Correction Droites et plans dans l’espaces 3ème Sc Techniques

(1)

CORRECTION DROITES-PLANS DE L’ESPACE 3ème Sc Techniques

Exercice 1

On a 1 , −2 , −1 , 3 , −3 , −2 et 0 , −3 , 1 .

1) a) On a est un vecteur directeur de droite et ∈ donc une représentation

paramétrique de la droite est :

= 1 + 2 = −2 − = −1 − ; ∈ ℝ. b) On a : = 1 + 2 = −2 − = −1 − ; ∈ ℝ donc : + 2 + 3 = 0− + 1 = 0 2) a) On a et , on a 2 −1

−1 −1 = −2 − 1 = −3 ≠ 0 donc les points , et forment un plan ".

b) On a et sont deux vecteurs directeurs du plan " et ∈ " donc une représentation

paramétrique de " ∶

= 1 + 2$ − % = −2 − $ − %

= −1 − $ + 2% $ , % ∈ ℝ .

c)& , , ∈ " ⇔ & , et sont coplanaires ⇔ ()*+ & , , , = 0

⇔ - − 1 2 −1+ 2 −1 −1

+ 1 −1 2 - = − 1 −1 −1−1 2 − + 2

2 −1

−1 2 + + 1 −1 −1 = 02 −1 ⇔ −3 − 1 − 3 + 2 − 3 + 1 = 0 une équation cartésienne de " ∶ + + + 2 = 0.

3) Soit ._/ un vecteur normal à ", et "//1 donc ._/ un vecteur normal à 1 donc 1 ∶ + + + ( = 0. or 2 1 , 1 , 1 ∈ 1 donc ( = −3 donc 1 ∶ + + − 3 = 0

4) Soit ._/3 un vecteur normal à ′ , on a 1 −1

1 2 = 3 ≠ 0 donc ./ et ./3 ne sont pas colinéaires donc les plans P et P′ sont sécants, soit ∆ leur droite d’intersection.

& , , ∈ ∆= " ∩ "′ ⇔ _{− + 2 − 2 + 4 = 0}+ + + 2 = 0 ⇔ − = + + 2 _{+ + 2 + 2 − 2 + 4 = 0} ⇔ − = + + 2_{− + 3 + 6 = 0} on pose = * donc ∆∶ = −6 − 4* = * = 6 + 3* * ∈ ℝ. Exercice 2 0 , −1 , 1 , 2 , 1 , 3 et la droite ∆∶ B = = −2 + 2 = 1 + ; ∈ ℝ 1) On a D 2 2

2E est un vecteur directeur de la droite et ∈ donc :

= 2$ = −1 + 2$

= 1 + 2$ $ ∈ ℝ

(2)

Soit & , , ∈ ∩ ∆ ⇔ = = 2$ = −2 + 2 = −1 + 2$ = 1 + = 1 + 2$ ⇔ F = 2$ $ = 1 + = 1 + 2$ G = 1 $ = 1 + 1 = 1 + 2 × Donc ∆ et sont sécantes en un point I 1 , 0 , 2 .

2) On a ∆′//∆, donc J_∆D 1 2

1E est vecteur directeur de ∆′ et ∈ ∆′ donc ∆

3_: _{= −1 + 2%}= % = 1 + % % ∈ ℝ. 3) a) On a 1 = 1 = −2 + 2 2 = 1 + donc F = 1 =K = 1

ce qui est impossible donc n’appartient pas à la droite ∆.

b) On a J_∆D 1 2

1E est un vecteur directeur de ∆ et ∆ //∆ donc J∆D 1 2

1E est un vecteur directeur de ∆ et ∈ ∆ donc ∆ ∶ = 1 + 2*= 1 + *

= 2 + * * ∈ ℝ

4) a)Le plan " contient les droites ∆′ et ∆ donc J_∆D 1 2

1E est un vecteur de ", déterminons un point 2 appartenant à ∆ on a pour = 0 ; 2 0 , −2 , 1 et comme 0 , −1 , 1 ∈∆′ donc 2 D−10

0 E est vecteur de ", on remarque bien J∆ et 2 ne sont pas colinéaires L 0 1_{−1 2 = 1 ≠ 0M}donc une représentation

paramétrique du plan " est

= * = −2 + 2* − N

= 1 + * * , N ∈ ℝ .

