Aix Marseille université.
Master II de recherche en didactiques des mathématiques.
Années universitaires 2013-2014 et 2014-2015.
Mémoire de recherche de Grégoire CHAPEROT
Les fonctions du récit en classe de
mathématiques : Exemple des narrations de
recherche en collège.
Directrice de recherche : Mme Teresa ASSUDE
Septembre 2015
Les fonctions du récit en classe de mathématiques : Exemple des
narrations de recherche en collège.
Table des matières
Remerciements...5
Introduction...6
I Problématique et travaux déjà existants...7
Introduction...7 1. Travaux de J S Bruner...9 2. Travaux de M. Moulin...11 3. Travaux de J. Goody...13 Conclusion...15 II Contexte institutionnel...17
1 Un constat sur la présence de l'écrit et des récits dans les instructions officielles...17
2 Analyse des instructions officielles...21
III Méthodologie de recherche...24
Introduction...24
1. Narrations de recherche...24
2. Recueil de données...27
3. Problèmes mathématiques liés aux consignes de la narration de recherche...28
a) Narration A...30
b) Narration B...31
c) Narration C...32
d) Narration D...33
e) Narration E...34
4. Des éléments indicateurs pour les fonctions exhibées...36
a) Fonction structurante...36 b) Fonction problématisante...36 c) Fonction explicative...37 d) Fonction réflexive...38 IV Analyses et résultats...40 1 Fonction structurante...41 2 Fonction problématisante...46 3 Fonction explicative...52 4 Fonction réflexive...61 Conclusion...70 Conclusion...72 Bibliographie...74 Sitographie...75 Résumé...77 Abstract...78 Nuage de mots...79 Mots clés...79
Remerciements
Avant d'entamer ce mémoire je souhaite prendre le temps de remercier ici toutes les personnes qui m'ont permises de suivre ce Master II de recherche en didactiques des mathématiques.
En premier lieu, l'ensemble des enseignants qui ont assuré les cours pendant ces deux années universitaires 2013-2014 puis 2014-2015. Ainsi merci à Pierre Arnoux et l'équipe des enseignants qui ont pris en charge son UE ; Michèle Artaud ; Teresa Assude, Tracy Bloor, Yves Chevallard, Yves Matheron. J'ai éprouvé un grand plaisir à suivre cette formation, je suis heureux d'avoir découvert ou redécouvert les aspects de la didactique des Mathématiques tout au long de ces deux années et j'espère que je poursuivrai le parcours initié en Master bientôt, après un petit temps de pause pour profiter de ma famille.
Ensuite je souhaite aussi marquer ici ma reconnaissance et mon amitié aux étudiants de ce Master, à Marseille ou à distance. Nous avons pu suivre les enseignements dans la bonne humeur et la réflexion, en échangeant nos idées et nos points de vues nous avons pu progresser chacun à notre rythme dans ce parcours.
Ensuite une attention spéciale à ma compagne Elena et à mon fils Apollinaire pour la patience et les longs mercredis où ils ont du se passer de mon aide.
Enfin, je remercie tout particulièrement Teresa Assude d'avoir suivi l'évolution de ce mémoire et de m'avoir orienté dans mes recherches.
Introduction
Le travail que nous allons faire dans ce mémoire souhaite identifier et connaître les fonctions du récit dans la classe de mathématiques.
Ce premier questionnement a pour origine une pratique personnelle, que j'ai voulu interroger, celle de la découverte et de la mise en œuvre de narrations de recherche en classe. En tant que professeur de mathématiques en collège, je me suis demandé à quoi pouvait servir de manipuler les récits avec les élèves. Ce type d'exercice sera détaillé ultérieurement, mais leur mise en place avec les élèves de collège m'a permis de m’intéresser aux récits en mathématiques et d'essayer de comprendre quelles fonctions ils avaient dans le cours. On reviendra sur la définition précise d'un récit mais en commençant mes recherches, j'ai voulu faire porter ce travail précisément sur les récits écrits qui étaient plus au cœur de mes préoccupations. Les travaux de recherche en didactique m'ont donné des pistes pour explorer ce domaine
Pour préciser la question de recherche, nous nous proposons d'essayer d'identifier les fonctions du récit en utilisant les travaux et ouvrages qui ont déjà proposés des réponses sur ce thème. Dans un premier temps nous utiliserons des considérations plutôt généralistes présentées par Jerome Seymour Bruner, psychologue américain qui a beaucoup travaillé sur l'éducation et les récits. Ensuite, en recentrant davantage nos recherches sur la didactique nous utiliserons le travail de thèse de Marianne Moulin qui a consacré son travail plus particulièrement aux récits en primaire, les conclusions nous permettront de cerner des fonctions intéressantes pour notre travail. Ensuite un autre auteur a attiré notre attention au cours des lectures de préparation, il s'agit de Jack Goody dont les travaux sont souvent utilisées dès qu'on aborde l'écrit lié aux connaissances.
Ainsi, nous allons dans un premier temps aborder les différents aspects théoriques au travers de travaux de Bruner, de Moulin puis enfin de Goody. Après cette étude, nous examinerons les documents de référence pour les enseignants du collège, niveau où se travail se situe. En observant les programmes officiels du collège de Mathématiques et les instructions du socle commun, nous chercherons la place qu'y occupent les récits. Dans une troisième partie, nous commencerons par présenter notre méthodologie de recherche en expliquant le choix des narrations de recherche. Après avoir détaillé le contenu des exercices avec lesquels nous avons réalisé nos observations, nous exposerons les éléments que nous allons rechercher dans nos données pour y déceler les fonctions retenues. Enfin, à l'aide de plusieurs documents nous exhiberons les fonctions du récits qu'ils contiennent afin d'étudier les différents aspects de ces fonctions.
I Problématique et travaux déjà existants
Introduction
Pour préciser le cadre de notre travail nous examinons rapidement les premières notions liées à la question de recherche posée. Un terme central dont il sera beaucoup question lors de ce mémoire est le mot récit dont nous examinons ci-après des définitions.
Une première définition généraliste que nous examinons est tirée du Larousse en ligne dont on reproduit les différents points :
Action de relater, de rapporter quelque chose : faire le récit d'un voyage. Développement oral ou écrit rapportant des faits vrais ou imaginaires.
Dans une œuvre dramatique, narration d'un événement qui a eu lieu hors de la scène.
Solo instrumental de caractère orné. Troisième clavier de l'orgue. Synonyme de récitatif.
Une autre définition donnée par le Littré en ligne nous propose : 1. Action de raconter quelque chose.
« et puisqu'il faut encor vous en faire un récit » ; [ Corneille, Le Cid]
2. Dans l'art dramatique, la narration détaillée d'un événement qui vient de se passer.
« lorsque cet inconvénient est à craindre, il est bon de cache l'événement à la vue et de le faire savoir par un récit qui frappe moins que le spectacle, et nous impose plus aisément. » [Corneille, 2e disc]]
3. Familièrement. Langage avantageux que l'on tient de quelqu'un. Je ne le connais point, mais sur le récit qu'on m'en a fait j'en ai bonne opinion.
Faire un grand récit, de grands récits de quelqu'un ou de quelque chose, en parler très avantageusement.
4. Terme de musique. Ce qui est chanté par une voix seule ou joué par un instrument seul. Récit de basse, de violon.
5. Il se dit aussi de la partie qui, dans une symphonie, exécute le sujet principal. 6. Synonyme ancien de récitatif.
« Quand les italiens firent revivre la tragédie au XVIe siècle le récit était une mélopée, mais qu'on pouvait noter » [Voltaire, dictionnaire philosophique]
La dernière définition dont nous ne résumerons que le premier paragraphe est tirée du dictionnaire en ligne, Trésor de la Langue Française Informatisée :
a) Action de rapporter des événements b) Propos rapportant des événements.
