Disquisitiones arithmeticae

Carl Friedrich Gauss

Werke / herausgegeben

von der königlichen

Gesellschaft der

Wissenschaften zu

Göttingen

Gauss, Carl Friedrich (1777-1855). Carl Friedrich Gauss Werke / herausgegeben von der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1863-1906.

1/ Les contenus accessibles sur le site Gallica sont pour la plupart des reproductions numériques d'oeuvres tombées dans le domaine public provenant des collections de la BnF.Leur réutilisation s'inscrit dans le cadre de la loi n°78-753 du 17 juillet 1978 :

*La réutilisation non commerciale de ces contenus est libre et gratuite dans le respect de la législation en vigueur et notamment du maintien de la mention de source.

*La réutilisation commerciale de ces contenus est payante et fait l'objet d'une licence. Est entendue par réutilisation commerciale la revente de contenus sous forme de produits élaborés ou de fourniture de service.

Cliquer ici pour accéder aux tarifs et à la licence

2/ Les contenus de Gallica sont la propriété de la BnF au sens de l'article L.2112-1 du code général de la propriété des personnes publiques. 3/ Quelques contenus sont soumis à un régime de réutilisation particulier. Il s'agit :

*des reproductions de documents protégés par un droit d'auteur appartenant à un tiers. Ces documents ne peuvent être réutilisés, sauf dans le cadre de la copie privée, sans l'autorisation préalable du titulaire des droits.

*des reproductions de documents conservés dans les bibliothèques ou autres institutions partenaires. Ceux-ci sont signalés par la mention Source gallica.BnF.fr / Bibliothèque municipale de ... (ou autre partenaire). L'utilisateur est invité à s'informer auprès de ces bibliothèques de leurs conditions de réutilisation.

4/ Gallica constitue une base de données, dont la BnF est le producteur, protégée au sens des articles L341-1 et suivants du code de la propriété intellectuelle.

5/ Les présentes conditions d'utilisation des contenus de Gallica sont régies par la loi française. En cas de réutilisation prévue dans un autre pays, il appartient à chaque utilisateur de vérifier la conformité de son projet avec le droit de ce pays.

6/ L'utilisateur s'engage à respecter les présentes conditions d'utilisation ainsi que la législation en vigueur, notamment en matière de propriété intellectuelle. En cas de non respect de ces dispositions, il est notamment passible d'une amende prévue par la loi du 17 juillet 1978.

GAUSS,

CARL

Friedrich.

Werke

_{herausgegeben}

von der koîniglichen

Gesellschaft

der

Wissenschaften

zu

Goîttingen

Tome 1

s.n.

SJ.

1863-1903

H. ï $< //ê

B. 1

CARL FRIEDRICH GAUSS WERKE

CARL

FRIEDRICH

GAUSS

WERKE

KOXKJLKîlIKX

IÏEiSKLLSCHAFT

DEIÎ

WISSEXSCHAFTEX

IX

E It

S T E II

B

A

N

D

il k i:

r s <; k <; k n kx

VIIXHKII

GÔTTlxNGKN

18C3.

1 A (

( ) MM1 S S I S A V V I)

(i K Ii H

_{K I. KI S (}

_{1 1 KH J ,• x.}

1801.

DISQCFSITrONKS

A

RITH

_{M E}

_T

_I

_C

_A

_E

.w croit !:

U

(AIU)LO

_FltlDtiRfCO

_GAt'SS.

1 SEKENI8SIMO

PK1NCIP1 AC _DOMINO

CAROLO _{GUILIELMO FERDINANDO}

IWI'XOVICEXSIUM AC U'XEUUKGEX.SIUM ])LC1.

PR1XCEPK SEHEXISSIME

Ouinmui' _equidem fclicitati inihi duco. _quod Celsksimo nomiiii Tro _{hoc opus} inscri-bori' niihi _{permittis, quod ut Tiw} offemm sancto

pietatls oftïeio obstringor. Nisi onim Tua _gratin. Sorcnissiinc

princops, intraitum mihi ad st-ientias _{primuni aperuissot.}

nisi _perpétua Tca bénéficia studia _{niea usque sustontavissciit scirntinc}

inatlicma-tioao. _{ad cjuani \cheinenti scmper a>norc dolatus sum. totum me devovere non} no-tuissi'iii. (Juin adeo cas _{ipsas nieditationcs,}

quanun partein hoc volunion exliibct. ut suscincre. per plures annos continuait' _{litcrisque consignare lieeret. Tua sola}

benijîiiitas etfecit. quae ut. ceteraruiu curamm _expers, lmic _{imprimis incuniben?}

possem praestitit. Quas quum tandem in lucon» cmittero _{cnpnrom. Tua}

munin-centia _{cuiitta, (piae editionem remombantur. obstncula removit. Ilaec Tua}

tanta de me _ineisque conatibus mérita _{gratissima potiu.s mente}

'-revuivere, _quuiu ÎHstis _digui*que laudibu* eelébriiïe _{possum. Nimique} tum suluiii

tait me mimoïi hntid _parem Sêittio. sed et ftctninéui _{ignorai» puto..saiemwm Tu»}

esse tain _insignoin Hbomlitntem in omtu's _qui ad _{optimas disciplinas} cxcoli'iidas

couferrt' vidcntur _ncque t'«s s<'ienti«s _{quao vulgo} ubstrasiorcs et u vitm* coiiDim-nis utilituto romotioro» i-retluiitur. u _patrocinio Tuo uxclusas tissu. _t|uuiu Ti! _ipse

` intiniuni seientiarum unmiuui iuter se et iieeessarium vimulum mente illa sapieu-tissima _{unmimiiquo quae} ad humauae societatis _{prosperitateni aiijîeiidain pertinent}

peiitissiniti. pointus perspexeris. (iuodsi Tu. I>rint'ej>.s Serenissime. haut: libnun.

et _gratissimi iu Tk am'nù et laboram uoliilissimae scientiae dioatorum testem,

iiLsigni illo favore, quo me tanidiu _{am plexus es,} hund _{iudiginini iudicaveris,}

ope-ram mcain me non inutiliter _{eollocasse eiusque} honoris, _{qncm prae} omnibus in

votis Imbtii, _coinpotcin me faetum esse, tnilii _grntitlubor

Bmnovici mense Julio l!»ol.

l'itIXCKI'S SEHKXISS1M K

L'clsitudinis Tuau sei-vus nddictissirntis C. F. Gauss.

PRAEFATIO.

