Devoir de contrôle n°1 4ème Mathématiques Me Soumeya 07 11 15

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Exercice 1 (3 points)

Répondre par Vrai ou Faux pour chacune des propositions suivantes :

1) Si 1 + 2 est une racine carrée d’un nombre complexe alors 1 − 2 est l’autre racine carrée de .

2) Soit un triangle direct, rectangle est isocèle en alors on a : = 3) Soit une suite réelle telle que ∀ ∈ ℕ on a : ≤ − 4 ≤ alors lim

→ ∞ = 4

4) Soit une suite réelle convergente vers un réel et telle que : ∀ ∈ ℕ ; > 2 alors > 2

Soit la suite réelle " # définie sur ℕ par : $ % = 1 ₌ &' ( &' ∀ ∈ ℕ )

1) Calculer et ₍ et en déduire que la suite " # n’est ni arithmétique ni géométrique. 2) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : > 0.

b) Montrer que la suite " # est décroissante.

c) En déduire que la suite " # est convergente et déterminer sa limite. 3) Soit la suite "+ # définie sur ℕ par : + = &'

&' a) Montrer que la suite "+ # est géométrique. b) Montrer que : ∀ ∈ ℕ on a : =

( c) Retrouver la limite la suite " #

Soit la fonction . définie sur ℝ par : 0."1# =

2 345"62#

2 7 1 < 0

."1# = 19_{− 121 + 1 7 1 ≥ 0}) 1) a) Vérifier que : lim

→%;."1#= 1.

Lycée Ibnou Rachik Devoir de contrôle n° 1 4ème M

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b) Montrer que . est continue en 0. c) Montrer que ∀1 ∈ <−∞ , 0? on a : 2 (

2 ≤ ."1# ≤ 1 d) Déterminer alors lim

→ @."1#.

2) a) Montrer que l’équation : ."1# = 0 admet dans A−

( , 0B au moins une solution C. b) Montrer que : sin"FC# = −√−C(− 2C

3) a) Dresser le tableau des variations de la fonction . sur l’intervalle ?0 , +∞? . b) Déterminer ."?0 , 2<# et ."?2 , +∞?#.

4) a) Montrer que l’équation ."1# = 0 admet dans ?0 , 2< une unique solutiuon H. b) Déterminer alors le signe de ."1# sur l’intervalle ?0 , 2<.

Dans un plan I muni d’un repère orthonormé direct "J , KLM , NM # on considère les points , , et O d’affixes respectives : _P = −2 ; _Q = 1 + ; _R = 4 + 2 et _S = 2.

1) a) Montrer que les points , et sont alignés. b) Montrer que O est le milieu de ? <.

2) On désigne par T le symétrique du point par rapport au point O. a) Déterminer l’affixe _U du point T.

b) Montrer que T est un losange. c) T est-il un carré ?

3) Déterminer les ensembles suivants :

V = WX" # ∈ I/ Z − 1 −_{+ 2 Z = 1[ \ = WX" # ∈ I/} − 1 −_{+ 2 ∈ ℝ}∗_[ 4) Déterminer et construire l’ensemble :