On constate que toutes ces définitions insistent sur la présentation ou la narration d'événements liés à une situation réelle ou imaginaire. Nous examinerons cet aspect dans les données que nous analyserons. La démarche proposée aux élèves pour résoudre un problème mathématique est de faire un récit de sa recherche et de sa solution afin de la partager avec le professeur. Ma question de recherche est ainsi : pourquoi mettre en œuvre cette démarche et quelles fonctions apporte le récit ?
En guise de conclusion sur ce que nous entendons par récit on donne la définition adoptée par Marianne Moulin dans sa thèse(soutenue en Juillet 2014) que nous détaillerons ensuite :
Récit : Production, orale ou écrite, relatant une succession d’événements organisés autour d’un élément problématique
Cette définition sera celle retenue pour notre travail, avec la restriction déjà évoquée, nous concentrerons nos recherches sur les récits écrits uniquement. Après ces quelques précisions, explicitons davantage les apports des différents auteurs que nous avons évoqué plus haut.
1. Travaux de J S Bruner
Les récits jouent un rôle prépondérant dans les sociétés occidentales. Le récit est au cœur de plusieurs travaux de Bruner dont la citation suivante retranscrit l'importance de ce mode de communication :
« Tout indique que nous construisons des histoires sur le monde dit réel de la même manière que nous construisons des fictions : elles répondent au même règles de construction, aux même structures narratives. Nous ne savons pas, et nous ne saurons jamais, si nous apprenons à faire des récits à partir de la vie réelle ou si nous apprenons la vie grâce aux récits. Les deux sont probablement vrais. En revanche, il ne fait de doute pour personne que, en apprenant à manier les subtilités du récit, nous apprenons également à penser à notre vie, de même qu'en comprenant les règles de l'associativité, de la distributivité et de la commutativité, nous parvenons à comprendre ce que signifie la pensée algébrique. »(Bruner 2008, p120)
L'apprentissage des récits et de la vie réelle est pour l'auteur indissociable, qu'en est-il de la relation entre les récits et les mathématiques. L'extrait précédent qui fait référence aux apprentissages et aux récits indique une des raisons d'être de ce travail, comment les récits en mathématiques peuvent ils jouer un rôle dans la classe et quelles sont les fonctions que les récits peuvent assurer ?
Pour mieux comprendre les aspects de ces questions, mes enquêtes et lectures m'ont permises de trouver plusieurs travaux et auteurs dont les préoccupations se rapprochent de celles décrites précédemment.
En premier lieu, et comme nous l'avons déjà cité, le travail de J. S. Bruner et notamment son livre : L'éducation, entrée dans la culture(2008) dans lequel il développe une partie sur le récit en tant que mode de pensée pour organiser les savoirs :
« Revenons-en à ce qui fait l'objet de ce chapitre : le récit en tant que mode de pensée, en tant que structure pour organiser notre savoir, et en tant que véhicule dans le processus de l'éducation, particulièrement dans le domaine des sciences. Pour ce faire il me paraît nécessaire de revenir sur quelques points fondamentaux. » (Bruner 2008, p 149)
Les points fondamentaux listés par Bruner traduisent une pédagogie qui place au cœur de l'apprentissage la construction des savoirs par les élèves eux-mêmes. Ces points sont les suivants :
Première conception, que l'auteur exprime sous plusieurs formes et dont nous garderons la plus générale donnée dans les pages qui suivent :
« tout domaine de savoir peut être construit à divers niveaux de complexité et d'abstraction »
Pour l'acquisition des connaissances, les savoirs peuvent être construits par l'élève et non exhibés magistralement ce qui limiterait la qualité de l'apprentissage.
Dans la suite de cette partie, l'auteur rappelle que l'enfant, l'apprenant doit avoir une bonne vision du contexte qui encadre la construction des savoirs mais que si l'on respecte les stades de développement de l'enfant on peut tout enseigner. Ici Bruner revient sur l'intérêt des récits
« Tout indique en effet que la manière la plus naturelle dont nous organisons nos expériences et nos connaissances prend précisément une forme narrative. »(Bruner 2008, p 151)
Il poursuit en proposant un point de vue que l'on retrouvera ensuite :
« Ce qui est particulièrement intéressant dans l'histoire en tant que structure, c'est la voie à double sens qui traverse à la fois chacune de ses parties et sa totalité. Les événements racontés dans une histoire tirent leur signification de l'histoire dans son ensemble. Mais l'histoire dans son ensemble est construite à partir de ses parties constitutives. »(Bruner 2008, p 152)
Cette dernière partie est ce qu'il appelle le cercle herméneutique.
Avec cette dialectique entre le tout et ses parties on voit apparaître une idée qui sera présente également dans le travail de M. Moulin, le récit et le problème à résoudre sont liés et en adoptant la forme qu'est le récit pour résoudre un problème mathématique on aura pour contrainte de respecter la structure sous-jacente de ce modèle.
Cette structure est indiqué par Bruner :
« Au minimum, « une histoire » (fictive ou réelle) met en jeu en Agent qui agit pour atteindre un But, dans un Cadre reconnaissable et en utilisant certains Moyens. Ce qui guide l'histoire, ce qui fait qu'elle vaut qu'on la raconte, c'est l'Obstacle : un défaut d'ajustement entre les Agents, les Actions, les Buts , les Cadres et les Moyens. »(Bruner 2008, p 120)
Ces étapes de la structuration du récit en lien avec les fonctions que l'on cherche à distinguer nous permettent d'insister sur le caractère structurant que le récit permettra d'intégrer aux travaux des élèves. Le récit, en manipulant les objets cités par Bruner : Agent, But, Cadre, Moyen, pour tenter de surmonter l'Obstacle rappelle la structure d'un raisonnement mathématique qui doit convoquer des éléments similaires au niveau d'un problème à résoudre pour parvenir à une solution construite.
L'exploration de ces thèmes a notamment déjà été entreprise par Marianne Moulin dans la thèse que nous allons étudier dans le paragraphe suivant.
2. Travaux de M. Moulin
Dans la discipline qu'est la didactique des mathématiques, un point d'appui important pour guider ma réflexion a été la thèse de Marianne Moulin intitulée :
Inscription du récit dans le milieu en résolution de problèmes mathématiques : Études des contraintes didactiques, des apports et des limites dans la construction de raisonnement
Soutenue en Juillet 2014
Cette thèse qui utilise principalement la théorie de Guy Brousseau pour étudier le récit en mathématiques se concentre plus spécifiquement sur les classes de primaire en France. Après une étude du contexte actuel autour du récit elle développe une description du récit et des problèmes à résoudre. Nous avons retenu dans ce travail les points suivants.
Le problème mathématique à résoudre est scindé en 3 composantes : la structure et les informations qui définissent la situation, les questions posées dans le problème à résoudre, la solution.
En lien avec ces composantes sont associés des processus : le processus structurant et modélisant en lien avec la structure et les informations du problème ; le processus d'élaboration et de problématisation avec la composante question et le processus explicatif et de problématisation lié à la solution.
Le récit est lui aussi articulé en 3 composantes : Structure et informations, complication et dénouement.
Un peu à la manière de Bruner évoquée dans le début de ce travail, une fois la situation mise en place, les Agents et le Cadre étant fixé, l'Obstacle tient lieu de complication pour arriver aux Buts en effectuant des Actions avec les Moyens dont on dispose
Les 3 composantes pour le récit sont accompagnées de plusieurs processus.
Avec la mise au jour de ces différentes caractéristiques, M. Moulin distingue 3 fonctions du récit pour sa thèse :
La fonction structurante :
« La mise en récit permet en effet de prendre en charge des objets et facilite leur mise en relation. En permettant de construire un tout cohérent, le récit peut jouer un rôle structurant dans l’organisation des connaissances et dans l’articulation des phénomènes. Le récit facilite ainsi la compréhension de systèmes complexes. »(Moulin, 2014 p 125)
La fonction problématisante :
« Il n’y a pas de récit sans intrigue et donc sans problématisation.