Disquisitiones in hoc _opere contentac ad eam Matheseos _{partent pertinent,} quae circa numéros _{integros versatur,} fractis _{plerumque, surdis}

seni}>er exclusis. Analysis indeterminata _quam vocant seu _{Diophantnea, quae ex inn'nitis}

solutioni-bus problemati indeterminato _{satisfacientibus cas seligere docet,}

quae per numé-ros _{integros ant saltem rationales absolvuntur}

(plerumque ea quoquc conditione adiecta ut sint _positivi) non _{est illa disciplina}

ipsa, sed potins _pars eius valde spe-cialis, ad eamque ita ferc _{se habet, ut ars}

aequationes reducendi _{et solvemli} Al-gebra; ad nniversam _Analysin. Ximirum _{quemadmodum ad}

Analj/sem ditionem roferuntur omnes _{quae cirea quantitatum affectiones}

générales institui _possunt dis-quisitiones: ita nmneri _{integri (tactique quatenus}

per intégras _{determinantur)} obiectum _{proprium ARrrmnmcAE constituant Sed}

quum ea, quae Arithmetices nomme _{vulgo traduntur, vix ultra artem numerandi et calculandi}

(i. c. numéros per signa idonea e. g. secundum _systema decadicum _exhihcndi,

operationesque arithmeticas _{perfidendi) extendantur, adiectis nonnullis}

quae vel ad Arithntcticam omnino non _{pertinent (ut doctrina de}

logarithmis) vel saltem numcris _integris non sunt _propria sed ad omnes _quantitates

patent: o re esse videtur, duos Arithmeti-cae partes _{distinguere, illaque ad Aritlimeticum olementarem referre. omnes autem}

disquisitiones _generales de numerorom

integrorum aflcctioiiibiu _propriis

Arithme-ticae Sullimiori, _{de qua sola hio sermo crit, vindicarc.}

Pertinent _{ad Arithmeticam Sublimiorem ea,}

quae Kuclides in Elementis l., VII _{sqq. elegantia et rigore}

apud veteres consuetis tradidit: attamen _{ad prima} in-itia huius scientiae _limitantur.

.-G.

_.

ÇllAKKAÏlOi

imlefenuinuti» dkatum est, limitas _quaestiones continet, _{quae proptcr} difficulta-teni kmin _{atfifieioruiuque subtflitatem deauctori» ingénie» et aeumfae} existimatio-neiri jiaud luwliotrom suscitant, _ptaesortim si subsidiorura _quibus illi uti licuit

te-muïMeiu consitlcte». At _quitta haut* _problemata dcxteritatem _{quandam potins}

Kcitiitiiquc tmetationem, quant principia profnndiora postulent, praetcreaquc nimis spet»nli« sint raroque ad eonelusioncs _{generalioresdedxieant:} hic liber kleo magis

epoclt&m ill Historié, Mathoseos constituere videtur. _{quod prima} urtis

chamctoristi-cae _{(,'t Algel)«ie vestipa sistit. quam quod Arithmcticam Sublimiorem invcntis}

no-vis _auxerit.

Longe plurima reccntioribus debcntur, inter quos pnud quidem sed imijuntnlis _gloriao vin P. de Febmat, 1,. Elxer, 1,. La _Grange, A. M. Ije Gemdue (ut jiaiit-o.s altos pïactt'ream^ iutroitum ad pcnetrnlia huius divinae scientiae

ape-ruof<iut. _qtuwtisqiic divitiis abundent _{patefecerunt. Quacnam vero inventa a} sin-}jul}M his gwnnetris profccta sint, hic enarnure _{supcrscdeo quum e prnefationibns} Adilitamoutorum _{quibus ill. La G range Euleri Algebrnm ditavit opcrisquc} inox me-mojïljuîi «b ill. _{Le (iendre nuper} editi _{cognosci possint, insuperque pleraque locis} suis _{in his Disquisitionibus Arithmeticis laudentur.}

l*ropositum huius _{operis ad quod edendum iain annos abhinc}

quinque pu-blia fidem _dedeïtiin, id fuit, _{ut disquisitiones} ex Aritlunctka _{Sublimiori. quas} par-ti»n intt' _{id tompuM pnrtim |>ostea institui, divulgarem. Ne quis vero miretur,} sci-entitlni liic _{s\ priwis}

propemodum initiis repetitam, multasque disquisitiones hic

deijuoresumtas essc. _quibus alii

operam suam iam navarunt. monendum esse duxi,

me. _{quum irt-imum} initio a. 1795 huic _{disquisitionum generi animum}

applîcavi. omnium _{qitaf quidem} a t-ccentioribus in hac arena claborata fuerint _ignarum.

om-ninnique subsidiowni _per quae de his _{quidpiam comperiro potuissem experteni}

fui* Kciliw?t in alio forte lubore tune _omipatus. casu _{incidi in eximiam}

quan-tlaiu vcritntein aritlimotioam _{(fuit autem ni fallor thuurcum art.}

1 OS) quam quum

et

jier se ]itilcltc»ininiu «estimarem et cum maioribus connexam esse

snspicarer.

siunlun _qmi potui cotitcutione in id incubui. _{ut principia quibus inniterctur} per-spiK-rem, {l(jnio«strationc)nque _rigorosam nanciscerer. _{Quod postquam} tandem

ex \oto suticessis^ot. illccobris haruin _{quacstiomun ita fui implioitus. ut eas} dese-re«! non _{iiutneriiji; quo pacto, dum alia}

sem\ier ad alia vinm sternebant, ea quae in _{quatuor pwmis} Sectionibus huius _{oixiris traduntur ad maximam}

partent abso-luta _{crant, lUiteqnam} de aliorum _{geometrarum laboribus similibus}

vi-PBAKPÀTIO. .- .: .." '7= =

--dissent.

Dein

_copia

_{mihi fiieta,}

_liorum

_{snmmorum ingeniorum}

scripta

evolveùdi,

maiorem

_quidem

_partem

_{meditfttidftam}

_mearùm

_rebus

_dudttin

_trausactis

ïmpensam

esse agnovi:

sed eo alaerior,

illorum

_vcstigiis

_insistons,

_Arithmeticam

_ulterius

ex-colere

_sttului;

ita variae

_{disquisitiones}

_in.stitnt«e

_sitnt,

_quorum

_partem

_Scctioues

V, VI et VII

tradunt.

_Postquam

_interieeto

_temporo

_consilium

_{de fructibus}

vigi-Harum

_{in publicum}

_edendis

cepi:

eo lubontius,

qnod

plures

uptabnnt,

ntihi

jiei-suadcri

_passus

_sum,

_{ne quid vel ex illis mvest%ationibu&}

prioriliu»

supprinieivir».

quod tum

tomporis

liber

non

habebatur,

_{ex quo uliorum}

_geoutetrarum

labovcs

tlt-his rébus,

iuAcadetniarum

('ommentariis

_sparsi,

cdisci

_potuisseut;

_quod

multnc

ex illis omnino

novae

_{et plei-acque}

_{pex* niethodos}

_novas

_tractatac

_erant;

denique

quod

oinnes

tum

iuter

se tum cum disquisitionibus

_{posterioribus}

tam

ureto

nexu

cohaerebant,

ut ne nova qttidem satis commode explicnri possent,

_{nisi reliquis}

_ah

initio

_repetitis.

Prodiit

interea _{opus egregium} viri iam antea de

Aritlunetica

Sublimiori

ma-«nopere

meriti,

Le

Gendre

Essai

_{d'une théorie des nombres, Paris}

_{a. VI, in quo non}

modo omnia

_quae

hactenus

in bac: scielltia

elaborata

sunt

_diligenter

_collegit

et in

ordinem

_redegit.

sed

_pennulta

_insuper

_nova

_{de suo ndiccit.}

_Quum

_{lue liber}

se-rius ad ntanum

mihi

_pervenerit,

_postquain

_inuxima

operis

pars

typis iam

exscripta

esset;

nullibi,

ubi rcrum

_analogia

_occasioncm

_dare

_potuisset,

_{eius mcntioncm}

in-iicere

_licuit;

_{de paucis}

_tantummodo

_{locis quaedam}

_{observationes}

_{in Additamentis}

ndiungerc

necessarium

videbatur,

_{quas virhumain.ssimus}

et (.'andidissimus

_bénigne

ut sjjero interpretabitur.

