Une approche par formalisme de green réduit pour le calcul des structures en contact dynamique : application au contact pneumatique/chaussée

(1)

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au contact pneumatique/chaussée

Rabie Meftah

To cite this version:

Rabie Meftah. Une approche par formalisme de green réduit pour le calcul des structures en

con-tact dynamique : application au concon-tact pneumatique/chaussée. Autre. Université Paris-Est, 2011.

Français. �NNT : 2011PEST1102�. �pastel-00665546�

(2)

ECOLE DOCTORALE SCIENCE INGÉNIERIE ET ENVIRONNEMENT

THÈSE

présentée pour l'obtention du diplmede

DOCTEUR

DE

L'UNIVERSITÉ PARIS-EST

Spé ialité: Stru tures et Matériaux

par

Rabie MEFTAH

Sujet de lathèse :

UNE APPROCHE PAR FORMALISME DE GREEN RÉDUIT POUR LE

CALCUL DES STRUCTURES EN CONTACT DYNAMIQUE :

APPLICATION AU CONTACT PNEUMATIQUE/CHAUSSÉE

Thèse soutenue le 15Novembre 2011 àl'ENPC devant le jury omposé de :

Président : M. BERENGIER (IFSTTAR,Nantes)

Rapporteurs : J.J. SINOU (ECL,Lyon) Rapporteurs : P. JEAN(CSTB,Grenoble)

Examinateurs : H.P. YIN(ENPC,MarnelaVallée) A. GAUDIN (PSA,Vélizy)

J. CESBRON(IFSTTAR,Nantes)

(3)

(4)

A la mémoire de monpère

&

masoeur A mafamille

&

mafemme A tous eux qui me sont hers

(5)

(6)

(7)

(8)

Je tiensàremer ier haleureusement mondire teurde thèseDenisDUHAMEL,ledire teurde l'équipe dynamiquede l'É ole desPonts ParisTe h, pour la onan e dont il a fait preuve à mon égard,poursonaidepré ieuseetsagentillesse.Je voudrais luiexprimermagrandere onnaissan e dem'avoir dirigéave élégan e etdynamismetoutle longde estroisannées.

Mesremer iementss'adresseégalementàJulien CESBRONetHonoréeYINpourleur disponi-bilitéetleurs onseils au oursde ette thèse.

J'exprime mes re onnaissan es envers Messieurs Mi hel BERENGIER, Jean-Ja ques SINOU, PhilippeJEAN etArnaudGAUDINqui m'ont faitl'honneurde parti iper aujury demathèse.

Jeremer ie touslesmembresdeséquipesdynamiqueetstru turespourleurenthousiasme,leur disponibilitéetpourtouslesmomentsinoubliablesquenousavonspartagésensemble,au travail et endehors dutravail.

Tous mes sin ères remer iements à mes ollèges de bureau Wafa et Navid pour leuraide, leur soutient etleursens d'humour. Mer ipour esdeux annéespasséesen leur ompagnie.

Je remer ie l'Institut Françaisdes S ien esetTe hnologies desTransports,de l'Aménagement et desRéseaux(LaboratoireCentral desPontsetChaussées) d'avoir nan er ette thèse.

Mer iàtoutemafamilleetmabelle-famillepourleursoutienauquotidien.Enn, jemedoisde remer ierma femme pour m'avoir supportépendant toute laduréede ma thèse etlafor equ'elle m'orepour surmonter toutes les di ultés.

(9)

(10)

Le travail de ette thèse s'ins rit dans le adre de la rédu tion du bruit du tra routier. Le onta t pneumatique/ haussée représente la prin ipale sour e de e phénomène dès la vitesse de

