Les diapositives

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Suites et séries numériques

Jean-Pierre Becirspahic Lycée Marcelin Berthelot

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Définitions

ÀXun est associée la suite des sommes partielles Sn =

n

X

k=0

uk.

En cas de CVon associe àXunla suite des restes Rn= +∞

X

k=n+1

uk.

On a un= Sn− Sn−1 et un= Rn−1− Rn (en cas de CV).

Correspondance fondamentale entre suites et séries

La suite(a_n) converge si et seulement si la sérieX(a_n+1− a_n)

converge, et an= a0+ n−1 X k=0 (ak+1− ak)

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Définitions

ÀXun est associée la suite des sommes partielles Sn =

n

X

k=0

uk.

En cas de CVon associe àXunla suite des restes Rn= +∞

X

k=n+1

uk.

On a un= Sn− Sn−1 et un= Rn−1− Rn (en cas de CV).

Correspondance fondamentale entre suites et séries

La suite(a_n) converge si et seulement si la sérieX(a_n+1− a_n)

converge, et an= a0+ n−1 X k=0 (ak+1− ak)

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Définitions

ÀXun est associée la suite des sommes partielles Sn =

n

X

k=0

uk.

En cas de CVon associe àXunla suite des restes Rn= +∞

X

k=n+1

uk.

On a un= Sn− Sn−1 et un= Rn−1− Rn (en cas de CV).

Correspondance fondamentale entre suites et séries

La suite(a_n) converge si et seulement si la sérieX(a_n+1− a_n)

converge, et an = a0+ n−1 X k=0 (ak+1− ak)

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Correspondance entre suites et séries

Montrer que la suite an=

n!

nn_e−n√_n converge vers un réel k> 0.

ln(a_n) = n X k=1 ln(k ) − n ln(n) + n −1 2ln n donc : ln(an+1) − ln(an) = 1 −  n+1 2  ln  1+1 n  .

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Correspondance entre suites et séries

Montrer que la suite an=

n!

nn_e−n√_n converge vers un réel k> 0.

Première idée : critère de d’Alembert ; Est-ce une bonne idée ?

Noncar : • _siliman+1 an < 1, alors lim an= 0 ; • _siliman+1 a_n = 1, alors ? ? ? ; • _siliman+1 an > 1 alors lim an= +∞.

Mais c’est une bonne idée si on veut calculer le rayon de CV deXa_nzn.

ln(a_n) = n X k=1 ln(k ) − n ln(n) + n −1 2ln n donc : ln(an+1) − ln(an) = 1 −  n+1 2  ln  1+1 n  .

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Correspondance entre suites et séries

Montrer que la suite an=

n!

nn_e−n√_n converge vers un réel k> 0.

Première idée : critère de d’Alembert ; Est-ce une bonne idée ?Noncar :

• _siliman+1 an < 1, alors lim an = 0 ; • _siliman+1 a_n = 1, alors ? ? ? ; • _siliman+1 an > 1 alors lim an= +∞.

Mais c’est une bonne idée si on veut calculer le rayon de CV deXa_nzn.

ln(a_n) = n X k=1 ln(k ) − n ln(n) + n −1 2ln n donc : ln(an+1) − ln(an) = 1 −  n+1 2  ln  1+1 n  .

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Correspondance entre suites et séries

Montrer que la suite an=

n!

nn_e−n√_n converge vers un réel k> 0.

Première idée : critère de d’Alembert ; Est-ce une bonne idée ?Noncar :

• _siliman+1 an < 1, alors lim an = 0 ; • _siliman+1 a_n = 1, alors ? ? ? ; • _siliman+1 an > 1 alors lim an= +∞.

Mais c’est une bonne idée si on veut calculer le rayon de CV deXa_nzn.

ln(a_n) = n X k=1 ln(k ) − n ln(n) + n −1 2ln n donc : ln(an+1) − ln(an) = 1 −  n+1 2  ln  1+1 n  .

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Correspondance entre suites et séries

Montrer que la suite an=

n!

nn_e−n√_n converge vers un réel k> 0.

Deuxième idée : on utilise le log (k> 0) et la correspondance suite / série

(on ne demande pas la valeur de k).

ln(a_n) = n X k=1 ln(k ) − n ln(n) + n −1 2ln n donc : ln(an+1) − ln(an) = 1 −  n+1 2  ln  1+1 n  .

