaine de la combinatoire des mots et plus particuliè­ rement de l'étude de la complexité palindromique (le nombre de facteurs palindromes) des mots infinis. La conjecture de Hof, Knill et Simon, énoncée pour la première fois en 1995, donne une caractérisation des points fixes dont la complexité palindromique est infinie. Récemment, elle a été résolue pour les points fixes sur un alphabet binaire (Tan, 2007). Dans ce mémoire, nous la démontrons pour les points fixes de morphismes uni­ formes sur un alphabet binaire (ce n'est pas plus général que le résultat de Tan). De plus, notre approche permet d'obtenir une démonstration d'un résultat similaire pour les points fixes contenant une infinité d'antipalindromes.

Afin d'atteindre notre objectif, nous établissons un ensemble de résultats combi­ natoires sur les mots. En effet, nous faisons une étude des f-palindromes et de certaines équations qui en contiennent. Ensuite, nous introduisons les morphismes de classe P,

pl et

f-P

et nous démontrons notamment que l'ensemble des morphismes de classe pl

est un monoïde. Nous rassemblons également les résultats d'un travail précédent sur les morphismes conjugués. Finalement, nous étudions les chevauchements de mots et nous construisons un graphe de chevauchements, assise de notre démonstration de la conjecture.

Toutes ces recherches ont contribué au développement d'un outil informatique voué à l'étude de questions soulevées en combinatoire des mots. Ce dernier est consti­ tué d'un ensemble de classes et de fonctions écrites en langage Python annexées à ce mémoire. Elles seront bientôt incluses dans un paquetage sur la combinatoire des mots associé au logiciel libre Sage.

Mots-clés : combinatoire des mots; f-palindrome; complexité palindromique; conjecture de Hof, Knill et Simon; point fixe de morphisme; chevauchement; auto­ mates.

INTRODUCTION

Les premières références à la combinatoire des mots apparaissent au XVIIIe siècle, avec Bernouilli, et plus tard au XIXe s. avec Christoffel et Markov (le même qui a donné son nom aux processus de Markov) et au XXe siècle avec TvIorse qui a développé certaines idées de Birkhoff (et de manière indépendante certaines de Thue). À partir de la moitié du XXe siècle, la combinatoire des mots prend son véritable essor avec l'apparition et le développement des ordinateurs dont on connait aujourd'hui l'omniprésence dans tous les domaines de la vie. La théorie des langages formels en informatique théorique, les logiciels de traitement de textes, l'infographie et le traitement des images (en imagerie médicale par exemple), la télédétection, la télémétrie sont des domaines d'application où la combinatoire des mots a joué un rôle significatif.

Dans l'analyse de la structure des mots, suites de lettres, la recherche des régularités (ou motifs) s'impose, et le calcul de leurs occurrences est une statistique qu'on aime connaître. Par exemple, en 2007, nous avons étudié l'exposant critique des mots de Thue-Morse généralisés et nous avons calculé explicitement les occurrences de leurs facteurs critiques (Blondin Massé, Brlek, Glen, Labbé, 2007; Blondin Massé, Labbé, 2007).

Parmi les motifs intéressants, les palindromes jouent un rôle central pour plusieurs rai­ sons (ABouche, 1997; Allouche, Shallit, 2000; Baake, 1999; de Luca, 1997). Entre autres, ils décrivent la structure des mots de Christoffel, approximations des droites sur un ré­ seau carré, dont l'état actuel des connaissances est présenté de façon complète dans un livre bientôt disponible (Berstel, Lauve, Reutenauer, Saliola, 2008). De plus, démontrer l'existence d'une infinité de palindromes dans la classe des mots lisses résoudrait (Brlek, Ladouceur, 2003) une conjecture (Dekking, 1980) sur la récurrence du mot de Kolakoski. Ainsi, en 2008, nous avons étudié la complexité palindromique, c'est-à-dire le nombre

de facteurs palindromes de longueur n, du mot de Thue-Morse et nous avons déterminé explicitement ses lacunes palindromiques (Blondin Massé, Brlek, Labbé, 2008). Plus ré­ cemment, nous avons étudié la réciproque, c'est-à-dire déterminer les mots qui ont une suite donnée de lacunes palindromiques (Blondin Massé, Brlek, Frosini, Labbé, Rinaldi, 2008).

Le sujet de ce mémoire porte sur des mots qui généralisent la notion de palindrome. Au cours de la dernière année, nous avons concentré notre étude sur une conjecture de (Hof, Knill, Simon, 1995) qui donne une caractérisation des points fixes de morphismes ayant une complexité palindromique infinie. Récemment, la conjecture a été démontrée pour les points fixes de morphismes quelconques sur un alphabet binaire (Tan, 2007). Ici, nous avons démontré la conjecture pour les points fixes de morphismes uniformes sur un alphabet à deux lettres ayant une complexité j-palindromique infinie.

Parallèlement au travail théorique, l'étude des problèmes en combinatoire des mots s'ac­ compagne d'expérimentations faites par ordinateur. Ainsi, au cours des deux dernières années, j'ai développé un ensemble de programmes codés dans le langage Python pour étudier les mots, les chevauchements et les morphismes. Cette contribution vient enri­ chir l'outil de calcul formel développé au Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (LaCIM) par mon directeur de recherche (Brlek et al., 2006). Depuis mai 2008, nous travaillons afin de rassembler tous ces algorithmes et, d'ici quelques mois, nous avons l'intention d'inclure dans le logiciel Sage (Sage, 2008) un nouveau paquetage sur la combinatoire des mots (Bergeron, Brlek, Glen, Labbé, Saliola, 2008).

Ce mémoire est divisé en cinq chapitres. D'abord, le chapitre 1 présente la terminologie de la combinatoire des mots et de la théorie des automates. Ensuite, au chapitre 2, on définit les j-palindromes et on présente plusieurs résultats combinatoires utiles pour la suite. Certains sont des généralisations simples de résultats connus sur les palindromes, d'autres sont inédits. Le chapitre 3 rassemble pour la première fois les connaissances sur les morphismes de classe

P.

De plus, il définit les morphismes de classe

j-P.

On y trouve aussi une section sur les morphismes conjugués. Enfin, le chapitre 4 introduit les

3

chevauchements de mots et présente le graphe des chevauchements qui permet d'aborder sous un nouvel angle la conjecture de Hof, Knill et Simon. Finalement, le chapitre 5 résoud la conjecture pour les morphismes uniformes sur un alphabet à deux lettres pour les f-palindromes en utilisant les résultats des trois chapitres précédents. Puis, en annexes, on y trouve d'une part plusieurs calculs qui illustrent les exemples et les différents résultats de ce mémoire. D'autre part, l'ensemble des outils informatiques que j'ai développés afin d'étudier certains problèmes de combinatoire des mots depuis 2006 y sont rassemblés. Ceux-ci ont été modifiés pour la dernière fois en avril 2008. Une version améliorée de ceux-ci sera disponible à la fin de l'été 2008 dans le paquetage associé au logiciel Sage.

PRÉLIMINAIRES

Dans ce chapitre, nous introduisons toutes les définitions et les notations relatives aux mots, aux morphismes et à la théorie des langages et des automates.

