University de Sherbrooke
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UNWERSrrfi DE SHERBROOKE
Faculte des sciences appliquees Departement de genie mecanique
tYO.-o1^1
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MOBILISATION VIBROACOUSTIQUE
DANS LE DOMAJNE DES MOYENNES FR^QUENCES
PAR &J&MENTS FENIS DE TYPE P
These de Doctorat es sciences appliquees Specialite: genie mecanique
Andre COTE
Resume
Cette these de doctorat s'interesse a la modelisation numerique de problemes de vibration, d'acoustique et de vibroacoustique iaterieure. Un des problemes majeurs de la modelisation nume-rique sur ces types de problemes a I'heure actuelle est I'atteinte des moyennes frequences. En effet, les mefhodes actuelles permettent de calculer en basses frequences mais demandent des ressources infor-matiques trop grandes pour permettre d'obtenrr la reponse en moyennes frequences. L'objectif prin-cipal de cette these est done de developper une methode, efficace et rapide, qui permette d'at-teindre les moyennes frequences.
Recemment, un nouveau type d'elements finis a gagne en popularite (Babuska et Szabo, 1982). Ces nouveaux elements, appeles les elements fmis de type p, ont ete developpes et etudies sur des proble-mes de statique ou ils ont montre une tres grande efficacite par rapport aux elements finis classiques. D'autre part, les elements finis de type p n'ont presque pas ete utilises pour les problemes de vibration, etjamais pour les problemes d'acoustique et de vibroacoustique. Cette these de doctorat utilise done la methode des elements finis de type p pour atteindre Fobjectiffixe.
Les travaux de recherches discutes dans ce document montrent que les elements finis de type p peu-vent s'appliquer au calcul des problemes de vibration, d'acoustique et de vibroacoustique interieure. De plus, la methode de type p offi-e certaines flexibilites utiles dans Ie choix de la base d'approxima-tion, notamment au niveau du couplage fluide-stmcture (bases d'approximations differentes). Afm de permettre 1'etude pratique des elements finis de type p, de nouveaux elements fmis sont developpes soit, 1'element de plaque, Felement de poutre et 1'element acoustique 3D de type p.
L'etude pratique de cette these touche deux points avant de s'attaquer aux moyennes frequences, soit les proprietes de convergence et la performance des elements finis de type p. Cette these montre que les elements de type p possedent une tres bonne convergence pour les problemes de vibration,
d'acous-tique et de vibroacousd'acous-tique interieure. De plus, ils s'averent en moyenne lOfois moins gourmands en espace memoire que les elements classiques et 3foisplus rapides. Ce gain d'efficacite et de rapidite permet Ie calcul en moyennes frequences avec la puissance des ordinateurs d'aujourd'hui. En effet, les problemes traites dans cette these possedent des bases modales jusqu'a plus de 2000 modes et presentent de tres bonnes comparaisons avec la methode "hautes frequences" S.E.A. Par centre, Ie calcul ne se fait pas d'une maniere rapide. En effet, Ie temps d'integration des polynomes d'approximation est tres long. De plus, les approches actuelles de resolution sont mal adaptees au cas des moyennes frequences et resultent en des calculs couteux.
En somme, cette these de doctorat montre que les elements finis de type p permettent Ie calcul en moyeanes frequences contrairement aux elements fmis classiques. Cependant, il reste a rendre ce cal-cul plus rapide en developpant de nouvelles mefhodes d'integration et des nouvelles strategies de re-solution.
Remerciements
Durant cette these de doctoratj'ai eu la chance de cotoyer des gens qui m'ont apporte beaucoup. J'ai-merais prendre un temps ici pour leur temoigner toute ma gratitude.
Tout d'abord, j'aimerais remercier mes directeurs de these, les professeurs Fran9ois Charron et Nou-reddine Atalla. J'ai beaucoup apprecie nos discussions, et vos conseils ont toujours ete d'une grande utilite. Je tiens aussi a souligner votre incroyable disponibilite. Avec la charge de travail que vous vous imposez, je me demande parfbis comment vous faites.
Je remercie profondement aussi Ie professeur Jean Nicolas, Directeur du Groupe d'Acoustique et vi-brations de ITJniversite de Sherbrooke et Vice-Recteur a la recherche a 1'Universite de Sherbrooke, qui m'a initie au monde de la recherche. Tu m'as beaucoup aide Jean par tes conseils et tes encourage-ments. Tous les membres du G.A.U.S. sont tres chanceux d'avoir un chef de ton calibre.
Je suis tres reconnaissant envers Ie professeur Alain Berry et Ie professeur extraordinaire de Liege Mi-chel Geradin, Chef de 1'unite Mecanique Stmcturelle de 1'I.S.I.S. au Centre Communautaire de Recher-che a Ispra, pour m'avoir fait 1'honneur d'etre membres du jury.
II y a plusieurs autres personnes que je tiens a saluer et remercier. Je pense a Martin Gagnon, Alain Veilleux et Paul Champagne pour leur support au niveau infomiatique, et a Use Morency pour Ie sup-port au niveau administratif. Je pense aussi a Sylvie Gorog et Raymond Panneton pour les discussions fort interessantes et bien sur a tous les membres du G.A.U.S. pour 1'ambiance qu'ils ont su creer.
Table des matieres
1 INTRODUCTION 1
!JPROBLEMESRENCO>m^S...^
1J.1 Description detaillee de la geometric desstructures...^ 2
1.1.2 Large domaine frequentiel: forte capacited'approximationnecessaire... 3
1.1.3 Large domaine frequentiel: phenomenesphysiquesmalconnus... 3
I^PROBLEMATIQUEVISEEETOBJECTEFDELATHESE...^ 1JPERTINENCEDUPROJET DE RECHERCHE... ^ 14 ORGANISATION DE IATOESE ...^
2 REVUE DE LA UTTERATURE 6
2.1 RAPPEL DE LA METHODEDES ELEMENTS FINIS EN VIBROACOUSTIQUE ... 722 LA FORMUIATIONVARIATIONNELLE...^ 2.2 J Problemes de vibration...^ 9 2.2.2 Problemesacoustiques...^ 10 2.2.3 Problemesvibroacoustiques...^ 10 22.4 Resume surlesformulattomvariationnelles...^ 13 2JLES6u6MENTSFMSDET?EP...^ 23.7 D^^n...^ 23.2 Lesproprietes de convergence de la solution...^ 17
2 J.3 Inteyationnumerique...^ 23.4 Modelisatton de plaques...^ 23.5 Modelisation de poutres et de plaques raidies... ^ 23.6 Lesresultats en dynamique...^ 30
2.3.7 Resume sur les elements fmis de typep... 31
2.4 LES TECHNIQUES DE RESOLUTION... 2.4.1 Leproblemeaicx valeurspropres...^ 2.4.2 Laresolutton de systemeslineaires...^ 36
2,4.3 La repome en frequence...^ 2.4.4 Resume surles techniques (^resolution.,...^ 44
2.5 SYNTHESE DE LA REVUE BBLIOGRAPfflQUE...
2.5.7 Cadre de I'etude, hypotheses et limitations... 46
2.5.2 Approches choisies...^ 47
2.6 LESOBJECTIFSSECO>TOAIRES DE IA THESE...^
3 LES ELEMENTS FINIS DE TYPE P 51
3 JLAFORMUIATIONVARIATIONNELLE... 32 LA DISCREHSATIONPARLESEJ. DE T?E P...^ 3.2.1 Lemaillagedes domainesdufluideet de la structure... 533.2.2 La definition geometriquedes elements...^ 54
3.2.3 L'elementqua<^ilateral de plaque...^ 56 3.2.4 L'elementlineique de poutre...^ 62 3.2.5 L'elementhexahe^eacoustique...^ 68 3.2.6 Lechargement...^ 71 3.2 J La continuiteinter-elementaire...^ 71 3.2.8 Lecouplagefluide-stmcture...^ 73
3.2.9 L'assemblagedes matrices etvecteurs elementaires...^ 75
3.2 JO Lesconditiomlimites...^ 75 33 I^R^OLimON... 33.1 Laresolutiondu systemelineaire...^^ 77 3.3.2 Larecomtniction de la solution...,,...^ 79 34 LA FLEXBILTT6 DE LA DISCRETISATIONDET^EP... SJCONCLUSION...^
4 : ETUDE DE LA CONVERGENCE ET DE LA QUALITE DE LA SOLUTION 87
4JLESPROBLEMES DE VBRATION... 4.1.1 Les mdicatews en vibration...^ 894J.2Lesmodelesnumeriques...^ 93
4.1.3 Laplaquerectangulaire...^ 4.1.4 Laplaqueraidie...^ 105
^7.5^^/1^6^^...^ 42LESPROBLfeMESACOUSTIQUES...» 4.2.1 Les indicateurs acoiistiques...^ 115
4.2.2 Lesmodelesnumeriques...^ 116
4.2.4 La ccwiterigide en L,...^ 121 4JLESPROBLENffiSVBROACOUSnQUES ... 1 4.3.1 Les indicateursvibroacoustiques...^ 124 4.3.2 Lemodele numerique...^ 125 43.3 Lecaisson fl.exible...^ 127 44 CONCLUSION...^
5 LA PERFORMANCE DES ELEMENTS NNIS DE TYPE P 134
5 JLESPARAMETRESDEFINISSAOTIAPERFORMANCE... 5.2 LESPROBLEMES DE VBRATION ...^ 5.2.1 Rappeldes problemes-testset definition desmodeles... 1395.2.2 Laplaquerectangulaire...^ 140
5.2.3 La plaque raidie...^ 142
5.2.4 La plaque en L...^ 144
SJLESPROBLEMESACOUSTIQUES...^ 5.3.1 Rappel des problemes-testset definition desmodeles... 146
53.2 La cwiteparallepipedique...^ 147
5.3.3 La cavite en L...^ 149
54 LESPROBLEMESVIBROACOUSHQUES... 5.4 J Rappeldu probleme-testet definition desmodeles... 151
5.4.2 Lecaisson flexible...^ 152
5.5 CONCLUSION...^
6 ETUDE EN MOYENNES FREQUENCES 155
6J RESUME DE LA METHODE SEA...^ 6.2 LESPROBLEMES DE VBRATION ...^ 6.2 J La plaque rect(mg^laire...^ 158 6.2.2 Laplaqueraidie...^ 6.2.3 Laplaque en L...^ 163 63LESPROBLEMESACOUSTIQUES...^ 63 J La caviteparallepipedique...^ 166 6 J.2 La cavite en L...^ 169 64 LEPROBLfeMEVBROACOUSTIQUE... 6A1 Lecaisson flexible...^ 172CONCLUSION...^
ANNEXE A...