La mise en place de l’intrigue, via un élément perturbateur, peut être comparée à la construction d’un problème. Elle invite par conséquent à reconsidérer les connaissances en jeu et à adopter une démarche de problématisation. »(Moulin, 2014 p 125)
La fonction explicative :
« Le récit, à travers la fiction, permet de construire des explications. Celles-ci s’inscrivent dans des "mondes possibles" qui, de part leur nature, prennent en charge toutes les contraintes portées par le récit et par la situation de référence. Les explications produites respectent par conséquent ces mêmes contraintes. »(Moulin, 2014 p 125)
Finalement, voici un schéma tiré de la thèse de M. Moulin qui permet de résumer les points évoqués ci-dessous :
Document de la thèse de M Moulin p 135
En prenant en compte la narration qui regroupe les différentes parties du récit et le raisonnement qui regroupe lui les différents aspects du problème. Moulin émet l'hypothèse que :
« … raisonnement et narration se co-construisent au travers d'un transfert de processus d'un espace problème à l'autre »(Moulin, 2014 p 131)
Les espaces liés au récit et au problème fusionnent, cela permet des transfert d'un espace à l'autre selon les fonctions déterminées ci-dessus. On peut ainsi créer entre le récit et le problème mathématique un lieu de rencontre potentiel.
3. Travaux de J. Goody
Un autre auteur permet également de nous guider à travers la recherche des fonctions du récit, Jack Goody. La théorie de celui-ci est davantage orientée vers la littératie mais ses apports pour un travail sur la didactique des mathématiques vont se révéler importants. Nous rappelons ci-après une définition de littératie donné par l'encyclopédie en ligne Wikipédia :
La littératie est « l’aptitude à comprendre et à utiliser l’information écrite dans la vie courante, à la maison, au travail et dans la collectivité en vue d’atteindre des buts personnels et d'étendre ses connaissances et ses capacités. »
Cette définition illustre bien le travail que nous cherchons à faire. En observant la définition donnée on constate que la littératie a bien la même préoccupation que notre travail, savoir comment on peut utiliser l'écrit pour enrichir ses connaissances et ses capacités.
Un premier point emprunté directement à Goody dans La raison graphique ; La domestication de la pensée sauvage. (Les éditions de minuit 1977 réédition Octobre 2013) nous donne un avantage de l'écrit sur l'oral en ce qui concerne son étude a posteriori :
« Cependant, il est certainement plus facile de percevoir les contradictions dans un texte écrit que dans un discours parlé, en partie parce qu'on peut formaliser les propositions de manière syllogistique et en partie parce que l'écriture fragmente le flux oral, ce qui permet de mettre côte à côte et de comparer des énoncés émis à des moments et dans des lieux différents. »(Goody, 2013, p 50)
Envisagée dans le cadre du travail des enseignants, nous pouvons tirer de cette citation les remarques suivantes. Il est plus facile, quand on dispose d'un travail écrit, de l'évaluer. D'abord puisque la contrainte de l'horloge est absente, l'enseignant peut passer presque autant de temps qu'il le souhaite pour l'évaluation du document écrit. Et ensuite cela permet de prendre en compte toutes les parties du travail en ayant la possibilité d'effectuer des comparaisons, avec des parties du même document ou avec d'autres documents, et d'être capable de déceler la structure de ce travail. Par rapport à la spontanéité de l'oral, l'étude de documents écrits possède les avantages déjà cités mais une fonction essentielle exposée par Goody et sur laquelle nous reviendrons disparaîtrait sûrement si les enseignants évaluaient seulement les productions orales des élèves.
A la suite de cela, en dénonçant le clivage souvent trop marqué qui est fait pour désigner des populations étudiées en anthropologie, Goody reprend la distinction entre deux modes de civilisation qu'il qualifie d'ouverte ou fermée. Très schématiquement cette différence tient essentiellement pour une civilisation donnée de posséder ou non un système d'écriture. Dans ce contexte là, il dévoile une description de ces deux systèmes où le point suivant(à propos d'un
système fermé qu'il décrit) éclaire notre travail :
"c. Pensée non réflexive(par opposition à réflexive). Dans la pensée traditionnelle, les règles de la pensée ne sont pas objet de réflexion, ; c'est pourquoi, il ne peut y avoir ni Logique (règles) ni Epistémologie (fondements de la connaissance) au sens strict des termes."
Cette citation fait émerger un avantage majeur de l'écrit et plus particulièrement du récit. En se limitant à un travail oral, la pensée peut difficilement faire référence à elle même et l'écrit de par sa nature est un lieu propice à la réflexion et surtout à la réflexivité.
Sur cette partie on cite également une analyse d'Yves Reuter dans A propos des usages de Goody en didactique. Éléments d’analyse et de discussion qui renforce notre analyse :
« Le troisième canal, étroitement lié aux précédents et sans doute déterminant, par lequel les travaux de Goody ont pénétré le champ des didactiques est celui de la construction de la connaissance des savoirs et de la distance réflexive. On peut en effet parler, depuis au moins une douzaine d'années, de thèses convergentes, issues de multiples socles disciplinaires, autours de l'importance scolaire d'un rapport distancié aux pratiques langagières notamment en ce qu'elles participent de la construction des savoirs. Cette importance tien fait à plusieurs dimensions articulées : les relations entre écrit et constitution de savoirs scientifiques, les formes écrites des savoirs scolaires, l'importance des pratiques langagières dans la construction des savoirs et plus particulièrement, dans les modalités scolaires d'enseignement-apprentissage des savoirs... » (Reuter 2006, p 135)
L'aspect réflexif de l'écriture et du récit est de nouveau mis en avant et on peut en tirer la remarque suivante concernant notre travail : en demandant de produire des récits aux élèves, le caractère réflexif pourra favoriser la construction d'un raisonnement abouti. Pour éclairer ces propos, on a réécrit ci-dessous la citation de Goody incluse dans ce texte :
« Il est important d'insister sur une propriété majeure de l'écriture; à savoir la possibilité qu'elle offre de communiquer non pas avec d'autres personnes mais avec soi-même.[..] » (Reuter 2006, p 141)
Ce passage insiste sur la propriété réflexive de l'écriture souvent peu mise en avant dans le milieu scolaire.
La demande faite aux élèves de construire un récit et non simplement de répondre à des questions d'un exercice peut permettre de valoriser une démarche réflexive et d'en observer les conséquences sur la construction des savoirs.
Un travail sur l'écriture dans une classe de mathématiques, utilise également les fonctions cernées par J Goody. Dans L'écriture au quotidien dans une classe de mathématiques T. Assude, M. Lattuati et N. Leorat utilisent la théories de J. Goody et mettent en avant trois types de fonctions de
l'écrit qu'il a dégagé dans ses travaux :
- fonctions cognitives relatives aux connaissances des sujets(espace psychologique) -fonctions sociales relatives au processus de stockage et transmission(espace social)
- fonctions "matérielles ou réelles" relatives à la documentation, et communication.(espace social et réel)
Ces types de fonctions, au sein des espaces rappelés entre parenthèses, contiennent notamment les fonctions de conservation, de réorganisation, de recherche et de résolution de problèmes selon les niveaux concernés.
Pour terminer, une dernière citation de Goody à propos des fonctions qu'il dégage dans le livre déjà cité :
« nous avons vu que l'écriture a deux fonctions principales. L'une est le stockage de l'information, qui permet de communiquer à travers le temps et l'espace et qui fournit à l'homme un procédé de marquage, de mémorisation et d'enregistrement. Cette fonction pourrait bien sûr être remplie par d'autres moyens de stockage, tel que l'enregistrement sur bande magnétique. Cependant l'utilisation d'une reproduction seulement auditive ne permettrait pas de remplir la seconde fonction, celle qu'a l'écriture en assurant le passage du domaine auditif au domaine visuel, ce qui rend possible d'examiner autrement de réarranger, de rectifier des phrases et même des mots isolés »(Goody 2013 p145)
La deuxième fonction moins centrale pour notre travail liés à l'acquisition d'un savoir est celle de la décontextualisation. Pour revenir sur le contenu de cette citation, la dernière partie de cet extrait est la plus significative. Avec le récit, on a la possibilité de reprendre, de rectifier et d'avoir du recul par rapport à l'écrit que l'on produit, par rapport à la réflexion que l'on est en train de mener.