Inter

_{iiupressionem}

_huius

_operis.

_quae

pluries interruptn variisque

inipetli-incntis

usque iu quartum

aiinuui

_protracta

est,

non modo cas investigationcs.

_quas

(|iiidcm

iam

antea

susceperani,

sed quarutn proinulgationcm

in aliud

_teinpus

dif-ferro constituera»)

ne liber nimis

_{niagmtscviidvret,}

_ulterius

_continuavi,

_sed

plu-res etiam

alias

_{novas aggressus}

sum.

_{PlurcK quoque,}

_quas

_{ex eadein}

_ratione

levi-ter tantum

_attigi,

_quum

tractatio

uberior

minus necessariu

videretur

_{(e. g, eac quae}

itt artt.

_{37, S}

_{2 sqq. aliisque}

_{locis troduntur),}

jwsteu

resumtae

sunt,

disquisitioni-busque

generalioribus

quae

luce

perdignoe videntur

locum

dederunt

_(Conf.

_etiam

quae

in Additamentis

de art.

300

_dicuntur;.

_Denique

_quum

liber

_praesertim

propter

amplitudinem

Sect.V

in longe mains quam exsi>ectaveram

rolumen

excres-''

" " - "-' .i _{PHAEKATO). -=.v}

«•«st. _{pliira quae} ab initia cUtestinfttrt 'erent. _{interque ea totam} Séetiouem oehimm

«.une pflssira iam in hoc vohtminc wmraeinorntùr, _atque txaciafiônèm _{générale»!} de roiigruentiÎM algebmicis cuiusvis _{gradus continet)} vesecnre _oportttit. Hacc onmia. (juae rolunien huic _acqnalc facile _{rxplebunt. publici} unis fient, _quainprimnm oeco-sio mlorit.

Qm>d. _{in j>hn-ilnts quaostionibuii} tlifticilibus demoustratiouibus _synthetic-is usu8 sutn.

nnalysinquc por quam erutnc sunt _{supprossi, iinprimis} brovitatis studio

tribuciuhiiii est. _{cui quantum} fieri _potonit consnlcrc _oportcbnt.

'l'ia-Di'ia divisionis ciraili. sive _{|M)lygouoniin rogiilarium qune in Scct. VII} trnctatur. _{ipso qiddcin pvr h* ad Arithuicticam non pertinct. attumen eius prbwipia} unico ex Aritlnuotien Subliniiort _petonda sunt: _quod forsan _gi'ometris tum

inex-.sjjootatuin erit, quantum vcritates novas. _quas ex hoc fonte hauritc licuit. _ipsis Sfrnttis fore _spcvo.

H«(><- sunt. _{de qnibus} lectorem _prneinoucrc volui. De rébus _ipsis non meum est iiidimre. Xiliil _{equidem inagis opto. qiuun utiis, quibus scientiarum} incre-menta corcli sunt. _{placeaiU. qime} \d Iiaetenns desiderata _expient, vel aditmn nd

2

Si namerus a numerorum _{b, c differcntiara metitur. et c seamdvm a} cou-ffrni dieuntnr, sin minus, _{incongmi: ipsum} « moânhm _{appcllamus. l'terque}

nume-îoriun _{b, c priori} in cnsu alterius _{resiimtm, in posteriori vero nonresidiium vocatur.} Hae notiones de omnibus numeris _integris tam _{positivis quam no^ativis ')} valent, _aequo vero ad fractos sunt oxtendendae. _{E. <j. – il et -f- 1«i sccundnm}

mocluhun 5 _{sunteongrui; –7}

ipsius +15 secundum modulum 1 1 residuum, se-«uiulum modulum _{3 vero nonresiduum. Ceterum}

quoniam cifrnm numerus quis-que nietitur, oiunis numerus _{tamquam sibi ipsi congnius secundum modulum}

qucni-cuaque est specïtandus.

Omnia Dumeri dati a residua secundum modulum m sub formula _a-km comprehenduntur. _désignante k numerum _{integrum indcterminatimi.}

Proposi-tionum _quas

post trademus facih'ores nullo _negotio hinc demonutrari _possuut- sed

istarum _{quidem veritatein}

aeque facile quivis intuondo poterit }M>rspicen>.

Modulus mnnifusto semper abmlute i, o. sine omni signo est Miinemlus.

DISÔUISITI0NE8

_ARITHMETICAE

NUMERORUM

CONGRUENTIA

IN GENERE.

A'umeri _{comjrui, moduli, retiâua et nonresidua.}

KEC'TJOPRIMA

2.

DE

10 DE _{NUîlEROKCMCONOttUENTIA}

KumèMi-umcongi-uentiam

hoc sigîio,

s,

_{in poster}

_{umdeîiotabimus.modulum}

ubi opus prit in elausalts

_adîuhgentes

– f 6

_{s 9 (motL5: –7=15}

_{{mod. t i ) *).}

3.

Theoiusîia.

_Propositis

m

numeris

_integris

_successrm

a,

a+l,

«+2

rt-f-m

–1

aHeque

_{A, illorm}

_aUqnis

_{fmie seeundum modulum m eonçmus erit,}

_{et quidem unicus}

tanttim.

Sieniiu

–~

integcr,

crit

a~A,

sinfractus,

sitintegerijroximenmior,

faut

quando

est negativus,

proxime

minor, si ad signum

non respiciatur)

–k,

_cadctqae

A-fan

inter

a et

_«+>«,

_{qunre erit}

_{numerus quaesitus.}

Et manifestum

est

om-nes quotieutes

_i±^

_-–^

_etc.

inter

k~

et

_k+\

_sitosesse;

_quare

plures

quant unus

integri

esse ncqueunt.

liesiduu minium. 4.

Quisque

igitur

numerus

residuum

habebit

_{tum in hac serie,}

_0,1,2,

_.tu–

_l,

tum in hac, 0,-1,-2

_{– [m}

_–

_1),

_quae

residua

_{minima dicemus,}

_patetque.

nisi

o 'fuerit

_residuum,

_bina

_{semper dari,}

positivum

alteram,

altenun

negutfowm.

Quae simagnitudine

_{sunt inaequalia,}

alteram

erit

_<£~,

_{sin secus utrumquc}

_='

.signi respectu non

habito.

l;nde

_patet,

_quemvis

mimeruin

residuum

Italien1

mo-duli semissem

_{non supcrans quod absolute minimum vocabitur.}

E. y. –i'i

secundum

modulum

5, habet

residuum

minimum

_positivum

2,

quod

simul est absolute

_minimum,

–3

vero

residuum

minimum

_negativum;

_{-|-5 5}

secundum

modulum

_{7 suiipsius}

_{est residuum minimum}

_positivum.

_–2

_negativum.

siinulqtte

absolute

minimum.