1.1 Mots

Comme d'habitude, N, Z et

Q

désignent respectivement l'ensemble des nombres naturels, des entiers relatifs et des nombres rationnels. On écrit IF' = N \ {O} pour représenter l'ensemble des entiers strictement positifs.

Nous empruntons à (Lothaire, 2002) toute la terminologie de base sur les mots. Dans ce qui suit, E est un alphabet fini dont les éléments sont appelés des lettr-es. Un mot est une suite finie de lettres w : [1,2 ...

n]

---> E, où nE IF'. La longueur de west Iwl

=

n

et

Wi désigne sa i-ème lettre. L'ensemble des mots de longueur n sur E est noté En. Par convention le mot vide est noté é et sa longueur est O. Le monoïde libre engendré par E

est défini par E*

=

Un~O En. L'ensemble des mots infinis à droite est noté EW et nous désignons Eoo

=

E* U EW. Étant donné un mot w E Eoo, un facteur- f de west un mot

J

E E* satisfaisant

::lx E E*, Y E Eoo ,w = x

J

y.

Si x

=

é (resp. y

=

é ) alors

J

est appelé pr-éfixe (resp. suffixe) de w. Le préfixe (resp. suffixe) de w de longueur d est noté prefd(w) (resp. suffd(w)). L'ensemble de tous les facteurs de w est noté Fact(w), et ceux de longueur n est Factn (w)

=

Fact(w)

n

En.

6

Finalement, Pref(w) désigne l'ensemble de tous les préfixes de w. Le nombre d'occur­ rences d'un facteur f E 2:;* est Iwlj. Si w

=

pu, alors p-1w

=

u est le mot obtenu en effaçant p et wu- 1 est le mot obtenu en effaçant u.

Exemple 1.1 Sur I;

=

{a, b},

nous avons

Fact(abbab) {e,a,b,ab,ba,bb,abb,bab,bba,abba,bbab,abbab}, Pref(abbab) {e,a,ab,abb,abba,abbab},

labbabl ab 2, labbablba 1, labbabl aa 0, abbab· (ab)-l abb, (ab)-l . abbab bab.

0

Une période d'un mot west un entier p

<

Iwl tel que w[i] = w[i+p], pour tout i

<

Iwl-p.

Exemple 1.2 L'entier 3 est une période du mot entente.

o

Un résultat très important sur les mots et les périodes est le suivant (Lothaire, 2002, Théorème 8.1.4).

Théorème 1.3 (Fine et Wilf) Soit w un mot ayant des périodes p et q. Si Iwl

>

p

+

q - pgcd(p, q), alors pgcd(p, q) est aussi une période de w. •

Un mot infini west récurr'ent s'il satisfait à la condition u E Fact(w) ==} Iwl u

=

00 . Soit n E IP' et w un mot. Le plus petit nombre naturel m (s'il existe) tel que tout facteur de longueur m de w contient tout facteur de longueur n de west appelé le n-ème indice de récurrence Rw(n) de w (Morse, Hedlund, 1938). Si Rw(n) existe quel que soit n E IP', alors west dit uniformément récurrent.

Exemple lA Pour le mot fini w

=

abbab sur I;

=

{a, b}, nous avons les indices de récurrence suivants.

n 1 2 3 4 5

Rw(n)

3 4 5 5 5

Clairement, un mot périodique infini est uniformément récurrent. En effet, si p est sa période, alors tout facteur de longueur n est contenu dans tout facteur de longueur n+p-l.

On dit que r est la puissance d'exposant rationnel Il:1

1 de w si r

=

wnu où u est un préfixe de w et on écrit r = wITI/lwl.

Exemple 1.5 Soit le mot w = ababcd sur l'alphabet {a,b,c,d}. On a que

wO é,

wl/6 _a,

wl _ababcd,

w3/2 _{ababcd· aba,} W2 _{ababcd . ababcd,}

Wlü/3 _{ababcd· ababcd . ababcd . ab. (;}

On dit qu'un mot est primitif s'il n'est pas la puissance entière d'un autre mot. Deux mots u et v sont conjugués s'il existe des mots x, y tels que u = xy et v

=

yx. De plus, le miroir de u

=

Ul U2 ... Un E ~n est le mot îi.

=

UnUn-l ... Ul. Un palindrome est un mot p tel que p

=

p,

et l'ensemble de tous les palindromes d'un langage L

ç

~(X)

est noté Pal(L). De plus, pour un mot w E ~', l'ensemble de ses facteurs palindromes est Pal(w)

=

Pal(~')

n

Fact(w) et l'ensemble de ceux de longueur n est Paln(w)

=

Pal(~*)

n

Factn(w). La complexité palindromique d'un mot west le nombre IPal(w) 1.

Un mot sturmien est un mot infini u tel que IFactn(u)1

=

n+ 1. Plusieurs caractérisations des mots sturmiens ont été établies dont celle-ci, reliée à leur nombre de palindromes de chaque longueur :

8

Lemme 1.6 (Droubay, Pirillo, 1999) Un mot infini u est sturmien si et seulement si, pour tout n E JID,

si n est pair, IPaln(u)1

~

{ :

autrement.

•

Notons qu'il a été démontré dans (Droubay, Justin, Pirillo, 2001) que la complexité palindromique d'un mot fini west bornée par Iwl

+

1 et que les mots sturmiens at­ teignent cette borne. Il est alors naturel de se poser la question de l'existence de mots ne l'atteignant pas. Ainsi, (Brlek, Hamel, Nivat, Reutenauer, 2004) ont défini le défaut palindromique d'un mot w comme étant

D(w) = Iwl

+

1 -IPal(w)l· (1.1)

De plus, le défaut d'un mot infini est le supremum des défauts de ses préfixes finis. Dans le cas des mots périodiques, on trouve dans (Brlek, Hamel, Nivat, Reutenauer, 2004) un résultat (algorithmique) optimal permettant de le calculer. Si D(w)

=

0, c'est-à-dire lorsque w contient un nombre maximal de facteurs palindromes, on dit que west plein1_.

Exemple 1.7 Le défaut du mot infini périodique (aababbaabbabaa)W est 1. Cet exemple est tiré de (Blondin Massé, Brlek, Labbé, 2008).

1.2 Morphismes

Un morphisme est une fonction cp : I;* ---. I;* compatible avec la concaténation, c'est-à­ dire tel que cp(uv)

= cp(u)cp(v)

pour tout u, v E I;*.

Exemple 1.8 Le morphisme identité sur I; est noté IdE, Certains morphismes sont bien connus sur l'alphabet à deux lettres I;

=

{a, b} : par exemple, le morphisme de

lCertains auteurs les appellent riches, mais nous préférons le mot plein, car cela évoque une

Fibonacci (Séébold, 1991) <I> : a I--t ab, b I--t a et le morphisme de Thue-Morse (Morse,

Hedlund, 1938) f.L : a I--t ab, b f---> ba qui sont omniprésents dans ce mémoire.

<>

Exemple 1.9 Sur I: = {a, b}, on a également le morphisme E : a f---> b, b f--t a qui échange les lettres. Il sera souvent utilisé dans la suite, et en conséquence le symbole E

lui est réservé.

_<>

Un morphisme cp est dit sturmien si cp(w) est un mot sturmien pour tout mot sturmien w.