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Correspondance entre suites et séries

Montrer que la suite an=

n!

nn_e−n√_n converge vers un réel k> 0.

Deuxième idée : on utilise le log (k> 0) et la correspondance suite / série

(on ne demande pas la valeur de k).

ln(a_n) = n X k=1 ln(k ) − n ln(n) + n −1 2ln n donc : ln(an+1) − ln(an) = 1 −  n+1 2  ln  1+1 n  .

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Correspondance entre suites et séries

Montrer que la suite an=

n!

nn_e−n√_n converge vers un réel k> 0.

Deuxième idée : on utilise le log (k> 0) et la correspondance suite / série

(on ne demande pas la valeur de k).

ln(a_n) = n X k=1 ln(k ) − n ln(n) + n −1 2ln n donc : ln(an+1) − ln(an) = 1 −  n+1 2  ln  1+1 n  . • _ln₁₊1 n  =1 n− 1 2n2+o  ₁ n2  . • _n+1 2  ln  1+1 n  = 1 − 1 2n +o ₁ n  + 1 2n − 1 4n2+o  ₁ n2  • _ln(a n+1) − ln(an) =o ₁ n 

; insuffisant pour conclure.

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Correspondance entre suites et séries

Montrer que la suite an=

n!

nn_e−n√_n converge vers un réel k> 0.

Deuxième idée : on utilise le log (k> 0) et la correspondance suite / série

(on ne demande pas la valeur de k).

ln(a_n) = n X k=1 ln(k ) − n ln(n) + n −1 2ln n donc : ln(an+1) − ln(an) = 1 −  n+1 2  ln  1+1 n  . • _ln₁₊1 n  =1 n− 1 2n2+O  ₁ n3  . • _n+1 2  ln  1+1 n  = 1 − 1 2n +O  ₁ n2  + 1 2n− 1 4n2+O  ₁ n3  • _ln(a n+1) − ln(an) =O  ₁ n2 

;Xln(a_n+1) − ln(a_n)CVA donc CV.

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Correspondance entre suites et séries

Montrer que la suite an=

n!

nn_e−n√_n converge vers un réel k> 0.

Deuxième idée : on utilise le log (k> 0) et la correspondance suite / série

(on ne demande pas la valeur de k).

ln(a_n) = n X k=1 ln(k ) − n ln(n) + n −1 2ln n donc : ln(an+1) − ln(an) = 1 −  n+1 2  ln  1+1 n  . • _ln₁₊1 n  =1 n− 1 2n2+O  ₁ n3  . • _n+1 2  ln  1+1 n  = 1 − 1 2n +O  ₁ n2  + 1 2n− 1 4n2+O  ₁ n3  • _ln(a n+1) − ln(an) =O  ₁ n2 

;Xln(a_n+1) − ln(a_n)CVA donc CV. Donc la suiteln(a_n)CV vers` ∈ R, et la suite (an) CV vers k = e`> 0.

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Convergence absolue, série à termes positifs

La CV deX|u_n| entraîne la CV deXu_n. La réciproque est fausse.

Lorsque u_n>_{0, la suite(S}

n) estcroissantedonc

X

u_n converge ssi la suite(S_n) est majorée.

Schéma de convergence / divergence

un =O(vn) X |v_n| CV        =⇒ X|u_n| CV un =O(vn) X |u_n| DV        =⇒ X|v_n| DV

Lorsque un∼ vn, les séries

X

|u_n| etX|v_n| sont de même nature.

Règle de d’Alembert

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Convergence absolue, série à termes positifs

La CV deX|u_n| entraîne la CV deXu_n. La réciproque est fausse.

Lorsque u_n>_{0, la suite(S}

n) estcroissantedonc

X

u_n converge ssi la suite(S_n) est majorée.

Schéma de convergence / divergence

un =O(vn) X |v_n| CV        =⇒ X|u_n| CV un =O(vn) X |u_n| DV        =⇒ X|v_n| DV

Lorsque un∼ vn, les séries

X

|u_n| etX|v_n| sont de même nature.

Règle de d’Alembert

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Convergence absolue, série à termes positifs

La CV deX|u_n| entraîne la CV deXu_n. La réciproque est fausse.

