ouvrant robuste
L.GalandetO.Spanjaard
LIP6,4pla eJussieu,75252Paris edex05
{lu ie.galand,olivier.spanjaard}lip6.fr
Résumé Leproblèmedel'arbre ouvrantminimumserésoutentempspolynomialparles
algorithmesdeKruskal(1956)etdePrim(1957). Nousnousintéressonsi ià unevariante
plusdi ilede e problème,oùl'on re her heunarbre ouvrant robusteenprésen e
d'in- ertitudesurle oûtdesarêtes.Pluspré isément,onsupposequel'in ertitudeestmodélisée
parlaprise en ompteexpli ite deplusieurss énarios, autrementditplusieursjeux de
va-luationspossibles.Ils'agitalorsdetrouverunarbre ouvrantquirestesatisfaisantdanstous
les s énarios. Nous adoptons omme mesure derobustesse lamoyenneordonnéepondérée
(OWA,OrderedWeightedAverage),dontl'utilisationenoptimisationrobusteaétéjusti ée
dans[7℄et[8℄.Aprèsavoirdis utéla omplexitéduproblèmeainsiposé,nousprésentonsun
algorithmeappro hépark-optimisation,puisunalgorithmeexa tparséparationet
évalua-tion,quis'appuiesurle pré édent danssa phased'initialisation.Desrésultats numériques
sont présentés,montrantl'e a itédenotrealgorithme.
Mots-Clefs. Optimisationrobuste;Arbre ouvrantminimum;Séparationetévaluation.
1 Introdu tion
L'optimisation ombinatoirerobuste onnaîtunintérêt roissantdepuisl'ouvrage[5℄.Elleviseà
revisiterlesproblèmes lassiquesd'optimisation ombinatoireenprenanten ompteexpli itement
l'in ertitude qu'il peut y avoirsur les paramètres duproblème, en parti ulier sur les valuations
utilisées. Deux appro hesde larobustesse peuvent êtredistinguées selonlafaçondontest dé ni
l'ensemble des s énarios : le modèle par intervalles où haque valuation est un intervalle et où
l'ensembledess énariosestdé nien ompréhension ommeleproduit artésiende esintervalles;le
modèlepars énariosoùlesvaluationssontdesve teurs- oûts,dont haque omposante orrespond
àuns énariodonné.
Nous nous intéressons i i plus spé i quement au problème de l'arbre ouvrant robuste dans
le modèle par s énarios. Ce problème a été prin ipalement étudié jusqu'à maintenant en
utili-santle ritèremin-max ommemesure de robustesse(i.e., on re her he l'arbre ouvrantdontle
ve teur- oût a la omposante maximale la plus petite possible). Les auteurs de [3℄ ont montré
que e problème est NP-di ile (une preuve alternativeest présentée dans [10℄) et ont proposé
unalgorithmeexa tpourlerésoudre,fondésurlak-optimisation.Plus ré emment,lesauteursde
[1℄ontproposéuns héma ompletd'approximationpolynomialepour eproblème.Nousétudions
i i un problème plus général,où l'on utilise le ritère de la moyenneordonnée pondérée (OWA,
OrderedWeightedAverage [9℄) ommemesurederobustesse.Ce ritère,justi édans[7℄et[8℄pour
l'optimisationrobuste,permetderendre ompted'attitudesmoinspessimistesfa eàl'in ertitude
quele ritèremin-max,enprenanten omptelesvaleursdessolutionssurl'ensembledess énarios
plut tquesurlepireseulement.
Aprèsavoirprésenté formellement leproblèmeet dis utésa omplexité(se tion2), nous
pro-posons une méthode fondée sur la k-optimisation (se tion3) dontla variante appro hées'avère
beau oupplusperformantequelavarianteexa te, ommelemontrentlesexpérimentations
numé-riquesprésentées.Nousproposonsensuiteunalgorithmeexa tfondésuruneméthodedeséparation
et évaluation(se tion4),dontl'initialisationestee tuéeàpartirdelasolutionrenvoyéepar
l'al-gorithmeappro hédelase tionpré édente.Desrésultatsnumériquessontégalementfournispour
Etantdonné unensemblef1;:::;qgde s énarios,on peutasso ierunve teur deN q
à haque
arbre ouvrantdugraphe, orrespondantàlasommeve torielledes oûtsdesarêtesle omposant.
La omparaisond'arbres ouvrantsseréduitalorsàla omparaisondesve teurs orrespondants.