Théorème 1.10 (Mignosi, Séébold, 1993) L'ensemble des morphismes sturmiens sur I:

=

{a, b} forme un monoïde et il est engendré par les morphismes E J <I> et <I>, où

<I> est le morphisme de Fibonacci. _

Un morphisme cp est primitif s'il existe un nombre naturel k tel que, pour tout 0: E

B, cpk(0:) contient toutes les lettres de B. Pour 0: E I:, on appelle cp-bloc (bloc s'il n'y a pas de confusion) un facteur de la forme <p(o:). On définit la fonction Icpl : I: ----> N par

Icpl(o:) = Icp(o:) 1pour tout 0: E I:. Un morphisme est dit uniforme quand les blocs sont de longueurs égales, c'est-à-dire, il existe kEN tel que Icpl

=

k.

Exemple 1.11 Par exemple, le morphisme de Thue-Morse f.L est uniforme, mais celui

de Fibonacci <I> ne J'est pas.

<>

Un morphisme cp est dit effaçant s'il existe 0: E B tel que cp(o:)

=

é. Un morphisme cp

est croissant si Icp( 0:) 1 :::: 2 pour tout 0: E I:.

Lemme 1.12 Soit cp : I:* ----> I:* un morphisme primitif où II:I :::: 2. Il existe un entier

k tel que cpk est un morphisme croissant. _

Un morphisme cp est une involution si ep2 = Id.

10

Le miroir d'un morphisme <p, noté $, est le morphisme tel que $(a)

=

<p(a) pour tout a E I;. Il est facile de vérifier que

<p(w)

=

$(iU) pour tout w E I;*; <p 0 f.l

=

$

0 j),. (1.2)

Un antimorphisme est une fonction <p : I;* ---> I;* telle que <p(uv)

=

<p(v )<p(u) pour tout

u, v E I;*. Un antimorphisme <p est involutif si <p2 = Id. Pour référence ultérieure, on liste les propriétés suivantes faciles à établir.

Lemme 1.14 Soit <p : I;* ---> I;*, 'une fonction. On a que

(i)

.=.

est un antimorphisme involutif;

(ii) <p est un morphisme si et seulement si <p 0

.=.

est un antimorphisme;

(iii) si <p est un morphisme et que <p(a) est un palindrome pour tout a E I;, alors

•

On trouve, caché dans la section 2.3.4 de (Lothaire, 2002), que <p est conjugué à droite

de <pl, noté <p <J <pl, s'il existe u E I;* tel que

<p(a)u = u<pl(a), pour tout a E I;, (1.3)

ou de façon équivalente que <p(x)u

=

U<pI(X) , pour tout mot x E I;*. Il est clair que cette relation n'est pas symétrique de sorte que l'on dit alors que deux morphismes <p et <pl

sont conjugués si <p <J <plOU <pl <J <p. La relation de conjugaison des morphismes est une relation d'équivalence.

Exemple 1.15 Soit <Pl : a ..., bbaba, b ..., bba et <P2 : a ..., abbab, b ..., abb deux mor­ phismes. Ils sont conjugués, car

a· <Pl (a)

=

a· bbaba

=

abbab· a

=

<P2(a)· a, a·<Pl(b)=a·bba abb·a=<P2(a)·a. <)

Un point fixe d'un morphisme 'P est un mot x tel que 'P(x)

=

x. Bien sûr ê est point

fixe de tout morphisme étant donné que ip(ê)

=

ê.

Un morphisme 'P sur L:* est dit cyclique s'il existe un mot non vide w E L:* et si pour

no

tout Œ E L: il existe un entier ne> E IF' tel que 'P(Œ) = w . Dans ce cas, le point fixe infini WW

₌

www . .. du morphisme 'P est périodique.

Lemme 1.16 Tout point fixe infini de morphisme primitif est uniformément récurrent.

DÉMONSTRATION. Si IL:l

=

1, alors un mot infini sur L: est trivialement périodique et donc uniformément récurrent. Ainsi, on peut supposer que IL:l :::: 2. Soit ip : L:* --+ L:* un morphisme primitif. Selon le Lemme 1.12, il existe kEN tel que 'P( Œ) contient toutes les lettres de L: et donc tel que 'Pk est croissant. Ainsi, limi--->oo l'Pi(Œ)1 = 00 pour tout

lettre ŒE L:. Soit u

=

'P( u)

=

UlUZU3 ... , Ui E L:, un point fixe infini de 'P. Comme il existe un préfixe fini de u qui contient tous les facteurs de longueur n de u, soit

Pour tout ŒE L:, 'Pk (Œ) contient au moins une fois la lettre Ut et donc 'Pen +k (Œ) contient tous les facteurs de longueur n de u. En considérant

et en posant m = max{l'Pen+k(Œ)1 : Œ E L:}, on conclut que tout facteur de longueur 2m de u contient au moins un facteur de la forme 'P

e"

+k (Œ) qui lui-même contient tout facteur de longueur n de u. Ainsi, u est uniformément récurrent.

_•

Il existe des mots récurrents non périodiques: le mot de Thue-Morse t (Morse, Hedlund, 1938) et les mots sturmiens en étant des exemples classiques.

Soit u un mot infini sur L On dit que l i est rigide de base ip si u est un point fixe d'un

morphisme ip sur L: et si, pour tout morphisme 'PI sur L: tel que u = 'P'(u), il existe n E N tel que 'PI = 'Pn (Mignosi, Séébold, 1993). Nous utilisons cette notion dans une démonstration du Chapitre 3.

12

1.3 Théorie des langages et des automates

Dans cette section, on introduit les automates finis de même que les langages reconnais­ sables qui leurs sont associés. Nous utilisons la nQtation de (Autebert, 1994).

Un automate fini A est un quintuplet: (L:, Q, D, A, 8) où

- L: est un alphabet, dit alphabet d'entrée,

- Q est un ensemble fini dont les éléments sont appelés les états de l'automate, - D

c

Q

est l'ensemble des états de départ de l'automate,

- AcQ est l'ensemble des états d'acceptation de l'automate, - 8

c

Q x L: x Q est l'ensemble des transitions de l'automate.

Sous-jacent à un tel automate, il y a un multigraphe valué (L:,

Q,

8) où

Q

est l'ensemble des sommets du graphe, L: l'ensemble des étiquettes des arcs et 8 l'ensemble des arcs étiquetés.

Soit A = (L:, Q, D, A, 8) un automate fini. Considérant l'ensemble fini 8 comme un alphabet (dont les lettres sont les arcs du graphe sous-jacent), on dira qu'un mot w de 8* est un chemin dans A qui mène de l'état qo à l'état qn s'il s'écrit

Par convention, on dira que le chemin vide mène de l'état q à lui-même pour tout q E Q. On appelle trace l'homomorphisme

t : 8* ----> L:*

(q, X, q/) f-> X.

Un mot u E L:* est accepté (ou reconnu) par l'automate A s'il existe un chemin w qui mène d'un l'état qd E D à un état qa E A, et qui est tel que u

=

t(w). Remarquons que le mot vide est reconnu par l'automate fini A si et seulement si D

n

A

i-

0. On appelle langage accepté (ou langage reconnu) par A, et on note LA, l'ensemble des mots de L:* qui sont acceptés par A. L'automate A est dit déterministe s'il n'y a qu'un état de départ, i.e.

