Pavages, fractions continues et géométrie discrète

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Thomas Fernique

To cite this version:

Thomas Fernique. Pavages, fractions continues et géométrie discrète. domain_other. Université

Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2007. Français. �tel-00206966�

U n i v e r s i té M o n tp e ll i e r I I

 S ien es et Te hniques du Languedo 

Thèse

pour l'obtention du gradede

Do teur de L'université Montpellier II

Spé ialité : Informatique

É ole do torale :Information, Stru tures, Systèmes

présentée par

Thomas Fernique

Pavages, Fra tions Continues

et Géométrie Dis rète

Soutenan e prévue le13 Dé embre 2007,devant le jury omposé de :

M. Jean-Claude Bajard, Professeur,Univ. Montpellier 2...Examinateur MmeValérieBerthé, Dire tri ede re her he CNRS,LIRMM...Dire tri e dethèse M. Sre

ˇ

koBrlek, Professeur,Univ.du Québe à Montréal...Examinateur M. Bruno Durand, Professeur,Univ.de Proven e...Examinateur M. BrunoGaujal, Dire teur de re her he INRIA,LIG...Rapporteur M. Ja ques-OlivierLa haud, Professeur,Univ.de Savoie...Rapporteur M. Laurent Vuillon, Professeur,Univ.de Savoie...Examinateur

Introdu tion 1

1 Contexte et ontenu 7

1.1 Combinatoiredes mots etgéométrie dis rète . . . 7

1.1.1 Mots, groupelibre et morphismes . . . 7

1.1.2 Motssturmiens et fra tions ontinues . . . 10

1.1.3 Re onnaissan e de droitedis rète . . . 16

1.2 Extensionen dimensions supérieures . . . 22

1.2.1 Pavages . . . 23

1.2.2 Substitutions . . . 24

1.2.3 Fra tions ontinues multi-dimensionnelles. . . 26

1.2.4 Re onnaissan e de plandis ret . . . 28

1.3 Unpetit détourpar laphysique théorique . . . 29

1.4 Résultatsprin ipaux . . . 34

2 Appli ations duales 37 2.1 Constru tiond'une appli ationduale . . . 37

2.1.1 Relèvement d'un morphisme . . . 37

2.1.2 Duald'un relèvement . . . 40

2.2 Dénitiongénérale etpropriétés élémentaires . . . 42

3 Développement de plan en es alier 47 3.1 Plan en es alier . . . 47

3.1.1 Dénition . . . 47

3.1.2 Image par une appli ation duale . . . 49

3.2 Développement de Brund'un ve teur . . . 51

3.2.1 Algorithmede Brun ve toriel . . . 52

3.2.2 Formulationmatri ielle . . . 54

3.3 Développement de Brund'un plan . . . 55

3.3.1 Substitutionsde Brun . . . 55

3.3.2 Paliers d'un plan . . . 56

4.1.1 Pavages anoniques de odimension un . . . 61

4.1.2 Propriétés élémentaires . . . 63

4.2 Flips . . . 66

4.2.1 Flip-a essibilité . . . 66

4.2.2 Pseudo-ip-a essibilité. . . 71

5 Développement de surfa e en es alier 75 5.1 A tiondes appli ationsduales . . . 75

5.1.1 Cas général . . . 75

5.1.2 Cas positif . . . 78

5.2 Développementde Brund'une surfa e. . . 79

5.2.1 Surfa e ohérente . . . 79

5.2.2 Algorithmede Brungéométrique . . . 80

5.3 Développements ommuns . . . 83

5.3.1 Quasi-plan en es alier . . . 83

5.3.2 Une ondition né essaire . . . 86

5.3.3 Cas rédu tible . . . 88

6 Génération et re onnaissan e de plan 93 6.1 Mor eau de plan etappli ation duale . . . 94

6.2 Génération de plan . . . 97 6.2.1 Plan substitutif . . . 97 6.2.2 Périodes Pisot . . . 100 6.2.3 Plan rationnel . . . 102 6.3 Re onnaissan e de plan . . . 105 6.3.1 Prin ipe . . . 105 6.3.2 Re onnaissabilité . . . 107 6.3.3

β

a,i

-pavabilité . . . 110 6.3.4 Un algorithme hybride . . . 112 Con lusion et perspe tives 117 Bibliographie 119

Un problème de pavage auquel ha un a pu se onfronter est elui du puzzle : étantdonnéun ensembledepiè es(appeléesaussituiles), ommentlesassembleren respe tant les ontraintes lo ales imposées par l'imbri ationdes piè es (due à leur dé oupe)et la ontinuité des ouleurs (deux piè es devant être de même ouleurlà oùellesse tou hent)? Lerespe t de es ontraintes onduitàobtenir,àune é helle plus globale, l'image nale promise. Sous l'aspe t ré réatif de et exemple appa-raîtune questionfondamentale de lathéoriedes pavages : ommentdes ontraintes lo ales (i i l'assemblage des piè es) engendrent-elles une ontraite globale (l'image nale)? Un exemple élèbre est elui du pavage de Penrose, introduit dans [86℄, qui est obtenu à partir de deux tuiles en forme de losange, qui ont la propriété remarquablede ne pouvoirpaverleplan eu lidienque de manièreapériodique apé-riodique, 'est-à-dire sans qu'il n'existe au une invarian e par une translation non triviale

1

. Lagure 1 illustre ela.

Fig. 1  Deux tuiles (à gau he) et un exemple de pavage ni qu'elles permettent de réaliser (à droite  les tuiles pouvant être tournées). Il s'agit d'un mor eau du élèbre pavage de Penrose. Soulignons que les ontraintes lo ales (ergots sur les tés des tuiles) entraînent une ontrainte globale : au un pavage du plan par es tuiles n'est invariant par translation, 'est-à-dire qu'ils sonttous apériodiques.

1

Ce problème de transfert d'information a été à l'origine de la théorie moderne des pavages, laquelle s'est depuis développée dans de nombreuses dire tions. Par exemple, en informatique théorique, les pavages ont notamment été étudiés pour le problème de dé idabilité suivant, posé par Wang dans [111℄ : existe-t-il un pro-gramme qui, étant donné n'importe quel ensemble ni de tuiles, détermine s'ilest possibledepaverleplanave estuiles?Laréponses'est avéréenégativeà ausede l'existen ed'ensembles detuilesnepouvantpaverqu'apériodiquementleplan(voir, parexemple,[2,13,37,46,45,97℄et,biensûrle asdelagure1).Parallèlement,les pavages ont été étudiésd'un point de vueplus mathématiques,notamment omme systèmes dynamiquessymboliquesparti uliers,susamentsimplespourêtreétudiés sansêtrepourautanttropsimples(voir,parexemple,[℄).Enn,enphysique,les pa-vages servent àmodéliserlastru ture delamatière,notammentdes quasi- ristaux, dont la dé ouvert expérimentale ré ente a ontribué à relan er fortement l'intérêt porté aux pavages (voir,par exemple,[103℄).

Outre ela, dans le as parti ulier de la dimension un, il existe un lien fort entre pavages, fra tions ontinues et géométrie dis rète. Esquissons-en i i les idées prin ipales. Notons d'abord que, dans e adre, les pavages sont des pavages de la droite, qui peuvent aussi être vus omme des mots (à haque tuile orrespond une lettre).On peut alors dis rétiserune ourbedu plan par une ligne brisée omposée de segments unité, puis oder ette ligne brisée par un mot ( haque lettre odant un segmentunité de dire tionparti ulière).Les outils de la ombinatoiredes mots quesontlesmorphismesoulessubstitutionspermettentalorsd'agirsur es odages de ourbes dis rètes. En parti ulier, on peut al ulerle développement en fra tion ontinue de la pente

α

d'une droite dis rète ( 'est-à-dire de la pente de la droite réelle qu'elle approxime)de manièregéométrique. Eneet, sans supposer

α

onnu, on détermine sa partie entière

⌊α⌋

simplement à partir des motifs du mot odant la droite, et on applique une transformation adéquate an d'obtenir une droite de pente

T (α)

, où

T

est l'appli ation de Gauss utilisée pour al uler le développe-menten fra tion ontinue d'unréel. Itérer e i donneune suitede mots odantdes droites dis rètes permettant de al uler le développement en fra tion ontinue de

α

. Onpeutensuite étendre ela auxmots odantn'importe quelle ourbedis rète : àpartir des motifsd'un telmot, on al uleen pro édantsimilairementun dévelop-pement en fra tion ontinu. Soulignons qu'il n'est pas lair de quel réel on al ule ainsiledéveloppement,puisquelanotiondepenten'estpasdéniepourune ourbe générale. Cependant, onmontre que e pro édé permet de déterminer si la ourbe dis rète odée par unmot donnéest une droiteounon: onparle de re onnaissan e de droite. Soulignons que 'est problème fondamental en géométrie dis rète, lié à la ve torisation (ou polygonalisation)d'objets dis rets : omment dé omposer une ourbe dis rète omplexe en un ensemble de mor eaux de droites dis rètes, plus simple à sto ker. Il s'agit d'un problème très étudié (voir, par exemple, le survol

Endimensions supérieures, un tellienentre pavages,fra tions ontinues et géo-métrie dis rète n'a jamais, à notre onnaissan e, été developpé. Pourtant, d'une part, de nombreuses extensions multi-dimensionnelles des fra tions ontinues ont étéétudiées (voir,par exemple,[22, 102℄),d'autrepart,leproblème dela re onnais-san e deplan areçu beau oupd'attentionen géométriedis rète(voir,parexemple, le ré ent survol [23℄). Développer un tel lienest l'obje tif prin ipalde ette thèse. La suite de e do umentest organisée ommesuit.