A lasuitede[7℄et [8℄, nousproposons de omparerlesve teursselonleur valeurowa [9℄ dé nie
ommesuit:
Dé nition 1 Etant donné un ve teur x 2 N q
, sa moyenne ordonnée pondérée est owa( x ) =
P q i =1 w i x ( i ) , où x (1) :::x ( q)
représentent les omposantesde x triées enordredé roissa nt et
P q i =1 w i =1.
Nous onsidérons i i la sous-famille des opérateurs owa où les poids sont dé roissants (i.e.,
w
1
:::w
q
), equi onduitàa ordermoinsd'importan eauxs énariospourlesquelsle oût
estpeuélevé.Cettepréo upationestnaturelle pourmodéliserlanotionderobustesse.Ce ritère
est ependant moins pessimiste quele ritèremaxpuisqu'il a orde des poids non nuls aux
s é-narios pourlesquelsle pirene seréalise pas.Remarquonstoutefois quel'opérateurowa englobe
le ritèremax:il su t pour ela deprendrelespoidsw
1 =1,w 2 =0,:::,w q =0.Un autre as
parti ulierintéressantestobtenulorsquel'onadegrandsé artsdepoids( w
1
::: w
q
),puisque
l'on retrouvealorsl'ordreinduitparl'opérateurleximax,qui onsisteà omparerdeuxve teurs
surlabasedeleurplusgrande omposante,puisdeleurse ondeplusgrandeen asd'égalitésurla
première,et ainsi desuite... Ce ritèrera ne don l'opérateurmaxendépartageantlesve teurs
ayantlamême valeursurlaplus grande omposante enfon tiondes valeurssur les omposantes
suivantes.
Dans e adre,lare her hed'unarbre ouvrantrobusterevientàrésoudreleproblèmesuivant:
Arbre ouvrant robuste (ACR)
Instan e: ungraphenon-orientéG=( V;E) ,qfon tionsdevaluation
i
:E !N pouri=1;:::;q.
Obje tif : déterminer un arbre ouvrant T minimisant owa( ( T)) ,où ( T)= (
1 ( T) ;:::; q ( T)) ave i ( T)= P e2T i ( e) .
Commeindiquépré édemment,lorsquew
1
=1ettouslesautrespoidsw
i
sontnuls,le ritèreowa
seréduitau ritèremax .Or,ilaétéprouvédans[3℄et [10℄queleproblèmedelare her hed'un
arbre ouvrant min-maxest NP-di ile. Le problèmedé ni i i l'est don égalementdans le as
général.Remarquons ependantquele problèmepeut devenirpolynomialpour ertainesfamilles
d'instan es: lorsquew 1 =w 2 =:::=w q
, ilsu t devaluer haquearêteepar P
i
i
( e) ,puisd'appliquer
unalgorithme lassiqued'arbre ouvrantminimumpourobtenirlasolutionoptimale;
lorsqu'ilexisteunepermutation dess énariostelleque
(1)
( e):::
( q)
( e)pourtoute
arêtee, il su t de valuer haquearête epar P i w i ( i )
( e) puisd'appliquer unalgorithme
lassiqued'arbre ouvrantminimumpourobtenirlasolutionoptimale.
Pré isonsque esdeux asde gureseren ontrentnéanmoinsassezpeufréquemment.
En n,ilest fa ilede onstruireuns héma ompletd'approximationpolynomialepour e
pro-blème. Pour ela, à la manière de [1℄, on peut s'appuyer sur le s héma omplet existant pour
approximerlafrontièredeParetodelaversionmultiobje tifduproblèmedel'arbre ouvrant
mi-nimum [6℄. Cet algorithme renvoie un ensemble T
"
d'arbres ouvrants de taille polynomiale tel
que pour tout arbre ouvrant T du graphe il existe T
" 2 T " pour lequel i ( T " ) (1+") i ( T)
pouri =1;:::;q. En remarquantque[ 8 i x
i y
i
℄) owa( x ) owa( y) et queowa ( (1+") x )
= (1+") owa( x ), onpeut en déduire quel'arbre ouvrant T
"
telque owa ( ( T " ))=min T"2T" owa( ( T " ))véri eowa( ( T " ))(1+") owa( ( T )) ,où T
désignel'arbre ouvrant optimalau
sensdel'opérateurowa.Ondisposedon ainsid'uns héma ompletd'approximationpolynomiale
pourleproblèmeACRdé nipré édemment(l'algorithmeestbienpolynomialpuisquelare her he
del'arbre ouvrantT
"
sefaitdansunensembledetaillepolynomiale).Cependant,laportéede e
3.1 Une appro he park-optimisation
En pratique, les solutions robustes sont souvent de bonne qualité en terme de oût moyen
dans les diérents s énarios. Ainsi, à la manière de [3℄, il peut être intéressant d'énumérer les
arbres ouvrants dans l'ordre roissantde leur oût moyen respe tif (voiraussi [2℄ pourla mise
en ÷uvrede e typed'appro hepourlare her hed'un arbre ouvrantdemeilleur ompromisen
optimisationmulti ritère).Laquestionquel'onseproposed'étudierdans ettese tionestdesavoir
quandarrêterl'énumérationa nobtenirunesolutionappro héeave unrapportd'approximation
à(1+")(ave "0).A etitre,onétablitlerésultatpréliminairesuivant,quilielavaleurmoyenne
d'unve teuretsa valeurowa:
Proposition1 Pour tout ve teur x 2 N q
et tout jeu de poids dé roissa nts w
1 ;:::;w q tel que P q i =1 w i
=1, onvéri e: avg ( x ) owa ( x ) , oùavg ( x )= 1 q P q i =1 x i .