J'rojin.iitiuiu-.i eleiiieiitmv* de _{cungruentitH.} 5.

Ilis notionibus stabilitis

cas

numcroruni _congruorum

_proprictates

_{quae prima}

fronte

se offèrunt

_colligamus.

•) Hoc «ijfiuim propter miijçnmn «nalogiam duae inter aequalitatcm at<|U« coiigrueiitinm iiivcnitur wlopta-vimus. 01) candem cnussam ill. I.c Gendre in comment, infra _saepiu» laudanda _{ipsum autjuiifitatw nignum pro} congruentia retinuit, ((iioci nos ne wnbijfiiitns oriatur imitari dubiturimus.

'

_{I» GKNÉKK,}

_'

_-

_-

_--

_JJ

--2*

Qui numeri

secundum

modulum

_{composition sunt}

_congrui,

eiiam

_seeimdum

quem-tris eitts divisorem

_cmgrui.

Sipkres

tmmeri

tidem

numéro mimdnm

eundem

modulum

sunt congrui, inter se

erunt

congrui (secundum

eundem

modulum1.

Haee

modulorum

identitas

etiam

_{in sequentibus}

_{est subintelligenda.}

Ntmeri

_cmgrui

residtta

minima

/talent

_{eadem, incongrui}

diversa.

6.

Si habetitur

_quotcunque

numeri

_{A, B, C etc.}

_totidetnque

alii

_{a, h, e etc.}

illis

secundum

modulum

_qnemcunque

_congrui

A^a,

B~b

etc.,

erit

_A-B-C+

etc. =

_a+4+c-f-

etc.

Si

_A=a,

_J3=fi,

erit

A~B=a~b.

7.

Si

_A=a,

_eritquoqtte

_kA=ka.

Si k numerus

_positivus,

hoc est tantummodo

casus

_particularis

_propos.

art.

praec,

ponendo

ibi

A=B–

C etc., a=b–c

ete.

Si

k negativus.

erit

– k

po-sitivus,

_adeoque

–

kA~

– ka,

unde

kA = ka.

Si

_A=a,

_B=b,

erit

AB^ab.

_Namque

AB^Ab~ba.

8.

Si liabenUir quotcunque

numeri

A, B,

C etc,

_totidemque

alii

a, b, c etc.

his

congrui,

A=a,

B^b

etc., producta

ex utrisqtie erunt congrua,

ABC etc.

=abc

etc.

Ex artic.

praec.

AB–ab,

et

ob eandem rationem

ABC^abc;

eodemque

modo

_quotcunque

alii factores

accedere

_possunt.

Si omnes numeri

_{A, B, C etc.}

_aequales

assumuntur.

nec non

_respondentes

a,b, c etc.,

habetur

hoc theorema:

Si

A=a

et k

_integer

_positivus,

erit

Ak^ak.

9.

Sit

X

_functio

_algebraica

indeterminatae

x,

_huiusfortnae

Aaf-Bxb-{'

Cxe-etc.

designantibus

A, B,

C etc. numéros

integros

quoscunque;

a, b, c etc.

vero integros

non negatixm.

Tum si indeterminatae

x

valores seeimdum

_{modulum qnemcunque}

con-grui

tribiamtur,

valores

fmetionis

X

inde prodeuntes

congrui

erunt.

12

nts jrFMKHoimMcoKomnetittA

Sînt p valons eongriu ipshis x. _{Tiimexart.praee.S^a et Af^Af,} eodertiquemodo _{# = lit/1 etc.} Hinc

4T+-B/+ ÇT+etc. = yl/+/i/4.C/-fotc. Q. £ D.

(.'etevum facile _{inteiligitur. quomodo} hoc theorema ad functiones _plununi indeterminntarum extendi _possit.

10.

Quoilsi _{igitur pro} «v oinmvs numori _integri consecutivi substituuntur,

vnlores-«luc funcHoins X ad residua miuimn rcducuntur. Imee seviom _{constituent, in qua} post intcrvallum m terminoruni _désignante m modulura) iidem termini itcvuni

rc-currunt: sive haec sorios c>x

ptrimln m terminoruni infinitifs repetitn. erit formata.

Sit e. g. X– a-3– 8.1-+G et ni – ï>; tum _pro ,f=0, 1 2. :t etc.. valores _ipsius X liaec resiclua niininm _{positiva suppeditnnt. 1,-1. X. 4, 3. 1. 1 etc., ubi}

quiim priora 1 4, 3. 4. 3 in infiuitum _{repetuntur; atquc} si series rctro _continuatur, i.c. _{ipsi .r} valores _{negativi tribuuntur,} eadem _periodus ordine terminorum _{inverso prodit}

undo nmiiifestum est. terminos alios _{quam qui hanc}

periodum constituant in tota série locum habere non _posse.

11.

In hoc igitur exemplo X neqvic –0, _neque =2 _{inod. r> ficri potest.} nmlto-quetnimis – u, aut –2. _{l'iulcsequitur, ncquationvs **– S>ï4-0 = o,} et a?– Kv -|-4 =0 per numéros _{integros et proin,} utinotum _{est, per numéros} rationales solvi non _posse. (ieneraliter _{perspicuuiu est, acquationcm X=0,}

quando X functio incognitae ,v, huius formae

y+.l^f 7Îj»-f-etc. + N

A, H, t'pto. _{integri. atquc w intpger positivus. 'ad quam}

fonnam omnes aequationes

algcbraicas reduci _jioxse constat radicem rationaleru nullam _{habere, si} congruen-tiae X^O secundum ullnm modulum satisfieri _nequeat, Sed hoc critérium,

quod

hic _sponte se nobis _{obtulit, in Sect.VIII fusius}

pertrartabitur. l'oterit eerte ex hoc specimine notiuncula _{qualiscvuiquc} de harum _{investigationum utilitatc efformuri.}

-

_{-t>ffiE5EERfi.-}

--

' "

:

Jjj--

'

Qmwêimajiptiifitïunrm

12.

Theon-matilnis in hoc _{capite traditis}

eomplura quao in aritlnneticis doceri soient _{innitimtur, e. g. regulae ad cxplorandiun}

divmbilitatcm numeri _pxo]jotùti per 9. 11 aut nlios numéros. Seaimlum motlulum 9 omnes numeri Kl_potestates miitati _{nuit cougruoe: qnare si mimeras}

propositus luilxt formatn _{«+ 1 0 ft-f 1 oor} + etc.. idem rauditum minimum _{seeundnm mocluhim 9 tlahit,}

quod «-f t-fc c + etc. I iincr manifestum _{est, si figurae singulac numeri decadicc}

oxpressi sine respectu luoi quom occupant mldnntur, summam hanc _mmiorumquo

propositum fadcni _{residua minium}

prnebere. _adt'o<iuc hune _jxîr !> dividi _{posst;. si illa per 9 sit} «livisiliilis, et contra. Idem etiam de divisore _{3 tonendum. (Juoniam senmdum} moditlum II. loo = 1 ont _{gpnornlitor 10**= 1, I0*t+l = io = – | ctimmeroK} tonnai- _{o+loA+iouc-f-ctc. sccuudum moduluni 11 idem}

residuum minimum dabit _{quod a–b~c etc.; umte}

régula nota protinux dwivatur. Ex eodem prin-oipio oinuia similia _praeceptu facile _deducuntur.