Lorsque u_n>_{0, la suite(S}

n) estcroissantedonc

X

u_n converge ssi la suite(S_n) est majorée.

Schéma de convergence / divergence

un =O(vn) X |v_n| CV        =⇒ X|u_n| CV un =O(vn) X |u_n| DV        =⇒ X|v_n| DV

Lorsque un∼ vn, les séries

X

|u_n| etX|v_n| sont de même nature.

Règle de d’Alembert

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Convergence absolue, série à termes positifs

La CV deX|u_n| entraîne la CV deXu_n. La réciproque est fausse.

Lorsque u_n>_{0, la suite(S}

n) estcroissantedonc

X

u_n converge ssi la suite(S_n) est majorée.

Schéma de convergence / divergence

un =O(vn) X |v_n| CV        =⇒ X|u_n| CV un =O(vn) X |u_n| DV        =⇒ X|v_n| DV

Lorsque u_n∼ v_n, les sériesX|u_n| etX|v_n| sont de même nature.

Règle de d’Alembert

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Convergence absolue, série à termes positifs

La CV deX|u_n| entraîne la CV deXu_n. La réciproque est fausse.

Lorsque u_n>_{0, la suite(S}

n) estcroissantedonc

X

u_n converge ssi la suite(S_n) est majorée.

Schéma de convergence / divergence

un =O(vn) X |v_n| CV        =⇒ X|u_n| CV un =O(vn) X |u_n| DV        =⇒ X|v_n| DV

Lorsque u_n∼ v_n, les sériesX|u_n| etX|v_n| sont de même nature.

Règle de d’Alembert

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Schéma de convergence et de divergence

Soit P un polynôme non nul, etα ∈ R.

Déterminer la nature de la sérieXP(n) e−αn.

• _{Siα> 0, on choisit β tel que 0 < β < α. Alors P (n) e}−αn_=O(e−βn_{) donc}

X P(n) e−αn CVA. En effet, P(n) e −αn e−βn = P (n) e −(α−β)n_−→ +∞0. • _{Siα 6 0,}X_{P(n) e}−αn _{diverge grossièrement.}

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Schéma de convergence et de divergence

Soit P un polynôme non nul, etα ∈ R.

Déterminer la nature de la sérieXP(n) e−αn.

• _{Siα> 0, on choisit β tel que 0 < β < α. Alors P (n) e}−αn_=O(e−βn_{) donc}

X P(n) e−αn CVA. En effet, P(n) e −αn e−βn = P (n) e −(α−β)n_−→ +∞0. • _{Siα 6 0,}X_{P(n) e}−αn _{diverge grossièrement.}

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Schéma de convergence et de divergence

Soit P un polynôme non nul, etα ∈ R.

Déterminer la nature de la sérieXP(n) e−αn.

• _{Siα> 0, on choisit β tel que 0 < β < α. Alors P (n) e}−αn_=O(e−βn_{) donc}

X P(n) e−αn CVA. En effet, P(n) e −αn e−βn = P (n) e −(α−β)n_−→ +∞0. • _{Siα 6 0,}X_{P(n) e}−αn _{diverge grossièrement.}

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Schéma de convergence et de divergence

Séries de Bertrand

Nature des séries de BertrandX(ln n)

β nα avecα > 0 et β ∈ R. • _{Siα> 1,} (ln n)β nα =O  ₁ nγ  avec 1< γ < α doncCV; • _{Siα< 1,} 1 nγ =O _{(ln n)}β nα  avecα< γ < 1 doncDV; • _{Siα = 1 et β > 0,} 1 n=O _{(ln n)}β n  avec doncDV;

• _{Siα = 1 et β< 0, comparaison à une intégrale :}

X(ln n)β

n a même nature que

Z +∞

2

(ln t )β

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Schéma de convergence et de divergence

Séries de Bertrand

Nature des séries de BertrandX(ln n)

β nα avecα > 0 et β ∈ R. • _{Siα> 1,} (ln n)β nα =O  ₁ nγ  avec 1< γ < α doncCV; • _{Siα< 1,} 1 nγ =O _{(ln n)}β nα  avecα< γ < 1 doncDV; • _{Siα = 1 et β > 0,} 1 n=O _{(ln n)}β n  avec doncDV;