50 km/h

. Dans e ontexte, une nouvelle démar he de modélisation du omportement dynamique d'unpneumatique roulant sur une haussée rigide est développée. Au niveau du pneumatique, un modèle périodique est adopté pour al uler les fon tions de Green du pneumatique dans la zone de onta t. Ce modèle permet de réduire onsidérablement le temps de al ul et de modéliser le pneumatique dans une large bande de fréquen e. Le modèle est validé en le omparant ave un modèle d'éléments nis lassique réalisé sous le logi iel Abaqus. Habituellement, la réponse temporelle du pneumatique peut être al ulée par une onvolution des fon tions de Green et des for es de onta t. Cette te hnique est très oûteuse en termes de temps de al ul. Nous avons adoptéune nouvelle démar he. L'idée onsiste àdé omposerles fon tions deGreen dansune base modale. Lesparamètres modaux sont ensuiteutilisés pour onstruire une onvolution plusrapide. La onvolutionmodaleestadaptéeauproblèmede onta tparl'additiond'une onditionde onta t inématique.Lemodèle de onta test omparéà laméthode depénalitédansle asd'unexemple a adémique.Ilprésentel'avantagedesastabilitéetdesafa ilitédemiseenoeuvre.Dansladernière partiede etravail,lemodèlede onta testappliquéau asd'unmodèle

3D

depneumatiqueroulant surdiérentstypesde haussée.Le ontenu spe traldesfor esde onta t estétudiéenfon tion de lavitesse de dépla ement et de larugosité des haussées. An de onstruire le modèle de onta t d'un pneumatique réel sur une haussée réelle, plusieurs exemples à omplexité roissante sont traités.

Mots lefs:vibration, onta t, pneumatique, haussée,bruit deroulement,modèlepériodique, rédu tiondemodèle, onvolution.

(11)

(12)

Thisworkispartofthetra noiseredu tionprogram.Tire/road onta tistheprin ipalsour e ofthisphenomenon at speedsgreaterthan

50 km/h

.Inthis ontext, anewapproa h formodeling thetirevibration behaviorduringrollingonrigidroadsurfa esisdeveloped.Forthetire,aperiodi modelis usedto ompute Green's fun tions of thetire inthe onta t area. This model leads to a signi antredu tionof omputingtime.Theresponseofthetire anbemodeledinalargefrequen y range.The model is ompared to a lassi niteelement modelbuilt using Abaqus software. Asa generalapproa h,thedynami responseofthetireis al ulatedby onvolution ofthe onta tfor es withtheGreen'sfun tions.Howeverthe omputationofthe onvolution anbetime onsuming.In thisworkwehaveusedanewmethod.Firstit onsistsofthemodalexpansionofthepre- al ulated Green'sfun tions.Themodalparametersarethenusedto onstru tanew onvolutionwhi hallows qui ker al ulationsthanthetraditional onvolution.Themodal onvolution isadaptedtodynami onta tproblemsbyusingakinemati onta t ondition.Conta tmodelis omparedtothepenalty method. Both methods give the same result but the developed method is more stable and easier to implement. In the last hapter of this work, the onta t model is applied to a

3D

tire model rolling on dierent roadproles. Spe trum ontents of the onta t for es arestudied for dierent values ofthe arspeed androughnessof theroadway.During this study,several exampleswithan in reasing omplexityarestudied.

Keywords : vibration, onta t, tire, road, tire/road noise, periodi model, model redu tion, modalexpansion, onvolution.

(13)

(14)

Table des gures xiii

Liste des tableaux xix

Introdu tion générale 1

1 Bibliographie 5

1.1 L'importan e dubruit . . . 7

1.1.1 Lesdiérentes sour esde bruit desvéhi ules . . . 7

1.1.2 Les mé anismes degénération dubruit . . . 8

1.1.2.1 Le phénomène d'air-pumping . . . 9

1.1.2.2 La propagationdu bruitde roulement d'unpneumatique . . . 10

1.1.2.3 L'eet dièdre . . . 10

1.2 Modélisationdu onta t d'unpneumatique sur une haussée . . . 10

1.2.1 Conta thertzien . . . 10

1.2.2 Modèlede onta t pon tuel généralisé . . . 12

1.2.3 Conta tpon tuel vis oélastique . . . 13

1.2.4 Méthodesnumériques pour gérer leproblèmede onta t dynamique . . . 14

1.2.4.1 Méthode de pénalisation. . . 15

1.2.4.2 Méthode desmultipli ateurs de Lagrange . . . 16

1.2.5 Appli ations au onta t pneumatique- haussée . . . 17

1.3 Pneumatique . . . 19

1.3.1 Propriétés mé aniquesetgéométriques . . . 19

1.3.2 Fabri ationd'un pneumatique . . . 20

1.3.3 Rles d'unpneumatique . . . 21

1.3.4 Sour es de vibration d'unpneumatique . . . 21

1.3.5 Modélisationvibratoire dupneumatique . . . 21

1.3.5.1 Modèles analytiques . . . 21

1.3.5.2 Modèles élémentsnis . . . 25

(15)