Nec minus ex _{praeeedentibus}

petenda est ratio _{regularnm quao} ad verifica-tionem _{operationum arithmetienrum}

vulgo commendantor. Seilieet si ex numeris datis _{alii per additionem, subtnctionoin}

nuUtiplicationem aut clevationem _ad po-testates sunt deducendi: substitiiuntur datorum loco _residua

ipsorum minima

se-cunduui _{modulum arbitrarinm}

;vulgo 9 aut _{11, quoniam} in nostro _systemate deca-dico seciuidum _hos. uti modo _{ostendimus, residua tain facile possunt inveniri}

Nu-meri iiinc oriundi illis. _qui ex uumeris _{propositis dedneti fuerunt,}

eongrui esse de-bent: _quod nisi _{eveniat, vitium in calculum}

irrepsis.se concluditur.

•Sed quum haec _{hisque similia abunde sint nota, diutius lis immorari}

super-miuni Ibret.

SKCTIO SECTNDA

DE

CONGRUENTIIS PRIMI GRADU8.

Theoremata praelimiwtria de numerit pHmh,factoriïwi etr. 13.

TnEORKMA. Prodnctum e duobus mtmeris _positims numéro _primo dato minorilnts per hune primum dividi nequit.

Sit p primus, et ta positivus </>: tum nullus numerus positiviis h ipso p minor dabitur, ita ut sit «6=0 _(mod.

Dem. _{Si quis neget, supponamus dari numéros} b, c, rfetc. omnos <ip, itaut _{a is 0, ac= 0, «rf=0 etc. -inod./»1'.} Sit omnium minimus b, ita ut omnes numeri _ipso b minores hac _proprietate sint destituti. Manifeste erit b > 1 si enim b=\. foret _{ab=a<Cp [àyp.), adeoque per p non divisibilis.} Quare p

tam-quam primus per b dividi non poterit, sed intcr duo ipsius b multipla proxima mb et _[m-+-\ b cadet. Sit _p~-mbz=b', eritque b' numerus positivus et <i. lam quia supposnimus, «6=0, mod. p), habebitur quoque »»«6=o art. 7.. et hinc, stibtraliendo ab _{«^ = 0.} crit _{a p–mb =ab'=0;} i. c. b' inter numéros b.c.d

etc. referendus, licet ininimo oonun b sit minor. _{Q. E. A. i}

E 14.

Hi née a nec _{b per Humentm primum p dividi potes t etiam prodnctum} abfJ per p dicidi van poterit.

TOBOBÊMATA M SiHiÈiaS PIUMI8. ₁₅

Sint

_mimerorum

_{a, bt secundum}

_madulum

p

résîdua

minima

_positiva

«.S.

quorum

neutrum

erit

0

_:%>.)

Iam si csset

«6=0

_imod.p),

foret

quoque, propter

«6=a#,

ad

=

0,

_quod

cum

_thcoremate

_praec.

_consistere

nequit.

Huius

tlteorematis

demonstratio

iam ab Euclide

_tradita,

El.

VII.

32.

Nos

tamen

omittere

eam

_noluimus,

_tum

_quod

_recentiorum

tomplures

seu ratiocinia

vaga pro demonstratione

venditaverunt,

seu

theorema

omnino

_{praeterierunt}

tum

quod

iiidoles

methodi

hic

adhibitae,

_qua

infra

ad

multo

_reconditiora

_enodanda

uteniur,

_{e casu simpliciori}

_facîlius

_deprehendi

_poterit.

J5.

Si

nullus

tmmerorum

_{a, b, c, d etc. per numerum primum p divkli potest, etiam}

productum

abcdetc.

_per

_p

_{dividi non poterit.}

Sccundum artic.

praec.

_{ab per p dividi nequit}

_{ergo etiam « b c; hinc « b c tf etc.}

JC.

Theorema.

Nummts

composites quicunque unico tantum modo in factores primos

resotvi potest.

Dem.

_Quemvis

_numerum

compositum

in factores

_primos

resolvi

_posse.

ex

démentis

_constat,

_{sed pluribus}

_modis

_diversis

_fieri

_hoc

non posse perperam

ple-rumque

supponitur

tacite.

_Fingamus

numerum

_compositum

_A,

_{qui sit =«a6ec"f}

etc..

_désignai!

_tibus

_{a, b, c etc.}

_numéros

primos

inaequales,

alio adhuc

modo in

fac-tures

_primus

_{esse resolubilem.}

_Primo

_manifestum

est,

in secundum

hoc factorum

systcma

alios

primos

quam

a, b, c etc.

_ingredi

non

_posse,

_quum

_quicunque

_alius

primus

numerum

.4

ex his compositum

metiri

_nequeat.

_Similiter

_etiam

_in

secun-do hoc factorum

_systemate

nullus

_primorum

_{a, b, c etc.}

_deesse

_potest,

quippe

qui

alias ipsum

J.

non metiretur

_{(art. praec.).}

_Quare

_hac

_binae

_{in factores}

resolutio-nes in eo tantummodo

difterre

_possunt,

_{quod in altera}

_aliquis

primus

pluries

quam

in altéra

habeatur.

Sit talis

_primus

_{p, qui in altera}

_resolutione

_{m, in altera}

_vero

>ivicibus

_occurrat,

_sitque

_*»>«:

_Iam

_deleatur

_ex

utroque

systemate

factor

p,

» vicibus,

_{quo fiet ut in altero}

adltuc

m–

vicibus

_remaneat,

ex altero

vero omnino

abierit.

I. e. numeri

duae

_{in factores}

_resolutiones

_habentur,

quarum

altéra

a

factore

p

prorsus

libéra,

altéra

vero

m – n

vicibus

_{oum continet,}

contra

_{en quae}

modo demonstrnvimus.

I<> _{DE CONGKDEmiS PKJMI ÛltADl'S.} t7.

Si itaque numcrus _{composites A est produetum ex H, C, D etc.}

patet.

iuter fnctores

primas numerorum B.C.Detv. _{aliosessenonpos.se,}

quant qui otiani

sint iuter factoms muneri _{.1, et quemrô horum fuctorum toties in li, C, 1) etc.}

couiuuctim oecurrere _défère,

quoties in A. Hinc _colligitur critérium, utruin

nu-nierus B aliuiu .1 _mctiutur necue. Illud evuuict. si B _{ne([iit> alios factores} primos, ueque ullum piuries involvît. quum ^1; _qiutrum conilitiouum _{si aliqua} déficit, b _{ipsmn A non metietur.}

Katili' hinc _{cakuli conibinationum uuxilio derivari}

potcst, si A = h* tf' et clv.

desiRiiantibus ut _supra a, b, c etc. numéros _{primas diversos .1 haberi'}

«+i; (ë+r Y+i, etc. divisores _diversas, inclusis etiam 1 et A.

IS.

Si igitur A = a*b*ct etc.. K=k%?n? etc.. _{atque priini a, b, c etc.•} m etc. omnes _{diversi, patet} .1 et Il divisorem commuuem _praeter i non hubere.

sive inter se esse _primos.