b)& , , ∈ " ⇔ & , 2 , )* J_∆ sont coplanaires ⇔ ()*+ & , 2 , J_∆, = 0 ⇔ - + 1 −1 20 1 − 1 0 1- = 0 ⇔ −1 20 1 − + 1 0 1 0 1 + − 1 −1 2 = 0 0 1 ⇔ − + − 1 = 0 donc " ∶ − + 1 = 0 Exercice 3 −1 , 0 , 2 , 3 , 2 , −4 , 1 , −4 , 2 et 2 3 , 2 , 0 . 1) On a I = ∗ donc _P = QK= 1 _P =RQ = 1 _P = S = −1 donc I 1 , 1 , −1 T = ∗ 2 donc U = QK= 2 U = SQ = −1 U = QR= donc T 2 , −1 , 1 D−2−6 6 E donc S V W X−₋K K Y Z [ soit \ , , donc \ D − 3 − 2 + 4E on a \ = S donc ] ^ _ ^ ` − 3 = − − 2 = −K + 4 =K donc ^ _ ^ ` =a = a

(3)

2) a) On a I\ V W X K − −K_Y Z [ et IT D 1 −2 2 E on a b K ₁ − −2b = −3 + = −

a _{≠ 0 donc I\ et IT ne sont pas}

colinéaires donc I , \ )* T ne sont pas alignés.

b) Soit & , , ∈ I\T donc ()*+I& , I\ , IT, = 0 ⇔ cc

− 1 K 1 − 1 − −2 + 1 −K 2 cc = 0 ⇔ − 1 c− 1 2 −2 −3_{2 2} c − − 1 c 3 2 1 −3_{2 2}c + + 1 c 3 2 1 −1_{2 −2}c = 0 ⇔ − 1 −1 − 3 − − 1 L3 +KM + + 1 L−3 + M = 0 ⇔ −4 + 4 −d +d−a −a= 0 ⇔ −8 + 8 − 9 + 9 − 5 − 5 = 0 ⇔ −8 − 9 − 5 + 12 = 0. donc I\T : 8 + 9 + 5 − 12 = 0. c) On a I 1 , 1 , −1 ∈ I\T et I\ V W X K − −K_Y Z [ et IT D−21

2 E sont deux vecteurs du plan I\T

donc I\T : ] ^ _ ^ ` = 1 +K + $ = 1 − − 2$ = −1 −K + 2$ , $ ∈ ℝ 3) a) −1 , 0 , 2 ∈ 2 et 2 D 42

−2E est un vecteur directeur de 2 donc 2 ∶ = −1 + 4% = 2% = 2 − 2% % ∈ ℝ b) On a 2 ∶ = −1 + 4% = 2% = 2 − 2% % ∈ ℝ donc 2 ∶ − 2 = −1 + = 2 donc 2 ∶ + − 2 = 0 − 2 + 1 = 0 4) a) On a 2 D 4 2 −2E et I\T : 8 + 9 + 5 − 12 = 0

on a 8 × 4 + 9 × 2 + 5 × −2 = 32 + 18 − 10 = 40 ≠ 0 donc 2 n’est pas un vecteur du plan I\T donc la droite 2 et le plan I\T sont sécants en un point h.

b)& , , ∈ 2 ∩ I\T ⇔ G = −1 + 4% = 2% = 2 − 2% 8 + 9 + 5 − 12 = 0

(4)

⇔ G = −1 + 4% = 2% = 2 − 2% −8 + 32% + 18% + 10 − 10% − 12 = 0 ⇔ G = −1 + 4% = 2% = 2 − 2% 40% = 10 donc G = 0 = % =_S donc h L0 , ,SM on a h j 1 −k_Sl −1 , 0 , 2 2 D 4 2 −2E donc S 2 j 1 −k_Sl donc h =S 2. Exercice 4 0 , 1 , −5 , −1 , −2 , −1 , 1 , 0 , −5 . 1) a) on a D −1 −3 4 E et D 1 −1