• _{Siα = 1 et β< 0, comparaison à une intégrale :}

X(ln n)β

n a même nature que

Z +∞

2

(ln t )β

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Schéma de convergence et de divergence

Séries de Bertrand

Nature des séries de BertrandX(ln n)

β nα avecα > 0 et β ∈ R. • _{Siα> 1,} (ln n)β nα =O  ₁ nγ  avec 1< γ < α doncCV; • _{Siα< 1,} 1 nγ =O _{(ln n)}β nα  avecα< γ < 1 doncDV; • _{Siα = 1 et β > 0,} 1 n=O _{(ln n)}β n  avec doncDV;

• _{Siα = 1 et β< 0, comparaison à une intégrale :}

X(ln n)β

n a même nature que

Z +∞

2

(ln t )β

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Schéma de convergence et de divergence

Séries de Bertrand

Nature des séries de BertrandX(ln n)

β nα avecα > 0 et β ∈ R. • _{Siα> 1,} (ln n)β nα =O  ₁ nγ  avec 1< γ < α doncCV; • _{Siα< 1,} 1 nγ =O _{(ln n)}β nα  avecα< γ < 1 doncDV; • _{Siα = 1 et β > 0,} 1 n =O _{(ln n)}β n  avec doncDV;

• _{Siα = 1 et β< 0, comparaison à une intégrale :}

X(ln n)β

n a même nature que

Z +∞

2

(ln t )β

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Schéma de convergence et de divergence

Séries de Bertrand

Nature des séries de BertrandX(ln n)

β nα avecα > 0 et β ∈ R. • _{Siα> 1,} (ln n)β nα =O  ₁ nγ  avec 1< γ < α doncCV; • _{Siα< 1,} 1 nγ =O _{(ln n)}β nα  avecα< γ < 1 doncDV; • _{Siα = 1 et β > 0,} 1 n =O _{(ln n)}β n  avec doncDV;

• _{Siα = 1 et β< 0, comparaison à une intégrale :}

X(ln n)β

n a même nature que

Z +∞

2

(ln t )β

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Séries alternées

Lorsque la suite(a_n) décroit et tend vers 0,

• _{la suite}X₍₋₁₎n_a n converge ; • _|R n| =     +∞ X k=n+1 (−1)ka_k    

6_{an+1(très utile pour les séries de fonctions).}

En outre, Rn et an+1sont de même signe.

Nature de la série de terme général u_n= (−1)

n √ n+ (−1)n? u_n =(−1) n √ n 1+ (−1)n √ n !−1 =(−1) n √ n 1 − (−1)n √ n +o  ₁ √ n ! =(−1) n √ n −1 n+o ₁ n  = an+bn X a_nCV (CSSA) etXb_n DV car b_n ∼ −1 n donc X u_n DV.

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Séries alternées

Lorsque la suite(a_n) décroit et tend vers 0,

• _{la suite}X₍₋₁₎n_a n converge ; • _|R n| =     +∞ X k=n+1 (−1)ka_k    

6_{an+1(très utile pour les séries de fonctions).}

En outre, Rn et an+1sont de même signe.

Nature de la série de terme général u_n= (−1)

n √ n+ (−1)n? u_n =(−1) n √ n 1+ (−1)n √ n !−1 =(−1) n √ n 1 − (−1)n √ n +o  ₁ √ n ! =(−1) n √ n −1 n+o ₁ n  = an+bn X a_nCV (CSSA) etXb_n DV car b_n ∼ −1 n donc X u_n DV.

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Séries alternées

Lorsque la suite(a_n) décroit et tend vers 0,

• _{la suite}X₍₋₁₎n_a n converge ; • _|R n| =     +∞ X k=n+1 (−1)ka_k    

6_{an+1(très utile pour les séries de fonctions).}

En outre, Rn et an+1sont de même signe.

Nature de la série de terme général u_n= (−1)

n √ n+ (−1)n? un = (−1)n √ n 1+ (−1)n √ n !−1 =(−1) n √ n 1 − (−1)n √ n +o  ₁ √ n ! =(−1) n √ n −1 n+o ₁ n  = a_n+b_n X a_nCV (CSSA) etXb_n DV car b_n ∼ −1 n donc X u_n DV.