ANNEXEB...^^^^^^
ANNEXE C...^
Liste des figures
FIGURE2.1 — PRINCIPEDECONVERGENCEDELASOLUTIONDESTROISMETHODESDESELEMENTSFINIS... 15
FIGURE 2.2 — MAILLAGES ET SOLUTTONS. A) SOLUTION COMPRENANT UNE SINGULARTTE (ZONE GRISE) B) MAILLAGE UNIFORME C)MAILLAGENON-UNTORME... 18
FIGURE 2.3 — LA CONVERGENCE DES ELEMENTS FINIS DE TYPE P (A) SEQUENCE DE MAILLAGE OPTIMAL OU CONVERGENCE DE TyPE?P(B) UN SEULMAILLAGEADAFTE... 21
FIGURE 2.4 — PRINCDPE DE REORGANISATION DES DEGRES DE UBERTE POUR LIMFTER LE REMPLISSAGE LORS DE LA FACTORISATION A = LC/. A) SANS REORGANISATION B)AVEC REORGANISATION... 37
RGURE2.5 — LEPRECO^romON?MENTPOURLESELEMENTSPSELONMANDEL(1990)A)SCHEMADELAMATRICE^ DUSYSTEME LlEAKEB) SCHEMADELAMATRICEDEPRECONDmONNEMENTCD'ORDRE 1 ...40
FIGURE 3.1 — MAILLAGE D'UNE PLAQUE RAYONNANT DANS UNECAVTFERIGBDE ... 53
FIGURE 3.2 — TRANSFORMATION GEOMETRIQUE DEL'ELEMENT PHYSIQUE A L'EL^MENT DE REFERENCE... 54
FIGURE 3.3 — LE CHAMP DEDEPLACEMENTPOURLAPLAQUE... 57
FIGURE 3.4 — L'ELEMENTQUADRILATfiRALDE REFERENCE... 60
FIGURE 3.5 — LEMODEDENOEUD4POURUN6LEMENT2D...60
FIGURE3.6 — MODEDEC6TCl-2QUADRATIQUE...^ FIGURES.? — MODE DE FACE CUBIQUE-QUADRATIQUE...61
FIGURE3.8 — LECHAMPDEDEPLACEMENTPOURLAPOUTRE...63
FIGURE3.9 — INTERFACEPLAQUE-RAIDISSEIM... FIGURES.10— L'EI^MENTLINEIQUEDEREFERENCE... FIGURE 3.11 — EXEMPLE DE MODE DENOEUD:LE MODE DE NOEUD2... 67
FIGURE 3.12— EXEMPLE DE MODE DE COTE:LE MODE DE COTEQUADRATIQUE... 67
FIGURES.13 — L'ELEMENTHEXAHEDRE DE REFERENCE... 69
FIGURE 3.14 — LA CONTINUTTE INTER-ELEMENTAIRE. (A) AMPLmjDES NODALES EQmVALENTES SEULEMENT (B) AMPUTUDESNODALESETDES MODES DE COTESEQUIVALENTES... 72
FIGURE 3.15— UNE PLAQUE RAYONNANT DANS UNE CAVTTE PARALLEPIPEDIQUE AVEC DES BASES D'APPROXIMATION DIFFERENTES... FIGURES.16— LE RESPECT DESCONDmONSLIMTTES. (A)PLAQUERECTANGULAIREENPORTE-A-FAUXMODELISEE AVEC 8 ELEMENTS (B) LESFONCTIONS DE FORMEANNULEES PAR L'ENCASTREMENT... 76
FIGURE 3.17 — LA CONTTNUTTE INTER-fiLEMENTAIRE VERSUS L'ORDRE D'APPROXIMATION VARIABLE D'UN ELEMENT A L'AUTRE. (A) ORDRE D'APPROXIMATION POUR CHAQUE ELEMENT (B) ORDRE DES MODES DE COTES POUR ASSURERIACONTINUHE1NTER-ELEMENTAIRE... 83
FIGURES.18— EXEMPLED'UNECAVTTEACOUSTIQUED'EPAISSEURFAIBLE... 84
FIGURE4.2 — LAPIAQUERAIDE...
FIGURE4.3 — LAPLAQUE EN L...
FIGURE 4.4 — QUELQUESEXEMPLES DE MAILLAGES POUR LESMODELES DE PLAQUES... 95
FIGURE4.5 — L'ANALYSEMODALE POUR LA PLAQUE RECTANGULAIRE: LEMODE5...97
FIGURE 4.6 — AGRANDISSEMENT SUR L'ANALYSE MODALE POUR LA PLAQUE RECTANGULAIRE AVEC LES ELEMENTS FMS DE TYPE^...^ FIGURE4.7 — LA REPONSE EN FREQUENCE PAR LES ELEMENTS FINIS DE TYPE P POUR LA PLAQUE RECTANGULAKE... 101
FIGURE 4.8 — LA REPONSE EN FREQUENCE PAR LES ELEMENTS FINIS DE TYPE 7f POUR LA PLAQUE RECTANGULAIRE ... 102
FIGURE 4.9 — LA VTTESSE QUADRATIQUE DE LA PLAQUE RECTANGULAIRE AVEC AGRANDISSEMENT AUTOUR DU MODE 5...^ FIGURE 4.10.— SCHEMA D'UNE DEFORMEE DE MODE ET DE SON APPROXIMATION PAR ELEMENT FTNIS : DEUX POINTS AYEC LA M6ME ERREURABSOLUE MAIS DES ERREURS RELATTVES TOES DIFFERENTES... 103
FIGURE 4.11 — L'ANALYSEMODALEPOURLAPLAQUERAIDIE:LEMODE5... 105
FIGURE4.12 — LA VTIESSEQUADRATIQUEPARLES ELEMENTS FINIS DE TyPEPPOURLAPLAQUERAIDIE... 107
FIGURE4.13 — LA VTTESSEQUADRATIQUE PAR LES ELEMENTS FINIS DE T^PE^POUR LA PLAQUE RAIDffi... 108
FIGURE 4.14 — L'ANALYSEMODALE POUR LA PLAQUE EN L: LE MODE 1. ... 109
FIGURE 4.15— L'ANALYSEMODALEPOURLAPLAQUE EN L:LEMODE3... 110
FIGURE 4.16 — L'ANALYSE MODALE POUR LA PLAQUE EN L (MAILLAGEREGUUERETRAFFDME): MODE 1... Ill FIGURE 4.17— LA VTTESSE QUADRATIQUE PAR LES ELEMENTS HNIS DE TyPEP POUR LA PLAQUE B^L...113
FIGURE4.18 — LA VTIESSEQUADRATIQUE PAR LES ELEMENTS F1MS DE TyPE^POUR LA PLAQUE EN L... 113
FIGURE 4.19 — LES PROBLEMES-TESTS POUR L'ETUDE ACOUSTIQUE: UNE CAVTTE PARALLEPIPEDIQUE ET UNE CAVTTE ENL...^ FIGURE4.20 — L'ANALYSEMODALEPOURLACAVTTEPARALLEPIPEDIQUE: LE MODE 11... 118
FIGURE 4.21 — LA REPONSE EN FREQUENCE POUR LA CAVTTE PARALLEPIPEDIQUE RIGBDE PAR LES ELEMENTS FINIS DE TCTC P...^ FIGURE 4.22 — LA REPONSE EN FREQUENCE POUR LA CAVTTE PARALLEPIPEDIQUE PAR LES ELEMENTS FINIS DE TyPE H... 120
FIGURE 4.23 — L'ANALYSEMODALEPOURLACAVTTEENL: LE MODE 10... 121
FIGURE 4.24 — LA PRESSION QUADRATIQUE PAR LES ELEMENTS FINIS DE TyPEP POUR LA CAVTT6 EN L... 122
FIGURE 4.25 — LAPRESSIONQUADRATIQUEPARLES ELEMENTS FINIS DE TyPE^POURIACAVmEENL... 123
FIGURE 4.26 — LEPROBLEME-TESTPOURL'ETUDEVBROACOUSTIQUE: LECAISSONFLEXBLE... 126
FIGURE 4.27— L'ANALYSEMODALEPOURCAISSONFLEXCBLE... 127
FIGURE 4.28 — LA REPONSE EN FREQUENCE POUR LA STRUCTURE DU CAISSON FLEXIBLE PAR LES ELEMENTS RNIS DE
TCT^ ?...„
FIGURE 4.29 — LA REPONSE EN FREQUENCE POUR LA STRUCTURE DU CAISSON FLEXIBLE PAR LES ELEMENTS FINIS DE
T^TE^ ...
FIGURE 4.30 — LAREPONSE EN FREQUENCEE POUR LE FLUIDE DU CAISSON FLEXBLE PAR LES ELEMENTS FINIS DE
FIGURE 4.31 — LA REPONSE EN FREQUENCEE POUR LE FLUIDE DU CAISSON FLEXBLE PAR LES ELEMENTS FINIS DE
TYPE^ ...