0 E on a −1 1−3 −1 = 1 + 3 = 4 ≠ 0 donc et ne sont pas colinéaires donc les points , )* déterminent un plan P.

b)& , , ∈ " ⇔ & , et sont coplanaires ⇔ ()*+ &, , , = 0

⇔ - − 1 −3 −1−1 1 + 5 4 0 - = 0 ⇔ −3 −14 0 − − 1 −1 1 4 0 + + 5 −1 1−3 −1 = 0 ⇔ 4 + 4 − 4 + 4 + 20 = 0 ⇔ 4 + 4 + 4 + 16 = 0 donc " ∶ + + + 4 = 0. c) ∈ " et D −1 −3 4 E et D 1 −1

0 E sont deux vecteurs de " donc " ∶

= −% + $ = 1 − 3% − $ = −5 + 4% % , $ ∈ ℝ 2) 2: = 1 − = 2 + 3 = −4 + ; ∈ Im a) On J_nD−13 1 E est un vecteur de 2 et " ∶ + + + 4 = 0

on a −1 + 3 + 1 = 3 ≠ 0 donc J_n n’est pas un vecteur de " donc le plan " et la droite 2 sont sécants.

b)& , , ∈ 2 ∩ " ⇔ G = 1 − = 2 + 3 = −4 + + + + 4 = 0 ⇔ G = 1 − = 2 + 3 = −4 + 1 − + 2 + 3 + −4 + + 4 = 0 ⇔ G = 1 − = 2 + 3 = −4 + 3 = −3 donc G = 2 = −1 = −5 = −1 donc I 2 , −1 , −5 3) a) On a 1 ∶ 2 − + 3 − 1 = 0 et " ∶ + + + 4 = 0 on a ≠ donc les plans " )* 1 sont sécants.

b)& , , ∈ ∆= " ∩ 1 ⇔ + + + 4 = 0 2 − + 3 − 1 = 0 ⇔ −2 − 2 − 8 − + 3 − 1 = 0 = − − − 4 ⇔ _{−3 + − 9 = 0 on pose = * ; * ∈ ℝ donc ∆∶ G}= − − − 4 = −1 − S K* = −3 +_K* = * ; * ∈ ℝ

(5)

c) On a J_nD−13 1 E soit J∆j −S_K K 1 l un vecteur directeur de ∆, on a b−1 − S K 3 _K b = −K+ 4 = K ≠ 0

donc J_n et J_∆ ne sont pas colinéaires donc les droites 2 et ∆ ne sont pas parallèles.

soit & , , ∈ ∆ ∩ 2 ⇔ G = 1 − = −1 −S_K* = 2 + 3 = −3 +_K* = −4 + = * ⇔ G 1 − = −1 −S_K* 2 + 3 = −3 +_K* −4 + = * ⇔ G = 2 + S K* 2 + 6 + 4* = −3 +_K* −4 + = * ⇔ G = −2 − S K* 4* −_K* = −11 −4 + = * donc * = −3 = 2 −4 + 2 = −3 impossible donc 2 et ∆ ne sont pas sécants

2 et ∆ ne sont parallèles et ne sont pas sécants donc 2 et ∆ ne sont pas coplanaires.

Exercice 5 2 ∶ = 1 + 2 = 2 + = 1 − ∈ ℝ et 2 ′: = 4 + 3$ = 3 + $ = 3 + 2$ $ ∈ ℝ 1) Soit soient J_nD 12 −1E un vecteur directeur de 2 et Jn3D 3 1 2E un vecteur directeur de 2′ on a 1 2

2 1 = 1 − 4 = −3 ≠ 0 donc Jn et Jn3 ne sont pas colinéaires donc les droites 2 et 2′ ne sont pas

parallèles. (1) Soit & , , ∈ 2 ∩ 2′ ⇔ = 2 + = 4 + 3$ = 1 + 2 = 3 + $ = 1 − = 3 + 2$ ⇔ 2 + = 4 + 3$ 1 + 2 = 3 + $ 1 − = 3 + 2$ ⇔ 1 + 4 + 6$ = 3 + $ = 2 + 3$ 1 − = 3 + 2$ ⇔ F = 2 + 3$ $ = −_a 1 − = 3 + 2$ donc ] ^ _ ^ ` =S_a $ = −_a 1 −S_a = 3 −S_a impossible donc les droites 2 et 2′ ne sont pas sécantes (2)

de (1) et (2) les droites 2 et 2′ ne sont pas coplanaires.