Preuve.Considéronsladiéren eD=owa( x ) avg ( x ) .
Ona:D= P q i =1 w i x ( i ) P q i =1 1 q x i = P q i =1 ( w i 1 q ) x ( i )
.Soitk2f1;:::;qgtelque8 i2f1;:::;kg,
w i > 1 q et 8 i 2 fk +1;:::;qg, 1 q w i . On peut dé omposer D en : P k i =1 ( w i 1 q ) x ( i ) + P q i =k+1 ( w i 1 q ) x ( i ) .Commex (1) x (2) :::x ( q) ,ona P k i =1 ( w i 1 q ) x ( i ) x ( k) P k i =1 ( w i 1 q )et x ( k+1) P q i =k+1 ( w i 1 q ) P q i =k+1 ( w i 1 q ) x ( i ) .Ainsi,Dx ( k) P k i =1 ( w i 1 q ) x ( k+1) P q i =k+1 ( 1 q w i
) (1). On peut remarquer que P q i =1 ( w i 1 q ) = 0 puisque P q i =1 w i = 1 = P q i =1 1 q , et don P k i =1 ( w i 1 q )= P q i =k+1 ( 1 q w i ) .PosonsW = P k i =1 ( w i 1 q )= P q i =k+1 ( 1 q w i ) .D'après(1),on adon DW( x ( k) x ( k+1)
) .Onen on lutqueowa( x )avg( x )puisqu'il estfa iledevéri er
queW 0.
SoitfT 1
;:::;T r
gl'ensembledesarbres ouvrantsdugraphe,ave desve teurs oûtsx 1
;:::;x r
,
indi és detelle manièreque avg( x 1 ) avg ( x 2 ):::avg( x r ) .La suite( T j ) j=1;:::;r peutêtre
engendrée enimplémentantunalgorithmede k-optimisation(i.e.,un algorithmequi énumèreles
k meilleures solutions dans l'ordre roissant) sur le graphe G = ( V;E) valué selon la fon tion
de valuation s alaire 0 : E ! R + dé nie par 0
( e) = avg ( ( e)) . En eet, la valeur d'un arbre
ouvrant T j du graphe est 0 ( T j ) = P e2T j 0 ( e) = P e2T j avg ( ( e)) = P e2T j 1 q P q i =1 i ( e) = P q i =1 1 q P e2T j i ( e)= P q i =1 1 q i ( T j )= P q i =1 1 q x j i =avg ( x j
) .L'énumérationdesarbres ouvrants
dansl'ordre roissantdelamoyennepeutainsiêtreréaliséeàl'aidedel'algorithmede
k-optimisa-tionproposépar[4℄pourleproblèmedel'arbre ouvrant.