FIGURE 5.1 — SCHEMADEL'EVOLUTIONDEL'ESPACENIEMOIRE UTILISE... 135
FIGURE 5.2 — RAPPELDESPROBLEMES-TESTSPOURLESPROBLEMES DE VIBRATION... 139
FIGURE 5.3 — LA PERFORMANCE AVECLESPARAMETRESD'ESPACEMEMOIRE POUR LA PLAQUE RECTANGULAIRE... 140
FIGURE 5.4 — LAPERFORMANCEENTEMPSPOURLAPLAQUERECTANGULAffiE... 141 FIGURE5.5 — LAPERFORMANCEAVECLESPARAMETRESD'ESPACEMEMOIREPOURLAPLAQUERAIDIE... 143 FIGURE5.6 — DEUXMAILLAGESPOURLAPLAQUERAIDBE... 143 FIGURE 5.7 — LAPERFORMANCEENTEMPSPOURLAPLAQUERAIDIE... 144 FIGURE 5.8 — LAPERFORMANCEAVECLESPARAMfeTOESD'ESPACEMEMOIREPOURLAPLAQUEENL... 145 FIGURE 5.9 — LAPERFORMANCEENTEMPSPOURLAPLAQUEENL... 146 FIGURE 5.10 — RAPPELDESPROBLEMES-TESTSPOURLESPROBLEMESD'ACOUSTIQUE ... 147 RGURE5.11 — LAPERFORMANCEAVECLESPARAMETRESD'ESPACEMEMOIREPOURLACAVTTEPARALLEPIPEDIQUE... 148 FIGURE 5.12— LAPERFORMANCEENTEMPSPOURLACAVTIEPARALLEPIPEDIQUE... 149
FIGURE5.13 — LAPERFORMANCE AVEC LES PARAMETRESD'ESPACEMEMOBRE POUR LA CAVTTE EN L... 150
FIGURE 5.14— LAPERFORMANCEENTCMPSPOURLACAVTTEENL... 150
FIGURE5.15 — RAPPELDUPROBLEME-TEST(LECAISSONFLEXBLE)POURLESPROBLEMESVIBROACOUSTIQUES... 151
RGURE5.16— LA PERFORMANCE EN ESPACEMEMOIRE POUR LECAISSONFLEXBLE... 152
FIGURE 5.17— LAPERFORMANCEENTEMPSPOURLECAISSONFLEXBLE...153
FIGURE 6.1 — RAPPEL DES PROBLEMES-TESTS POUR LESPROBLEMES DE VBRA.TION... 158
FIGURE 6.2 — LA RJ&PONSE EN BASSES ET MOYENNES FRJ3QUENCES EN BANDES FINES POUR LA PLAQUE RECTANGULARE... FIGURE 6.3 — COMPARAISON ENTRE LES ELEMENTS FINIS DE TYPE PET LA METHODE S.E.A EN TIERS D'OCTAVE POUR LAPLAQUERECTANGUIAKE...^ FIGURE 6.4 — LA REPONSE EN BASSES ET MOYENNES FREQUENCES EN BANDES FINES POUR LA PLAQUE RABDIE... 161
FIGURE 6.5 — COMPARAISON ENTRE LES ELEMENTS FINIS DE TyPE P ET LA METHODE S.E.A. EN TIERS D'OCTAVE POUR IA PLAQUE RATOIE...^ FIGURE6.6 — LA REPONSE EN BASSES ETMOYENNESFREQUENCES EN BANDES FINES POUR LA PLAQUE EN L... 164
FIGURE 6.7 — COMPARAISON ENTRE LES ELEMENTS FINIS DE TyPE P ET LA METHODE S.E.A EN TIERS D'OCTAVE POUR LAPLAQUE EN L...^ RGURE6.8 — RAPPELDESPROBLEMES-TESTSPOURLESPROBLEMESD'ACOUSTIQUE... 166
FIGURE 6.9 — LA REPONSE EN BASSES ET MOYENNES FREQUENCES EN BANDES FINES POUR LA CAVTTE PARALI^PIPEDIQUE... FIGURE 6.10 — AGRANDISSEMENT DE LA REPONSE EN FREQUENCE POUR LA CAVTTE PARALLEPIPEDIQUE : LES BASSES ET LESMOYENNESFREQUENCES... 167
FIGURE 6.11 — COMPARAISON ENTRE LES ELEMENTS FINIS DE T?E P ET LA METHODE S.E.A EN TIERS D'OCTAVE POUR
RGURE6.12— LAREPONSE EN BASSES ET MOYENNES FREQUENCES EN BANDES FINES POUR LA CAVTTE EN L... 170
FIGURE 6.13 — COMPARAISON ENTRE LES ELEMENTS FINIS DE TYPE P ET LA METHODE S.E.A EN TIERS D'OCTAVE POUR
LA CAVTTE EN L...
FIGURE6.14 — RAPPELDUPROBLEME-TEST(LECAISSON FLEXIBLE) POURLESPROBLEMESVIBROACOUSTIQUES... 171
FIGURE 6.15 — LA REPONSE EN BASSES ET MOYENNES FREQUENCES EN BANDES FINES POUR LA STRUCTURE DU
CAISSON...^
FIGURE 6.16 — LA REPONSE EN BASSES ET MOYENNES FREQUENCES EN BANDES FINES POUR LE FLUGDE DU CAISSON... 173 FIGURE 6.17 — COMPARAISON ENTRE LES ELEMENTS FINIS DE TYPE P ET LA METHODE S.E.A EN TIERS D'OCTAVE POUR
LA STRUCTURE DUCAISSON... 174
FIGURE 6.18— COMPARAISON ENTRE LES ELEMENTS FINIS DE TO>E P ET LA METHODE S.E.A EN TIERS D'OCTAVE POUR
Liste des tableaux
TABLEAU 2.1 — AVANTAGES ET INCONVENIENTS DES TROIS FORMULATIONS VIBROACOUSTIQUES RETENUES... 13
TABLEAU 2.2 — RESUME DES PROPRIETES DE CONVERGENCE DES TROIS METHODES DES ELEMENTS FINIS... 22
TABLEAU 2.3 — LES CARACTERISTIQUES DES METHODES D'ARNOLDI ET DE LANCZOS ... 35
TABLEAU 2.4 — LESCARACTERISTIQUESDUGRADIENTCONJUGUE(CG)ETDURESIDU MINIMAL GENERALISE (GMRES)...^^ TABLEAU 2.5 — COMPARAISONDES DIFFERENTES APPROCHES POUROBTENIRLAREPONSEENFREQUENCE...45
TABLEAU 2.6 — APPROCHESCHOISIES POUR LESPROBLEMES DE VBRATIONETD'ACOUSTIQUE... 47
TABLEAU 2.7 — APPROCHESCHOISIESPOURLESPROBLEMES DE VBROACOUSTIQUE... 48
TABLEAU 3.1— LlSTE DES MODES A AJUSTER POUR ASSURER LA CONTINUTTE INTER-ELEMENTAffiE SELON LE TfPE D'ELEMEOT...^ TABLEAU 4.1 — LES MODULES DE PLAQUES UTILISES POURLES PROBLEMES DE VBRATON... 96
TABLEAU 4.2 — LESCARACTERISTIQUESDESMODELESACOUSTIQUES...117
TABLEAU 4.3 — LES CARACTERISTIQUES DES MODELES VIBROACOUSTIQUES ... 126
TABLEAU 5.1 — CARACTERISTIQUES DE L'ESPACEMEMOIREPRISPARLESMETHODES DE RESOLUnON... 136
TABLEAU 5.2 — LESCARACTEMSTIQUES DE L'ORDINATEUR UTILISE POUR LA COMPARAISONTEMPORELLE... 138
TABLEAU 5.3 — LESMODELESPOURLESPROBLEMES-TESTS DE VIBRATION... 140
TABLEAU 5.4 — LESMODELESPOURLESPROBLfeMES-TESTSD'ACOUSTIQUE... 147
TABLEAU 5.5 — LES MODULES POURLESPROBIAMES-TESTSD'ACOUSTIQUE... 151
TABLEAU 5.6 — RATIO DU NOMBRE DE MODES CONVERGES PAR LA METHODE DE TyPE P VERSUS LA METHODE DE TyPE^POURUNEMfiMEVALEUR DE PARAMETRE... 154
TABLEAU 6.1— CARACTERISTIQUES DE LA MODELISATON DE LA PLAQUE KECTANGULAIRE EN BASSES ET MOYENNESFREQUENCES...!^^ TABLEAU 6.2 — CARACTERISTIQUES DE LA MODELISATON DE LA PLAQUE RATOIE EN BASSES ET MOYENNES FREQUENCES...^ TABLEAU 6.3 — CARACTBRISTIQUES DE LA MODEUSATION DE LA PLAQUE EN L EN BASSES ET MOYENNES FREQUENCES... TABLEAU 6.4 — CARACTERISTIQUES DE LA MODEUSATON DE LA CAVTTE PARALLEPIPEDIQUE EN BASSES ET MOYENNESFREQUENCES...^ TABLEAU 6.5 — CARACTERISTIQUES DE LAMODEUSATON DE LA CAVTTE EN L EN BASSES ET MOYENNES FREQUENCES...^ TABLEAU 6.6 — CARACTERISTIQUESDELAMODEUSATIONDUCAISSONENBASSESETMOYENNESFREQUENCES ...175
Chapitre 1
Introduction
Au milieu du siecle, 1'apparition des ordinateurs a fait naTtre un nouveau domaine de ringeniene: la modelisation numerique. Ce domaine, principalement utilise comme aide a la conception et a la com-prehension de phenomenes physiques, s'insere maititenant comme troisieme branche de 1'mgenierie, entre la theorie et Fexperimentation.
Comme son nom 1'indique, la modelisation numerique consiste en un modele sur ordinateur approxi-mant un systeme physique. Selon la generation du modele, il existe deux classes de modelisation nu-merique. H y a les modeles dits semi-analydques qui s'appuient sur des calculs analytiques, mais dont la resolution finale est faite a 1'aide d'outils numeriques. La mefhode de Rayleigh-Ritz en est un exem-pie. H y a aussi les modeles dits numeriques qui ne s'appuient presque pas sur des developpements analytiques. Ce demier type de modele est tres populaire parce qu'il pennet de creer des logiciels ver-satiles et robustes, au sens ou ils peuvent traiter des problemes tres differents sans perte de precision, et aussi tres conviviaux. La methode des elements finis est certes la methode numerique la plus connue et la plus utilisee de nos jours. Pour cette raison, cette these de doctorat ne s'interesse qu'a la mefhode des elements finis pour modeliser numeriquement les problemes physiques.