2) a) On a −7 = 1 + 2 4 = 2 + 5 = 1 − donc

= 2 = −4

= −4 impossible donc 4 , −7 , 5 n’appartient pas à la droite 2. b) Déterminons un point de t ∈ 2 on a pour = 0 ; t 2 , 1 , 1

Le plan " passe par le point et contenant la droite 2 et t ∈ 2 ; donc t D −2 8 −4E et JnD 1 2 −1E sont deux vecteurs du plan ", & , , ∈ " ⇔ & , t et J_n sont coplanaires ⇔ ()*+ &, t , J_n, = 0 ⇔ - − 4 −2 1+ 7 8 2

− 5 −4 −1- = 0 ⇔ − 4 8 2

−4 −1 − + 7 −2 1−4 −1 + − 5 −2 18 2 = 0

(6)

⇔ − 4 × 0 − + 7 × 6 + − 5 × −12 = 0 ⇔ −6 − 42 − 12 + 60 = 0 ⇔ −6 − 12 + 18 = 0 ⇔ − − 2 + 3 = 0 donc une éqution de " est : + 2 − 3 = 0

3) a) Pour que le vecteur J_y = z + { + |} soit un vecteur du plan " il faut que 1 + | = 0 donc | = −1 b) On a J_∆D

1 1

1E est un vecteur directeur de ∆, on a 1 + 2 × 1 = 3 ≠ 0 donc J∆ n’est pas un vecteur de " donc la droite ∆= 2 , z + { + } est sécante à P.

4) Soit & , , ∈ 2′ ∩ " ⇔ G = 4 + 3$ = 3 + $ = 3 + 2$ + 2 − 3 = 0 ⇔ G = 4 + 3$ = 3 + $ = 3 + 2$ 3 + $ + 6 + 4$ − 3 = 0 ⇔ ] ^ _ ^ ` = 4 + 3$_{= 3 + $} = 3 + 2$ $ = −~_a donc ] ^ _ ^ ` =a =d_a = −K_a $ = −~_a

donc 2′ ∩ " est le point I L

a ,da , −KaM

5) a)" ∶ − 4 + 7 = 0 et " ∶ − 2 + 5 = 0 on a ≠ S donc " et " sont sécants. b) Soit & , , ∈ 2 = " ∩ " ⇔ • − 4 + 7 = 0 − 2 + 5 = 0 on pose = * ; * ∈ ℝ donc 2 : = −7 + 4* = * = −1 + 2* Exercice 6 1 , −2 , −1 , 3 , −3 , −2 et 0 , −3 ,1 1) a) On a ∈ et D 2 −1

−1E est un vecteur directeur de la droite donc : = 1 + 2 = −2 − = −1 − ∈ ℝ. b) On a : = 1 + 2 = −2 − = −1 − ∈ ℝ. donc : + 2 + 3 = 0− + 1 = 0 2) a) On a D 2 −1 −1E et D −1 −1

2 E on a 2 −1−1 −1 = −2 − 1 = −3 ≠ 0 donc et ne sont pas colinéaires donc les points , et forment un plan ".

b) On a ∈ " et D−12

−1E et D −1 −1

2 E sont deux vecteurs du plan " donc " ∶ = −2 − $ − %= 1 + 2$ − %

(7)

c)& , , ∈ " ⇔ & , et sont coplanaires ⇔ ()*+ & , , , = 0 ⇔ - − 1 2 −1+ 2 −1 −1 + 1 −1 2 - = 0 ⇔ − 1 −1 −1−1 2 − + 2 2 −1 −1 2 + + 1 −1 −1 = 0 2 −1 ⇔ − 1 × −3 − + 2 × 3 + + 1 × −3 = 0 donc " ∶ + + + 2 = 0.

3) On a le plan 1 est parallèle à " donc D 2 −1

−1E est un vecteur de 1 et 2 1 ,1 ,1 ∈ 1 donc 2 D 0 3 2E est un vecteur de 1, & , , ∈ 1 ⇔ &, et 2 sont colinéaires ⇔ det+ &, , 2, = 0

⇔ - − 1 2 0+ 2 −1 3

+ 1 −1 2- = 0 donc 1 ∶ + + − 3 = 0.