Au hapitre 1, nous reprenons plus en détail le lienesquissé i-dessus entre pa-vagesunidimensionnels(ou mots),fra tions ontinuesetgéométriedis rète. Notons que sila formulationretenue (notammentl'utilisationde morphismes etde substi-tutions)semblenouvelle, lesidées exposées dans e hapitresontdéjà onnues. On passe ensuiteen revue lesdiérentes extensions multi-dimensionnellesdes on epts utilisés dans le as unidimensionnel (pavages, substitutions, fra tions ontinues, re onnaissan e de plan). À la lumière de e i, on on lut e hapitre par une des- riptionplus pré ise des résultats prin ipauxde ette thèse.

Le hapitre2 est onsa ré àla notiond'appli ation duale d'unesubstitution ou d'un morphisme (on parle aussi de substitution généralisée). Il s'agit de transfor-mationssur lespavages généralisant lessubstitutions etmorphismes dénis sur les mots(voirFig.2).Laprésentation ommen eparreprendre la onstru tiondonnée par P. Arnoux et S. Ito dans [6℄ et étendue par H. Ei dans [48℄, avant de propo-ser une dénition légèrement plus générale. Soulignonsque es appli ationsduales, malgré une relative omplexité qui peut rebuter au premier abord, jouent un rle absolument primordialdans toute ette thèse.

Fig.2 A tiond'une appli ation dualesur quelques tuiles, appeléesaussi fa es (à gau he) etsur un ensemble de tuile un peu plus grand (àdroite).

re-quipeutêtrevu ommeuntypede pavageparti ulier,etdontonmontrelelienave la notion de plan arithmétique dis ret telle qu'introduite par J.-P. Réveilles dans [95℄ (voirFig. 3,à gau he). On ara térisealorsl'a tiondes appli ationsduales sur les plans en es aliers. Plus pré isément, nous donnons une ondition né essaire et susantesimplepour quel'imaged'unplanen es alierpar l'appli ationdualed'un morphismesoitun planen es alier(Th.3.4). Enparti ulier, ette ondition s'avère être toujours réalisée dans le as d'une appli ation duale d'une substitution. Ce i omplète un premier résultat dans ette dire tion, donné dans [6℄, qui onsidérait le as d'uneappli ation dualede substitutionlaissantinvariantun planen es alier, montrantque ette appli ationétait stable sur lesmor eauxde e planen es alier. Nous avons publié e résultat d'abord dans la onféren e [52℄ dans un as parti- ulier d'appli ation duale de substitution, puis dans l'arti le[55℄ dans le as d'une appli ationdualesubstitutionquel onque. Enn, l'arti le[15℄ (soumis)traitele as plus général d'une appli ation duale de morphisme. La suite du hapitre montre alors omment utiliser l'algorithme de Brun  une extension multi-dimensionnelle parti ulière de l'algorithmede fra tion ontinue lassique (Eu lide)pour al uler le développement du ve teur normald'un plan en es alierdire tement sur e plan. On parle, par abus, du développement de e plan. Plus pré isément, on al ule e dévoppementsanssupposer onnuleve teurnormalduplanenes alierenquestion, maissimplementendéduisantdes ongurationslo alesde e planlesinformations susantes à al uler e développement. Une lasse spé iale d'appli ations duales est utilisée à ette n, ainsi que lanotionde palier, quenous introduisons en géné-ralisantunenotionsimilairedéniepour lesdroitesdis rètes (voirFig.3,àgau he).

Fig.3Unplanenes alier (àgau he)ouunesurfa eenes alier (àdroite)peuvent êtrevus,dansl'espa e, ommedesdis rétisationsdeplanoudesurfa eréels,etdans leplan ommedes pavages(par losanges). Lanotion de paliers (quelques exemples sont i i en adrés) permet de lire une information qui peut être reliée, dans le as d'un plan en es alier, à son ve teur normal (le as d'une surfa e en es alier étant

Le hapitre 4 joue le rle de harnière entre le hapitre 3 et le hapitre 5. On ommen e par rappeler la notion de surfa e en es alier, introduite par D. Jamet dans [70℄ et on montre quelques propriétés élémentaires asso iées. Intuitivement, une surfa e en es alier peut être vue soit omme un pavage de

R

d−1

soit, en la relevant àlaThurston (voir[107℄) ommeune dis rétisationd'unesurfa e de

R

d

. On introduit alors la notion de ip (voir Fig. 4). Le ip est utilisé en physique, notamment en mé anique statistique et dans l'étude de la formation des ristaux ou quasi- ristaux ( e terme sera déni au hapitre 1), pour modéliser les réarran-gements lo aux d'atomes. Dans le ontexte des plans etsurfa es en es alier, leip s'avère une notion utile pour relier lespremiers aux se ondes, omme nous l'avons d'abord exposé dans [54℄. En parti ulier, on montre que toute surfa e en es alier peut être obtenue omme une suite de ips ee tués sur un plan en es alier (Th. 4.16). Nous avons publié e résultat dans l'arti le [3℄. Par ailleurs, mettant à pro-t le té formel des plans et surfa es en es alier (par rapport aux ristaux, par exemple), on introduit une variante moins ontrainte du ip, appelée pseudo-ip. Sans entrer i idans lesdétails, soulignons simplement que ette notionpermetdes preuves plus fa ilesde résultats similaires (Th. 4.20 et 4.21). Nous avons dé rit la notionde pseudo-ipet prouvé lesrésultats orrespondantsdans l'arti le[15℄ (sou-mis).

Fig. 4  Un ip est une transformation lo alsur les surfa es en es alier. On peut le voir omme l'ajout ou la suppression d'un ube unité dans l'espa e, ou omme un é hange de tuiles dans le plan.

Le hapitre 5 est en quelque sorte l'extension du hapitre 3 au as des surfa es en es alier. On ommen e par ara tériser l'a tion des appli ations duales sur les surfa e enes alier.Plus pré isément, nousdonnons une onditionné essaire et suf-sante simple pour que l'image d'un plan en es alier par l'appli ation duale d'un morphismesoitun plan en es alier(Th. 5.3).Ce résultata étépublié dans [3℄dans le as d'une appli ation duale d'une substitution, puis détaillé dans [15℄ (soumis), dans le as général d'une appli ation duale d'un morphisme. On montre ensuite que le pro édé onsistant à al uler le développement d'un plan à partir de

on-qu'une surfa e en es aliern'ait généralement pas de ve teurnormal, ontrairement à un plan en es alier. Une question naturelle est alors de savoir quelles surfa es en es alier ont le même développement qu'un ve teur réel donné, outre le plan en es alierqui a e ve teur pour ve teur normal.Uneréponse en termesde quasi-plan en es alier est apportée (Th. 5.14 et 5.21). Une version partielle de e résultat se trouve dans l'arti le[15℄(soumis).