Conclusion
En guise de conclusion pour cette partie et afin de constituer des outils pertinents pour analyser les données recueillies, nous allons présenter plus succinctement les fonctions déjà évoquées pour faciliter leur utilisation ultérieurement.
Avec la thèse de M. Moulin on peut reprendre pour ce travail sur les fonctions du récit en collège les trois points explicités dans cette thèse, à savoir :la fonction structurante, la fonction
problématisante et la fonction explicative.
Une autre fonction dévoilée par le travail de recherche dans les documents cités est la fonction réflexive du récit. Cette fonction, soulignée principalement par J. Goody a un lien fort avec l'espace psychologique de l'auteur du récit et le travail qu'il doit effectuer pour passer à l'écrit, va révéler une tâche essentielle de l'écrit dans les apprentissages et nous essaierons d'en souligner les
apports.
Ces points seront examinés dans la troisième partie du mémoire, en cherchant dans les copies d'élèves les éléments qui peuvent nous indiquer quelle est la fonction présente et quel rôle joue celle-ci. Tout d'abord, on fera une analyse a priori dans la seconde partie pour essayer de fixer un cadre pour chaque fonction et se donner des indicateurs adaptés qui nous permettront de discerner les fonctions présentes dans les travaux d'élèves.
II Contexte institutionnel
Pour mieux cerner les fonctions du récit nous confronterons les résultats de la première partie avec des travaux d'élèves. Tout d'abord nous allons observer la place des récits, et plus généralement de l'écrit, dans les instructions officielles. On pourra ainsi mieux connaître les demandes institutionnelles vis-à-vis du récit.
Après l'examen de ces contraintes fixées par l'institution scolaire et des conditions qui délimitent les marges de manœuvre pour notre travail, nous détaillerons la méthode mise en place pour récupérer des récits et expliquerons l'intérêt de ce choix. Une fois données les principales caractéristiques sur les classes étudiées on terminera par expliciter en détails le contenu mathématique travaillé lors de la résolution de ces problèmes.
1 Un constat sur la présence de l'écrit et des récits dans les instructions officielles
A travers la lecture de documents ressources pour les enseignants de collège nous allons examiner le socle commun de connaissances et compétences et le programme officiel de mathématiques du collège en vigueur en 2015. Nous allons étudier ce qui concerne les écrits et les récits pour ce qui est « des mathématiques officielles ». Ensuite, une fois les éléments les plus pertinents recueillis nous analyserons ces textes pour savoir si le récit y occupe une place importante et si l'on peut à travers cette lecture distinguer les fonctions associées au récit.
Tout d'abord, dans le socle de connaissances et de compétence paru au décret du 11 Juillet 2006., le mot « écrit » apparaît à plusieurs reprises mais une seule fois dans la partie qui concerne le plus les mathématiques : le pilier 3 (Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique) dans la partie A.Les principaux éléments de mathématiques. Il est ainsi préconisé pour les capacités attendues pour les élèves qu'ils sachent :
« [...]communiquer, à l'écrit comme à l'oral, en utilisant un langage mathématique adapté »(p11)
Cette formulation est utilisée à de nombreuses reprises tout au long du document et incite les enseignants de toutes les disciplines à valoriser les capacités de communication aussi bien à l'oral qu'à l'écrit.
pilier sur la maîtrise de la langue française, les élèves doivent être capables de comprendre et de rédiger des récits simples.
En faisant à cette occasion un détour par le programme d'enseignement du français, on voit que dès la classe de 6e les récits sont des objets d'étude pour les élèves et qu'ils doivent connaître les normes de cette forme d'écrit. On trouve ainsi dans ce programme de français, discipline où l'on s'attend à trouver le plus de détails sur la connaissance qu'ont les élèves du récit, le passage suivant :
« 3 Travaux d’écriture
- récits rendant compte d’une expérience personnelle (l’élève peut éventuellement y exprimer sa propre appréciation, ses émotions et ses sensations) »
Programme de l'enseignement de français (BO du 28 Août 2008, p 6)
Ensuite en classe de 5e et 4e, le récit est encore un sujet à l'étude et nous retiendrons de la lecture de ce programme la courte citation :
« - les connecteurs temporels (dans le récit), »(BO du 28 Août 2008, p 9) que nous commenterons ci-après.
Cette fois, dans le programme actuel, présenté dans le Bulletin officiel du n° 6 du 28 Août 2008, un paragraphe entier apparaît sur les écrits dans le cours de mathématiques, nous le reproduisons ci-contre :
« 4.7. Différents types d’écrits
Les élèves sont fréquemment placés en situation de production d’écrits. Il convient à cet égard de développer et de bien distinguer trois types d’écrits dont les fonctions sont différentes.
• Les écrits de type « recherche » (brouillon) qui correspondent au travail «privé » de l’élève : ils ne sont pas destinés à être communiqués, ils peuvent comporter des dessins, des schémas, des figures, des calculs. Ils sont un support pour essayer, se rendre compte d’une erreur, reprendre, rectifier, pour organiser sa recherche. Ils peuvent également être utilisés comme mémoire transitoire en cours de résolution du problème. Si l’enseignant est amené à les consulter pour étudier le cheminement de l’élève, il ne doit ni les critiquer, ni les corriger.
• Les écrits destinés à être communiqués et discutés : ils peuvent prendre des formes diverses (affiche, transparent, documents informatiques...) et doivent faire l’objet d’un souci de présentation, de lisibilité, d’explicitation, tout en sachant que, le plus souvent, ils seront l’objet d’un échange entre élèves au cours duquel des explications complémentaires
seront apportées.
• Les écrits de référence, élaborés en vue de constituer une mémoire du travail de l’élève ou de la classe, et donc destinés à être conservés. »(BO du 28 Août 2008, p 12)
Enfin, pour ce qui est du programme de la classe de mathématiques, on trouve sur le calcul littéral le passage suivant qui montre des liens étroits avec nos préoccupations :
« À cet égard, deux étapes doivent être clairement distinguées : la première, et la plus importante, est la recherche et la production d’une preuve ; la seconde, consistant à mettre en forme la preuve, ne doit pas donner lieu à un formalisme prématuré. En effet des préoccupations et des exigences trop importantes de rédaction, risquent d’occulter le rôle essentiel du raisonnement dans la recherche et la production d’une preuve. C’est pourquoi il est important de ménager une grande progressivité dans l’apprentissage de la démonstration et de faire une large part au raisonnement, enjeu principal de la formation mathématique au collège. La rédaction et la mise en forme d’une preuve gagnent à être travaillées collectivement, avec l’aide du professeur, et à être présentées comme une façon convaincante de communiquer un raisonnement aussi bien à l’oral que par écrit
Dans le cadre du socle commun, qui doit être maîtrisé par tous les élèves, c’est la première étape, « recherche et production d’une preuve » qui doit être privilégiée, notamment par une valorisation de l’argumentation orale. La mise en forme écrite ne fait pas partie des exigibles. »(BO du 28 Août 2008, p 11)
Après avoir recherché les indications sur les écrits dans les programmes de mathématiques, l'examen de celui-ci pour trouver le mot « récit » s'est révélé infructueux.
En outre, la réforme engagée actuellement a déjà fourni plusieurs textes de référence pour avoir une vision de l'évolution des programmes et du socle qui seront applicables à la rentrée 2016. Ces projets de changements pour le collège et en particulier pour le cours de mathématiques vont nous aider à voir si la place du récit et de ses fonctions est amenée à évoluer. Les références de ces documents sont les suivantes : le nouveau socle commun a été édité dans le bulletin officiel n ° 17 du 23 Avril 2015 et les programmes qui concerneront les classes de collège sont parus le 9 Avril 2015 pour le cycle 3 et le cycle 4.