Supposons que durant l'énumération, on atteigne à l'étape k un arbre ouvrant T k tel que (1+") avg( x k )owa( x ( k)
) ,où ( k)=arg min
j2f1;:::;kg owa( x
j
)( ( k)estl'indi edel'arbre ouvrant
optimal au sens de owa parmi fT 1
, :::, T k
g). L'énumération peut alors être arrêtée grâ e à la
propositionsuivante:
Proposition2 S'ilexistek2f1;:::;rgpourlequel(1+ ") avg( x k )owa( x ( k) ) ,alorsowa( x ( k) ) (1+")min j=1;:::;r owa( x j ) . Preuve. T ( k)
est un arbre ouvrant véri antowa( x ( k)
) =min
j=1;:::;k owa( x
j
) .Or, pour tout
j 2 fk+1;:::;rg, ona : owa( x j ) avg ( x j ) (d'aprèsla proposition 1) et avg( x j ) avg ( x k ) . Ainsi,(1+") avg( x j )(1+") avg( x k )owa( x ( k) ) ,d'où(1+") owa( x j )owa( x ( k) )pourtout j 2fk+1;:::;rg.Ainsiowa( x ( k) )owa( x j )pourj=1;:::;ketowa( x ( k) )(1+") owa( x j )
pourj=k+1;:::;r,don owa( x ( k)
)(1+") owa( x j
)pourj=1;:::;r.
Lespropositions1et2montrentqu'unarbre ouvrantappro hantlavaleuroptimaleà(1+")
près peut être obtenu par l'exé ution d'un algorithme de k-optimisation sur le graphe dont les
arêtes sont valuées par lafon tion s alaire 0
. Dans le pire des as, ela reviendrait àengendrer
touslesarbres ouvrantsdugraphesansa tiverla onditiond'arrêtdelaproposition2.Cependant,
enpratique,laséquen e roissantedes((1+") avg ( x j
))
j=1;:::;k
roiselaséquen edé roissantedes
( owa( x ( j)
Remarque : la proposition 1 permet de montrer fa ilement qu'un problème d'optimisation
ro-buste est q-approximable (i.e.,onpeutdéterminer entemps polynomialunesolutiondontla
va-leur est au plus q fois la valeur de la solution optimale) dès lors que sa version lassique (i.e.,
àun seuls énario) est résolubleen temps polynomial. En eet,appelonsx
owa
lasolution
opti-male duproblème pourle ritèreowa et x
avg
lasolution optimaleduproblème pourle ritère
avg . Remarquonstout d'abord, omme indiqué pré édemment, que la solution x
avg
peut être
obtenue en temps polynomial en résolvantle problème valué selon 0 . De plus, on a owa( x ) = P q i =1 w i x ( i ) P q i =1 x i =q P q i =1 1 q x i
=q: avg( x ) pourtout ve teurx 2 N q
et tout jeu de poids
w 1 ;:::;w q telquew i
18 i .En parti ulier,onvéri edon owa( x avg )q: avg( x avg ) .Comme avg ( x avg )avg( x owa
) ,onendéduitqueowa( x avg )q: avg( x owa ) .D'aprèslaproposition1, on a avg ( x owa ) owa( x owa
) dès lorsque les poids sontdé roissantset somment à 1,et par
onséquentowa( x avg )q: owa ( x owa ) . 3.2 Expérimentations numériques
L'algorithmeque nousproposonsaétéimplémenté enC++ et lestests ontété menéssur un
ordinateurmunid'unpro esseurPentiumIVà3.6Ghzave 2Godemémoirevive.Lestableaux
i-dessous(Tab.1)montrentlesrésultatsdetestsee tuéssurdesgraphes ompletsà3et5s énarios
respe tivement, en fon tion de la valeur de " et du nombre de sommets du graphe. Les temps
indiquésdanslestableaux orrespondentautempsmoyenréaliséparl'algorithmesur30instan es
aléatoires.Le symbole - signi equelamémoirevivedel'ordinateuraété insu sante pour la
majoritédesinstan es.Lorsquelamémoireaétéinsu sante pouruneminoritéd'instan es,nous
faisons gurerletemps moyenobtenusurlesinstan espourlesquellesl'exé utiondel'algorithme
apuêtremenéeàterme.Ce iestparti ulièrementle aspour"=0.Lestemps gurantsur ette
lignedoiventdon êtrevus ommedesindi ateursdeperforman esurdesinstan esnon ritiques.
Tab.1.Tempsd'exé utionpour3et5s énarios.