Au hapitre 6 (ledernier), onmontre ommentappliquer les résultats des ha-pitres pré édents en géométrie dis rète, plus pré isément en e qui on erne les problèmes de la génération et de lare onnaissan e de plans dis rets (rle joué par lesplansenes alier).On expose troiste hniquesdiérentes pourengendrerun plan en es alier.Lapremière onsisteà itérerune appli ation duale sur un mor eau ni de plan en es alier,età engendrerainsi sous ertaines onditions des mor eaux de plus en plus grands de e plan (Th. 6.9). Ce résultat aété publié dans [55℄. La se onde te hnique repose sur lesrésultatsdu hapitre5:en itérant uneappli ation duale adéquate sur une surfa e en es alier, on obtient  sous ertaines onditions  une suite de surfa es en es alier onvergeant vers le plan en es alier désiré (Th. 6.10).Enn,ladernière te hnique onsisteàengendrerunplan dontleve teur nor-mala des oordonnées rationnellesà partird'un domaine fondamental, 'est-à-dire d'un mor eaude planni engendranttout e planpar périodi ité.On montre om-ment onstruire un domaine fondamental de tailleminimal grâ e aux appli ations dualesasso iéesaudéveloppement enfra tion ontinues du ve teurnormaldu plan que l'on veut engendrer (6.14). Ce résultat a été ré emment soumis, dans [56℄. En e qui on erne la re onnaissan e de plan, on dé rit un algorithme qui généralise la méthode de re onnaissan e de droite esquissée plus haut : on al ule le dévelop-pement d'une surfa e en es alier (en fait, plus généralement, de e qu'on appelera fon tion binaire) et on en déduit sa nature  plan en es alier ou non (Th. 6.25). La omplexité d'un tel algorithme est dis utée, bien que nous ne proposons pour l'instant qu'une borne théoriquesans doute très large. Ce résultata également été ré emmentsoumis, dans [56℄.

Nous on lurons e mémoire par un bref hapitre onsa ré à dé rire quelques résultats obtenus pendant ette thèse mais non présentés dans les hapitres pré- édents. Ces résultats posent les jalons de futures re her hes liées à la probléma-tique de ette thèse. Soulignons que ertainsd'entre eux ont déjà été publiés (voir [20, 21, 51,53,57℄).

Contexte et ontenu

1.1 Combinatoire des mots et géométrie dis rète

1.1.1 Mots, groupe libre et morphismes

Ce paragraphe rapelle brièvement les on epts de base de la ombinatoire des mots. Le le teur intéressé par une introdu tion plus détaillée (notamment en e qui on erne des référen es historiques) pourra, par exemple, se référer aupremier hapitre de [82℄, ou auxlivres [92, 94℄.

Un alphabet

A

est un ensemble, supposé ni i i, de symboles appelés lettres. Sans restri tion de généralité, on peut supposer

A = {1, 2, . . . , d}

. Un mot

w

de longueur

k

sur l'alphabet

A

est alors une on aténation de

k

lettres

a

1

, . . . , a

k

de

A

, notée

w = a

1

· a

2

· · · a

k

ou

w = a

1

a

2

· · · a

k

. On note

|w|

la longueur de

w

et

|w|

i

le nombre d'o uren es de la lettre

i

dans le mot

w

. Par exemple,

w = 12112

est un mot de longueur

5

sur l'alphabet

A = {1, 2}

, et ona

|w|

1

= 3

et

|w|

2

= 2

. Plus généralement, la on aténation de deux mots

u

et

v

est le mot noté

u· w

ou

uv

: 'est la on aténation des lettres de

u

et de elle de

v

. On note alors

u

k

la on a-ténation de

k

opies du mot

u

. Enn, on note

ε

le mot vide, 'est-à-dire tel que

w· ε = ε· w = w

.Tout e quipré ède onfèreunestru ture de monoïdeàl'ensemble

des motssur

A

:onnote

A

∗

emonoïde. Soulignonsqu'on peutaussi onsidérerles on aténations inniesde lettres,appelées mots innis:on note

A

ω

l'ensembledes mots nis et innis.

Introduisons en ore quelques notions lassiques en ombinatoire des mots. Un mot

v

est un fa teur d'un mot

w

s'ilexiste deux mots

u

1

et

u

2

tels que

w = u

1

vu

2

. Si, de plus,

u

1

= ε

(resp.

u

2

= ε

), on dit que

v

est un préxe (resp. suxe) de

w

. On note

L

k

(w)

l'ensemble des fa teurs de longueur

k

de

w

et

L(w)

l'ensemble de tous les fa teurs de

w

. L'ensemble

L(w)

est appelé le langage de

w

. Par exemple,

on al ule :

L(12112) = {ε, 1, 2, 12, 21, 11, 121, 211, 112, 1211, 2112, 12112}.

Ce ipermet,parexemple,de omparerdesmots en omparantleurslangages (sou-lignonsque deux motsinnisayant lemêmelangagene sont pasfor émentégaux).

Une autre façon de omparer les mots est d'introduire une distan e sur l'en-semble des mots nis ou innis. Plus pré isément, on dit que deux mots sont à distan e

2

−n

si leur plus grand préxe ommun est de taille

n

. Par exemple, les

mots

12112

et

12122

sont àdistan e

2

−3

ar leur plus grand prexe ommun est le mot

121

,de longueur

3

. Notonsque ette notiondedistan e permetausside parler de onvergen e.Parexemple,lasuitede mots

((12)

n

₎

n≥0

onvergevers lemotinni noté

(12)

ω

,qui ommen e par la lettre

1

etalterne leslettres

1

et

2

.

Cequipré èdeadon permisd'introduirelanotiondemot,ainsiquelemonoïde asso ié. On peut alors vouloir in lure les mots dans un ensembleplus grand ayant une stru ture de groupe.Plus pré isément, legroupe libre sur

d

éléments,noté

F

d

, estlegroupeengendréparl'alphabet

{1, . . . , d}

pourlaloide on aténation,ave le mot vide

ε

ommeélémentneutre. Leséléments de

F

d

sontdon les on aténations de lettres de

{1, . . . , d}

élevées à des puissan es de

Z

, les mots orrespondant au as parti ulier où toutes es puissan es sont positives. Soulignons qu'un élément de

F

d

admet plusieurs é ritures : on appelleé riture réduite elle où au une lettre n'est dire tement suivie de son inverse. On note

|w|

i

la somme des puissan es des o uren es de la lettre

i

dans

w

(on vérie fa ilement que ette valeur ne dépend pas de l'é riture hoisie). Par exemple,

w = 2

−1

₁₂₁₁

−1

est un élément de

F

d

dont l'é riture réduite est

w = 2

−1

₁₂

; ona

|w|

1

= 1

et

|w|

2

= 1 − 1 = 0

.

Tantlastru turede monoïdeque ellede groupelibre onduisentnaturellement à lanotion de morphisme.Parexemple, ondénitun endomorphisme

τ

du groupe libre à deux éléments

F

2

par :

τ :



1 7→ 2,

2 7→ 2

−1

_1,

et on al ule :

τ (12

2

1

−1

) = τ (1)τ (2)

2

τ (1)

−1

= 22

−1

12

−1

12

−1

= 12

−1

12

−1

.

Un morphisme tel queles images de haque lettre ne ontiennent quedes puis-san es positives de lettres est dit positif (en parti ulier, 'est le as des endomor-phismes du monoïde des mots). Si, de plus, il n'envoie au une lettre sur l'élément neutre

ε

, 'est-à-dire s'ilest non-eaçant, onparle de substitution. Par exemple,le morphisme suivantest une substitution :

σ :



1 7→ 12

2 7→ 1

Enn,un morphisme

σ

est unautomorphisme s'ilexiste unmorphismenoté

σ

−1

telque

σ ◦ σ

−1

_{= σ}

−1

_{◦ σ = Id}

.Parexemple,lesmorphismes

τ

et

σ

dénisplus haut sont des automorphismes puisqu'onvérient qu'ils sont inverses l'un de l'autre:

σ ◦ τ(1) = σ(2) = 1,

σ ◦ τ(2) = σ(2

−1

1) = σ(2)

−1

σ(1) = 1

−1

12 = 2,

τ ◦ σ(1) = τ(12) = τ(1)τ(2) = 22

−1

1 = 1,

τ ◦ σ(2) = τ(1) = 2.

Unenotionimportanteasso iéeauxmorphismesest elledematri ed'in iden e. Rappelonsd'abord quel'appli ationde Parikh,notée

f

,estl'appli ationdu groupe libre

F

d

dans

Z

d

déniepar :

f

_{(w) = (|w|}

1

, . . . , |w|

d

).

(1.1)

Par exemple,on al ule:

f

(2

−1

1211

−1

) = f (2

−1

12) = (1, 0).

La matri ed'in iden ed'un morphisme

σ

est alors la matri eentières

d × d

, notée

M

σ

, dont la

i

-ème olonneest leve teur

f

(σ(i))

.Parexemple, lesmorphismes

τ

et

σ

pré édemment dénis ontpour matri esd'in iden es :

M

τ

=



0

1

1 −1



et

M

σ

=



1 1

1 0



.

Notons qu'il dé oulede ette dénition que, pour tout élément

w ∈ F

d

,on a:

f

(σ(w)) = M

σ

f

(w).