IDI

= 1, et si une seule transition est possible partant d'un état par la

lecture d'une lettre:

Vq E Q.Vx E I:,I{q'l(q,x,q') E

8}1::;

1.

Il est dit déterministe complet si, de plus, une transition est toujours possible:

Vq E Q.Vx E I:,I{q'l(q,x,q') E

8}1

= 1.

Lorsque l'automate fini A est déterministe, 8 peut être vu (et c'est le point de vue que nous avons adopté dans la suite) comme une application de Q x I: dans Q définie par:

8(q,x) = q' Ç=} (q, X, q') E 8.

On dit alors souvent que 8 est la fonction de transition de l'automate. On dit qu'un état p de l'automate A est accessible (resp. coaccessible) s'il existe un chemin d'un état initial à p (resp. de p à un état final). On dit que

A

est accessible (resp. coaccessible) si tout état de A est accessible (resp. coaccessible). On dit que l'automate est émondé s'il est à la fois accessible et coaccessible.

Exemple 1.17 Soit A

=

(I:,Q,D,A,8), où I: = {a,b}, Q

=

{1,2}, D

=

{1}, A

=

{2}. Sa fonction de transition est donnée par 8 = {(1, a, 1), (1, b, 2), (2, b, 2)}. La représenta­ tion sagittale de l'automate

A

est illustrée ci-dessous.

a b

Ob O

- 0 - @

Dans ce dessin, l'état final est représenté par un double cercle et une flèche pointe vers l'état initial.

CHAPITRE II

STRUCTURE DES j-PALINDRüMES

Dans ce chapitre, nous introduisons les f-paliridromes et nous obtenons plusieurs résul­ tats sur les équations, les paires d'équations et les mots récurrents qui en contiennent.

2.1 Définition et exemples

Soit

f :

I: ----> I: une involution qui s'étend évidemment à un morphisme sur I:*. On

dit que w E I:* est un

f -pseudo-palindrome

(Anne, Zamboni, Zorca, 2005; de Luca, De Luca, 2006; Halava, Harju, Karki, Zamboni, 2007), ou plus simplement un f-palindrome, si w = f(w). L'ensemble des f-palindromes d'un langage L

ç

I:CO _{est noté f-Pal(L).}

Exemple 2.1 Un palindrome sur I: est un IdE-palindrome.

Exemple 2.2 Soit I:

=

{a,

b} et E l'involution définie à l'Exemple 1.9. Les mots

E,ab,ba,abab,aabb,baba,bbaa,abbaab,bababa

sont des E-palindromes.

Exemple 2.3 Soit l'alphabet I: = {A,C,G,T} et l'involution T: AI----> T,C 1----> G,T 1----> A, G 1-> C. La présence de T-palindromes dans les chaînes d'acide nucléique influence leur structure secondaire par des pliages du polynucléotide. Par exemple, un r-palindrome apparaît (à quelques lettres près) dans le début de la chaîne d'ADN du virus d'immu­ no déficience humaine (VIH). Une fois plié, ce T-palindrome est un point d'attache pour

la protéine Tat qui favorise la réplication et la prolifération du virus (Flint et al., 2003, p.635).

Exemple 2.4 Soit l'alphabet I:

=

{O, 1,2,5,6,8, 9} et l'involution p : 0 f-> 0,1 f-> 1,2 f-> 2,5 f-> 5,6 f-> 9,8 f-> 8,9 f-> 6. Ainsi, 609, 98086 et 1221 sont des p-palindromes et correspondent aux nombres digitaux qui sont égaux à leur image par une rotation de 180 degrés (voir la figure ci-bas).

Lemme 2.5 Soit]: I: ---+ I: une involution. On a que] 0 .::::

=

-=-

0].

DÉMONSTRATION. Ce résultat est une conséquence du Lemme 1.14 (iii).

_•

Dans la suite, on travaille parfois avec deux involutions à la fois comme pour la Pro­ position 2.14. Lorsqu'il est clair qu'une seule involution] est utilisée, on écrit":::' pour représenter l'antimorphisme ] 0 .::::

= .::::

0 ] afin de simplifier la notation de sorte que

west un ]-palindrome si et seulement si w

=

iù.

Lemme 2.6 Soit] : I: ---+ I: une involution et w E I:*. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) west un ]-palindrome; (ii) west un ] -palindrome; (iii) ] (w) est un ] -palindrome; (iv) ](iiJ) est un ]-palindrome.

DÉMONSTRATION. (i) ===} (ii) Si west un ]-palindrome, alors

17

(ii) ==} (iii) Si west un f-palindrome, alors w = f(iJJ) = f(w).

(iii) ==} (iv) Si f(w) est un f-palindrome, alors

...----.-­

~

f(f(w)) = f 0

-=-

0 f 0

-=-

(w) =

-=-

0 f 0

-=-

0 f(w)

=

f(f(w))

=

f(w)

=

f(w).

(iv) ==} (i) Si f(w) est un f-palindrome, alors

f(w)

=

f(f(w))

=

f 0

-=-

0 f 0 -=-(w)

=

-=-

010

f 0 -=-(w)

=

-=-

0 -=-(w)

=

w. •

Sur un alphabet à 2 lettres, la seule involution non triviale est l'échange de lettres. Dans ce cas particulier, c'est-à-dire quand

IL;l

=

2 et

f

i

IdE, un f-palindrome de

L;*

est appelé un antipalindrome. Remarquons que les antipalindromes sont toujours de longueur paire.

Exemple 2.7 Les E-palindromes de l'Exemple 2.2 sont des antipalindromes.

Exemple 2.8 Considérons le morphisme de Thue-Morse J-L sur {a, b} dont les facteurs ont été étudiés dans (Brlek, 1989). Il est bien connu que J-Ln(a) est un palindrome pour tous les entiers pairs n et il est facile de vérifier que J-Ln(a) est un antipalindrome pour tous les entiers impairs n.

J-Ll(a) ab J-L2(a) = abba J-L3(a) abbabaab

J-L4(a) = abbabaabbaababba

J-L5(a) abbabaabbaababbabaababbaabbabaab

En général, p est un palindrome si et seulement si J-L(p) est un antipalindrome.

Clairement un f-palindrome contient plusieurs facteurs qui sont aussi des f-palindromes. En particulier, on a l'énoncé suivant.

Lemme 2.9 Soit p, xE I;* et f : I; ---+ I; une involution. On a

p est un f -palindrome ~ xpx est un f -palindrome. ­

Dans ce cas, on dit que p est un f-palindrome central de xpx.

2.2 Équations sur les f-palindromes

De (Lothaire, 1983, Proposition 1.3.4) nous rappelons un résultat utile pour la suite: si w

= xy = yz,

alors il existe u, v E L;* et i E N tels que

x

= uv, y

= (uv)i u ,

Z

= vu;

(2.1)

Les palindromes satisfaisant ces hypothèses possèdent plusieurs caractérisations qu'on trouve énoncées dans les Lemmes 1 et 2 de (Blondin Massé, Brlek, Labbé, 2008). Voir aussi le Lemme 5 de (Brlek, Hamel, Nivat, Reutenauer, 2004) et le Lemme 2.3 de (de Luca, De Luca, 2006). Nous commençons par en donner une extension aux f­ palindromes.