Temps(enms)pour3s énarios(w=(0 :6 ;0 :3 ;0 :1) )
"nj Vj 5 10 15 20 30 40
0% 0 5 443 563 2051 4356
3% 0 2 12 380 654 973
5% 0 0 22 28 63 228
10% 0 0 0 2 2 5
Temps(ens)pour5s énarios(w=(0 :5 ;0 :3 ;0 :1 ;0 :06 ;0 :04) )
"nj Vj 5 10 15 20 30 40
0% 0 0,09 2,89 8,42 20,2
-3% 0 0,02 0,57 2,1 2,91 27,64
5% 0 0,01 0,01 0,36 2 3,5
10% 0 0 0,01 0,02 0,04 2,11
Remarquonsqu'onobtient unalgorithmeexa tpour"=0.Leprin ipal enseignement de es
testsestl'é artdeperforman egrandissantentrelesversionsappro héesetlaversionexa telorsque
lenombredes énariospassede3à5(parexemple,pour30sommetsletempsestmultipliépar10
pourlaversionexa te,alorsqu'ilrestedel'ordrede quelquesse ondespourlaversionappro hée
à3%).Autrementdit, lorsquelenombredes énariosaugmente,véri erla onditiond'arrêtpour
">0estbeau oupplusrapidequepour"=0.Eneet,d'unepartilexistepratiquementtoujours
une solution de faible owa parmi les solutions de faible moyenne, et d'autre part il existe de
et unespa emémoireimportant(l'algorithmedek-optimisationné essitele sto kagede données
intermédiaires importantes, e qui devient rédhibitoire lorsque la taille de l'instan e augmente,
omme l'indique la présen e du - en bout de première ligne du tableau pour 5 s énarios).
Pourfairefa e à ette di ultéet obtenirunalgorithmeexa tprati ablepour eproblème,nous
présentonsdanslase tionsuivanteunalgorithmeparséparationetévaluation.Eneet,lesgrands
ensemblesdesolutionsdemoyenneéquivalenteneprésententpluslamêmedi ultédetraitement
pour etyped'algorithme.
4 Un algorithme exa t
4.1 Uneappro he parséparation etévaluation
Nous dé rivons i-dessous une méthode par séparationet évaluation pour le problèmeACR.
La méthodeque nousproposonsexplore en profondeurd'abordl'arbores en edere her he dont
haquenoeud nest ara tériséparlesélémentssuivants:
in ( n )l'ensembledesarêtesqui doivent gurerdanstouslesarbres ouvrantsasso iésàn;
out( n )l'ensembledesarêtesqui sontinterditesdanstouslesarbres ouvrantsasso iésàn;
ev( n ) la valeur de la fon tion d'évaluation en n , qui représente une borne inférieure de
min
T2T( n )
owa( ( T)) , où T( n ) désigne le sous-ensemble d'arbres ouvrants dé ni
impli i-tementparin ( n )et out( n ) .
Nousdétaillonsmaintenantpluspré isémentl'initialisation,leprin ipedeséparationetla
fon -tiond'évaluationdenotreméthode:
Initialisation.Uneméthodedeséparationetévaluationest notoirementpluse a equandune
bonne solution est onnue avant de démarrer la re her he. Dans notre méthode, laborne
supé-rieure est initialiséepar l'algorithme appro hé dé rit dans lase tion 3. En eet, ommeindiqué
pré édemment,une solutionappro héedebonnequalité peutainsi êtreobtenuetrès rapidement,
equi permettraensuited'éviteruneexplorationtropapprofondiedesous-espa esne omportant
pasdebonnesolution.
Prin ipe de séparation. En haque noeud n , on dé ide de pla er dans in ( n ) ou dans out( n )
l'arête e minimisant sa moyenne avg parmi les arêtesde l'ensemble E ( in ( n )[out( n )) . Cela
revient à diviser l'espa e de re her he en réant deux noeuds n 0
et n 00
, su esseurs de n dans
l'arbores en e,telsque:
in ( n 0 )=in ( n )[fegetout( n 0 )=out( n ) , in ( n 00 )=in ( n )etout( n 00 )=out( n )[feg.
Remarquonsquesiajouterl'arêteeàin ( n )danslenoeudn 0
réeun y le,alorsseullenoeudn 00
sera réé ommesu esseurden .
Fon tion d'évaluation.En haquenoeudn , ondoitdisposerd'unefon tiond'évaluation
repré-sentantuneborneinférieuredelamoyenneordonnéeowadetoutarbre ouvrantissudunoeudn .