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Séries alternées

Lorsque la suite(a_n) décroit et tend vers 0,

• _{la suite}X₍₋₁₎n_a n converge ; • _|R n| =     +∞ X k=n+1 (−1)ka_k    

6_{an+1(très utile pour les séries de fonctions).}

En outre, Rn et an+1sont de même signe.

Nature de la série de terme général u_n= (−1)

n √ n+ (−1)n? un = (−1)n √ n 1+ (−1)n √ n !−1 =(−1) n √ n 1 − (−1)n √ n +o  ₁ √ n ! =(−1) n √ n −1 n+o ₁ n  = a_n+b_n 1

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Comparaison à une intégrale

Lorsque la fonction f: [0, +∞[ → [0, +∞[ estCpm0 et décroissante,

X f(n) converge ssi Z+∞ 0 f(t ) dt converge. De plus, Zn+1 0 f(t ) dt 6 S_n 6_f(0)+ Zn 0 f(t ) dt et Z+∞ n+1 f(t ) dt 6 R_n6 Z +∞ n f(t ) dt

Nature de la série de terme général un=

ln(n!) nα ? ln(n!) = n X k=2 ln k et Zn 1 ln t dt 6 n X k=2 ln k 6 Z n+1 2 ln t dt (attention, t 7→ln t estcroissante).

On en déduit après calcul queln(n!) ∼ n ln n, puis u_n ∼ ln n

nα−1.

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Comparaison à une intégrale

Lorsque la fonction f: [0, +∞[ → [0, +∞[ estCpm0 et décroissante,

X f(n) converge ssi Z+∞ 0 f(t ) dt converge. De plus, Zn+1 0 f(t ) dt 6 S_n 6_f(0)+ Zn 0 f(t ) dt et Z+∞ n+1 f(t ) dt 6 R_n6 Z +∞ n f(t ) dt

Nature de la série de terme général un=

ln(n!) nα ? ln(n!) = n X k=2 ln k et Zn 1 ln t dt 6 n X k=2 ln k 6 Z n+1 2 ln t dt (attention, t 7→ln t estcroissante).

On en déduit après calcul queln(n!) ∼ n ln n, puis u_n ∼ ln n

nα−1.

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Comparaison à une intégrale

Lorsque la fonction f: [0, +∞[ → [0, +∞[ estCpm0 et décroissante,

X f(n) converge ssi Z+∞ 0 f(t ) dt converge. De plus, Zn+1 0 f(t ) dt 6 S_n 6_f(0)+ Zn 0 f(t ) dt et Z+∞ n+1 f(t ) dt 6 R_n6 Z +∞ n f(t ) dt

Nature de la série de terme général un=

ln(n!) nα ? ln(n!) = n X k=2 ln k et Zn 1 ln t dt 6 n X k=2 ln k 6 Z n+1 2 ln t dt (attention, t 7→ln t estcroissante).

On en déduit après calcul queln(n!) ∼ n ln n, puis u_n ∼ ln n

nα−1.

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Comparaison à une intégrale

Lorsque la fonction f: [0, +∞[ → [0, +∞[ estCpm0 et décroissante,

X f(n) converge ssi Z+∞ 0 f(t ) dt converge. De plus, Zn+1 0 f(t ) dt 6 S_n 6_f(0)+ Zn 0 f(t ) dt et Z+∞ n+1 f(t ) dt 6 R_n6 Z +∞ n f(t ) dt

Nature de la série de terme général un=

ln(n!) nα ? ln(n!) = n X k=2 ln k et Zn 1 ln t dt 6 n X k=2 ln k 6 Z n+1 2 ln t dt (attention, t 7→ln t estcroissante).

On en déduit après calcul queln(n!) ∼ n ln n, puis u_n∼ ln n

nα−1.

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Comparaison à une intégrale

Lorsque la fonction f: [0, +∞[ → [0, +∞[ estCpm0 et décroissante,

X f(n) converge ssi Z+∞ 0 f(t ) dt converge. De plus, Zn+1 0 f(t ) dt 6 S_n 6_f(0)+ Zn 0 f(t ) dt et Z+∞ n+1 f(t ) dt 6 R_n6 Z +∞ n f(t ) dt

Nature de la série de terme général un=

ln(n!) nα ? ln(n!) = n X k=2 ln k et Zn 1 ln t dt 6 n X k=2 ln k 6 Z n+1 2 ln t dt (attention, t 7→ln t estcroissante).