Lemme 2.10 Supposons que w

=

xy

=

yz. Soient u, v E I;* et i E N satisfaisant l'équation (2.1). Soit f une involution sur L;. Les conditions suivantes sont équivalentes:

(i) x = Z ;

(ii) u et v sont des j-palindromes; (iii) west un j -palindrome; (iv) xyz est un j -palindrome.

De plus, si l'un des conditions ci-dessus est vérifiée, alors (v) y est un j -palindrome.

DÉMONSTRATION. (i) ===? (ii) Puisque uv

=

x

=

Z

=

ÛV, on a u

=

fi et v

=

v. (ii) ===? (iii) On aw

=

xy = (uv)i+J u . Alors,

w

= û(vû)i+J

= u(vu)i+J

=

(UV)i+l U

= w.

19

(iii) ===? (iv) On a xy

=

w

=

W

=

iY.

Alors, x

=

z, y

=

y, i.e. y est un f-palindrome et XfjZ

=

zyx

=

xyz. (iv) ===? (i) Puisque

Ixl

=

Izl,

on a x = z. •

Notons que la condition (v) n'est pas équivalente aux conditions (i)-(iv) du Lemme 2.10. En effet, soit f

=

IdE, Y = aba, x

=

abaab and z

=

ababa. L'égalité xy

=

yz est vérifiée, y est un palindrome mais

x

=f:.

z.

Cependant, si

Iyl

~

Ixl,

c'est-à-dire si

i

>

0 dans l'équation (2.1), alors (v) ===? (ii). En effet, si y est un f-palindrome, alors (uv)i u

=

y

=

fj

=

û('ùû)i

=

(û'ù)iÛ . Donc, u

=

û et v = 'ù puisque i

>

O. On a ainsi démontré:

Lemme 2.11 Soit w

= xy

= yz E L;* tel que

Iyl

~I

xl-

Alors les conditions (i)-(v) du

Lemme 2.10 sont équivalentes.

_•

Maintenant, nous généralisons un résultat établi dans (Blondin Massé, Brlek, Frosini, Labbé, Rinaldi, 2008).

Proposition 2.12 Soit f une involution sur L;. Supposons que w

= xp = qz où p et q

sont des f-palindromes tels que

Iql

>

Ixl.

Alors,

Ixl + Izi

est une période de w, et zi est un produit de deux f -palindromes.

DÉMONSTRATION. Puisque

Iql

>

Ixl,

il existe un mot non vide y tel que q

=

xy et p

= yz.

1

>~_Pz

Il s'ensuit que

Puisque q . zX

=

xi· q, on obtient de l'équation (2.1) que

Izxl

est une période de wx. De plus, en vertu du Lemme 2.10 (i) et (ii), il existe des f-palindromes u,v tels que

zx

=

uv. •

2.3 Paire d'équations sur les j-palindromes

Le résultat suivant est donné sans démonstration, car elle est immédiate.

Lemme 2.13 Soit u,V E L;* tels que

lui

=

Ivl

=

e.

Supposons quep est un préfixe et s, un suffixe d'à la fois '11 et v.

__P

u_--s--I

,-I_p

v_

--s---<

(i) Si

Ipl

+

Isi

2':

R,

alors u = v.

(ii) Si

Ipl + Isl

< C, alors il existe u', v' E I;* tels que u

=

pu's, v

=

pv's et

1'11'1

=

Iv'l·

•

Proposition 2.14 Soient f,g: I; f---7 I; deux involutions. Soient x,y,p,s,v,w E I;* où v et w sont des g-palindromes et où

Ipl

+

Isi

>

0, c'est-à-dire p ou s est non vide.

(i) Si xs = pv et f(x)s = PW, alors x est un f-palindTOme.

(ii) Si xs

= py

et f(x)s

=

pg(Y) , alors x est un f -palindrome et y est un g-palindrome. (iii) Si sx

=

vp et sf(x)

=

wp, alors x est un f -palindrome.

DÉMONSTRATION. En considérant le miroir des deux côtés des équations, on a que (iii) est une conséquence de (i) en vertu des Lemmes 2.6 et 1.14 (iii). En effet, en appliquant l'antimorphisme - sur les équations, on obtient x8'

=

pv et f(x)s

=

f(x)8'

=

f5w.

On montre les deux premiers énoncés en procédant par récurrence sur Ixs 1.

(i) BASE. Supposons que 0

<

Ixsl

::;1

pl

+

IsI-

Dans ce cas, x et f(x) sont préfixes de p, de sorte que x

=

f(x).

21

INDUCTION. Supposons que xs

=

pv et f(x)s

=

pw implique x

=

f(x) lorsque Ixsl

<

R.

Maintenant supposons que Ixsl =

R

>

Ipl + Isl·

Puisque p est un préfixe de x et fCi), on a que f(P) est un suffixe de f(x) et x. Par le Lemme 2.13, soit x

=

f(x) ou il existe x' tel que x

=

px' f(P) et f(x)

=

pf(;')f(P). De plus, comme s est un suffixe de v et w, on a que g(8) est préfixe de v et w. Par le Lemme 2.13, soit v

=

w, de sorte que x

=

f(x), ou il existe v', w' tels que v

=

g(8)v's et w

=

g(8)w' s. De plus, v' et w' sont des g-palindromes. On obtient

px' f(p)s

=

xs

= pv =

pg(S)v' s et pf(x')f(p)s = f(x)s = pw

=

pg(S)w' s,

d'où x' f(P)

=

g(8)v' et f(x')f(P)

=

g(s)w'. D'autre part, lx' f(P)1

=

Ixsl-Ipl-I si

<

Ret If(P)1

+

Ig(8)1

=

Ipl + Isl

> O. Donc, selon l'hypothèse de récurrence, on a que x'

=

f(x') et que x

=

f(x).

(ii) BASE. Supposons que 0

<

Ixsl

::::1

pl

+ IsI-

Dans ce cas, x et f(x) sont préfixes de p, de sorte que x

=

f(x).

INDUCTION. Supposons que xs = py et f(x)s

=

pg(fj) implique x f(x) lorsque Ixsl

<

i!. Maintenant supposons que Ixsl

=

R

>

Ipl +

IsI-Puisque p est un préfixe de x et f(x), on a que f(P) est un suffixe de f(x) et x. Par le Lemme 2.13, soit x

=

f(x) ou il existe x' tel que x

=

px'f(P) et f(x)

=

pf(x')f(P). Comme s est un suffixe de y et g(y), on a que g(8) est préfixe de g(fj) et y. Par le Lemme 2.13, soit g(fj)

=

y, de sorte que x = f(x), ou il existe y' tel que y = g(8)y' s et

g(fj)

=

g(8)g(YI)S. On obtient

px' f(p)s

=

xs

=

py

=

pg(8)y's et pf(i')f(p)s

=

f(x)s

=

pg(fj)

=

pg(8)g(y')S,

d'où x' f(P)

=

g(8)y' et f(;')f(P)

=

g(8)g(YI). D'autre part, Ix' f(P)1 = Ixsl-Ipl-I

si

<

e

et

If 0))1+ Ig(8)1

=

Ipl+ 1051 >

o.

Donc, selon l'hypothèse de récurrence, on a que x' =

f(;')

et que x

=

f(x). ­

Corollaire 2.15 Soient f,g: L; f---? L; deux involutions. Soient x,y,p,s,v,w E L;* où v

et w sont des g-palindromes et

Ipl

-=1- 1

si·

(i) Si sx

=

pv et sf(x)

=

pw, alors x est un f-palindrome.

