Correction examen du baccalauréat section mathématiques session
Une correction possible p
Exercice 1
1) On a : ∀ ∈ , 5 ;
2)
3) Il existe un réel ∈ 1 , 2 coefficient directeur alors Vrai
4) On a est dérivable sur 1
alors d’après le corollaire des inégalités des accroissements finis on a pour tout 1 , 3 ; | | |
Exercice 2
Kooli Mohamed Hechmi
Correction examen du baccalauréat section mathématiques session principale 2012
Une correction possible proposée par Kooli Mohamed Hechmi
0 alors Faux
3 1 1 0 1 alors Vrai
2 tel que ; alors (C) admet une tangente de
alors Vrai
, 3 et ∀ ∈ 1 , 3 ; 1
alors d’après le corollaire des inégalités des accroissements finis on a pour tout | alors Vrai
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.tk/
Correction examen du baccalauréat section mathématiques session
roposée par Kooli Mohamed Hechmi
; alors (C) admet une tangente de
alors d’après le corollaire des inégalités des accroissements finis on a pour tout et de
1) a) On a : $!"!" !# %%%%& ,!#%%%%& ' ≡ )
* 2+ , ⇔ ./ " = #
b) On a : .01 2 " = .0$2 " ' = .0 3 = # ( car 2 " = 3 )
c) On a : ./ est une rotation d’angle )
* et .01 2 est une rotation d’angle )
* . Or
./ " = .01 2 " par suite ./ = .01 2 (deux rotations de même angle qui coïncident en
un point sont égales).
2) On a : 4 = 2 !
On a : ./ ! = ! alors .01 2 ! = ! ⇔ .0 4 = ! ⇔ $545! = 54 %%%%%%& ,5!%%%%%& ' ≡ ) * 2+ , Alors 5! = 54 et $5!%%%%%& ,54%%%%%%& ' ≡ −)
* 2+
3) a) On a 6 = 3 ∗ ! ⇔ 89 : = ; et on a 4 = 2 ! ⇔ "3%%%%& = !4%%%%%& ⇔ "34! est un parallélogramme et comme les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leurs
milieux alors 6 = " ∗ 4 ⇔ 89 N = O
D’autre part on a "3%%%%& = !4%%%%%& ⇒ N: = ;O
On a S"3 est un triangle direct isocèle en S et $S"%%%%& ,S3%%%%%&' ≡ )* 2+ et on sait que toute symétrie centrale est un déplacement donc UV transforme S"3 en un triangle direct isocèle or 54! est un triangle direct isocèle et $54%%%%%%& ,5!%%%%%&' ≡ )* 2+
donc d’après ce qui précède : UV 3 = ! ; UV " = 4 ; "3 = !4
et $S"%%%%& ,S3%%%%%&' ≡ $54%%%%%%& ,5!%%%%%&' 2+ alors l’image du triangle S"3 par la symétrie centrale de centre 6 est le triangle 54!.
b) L’image du triangle S"3 par la symétrie centrale de centre 6 est le triangle 54!et
UV 3 = ! et UV " = 4 alors UV S = 5
De ce qui précède on a 6 = 3 ∗ ! et 6 = S ∗ 5 donc 35!S est un parallélogramme.
Exercice 3
1) a)On a 3 [ \ et 3 [ ] alors il existe une unique similitude directe qui transforme \ en ].