Les elements finis peuvent s'appliquer a differents domames de 1'ingenierie: Ie magnetisme, les echan-ges de chaleurs, les structures, etc. Les problemes de vibroacoustique, qui font intervenir a la fois une stmcture et un domaine fluide, ne font pas exception. Ces problemes sont divises en trois categories:
Les modules purement analytiques sont tr^s limit^s et s'ins&rent plutot dans la composante "theorie" de I'ing^nierie que dans la mod61isadon num6rique.
les problemes interieurs, les problemes exterieurs et les problemes interieurs-exterieurs. Un probleme interieur est un probleme dont Ie fluide est compris a 1'interieur d'lme stmcture (la navette spatiale, un local, etc.). A 1'autre extreme, Ie probleme exterieur presente une stmcture dans un fluide dit infini, c'est-a-dire ou I'on suppose que les ondes acoustiques sont libres de propagation. Les conditions limi-tes pour ces deux problemes sont differenlimi-tes et necessitent, par consequent, des approches differenlimi-tes pour la resolution. Enfm, les problemes interieurs-exterieurs combinent ces deux notions. La plupart des applications sont de ce type (avion, automobile,etc.). Toutefois, tous ces types de problemes sont particuliers du fait que leur solution depend de la frequence d'excitation. La modelisation numerique de tels problemes doit s'ajuster en consequence. Le modele doit toujours avoir la capacite d'approxi-mation necessaire pour capter les phenomenes physiques en presence. Dans Ie cas de problemes vi-broacoustiques, la modelisation doit avoir une capacite d'approximation de plus en plus forte a mesure que la frequence d'excitation augmente.
1.1 Problemes rencontres
La complexite de la modelisation numerique des problemes de stmcture, acoustique ou vibroacousti-que a augmente significativement ces demieres annees avec la venue des logiciels d'elements finis robustes. Cette complexite vient principalement de la description detaillee des geometries des stmctu-res et de la prise en compte d'un plus large domaine de frequence d'excitation. Voici les problemes associes a chacun de ces points.
1.1.1 Description detaillee de la geometric des structures
Une structure est souvent un assemblage d'elements de geometric complexe avec plusieurs sous-composantes. Un avion, une automobile, etc. sont tous des exemples de structures tres complexes. La modelisation detaillee de telles sfa-uctu-es demande d'enomies ressources mformatiques, sans compter I'investissement substantiel en temps par 1'utilisateur pour simplement decrire la stmcture.
1.1.2 Large domaine frequentiel: forte capacite d'approximation necessaire
Le comportement des systemes vibroacoustiques presente d'importantes fluctuations tant en espace qu'en amplitude lorsque la frequence devient elevee. La quantite d'informations necessaires pour saisir ce comportement devient rapidement gigantesque. H s'agit en quelques sortes d'un deuxieme palier de details necessaire a la modelisation, ou Ie premier palier est la description de la geometne de la struc-ture. En consequence, les ressources informatiques requises sont doublement importantes pour les problemes vibroacoustiques lorsque Ie domaine d'excitation est tres large.
En relation avec cette difficulte, Ie domaine jfrequentiel est souvent classe en trois sous-domaines: les basses, les moyennes et les hautes frequences. Les basses jfrequences comportent des solutions qui sont relativement faciles a approximer avec une tres grande precision. La reponse est de type modale (modes distincts) et peu de modes sont necessaires pour obtenir la solution. Par conta-e, dans Ie do-maiae des moyennes frequences plusieurs modes sont necessaires pour decrire la solution. La distinc-tion des modes n'est plus tres claire. La resoludistinc-tion dans ce domaine devient tres couteuse. Enfin, dans Ie domaine des hautes fi-equences Ie nombre de modes est en general tres grand et ces demiers ont ten-dances a se recouvrir, c'est-a-dire qu'il n'est plus possible de bien distinguer les modes. Dans ce do-maine de frequence, il est plus avantageux de quantifier, ghbalement, la reponse par des mefhodes statistiques (S.E.A.).
1.1.3 Large domaine frequentiel: phenomenes physiques mal connus
La resolution de problemes pour des frequences elevees comporte d'autres difficultes tres importantes. En effet, les proprietes des materiaux, les conditions limites, et les details a considerer ( ou a negliger) de la structure sont tres mal connus pour ces frequences. Bref, il est tres difficile de savoir comment modeliser a ces fi-equences.
1.2 Problematique visee et objectifde la these
De la discussion precedente, deux problemes bien precis apparaissent. D'une part, il y a la difficulte de produire des modeles complexes, tant au niveau de la geometric que du domaine fi-equentiel, qui de-mandent des ressources raisonnables pour la resolution. D'autre part, il y a la difficulte de reproduire les proprietes et phenomenes mal connus des problemes vibroacoustiques amc frequences elevees. Ce prqjet de recherche s'interesse au premier probleme: la generation de modeles ef&caces. H apparaTt naturel de developper un outil permettant de calculer la reponse aux jfrequences elevees, avant de vou-loir analyser les phenomenes physiques presents a ces frequences. Afm de limiter la presence de parti-cularites mal connues aux frequences elevees, la geometrie des domaines restera simple. De plus, seul Ie probleme vibroacoustique interieur est traite.
En consequence, Ie but de ce projet de recherche reside dans Ie developpement (Tune nouvelle methode d'elements finis efficace et rapide pour les problemes de vibration, d'acoustique et de vibroacoustique mterieure afin d'atteindre les moyennes frequences.
L'expression "efficace et rapide" est definie comme suit. L'ef&cacite mesure la quantite d'mformations necessaires et Ie nombre d'operations necessaire a la resolution par rapport a la taille du probleme trai-te. Une methode efficace est done une mefhode qui pour un probleme doime demande peu d'mforma-tions et de calculs. L'efficacite d'une methode a une influence sur sa rapidite qui est Ie temps neces-saire a la resolution du probleme. H est a noter que 1'efficacite est une mesure plus precise que la rapi-dite puisque cette demiere depend aussi de la puissance de I'ordmateur utilise et de la qualite de la pro-grammation du code. Cependant, 1'utilisateur d'un logiciel est beaucoup plus sensible a la rapidite d'une methode qu'a son efficacite. La notion de rapidite est done conservee bien que 1'accent soit mis sur I'efficacite.
1.3 Pertinence du projet de recherche
L'augmentation rapide de la puissance des ordiaateurs suggere un questionnement sur la validite de 1'objectif de cette these; la problematique visee ne se resorbera-t-elle pas d'elle-meme lorsque les
ordi-nateurs seront assez puissants ? Theoriquement, la reponse a cette question est positive. Pratiquement, elle ne 1'est pas pour deux raisons. Premierement, la modelisation numerique a encore de gigantesques pas a faire avant Ie pouvoir satisfaire completement les modelisateurs. Deuxiemement, la croissance de la demande en ressources infomiatiques en fonction de la complexite des modeles est phenomenale. Ce demier point suggere fortement que les methodes actuelles sont mal adaptees aux complexites et problematiques auxquelles font face les modelisateurs. En consequence, considerant 1'etat de la mode-lisation d'aujourd'hui et les mefhodes actuelles de calculs, il n'est pas envisageable dans un avenir rap-proche de voir les analystes considerer des modeles approximant des produits complexes. Le develop-pement de nouvelles fomiulations plus efficaces est done necessaire.
1.4 Organisation de la these
Cette these de doctorat est organisee ainsi. Le chapitre 2 effectue une revue de la litterature sur tous les points inherents a la modelisation vibroacoustique en moyennes frequences, c'est-a-dire la formulation variationnelle, les elements finis et les techniques de resolutions. Une nouvelle mefhode d'elements finis tres efficaces, la methode des elements firds de type p, y est notamment presentee. Le chapitre 2 se termine avec une syafhese de la revue de la litterature permettant de cibler les chouc et de definir des objectifs specifiques pour cette recherche. Le chapitre 3 poursuit en presentant la theorie et la mecaai-que de la discretisation par les elements finis de type p. Le chapitre 4 presente les premiers resultats de cette recherche avec une ehide sur la convergence de la solution. Notamment, ce chapitre defmit des indicateurs de convergence speciaux pour les problemes de vibroacoustique. Le chapitre 5 poursuit en faisant 1'etude de la performance des elements finis de type p en utilisant des parametres caracterisant 1'espace memoire et Ie temps requis. Finalement, Ie chapitre 6 montre la capacite de calcul en moyen-nes frequences des elements finis de type p a 1'aide de comparaisons avec la mefhode «hautes frequen-ces » S.E.A. (Statistical Energy Analysis ).
Chapitre 2
Revue de la litterature
Tel que vu au paragraphe precedent 1'objectifde ce projet de recherche est de developper une methode d'elements finis efficace et rapide pour les problemes de vibration, d'acoustique et de vibroacoustique interieur afin d'atteindre les moyennes frequences. Au debut des annees 1980, une nouvelle categorie d'elements fmis, appele les elements finis de type p, a gagne en populante. Ces nouveaux elements frnis ont montre une tres grande efficacite pour les problemes de statique (Babuska et Szabo, 1982). Us s'averent done fort interessants pour I'etude en cours. Ce chapitre a pour but de defmtr 1'etat des coimaissances au sujet de ces nouveaux elements finis mais aussi sur les domaines complementaires aux elements finis lors de la modelisation numerique, c'est-a-dire la fonnulation variationnelle et les techniques de resolution de systemes d'equations. Cette revue pennet en outre de bien agencer toutes les composantes de la modelisation numerique et de determiner les nouvelles etapes a franchir pour atteindre 1'objectifde la these.
