Devoir de contrôle n° 2 4ème Sc Expérimentales Mr Zayeni 11 02 10

(1)

Exercice n°1 : (5 points)

I] Répondre par « Vrai » ou « Faux » en justifiant la réponse.

La courbe

C

ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur IR.

C

_{admet une branche infinie parabolique de direction celle de}

( )

_{O, j}

au voisinage de

( )

−∞

. ∆ est une asymptote oblique à CCCC_{au voisinage de}

( )

+∞

_{et T la tangente à}

C

_{au point d'abscisse –3.}

a) x f ( x ) lim x →−∞ = −∞ b) x f ( x ) lim 3 x →+∞ = c) x 3 f ( x ) 3 lim 3 x 3 →− ++ =

II] À chaque question, une seule des réponses proposées est correcte. Ecrire le numéro de la question et donner, sans justification, la réponse qui lui correspond.

1) f est la fonction définie sur

[

0,

+∞

[

par _{f ( x )} = +₁ 3 _x _{alors pour tout réel}

_x

∈

]

_0,

+∞

[

_on

a : a) 3 2 1 f ( x ) 2 x ′ = b) 3 2 1 f ( x ) 3 x ′ = c) _{f ( x )}′ =_{3 x}3 +₁

2) Si f est dérivable sur IR, g une primitive de f sur IR alors la dérivé de gof est :

a) fof’ b) f’(fof) c) fof

Lycée 07 Novembre 1987

de Métlaoui

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Prof : Mr ZAYANI

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Date: 11/02/2010

DEVOIR DE CONTROLE N°2

MATHEMATIQUES

DUREE 2H CLASSE 4

ème

_SC.Exp

₂

i j −1 −2 −3 −4 −5 −1 −2 −3 −4 −5 0 1 2 3 1 2 3 4 ₅ ∆ ( ) T

C

(2)

Exercice n°2 : (6points) Partie A :

On considère deux points A et D de l’espace et on désigne par I le milieu du segment [AD]. 1) Démontrer que, pour tout point M de l’espace,

MD.MA

=

MI

2

−

IA .

2

2) En déduire l’ensemble (E) des ponts M de l’espace, tels que

MD.MA

=

0

.

Partie B :

Dans l’espace rapporté au repère

(

O,i, j,k

)

, les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : A(3,0,0) ; B(0,6,0) ; C(0,0,4) et D(–5,0,1)

1) a) Vérifier que le vecteur 4 n 2 3          

est normal au plan (ABC).

b) Déterminer une équation du plan (ABC).

2) a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆, orthogonale au plan (ABC) passant par D.

b) En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). c) Calculer la distance du point D au plan (ABC).

d) Démontrer que la point H appartient à l’ensemble (E) définie dans la partie A.

Exercice n°3 : (5points)

Soit f la fonction définie sur I=]0,4[ par

( )

2 x 2 f x 4x x − =

− et Cf désigne la courbe représentative

de f dans un repère orthonormé

(

O ,i, j

)

.

1) a) Montrer que f est dérivable sur I et calculer f’(x). b) Dresser le tableau de variation de f.

2) a) Vérifier que le point A(2,0) est un centre de symétrie pour Cf.

b) Déterminer l’équation de la tangente T à Cf au point A.

c) Tracer Cf et T.

3) a) Montrer que f réalise une bijection de l’intervalle I sur IR. b) Résoudref ( x ) 3

3

= .

c) Déterminer l’expression de f–1_(x).

4) Tracer la courbe C’ de f–1_{dans le même repère que celui de C}_f_.

Exercice n°4 : (4points)

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé

(

O ,i, j ,k

)

. On considère les points : A(3,2,6) ; B(1,2,4) et C(4,–2,5). 1) a) Déterminer les coordonnées du vecteur AB∧AC

. b) En déduire que A, B et C ne sont pas alignés. c) Calculer le volume du tétraèdre OABC.

2) Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Montrer que OH = 4

3.

3) Soit S la sphère de centre O et passant par A.

a) Justifier que l’intersection de S avec le plan (ABC) et un cercle

ξ

de centre H. b) Calculer le rayon du cercle

ξ

.