4) On a " ∶ + + + 2 = 0 et "′: − + 2 − 2 + 4 = 0 on a ≠ donc " et "′ sont sécants. Soit & , , ∈ " ∩ "′ ⇔ + + + 2 = 0 _{− + 2 − 2 + 4 = 0} ⇔ − = 2 + + _{2 + + + 2 − 2 + 4 = 0} ⇔ = −2 − −_{3 − + 6 = 0 on pose = * ; * ∈ ℝ donc " ∩ "′ : G} = −4 − S K* = 2 +_K* = * * ∈ ℝ Exercice 7 2 ∶ = −1 + = − = 1 + ∈ ℝ et 2 ∶ = −$ = 1 + $ = 2 − $ $ ∈ ℝ 1) J_n_€D 1 −1

1 E est un vecteur directeur de 2 et Jn•D −1

1

−1E est un vecteur directeur de 2 On a 1 −1

−1 1 = 0 1 −11 −1 = 0 −1 11 −1 = 0 donc les vecteurs 2 et Jn• sont colinéaires donc les droites 2 et 2 sont parallèles.

2) Pour = 0 on a t −1 , 0 , 1 ∈ 2 et pour $ = 0 on a ‚ 0 , 1 , 2 ∈ 2 Le plan " contenant à la fois les droites 2 et 2 , donc J_n_€D−11

1 E et t‚ D 1 1

1E sot deux vecteurs de " et t −1 , 0 , 1 ∈ ", & , , ∈ " ⇔ t&, Jn€et t‚ sont coplanaires ⇔ det+ &, Jn€, t‚, = 0

⇔ - + 1 1 1−1 1

− 1 1 1- = 0 donc " ∶ − + 2 = 0

3) Pour que le vecteur J_y = z + { + |} soit un vecteur de " il faut que 1 − | = 0 donc | = 1.

4) a)∆= 2+ , z + { + }, donc J_∆D

1 1

1E est un vecteur directeur de ∆ on a 1 − 1 = 0 donc J∆D 1 1 1E est un vecteur de " donc ∆//". b)∆= 2+ , z + { − }, donc J_∆D 1 1

−1E est un vecteur directeur de ∆ on a 1 + 1 = 2 ≠ 0 donc J∆D 1 1 −1E n’est pas un vecteur de " donc ∆ est sécante à ".

(8)

c)∆= 2+ƒ , z + { − }, donc J_∆D

1 1

−1E est un vecteur directeur de ∆ on a 1 + 1 = 2 ≠ 0 donc J∆D 1 1 −1E n’est pas un vecteur de " donc ∆ est sécante à ".

5) On a " ∶ + = 0 et " ∶ − + 1 = 0 a) On a ≠ donc " et " sont sécants.

b) Soit & , , ∈ 2 = " ∩ " ⇔ • + = 0 − + 1 = 0⇔ • = − − − + 1 = 0 ⇔ = − = on pose = * ; * ∈ ℝ donc 2 ∶ G = − = * = c)" ∶ − + 2 = 0. " ∶ − + 1 = 0 on a = donc "//" Exercice 8 1 , 2 , 2 , 3 , 2 , 1 et 1 , 3 , 3 . 1) a) D 2 0 −1E ; D 0 1

1E on a 2 00 1 = 2 ≠ 0 donc et ne sont pas colinéaires donc les points , )* déterminent un plan ".

b)& , , ∈ " ⇔ & , et sont coplanaires ⇔ ()*+ & , , , = 0

⇔ - − 1 2 0− 2 0 1

− 2 −1 1- = 0 donc " ∶ − 2 + 2 − 1 = 0

2) a)" ∶ − 2 + 2 − 1 = 0 et " : − 3 + 2 + 2 = 0 on a ≠

K donc les plans " et " sont

sécants suivant une droite 2.

b) On a 1 × 1 − 2 × 3 + 2 × 3 − 1 = 0 donc ∈ " on a 1 × 1 − 3 × 3 + 2 × 3 + 2 = 0 donc ∈ "

on donc ∈ " ∩ " donc le point appartient à la droite 2. c) On a 1 × 2 − 2 × 0 + 2 × −1 = 0 donc le vecteur J„ 2 0 −1… est un vecteur de " . On a 1 × 2 − 3 × 0 + 2 × −1 = 0 donc le vecteur J„ 2 0 −1… est un vecteur de " donc le vecteur J„ 2 0

−1… est un vecteur directeur de la droite 2. d) Le point 1 , 3 , 3 appartient à la droite 2 et J„

2 0

−1… est un vecteur directeur de la droite 2 donc 2 ∶

= 1 + 2 = 3