Pluribus numeris _{A, B, C etc. propositis maxima omnibus annmunis meiimru} itn deterainatur. llesolvantur omnes in suos factores _{primos. atque ex his}

excer-puntur ii, qui omnibus uumeris A, B, C etc. sunt communes si tales non adsunt, nullus divisor crit omnibus _{commiuiis;. 'J'um}

quoties quisque Jiorum tactoruru pntnurntn in singulis il, 13, C etc. contincatur. sive _{~rral! dinlrairsiaarc-s in sirll;uli~}

A, D, C etc. _quisque Imbeat, adnotetur. Tandem _{singulis factoribus primis} trilmau-tur dimcnsioncs omnium _quas in _{A, B, C etc. habent mininiae.}

componaturque

procluctum ex iis. quod crit niensura communis _quaesita.

Quando vero numemruut _{A, B,} C etc. miniums coinmmiis (Ueidtmx deside-ratur. _{ita procredendum. Colligantur omnes numeri}

primi. qui numerorum A, B, Cote, _{aliquem metiuntur. tribuatur cuivis diiueusio omnium}

quas in numeri.s A, B, Cetc. habet _{maxima, sicque} ex _{omnibus productum confietur.}

quod erit dividuus _quaesitus.

JSr. Sit _{A= 504 = 23337 ii^= 2SS0 = 2° :js 5 C'=bG4 = 2533. Pro in~} veniendo divisorc connnuni maxiino _{habentur factores primi 2, 3. quibus} dimeu-•siones _{3,2 tribuendi; uudefiet =233ï=72; dividuus vero communis minimus} erit 2n335.7 = 6O-JSu.

THEOBEMATA

_{0E NL'MEIUSPHJ>H8.}

_\-j

Uemonstratioaes

_proptev

_fadKtatem

_omittimus.

_CMernra

quomodo

haee

problemata

solvenda

sint,

_quando

numerorum

_{A, B, Cetc.}

_{in factores}

_resolutio

non detur,

ex démentis

notum.

19.

Sinnmeri

_{a, b, cetc.}

_{ad alium}

_k

suntprimi,

etiam prodnctum

ex illis

abc

etc.

«d

k

_primum

est.

Quia

enim

nulli numerorum

_{a, b, c etc.}

_factor

_primus

_cum

_k

_est

commu-nis productumquc

«te

etc.

alios factores

_primos

habere

_ncquit,

_quum

_{qui sunt}

factores

alicuius

_numerorum

_{a,b,c etc.,}

_productum

_{«6c etc.}

_etiam

_cum

_k

fac-torem

_primum

_communem

_non

_habebit.

_Quare

ex art. pmec.

k

ad

abc

etc.

primus.

Si numeri

_{a, b, c etc.}

_inter

_{se sunt primi}

aliumque

k

singuli

metiuntur:

etiam productum ex illis numerum

k

metietur.

Hoc

_aeque

_facile

_{ex artt.}

_{17, t}

_derivatur.

_Sit

enim quicunque

producti

abc etc.

divisor

_prîmus

_{p, quem contineat}

_{n vicibus, manifestumque}

est,

_aliquem

numerorum

_a,

_{b, c etc.}

_eundem

_hune

_divisorem

_{n vicibus}

_continere

_debere.

Quare

ctiam

_k,

_quem

_{hic numerus}

_metitur,

_{n vicibus}

divisorem

p

continet.

Similiter

_{de reliquis producti}

«te

_etc.

_{divisoribxis.}

Hinc

_{si 'duo numeri m,n}

_{sectmdum phres}

_modulos

_{inter se primos a, b, cetc.}

mit congrui

etiam seamdum productum

_{ex his congrui erunt.}

_Quum

_enim

_m–v

per singulos

«, b, c etc.

sit divisibilis,

etiam

_{per eorum}

_productum

_dividi

_poterit.

Deniquc

si

a ad

b primus et ak per

b

divisibilis,

crit etiam

ak

_per

b

dimibilis.

_Namque

_quoniam

_ak

_{tam per}

_a

_quam

_per

_b

divisibilis

etiam per

«<' d, 'd'

_potcrit.

_i.c.

~==~

ub

dividi

_poterit.

_{i. e.}

^=4

critinteger.

20.

Quamlo

_{A– a'1 b' c1 etc.,}

_{desiynuntibus}

_{a, b, c etc.}

numéros p-rimos

inuequa-les,

ost patentas

_alùjtta,

_puta

=&

mnes

_expimentes

_a,ti,yctc.

_per

_{n erunt}

dtiisibiles.

Numerus

enim

k

alios

factores

_primos

_quam

_{a, b, c etc.}

_non

_involvit.

Contineat

factorem

_{«, a' vicibus,}

_{continebitque}

_k"

_sive

_A

_hune

_factorcm

_w«'

vicibus;

_quare

na'=a.

et

_integer.

Similiter

14

etc.

integros

esse

demon-Il.

_f~

18

de coxaiinàrns

pbiMi obadks.

ai.

Qttfindo a, b, c ete. _{sunt inter se primi, et productum} abc etc. _{potestm nliquu,}

puta =k" singuli nmnen a, b, c ete, similes potestates erunt

Sit _{a = i>'m?jr etc., designantibus l,m,p} etc. numéros _primo.s diverses,

quorum nullus per hyp. est factor numeronim b, c etc. Qnare productum abc etc. factoront _{implicabit À vicibus,} fnctorem m _{vero jw vicibus} etc.: hinc

(art. praee.) A, p. n etc. per ta divisibilcs adeoquo L £ 1

qa = lHmn p" etc.

integer. Similitcr de reliquis b, c etc.

Hncc de numeris _{primis praemittenda erant;} iam ad _{ea quae finem} nobis propositum propius attinent convertinmr.

22.

Si tntmeri _{a, b per} atium li divisibiles secuiutum modidum m ad k pri-MMN<A'MM<CO~Mf _{C~ T sccat~tdttna etr~tcle)n mudatlutrt cungrtai ff«M~.}

muni sunt

congrui j et v secundum eundem modtilum cimgrui émut.

Patet enim « – b _per k divisibilem fore, noc minus _per m _{[hyp. quart?}

uvt.W)) jier _{m clivisibilis erit, i.e. erit f=/.} ^mod. m).

Si autem _reliquis manentilms na et k liabent divisorem communem maxi-nlunl _e, erit Il G ~mod. _~nmqtui III. inter se _{primi. At} ~–6 mum _e, erit

j=j mod. Namque j et inter se primi. At « – i>

tam _{1. qualn lu'r l, '] 'Ii mlcKUlue etirara tam}

1)er x, alunm ln~r tam _per k _{quam per} a» divisibilis _adcotjuc etiam f~ tam _per – _{quain per}

nt

l' I,·rn rn u L r am = hinequeper i. e. per =, sive _JsJ mod. S",

23.

/S* « ad _{m primus, et e, f numm secundum modulum} m _{imongrui: eruiit} et/uni _{ue, uf incongrui} mkumIuhi m.

Hoc est tantum conversio theor. art. _i>raec.