(1.2)

On vérie aussi fa ilement quepour tous morphismes

σ

et

τ

, on a:

M

_σ◦τ

= M

σ

M

τ

.

(1.3)

On en déduit que la matri e d'in iden e d'un morphisme inversible

σ

est l'inverse de la matri ed'in iden e de

σ

−1

, puisqu'ona :

M

σ

M

σ

−1

= Id = M

σ◦σ−1

= M

σ

M

σ

−

1

.

En parti ulier, lamatri e d'in iden e d'un automorphisme a pour inverse une ma-tri e à oe ients entiers : elle appartient don au groupe multipli atif GL

(d, Z)

, qui est le groupe des matri es à oe ients entiers et à déterminant égal à

±1

. Il n'est pas di ile de voir que la ré iproque est fausse. Par exemple, on vérie que le morphisme suivant n'est pas inversible, bien que sa matri e d'in iden e ait un déterminant égal à

1

:

ρ :



1 7→ 121,

2 7→ 21.

Plus généralement,onappellemorphismeunimodulaire un morphismedontla ma-tri e d'in iden e appartient à GL

(d, Z)

. Tout automorphisme est don un mor-phismeunimodulaire,mais seuls ertainsmorphismes unimodulairessontdes auto-morphismes,qu'il est en général di ilede ara tériser.Mentionnons ependantle résultat partiel suivant : dans le as

d = 2

, il est montré dans [112℄ qu'une substi-tution est inversible si etseulement sielle s'é rit omme une ompositiondes trois substitutions suivantes :

1 7→ 2, 2 7→ 1, 1 7→ 12, 2 7→ 1, 1 7→ 21, 2 7→ 1.

L'intérêtdesmorphismesrelativementauxmotsouauxélémentsdugroupelibreest aumoinsdouble:d'unepart,ilspermettentdelesgénérer paritérationssu essives, d'autre part ils permettent de les lassier selon que telle ou telle propriétés est vériéeou non.Parexemple,la substitution

σ : 1 7→ 12, 2 7→ 1

permet de dénirla suite de mots

(σ

n

₍₁₎₎

n≥0

dont lespremiers termessont :

1, 12, 121, 12112, 12112121, 1211212112112, . . .

I i, on montre fa ilement que

σ

n+2

_{(1) = σ}

n+1

_(1)σ

n

₍₁₎

. On en déduit que la suite

(σ

n

₍₁₎₎

n≥0

onverge vers un mot inni

u

(appelé traditionellement mot de Fibon-na i)de laforme:

u = 12121121121211212112112121121121211212112112121121211211212112 . . .

(1.4)

Soulignonsquelemot

u

vérie

σ(u) = u

: 'estunpointxede

σ

.Plusgénéralement, unmotestditsubstitutif si 'estl'imageparunmorphismed'unmotpointxed'une substitution.Intuitivement, e sontlesmotsqu'on peutee tivementgénérer (sous ertaines onditions, voir, par exemple, le premier hapitre de [92℄). Notamment, e i permet une lassi ation (parmi d'autres) des mots innis : eux qui sont substitutifs et eux qui ne lesontpas. D'autres ritèresde lassi ation, ommela s-adi ity,sedénissentaussiàpartirdesubstitutions(voir,parexemple,le hapitre

12

de [92℄).

1.1.2 Mots sturmiens et fra tions ontinues

Dans e paragraphe, on s'intéresse à une lasse parti ulière de mots, les mots sturmiens, dont on rappelle la dénition et dont on donne quelques propriétés re-marquables. Soulignons que les mots sturmiens sont très étudiés, non seulement par e qu'ils sont simples sans être triviaux, mais aussi par e qu'ils possèdent de nombreuses propriétés permettant d'établir des liens entre des domaines a priori diérents (on peut iter, par exemple, les problèmes de routages dans les réseaux, voir [1,63℄). Commeau paragraphe pré édent, le le teur intéressé par une présen-tation plus détaillée des mots sturmiens pourra, par exemple, se reférer au se ond hapitre de [82℄ ouausixième hapitre de [92℄.

La dénition la plus onnue d'un mot sturmien est sans doute la suivante : un motsturmienestun motinnisur deux lettresqui,pourtout

n

,admetexa tement

n + 1

fa teursdistin tsdetaille

n

.Cettedénition ombinatoire,donnée parCoven

etHedlunddans[33℄,estéquivalenteàdenombreusesautresdénitions,notamment entermesdemot balan é,dedis rétisationdedroiteoude odagederotation(voir, parexemple, lesurvol historiquedétaillédans lesnotesdu se ond hapitrede [82℄). Notons que le le mot inni donné par l'équation (1.4) semble

1 sturmien puisqu'on al ule:

L

1

(u) = {1, 2},

L

2

(u) = {12, 21, 11},

L

3

(u) = {121, 212, 211, 112},

L

4

(u) = {1212, 2121, 1211, 2112, 1121},

. . .

On verra plus tard qu'il est ee tivement sturmien. Avant e i, détaillons un peu lesdénitions équivalentes données en termes de odage de rotationoude dis réti-sation de droite.

Soit

T

= R/Z

letoreunidimensionel.Larotationd'angle

α ∈ R

estl'appli ation

R

α

de

T

dans lui-même qui à un point

ρ

asso ie le point

ρ + α

. Considérons la partition du tore

T

formée des deux intervalles

[0, α[

et

[α, 1[

. La traje toire (ou orbite) d'un point

ρ

du tore, 'est-à-dire la suite

(R

n

α

(ρ))

n

, est alors odée par le mot

u

α,ρ

dontla

n

ème

lettrevaut

1

si

R

n

α

(ρ) ∈ [0, α[

,et

2

sinon.Un telmot est aussi

appelémot deChristoel ([32℄).Iln'estpas di ilede voirqu'ilest périodiquesiet seulementsi

α

estrationnel, le as irrationnel orrespondalors auxmots sturmiens. Par exemple, on montre que le mot de Fibonna i donné à l'équation (1.4) ode une rotationd'angle

α =

√

5−1

2

≃ 0.618

,et est don sturmien(voir,par exemple, le

hapitre

5

de [92℄). De plus, on déduit fa ilement de ette dénition que tout mot sturmien

u

(ou même tout mot de Christoel) possède des fréquen es, 'est-à-dire que,pour tout lettre

i

, lalimite suivanteexiste :

freq

i

(u) = lim

n→∞

|u

n

|

i

n

,

où

u

n

désignelepréxedetaille

n

de

u

.Pluspré isément,lesfréquen esd'apparition des lettres

1

et

2

sontproportionnelles àla tailledes intervalles

[0, α[

et

[α, 1[

:

freq

1

(u

α,ρ

) =

1

1 + α

et freq

2

(u

α,ρ

) =

α

1 + α

.

Par exemple,environ

61.8%

des lettres du mot de Fibona i(Eq.(1.4)) sont des

1

.

On peut aussi dénir les mots sturmiens (ou mots de Christoel)de façon plus géométrique, omme étant des odages de dis rétisations de droites. C'est surtout ette dénitionqui guideranotreintuition danslereste de lathèse. Ily aplusieurs dénitions similaires, nous n'en détaillons i i qu'une seule. Considérons, dans le plan eu lidien, une droite réelle pente

α

.Sans restri tion de généralité,on suppose

α ∈ [0, 1]

(lesautres as de gures'yramenantpardes symétriessimples).Onpeut

alors approximer ette droite par la ligne brisée que forme la frontière de l'union des arrés unitésde sommets dans

Z

2

qui interse tent ledemi-plansitué sous ette droite. Lagure 1.1illustre ela.

Fig.1.1Dis rétisationd'unedroitedepente

(

√

5−1)/2

par lafrontièredel'union

des arrésunités interse tant ledemi-plansous ladroite(représentés en pointillés). Cette dis rétisationest une ligne brisée formée de deux types de segments.

Ilestensuitefa ilede oderunetelledis rétisationdedroiteparunmot:ilsut de oder les segments horizontaux et verti aux respe tivement par la lettre

1

et

2

(on parle de ode de Freeman ou de hain ode). Par exemple, le mot asso ié à la dis rétisation représentée sur la gure 1.1est, en ore une fois, lemot de Fibona i pré édemment déni (son inter ept est

(

√

5 − 1)/2

, omme sa pente). On montre

queladroitedepente

α

etd'inter ept

ρ

(lahauteur àl'origine)est odéeparlemot sturmien

u

α,ρ

déniplushaut ommeun odagederotation(voir,parexemple,[84℄ oule se ond hapitre de [82℄).