Dans les programmes du cycle 3 et 4 et dans le socle, la recherche des occurrences du mot « écrit » donne les résultats énoncés ci-dessous.
mathématiques on trouve notamment la citation :
« L’oralisation des langages mathématiques, scientifiques offre un autre exemple du rapport oral/ écrit (dire et lire les grands nombres, les fractions, …). Plus généralement, les sciences et les mathématiques offrent des espaces de transfert de compétences cognitives (inférences mise en relation d’indices pour construire le sens, codage/ décodage, opérations symboliques) et des usages spécifiques du langage (syntaxe, lexique, procédures, ...).
La mise en relation de l’éducation musicale et du langage oral contribue au développement des capacités d’écoute et de production sonores (discrimination sonore, rythmes, intensité, ...). » (2015, Projet de programme pour le cycle 3, p 11)
Toujours pour le cycle 3 une apparition du mot récit peut influencer l'idée que l'on se fait de ses apports dans le cours de mathématiques. L'extrait cité est inscrit dans la section portant sur les arts plastiques et visuels, la démarche suivante est mise en avant :
« - Organiser plusieurs images ou objets pour construire un récit. » (2015, Projet de programme pour le cycle 3, p 27)
Cette apparition du mot récit dans les programmes du cycle 3, permet d'apercevoir l'idée que nous avons commenté dans les apports théoriques des différents textes qui ont influencés notre recherche. La structure de récit est travaillée avec des étapes et des transitions simples à faire entre les images pour fabriquer et concevoir une histoire qui se formera grâce à des liens logiques. Cet aspect du récit comme structurant d'un raisonnement apparaîtra comme essentiel dans la suite de notre travail de recherche.
En ce qui concerne le cycle 4, les récits apparaissent dans les disciplines de la maîtrise de la langue(langue française ou langue étrangère) et en histoire géographie mais aucune instruction ne concerne directement les mathématiques.
Pour ce qui est du projet de nouveau socle, l'écrit est cité :
« L'élève s'exprime à l'écrit pour raconter, décrire, expliquer ou argumenter de façon claire et organisée. Lorsque c'est nécessaire, il reprend ses écrits pour rechercher la formulation qui convient le mieux et préciser ses intentions et sa pensée » (2015, Socle commun de connaissances de compétences et de culture , p 3)
Enfin dans l'ébauche de socle qui est prévu pour l'adoption en 2016, à propos de la démarche scientifique on trouve :
« L'élève sait mener une démarche d'investigation. Pour cela, il décrit et questionne ses observations ; il prélève, organise et traite l'information utile ; il formule des hypothèses, les teste et les éprouve ; il manipule, explore plusieurs pistes, procède par essais et erreurs ; il modélise pour représenter une situation ; il analyse, argumente, mène différents types de raisonnements (par analogie, déduction logique...) ; il rend compte de sa démarche. Il exploite et communique les résultats de mesures ou de recherches en utilisant les langages scientifiques à bon escient. » (2015, socle commun de connaissances de compétences et de culture , p 6)
On a regroupé ici tous les passages pertinents pour notre mémoire des documents qui constituent les ressources de base pour les enseignants.Nous allons maintenant tenter d'analyser, dans l'optique de notre travail, la place des récits et les fonctions qui sont présentes dans ces extraits.
2 Analyse des instructions officielles
En ce qui concerne le socle, on peut faire les commentaires suivants qui reprennent les différentes passages cités dans le paragraphe précédent.
En premier lieu, avec les instructions proposées, aucun travail spécifique sur le récit n'est indiqué et on ne sait pas de quelle manière les enseignants doivent s'y prendre pour que les élèves communiquent d'une manière adaptée, aucune précision n'est apportée pour faire acquérir la compétence sur la communication des élèves, aussi bien écrite qu'orale.
Ensuite, avec la petite partie du programme de français que nous avons examinées, une fonction du récit évoquée dans la première partie apparaît. En lien avec les connecteurs temporels que les élèves doivent maîtriser, ils devront être en mesure d'organiser chronologiquement leurs récits et cet aspect souligne la capacité du récit à structurer les écrits des élèves.
La section sur les différents types d'écrits est intéressante puisqu'elle distingue déjà des fonctions du récit au travers de préconisations générales sur les écrits. Le premier point illustre la fonction réflexive de l'écriture soulignée par Goody. Les écrits transitoires montreront les pistes et réflexions des élèves, qu'elles soient exploitées ou abandonnées, cette demande de fournir les étapes du travail préparatoire est mis en avant dans les narrations de recherche. Cela rejoint le deuxième type d'écrit qui figure dans les programmes : Les écrits destinés à être communiqués et discutés. C'est très souvent ce type d'écrit qui est demandé aux élèves, sous forme de « devoir surveillé » ou
de « devoir maison » le document produit est uniquement destiné à être évalué. De l'espace psychologique, où les élèves écrivent pour eux, mis en avant dans le point précédent, on voit ici davantage l'espace social être prépondérant, c'est le support de l'écrit qui est transmis, pour être modifié, évalué et corrigé par le professeur ou plus rarement par des camarades ou la classe.
A propos du calcul littéral, celui-ci est présenté comme un outil pour favoriser les raisonnements et la production de preuve. Une mise en garde est ensuite proposée pour éviter un formalisme trop contraignant et souvent vu comme peu naturel de la part des élèves. Ici la valorisation pour ce type de tâche est centrée sur l'oral et l'argumentation, ce travail pourrait aussi bien être pris en charge par l'écrit en utilisant un récit pour expliquer son argumentation. Le récit, sans doute plus facile à manipuler que le calcul littéral pourrait peut-être être un bon outil si l'on l'utilisait à travers sa fonction explicative.
Sur l'absence du mot « récit » dans le programme, on peut se rendre compte que travailler sur le récit n'est pas une demande forte pour la classe de mathématiques même si tout au long des commentaires précédents on a montré que ceux-ci avaient leur place en classe à travers les productions des élèves.
Pour ce qui est de l'avenir, dans les projets de texte dont nous disposons, on peut interpréter le passage donné concernant le cycle 3 de la façon suivante. La partie citée permet de voir apparaître une distinction entre les différentes connaissances en jeu dans les apprentissages. Les compétences cognitives qui seront un moyen de structurer les raisonnements courants, et à plus forte raison mathématiques, sont mises en parallèle avec le langage. La structure de l'un fait écho à la structure de l'autre, cette analyse rejoint en partie celle de M. Moulin que nous avons détaillée, même si ce ne sont pas les mêmes espaces qui sont concernés cette fois ci.
D'autre part pour le futur socle, on perçoit une demande de récits structurés et d'écrits réfléchis qui passent par plusieurs étapes de formulations et reformulations. Cela pourra être mis en perspective avec les narrations de recherche qui fonctionnent un peu de la manière décrite plus haut :
« il reprend ses écrits pour rechercher la formulation qui convient le mieux et préciser ses intentions et sa pensée »(2015, Socle commun de connaissances de compétences et de culture , p 3)
La fonction réflexive exhibée dans la première partie est nettement visible ici. Les élèves devront être encouragés à manipuler leurs écrits pour communiquer d'abord avec soi plutôt qu'avec les autres.
Enfin, en rapport avec la démarche scientifique, les attentes formulées dans le socle sont des compétences complexes et une restitution des raisonnements qui doit être assurée correctement. L'usage du récit pourrait permettre de prendre en charge cela. A la lumière des fonctions que nous avons identifiées pour le récit, celui-ci serait capable d'accomplir certaines des tâches demandées dans ce paragraphe.
III Méthodologie de recherche
Introduction
Nous avons déjà évoqué au cours de ce mémoire l’outil que nous avons utilisé pour recueillir des récits auprès d'élèves de collège : la narration de recherche. Nous faisons maintenant une synthèse sur ces éléments en détaillant précisément ce qu'est une narration de recherche et pourquoi nous avons choisi ce type de production d'élève. Après un historique rapide sur la genèse de ce type de travail, on exposera les problèmes sur lesquels portaient les exercices proposés aux élèves avant d'étudier leurs productions.