On en déduit après calcul queln(n!) ∼ n ln n, puis u_n∼ ln n

nα−1.

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Produit de Cauchy

(On la rencontre surtout dans le cadre des séries entières).

Formule de Stirling

Le critère de d’Alembert ne donne rien (limun+1

un = 1) mais la formule de Stirling donne un ∼ 1 √ nπ donc X un DV.

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Produit de Cauchy

(On la rencontre surtout dans le cadre des séries entières).

Formule de Stirling

Le critère de d’Alembert ne donne rien (limun+1

un = 1) mais la formule de Stirling donne un ∼ 1 √ nπ donc X un DV.

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Produit de Cauchy

(On la rencontre surtout dans le cadre des séries entières).

Formule de Stirling

Le critère de d’Alembert ne donne rien (limun+1

un = 1) mais la formule de Stirling donne un ∼ 1 √ nπ donc X un DV.

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Produit de Cauchy

(On la rencontre surtout dans le cadre des séries entières).

Formule de Stirling

Le critère de d’Alembert ne donne rien (limun+1

un = 1) mais la formule de Stirling donne un ∼ 1 √ nπ donc X un DV.

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Transformation d’Abel

Soit(an) et (un) deux suites ; on pose An= n X k=0 ak. Alors n X k=0 akuk= Anun− n−1 X k=0 Ak(uk+1− uk)

C’est l’équivalent d’une intégration par parties :

Zb a f(t )g(t ) dt =  F(t )g(t ) b a − Zb a F(t )g0(t ) dt Zx 1 sin t t dt =  −cos t t x 1 − Z x 1 cos t t2 dt . an ↔ sin t , An↔ − cos t , un↔ 1 t, un+1− un↔ − 1 t2 lim x→+∞ cos x x = 0 et Z+∞ 1 cos t t2 dt CVA donc Z+∞ 1 sin t t dt CV.

lim A_nu_n = 0 etXA_n(un+1− un) CVA donc

X

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Transformation d’Abel

Soit(an) et (un) deux suites ; on pose An= n X k=0 ak. Alors n X k=0 akuk= Anun− n−1 X k=0 Ak(uk+1− uk) n X k=0 akuk= a0u0+ n X k=1 (A_k− A_{k −1})u_k= A₀u0+ n X k=1 Akuk− n−1 X k=0 Akuk+1.

C’est l’équivalent d’une intégration par parties :

Zb a f(t )g(t ) dt =  F(t )g(t ) b a − Zb a F(t )g0(t ) dt Zx 1 sin t t dt =  −cos t t x 1 − Z x 1 cos t t2 dt . an ↔ sin t , An↔ − cos t , un↔ 1 t, un+1− un↔ − 1 t2 lim x→+∞ cos x x = 0 et Z+∞ 1 cos t t2 dt CVA donc Z+∞ 1 sin t t dt CV.

lim A_nu_n = 0 etXA_n(un+1− un) CVA donc

X

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Transformation d’Abel

Soit(an) et (un) deux suites ; on pose An= n X k=0 ak. Alors n X k=0 akuk= Anun− n−1 X k=0 Ak(uk+1− uk)

Règle d’Abel: si(A_n) est bornée et (u_n) décroissante et convergente vers

0, la sérieXanun converge.

C’est l’équivalent d’une intégration par parties :

Zb a f(t )g(t ) dt =  F(t )g(t ) b a − Zb a F(t )g0(t ) dt Zx 1 sin t t dt =  −cos t t x 1 − Z x 1 cos t t2 dt . an ↔ sin t , An↔ − cos t , un↔ 1 t, un+1− un↔ − 1 t2 lim x→+∞ cos x x = 0 et Z+∞ 1 cos t t2 dt CVA donc Z+∞ 1 sin t t dt CV.

lim A_nu_n = 0 etXA_n(un+1− un) CVA donc

X

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Transformation d’Abel

Soit(an) et (un) deux suites ; on pose An= n X k=0 ak. Alors n X k=0 akuk= Anun− n−1 X k=0 Ak(uk+1− uk)

Règle d’Abel: si(A_n) est bornée et (u_n) décroissante et convergente vers

0, la sérieXanun converge.

lim

n→+∞unAn= 0 et |Ak(uk+1− uk)| 6 M (uk− uk+1).