Le chapitre est constmit comme ceci. Dans un premier temps, un rappel de la methode des elements finis dans son ensemble est donne. Par la suite, chaque sous-section de la mefhode est revue en discu-tant de I'etat des connaissances a son sujet. Tout d'abord, la formulation vanationnelle avec laquelle les problemes sont poses, est presentee. Ensuite, la discretisation suit ou I'on presente les nouveaux elements finis tres prometteurs. La prochaine section discute des techniques de resolution. Enfin, Ie chapitre se temiine avec probablement la section la plus importante: la synfhese de la revue
bibliogra-phie. Cette partie rappelle les approches choisies et defmit des objectifs specifiques en rapport avec
1'objectif global de la fhese.
2.1 Rappel de la methode des elements finis en vibroacoustique
La methode des elements finis debute en formulant Ie probleme a 1'aide de la methode variationnelle. L'equation (2-1) montre la formulation variationnelle d'un probleme vibroacoustique de domaine Qs pour la structure, de frontiere S, entre la structure et Ie fluide, et de domaine Q/ pour Ie fluide (voir
Figure 2.1):
32u
Ja,(u)£,(5u)^ + Jp^u^Q, - Jn.5u^^ = j5u.F^
a
a
3?
^-Jvsp.Vprfn/+—3-J Sp^ rfn/+ j6p|-^.nds, = — JSpSrin
(2-1)
p/4 ' Pfc'^ dr ' z, dr - p/^
ou Gy et £y representent les contraiates et deformations respectivement, p, et p/ correspondent aux densites de la structure et du fluide respectivement, c est la celerite du fluide, F et S representent Ie champ des efforts exterieurs appliques sur la structure et Ie champ des sources acoustiques respective-ment, u et 5u representent Ie vecteur deplacement de la structure dans Ie repere cartesien et son mou-vement virtuel (variation), p et 8p representent la pression et sa fluctuation virtuelle respectimou-vement, et enfin n est la normale exterieur au fluide. En utilisant les relations contraintes-deformations et defor-mations-deplacements, il est possible de relier les contraintes et les deformations aux deplacements, et d'avoir une fonctionnelle qui ne depend que du deplacement et de la pression.
n
La fonctiomielle est alors discretisee par les elements finis. Afm de permettre une discretisation plus efficace. Ie domaine est tout d'abord divise en sous-domaines.
(2-2)
i2.
^ Jo,(u)8,(8u)rfn^ +^ J p,5u^d^ -^ J n.Su^,, = ^ JSu.FrfS,
e 0, e n^. ut e s... e s.^ fvSp.Vpd^ +2^ J 8p|^^ +2, J S/^.n ^ =S^ J SpS ^
e ^fe s ' "/. "" e S,, ^'' e Q
Chaque domaine correspond a un element, et la physionomie de la division du domaine en sous-domaines est appelee Ie maillage des elements, fl est alors possible d'approximer les deplacements et la pression, pour chaque element, en les exprimant a 1'aide de fonctions connues:
" = S Niui
(2-3)
P=^.N,p,
ou les Absent les fonctions d'approximations et les u, eipi sont les amplitudes associees a ces fonctions. H est a noter que les fonctions d'approximations sont generalement des polynomes d'ordre faible (lineaire ou quadratique), et que les amplitudes (M( et p,) ont une representation physique directe. En effet, les fonctions sont con^ues de telles sortes que les amplitudes (aussi appelees les degres de liber-te) representent les variables physiques approximees (deplacements ou pression) en des points spe-ciaux appeles noeuds.
Les integrales de 1'equation (2-2) sont alors effectuees numeriquement par sous-domaines; il s'agit du processus d'integration. Le resultat de ce processus donne des matrices elementaires qui sont sommees (assemblees) en assurant la continuite des depiacements et de la pression d'un element a 1'autre pour donner les matrices globales. U en resulte, en supposant des excitations harmoniques, Ie systeme d'equations lineaires suivant:
'K -C
0 H
u, •[-w2 .PiM 0
CT 0
;:H:i
(2-4)
ou [K], [M\, [H\, [Q], [C\, {F} et {S} sont respectivement les matrices de rigidite et de masse de la
structure, les matrices d'inertie et de compression du fluide, la matrice de couplage fluide-stmcture, Ie vecteur des forces exterieures et Ie vecteur des sources acoustiques. La premiere relation represente la structure. Si la matrice de couplage C est ignoree, on retrouve un probleme de vibration in-vacuo. La deuxieme relation represente Ie fluide. Cette fois-ci, en ignorant la matrice de couplage C, on retrouve les equations d'un probleme acoustique avec parois rigides.De 1'equation (2-4), deux types de solutions interessent 1'analyste en vibroacoustique. D'une part, il y a Ie probleme aux valeurs propres qui donne les frequences naturelles du systeme et les modes propres. D'autre part, il y a la reponse en frequence, qui donne la reponse du systeme a une excitation donnee (acoustique ou stmcturale).
2.2 La formulation variationnelle
Cette section decrit brievement les differentes fonctionnelles d'energie pour chaque categorie de pro-blemes. U est a souligner que la majeure partie de cette section est tiree de 1'excellent ouvrage de
Mo-rand etOhayon (1992).
2.2.1 Problemes de vibration
H existe plusieurs fa9ons d'ecrire un probleme de vibration in-vacuo sous une fonne variationnelle (Berry, 1992). U y a la formulation variationnelle en deplacement, qui n'utilise qu'une variable inde-pendante (Ie deplacement) pour decrire Ie comportement. H y a aussi les formulations de types mixtes, avec par exemple la formulation de Reissner, qui utilise a la fois les contraintes et les deplacements comme variables independantes. Les formulations de type mixte sont generalement plus couteuses mais aussi plus precises. Cependant, la precision obtenue par la formulation en deplacement est
gene-ralement suffisante, et pour cette raison, elle est de loin la plus utilisee. Elle correspond a la premiere equation du systeme (2-1) (ou (2-4)) sans les termes de couplage fluide-stmcture. C'est cette formula-tion qui est retenue pour cette etude.
2.2.2 Problemes acoustiques
Bien qu'il est possible de formuler un probleme acoustique avec d'autres variables independantes que la pression, c'est la formulation en pression qui est generalement adoptee. Cette etude ne fait pas ex-ception car en fait il n'y a aucune raison en termes de performance ou de precision d'utiliser une autre formulation. La formulation en pression du probleme acoustique correspond a la deuxieme equation du systeme (2-1) (ou (2-4)) toujours sans les termes de couplage fluide-stmcture evidemment.
2.2.3 Problemes vibroacoustiques
fl existe plusiews fa^ons de formuler les problemes vibroacoustiques. Cette sous-section brosse un portrait de ces differentes fa9ons en soulignant les avantages et inconvenients de chacune.
A. La formulation u-p
Le rappel de la mefhode des elements finis (section 2.1) a presente cette formulation (deplacement et pression). Elle est tres populaire car elle n'utilise qu'un seul scalaire pour modeliser la partie flluide (la pression). Cependant, elle souffie de non-syaietne, ce qui a des consequences moins avantageuses lors du choix de 1'algorifhme de resolution.
B. La formulation u-p symetrique (par la division de la seconde relation)
U existe une fa9on tres simple de rendre la formulation u-p symetrique. U ne s'agit que de diviser Ie systeme d'equations associe au fluide par coz (voir Eq. (2-4)). Cependant, cette fa^on de faire n'est va-lide que pour Ie probleme force (reponse en frequence, voir section 2.1), car Ie probleme aux valeurs propres n'est plus lineaire.
C. La formulation u-p symetrique (par les bases modales decouplees)
H existe une autre fa9on qui permet d'obtenir un systeme symetrique, qui est aussi valide pour Ie pro-bleme aux valeurs propres (Atalla, 1996; Sandberg, 1995). Le procede est plus complexe. n debute en projettant Ie systeme d'equations sur les bases des modes propres non-couples, c'est-a-dire la base mo-dale de la structure in-vacuo et la base momo-dale du fluide. Ensuite, quelques operations simples (partition, condensation de variables, changement de variables) pennettent d'obtenir Ie systeme sui-vant: A2,+C,Ci7'+C,Cj' -C,Afe
-A^C;
A-fe9S \-^\gs
qfe\ [^.
F
(2-5)
ou A, et Afe sont respectivement les matrices des pulsations naturelles (frequences naturelles multi-pliees par In) de la structure in-vacuo et du fluide. H est a noter que Ie mode rigide du fluide a ete condensee (1'indice e signifie elastique). C est la projection de la matrice de couplage C sur les bases modales, qui a aussi ete partitionne entre Ie mode rigide et les modes elastiques du fluide, soit Q et Cg respectivement Enfin, qs, q/e, F et S representent la projection des degres de liberte physique et des vecteurs d'excitation sur les bases modales. Cette fa^on de faire est tres interessante parce qu'elle permet de decomposer Ie calcul en trois etapes distinctes, soit Ie calcul de la base modale de la sti'uc-ture, Ie calcul de la base modale du fluide, et Ie calcul de la reponse vibroacoustique. fl en ressort une methode qui peut mieux exploiter les ressources en espace memoire de 1'ordinateur. De plus, Ie sys-teme couple est maintenant symetrique.
D. La formulation u-Uf
Cette fois-ci, la formulation s'exprime en fonction de la vitesse particulaire acoustique (uf) au lieu de la pression^ par la relation suivante/? = - p/c div Uf . Cependant, dans ce transfert, la discretisation du fluide a triple en taille puisque la pression est un scalaire et que la vitesse particulaire est un vecteur. De plus, cette formulation necessite d'autres conditions pour son application (rot Uf = 0, et aussi div Uf
consideree non standard et surtout utilisee dans des conditions bien speciales (canalisations sans ecou-lements ID). Considerant I'objectif principal de performance et d'efficacite de cette these, cette me-fhode est aussitot rejetee.
E. La formulation u-^f
H est aussi possible d'obtenir une formulation symetrique d'un probleme vibroacoustique en conside-rant Ie potentiel des vitesses (\y) au lieu de la pressionj? par la relation suivante;? = -/co p/ \j/. Cepen-dant, cette formulation resulte en un systeme non standard pour Ie probleme aux valeurs propres avec la presence d'une matrice du type amortissement enyoo ( voir Eq. (2-6) ). Ceci amene d'importantes dif&cultes lors de la resolution. Pour cette raison, elle est aussi rejetee.