Pour ela,nousproposonsde onsidérerle oûtdel'ensembledesarbres ouvrantsissusden(i.e.
in luantlesarêtesdein ( n )etex luantlesarêtesdeout( n ) )pour ha undess énariosséparément
ainsiquepourlamoyennearithmétiquedesdiérentss énarios.Soitf( n )2N q
leve teur oûttel
que f
i
( n )représente la valeurdel'arbre ouvrant minimum aun÷ud npourle s énarioi ( ette
valeurestobtenueparl'appli ationdel'algorithmedeKruskalpourles énarioientenant ompte
des ontraintesimposéesparin ( n )et out( n ) ).Soitf
0( n )
2R le oût dumeilleurarbre ouvrant
issu de n pour lamoyenne arithmétiquedess énarios( ette valeur est obtenuepar l'appli ation
de l'algorithme deKruskalen tenant ompte des ontraintes imposéespar in ( n )et out( n ) , ette
fois- i sur le graphe valuéparle s alaire 0
). Lafon tion d'évaluation ev( n )que nous proposons
d'utiliser estlavaleuroptimaleduprogrammesuivant:
( P n ) 8 > > > > > < > > > > > : minowa( x ) x i f i ( n ) 8 i=1;:::;q q X i =1 1 q x i f 0( n ) q
n
peut don dé omposer e problème ensous-problèmesdé nis ha un dans unsous-espa ede N q
danslequeltouslesve teurssont omonotones(i.e.pourtoutepairex ,y deve teurs,ilexisteune
permutation de (1 ;:::;q)telle que x
(1) ::: x ( m ) et y (1) ::: y ( m ) ). Dans ha un
de es sous-espa es, l'opérateur owa se ramène alors à une simple somme pondérée des oûts.
La résolution de P
n
revient don à résoudre ha un des programmes linéaires dé nis pour une
permutation de(1 ;:::;q)par: ( P n; ) 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : min q X i =1 w i x ( i ) x ( i ) x ( i +1) 8 i=1;:::;q 1(1 : 1) x i f i ( n ) 8 i=1;:::;q (1 : 2) q X i =1 1 q x i f 0 ( n ) (1 : 3) x2N q
L'évaluation inférieure en n se dé nit don omme ev( n ) = min
2 owa( x n; ) où x n; désigne
lasolutionoptimaleduprogrammelinéaireP
n;
et l'ensembledespermutationspossibles.
Re-marquons quepour q s énarios, il y aj j =q! programmes linéaires à résoudre. Cependant, en
pratiquelarésolutionde esq!programmeslinéairesn'estpasné essaire.Eneet,onpeutmontrer
qu'ilexisteunepermutation
aisément al ulabletelle queev( n )=owa( x
n; ):
Proposition3 Soit
la permutation telle que f
(1) ( n ) f (2) ( n ) ::: f ( q) ( n ) . Pour
toutesolution réalisabl e x de P
n;
, il existe une solution réalisabl e y de P
n;
véri antowa( y)=
owa( x ) .
Preuve. L'idée est de déterminer une solution réalisabley de P
n; telle que y ( i ) =x ( i ) 8 i . En
eet,onaalorsowa( x )=owa( y)etonpeutimmédiatement on lure.Pour ela,on onstruitune
séquen e ( x j
)
j=1;:::;k
de solutions et une séquen e ( j
)
j=1;:::;k
de permutations telles que x j est réalisablepourP n; j (pourj =1;:::;k),ave x 1 =x , 1 =, k = et x 1 ( i ) =x 2 ( i ) =:::=x k ( i )
8 i . Considérons qu'ilexiste i
0 ;i 1 2 f1;:::;qg tels que i 0 <i 1 et f 1 ( i 0 ) ( n )<f 1 ( i 1 ) ( n ) . Soit 2
la permutation dé nie par 2 ( i 0 ) = 1 ( i 1 ) , 2 ( i 1 )= 1 ( i 0 ) , et 2 ( i )= 1 ( i ) 8 i6=i 0 ;i 1 . Soit x 2
la solution dé nie par x 2 2 ( i ) = x 1 1 ( i )
pour i = 1;:::;q. Montrons que x
2
est bien une solution
réalisable deP n; 2. En remarquantquex 1 1 ( i0) f 1 ( i 0 ) ( n ) , x 1 1 ( i1) f 1 ( i 1 ) ( n ) ,x 1 1 ( i0) x 1 1 ( i1) et f 1 ( i1) ( n )>f 1 ( i0)
( n ) ,onvéri ebien queles ontraintes(1.2)sontsatisfaites:
x 2 2 ( i0) =x 1 1 ( i0) x 1 1 ( i1) f 1 ( i 1 ) ( n )=f 2 ( i 0 ) ( n ) , x 2 2 ( i1) =x 1 1 ( i1) f 1 ( i1) ( n )>f 1 ( i0) ( n )=f 2 ( i1) ( n ) , x 2 2 ( i ) =x 1 1 ( i ) f 1 ( i ) ( n )=f 2 ( i ) ( n )pouri6=i 0 ;i 1 .