1.4.2 Modèles de guided'onde . . . 30

1.4.2.1 Présentation de laméthode . . . 30

1.4.2.2 Appli ation à des stru turespériodiques . . . 31

1.4.3 LemodèleSEA . . . 33

1.4.4 LaThéorie Variationnelle desRayonsComplexes . . . 33

1.5 Con lusion. . . 36

2 Modèle d'anneau ir ulaire sous fondation élastique 37 2.1 Modèleanalytique . . . 39

2.1.1 Cal ulde ladéformation . . . 39

2.1.2 Loide omportement . . . 43

2.1.3 Cinématiqued'unpoint delabremoyenne . . . 43

2.1.4 Équilibrestatique. . . 44

2.1.4.1 Contrainte interne . . . 44

2.1.4.2 Dépla ement radial . . . 45

2.1.5 Equationsdu mouvement . . . 45

2.2 Comparaisonave Abaqus (os illationslibres) . . . 47

2.2.1 Étatpré ontraint . . . 48 2.2.2 Analysemodale . . . 50 2.2.2.1 Fréquen es propres . . . 50 2.2.2.2 Formes modales . . . 52 2.3 Fon tion deGreen . . . 53 2.3.1 Casgénéral . . . 53

2.3.2 Cassans rotation . . . 54

2.4 Con lusion. . . 59

3 Modèle de onta t pon tuel 61 3.1 Convolutionstandard . . . 63

3.2 Identi ation desparamètres dynamiques . . . 65

3.2.1 Méthodespolynomiales . . . 66

3.2.2 Dé ompositionmodale . . . 66

3.2.3 Passage au domaine temporel . . . 73

3.3 Modélisationdu onta t . . . 74

3.3.1 Appli ation à unsystèmeMasse-Ressort-Amortisseur . . . 74

3.3.2 Appli ation dumodèle REFsurdesprols de hausséesréelles . . . 80

3.3.2.1 Des ription de la haussée . . . 80

(16)

4 Modèlede onta t multi-points 87

4.1 Modèlede onta tave ondition inématique . . . 89

4.1.1 Présentation du modèle . . . 89

4.1.1.1 Conditionsde onta t . . . 89

4.1.1.2 Cal ul dela for ede onta t . . . 90

4.1.2 Comparaison ave laméthodede pénalisation . . . 92

4.2 Appli ation au onta t multipoints. . . 96

4.2.1 Conditions de onta t . . . 96

4.2.2 Cal ul desfor es de onta t . . . 97

4.3 Exemples d'appli ation. . . .100

4.3.1 Système à deuxdegrés de liberté . . . .100

4.3.1.1 Positiondu problème . . . .100

4.3.1.2 Valeurspropres etmodespropres . . . .100

4.3.1.3 Fon tions deGreen . . . .102

4.3.2 Modèled'anneau ir ulaire . . . .106

4.4 Con lusion. . . .110

5 Modèlepériodique 111 5.1 Problème de dynamique . . . .113

5.1.1 Equations du mouvement . . . .113

5.1.2 Amortissement . . . .114

5.2 Modèlede vibration desstru turespériodiques . . . .115

5.2.1 Cellule deréféren e . . . .115

5.2.2 Rédu tion de modèle . . . .116

5.2.3 Matri e équivalente . . . .117

5.3 Appli ation . . . .118

5.3.1 Modèled'anneau ir ulaire . . . .118

5.3.1.1 Matri ede rigidité dynamique . . . .118

5.3.1.2 Condition de périodi ité . . . .119

5.3.2 Modèlede pneumatique homogène . . . .121

5.3.2.1 Modélisationd'une ellule de pneumatique . . . .121

5.3.2.2 Prise en ompte de lapressionde gonage. . . .123

5.4 Inuen e desparamètres géométriquesetmé aniques . . . .124

5.4.1 Les rainures . . . .124

5.4.2 La pression . . . .127

5.4.3 Le rayon de lajante . . . .127

5.4.4 Symétrie delabande de roulement . . . .127

5.5 Modèlede pneumatique hétérogène . . . .130

5.5.1 Propriétés desmatériauxdupneumatique . . . .130

(17)