Hinc: vero înnnifcstuin _est, si u _per omnes numeru.s _intégras u » _usque ad ? – 1 _{multi]>Iicctur produutaque} tsecundum modulum m ml residua sua mi-nima _reducautur, haec omuia fore _{iiiaequalia. Et quum} horum _residuorum quo-rum nulluin _>»*, mimerus sit m, _totidemque dontur numeri _{ad iisquc} ad m – I _patet, nulluni horum numerorum intcr illa rc*.sidua doesse _possc.

8OLUTIO _{COilQUOËKTUBL'M. 19}

24.

Expressio ax-b, denotantibus a, h numéros _{datos, x} numeruminde-terminntum seu _{variabilom seauidum modulum m, ad a primtm, cuiris numéro} dato

canyruafien jtotest,

Sitmunerus, cui _congrua fieri _{débet, c,} et rcsiduum minimum _positivum ipsius e–b .secundum modulum _{m, e.} Ex art. _praoc. necessario datur valor ip-sius _{<v<^m, talis ut producti ax secnndum modulum m rcsiduum}

minimum tint _{e; esto hic valor v,}

eritque a v = e – e – h undo _{« v + h = e mod. m)} Q. E. F.

25.

Expressionem duns _{quantitates congruas} exhibentem ad instar _aequationum. congruenthm vocamus; _{quae si incognitam implicat,} resolei _{dicitur, quando prohac} valor invenitur _{cougruentino satisfaciens}

raitix). Hinc porro intelligitur, quid sit congruentiu resolubilis _{et conyruentiu irresolubilis. Tandem facile}

perspicitur simi-les distinctioncs _{loeum liic habere}

posse uti in aequationibus. _{Congruentiarum} tnmsscendentium infra _{cxempln occurrcitt: alyémkue vero secundum dimensionem} maximam _{iucognitae in}

congrucntias primi, secundi nltiorumquc graduum distri-buuntur. Xec _{minus cougrueutiac}

plures proponi possunt plures incognitas invol-ventcs, _{de quarum} climinatione _{disquirendum.}

Solutio congruentiarum primi gmtlus. 20.

Congrucntia _{itaque primi gradus «.r+i=c} ex art. _{24 somper resolubilis,} quando modulus ad a _{est primus. Quodsi vero v fuerit valor idonetrs}

ipsius a; sive radix _{eongruontiae,}

palam est, omnes numéros, _ipsi e secundum _congruentiae propositac modulum _congruos, etiam radiées fore _{art. î)". Neque minus facile} IHïrspitïtur, omnes radiées _ipsi c _congruos esse debcrc: si enim _{alia radix fuerit}

t, crit

uc-b = at-bt undc av~at, et hinc _{e = f :'avt. 22;.} Hinc

col-ligitur _{congrucntinm .v s v mod. m exhibere resolutionem}

complétant congruen-tiae ux ₊ b c.

(iuia resolutioues _{congruentiae per valores ipsius ,j- congruos}

pcr se sunt

obviae, _atque, hoc

rcspcctu, numeri _{congrui tamquam acquivalentcs cousiderandi,}

taies _{congruentiae resolutiones}

pro una eademque habebimus. Quamobrem _quuin 3*

20 _{DE CONQRUKNTH8 PHINI OBAOl'9.}

tiostro

_congrucittia

_«-fisc

_{c nHnfJ rC801ut.iones nonmdmittat.}

_{pronuncÍabinH19,}

unico

tantum

modo eam

esse resolubilem

seu unam

tantnm

radicem

habere.

lta

e. g, eongruentia

6x4-5

–

13 (mod. 11) alias radiées

non adraittit,

_quam

_quae

sunt

=

_{5 'mod.}

_{1 1).}

Haud

_perinde

res

se habet

_{in eongruentiis}

altionim

gra-duum,

sive etiam

_{in congruentiis}

_primi

_gradus,

ubi

_incognita

_per

munenim

est

multiplicata,

ad qucm modulus

non est primus.

27.

Superest, ut de invenicnda rcsolutionc

ipsa congrucntine

huiusmodi,

_quaedam

adiiciamus.

Primo

_obseryamus,

_congruentiam

fonnae

_{«a1 -4-? = «» cuius}

mo-duhunaâ

a

_primum

_supponimus,

_{ab hac}

_««^

₊

₁

_pendere:

_{si enim}

huic

satisfacit

ce =

r,

illi satisfaciet

_{w = +}

_{(u –}

_{it r.}

At

_{congi-uentiae}

_{a# = + J}

moduloper

b

designato,

aequivalet

aequatio

indeterminata

ax

= by + i,

_quae

quomodo

sit solvenda

hoc quidcm

tempore

abunde

est notum;

quare

nobis

suffi-ciet, calculi

_nlgorithmum

hue

_{transscripsisse.}

Si quantitates

A, B,

C, D, E etc.

ita ab his

_{a, 6, y, è etc.}

_pendent,

ut

habeatur

A = a,

li

= ë^4-t,

_C

₌

_iB+A,

D=èC+B,

J3

= eD + Cetc.

brevitatis

_gratia

_{ita cas designamns,}

A = [a}.

li

= la,&,

C = [a,Û,y),

D=[a,1,y,S\

etc.

lam proposita

sit aequatio

indeterminata

aœ =

_6^+1,

ubi

_{a,b positivi.}

Sup-ponamus,

id quod licet,.

a

esse

non

<&.

Tum ad instar

_algorithmi

noti,

secun-dum qucm duonun

numerorum

divisor communis

maximus

_{investigatur,}

formentuv

per divisioncm

vulgarcm

acquationes,

a–ah~c,

b – Çc-t-d,

_{c = yd-{-e}

etc.

ita ut _{a, tf,}

y etc. c, d, e etc. sint integri positivi, et b, c, d,

e

continuo

decres-centes,

_{donect perveniatur}

ad

_{m = fin -j- 1}

*J Multo Kenemlius hacccc rclatia coiisiderari potest, quod negotium a!ia foison occasions siucipiemus. Hic duos tnntum _{propositione» adiieimu», quoo usum suum in praesenti}

investigatione halicnt; scilicet, i".

_{[a, S, i .).,}

_rt.

_{[e,ï.).]-[a,6,ï.?.]}

_{[«,T,X,,x]=±ll}

_l,

ubi signum superius accipiendum quando numerorum _{a, î, 7 X, multitudo par, inferiu» qunndo impar.} 2Q. Numerorum _{1, 6, f ete.} ordo Inverti _{potest, [«, 5, Y )., [*] = [ji, î 7. ï, %).} Deiminstraliimes _{quae non «unt difficiles hic supprimimus.}

SOIiOTIO COHQBUESTUBUM» 21

quod

tandem

_eveitim

_deberc

_constat.

_Erititaque

a=

_{[m, fi,}

_{f, 6, a]}

h =

_{[n, ji}

_{y, 6]}

Tum fiat

_{= (/*}

_T,6],

_{4, =}

r,g,«]

eritque

a.r

= by -f- 1

quando

numcroram

_{a, tf, y}

_{p, n multitudo}

est par.

aut

_{aœ == by–}

₁

_quando

_est

_impar.

_{Q. E. F.}

28.

Itesolutionem

_generalem

_huiusmodi

_aequationum

_{indeterminatarum}

_ill.

Eu-ler primus docuit,

Comment, Petrop.