Les ontraintes (1.1)sontégalement satisfaites ar [ x 1 1 ( i ) x 1 1 ( i +1) 8 i ℄) [ x 2 2 ( i ) x 2 2 ( i +1) 8 i ℄ puisque x 1 1 ( i ) =x 2 2 ( i )
8 i .De es mêmes égalités,ondéduit en n quela ontrainte (1.3) est
sa-tisfaite et que x ( i ) = y ( i ) 8 i . La solution x 2
est don bien une solution réalisable de P
n; 2 ave x ( i ) =y ( i )
8 i .Commetoutepermutationestleproduitdepermutationsélémentaires,onpeut
tou-jours onstruireainsiprogressivementuneséquen edepermutationsquimèneà
(etlessolutions
réalisables orrespondantes). En posant y =x k
, onobtientalorslasolution réalisablere her hée
deP
n; .
Une onséquen eimmédiate de e résultat est que ev( n )= owa( x
n;
) . Ainsi le al ul de la
fon tiond'évaluationev( n )revientàrésoudreleprogrammelinéaireP
n; .
Deplus,nousmontrons
maintenantquelarésolutionde eprogrammepeutêtreee tuéeentempslinéairedunombrede
s énariossansre ouriràunsolveurdeprogramme linéaire.
Le prin ipede ette pro édure (algorithme1) est de xer x
i =f
i
( n ) pour tout i =1;:::;q,
de sorte que les ontraintes (1.1) et (1.2) de P
n;
soient véri ées. Cependant, si la somme des
oûtsdex
estinférieureàqf
0( n ) ,la ontrainte(1.3)n'estpasvéri ée.A ndelasatisfaire,ilest
alorsné essaire derépartirlesurplus=qf
0( n ) P q j=1 f j
( n )entrelesdiérentes omposantes
de x
.Pour ela,l'idée estd'augmenter les oûtsdes omposantesdex
enmodi antenpriorité
les performan es des omposantes de poids les plus faibles (dans l'ordre x , x , :::),
dire tement la valeur de la omposante minimale du ve teur ainsi modi é (quantité br dans
l'algorithme1).
Algorit hme1:RésolutiondePn; qf 0(n) P q j=1 f j (n) s 0;a 0;i q
/*Cal uldunombreq ide omposantesàmodi er*/
/*a:quantitémaxpouvantêtreajoutéeauxq idernières omposantes*/
tant quea<faire
sii=1alors a 1 sinon a a+(f i 1 (n) f i (n))(q i+1) n s s+f i (n) i i 1 n /*Constru tionduve teurx (n; ) */ r s+ q i k (r br )(q i )
pourjallantde1àifaire
x n; (j) fj(n) n
pourjallantde(i+1)à(i+k)faire
x n; (j) br +1 n
pourjallantde(i+k+1)àqfaire
x n; (j) br n Sortie: (x (n; ) )
A nd'illustrer le prin ipedenotre algorithme, onsidéronsmaintenant unexemplede al ul
deborneinférieuresurunproblèmeà3s énariosenunnoeudndel'arbores en edere her hetel
quel'on af( n )=(5 ;10;3) etf
0( n )=7.Leprogramme( P
n
)àrésoudreest alorslesuivant(peu
importelesvaleursw
1 w 2 w 3 ): ( P n ) 8 > > > > > > > < > > > > > > > : min w 1 x (1) +w 2 x (2) +w 3 x (3) x 1 5 x 2 10 x 3 3 1 3 ( x 1 +x 2 + x 3 )7 x 2 N 3
Selonlaproposition3,larésolutionde eprogrammeseramèneàlarésolutionduprogramme
linéaire ( P
n; )
suivant, pourlequel (1) =2, (2) =1 et (3) = 3(puisque l'on af 2 ( n ) f 1 ( n )f 3 ( n ) ). ( P n; ) 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : min w 1 x 2 +w 2 x 1 +w 3 x 3 x 2 x 1 x 3 (2 : 1) x 1 5 (2 : 2) x 2 10 (2 : 3) x 3 3 (2 : 4) x 1 +x 2 +x 3 21 (2 : 5) 3
onposex =f( n )=(5 ;10;3) :les ontraintes(2.1), (2.2),(2.3)et (2.4)sontainsivéri ées.
Cependant,la ontrainte(2.5)nepeutêtrevéri éequesi l'onajoutelaquantité=3sur
uneouplusieurs omposantesdex .