K 0
0 AT, V. VF +y(00
-c,y /tp0
w
M
•co'2 ~M0
0
&.
u VF -./•(Dp^(2-6)
ou les matrices H^,, Qn, et C\y sont les pendants de H ,Q et C en utilisant Ie potentiel de vitesse.
F. La formulation u-p-^i
Une troisieme fa9on d'obtenir un systeme symetrique est d'utiliser deux variables pour considerer Ie fluide, soit la pression p et Ie potentiel des deplacements particulaires ((p). El en ressort Ie systeme
suivant ( Morand et Ohayon, 1992):
K
0
Q
-A1 B' -AB
0
M
1^!
[^j
-co2 'M0
0
0
H
0
0-0
0
(2-7)
ou les matrices [A] et [B] sont des matrices de couplages (il est a noter que Ie terme de source acousti-que a ete neglige id mais il pourrait etre inclus). Ce systeme offi-e 1'avantage d'etre symetriacousti-que mais Ie desavantage de demander deux scalaires et done de doubler Ie nombre de degres de liberte pour mode-User Ie fluide. Pour cette raison, elle est aussi rejetee.
2.2.4 Resume sur les formulations variationnelles
La formulation variationnelle des problemes de vibration, d'acoustique et de vibroacoustique a ete pre-sentee. fl en est ressorti que la formulation (symetrique) en deplacement est generalement acceptee pour les problemes de vibration, que la formulation (symetrique) en pression est aussi generalement acceptee pour les problemes d'acoustique, et qu'il existe trois formulations potentiellement interessan-tes pour les problemes vibroacoustiques:
• la formulation deplacement-pression u-p,
• la formulation deplacement-pression u-p symetrique (par division de la seconde relation), • la formulation deplacement-pression u-p symetrique (par les bases modules decouplees). Le TABLEAU 2.1 resume les avantages et inconvenients de ces trois approches. fl est a noter que toutes ces formulations sont bien maitrisees.
TABLEAU 2.1 — Avantages et inconvenients des trois formulations vibroacoustiques retenues
ll-p
Avantages
Inconvenients
• 1 variable pour Ie fluide
• valide pour reponsemo-dale et reponse en fire-quence
• non-symetnque
u-p sym.
(div. seconde relation) • 1 vanable pour Ie fluide • symetnque
• non valide pour 1'analyse modale
u-p sym.
(base modules decoiip.)
• 1 variable pour Ie fluide
• symetnque• exploite bien les res-sources informatiques • probleme aux valeurs
propres necessaire
2.3 Les elements finis de typep
Comme il a ete mentionne, la methode des elements finis est la methode la plus utilisee de nos jours pour la modelisation numerique en genie mecanique. Cette populante se retrouve aussi au niveau de la recherche; on denote plus de 3000 publications par annee sur ce sujet (Babuska et Sun, 1994). Au
debut des annees 1980, une nouvelle methode d'elements finis, appeles les elements finis de type p, a gagne en popularite. Comme 1'engouement vers ces elements est prmcipalement du a la convergence rapide de la solution, ils sont d'un grand interet pour 1'etude en cours. Cette section discute done de ces
nouveaux elements.
Les nouveaux elements sont tout d'abord definis en rapport avec les elements finis classiques. Ensuite, la revue de la litterature sur ces elements est presentee. Cependant, il est important de noter que ces elements n'ont pratiquement pas ete utilises dans Ie cadre de problemes de vibration, et aucunement dans Ie cadre de problemes d'acoustique ou de vibroacoustique. En effet, comme au tout debut des elements finis classiques, les premieres etudes des elements finis de type p out ete faites pour des pro-blemes de la statique. Un resume des elements cles en rapport avec 1'objectifde cette these est presente sur ces resultats. En particulier, la discussion portera sur les proprietes de convergence qui represen-tent 1'avantage majeur de ces elements, sur 1'integration numerique ou se trouve la limitation la plus importante de cette methode, et sur la modelisation des plaques et des plaques raidies qui sont des structures de grande importance pratique, surtout en vibroacoustique. Ensuite, cette section se termine en presentant en details les resultats obtenus pour les problemes representatifs de la vibroacoustique.
2.3.1 Definition
Les elements finis de type p tirent leur nom du principe de convergence de la solution. En effet, les elements p obtiennent la convergence en augmentant 1'ordre (p) d'approximation de la base tout en gardant la taille des elements fixe. En comparaison, les elements finis classiques (aussi appeles "type A") obtiennent la convergence en reduisant la taille (h) des elements mais en gardant 1'ordre d'approxi-mation fixe. La Figure 2.2 illustre ces idees tout en montrant un troisieme concept d'elements finis: Ie type h-p. Comme son nom I'indique, ce demier type combine les deux fa9ons d'obtenir la convergence de la solution. L'ordrej? de la base d'approximation pour les mefhodes^? et h-p est indique sur chaque maillage.
De ce principe pourtant simple, la mefhode des elements finis de type p (et souvent de type h-p aussi) tire plusieurs avantages:
geometric correcte: Un principe de base en elements frnis indique qu'il est fort souhaitable d'avorr des elements dont les frontieres peuvent etre decrites avec des fonctions d'ordre infe-rieur ou egale a la base d'approximation de la solution (MacNeal, 1994). Comme la me-thode h utilise principalement une base d'approximation lineaire pour la solution, la geome-trie des elements est aussi d'ordre lineau-e. Les geomegeome-tries complexes du domaine entier sont alors obtenues (approximees) en utilisant beaucoup d'elements. Par contre, puisque les elements p utilisent des fonctions d'ordre eleve, il est bien souvent possible de decrire par-faitement la geometde du domaine. Le traitement de la parde trouee de la plaque de la Figure 2.2 exprime cette idee, tant pour les elements h,p, ou h-p.
Structure lclc approximation6re 2 approximation
p = 4 pour chaque element p = 6 pour chaque element
E.F. type h-p
p = 4 pour chaque element p = 6 pour chaque element
Figure 2.2 — Principe de convergence de la solution des trois methodes des ele-ments finis.
maillage simple: Pour les elements p. Ie maillage est souvent assez facile a obtenir. Ceci est une consequence directe du fait que les elements peuvent avoir une geometrie complexe mais aussi du fait que I'utilisation d'une base d'ordre eleve reduit Ie nombre d'elements ne-cessaires a la approximation adequate de la solution (Babuska et Suri, 1994).
modele adaptatif: La creation d'un modele adaptatifest beaucoup plus facile a faire dans Ie cas de la mefhode^. En effet, il ne s'agit que d'augmenter 1'ordre de la base. Le maillage n'a pas besoin d'etre regenere. Ce processus s'automatise beaucoup plus facilement Toutefois, comme pour tout processus adaptatif, il est necessaire de developper un estimateur d'erreurs pour controler 1'evolution de 1'approximation. Le developpement de ces estimateurs est as-sez complexe et toujours du niveau de la recherche (Babuska et al., 1994 a et b).
matrices hierarchiques: Pour les elements p, 1'augmentation de la base d'approximation permet de generer des matnces hierarchiques (Babuska et Sun, 1994), c'est-a-dire que 1'augmentation de la base d? approximation de n degres de liberte resulte en un ajout de n li-gnes et n colomies, sans pour autant changer les m lili-gnes et colonnes originales:
[^ „ ] : pour une matrice a m degres de liberte
: pour une matrice a m+n degres de liberte'•m,m
^n,m
i,n
4i,n
Ceci est me consequence du principe de convergence, comme Ie maillage n'est pas modifie, 1'ajout de degres de liberte ne modifie pas la structure de la matrice initiale. Evidemment, la methode h-p ne permet pas de generer pas des matrices hierarchiques.
En pratique, il arrive souvent que plusieurs modeles de plus en plus precis doivent etre ge-neres. La propriete hierarchique est alors tres utile puisqu'elle evite de recalculer les matri-ces originales.
convergence rapide: De 1'utilisation des polynomes d'ordre eleve, il decoule une conver-gence plus rapide de la solution approximative vers la solution exacte (Babuska et Szabo, 1991). H s'agit de 1'avantage majeur de la methode de type p. La prochaine section discute des resulats de convergence sur les problemes de la statique en details.
La methode^ possede aussi quelques desavantages ou limitations,
• integration numerique: L'utilisation de polynomes d'ordre eleve entraine un temps d'inte-gration numerique assez eleve (Hinnant, 1994). En fait, plus la base d'approximation est d'ordre eleve, plus Ie temps d'integration numerique est important. La section 2.3.3 discute de cette limitation.
• densite des matrices: Generalement, les matrices des elements finis de type p sont plus denses et avec une largeur de bande plus large que les matrices de la formulation h (Babuska et Suri, 1994). Ceci peut avoir des consequences importantes au niveau de la re-solution et ceci tant pour 1'espace memoire necessaire que Ie temps de calcul requis. L'eva-luation pratique de ces consequences n'a cependant pas ete faite dans la litterature. Ce point reste done une limitation qualitative.
En resume, la mefhode de type p possede plusieurs avantages sur la mefhode de type h. Les desavan-tages de la mefhode de type p ne sont pas tres clairs. En fait, on parle plutot de limitations des avanta-ges avec en premier lieu Ie temps important de 1'integration numerique. Cette notion de limitations des avantages est d'autant plus vraie que les elements finis classiques (type h) s'averent en fait un cas parti-culier des elements finis de type p, svecp = 1 oup = 2.
2.3.2 Les proprietes de convergence de la solution
La sous-section precedente a souligne que les elements fmis de type p possedent de tres bonnes pro-prietes de convergence. Cette section presente un resume de ces propro-prietes pour des problemes de la statique. H est a noter que la plupart des resultats obtenus au sujet des proprietes de convergence des trois principales mefhodes d? elements fmis, h,p et h-p, sont Ie fi-uit des ti-avaux de Ivo Babuska, Bama Szabo et leurs collaborateurs (Babuska et Szabo, 1991). Pour plus d'informations Ie lecteur est refere au livre de Babuska et Szabo (1991) et aux references qui s'y trouvent.