T. VII. p. 40.

ilethodiis

_{qua usus est}

consi-stit in subconsi-stitutione

aliarum

_incognitarum

_{loco ipsarum}

_{w, y,}

_{atque hoc quidcm}

tempore

satis

est nota.

111.La Grange paullo aliter rem aggressus est: scilicet ex

theoria

fractionum

continuarum

_constat,

si

_fraetio

in fractionem

continuam

1

a + 1

6+1

y

etc.

+

»

x

convertatur,

haecque

deleta

ultima

sui parte

in fractionem

communem

j

re-stituatur,

fore

_«a?

_{= Jy + l,}

_siquidem

_fuerit

« ad

_{b primus.}

Ceterum

ex

utraque

methodo

idem

algorithmus

derivatur.

Investigationes

ill. La Grange

ex-stant

Hist.

de l'Ac. de Berlin

Année

_{1767 /?. 175, et cum aliis in Supplementis}

ver-sioni gallicae

Algelrae

Eulerianae

adiectis.

29.

Congruentiae

«#-]-/

= «

cuius

modulus

ad

a

non

primus,

facile

ad

casum

_praecedentem

_reducitur.

_{Sit modulus}

_m,

_maximusque

_numerorum

_{a, m}

divisor

communis

ê.

Primo

_patet

_quemvis

valorem

_ipsius

x

_congruentiae

se-cundum

modulum

m

satisfacientem

cidem

etiam

secundum

modulum

ô

satisfa-cere

(art.

5).

At semper

«iF =

0 (mod.Cy, quoniam

è

ipsum

a

metitur.

Qua-re, nisi « _{;mod. &)} i. e. t – « _per è divisibilis, _{congruentia proposita} non

22 ne. conohl-jcntus muni (at&Dvs,

Potïamus itaque a~èe, m = èft"t–n = hk eritqtie e act f primm

Tiuu vero _{congrùentiae}

propositao èiw -f- ck~ o vmod. <5/ aequivalebit hacc e.r-f- £ = 0 mod./ i. e. quicuuque ipsius a? vulor huic satisfaciat, etium illi satisfaciet et vice versa. Manifeste euim _{ex -f- A per} dividi _{poterit quaudo} ù',c-{-ck per èf dividi potest et vice versa. At cougruentiatn «iP + Â'™0u

(mod./ supra solveru docuinms; unde simul _patet, si « sit unus ex valoribus ipsius ,r, .«.• = <• mod. exliibere resolutionetn completnm congruentiae

pro-positae.

•M).

Quando modiilus est _{compositus, nonuumquam}

praestnt sequenti me-thodo uti.

Sit modulus =?«», _{atque congntentia proposita} «* = t. Solvatur pri-mo congruentia haec seciindum modulum m, _ponamusque ei satisfieri, si x c

'mod. -i! désignante è divisorem communein maximum numerorum m, a. lam mauifestum est, quem vis valorem ipsius x congruentiae «*=& secundum mo-dulum mu satisfacientem eidem ctiam secundum modulum m satisfacere

de-bere: adeoque in forma _r-f-c' contineri. désignante ni nunicrum indetermi-uatum, _quamvis non vice versa omnes numori in forma

v -f- ™jf contenti congru- i

untiao secundum mod. mu satisfaisant. _Quomodo uutem ri determinari

de-beat, ut _{+ "•'} fiat radix _{congruentiae aie = b ïinoA. m n ex solution*1}

congruentiae ™' œ(ti' = h {mod. mn~r; deduci potest, cui acquivalet haec t

^>i' – – – mod. n).i Hinc colligitur solutioncm congrucntiap cuiuscunque prinû grndus secundum modulum m a reduci posse ad solutioncm duarum

con-gruentiarum scenndum modulum m et ». Facile autem _{perspicietur.} si u iterum sit _productum c duobus factoribus. solutionom _cougruentiae secundum modulum n _{pondère a solutionc duarum congruentiarum quarum moduli sint illi}

factores. Generaliter solutio _congruentiae secundum modulum _compositum quem-ciunque pendet a solutionc aliarum congruentiarum. quarum moduli sunt factore.s illius nnnwri hi _autem si commodum esse videtur ita _{semper accipi possunt ut} sint numeri _primi.

( Ex. 8i

congruentia li).t = l (inod. MO, proponitur: solvatur primo secun- (

dum modulum _{2, eritque x = 1 (mod. 2).ï. Ponatur .j?=1 + 2*}

fietquc

8OWJT1OCONGBCEKTIABEM.

_gg

~1u'u~

•tenait

aeetttidnm

mochihtm

_{2 ROÎvitnr,}

_{fit V = 1 (môd. 2)}

|jositoque *•' = 1 + 2v\ fit 38#"==_ _{28 (mod. sive J9.*>" == – 1 1 (mud.}

35). Haee

secundum 5 soluta dat x" = _{4 (mod.}

5), substitutoque = 44.5 a1" fit

»5.r~ – 9<)(mod.35v sivo 19*==

B(mod.7). Kx lwc tandem se-qnitur, a?'" ==2 (mod. 7;, positoque .i1'"– 2 + 7,1- eolligitur .r =58 + n <).»•

quare _{a? == 59 (mod. 1 40)} est solutio _{compléta congruentiae}

propositae.

31.

.Simili modo ut _{aequationis ax = h radix}

per exprimitur. etiam con-Kriwntiao a<v h radicem _quamcunque

per designnbimus. congruentiae mu-(lulum, distinctionis _{gratia. apponentes. Ita e. g.}

| (mod. 1 2; denotnt _quemvis numerum _qui est = _{1 1 (mod 1 2) *. (ïeneraliter ex}

praecedentibus _patet. (mode) nihil î-ealc _{significare (aut si quis malit aliquid imaginarii\ si a,c} habe-ant divisorem _communem,

qui ipsum b non metiatur. At hoc cnsu _excepto. (;x-prossio _{-(mod. e) semper} valores realcs habebit. et _{quidem infinitos: lii vero} omnes secundum c _{erunt congi-ui}

quando a ad c _primas aut secumlum

f, qunmlo c numerorum _{c, a} divisor _{commuais maximus.}

Hae _{exi)ressiones similem ferc habent}

algorithmum ut fractioncs _vulgares. Aliquot proprietates quae facile ex praecedentibus deduci _possunt hic _apponimus.

1. _{Si secundum modulum c, a=±a, i=g}

expressiones j (mod. c) _et (mod. r' sunt _{aequivalentes.}

•2.

££ (mod. ce; _{et j (mod. c) sunt aequivalentes.}

3.

-fa :mod. c) _et (mod.c) sunt aequivalentes quando k ad r est _primus.

-Multae aliae similes

propositions affem jjossent: at quum uulli diffïcultnti siat _obnoxiae.

neque ad sequentia adeo necessariae. ad alia _properamus.

Do iitmirimié, tmmvrn neeiunluminmlulnnéttos résidais éilis miiym».

32.

Problcma _{quod magnum in sequontilms usum}

habebit, inmitre omnes numé-ros, (mi secundum modulus _{quotcunque daton residua data}

pmebent, facile ex proecc-dentibus solvi _{potest. Sint primo duo moduli .1, B, secundum}

quos nmnerus