Onaugmentealorsla omposantedepoidsminimum(i.e.x
3
)autantquel'onpeutentenant
ompte de la ontrainte (2.1) : ela revient à poser x
3 = minfx 1 ;x 3 +g. I i on obtient x 3
=5, equin'estpassu santpoursatisfairela ontrainte (2.5).
Onaugmente alorssimultanément lesdeux omposantes de poids lesplus faibles x
1 et x
3 .
Puisqu'ilneresteplusquelaquantité1àrajouteretquela ontrainte(2.1)imposex
1 x 3 , onposex 1 =x 1
+1et l'onn'ajouteriensurla omposantex
3 .
Lasolutionx=(6 ;10;5)ainsiobtenueest réalisablepourP
n;
: onest àl'optimum.
Notons que l'exé ution de l'algorithme 1sur et exemplepermet d'obtenir dire tementbr = 5,
i=1etk=1, equi biensûr onduitàlasolutionx
n;
=(6 ;10;5) .
4.2 Résultats expérimentaux
A ndetesterl'e a itédelaméthodeparséparationetévaluation,nousavonsréalisédestests
dans les mêmes onditions quepour l'algorithmede la se tion3. Letableau 2 montre lestemps
obtenussurdesgraphes ompletsenfon tiondunombredes énariosetdunombredesommetsdu
graphe. Lestemps indiquésdans lestableaux orrespondentau tempsmoyen total(initialisation
+exploration)sur50 instan esaléatoires,laduréemoyenne spé i quement onsa réeàlaphase
d'initialisationétantpré iséeentreparenthèses.Cettephased'initialisationestréaliséeàl'aidede
l'algorithme de k-optimisation pour " = 0;05. En eet, ette valeur de " permet d'obtenir très
rapidementunesolutiondebonnequalité, ommeonl'avudanslase tionpré édente.
Tab.2.Tempsd'exé ution(ens)
qnj Vj 5 10 15 20 30 40 2 0 0 0 0,01 0,09 2,2 (0) (0) (0) (0) (0) (0,01) 3 0 0 0,02 0,07 1,2 3,4 (0) (0) (0) (0) (0,02) (0,02) 5 0 0,06 0,9 15 229 261 (0) (0,01) (0,07) (0,41) (1,55) (3,3)
Cesrésultatsmontrentque etteappro hepermetd'obtenirunesolutionoptimaleenuntemps
inférieur à l'appro he exa te de la se tion 3 pour 3 s énarios. Con ernant les instan es ave 5
s énarios,lestempsobtenusdeviennentplusimportantsàpartirde20sommets,mais elanepeut
êtreinterprété ommeunesupérioritédel'appro heexa tepark-optimisationsurlaméthodepar
séparationet évaluation ar lestemps gurant dansle tableau1 pour "=0ne tiennent ompte
que des instan es non ritiques. De plus,la méthode parséparationet évaluation ne soure pas
desproblèmesdemémoirevivedelapré édente arl'explorationdel'arbores en eest réaliséeen
profondeur: touteslesexé utionssontmenéesàleurterme.
5 Con lusion
Dans e papier, nous avons présenté deux appro hes pour un problème d'arbre ouvrant
ro-buste lorsque l'on souhaite prendre en ompte plusieurss énarios sur les oûts des arêtes. Plus
pré isément,leproblème onsiste àdéterminerunarbre ouvrantminimisantlamoyenne
ordon-née pondérée de ses oûts dans les diérents s énarios. La première appro he s'appuie sur un
algorithmedek-optimisationetfournitrapidementunesolutionappro héeselonunrapport
d'ap-proximation ontr lé.Lase ondeappro hepro ède parséparationet évaluationpourdéterminer
d'ailleursquelenombredes énariosestunparamètre ru ialdansladi ultéduproblème.En n,
soulignonsque lesdeux appro hesquenous avonsdéveloppées sont assezgénérales(ni la
propo-sition 1quenous utilisons pour établirla validitédupremier algorithme,ni la proposition 3qui
justi elafon tion d'évaluationduse ond algorithme,nedépendentdelastru ture ombinatoire
duproblèmetraitéi i),etdevraientdon pouvoirêtreadaptéese a ementàd'autresproblèmes
d'optimisation ombinatoirerobuste.C'estunsujetd'étudeintéressantpourdestravauxfuturs.
Remer iements
Nousremer ionsPatri ePernyet Fran isSourdpourdemultiplesé hangesqui ont ontribué
à etarti le,ainsiquelesrele teursanonymespourleurssuggestionspertinentes.
Référen es
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