(ii) Si sx

=

py et sf(x)

=

pg(fj), alors x est un f -palindrome et y est un g-palindrome.

DÉMONSTRATION. (i) Si

Ipl > 1051,

alors il existe un mot p' non vide tel que x

= p'V

et f(x) = p'W.

Par la Proposition 2.14 (i), on conclut que

x

est un j-palindrome. Si

Ipl

<

1051,

alors il existe un mot s' non vide tel que s'x

=

v et s'f(x)

=

w et x est un f-palindrome en vertu de la Proposition 2.14 (iii). (ii) Si

Ipl

>

1051,

alors il existe un mot p' non vide tel que x = p'y et f(x) = p'g(fj). Le résultat suit de la Proposition 2.14 (ii). Si

Ipl < 1051,

alors il existe un mot s' non vide tel que s'x = y et s' f

Cx)

= g(fj), et de nouveau la

Proposition 2.14 (ii) permet de conclure. _

2.4 Mots récurrents

Lemme 2.16 Soient l i un mot uniformément récurrent et w un mot non vide. Les conditions suivantes sont équivalentes :

23

(ii) il existe un conjugué w' de w tel que u

=

w'w.

DÉMONSTRATION. (ii) ===} (i) est évident. On montre la réciproque. Soient p un préfixe

de u et

e

=

Ru (Ipl) le Ipl-ième indice de récurrence de u. Soit n E N tel que Iwnl >

e.

Alors p est un facteur de wn et il existe un conjugué w' de w tel que p = w'r avec r E

Q.

On conclut que u

=

w'w. •

Remarquons que si u n'est pas un mot uniformément récurrent alors le lemme précédent est faux. En effet, considérons l'exemple suivant.

Exemple 2.17 Soit le mot récurrent

Il n'est pas périodique malgré qu'il contient des puissances arbitrairement longues de a.

<>

Dans l'esprit du Théorème 4 de (Brlek, Hamel, Nivat, Reutenauer, 2004) qui caractérise les mots périodiques infinis (et bi-infinis) ayant une infinité de pa1indromes, nous énon­ çons le lemme suivant pour les mots périodiques infinis à droite. Voir aussi la preuve du Théorème 13 de (Allouche, Baake, Cassaigne, Damanik, 2003). Notre preuve se base sur le Lemme 2.11.

Lemme 2.18 Soit u un mot infini périodique. Les conditions suivantes sont équiva­ lentes:

(i) u contient des f -palindromes arbitrairement longs; (ii) il existe deux f-palindromes u,v E I;* tel que u

=

(uv)w.

DÉMONSTRATION. (ii) ===} (i) est évident. En effet, les préfixes de u de la forme (uv)n u ,

u= 1 W W

_ _: _ _p_W pW_

f~

1

Comme u contient des f-palindromes arbitrairement longs, il existe un f-palindrome p

tel que Ipl

>

Iwi et p est préfixe d'une puissance de w. Ainsi, wp est aussi préfixe de WW .

De plus, f(iiJ) est suffixe de f(P)

=

p, car west préfixe de p. Alors, wp

=

pf(iiJ). Le

résultat découle du Lemme 2.11. •

Remarquons que ce lemme est valide en toute généralité pour les mots bi-infinis, mais comme nous travaillons avec les mots infinis à droite, cette généralisation n'est pas utile.

CHAPITRE III

MORPHISMES DE CLASSE

f-P

Dans ce chapitre, nous introduisons les morphismes de classe P et de classe f-P. Nous obtenons plusieurs résultats qui les caractérisent en exhibant plusieurs exemples. D'un travail précédent, nous rassemblons une section complète sur les morphismes conjugués. Finalement, on s'intéresse aux carrés de morphismes particuliers.

3.1 Morphismes de classe

P

Soit P l'ensemble des morphismes t.p tel qu'il existe un palindrome p et pour chaque

CI: E I; il existe un palindrome qa: tels que <p(CI:)

=

pqa: (Bof, Knill, Simon, 1995). On dit

d'un morphisme t.p E P qu'il est de classe P.

Exemple 3.1 Soit l'alphabet I;

= {a,b}. Le morphisme

t.p: I;* -. I;*

a t-. bb· aba

b t-. bb·a

est de classe P. Le morphisme t.p possède un seul point fixe qui commence par la lettre b. En calculant le nombre de palindromes de chacunes des itérations successives du mor­ phisme sur la lettre a, on obtient le tableau suivant (calculs à!'Appendice A) :

z 0 1 2 3 4 5 6 7

Cela semble indiquer que le point fixe de r.p contient une infinité de palindromes.

<>

Exemple 3.2 Le morphisme de Thue-Morse J-L : a f-7 ab, b f-7 ba n'est pas de classe P, mais son carré l'est:

J-L2: ~. ~ ~.

a f-7 abba b f-7 baab

On sait que les deux points fixe de p,2 possèdent une infinité de palindromes (voir

l'Exemple 2.8).

_<>

Exemple 3.3 Soit l'alphabet ~

=

{a,b}. Le morphisme r.p: ~. ~ ~.

a f-7 abb b f-7 ba

n'est pas de classe P. Le morphisme r.p possède deux points fixes. En calculant le nombre de palindromes de chacunes des itérations successives du morphisme sur la lettre a et b,

on obtient le tableau suivant (calculs à l'Appendice A) :

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

IPa.I(r.pi(a))1 2 4 8 15 23 23 23 23 23 IPal(r.pi(b)) 1 2 3 6 13 18 23 23 23 23

Les résultats semblent indiquer que les deux points fixes de r.p contiennent le même nombre fini de palindromes. On peut vérifier que ce sont les mêmes 23 palindromes.

<>

Dans leur article, Bof, Knill et Simon posent la question suivante:

"Clearly, we could include into class P substitutions of the form s(b) = %p.

We do not know whether al! palindromic X _s arise from substitutions that

are in this extended c1ass P."

27

Conjecture 3.4 (Hof, Knill, Simon, 1995) Soit u un point fixe de morphisme pri­ mitif. Alors, IPal(u)1

=

00 si et seulement s'il existe un morphisme cp tel que cp(u)

=

u et tel que soit cp ou

cp

est de classe P.

3.2 Morphismes de classe

pl

Tel que suggéré par Hof, Knill et Simon, des auteurs ont étendu l'ensemble P en incluant le miroir des morphismes de classe P (ABouche, Baake, Cassaigne, Damanik, 2003). La proposition suivante montre que l'ensemble P doit aussi inclure les morphismes conjugués. Certains ont même déjà modifié la définition de l'ensemble

P

en les incluant (Glen, Justin, Widmer, Zamboni, 2008).

Proposition 3.5 (Blondin Massé, 2007) Il existe un mot infini u point fixe de mor­ phisme primitif et contenant une infinité de palindromes tel que u n'est ni le point fixe d'un morphisme de classe P ni le point fixe d'un morphisme dont le miroir est de classe P.