1. Narrations de recherche
Durant l'année scolaire, j'ai proposé aux élèves trois à quatre devoirs sous forme de « narration de recherche » et également des travaux en classe avec le même type de consignes. C'est à partir des documents produits que nous avons effectué notre travail de mémoire. Examinons plus en détail ce qu'on entend par « narration de recherche ».
La narration de recherche est un exercice de mathématiques dont les bases ont été posées par l'IREM de Montpellier dans les années 1991. Les principaux instigateurs de cette nouvelle forme de travail sont : M . Chevalier, M. Sauter, A. Chevalier et F. Bonafe et l'ensemble de l'équipe de l'IREM de Montpellier. Pour rependre une définition qui est donnée par ces auteurs dans divers publications nous pouvons retenir la citation suivante :
« Une narration de recherche est l'exposé détaillé, écrit par l'élève lui-même, de la suite des activités qu'il met en œuvre lors de la recherche de la solution d'un problème mathématique ». (Chevalier, 1992-1993, p72)
Cet exercice favorise, par la consigne qui est donnée, l'apparition de récits produits par les élèves. Les consignes données aux élèves pour faire ces devoirs sont toujours sensiblement identiques et s'inspirent pour une très grande partie d'exercices présents dans la collection des manuels de collège SESAMATH de la collection Génération 5 ou dans le livre LES NARRATIONS DE RECHERCHE de l'école primaire au lycée.
Extrait du livre Sésamath 6e p 200 (Génération 5 Avril 2013)
1 Qu'est-ce qu'une narration de recherche ?
C'est, avant toute chose, un problème. Tu en trouveras plusieurs dans les pages suivantes, présentés comme celui-ci :
Combien y a-t-il de carrés sur la figure A ? Cinq ! Où sont-ils ?
Combien y a-t-il de carrés sur un tableau 3×3 (fig. B) ? Sûrement plus de 12. Compte-les exactement.
Et maintenant sauras-tu trouver combien il y a de carrés sur un tableau 4×4 ? Et sur un damier de jeu d'échecs ?
Une narration de recherche, ce n'est pas une leçon à apprendre, c'est une façon différente de répondre à un problème posé par ton professeur. Au lieu, comme d'habitude, de chercher la solution au brouillon et d'écrire sur le cahier seulement la bonne solution, tu vas raconter comment tu as fait pour chercher la solution au problème. Tu écriras toutes tes idées, même celles qui n'ont pas marché ! Tu pourras te faire aider mais tu devras l'écrire sur ta copie et préciser à quel moment et comment on t'a aidé, et ce que cela t'a apporté.
Ces exercices sont choisis pour être faciles à chercher mais trouver leur solution complète est souvent plus difficile que dans les exercices habituels. Des dessins, des calculs et des essais simples à mettre en œuvre permettent de progresser vers le résultat mais, pour cela, il faut être persévérant.
Les chapitres n'ont souvent qu'un lointain rapport avec les narrations. Pas de panique si tu ne maîtrises pas tout le chapitre ! Tout le monde peut y arriver !
Grâce à ce type d'exercice, tu t'apercevras que tu es capable de trouver beaucoup de bonnes idées si tu t'en donnes le temps et l'énergie. Ton professeur pourra ainsi mieux te connaître et apprécier tes efforts. Tu comprendras aussi l'intérêt et le but des démonstrations en mathématiques, sur lesquelles tu vas travailler durant tout le collège.
N'oublie pas ! Ce n'est pas une rédaction de français, tu n'as donc rien à inventer et les erreurs de grammaire ou d'orthographe ne te pénaliseront pas. Il suffit simplement de chercher la solution et d'expliquer par écrit ce que tu as fait pour essayer d'y parvenir !
2 Ce que tu dois retenir
1. La qualité narrative. Le lecteur de ton travail doit immédiatement sentir qu'une recherche a eu lieu. Il doit comprendre pourquoi certaines pistes explorées ont été abandonnées ou comment une solution a peu à peu germé dans ton esprit. Si une personne de ton entourage (parent, ami, professeur...) t'a apporté une piste ou une solution, le lecteur doit en être averti car cela fait partie de la recherche ! Aucune pénalité ne sera donnée.
2. La vérification des idées. Chaque fois que cela est possible, tu dois essayer de trouver des moyens de vérifier tes calculs, tes idées. Réfléchis si d'autres arguments ou d'autres idées ne peuvent pas confirmer ou infirmer (c'est-à-dire contredire) ton résultat. Tu indiqueras dans ta rédaction tous les éléments qui t'ont permis de faire évoluer ton point de vue. Si quelqu'un t'a aidé, tu dois pouvoir vérifier la piste ou la solution, expliquer pourquoi cela fonctionne et ce que cette aide t'a apporté.
3. L’explication à un camarade. À la fin de la narration, dans une deuxième partie, le professeur peut te demander d'effectuer une synthèse de tes travaux, comme si tu devais expliquer le résultat de tes recherches (fructueuses ou non) à un ami.
4. La richesse de la recherche. N'oublie pas ! Ton professeur évaluera toujours de manière positive un élève qui essaie plusieurs pistes avec ténacité, même s'il ne trouve aucune solution satisfaisante. Il vaut mieux jouer l'honnêteté et raconter tout simplement ce qui s'est passé plutôt que d'essayer de trouver la solution « à tout prix » !
Les consignes sont conséquentes et doivent être explicitées d'une façon très détaillée en Fig. A
début d'année pour bien faire comprendre aux élèves les attentes de ce genre de travail. On va maintenant examiner plus précisément les éléments les plus intéressants de ce document pour le travail que nous souhaitons réaliser.
Tout d'abord le premier point qui figure en gras dans le manuel que nous avons cité : « tu vas raconter comment tu as fait pour chercher la solution au problème. »
La demande de récit est ici clairement établie et ce paragraphe insiste aussi sur l'usage d'un brouillon, une recherche préliminaire par écrit est demandée avant la rédaction de la copie. Le texte insiste ensuite sur le caractère peu habituel de la consigne mais encourage fortement les élèves à avoir une phase de recherche longue et d'exposer le plus complètement possible la démarche de recherche de la solution. C'est sur la recherche d'une solution que devra porter le récit
Le problème qu'il faut traiter est le plus souvent un problème ouvert où la méthode pour résoudre la question posée n'est pas suggérée, cela est indiqué explicitement par l'énoncé. La suite de la consigne reprend les attentes de ce genre d'exercice et pointe ce qui pourrait être interprété comme des critères de réussite d'une narration de recherche. Enfin, le document demande de fournir le plus de justifications possibles et propose aux élèves un moyen de contrôler la qualité de la narration de recherche en estimant si la copie fournie serait une bonne explication à fournir à un camarade.
L'élément le plus perturbant pour les élèves est le changement de fonctionnement du contrat didactique que représente un tel énoncé. Ces consignes sont comme nous l'avons dit assez inhabituelles et certains élèves n'arrivent pas ou sont incapables de s'adapter à ce changement de contrat. En règle générale, une réponse rédigée paraît une demande acceptable de la part d'un professeur mais d'exiger les trace d'une recherche déstabilise certains élèves.
Une fois les copies rendues et annotées, le travail sur le problème mathématique au sein de la classe n'est pas pour autant terminé. Certaines narrations se sont poursuivies avec une deuxième phase de rédaction personnelle. Après que quelques explications supplémentaires aient été données ou que des indications sur le contenu des copies des camarades aient été communiquée en classe entière, les élèves on pu poursuivre ou approfondir la recherche de la solution du problème. Dans tous les cas une correction a été faite en classe avec des extraits de copies distribués pour permettre à tous les élèves de faire un point sur leurs propres productions.
2. Recueil de données
Pour étudier les fonctions du récit dans le cours de mathématiques j'ai pu relever dans les classes avec lesquelles je travaille en tant que professeur des narrations de recherche effectuées comme devoirs par les élèves. Mon thème d'étude s'étant précisé tardivement je n'ai pas pu recueillir d'autres sources de données que les copies de mes élèves. La pratique des narrations de recherche étant encore assez peu répandue dans les établissements que je fréquente je ne suis pas parvenu à récupérer d'autres travaux.