X

(u_k− u_k+1) CV (télescopage) doncXAk(uk+1− uk) CVA.

C’est l’équivalent d’une intégration par parties :

Zb a f(t )g(t ) dt =  F(t )g(t ) b a − Zb a F(t )g0(t ) dt Zx 1 sin t t dt =  −cos t t x 1 − Z x 1 cos t t2 dt . an ↔ sin t , An↔ − cos t , un↔ 1 t, un+1− un↔ − 1 t2 lim x→+∞ cos x x = 0 et Z+∞ 1 cos t t2 dt CVA donc Z+∞ 1 sin t t dt CV.

lim A_nu_n = 0 etXA_n(un+1− un) CVA donc

X

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Transformation d’Abel

Soit(an) et (un) deux suites ; on pose An= n X k=0 ak. Alors n X k=0 akuk= Anun− n−1 X k=0 Ak(uk+1− uk)

Règle d’Abel: si(A_n) est bornée et (u_n) décroissante et convergente vers

0, la sérieXanun converge. Ex : u_n =1 n et an= e inθ₍ θ . 0 mod 2π). A_n = n X k=1 eik θ=1 −e i(n+1)θ 1 −ei θ =⇒ |An| 6 2 |1 − ei θ| donc Xeinθ n CV. En particulier,Xsin(nθ) n converge.

C’est l’équivalent d’une intégration par parties :

Zb a f(t )g(t ) dt =  F(t )g(t ) b a − Zb a F(t )g0(t ) dt Zx 1 sin t t dt =  −cos t t x 1 − Z x 1 cos t t2 dt . an ↔ sin t , An↔ − cos t , un↔ 1 t, un+1− un↔ − 1 t2 lim x→+∞ cos x x = 0 et Z+∞ 1 cos t t2 dt CVA donc Z+∞ 1 sin t t dt CV.

lim A_nu_n = 0 etXA_n(un+1− un) CVA donc

X

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Transformation d’Abel

Soit(an) et (un) deux suites ; on pose An= n X k=0 ak. Alors n X k=0 akuk= Anun− n−1 X k=0 Ak(uk+1− uk)

C’est l’équivalent d’une intégration par parties :

Zb a f(t )g(t ) dt =  F(t )g(t ) b a − Z b a F(t )g0(t ) dt Zx 1 sin t t dt =  −cos t t x 1 − Z x 1 cos t t2 dt . an ↔ sin t , An↔ − cos t , un↔ 1 t, un+1− un↔ − 1 t2 lim x→+∞ cos x x = 0 et Z+∞ 1 cos t t2 dt CVA donc Z+∞ 1 sin t t dt CV.

lim A_nu_n = 0 etXA_n(un+1− un) CVA donc

X

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Transformation d’Abel

Soit(an) et (un) deux suites ; on pose An= n X k=0 ak. Alors n X k=0 akuk= Anun− n−1 X k=0 Ak(uk+1− uk)

C’est l’équivalent d’une intégration par parties :

Zb a f(t )g(t ) dt =  F(t )g(t ) b a − Z b a F(t )g0(t ) dt Zx 1 sin t t dt =  −cos t t x 1 − Z x 1 cos t t2 dt . an ↔ sin t , An↔ − cos t , un↔ 1 t, un+1− un↔ − 1 t2 lim x→+∞ cos x x = 0 et Z+∞ 1 cos t t2 dt CVA donc Z+∞ 1 sin t t dt CV.

lim A_nu_n = 0 etXA_n(un+1− un) CVA donc

X

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Transformation d’Abel

Soit(an) et (un) deux suites ; on pose An= n X k=0 ak. Alors n X k=0 akuk= Anun− n−1 X k=0 Ak(uk+1− uk)

C’est l’équivalent d’une intégration par parties :

Zb a f(t )g(t ) dt =  F(t )g(t ) b a − Z b a F(t )g0(t ) dt Zx 1 sin t t dt =  −cos t t x 1 − Z x 1 cos t t2 dt . an ↔ sin t , An↔ − cos t , un↔ 1 t, un+1− un↔ − 1 t2 lim x→+∞ cos x x = 0 et Z+∞ 1 cos t t2 dt CVA donc Z+∞ 1 sin t t dt CV.