Maintenant que nous avons rappelé quelques dénitions des mots sturmiens, intéressons-nous à l'a tion des substitutions et des morphismes sur es mots. On

substitution unimodulaire 2

σ

etun mot sturmien

u

α,ρ

, ona :

σ(u

α,ρ

) = u

β,ρ/λ

où

λ(1, β) = M

σ

(1, α).

(1.5)

En parti ulier, e i montre que si un mot sturmien

u

α,ρ

est point xe d'une sub-stitution,alors

(1, α)

est un ve teur proprede lamatri e d'in iden e

M

σ

de

σ

. On en déduit que

α

est un nombre quadratique, 'est-à-direla solutiond'un polynme entier de degré

2

. Par exemple,on al ule:



1 1

1 0

 

1

√

5−1

2



=



1 +

√

5−1

₂

1



=

_√

2

5 − 1



1

√

5−1

2



,

equimontreque

(1, (

√

5−1)/2)

estbienunve teurpropredelamatri ed'in iden e

de la substitution

σ : 1 7→ 12, 2 7→ 1

dont le mot de Fibona i est un point xe (voir paragraphe pré édent). Une question naturelle est alors de savoir si 'est la ré iproque est vraie. La première réponse a été apportée par [36℄, qui montre :

Théorème 1.1 ([36℄) Un mot sturmien

u

α,α

est point xe d'une substitution si et seulement si sa pente

α

est un nombre de Sturm, 'est-à-dire un irrationnel quadratique dont le onjugué algébrique n'appartient pas à l'intervalle

[0, 1]

.

Rappelons qu'un nombre est quadratique si 'est une ra ine d'un polynme de degré

2

à oe ientsentiers,son onjuguéalgébriqueétantalorsl'autrera inede e polynme.Parexemple,

(

√

5−1)/2

estquadratique ar 'estunera ineirrationnelle

de

X

2

_{+ X − 1}

dont le onjugué algébrique

(−

√

5 − 1)/2

n'appartient pas à

[0, 1]

.

On en déduit que le mot de Fibonna i

u

(

√

5−1)/2,(

√

5−1)/2

est un point xe d'une substitution ( e qu'on savaitdéjà). Plus généralement,il aété prouvé dans [114℄:

Théorème 1.2 ([114℄) Un mot sturmien

u

α,ρ

est substitutif si et seulement si sa pente

α

est un nombre irrationnel quadratique et son inter ept

ρ

appartient à l'ex-tension de orps

Q(α)

.

Rappelons que l'extension de orps

Q(α)

n'est rien d'autre que les réels de la forme

p + qα

,où

p

et

q

sontdes rationnels. Lespreuvesde es théorèmessont rela-tivementte hniques. Montrons i iun résultatun peu moinsgénéraldont lapreuve est plussimplemais donneune bonneidéedes te hniques utiliséespourprouverles résultats i-dessus. Ce résultat annon e également un résultat analogueen dimen-sion supérieure obtenu au hapitre 6. Plus pré isément, montrons la proposition suivante:

Proposition 1.3 Si

α

est un nombre irrationnel quadratique réduit, 'est-à-dire dont le onjugué algébrique est stri tement inférieur à

−1

, alors le mot sturmien

u

α,0

est point xe d'une substitution.

2

Rappelons d'abord brièvement la notion de fra tion ontinue (pour un exposé plus détaillé,lele teurpeut seréférer,par exemple,à[75℄).L'appli ationde Gauss est l'appli ation

T :]0, 1] → [0, 1]

déniepar :

T (x) =

1

x

−

 1

x



.

On asso ie alors à tout réel

α ∈ [0, 1]

une suite d'entier

(a

n

)

n≥1

, dénie tant que

T

n

_{(α) 6= 0}

par :

a

n

=



1

T

n+1

_(α)



.

On voit alors fa ilementqu'on a:

α =

1

a

0

+ T (α)

=

1

a

0

+

1

a

1

+ T

2

(α)

= . . .

Ce iexpliqueletermededéveloppementenfra tion ontinue donnéàlasuite

(a

n

)

n

. Il est ommode d'introduire lanotationsuivante :

[a

1

] =

1

a

1

et

[a

1

, a

2

. . . , a

n

] =

1

a

1

+ [a

2

, . . . , a

n

]

.

Par exemple, ona :

[7, 15, 1] =

1

7 +

1

15 +

1

1

= 16/113 = 0, 14159292.

On montre alors que si

α ∈ [0, 1]

est rationnel, alors il a un développement en fra tion ontinue ni

(a

n

)

1≤n≤N

telque

α = [a

1

, . . . , a

N

]

,etquesi

α

est irrationnel, alors il aun développement en fra tion ontinue inni

(a

n

)

n≥1

telque :

α = lim

n→∞

[a

1

, . . . , a

n

].

On voit don l'intérêt des fra tions ontinues : appro her un nombre réel par une suite de rationnels. Parexemple, lerationnel

[7, 15, 1]

donné i-dessus est obtenu à partir des trois premiers termes du développement en fra tion ontinue de

π − 3

. Notons qu'on peut montrer que,pour tout

n

,le rationnel

[a

1

, . . . , a

n

]

est, parmiles rationnels de dénominateur inférieur ou égal, le plus pro he de

α

. En e sens, on parle de meilleure approximation.

Notonsqu'onpeutdonneruneformulationmatri ielledel'a tiondel'appli ation de Gauss. On vérie fa ilementqu'en posant

a = ⌊α

−1

_⌋

, ona :

1

α



1

α



=



a 1

1 0

 

1

T (α)



.

Introduisons maintenant, pour tout entier

a ≥ 1

la substitution suivante, dont lamatri e d'in iden e est lamatri e apparaissant dans l'équationpré édente :

β

a

:



1 7→ 1

a

_2,

2 7→ 1.

(1.6)

Ondéduitalorsde l'équation(1.5)que,pour

a = ⌊α

−1

_⌋

,

β

a

envoieunmotsturmien de pente

T (α)

sur un mot sturmien de pente

α

:

β

a

(u

T (α),ρ

) = u

α,αρ

.

Il s'ensuit que si un réel

α

a un développement en fra tion ontinue périodique de laforme

[a

1

, . . . , a

p

]

,alors

u

α,0

estun pointxede lasubstitution

σ = β

a

1

◦ . . .◦ β

a

p

. Laproposition1.3dé oulealorsdu théorèmedeGaloispourlesfra tons ontinues :

Théorème 1.4 [[62℄℄ Un nombre réel dans l'intervalle

[0, 1]

a un développement en fra tion ontinue périodique si et seulement si 'est un irrationnel quadratique réduit.

Exemple 1.5 Soit

α =

√

3 − 1 ≃ 0.732

. Le réel

α

est une ra ine irrationnelle du

polynme

(X + 1)

2

_{− 3}

de onjugué algébrique

−

√

3 − 1 < 1

. On sait don que le

développement en fra tion ontinue de

α

est purement périodique. On al ule :

√

3 − 1 = [1, 2].

Le mot sturmien

u

α,0

est don point xe de la substitution

τ

dénie par :

τ = β

1

◦ β

2

:



1 7→ 12121,

2 7→ 12.

On a alors :

u

α,0

= lim

n→∞

τ

n

_{(1) = 121211212121121212112121121212112121211212121121211 . . .}

qui est un mot sturmien omportant

1/(1 + α) ≃ 57, 7%

de lettres

1

.

Ces résultatsmontrentdon qu'ilexiste un lienfortentre lesmots sturmiens et les fra tions ontinues. Pour on lure, notons que qu'une ara térisationanalogue existepour lesmotssturmiensbi-innis, 'est-à-direlesmotsindexéspar

Z

obtenus

1.1.3 Re onnaissan e de droite dis rète

Dans e paragraphe,nousmontronsquelelienentremotssturmiens etfra tions ontinues se retrouve dans une opération fondamentale en géométrie dis rète : la re onnaissan e de droitedis rète.

Parmi les diérents façons de dénir une droite dis rète, elle introduite par Réveillès dans[95℄est probablementl'unedes plus ommode etélégante. Plus pré- isément, la droite arithmétique dis rète de pente

α ≥ 0

, d'inter ept

ρ ∈ R

et d'épaisseur

ω > 0

est l'ensembledes points

(x, y)

de

Z

2

vériant :

ρ ≤ αy − x < ρ + ω.

End'autrestermes, 'est l'ensembledesve teurentiersdontleproduits alaireave le ve teur

(−1, α)

est ompris entre

ρ

et

ρ + ω

. Il s'agit don d'une dis rétisation naturellede ladroite de pente

α

( 'est-à-dire de ve teur normal

(−1, α)

).Lagure 1.2 illustre ela.