Les devoirs ont été proposés comme des devoir maison pour permettre une réflexion qui s'étale davantage dans le temps que lors des séances en classe. La plupart de ces devoirs devaient être réalisés lors de vacances scolaires. Le travail était à faire individuellement même si l'aide de proches n'était pas prohibée. Des travaux se rapprochant des narrations de recherche avait également été entrepris en classe, sous forme de travaux de groupe de 3 ou 4 élèves, les élèves avaient pu découvrir les attentes de ce genre d'énoncé. La première narration de recherche s'est faite en deux temps, une première copie a été rendue par chacun des élève puis après une correction individualisée et des explications données en classe entière, le travail a été poursuivi pour rendre une deuxième production sur le même problème. La consigne reproduite dans les pages précédentes n'était pas une découverte et les élèves étaient au clair avec les attentes de leur enseignant.
Les données recueillies proviennent d'élèves de 4 classes de collège. Le collège observé se situe à Marseille et accueille une grande diversité d'élèves appartenant aussi bien à des catégories socioprofessionnelles supérieures, moyennes ou défavorisées. Les classes qui m'ont permises de recueillir ces données sur les récits sont 2 classes de sixième et 2 classes de quatrième. Pour donner un panorama rapide du niveau des classes on donne quelques éléments sur les notes regroupés dans le tableau :
Tableau des moyennes des classes utilisées pour recueillir les données Nombre d'élèves Moyenne annuelle inférieure à 8 Moyenne annuelle entre 8 et 12 Moyenne annuelle supérieure à 12 Nombre d'élèves Classe de 6e 1 12 11 25 Classe de 6e 2 9 14 25 Classe de 4e 8 15 2 25 Classe de 4e 2 9 19 30
Séparée en deux groupes assez distincts, la première classe décrite dans ce tableau ne pose pas de problèmes de gestion de classe et les élèves sont attentifs au consignes et informations proposées. Les bons élèves sont excellents et travailleurs alors que le groupe qui se situe entre 8 et
12 ne fournit pas un travail personnel très important à la maison.
La deuxième classe est une classe avec beaucoup de mixité, comme on le voit sur la répartition des moyennes, il y a un bon groupe de tête et un milieu de classe assez important. Le travail fournit dans cette classe est très irrégulier selon les élèves. Certains des élèves de cette classe ont des problèmes de comportement et posent des difficultés en ce qui concerne l'ambiance de travail.
En ce qui concerne les deux classes de 4e, ce sont des profils d'élèves très différents. La première classe compte une majorité d'élèves issus d'un milieu défavorisé, certains posent des problèmes de comportements importants et ont un niveau assez faible. La seconde classe est une classe « bilangue Anglais/Allemand » depuis la 6e qui regroupe beaucoup de très bons élèves dont la motivation face au travail est plus importante.
En lien avec les documents analysés dans la dernière partie, on peut indiquer que beaucoup de documents proviennent d'élèves des deux classes de 6e et de la classe bilangue de 4e, la dernière section dont nous avons recueilli les données n'a pas beaucoup contribué a cette partie principalement en raison du problème de contrat didactique qu'il était plus difficile de moduler avec cette classe. En effet parmi les copies rendues par les élèves de cette classe de nombreux récits se limitaient à donner une valeur numérique en guise de réponse sans aucune justification.
D'autre part, avant d'examiner plus en détail le contenu des problèmes mathématiques traités par les narrations de recherche, nous avons choisi ces données pour centrer véritablement notre étude sur les récits et non sur toutes les formes d'écritures en classe. La narration de recherche par ses exigences est le lieu où l'on a le plus de chance de voir apparaître les récits qui nous préoccupent.
3.
Problèmes mathématiques liés aux consignes de la narration de recherche
Pour le niveau sixième, on examinera les énoncés de trois narrations effectuées et dont nous avons pu numériser les copies telles qu'elles ont été rendues par les élèves. Une narration supplémentaire a été réalisée en début d'année scolaire mais nous ne disposons pas des copies des élèves. Il s'agissait du problème qui figure dans les explications des consignes du livre SESAMATH. Les problèmes proposés et pour lesquels nous utiliserons les documents recueillis sont les narrations A B et C suivantes dont le contenu figure sur la page suivante.
Narration A
Remplace chaque lettre du tableau par un nombre entier compris entre 1 et 9 sachant que :
• chaque nombre n'est utilisé qu'une seule fois ; • les produits des nombres de chaque ligne et de chaque colonne sont indiqués à l'extérieur du tableau.
Narration B
Quel est le quatrième chiffre après la virgule de l'écriture décimale du quotient de 1 par 7 ? Et le 14e ? Le 24e ? Le 104e ? Le 1 004e ? Le 2 008e ?
Narration C
Pour monter un escalier, on peut, à chaque pas choisir de monter une marche ou deux marches.
Combien y a-t-il de façons de monter un escalier de 1 marche ? De 2 marches ? De 3 marches ? De 12 marches ? De 25 marches ? De 2009 marches ?
De la même façon que pour les classes de sixième, une première narration de recherche avait été faite en début d'année par les 4e et portait sur les fractions égales et le vocabulaire associé à ce thème. Pour le niveau 4e, les problèmes évoqués lors de ces narrations de recherche sont ceux des narrations D et E.
Narration D
a. Un plumeau de 8 dm de hauteur a été brisé par le vent. Le sommet touche la terre à 4 dm de la tige restée verticale. À quelle hauteur a-t-il été brisé ?
b. Un autre plumeau a été brisé. Il mesurait 15 dm de haut et son sommet touche la terre à 9 dm de la tige.À quelle hauteur a-t-il été brisé
Narration E
Quand je calcule 131, le chiffre des unités est 3. Quand je calcule 132, le chiffre des unités est 9. Quel est le chiffre des unités de133,134, 135 ?
Quel est le chiffrer des unités de 132015 ?
A B C D E F G H I 270 16 84 336 27 40
Afin de permettre une analyse plus simple et de se familiariser avec les énoncés ci dessus, nous allons aborder le contenu mathématique des 5 sujets précédents.
On utilisera ici la théorie anthropologique du didactique d'Yves Chevallard pour cerner l'organisation mathématique a priori contenu dans ces énoncés.
Les praxéologies présentées dans la suite de cette partie sont les analyses a priori des énoncés donnés aux élèves. Il est important de rappeler ici que le principe même de la narration de recherche est de ne pas guider excessivement les élèves dans une direction particulière mais de leur proposer un problème suffisamment ouvert pour que plusieurs pistes et méthodes soient explorées lors de la recherche de la solution. Pour qu'un récit soit possible il faut favoriser l'initiative de l'élève vers la construction d'un écrit qui collecte l'ensemble de ses démarches.
a) Narration A
La narration A demande aux élèves de faire figurer les chiffres de 1 à 9 une seule fois dans la tableau proposé afin d'obtenir, avec des multiplications sur les lignes ou les colonnes, le résultat indiqué.
On donne ci-dessous la praxéologie regroupant plusieurs techniques qui permettraient de résoudre le problème :
Type de tâches : Trouver la valeur des nombres qui remplacent des lettres inconnues dans un tableau où le produit de chaque ligne et de chaque colonne est donné
Techniques : Connaître le sens du mot produit et ;
a) Utiliser les critère de divisibilité et les ordres de grandeur pour deviner l'emplacement des premiers chiffres
b) Procéder par essai-erreur et ajustement pour compléter toutes les cases du tableau. Technologie : Vocabulaire et propriétés de la multiplication
Théorie : Arithmétique
Pour cette première narration, il n'est pas très difficile de trouver la solution, les élèves devront savoir le sens du mot « produit » est être capable de mobiliser des connaissances sur les critères de divisibilité. Le problème indiqué était accompagné de la consigne du manuel (donnée précédemment) et les élèves étaient avertis qu'une réponse avec seulement le tableau juste ne suffirait pas.
b) Narration B
La narration B qui se situe également au niveau des élèves de 6e fait intervenir la division de deux entiers qui admet pour quotient un nombre décimal dont le caractère périodique devra être conjecturé pour trouver les réponses aux questions qui suivent dans l'énoncé. La suite de la démarche peut faire intervenir les divisions euclidiennes ou la notion, nécessairement floue pour des élèves de 6e, de cycle, de période de l'écriture décimale d'un nombre rationnel.