6 Appli ation au onta t pneumatique/ haussée 135

6.1 Cal uldesfon tions deGreen dansplusieurs se tions . . . .137

6.1.1 Matri ederigidité dynamique. . . .137

6.1.2 Matri edesfon tionsde Green . . . .138

6.1.3 Paramètres modaux . . . .141 6.2 Prols de haussées . . . .143 6.2.1 Zonede onta t. . . .143 6.2.2 Chausséessinusoïdales . . . .143 6.2.3 Chausséesréelles . . . .144 6.3 Prin ipedu al ul . . . .145 6.3.1 Paramètres de simulation . . . .145 6.3.2 Dépla ement statique . . . .145

6.4 Résultatsdessimulations . . . .148

6.4.1 Chausséessinusoïdales . . . .148

6.4.2 Chausséesréelles . . . .150

6.4.3 Contenu spe tralde lafor ede onta t . . . .151

6.5 Con lusion. . . .155

Con lusions et perspe tives 155 Annexes 159 A Ar hite ture du modèle de vibrationdu ouple pneumatique/ haussée 161 A.1 Modélisationde la ellule debase . . . .161

A.2 Réorganisationdu modèleE.F. . . .162

A.3 Modèlepériodique . . . .162

A.4 Modèlede onta t . . . .163

(18)

1.1 Limites des niveaux de bruit xés par l'Union Européenne pour diérents typesde

véhi ules . . . 7

1.2 Contribution desdiérentessour es debruit de roulement . . . 8

1.3 Lesthématiques de re her he pour lamodélisationdu bruitengendré par le onta t peumatique/ haussée . . . 9

1.4 Rayonnement a oustiqueautourd'unpneumatique, eet dièdre . . . 11

1.5 Conta tpon tuel entre deuxsolides déformables . . . 12

1.6 Distribution de la pression en surfa e d'une pointe sphérique en onta t ave un massif semiinni . . . 14

1.7 Condition de onta tde Signorini . . . 15

1.8 Conguration dessurfa es en onta t ave lemassifsemi-inni [Ces07℄ . . . 18

1.9 Distributions de pression normalisée pour les trois géométries : sphère, ylindre et ne [Ces07℄ . . . 18

1.10 Constitution d'unpneumatique . . . 19

1.11 Constitution d'unpneumatique . . . 20

1.12 Zones devibration d'unpneumatique . . . 22

1.13 Modèled'anneau ir ulairesous fondation élastique . . . 23

1.14 Méthodede laré eptan eentre unanneau etune haussée . . . 24

1.15 Modèlede laplaque orthotrope . . . 24

1.16 Modèlede laplaque bi- ou he . . . 25

1.17 Modélisationdu pneumatique par deséléments oque derévolution [Kun87℄ . . . 26

1.18 Modélisationdu pneumatique par unemembrane toroïdale[SYKS86℄ . . . 26

1.19 Dé omposition du mouvement . . . 27

1.20 Formesmodales auvoisinage de

100 Hz

(a),

360 Hz

(b)et

720 Hz

( ) [BNPE08℄ . . 28

1.21 Séparation desmodessymétriques par l'eet del'inertie de rotation[BNPE08℄. . . . 29

1.22 Exemples destru turespériodiques . . . 30

1.23 Stru ture à périodi itélinéaire omposée de

n

ellules . . . 32

1.24 Géométrie du problèmede référen e . . . 34

1.25 Dis rétisation deszones intérieures, desbords etdes oins. . . 35

(19)