Le problème de la re onnaissan e de droite est alors le suivant : étant donné un ensemble de points de

Z

2

, dé ider s'il s'agit d'un sous-ensemble d'une droite arithmétique dis rète, et si oui, quels sont les paramètres possibles de ette droite (en général, es paramètresne sontpas uniques). Soulignons quela re onnaissan e de droite est un premier pas vers la polygonalisation d'objets dis rets, 'est-à-dire le al ul d'une représentation par union de mor eaux de droite dis rèted'un sous-ensembledonnéde

Z

2

.L'intérêtde ettereprésentationestqu'elleest généralement plus ompa te que lesous-ensemble orrespondant de

Z

2

.

On peut trouver une taxonomie des divers algorithmes de re onnaissan e dans [78℄.I i,nousdistingueronsessentiellementdeux typed'appro hes.Lepremiertype d'appro he onsiste, pourdé idersiunensemble

E

donnéde pointsestun mor eau de droitedis rète,à onstruireunesuite roissante

(E

k

)

k

de sous-ensembles de

E

et à al uler,pour haque

k

,lesparamètrespossiblesdes droitesdontladis rétisation ontient

E

k

 on parle de paramètresa eptables.Ainsi, si onobtient un ensemble non vide de paramètres a eptables à la n, 'est-à-dire quand

E

k

= E

, alors on a bien re onnu

E

. Sinon, 'est que, pour un

k

donné, l'ensemble des paramètres a eptablesasso iésà

E

k

étaitvide.C'estalorsafortiori le aspour l'ensembledes paramètresa eptablesasso iés à

E

,etonadon re onnu

E

:ilne s'agitpasd'un mor eaudedroitedis rète.Cetyped'appro heestfondamentalementin rémental : lare onnaissan e peut sefaireen passantun àun en revue lespointsde

E

(ilsut de dénir

E

k+1

en ajoutant un point de

E\E

k

à

E

k

). C'est, par exemple, le type d'appro he développé dans [26, 35, 41℄.

(−1,α)

ρ

ω

Fig. 1.2  Droite arithmétique dis rète de pente

α

, d'inter ept

ρ

et d'épaisseur

ω

(pointsen gras).

sous ertaines onditions, être odée par un mot. C'est, par exemple, le as d'une droite arithmétique dis rète de pente

α

et d'épaisseur

ω = 1 + α

(une telle droite est dite standard) : les segments unitaires reliant les points de la droite dis rète formentune ligne brisée qu'on peut oder par un mot sur deux lettres  une lettre pour les segments horizontauxet une pour lessegments verti aux. La gure 1.3(à gau he) illustre e i. Onretrouveen faitune onstru tionsimilaireà elle des mots sturmiens du paragraphe pré édente, la seule diéren eétant qu'on obtient i ides mots bi-innis. On note en ore

u

α,ρ

le mot bi-inni odant la droite arithmétique dis rète de pente

α

, d'inter ept

ρ

et d'épaisseur

ω = 1 + α

. La point lé onsiste alors à remarquer que,inversement, un mot sur deux lettres peut toujours être vu ommele odaged'une ligne briséedu plan, 'est-à-dire une sorte de dis rétisation de ourbe. La gure 1.3 (à droite) illustre e i. Le problème de la re onnaissan e de droite devient alors le suivant : étant donné un mot sur deux lettres, ode-t-il une droite dis rète, et si oui, laquelle ou lesquelles. Ce i onduit alors à des te h-niques ré ursives de re onnaissan e de motifs. Plus pré isément, les appro hes de e types fon tionnent omme e i : étant donné un mot, on teste ses ongura-tions lo ales pour vérier s'il semble oder une droite, puis, si 'est le as, on re ode e mot en un nouveau mot duquel on testera à nouveau les ongurations lo ales, et ainsi de suite. Le prin ipe est de dénir un re odage qui, d'une part, laisse invariantlapropriété  oder une droitedis rète et, d'autrepart, permettent d'aner le test à haque étape. C'est, par exemple, le type d'appro he développé dans[34,43,60,108,113℄.Intuitivement, etyped'appro he seraitpluttadaptéeà

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

Fig. 1.3Codaged'une droitearithmétique di rètestandard par un motsur deux lettres (à gau he). Inversement, tout mot sur deux lettres peut être vu omme le odage d'une sorte de  ourbedis rète standard (à droite).

voir,par exemple, [39, 40℄).

Lasuitede eparagrapheest onsa réàdé rireplusendétailunetelleappro he. Plus pré isément, on reprend l'appro he exposée dans [108℄, que l'on reformulei i ave la terminologie introduite dans les deux paragraphes pré édents. Cette refor-mulation permet de préparer l'extension multi-dimensionnelle,qui est au ÷urdes hapitres suivants. Soulignons que la présentation qui suit est relativement infor-melle, passant sous silen e ertains détails te hniques pour essayer de mieux faire ressortir lesidées dire tri es.

Étant donné un mot

u

, il est di ile de déterminer dire tement s'il ode une droite,maisilestpar ontre fa ile(on verra omment)dedéterminer,en supposant qu'il ode une droite de pente

α

, la quantité

⌊1/α⌋

. Or, bien qu'in omplète, ette information sut à faire une étape du développement en fra tion ontinue de

α

. On va don tenter de al uler le développement en fra tion ontinue de la pente de

u

(sa hant que ette pente n'est pas né essairement dénie puisque le mot

u

ne ode pas for ément une droite). On montre alors que ette tentative é houe ( 'est-à-dire qu'on ne peut plus re oder le mot obtenu à une ertaine étape) si et seulementsi

u

ne ode pasunedroite.L'outilfondamentalpourre oderlemotsont les substitutions

β

a

dénies par l'équation (1.6). Plus pré isément, soulignons que

β

a

est un morphisme inversible, puisqu'on al ule aisément :

β

_a

−1

:



1 7→ 2,

2 7→ 2

−a

_1.

(1.7)

On déduit alors de l'équation(1.5) que,pour

a = ⌊1/α⌋

, on a:

Ce ivadon nouspermettrede al ulerledéveloppementenfra tion ontinue dela pente(présumée)d'unmot,à onditionde savoirlire laquantité

a = ⌊1/α⌋

dire -tementsur emot.Introduisonsà eteetlanotiondepalier (voir,parexemple,[℄). Unpalierdelongueur

k

est unesuitemaximalede

k

lettresidentiques onsé utives. Par exemple,le mot bi-innisuivant a des paliers de

1

de longueurs

2

et

3

:

u = . . . 11211211211121121112112111211211211 . . .

Notons

a(u)

la longueur du plus ourt palier de

1

d'un mot bi-inni

u

. On montre alors (voir [℄):

∀α ∈]0, 1], ∀ρ ∈ R, a(u

α,ρ

) = ⌊1/α⌋.

(1.9)

Ainsi, un mot

u

ode une droite de pente

α > 0

si et seulement si

β

−1

a(u)

(u)

ode une droite de pente

T (α)

. En parti ulier,

β

−1

a(u)

(u)

n'est pas un mot ( 'est-à-dire omporte des lettres élevées àdes puissan e négatives) dans exa tementdeux as : si

u

ne ode pas une droite ou s'il ode une droite de pente nulle ou supérieure à

1

. Dans tout e qui suit, on se pla e dans le as d'un mot ne omportant jamais deuxlettres

2

onsé utives.

3

Enparti ulier, e i ex lutles odesdedroitesde pente stri tement supérieureà

1

. Ondéduit alors de e quipré ède l'algorithme suivant :

1.

u

0

←

mot bi-innisur deux lettres;

2.

n ← 0

;

3. tant que

u

n

est un mot faire

4.

a

n

← a(u

n

)

; 5. al uler

u

n+1

= β

−1

a

n

(u

n

)

; 6.

n ← n + 1

; 7. n tant que;

8. si

u

n

ne omporte quedes

1

9. renvoyer 

u

0

ode une droite; 10. sinon

11. renvoyer 

u

0

ne ode pas une droite; 12. n si

Notons que et algorithme ne donne pas, dans le as où il re onnaît un mot odantune dis rétisationde droite,l'ensembledes paramètres a eptablesde ette droite.Onpeut ependant modierl'algorithmepour qu'ilrenvoieaussi lapentede ladroite re onnue ( e qui est fait dans[108℄).Soulignons parailleurs que,a priori, le seul as où l'on soit sûr que l'algorithme termineest elui d'un mot odant une droitede penterationnelle( ar, dans e as, ledéveloppement en fra tion ontinue de ette pente est nie). On peut en fait montrer que l'algorithme termine tout le

3

géométrique-temps sauf pour lesmots odant lesdroites de penteirrationnelle.