DÉMONSTRATION. Nous construisons l'exemple à partir du morphisme sur {a, b} suivant

cp:

a

>--+

abbab

_a

>--+

ab)

0

(a

>--+

ab)

0

(a

>--+

ab)

b

>--+

abb

( b>--+b

b>--+a

b>--+a

Soit u

=

cp(u) l'unique point fixe de cp. Le morphisme cp est sturmien, car il est le produit de trois morphismes sturmiens. Ainsi, u est un mot sturmien et contient une infinité de facteurs palindromes en vertu du Lemme 1.6. On vérifie que cp n'est puissance d'aucun autre morphisme. Ainsi, comme cp est sturmien, on a que u est rigide de base cp (Mignosi, Séébold, 1993). Or, pour tout k E lP', ni cpk ni <pk ne sont de classe P. •

Par conséquent, la Conjecture 3.4 est fausse et l'ensemble

P

devrait définitivement inclure ses morphismes conjugués. Dans ce travail, nous préférons conserver l'ensemble

P

tel que défini originellement par Hof, Knill et Simon et nous proposons la définition suivante.

Définition 3.6 Soit pl l'ensemble des morphismes ayant un conjugué de classe P. On dit qu'un morphisme <p est de classe pl si <p E Pl.

On a que j5 C pl, c'est-à-dire que l'ensemble pl inclut le miroir des morphismes de classe P. Avec cette définition, la Conjecture 3.4 corrigée s'écrit de la façon suivante.

Conjecture 3.7 Soit u un point fixe de morphisme pTimitif. Alors, IFal(u)1

=

00 si et seulement s'il existe un morphisme <p tel que <p( u)

=

u et <p est de classe Pl.

3.3 Morphismes conjugués

Dans cette section, nous rappelons des résultats utiles qui font tous partie d'un travail précédent (Blondin Massé, Brlek, Labbé, 2008).

Lemme 3.8 Soient <p et <pl deux morphismes non effaçants sur L: = {a,

b}

tels que <p <l <pl, i.e. <p(a)u = u<pl(a) pour tout a E L:. Soient p

=

l<p(a) 1 et q = 1<p(b)l. Si

lui::::

p

+

q - pgcd(p, q), alors <p et <pl sont cycliques.

DÉMONSTRATION. Selon les équations (2.1), il existe x, z E L:*, i E N tels que <p(a) = xz,

u

=

(xzrx et <pl(a)

=

zx. De plus, il existe w,y E L:*, j E N tels que <p(b)

=

wy, u

=

(wy)jw et <pl(b)

=

yw. Alors, (.TZ)i x

=

u

=

(wy)jw et donc, p

=

1<p(a)1

=

Ixzl et q = 1<p(b)1 =

Iwyl

sont des périodes de u. Le Théorème 1.3 de Fine et Wilf dit que pgcd(p, q) est une période de u. Il s'ensuit que <p(a) et <p(b) sont des puissances du même mot, étant préfixes de u; <pl(a) et <pl(b) aussi, étant suffixes de u. •

Nous désirons maintenant améliorer un lemme de (Lothaire, 2002, Lemme 2.3.17) sur la composition de morphismes conjugués que nous rappelons d'abord.

Lemme 3.9 (Lothaire, 2002) Soient <p, <pl, /-L, /-LI des morphismes. (i) Si <p <J <pl et /-L <J<p l, alors <p <J /-L ou /-L <l <p.

29

(ii) Si <p <l <p' et <p <l

,i,

alors <pl <l pf ou J.11 <l <pl.

(iii) Si <p <l <pl et J.1 <l J.11, alors <p 0 J.1 <l<p 10 J.11.

•

Lemme 3.10 Soient <p, <pl, J.1, J.11 des morphismes. On a que

(ii) si <p <l <pl et J.1 <lJ.11 1 alors <p 0 J.11 et <plO J.1 sont conjugués.

(iii) si <p, <pl sont conjugués et si J.1, J.11 sont conjugués, alors <p 0 J.1 et <pl 0 J.11 sont

conjugués.

DÉMONSTRATION. (i) Soient u, v E 2::* tels que <p(a)u

=

u<pl(a) et J.1(a)v

=

vJ.1l(a) , pour tout

a

E 2::. On calcule

<p 0 J.1 (a) . U<pl (V) <p 0 J.1(a) . <p(v)u <p(J.1(a) . v)u U<p/(V' J.11(a)) U<p/(V) . <pl 0 J.1/(a).

(ii) Soient u, v E 2::* tels que <p(a)u

=

u<p/(a) et J.1(a)v

=

vJ.1/(a), pour tout a E 2::. Si

lui S;I

<p(v)l, alors u-J<p(v) = <p/(V)U- 1 et on obtient

u-1<p(v . J.11(a)) <p1(J.1(a)· v)u- 1 <plO J.1(a) . <p1(V)U- 1 <plO J.1(a) . u-J<p(v),

<p(V)-l<p(v) . <p 0 I/(a) . UU- 1 . <p(V)-lU

<p(V)-l . <p(Vj.1.'(a))u. U-1<p(V)-lU

<p(V)-l . u<p'(j.1.(a)v) . (<p(V)U)-lU

<p(V)-lU· <p' 0 j.1.(a) . <p'(V)(U<p'(V))-lU

<p(V)-lU· <p' 0 j.1.(a) ,

c'est-à-dire que <p 0 j.1.' <l <p' 0 j.1.. (iii) Le résultat est une conséquence de (i) et (ii). •

La conjugaison des morphismes uniformes peut être définie par une condition équivalente comme le montre le lemme suivant.

Lemme 3.11 Soient <p et <p' deux morphismes uniformes. Alors <p <l <p' si et seulement

s'il existe x et pour tout a E 2:; il existe Zo tels que

<p(a)

=

xZo et <p'(a)

=

ZoX. (3.1)

DÉMONSTRATION. (=;,) Supposons qu'il existe u E 2:;* tel que pour tout a E 2:;, on a

<p(a)u = u<p'(a). D'après les équations (2.1), il existe xo:, Zo E 2:;*, io E N tels que

<p(a)

=

XoZ o , u

=

(xozo)i",x o et <p'(a)

=

ZQX o . Comme les morphismes <p et <p' sont

uniformes, soit l'entier k = 1<p(a)1 = 1<p'(a)l. Soient deux lettres, disons a et (3, telles que pour des entiers i et j, on a <p(a)

=

xz, <p'(a)

=

zx, <p({3)

=

wy, <p'({3)

=

yw et

En considérant les longueurs des mots de la dernière équation, on obtient

k . i

+

Ixl

=

k . j

+

Iwl,

où 0 :::;

Ixl :::;

k et 0 :::;

Iwl :::;

k. Si

Ixl

-=1- k et 11111 -=1- k, alors on obtient par le théorème de la division euclidienne que i

=

j et

Ixl

=

Iwl,

et ainsi x

=

w car x et w sont suffixes de u. Si

Ixl

=

k et

Iwl

=

k, alors x

=

w pour la même raison. Si

Ixl

=

k et

Iwl

-=1- k,

31

alors

Iwl

= k . (i - j

+

1) et donc

Iwl

= O. Ainsi, j = i

+

l, X i +l = U

=

yj et x

=

y. Par conséquent, <p(a)

=

x

= <pl(a) pour tout a

E I;. Finalement, le cas

Ixl

=1

k et

Iwl

=

k se règle comme le précédent.

(ç) On a <p(a)x = XZQx = x<pl(a) quel que soit a.