Les proprietes de convergence dependent de plusieurs parametres dont deux particulierement impor-tants qu'il importe de decrire: la reguladte de la solution et Ie maillage.
regularite de la solution: La regularite de la solution est caracterisee a 1'aide d'un parametre (a). Ce parametre definit en fait 1'ordre de la contmuite de la solution, c'est-a-dire 1'ordre de la derivee jus-qu'auquel la contiauite de la solution est assuree. On distmgue deux cas extremes: la solution regu-liere et la solution non-reguregu-liere. La solution reguregu-liere est continue jusqu'a des ordres tres eleves (a tres grand; voir Figure 2.3 graphe (a) zone blanche). En contrepartie, une solution non-reguliere n'offre pas une tres bonne continuite (voir Figure 2.3 graphe (a) zone grise). Dans Ie cas extreme, a vaut zero et la solution est discontinue pour tout ordre.
maillage: Le choix du maillage a une influence importante sur I'ef&cacite des elements finis. H est toujours preferable d'adapter Ie maillage a la solution. Si la solution est reguliere. Ie maillage optimal est uniforme, car il est simple et efficace. Cependant, Ie maillage pour les solutions non-regulieres doit etre raffme pres des zones de grandes variations de la solution tout en etant constant (et grand) sur les regions eloignees. La Figure 2.3 expose cette idee. Le graphe a) presente une reponse comprenant uae singtdarite. Le graphe b) presente I'approximation de cette reponse avec un maillage regulier. Pour la zone reguliere 1'approximation est bonne. Cependant, pour la zone ou se trouve la singularite 1'ap-proximation est mauvaise. En raf&nant Ie maillage dans cette demiere zone (graphe c), 1'approxima-tion s'ameliore de fa9on significative, sans pour autaat necessiter une approxima1'approxima-tion plus fine sur tout Ie domaine.
r6f6rence approximation
Figure 2.3 — MaiUages et solutions, a) solution comprenant une singularite (zone grise) b) maillage uniforme c) maillage non-uniforme
La presentation des proprietes de convergence des trois methodes des elements finis est maintenant faite en distinguant les cas ou la solution est reguliere et non-reguliere.
A. La solution reguliere
Les elements finis de type h
La convergence des elements h est regie par la relation suivante:
\\u-u
<p)
^ C n(j?)^: convergence algebrique (2-8)
ou u : solution exacte
Un(p): solution approximative par elements finis dependant de n(p)
n(p): nombre de degre de liberte de la solution approximative dependant de p
p '. ordre maximal de la base d'approximationC : constante dependant de la discretisation, de la regularite de la solution et de Fordre d'approximation
: nomie energedque (1'energie de deformation par exemple)
P : variable dependant de la regularite de la solution, de Fordre d'approximation et du
maillage
Pour une solution reguliere, P = -Vi p. La convergence depend done essentiellement de 1'ordre d? approximation p et du nombre de degre de liberte n(p). La methode de type h, en raf&nant Ie maillage, augmente Ie nombre de degre de liberte (n(p)), mais n'intervient pas sur 1'ordre
d'approximation (p).
Les elements finis de type p et h-p
Pour des solutions regulieres, les elements p et h-p sont tres performants. En fait, la convergence est regie par la relation exponentielle suivante:
u-u^\\^Cexp(-^n(p)) (2-9)
En somme, si la solution est reguliere, les mefhode^ et h-p convergent beaucoup plus rapidement que la mefhode h.
B. La solution non-reguliere
Les elements finis de type h
Si Ie maillage est uniforme, ? = -Vz a. La convergence de la solution est done limitee par les singula-rites. Par centre, on peut demontrer que pour une sequence de maillage non-uniforme dite optimale, la regularite de la solution n'a plus d'importance et P = -Vi p. Toutefois, comme 1'ordre des fonctions d'approximation est generalement tres faible (lineaire ou quadratique), la convergence reste tout de meme faible.
Les elements finis de type h-p
Par definition les elements finis de type h-p convergent en adaptant Ie maillage et I'ordre d'approxima-tion a la solud'approxima-tion. Si la sequence de maillage utilise est optimale, la convergence de la mefhode h-p reste exponentielle (2-9).
Les elements finis de type p
Si Ie maillage est uniforme, la convergence des elements p est algebrique (Eq.(2-8)) tout comme les elements h. Cependant, deux cas doivent etre distingues:
• si les siagularites sont sur des noeuds, ? = -a et la methodej? est deux fois plus performante que la methode h (au sens des logarithmes, c'est-a-dire que 1'exposant de l'Eq.(2-8) est deux
fois plus grand);
• si les singularites sont a 1'interieur des elements, P = -Vz a et la convergence des elements p est identique a celle de la methode h.
U est a noter que les singulantes en pratique sont generalement causees par des changements brusques de materiaux, par des chaagements bmsques de geometries, etc. Dans ces situations, il est beaucoup plus facile de modeliser en inserant des noeuds auxjonctions. H s'en trouve que la plupart des
singula-rites se retrouvent d'une fa9on natirelle sur des noeuds, et done la methode de type p s'avere en general deux fois plus rapide (au sens logarithmique) que la methode de type h pour les solutions
non-regulieres.
Si, au lieu d'un maillage uniforme, un maillage adapte (avec raf&nement pres des singularites) est utili-se, la convergence reste exponentielle mais seulement pour une partie de la convergence. En effet, pour conserver la convergence exponentielle en tout temps, il faut utiliser une sequence de maillage adaptee. Ceci correspond toutefois a la mefhode h-p. La Figure 2.4 schematise cette idee. Le graphe (a) correspond a la mefhode h-p avec une convergence exponentielle tandis que Ie graphe (b) corres-pond la reponse obtenue avec la methode de type p en utilisant un maillage adapte.
source: Finite Element Analysis, BabuSka et Szab6 (1991), John Wiley and Sons.
Figure 2.4 — La convergence des elements finis de type p (a) se-quence de maillage optimal ou convergence de type h-p
(b) un seul maillage adapte
Le TABLEAU 2.2 brosse Ie portrait des proprietes de convergence des trois mefhodes d'elements fi-nis. En somme, la mefhode^? converge toujours plus vite que la mefhode h, saufdans Ie cas tres parti-culier ou la solution est non-reguliere, et que la mefhode h utilise une sequence de maillage optimal (non-regulier), et que la mefhodejo possede un maillage uniforme.
H est a souligner que ces resultats ont ete obtenus pour des elements dont les cotes sont droits. Cepen-dant, en 1988, Babuska et Guo ont montre que la convergence de la methode h-p avec des elements courbes ("cmvilinear element") demeure exponentielle, si Ie critere snivant est respecte:
(2-10)
(p
w
^CLkk ou k =1,2,...ou (p est la fonction defmissant un des cotes courbes d'un element (la condition (2-10) doit etre verifiee pour tous les cotes), C, L sont des constantes superieures a 1, k est 1'ordre du polynome
d'approxima-tion de la geometric. Enfin, la notad'approxima-tion | | signifie la nonne dans 1'espace vectorielle Lz (Reddy, 1991).
Cette restriction, plutot abstraite, signifie dans la pratique que I'utilisation d'elements courbes n'empe-chent pas d'obtenir une convergence de type exponentielle a condition que les elements ne soient pas trop distordus. A titre d'exemple, les elements dont les cotes sont decrits a 1'aide de fonctions quadra-tiques ne posent aucune difficulte. Ces resultats se transposent directement aux elements finis de type h et p. fl en ressort qu'en pratique tous les resultats de cette section sont valables, meme lorsque les elements finis de type h, p ou h-p sont courbes.TABLEAU 2.2 — Resume des proprietes de convergence des trois methodes des elements finis
Solution reguliere Solution non-resuliere
maillage regulier E.F. de type h E.F. de typep E.F. de type h-p algebriquep= -Vzp exponentielle exponentielle maillage regulier algebrique R = - Vi a algebriquep= -a,ou algebriquep= -Via maillage non-regulier algebrique R = - Vip exponentielle sur une partie de la convergence
exponentielle
Note sur les sequences de maiUage optimal: La methode des elements finis de type h-p est la me-fhode la plus efficace, car elle possede la convergence exponentielle meme lorsque la solution est non-reguliere. Cependant, pour ce faire une sequence de maillage optimal doit etre utilisee. En pratique,
cette sequence de maillage est tres difficile a trouver, et reste meme du domaine de la recherche (Babuska et al., 1994). Pour cette raison, cette these de doctorat s'interesse principalement a la me-thode de type p.
2.3.3 Integration numerique
La litterature metionne deux difficultes associees a 1'integration de polynomes d'ordre eleve: la preci-sion des calculs et Ie temps d'integration.
Precision des calculs
Bardell (1989) s'est mteresse a ce probleme. Generalement, les integrales se font a 1'aide de methodes numeriques, telle la methode de Gauss-Legendre. Cependant, se referant a une conference de Zhu (1985), Bardell souligne que cette mefhode n'est adequate que pour des polynomes d'ordre inferieur a 6. Pour les ordres superieurs, il est tres difficile d'integrer correctement avec les mefhodes numeriques d'integration. Bardell propose done d'utiliser un programme de calcul symibolique pour evaluer de fa9on analytique ces integrales. De cette fa^on, Bardell obtient des resultats excellents. Toutefois, la demonstration de Bardell est faite dans Ie cas ou il n'y a pas eu de transformation geometrique de 1'element et done pas dejacobien de la transformation, ce qui represente une mtegrale assez simple. H n'est pas clair d'ailleurs s'il existe im resultat analydque pour une integrale comportant un jacobien
complexe.
Banerjee et Suri (1992), et Kim et Suri (1993) se sont aussi interesses aux problemes de la precision.