Ce qui pré ède donne don un algorithme pour dé ider siun mot bi-inni ode une droite ou non. Considérons maintenant, toujours en suivant l'appro he déve-loppée dans[108℄,le as ni, 'est-à-direleproblème onsistantàdé idersiun mot ni ode unmor eau de droiteounon.Il yaalors un problèmede bords (problème soulevé initialement dans [87℄). En eet, e n'est pas par e qu'un morphisme

β

−1

a

envoieun mot bi-inni

u

sur un mot que e même morphismeenvoieun fa teurde

u

sur un mot. Parexemple, on a:

β

₁

−1

(. . . 1212121212 . . .) = . . . 1111111 . . .

mais

β

−1

1

(2121212121) = 2

−2

111112.

L'idée est, étant donné un mot ni

u

, de le modier légèrement en un mot

u

˜

qui soitéquivalent à

u

, 'est-à-diretelque

u

ode un mor eau de droitede pente

α

si etseulementsi

u

˜

ode unmor eau de droitedepente

α

,maistelquesonimage par

β

−1

a

(ave

a

bien hoisi) soitun mot. Détaillons e i. On ad'abord besoin d'aner un peu lanotion de palier.On appelle palier interne unesuite maximale de lettres identiques onsé utives, en adrée à gau he et à droite par deux lettres diérentes. Paropposition,unpaliernoninterneestappeléexterne.Parexemple,lemotsuivant a des paliersinternesde longueur

2

et

3

, un palier externe gau he de longueur

1

et un palierexterne droit de longueur

2

:

u = 12112111211.

Si un mot ni

u

a des paliers interne, alors on note

a(u)

la longueur du plus ourt palier interne. Ensuite, omme dans le as des mots bi-innis, on montre que si

u

ode un mor eau de droite de pente

α

, alors

a(u) = ⌊1/α⌋

. Si

u

a un palier de longueur stri tement supérieure à

a(u) + 1

, alors il ne peut s'agir d'un ode de droite (rappelons qu'un ode de droite omporte auplus deux longueurs de paliers diérentes),etonarrêtelare onnaissan e.Sinon,ontransformelemot

u

en unmot

˜

u

omme suit. Si

u

n'a pas de palier externe gau he ou si e palier a une longueur inférieure à

a(u)

, alors on le prolonge en un palier de longueur

a(u)

en rajoutant des

1

àgau he. Ainsi,si

u

ode unmor eaude droite, etteopérationdonneun mot odantun mor eau delamêmedroite puisquelemot odant latotalitéde ladroite a des paliers de longueur au moins

a(u)

. Si le palier externe droit est de longueur

a(u) + 1

, alors on rajoute un

2

à droite (le palier devient don interne), sinon, on

supprime epalier. Ainsi,si

u

odeun mor eau dedroite, ette opérationdonneun mot odant un mor eau de la même droite puisque le mot odant la totalitéde la droiteades paliersde longueur auplus

a(u) + 1

.Illustrons e ipar quelques asde gure possibles (où, à haque fois,

a(u) = 2

) :

u = 12112111211

_{→ ˜u = 1121121112,}

u = 112112111211

_{→ ˜u = 1121121112,}

Lemot

u

˜

ainsiobtenu odedon un mor eaude droitedepente

α

sietseulementsi lemot

u

ode aussi un mor eau de droitede pente

α

. Deplus, si

u

n'estpas rejeté, alors

u

˜

est de laforme:

˜

u = 1

a(u)+δ

1

₂₁

a(u)+δ

2

_{2 · · · 1}

a(u)+δ

k

_2,

ave

δ

i

∈ {0, 1}

pour

i = 1, . . . , k

. L'imagede

u

˜

par

β

−1

a(u)

est don lemot :

β

−1

a(u)

(˜

u) = 2

δ

1

₁₂

δ

2

_{1 · · · 2}

δ

k

_1.

On peut alors itérer sur e mot, ommedans le as bi-inni pré édemment dé rit, jusqu'à obtenir soit un mot qui ne ode pas une droite, soit un mot sans palier interne ( e sontles deux as d'arrêt). De plus, soulignons qu'iln'est pas di ilede vérier que lataille de

β

−1

a(u)

(˜

u)

est stri tement inférieure à elle de

u

. On est don sûr, dans le as ni, que le pro édé s'arrête en temps ni. Finalement, examinons le as d'un mot sans palier interne.Un telmot est de la forme

u = 1

p

₂

q

₁

r

.On voit fa ilementqu'il ode une droitesietseulementsi

q ≤ 1

. Pluspré isément,si

q = 0

, alors

u = 1

p+r

ode une droite de pente

α ∈ [0,

1

p+r

]

, et si

q = 1

, alors

u = 1

p

₂₁

r

ode une droite de pente

α ∈]0,

1

max(p,r)

]

. Avant d'examiner la omplexité de et algorithme, détaillons omplètementson déroulement sur deux exemples.

Exemple 1.6 Considérons le mot ni suivant :

u

0

= 11211211211121121112112111211211211.

Le plus ourt palier interne de

u

0

est de longueur

a(u

0

) = 2

. On al ule :

˜

u

0

= 112112112111211211121121112112112,

et on obtient un nouveau mot

u

1

en appliquant

β

−1

2

:

u

1

= β

2

−1

(˜

u

0

) = 1112112112111.

Le plus ourt palier interne de

u

1

est de longueur

a(u

1

) = 3

. On al ule :

˜

u

1

= 1112112112,

et on obtient un nouveau mot

u

2

en appliquant

β

−1

3

:

u

2

= β

3

−1

(˜

u

1

) = 2111.

Le mot

u

2

n'a pasde palier interne.Il ode un mor eau dedroite,don onen déduit que

u

0

ode aussi un mor eau de droite. Plus pré isément,

u

2

ode un mor eau de droite de pente

α

2

∈]0, 1/3]

, 'est-à-dire que pour tout

α

2

dans et intervalle, il existe un odage d'une droite de pente

α

2

dont

u

2

est un fa teur. On déduit alors

de l'équation (1.8)que

u

˜

1

= β

3

(u

2

)

, et don

u

1

aussi, ode un mor eau de droite de pente

α

1

∈]1/3, 3/4]

. De même,

u

˜

0

= β

2

(u

1

)

, et don

u

0

aussi, ode un mor eau de droite de pente

α

0

∈]3/7, 4/11]

. Notons que les réels de l'intervalle

]3/7, 4/11]

sont eux dont le développement en fra tion ontinue est de la forme

[2, 3, a, . . .]

ave

a ≥ 2

( e i par e quesi

u

2

est fa teur d'un mot bi-inni odant une droite, alors e

mot a unplus ourt palier detailleau moins

2

).En d'autres termes, etalgorithme al ule la partie ommmune des développements en fra tions ontinues de tous les pentes des droites que le mot initial peut oder.

Exemple 1.7 Considérons le mot ni suivant :

v

0

= 1121121121121121112112111211211211.

Le plus ourt palier internede

v

0

est de longueur

a(v

0

) = 2

. On al ule :

˜

v

0

= 11211211211211211121121112112112.

et on obtient un nouveau mot

v

1

en appliquant

β

−1

2

:

v

1

= β

2

−1

(˜

v

0

) = 111112112111.

Le plus ourt palier interne de

v

1

est de longueur

a(v

1

) = 2

. Or le palier externe gau he de

v

1

est de longueur

5

, don stri tement supérieure à

a(v

1

) + 1

. On en déduit que

v

1

, et don

v

0

aussi, ne peut pas oder une droite.

Pour on lure, examinonsla omplexitéd'un telalgorithme.On voitfa ilement quelale turede

a(u)

,le al ulde

u

˜

etle al ulde

β

−1

a(u)

(u)

)sefaiten tempslinéaire en lataillede

u

. Par ailleurs,on déduitde l'équation(1.5) :

|β

a(u)

−1

(˜

u)| = |˜u| − ⌊|˜u|

1

/|˜u|

2

⌋|˜u|

2

.

Une étude de fon tion montre alors qu'on a :

|β

−1

a(u)

(˜

u)| ≤ 2/3|˜u|

. De plus, on a

|˜u| ≤ |u| + a(u) + 1

. On en déduit l'existen e d'une onstante

λ < 1

telle que,pour

tout

u

assez grand (deux paliers internes susent), on ait :

|β

−1

a(u)

(˜

u)| ≤ λ|u|

. Le

nombred'étape( 'est-à-dired'appli ationsd'unmorphisme

β

−1

a

)estdon borné in-dépendammentde

u

.Cetalgorithmeestdon de omplexitélinéaire( equi, asymp-totiquement,est lemieux qu'on puisse attendre d'un algorithmede re onnaissan e de droite).