Soit ^ le rapport de U donc ^ alors _ ≡ $3\%%%%%& ,3]%%%%%&' 2+ donc b) On a \ ∈ 6 , `%& et U d’angle perpendiculaire à 6\ et passant par
6, a&
c) On a 3b c 3d donc U b e U$ 3b ' ∩ U 6 , `%&
d) On U est une similitude directe de centre et U g g´ donc l’écriture complexe de ij lmk donc 3 n 2o p
par suite i´ oi n o
Kooli Mohamed Hechmi
alors il existe une unique similitude directe
jq jr
s l tu t
s t l t et soit _ une mesure de son angle donc _ ≡ ) 2+
d’angle ) alors l’image de l’axe 6 , `%& et passant par U \ ] donc l’image de l’axe
donc U$ 3b ' 3d or b e 3b ∩ 6 donc U b e 3d ∩ 6 , `%& vdw donc est une similitude directe de centre 3 de rapport et d’angle
l’écriture complexe de U et i´ i n avec p1 n ox 3 nyo n 2o 3 o
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.tk/
alors il existe une unique similitude directe U de centre 3
une mesure de son angle
`& est la droite
l’image de l’axe 6 , `%& est la droite 6 , `%& donc
donc U b d et d’angle )
zl{|t o et
2) a) On a b d’abscisse et b ∈ 6 , `%& donc b , 0 donc i} = et d d’ordonnée ~ et d ∈ 6 , a& donc d 0 , ~ donc i• = ~o
On a U b = d ⇔ i• = − oi} + o ⇔ ~o = − o + o ⇔ 2~o = −3o + 13o ⇔ 3 + 2~ − 13 o = 0 donc 3 + 2~ = 13
b) Soit l’équation \ : 3 + 2~ = 13 on remarque bien que le couple 3 , 2 est une solution de \ en effet 3 × 3 + 2 × 2 = 9 + 4 = 13
on a donc 3 + 2~ = 3 × 3 + 2 × 2 donc 3 − 3 = 2 −~ + 2 donc 2 divise 3 − 3 or 3 et 2 sont premier entre eux donc 2 divise − 3 il existe donc un entier relatif ^ tel que − 3 = 2^ donc = 2^ + 3 en remplaçant dans 3 − 3 = 2 −~ + 2 on a alors 3 × 2^ = 2 −~ + 2 donc −~ + 2 = 3^ donc ~ = −3^ + 2
D’où = 2^ + 3 et ~ = −3^ + 2 avec ^ ∈ ℤ.
vérification si = 2^ + 3 et ~ = −3^ + 2 avec ^ ∈ ℤ
alors 3 2^ + 3 + 2 −3^ + 2 = 3 × 2^ + 9 − 2 × 3^ + 4 = 13 Les solutions de \ sont = 2^ + 3 et ~ = −3^ + 2 avec ^ ∈ ℤ
On a U b = d ⇔ 3 + 2~ = 13 donc les points b et d dont les coordonnées sont entières sont les points b 2^ + 3 , 0 et d 0 , −3^ + 2 avec ^ ∈ ℤ
Exercice 4
1) a) „ … > 10 = zl × , † ≈ 0,286
b) 6 mois = 0,5 ans donc „ … < 0,5 = 1 − zl ,*× , † ≈ 0,060
2) a) Soit l’événement 3 : « au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans »
donc 3 : « aucun oscilloscope n’ ait une durée de vie supérieure à 10 ans » donc 3 : « tous les oscilloscopes ont une durée de vie inférieure à 10 ans » „ = „ 3 = 1 − „$3' = 1 − 1 − 0,286 ‹ = 1 − 0,714 ‹
b) „ > 0,999 ⇒ 1 − 0,714 ‹ > 0,999 ⇒ 0,714 ‹ < 0,001 ⇒ ⇒ ln 0,714 ‹ < ln 0,001 ⇒ •Ž• 0,714 < ln 0,001 ⇒ • > •• ,
‘‹ ,’ “ car Ž• 0,714 < 0 donc • > 20,526 donc • = 21
donc le nombre minimal d’oscilloscopes est 21
Exercice 5
1) a) ln
lim
”→ – ”→lim– ln n∞ lim
”→u˜ ”→u˜lim ln ”→u˜lim ™1 −
ln š = +∞ Car lim ”→u˜ •• ” ”t = 0 b) lim
”→u˜ = lim”→u˜
− ln = lim ”→u˜ −
ln = +∞
La courbe (Γ) admet une branche parabolique de direction 6 , ›& au voisinage de +∞ c) est dérivable sur 0 , +∞ et pour tout ∈ 0 , +∞ ´ = 2 −
” = ”tl
” donc ´ est du signe de 2 − 1 sur 0 , +∞
0 √ +∞ ´ − + +∞ +∞ 1 + ln 2 2) a) Soit > 0 g , ln ∈ • g , ∈ ! On a gg = s − + − ln = s − ln = | − ln | = | | or d’après 1) c) > 0 donc gg =
b) On trace la droite d’équation = 2 elle coupe • en g et ! en g , avec le compas on prend la distance gg , puis on met la pointe sèche du compas sur le point de l’axe 6 , ž& d’abscisse 2 et avec la mine on fait une trace sur la droite d’équation = 2 de cette manière on a construit le point d’abscisse 2 et appartenant à (Γ), on répète la même chose pour les autres points.
c)
Kooli Mohamed Hechmi
;
Ÿ