En ce qui concerne plus exactement l'organisation mathématique de cet énoncé, on donne ci-après la praxéologie de la narration B
Type de tâches : Chercher la valeur d'une décimale donnée dans le résultat d'un quotient Technique :
Plusieurs techniques qui feraient intervenir les éléments suivants sont envisageables pour résoudre le problème :
✗ Effectuer le quotient en posant l'opération ou
Effectuer le quotient en utilisant la calculatrice.
✗ Repérer et conjecturer une période dans l'écriture décimale d'un rationnel.
✗ Utiliser la division euclidienne pour savoir à quel rang de la période se trouve la décimale cherchée.
ou
Par des méthodes empiriques de comptage, trouver à quel rang de la période se trouve la décimale cherchée.
Technologie :Théorème suivant :
Tout quotient de deux nombres entiers possède une écriture décimale finie ou périodique. Théorie : Arithmétique et théorie des nombres.
c) Narration C
La dernière narration de recherche donnée en 6e porte sur un exercice de dénombrement, un exercice du même type avait été donné en début d'année. La consigne de la narration de recherche C peut influencer la piste que les élèves suivront, en initiant le raisonnement pour les premières valeurs les élèves ont assez vite l'idée de poursuivre les calculs sur d'autres exemples pour trouver une régularité. En effet l'enjeu principal de cet exercice est de trouver une méthode pour savoir combien de façons il y a de monter un escalier comportant un nombre de marches donné. Les réponses pour les premières valeurs sont facilement accessibles par un décompte bien organisé, mais c'est la découverte d'une technique plus efficace qui est visée. En proposant cet exercice qui indique que l'on peut gravir un escalier en montant les marches par deux ou une par une, les valeurs que l'on trouvent sont celles de la suite de Fibonacci. Une fois cette observation effectuée et sa généralisation conjecturée le résultat est plus facilement accessible. Une dernière remarque sur la question finale de cet exercice, on propose aux élèves de chercher combien de façons il y a pour un escalier de 2009 marches, cette valeur est difficilement accessible pour des élèves de 6e et cela les pousse à réfléchir sur les grands nombres et à remettre en cause la possibilité de répondre à la question de l'énoncé. Des remarques proposées dans plusieurs copies ont permis de constater que ce questionnement favorisait l'apparition d'une phase réflexive. Plusieurs élève ont ainsi exprimé leus difficulté sur cette dernière question et ont indiqué qu'il semblait impossible de répondre à la question posée compte tenu de la taille du nombre.
On présente ci-dessous la praxéologie liée à cet énoncé, les termes utilisés visent à donner un éclairage sur le contenu mathématique pour le lecteur mais ces termes ne seront bien entendu pas pas repris avec les élèves. Ce type de travail avec les mots que nous utilisons est plus adapté au programme de lycée même si, on va le voir, la technique utilisée n'exige pas un gros bagage mathématique.
Types de tâches : Déterminer un terme donné de la suite de Fibonnaci
Technique : Calculer les premiers termes de la suite par comptage, conjecturer une formules pour passer au terme suivant , valider la conjecture puis appliquer le résultat obtenu.
Technologie : Connaissances de base sur le calcul sur les nombres entiers. Théorie : Arithmétique
d) Narration D
En ce qui concerne la narration de recherche D, les connaissances utiles pour résoudre ce problème se situent au programme de 4e. On cherche à déterminer une longueur liée à une situation de la vie courante. La résolution de ce problème met en jeu le théorème de Pythagore appris dans ce niveau du collège et essentiellement deux démarches permettent de résoudre le problème, l'utilisation du calcul littéral et la mise en équation du problème ou une démarche de tâtonnement avec des essais successifs de plusieurs valeurs(éventuellement avec un tableur). Les récits proposés dans ce problème ressemblent davantage aux démonstrations classiques d'élèves de 4e, sans doute puisque le théorème de Pythagore fait partie de la culture collective en mathématiques et est généralement bien maîtrisé par ces élèves.
La plupart des élèves se sont bien emparés de la situation du problème et cet exercice donné en milieu d'année scolaire a permis à certains élèves de passer en revue les principaux chapitres de géométrie pour tenter de trouver la solution au problème. On donne ci-après une des stratégie utilisable pour résoudre le problème.
Type de tâches : Calculer une longueur.
Technique : Modéliser un problème posé à partir d'une situation de la vie quotidienne. Repérer et utiliser une situation faisant intervenir la relation de Pythagore,
✗ Utiliser le calcul littéral
✗ Procéder pas essai erreur pour obtenir la valeur solution du problème Technologie : Théorèmes de base de la géométrie, calcul littéral,
e) Narration E
La dernière narration pour laquelle nous disposons de copie d'élèves aborde le thème des puissances. La narration E fait appel aux règles de calcul sur les puissances afin de trouver le chiffre des unités des puissances d'un nombre(choisie assez grand pour mettre en défaut le calcul de la valeur exacte à l'aide d'outils numériques). Les connaissances sur les règles de calcul doivent ensuite être appliquées sur la valeur proposée en remarquant que le chiffre des unités des puissances des premiers exposants est cyclique. Là encore, la division euclidienne sera d'une aide précieuse pour trouver le résultat aux dernières questions. Ce résultat est lié à l'arithmétique et on peut formaliser ce résultat en utilisant des outils plus puissants que ceux dont on dispose en collège. La théorie des groupes peut aider à obtenir une justification complète.
Cette narration a donné lieux à des copies avec des argumentation bien construites et le problème était suffisamment simple à comprendre pour que tous se lancent dans la recherche de la solution. On donne ci après l'organisation mathématique sous-jacente à ce problème.
Type de tâches : Déterminer le chiffre des unités de la puissance d'un nombre donné.
Technique : Calculer les première puissances de ce nombre et émettre une conjecture sur la périodicité du chiffre des unités des puissances d'un même nombre.
Utiliser les règles de calcul sur les puissance d'un même nombre et effectuer des divisions euclidiennes pour connaître le rang à examiner.
Technologie : Arithmétique de base et règles de calcul sur les puissances Théorie :. Arithmétique et Théorie des groupes
Conclusion
Ce découpage en type de tâches, technique, technologie et théorie nous permet de mieux cerner le chemin qui devra être suivi par les élèves pour résoudre le problème. Pour le recueil des données étudiées dans ce mémoire, les narrations de recherche ont été effectuées en autonomie et sans aide directe de la part du professeur, le but étant de fournir le récit d'une recherche, un problème dont la solution serait trop évidente et immédiate ne permettrait pas d'obtenir des récits, en effet, on peut penser qu'un problème dont la solution serait trop simple amènerait simplement l'élève a écrire une réponse laconique.
éléments théoriques qui permettent de justifier entièrement les réponses aux problèmes abordés sont tous enseignés dans des classes au-delà du collège et c'est un des principaux intérêt des problèmes choisis. En demandant de résoudre un problème dont l'outil le plus adéquat n'est pas accessible pour les élèves de collège on favorise l'apparition de récit qui permette de traduire par écrit leur démarche au plus près de la réflexion qu'ils ont engagé. Les problèmes ouverts proposés facilitent l'apparition de récits.
Les narrations de recherche ont été choisies pour permettre de disposer plus facilement de récits dans les copies rendues. Une fois ces récits produits, comment être capable de distinguer les fonctions qui sont à l’œuvre dans ces écrits ? On se propose dans le paragraphe suivant de chercher quels pourraient être les éléments indicateurs pour les fonctions que nous avons ciblées dans la première partie.