Bizarrement, Us ne soulevent pas la meme difficulte que Bardell (1989). En effet, ces etudes sont plutot dirigees vers 1'influence de 1'erreur d'integration munerique sur les proprietes de convergence. Essentiellement, ils demontrent trois resultats.• La mefhode de Gauss-Legendre donne des resultats suffisamment precis pour assurer les proprietes de convergence obtenues a la section 2.3.2, et cejusqu'a 1'ordre 10, ce qui entre
en contradiction avec les resultats de Bardell (1989).
• Dans Ie cas ou la geometrie de 1'element est non-lineaire, les auteurs demontrent qu'il est parfois utile d'utiliser une sur-mtegration pour tenir compte de la presence du Jacobien
d'or-dre eleve.
• Enfin, Ie demier resultat rejoint celui de Babuska et Guo (1988) a la page 22 de cette these, c'est-a-dire que lorsque la geometne est vraiment complexe, il est parfois impossible d'assu-rer les proprietes de convergence peu importe Ie nombre de points consideres. U est done preferable d'eviter les elements avec des geometries vraiment complexes.
Temps ^integration
Recemment, Hmnant (1994) a presente les resultats d'une recherche s'interessant au probleme du temps d'integration des elements/?. Comme il a ete mentionne a la section 2.3.1, Pintegration des po-lynomes d'ordre eleve demande beaucoup de temps. Hinnant limite d'ailleurs 1'interet de 1'utilisation de polynomes d'ordre eleve a.p = 4 pour des elements de structure elastique en trois dimensions, lorsque les mefhodes traditionnelles d'integration numerique sont employees. Au dela de cette valeur. Ie temps d'integration devient trop important et il n'est plus avantageux d'utiliser des polynomes eleves. Pour ameliorer cette situation, une nouvelle technique d'integration, appelee « vector quadrature », a specialement ete con9ue pour les elements^?. Cette technique utilise les polynomes de Legendre pour approximer Fintegrant, ensuite 1'integration est efifectuee sur les polynomes de Legendre. Le resultat de Pintegration est rapidement obtenu puisque les polynomes de Legendre sont orthogonaux. La me-fhode de Hinnaat a ete comparee a deux meme-fhodes de Gauss: « Scalar Gauss » et « Block Gauss ». U s'agit de deux implementations informatiques differentes de la mefhode de Gauss-Legendre. Dans les deux cas, la nouvelle mefhode de Hinnant s'est averee plus rapide. Citons a titre d'exemple que pour 1'ordre 6, la mefhode de Hinnant etait 25 plus rapide que la « Block Gaus » et 80 fois plus rapide que la « Scalar Gauss ». De plus, les resultats etaient aussi precis sinon meilleurs, meme pour des elements avec transformation geometrique, et cejusqu'a 1'ordre 40.
Gupta, Fang et Chen (1991) ont etudie la performance des elements finis de type p versus les elements
finis de type h sur un probleme de plaque a 1'aide de codes personnels. Bien que les auteurs aientcon-clu que les deux methodes prenaient a peu pres Ie meme temps^, leurs resultats semblent plutot indi-quer que la mefhode p prenait de 70 a 75% du temps mis par une methode de type h pour la meme qualite de resultats. U est a noter que les auteurs ont mentionne qu'une portion significative du temps mis par la methode p venait de I'integration numerique. Cependant, les auteurs n'ont pas specifie la methode d'integration utilisee. U reste neanmoins qu'il est fort probable que la mefhode de Gauss-Legendre habituelle ait ete utilisee.
En resume, au niveau de la precision de 1'integration des polynomes d'ordre eleve des elements^?, cer-taines contradictions existent. Toutefois, considerant que plusieurs auteurs semblent avoir reussi a evaluer correctement les integrales avec des mefhodes numeriques, les commentaires de Bardell (1989) sont plutot a prendre comme im avertissement sur 1'implementation mformatique des methodes d'integrations numeriques. Au niveau du temps de calcul, il semble que 1'avantage des elements finis de type p soit rapidement diminue si les mefhodes traditionnelles d'integration numerique sont
utili-sees.
2.3.4 Modelisation de plaques
Comme mentionne au debut de ce chapitre, les plaques et les poutres correspondent a des elements parmi les plus importants de la modelisation numerique des structures mecaniques. Ceci n'est certes pas etranger a la realite des stmctures. A titre d'exemple, la stmcture d'une automobile est en majeure partie composee d'assemblages de poutres et de plaques. Ceci est aussi vrai pour un avion. D'autre part, de tous les types de mouvements, la flexion est celle qui genere Ie plus de rayonnement acousti-que. Comme la flexion se propage aisement dans les poutres et les plaques, ces elements sont ceux qui se couplent Ie mieux aux phenomenes acoustiques. En consequence, cette section et la suivante por-tent un regard sur la modelisation des plaques et des poutres.
H existe trois grandes fa9ons de modeliser les plaques. H y a, tout d'abord, Ie modele (exact) d'elasticite lineaire en trois dimensions. Cependant, au niveau de I'implementation informatique, ce modele souf-fre de severes problemes d'arrondis lorsque 1'epaisseur devient tres petite par rapport aux autres
sions. En consequence, il est tres peu utilise. U y a aussi Ie modele de Reissner-Mindlm (Mindlm, 1951) qui s'affranchit de la demiere dif&culte en considerant un etat plan de contraintes, et des depla-cements qui out une dependance lineaire selon 1'epaisseur saufpour Ie deplacement transversal. Avec ce traitement, il est possible de considerer de tres petites epaisseurs. En contrepartie, il n'est plus pos-sible de considerer de grandes epaisseurs ( 0 < epaisseur /longueur < 0.25 ). Cependaat, il est a souli-gner qu'au niveau de la discretisation par les elements finis, ce modele doit etre traite contre Ie ver-rouillage numerique de cisaillement lorsque les epaisseurs deviennent petites. Les elements fmis clas-siques ont developpe diverses mefhodes pour s'affiranchir de cette difficulte (MacNeal, 1994). Au niveau des elements finis de type p, plusieurs etudes demontrent que Ie verrouillage disparait de lui-m&ne lorsque 1'ordre d'approximation devient assez eleve. Enfin, il y a Ie modele de KjrchhofF qui peut etre vu comme Ie modele de Reissner-Mindlin mais ou Ie cisaillement transversal est neglige. Le modele de Kirchhoffn'est valide que pour de tres petites epaisseurs ( 0 < epaisseur/longueur < 0.05 ) (Cote et al., 1997), mais ne souffre pas de difficultes d'implementation mformatique lors de la discreti-sation par elements fmis. Toutefois, la continuite de la pente doit etre imposee, ce qui est limitatifdans certaines sitiations (changement discontinu d'epaisseur par exemple, MacNeal, 1994).
n apparait done que Ie modele de Reissner-Mindlin est Ie plus versatile et Ie plus interessant des trois modeles, a condition evidemment que la difficulte du verrouillage numerique soit eliminee. De plus, Ie modele de Reissner-Mindlin est pratiquement considere comme la nonne maintenant en element
fini. Done, bien que Ie modele de Kirchhoff ait deja ete discretise par les elements finis de type p
(Chinosi, Sacchi et Scapolla, 1990), il n'est pas traite dans cette etude bibliographique. Nomialement, Ie modele tri-dimensionnel ne devrait pas etre discute non plus puisqu'il souffre de problemes d'arron-dis. Cependant, Szabo (1989) a montre qu'avec les elements^?, il etait possible de generer une hierar-chie de modeles allant du modele tri-dimensionnel, dans sa forme la plus complexe, au modele de Reissner-Mindlin, dans sa forme la plus simple. De la, plusieurs resultats interessants sur la robustesse de la methode/?, valide pour toute la hierarchie de modele (incluant Ie modele Reissner-Mmdlm), sont obtenus. Par consequent, cette section discute aussi de la hierarchie de modeles. Enfin, il est a noter que la plupart des articles scientifiques sur les plaques modelisees par les elements finis de type p dis-cutent de la robustesse de ces elements vis-a-vis de differentes difficultes.Modele de Reissner-Mindlin (pour plaques minces et epaisses)
Holzer, Rank et Wemer (1990) ont etudie la theorie des plaques de Reissner-Mindlin avec les elements h-p. Us ont montre que la formulation h-p (ou-p) n'etait pas sujette au verrouillage numerique de ci-saillement, et ce meme si aucun traitement special n'etait effectue. En effet, Ie probleme de ver-rouillage munerique est essentiellement cause par une capacite d'approximation trop faible. Lorsque 1'ordre d'approximation est augmente Ie probleme se resout de lui-meme. Ces resultats ont ete
corrobo-res par Scapolla et Della Croce (1992).
Akhtar et Basu (1991) ont etudie Ie comportement du modele de Reissner-Mindlin avec les elements^ en relation avec les plaques tres minces et les plaques rhombiques (parallelogramme). Dans les deux cas, la mefhode est stable, et ne souffi-e d'aucune difficulte.
Hierarchie de modeles (modeles hautes precisions)
En 1992, Babuska et Li ont public deux articles sur la modelisation des plaques a 1'aide des mefhodes p ou h-p. Les auteurs, utilisant les travaux de Szabo (1989), montrent que la formulation p peut dormer une hierarchie de modeles plus ou moins simples selon 1'ordre d'approximation utilise dans la direc-tion transversale.
u(x,y,z)=NU(x,y).MU(z)
v(x,y,z)=NV(x,y).MV(z) (2-11)
w(x,y,z)=NW(x,y).MW(z)L'equation (2-11) montre la fa^on dont la hierarchie de modele est creee; un modele est defini en fixant de fa9on independante 1'ordre d'approximation transversal pour les trois deplacements (u, v, w), soit les ordres de Mi, M^ et M^. Le cas Ie plus simple de cette serie est la fameuse fomiulation de Mindlin ou 1'ordre des fonctions A/u, At etMW sont respectivement 1, 1 et 0. Le modele de Reissner-Mindlin est alors appele Ie modele (1,1,0). L'interet de cette hierarchie de modeles est dans 1'adapta-tion automatique du modele selon la precision voulue et Ie cas traite. Babuska et Li ont compare Ie comportement des differents modeles en fonction des conditions limites tridimensionnelles et du