_•

Le lemme précédent est faux pour certains morphismes non uniformes. En effet, consi­ dérons les morphismes conj ugués

f-+ f-+

<Pl : a abaab <P2: a baaba

b f-+ ab b f-+ ba

<P3: a f-+ aabab _<P4: a f-+ ababa

b f-+ ab b f-+ ba

Les paires (<Pl,<P3) et (<P3,<P4) satisfont à l'équation (3.1), mais pas la paire (<Pl, <P4)'

C'est pourquoi la Proposition 3.13 et plus particulièrement le Corollaire 3.14 sont pl us généraux que le Lemme 3 de (Allouche, Baake, Cassaigne, Damanik, 2003) que l'on rappelle.

Lemme 3.12 (Allouche, Baake, Cassaigne, Damanik, 2003) Letu be afixedpoint of a primitive morphism a on the alphabet A. Suppose that there exists a non-empty word x that is a prefix of a(a) for ail a E A (resp. a suffix of a(a) for ail a E A). Write a(a)

=

XZa (resp. a(a)

=

zax). Let a# be the morphism defined by a#(a)

= ZaX (resp.

a#(a)

=

xza). Then a# is primitive; and any fixed point v of a power of a# (there always exists at least one such fixed point) has the same factors as u. •

Proposition 3.13 Soient <P et <pl deux morphismes primitifs et soit u

=

<p( u)! V

=

<pl (v) deux points fixes respectifs. Si <P <J <pl! alors Fact (u)

=

Fact (v) .

DÉMONSTRATION. Par l'hypothèse et d'après le Lemme 3.10 (i), nous avons que pour

tout k, il existe w tel que <pk(a)w

=

w<plk(a) , et ce pour tout a E I;. Montrons d'abord que <pk (a)w est un facteur de u et v. Puisque <p est primitif, il existe x E I;*, Z E I;W

tels que u

=

xo:z. On a

u

= ipk(x) . '/(0:) .

,/(z)

= ,/(x) . '/(0:) .wcp,k(z).

Par conséquent, cpk(o:)w est facteur de u. De façon similaire, il existe xE I;*,z E I;w tels que v

=

xo:z. Alors, on a

wv

=

wcp,k(x) . cp'k(o:) . cp'k(z)

=

cpk(x)w. cp,k(o:) . cp'k(z).

On peut choisir X suffisamment long pour satisfaire Icpk(X)1

2:

Iwl.

Ainsi, wcp'k(o:) est facteur de v. Finalement, soit f E Fact(u). Alors, il existe n tel que f E cpn(uo). Ainsi,

f

E Fact(v). Par le même argument, les facteurs de v sont facteurs de u. •

Certains morphismes, comme cp : a f-4 ba, b f-4 ab, n'ont pas de point fixe. Par contre, tout morphisme possède une puissance ayant un point fixe. C'est pourquoi le résultat suivant, qui est un fait accepté dans (Tan, 2007), est utile.

Corollaire 3.14 Soient cp et cp' deux morphismes primitifs et supposons qu'il existe des entiers k, 1 tels que cpk et cp'l ont u = cpk(u) et v

=

cp'l(v) comme points fixes. Si cp et cp' sont conjugués, alors Fact(u)

=

Fact(v).

DÉMONSTRATION. Si cp et cp' sont conjugués, alors cpkl et cp'kl sont conjugués par le Lemme 3.10. Puisque li = cpkl(u) et v = cp'kl(v), le résultat est une conséquence de la

Proposition 3.13. •

En posant cp' = cp dans la Proposition 3.13, on obtient le corollaire qui suit.

Corollaire 3.15 Soit cp morphisme primitif, et soit u = cp(u), v = cp(v) deux points fixes. Alors, Fact(u) = Fact(v).

3.4 La classe

P'

est

un

monoïde

Dans cette section, nous démontrons que la classe P' est un monoïde, un fait donné sans preuve dans (Glen, Justin, Widmer, Zamboni, 2008).

33

Lemme 3.16 Soient j.L : 0: f---> pqo. et <p : 0: f---> UVo. deux morphismes de classe P sur ~*,

où p, qo., U, Vo. sont des palindromes.

(i) Si U

=

é, alors j.L

°

<p E P.

(ii) Si u

f:.

é, alors "ji

°

<p E P.

(iii) j.L

°

<p et "ji

°

<p sont conjugués.

(iv) j.LO<pEP'.

DÉMONSTRATION. On suppose que u

=

UIU2'" un et Va

=

VIV2'" Vm . (i) Si u

=

é,

alors j.Lo<p(o:) = j.L(Vo.) = (p). (qvIP' qV2P" ·qvm)· (ii) Supposons que u

f:.

é. On calcule

(iii) En effet,

p·"ji(UVo.) p."jio<p(o:).

(iv) De (i), (ii) et (iii), on obtient j.L

°

<p EPi.

•

L'ensemble des morphismes de classe P n'est pas un monoïde, car poP

ct

P. Par exemple, considérons le morphisme de Fibonacci: cI> E P, mais cI>2 (j. P.

Proposition 3.17 L'ensemble des morphismes de classe pl est un monoïde.

DÉMONSTRATION. Soient j.L', <p' E P', i.e. il existe un morphisme j.L E P conjugué de

j.L' et un morphisme <p E P conjugué de <p'. En vertu du Lemme 3.10 (iii), <p'

°

j.L' est conjugué à <p

°

j.L qui est de classe pl par le Lemme 3.16. Alors, <pl

°

j.L1 EPi. •

3.5

Sur

la

conjecture de Hof, Knill et Simon

Récemment, un article de (Tan, 2007) paru en décembre 2007 présente une démons­ tration de la Conjecture 3.7 pour un alphabet à deux lettres. Dans ce mémoire, nous étudions l'analogue de la Conjecture 3.7 pour les f-palindromes. Ainsi, nous proposons les définitions utiles suivantes.

Définition 3.18 On dit qu'un morphisme 'P est de classe f-P s'il existe p E f-Pal(2:;*) et pour chaque ex E 2:; il existe qo: E f-Pal(2:;*) tels que 'P(ex)

=

pqo:.

Définition 3.19 On dit qu'un morphisme 'P' est de classe f-P', noté 'P' E f-P', s'il existe un morphisme 'P conjugué de 'P' tel que 'P E f -P.

Exemple 3.20 Soit l'alphabet 2:;

=

{a, b}.

Le morphisme 'P: 2:;* ----l 2:;*

a 1-> ab· baba b 1-> ab· ab

est de classe E-P où E est l'involution sur 2:; = {a, b} définie à l'Exemple 1.9.

La classe f-P' n'est pas un monoïde pour la composition des morphismes. En effet, on a que le morphisme de Thue-Morse /1 est de classe E-P', mais son carré /12

1:

E-P'. Le lemme qui suit donne des équivalences utiles sur la forme des morphismes de classe E-P.

Lemme 3.21 Soit 'P un morphisme uniforme sur {a, b} et soit /1 le morphisme de Thue-Morse. On a que

(i) 'P 0 /1 est de classe E-P {==} 'P est de la forme al-> qx, b 1-> qE(x) où q est un antipalindrome.

(ii) 'P est de classe E-P {==} 'P 0 /1 est de la forme a 1-> qx, br-'> qE(x) où q est un antipalindrome.