1.2 Extension en dimensions supérieures

L'obje tif prin ipal de ette thèse est d'étendre en dimensions supérieures les intera tions entre ombinatoire des mots, fra tions ontinues et géométrie dis rète présentées auparagraphe1.1.Dans eparagraphe,ons'intéresseauxnotions,outils

1.2.1 Pavages

Lapremière façonde généraliser lesmotsqui vienneà l'espritest sans doutede onsidérerdes lettresnonplusindexéespar

N

(motinni)ou

Z

(motbi-inni)mais par

Z

d

. Unmot

d

-dimensionnelsur un alphabet

A

est alors un élément de

A

Z

d

ou, en d'autres termes, une matri e innie à

d

entrées et à oe ients dans

A

. C'est, par exemple, l'appro he suiviedans lesarti les [18, 19,28, 29,50,85, 93, 98, 99℄.

Uneautreappro he onsisteà onsidérer unmot ommeun pavage deladroite, et don à généraliser la notion de mot par elle de pavage. Rappelons qu'un pa-vage d'un domaine

D ⊂ R

d

est un ensemblede ompa ts d'intérieursvide (appelés tuiles) dont lesintérieurssont deux à deux disjoints et dont la réunion est égale à

D

(voir, par exemple, [64℄ pour une présentation plus détaillée). Généralement,on exigedeplusquel'ensembledestuilessoitniàtranslationprès(onpeutrempla er les translations par tout groupe d'isométries de l'espa e). Soulignons que les mots indexés par

Z

d

peuvent être vus omme des pavages parti uliers de

Z

d

(dont les tuiles sontdes hyper ubes).

Une lassede pavagesparti ulièrementintéressantedansl'optiquede généraliser lesmotssturmiens (ou, plusgénéralement,lesmots odantdes droitesdu plan)est elledespavagesobtenuspar oupeetproje tion dans

R

d

.Pluspré isément,suivant [67℄, ondénit :

Dénition 1.8 Un pavage par oupeetproje tion anoniqueestun pavage obtenu en projetant sur un espa e ane

V ⊂ R

d

de dimension

k

(appelé espa e proje tif), selon un espa e ane

W ⊂ R

d

(appelé espa e interne), l'ensemble

c(V )

des fa es

k

-dimensionnellesde

Z

d

in luses dans le ylindre

V + [0, 1]

d

. Les entiers

k

et

d − k

sont respe tivement appelés la dimension et la odimension de e pavage.

La gure 1.4 illustre ette notion. Notons que l'ensemble

c(V )

peut être vu omme une sorte d'espa e ane dis ret (un espa e ane fa ettisé). Soulignons qu'ils'agitd'un as parti ulierde pavage par oupeetproje tion. Pourune présen-tation plus omplète et plus générale de la méthode de oupe et proje tion (ainsi quedes notionsvoisinesque sont lesensembles de Delone oude Meyer) on peut se référer, par exemple, à[65, 79, 103℄.

Ilestalorsintéressantderemarquerqu'unedroitearithmétiquedis rètestandard de pente

α

etd'inter ept

ρ

, telle quedéniedans leparagraphepré édent,n'est en fait rien d'autre que l'ensemble des sommets de

c(V )

, où

V

est l'espa e ane de dimension

1

etde odimension

1

déni par :

V = {x ∈ R

2

| hx|(−1, α)i = ρ}.

Ainsi,un mot odantunetelle droite(quiest, rappelonsle,un motsturmienquand

Fig. 1.4  Trois pavages obtenus par oupe et proje tion anonique de dimension

2

etde odimensions respe tives

1

,

2

et

3

(de gau he àdroite).

dimension

1

etde odimension

1

.Ce i onduitnaturellementàgénéraliserlanotion de mot sturmienen dénissant un hyperplan sturmien omme étant un pavage par oupeetproje tion anoniquede odimension

1

,oùl'espa eproje tif

V

aunve teur normal dont les oordonnées sont linéairement indépendantes sur

Q

( omme 'est le as du ve teur

(−1, α)

). Cette notion d'hyperplan sturmien a été introduite par Vuillon dans [110℄. Dans [19℄, une dénition équivalente omme odage de deux rotationssur letore

R/Z

est donnée.Notonsqu'ilest aussimontré,dans etarti le, qu'unplansturmienpeutêtre odéparunmotindexépar

Z

d

surl'alphabet

{1, 2, 3}

. 1.2.2 Substitutions

On s'intéresse i i aux extensions multi-dimensionnelles des notions de substi-tution ou de morphisme sur les mots. Soulignons qu'une des di ultés prin ipales dans de telles extensions est que, ontrairement au as des mots (indexés par

N

ou

Z

), il n'y a pas d'opération de on aténation naturellepour les pavages (ou les mots indexés par

Z

d

). Ainsi, s'il est fa ile de dénir une appli ation envoyant une tuile sur un ensemble de tuiles ( omme une substitution envoie une lettre sur un mot), il n'est par ontre pas évident de dénir de manière ohérente la façondont deux imagesde tuiles doivent être pla ésl'une par rapport àl'autre. Enreprenant la terminologiede [90℄, ondistingue deux grandes lasses de substitutions.

La première lasse, laplus étudiée,est elle des substitutions géométriques.F or-malisées par Thurston dans [107℄, es substitutions peuvent être vues omme gé-néralisant les substitutions sur les mots qui envoient les lettres de l'alphabet sur des mots tousde lamêmelongueur.Informellement,le prin ipeest lesuivant: une

tuiles originales,puis haque grande tuile ainsi obtenue est partitionnée par des tuilesoriginales.Unpavage pointxed'une tellesubstitution est ditauto-similaire (ou,plus généralement,auto-ane).Lagure1.5illustre ela.Soulignons que 'est une transformation assez rigide : toutes les tuiles sont dilatées pareillement (d'où l'analogieave les substitutions sur lesmots qui envoient toutes leslettres sur des motsde lamêmetaille).Unevariante onsisteàpermettre, une foislestuiles origi-nalesdilatées,de lesrempla er par destuiles originalesquine lespartitionnentpas né essairement,mais en assurant ependant que,globalement,l'imaged'un pavage reste un pavage ( 'est-à-dire que les tuiles à heval sur les tuiles dilatées doivent orrespondre). Un pavage point xe d'une telle substitution est alors dit pseudo-auto-similaire (ou pseudo-auto-ane si la dilatationn'est pas une similitudemais uneappli ationlinéaire).Lagure1.6illustre ela.Danstous es as,larelative rigi-ditéde lasubstitutionapermisd'obtenirde nombreuxrésultats(voir,parexemple, [72, 88,96, 104, 105℄ oules référen es dans [90℄).

Dilate

Remplace

Dilate

Remplace

...

Fig. 1.5  Une substitution géométrique dilate haque tuile originale est dilatée puis partitionne la tuile obtenue par des tuiles originales (i i, quatre tuiles en L). Enitérant, onobtientàlalimite un pointxede ette substitution, 'est-à-direun pavage auto-similaire (i i,il s'agitdu pavage appelé hair tiling).

La se onde lasse, moins étudiée, est elle des substitutions ombinatoires, in-troduites dans [89℄. Ces substitutions peuvent être vues omme généralisant véri-tablement les substitutions sur les mots, 'est-à-dire le prin ipe de on aténation des images des lettresd'un mot. Informellement,le prin ipeest lesuivant: haque tuile est rempla ée par un ertain nombre (ni) de tuiles, sans restri tion de pla- ement; des règles lo ales spé ient alors, pour toutes paires de tuiles adja entes, omment pla er leurs images respe tivement l'une par rapport à l'autre. Notons quela on aténation des mots est bien un as parti ulier de règles lo ales : sideux lettres

x

et

y

ontdesimages

σ(x)

et

σ(y)

,alorsl'imagede la on aténation

x· y

sera la on aténation

σ(x)· σ(y)

. C'est l'absen e de on aténation naturelle en dimen-sionssupérieuresquiné essite l'introdu tionderègleslo ales.Soulignonsqu'iln'est pas évidentque substituer de tuiles adja entes en tuiles adja entes selon des règles lo ales données ne rée jamais d'in ohéren e (on peut imaginer que, selon le he-minsuivi, l'image d'une tuile se retrouvera à des endroits diérents...). Quelques