2.2 Dénitiond'unélément d'anneau ir ulaire . . . 40

2.3 élément d'anneau ir ulaire . . . 41

2.4 Équilibrestatique. . . 44

2.5 Modèlenumérique d'anneau ir ulaire . . . 48

2.6 Inuen edelavitesse derotation surladéforméestatique . . . 49

2.7 Inuen edelapression surladéforméestatique . . . 49

2.8 Bifur ationdesfréquen es propres dueà l'eet Coriolis (modesinextensibles) . . . 51

2.9 Bifur ationdesfréquen es propres dueà l'eet Coriolis (modesextensibles) . . . . 51

2.10 Formesmodales d'unanneau ir ulaire . . . 52

2.11 Inuen edelavitesse derotation pour diérentes valeursd'amortissement (

D

−1

11

) . 55 2.12 Inuen edelavitesse derotation pour diérentes valeursd'amortissement (

D

−1

22

) . . 56

2.13 Comparaisondu modèleanalytique aumodèle numérique d'Abaqus (

G

zz

) . . . 57

2.14 Comparaisondu modèleanalytique aumodèle numérique d'Abaqus (

G

θθ

) . . . 58

2.15 Amplitude de lafon tion de Green

G

zz

de l'ensemble de l'anneau ir ulaire suite à uneex itation aupoint à

θ = 0

. . . 58

3.1 Systèmemasse-ressort-amortisseur . . . 63

3.2 Détermination de l'intervalle de temps d'inuen ede lafon tion deGreen . . . 65

3.3 Paramètres modaux . . . 69

3.4 Identi ation desfréquen es propres dumodèle REF . . . 69

3.5 Identi ation desamortissements dumodèle REF . . . 70

3.6 Re onstru tionde lafon tionde Green du modèleREFave

12

oe ients . . . 71

15

oe ients . . . 71

18

oe ients . . . 72

3.9 Conta td'un anneau ave une haussée deprol sinusoïdal . . . 74

3.10 Conta td'un systèmemasse-ressort-amortisseurave une haussée sinusoïdale . . . 75

3.11 Algorithme . . . 76

3.12 Dépla ement pour une haussée sinusoïdale . . . 77

3.13 For ede onta t pour une haussée sinusoïdale . . . 78

3.14 Dépla ement pour une haussée multi-sinusoïdale . . . 78

3.15 For ede onta t pour une haussée multi-sinusoïdale . . . 79

3.16 Paramètres prin ipaux pour ara tériser unesurfa e aléatoire . . . 80

3.17 Lesdiérentes é hellesde texture(

λ

:é helle logarithmique). . . 81

3.18 Chausséetype BBTM0/10 . . . 81

3.19 Chausséetype BBTM0/6 . . . 82

3.20 Chausséetype BBP0/6 . . . 82

3.21 Chausséetype BBSG0/10 . . . 82

3.22 Dépla ements surune haussée type BBTM

0/10

. . . 83

(20)

3.24 Dépla ements surune haussée type BBTM

0/6

. . . 84

c

= 200K

. . . 95

4.17 Inuen e del'intera tion surlafor e de onta t . . . .108

4.18 Dépla ements despoints

M

1

à

5.2 Transformationgéométrique de la ellule . . . .116

5.3 Modèlepériodiqued'anneau ir ulaire . . . .118

5.4 Conditions périodiquesd'anneau ir ulaire . . . .119

5.5 Fon tion deGreen de l'anneau ir ulaire sansfoundation élastique . . . .120

5.6 Se tion du pneumatique homogène . . . .121

5.7 Modélisationd'une ellulede pneumatique . . . .122

5.8 Repères de al ul desfon tionsde Green dupneumatique . . . .122

5.9 État pré ontraint sousune pression de

2 bars

. . . .124

5.10 Validation du modèlepériodique ave

P = 0 bars

. . . .125

(21)

5.12 Inuen edesrainures surlaréponsefréquentielle du pneumatique. . . .126

5.13 Positions despointsde onta tpour unpneumatique lisse etunpneumatique rainuré126 5.14 Inuen edelapression surlaréponse fréquentielle d'unpneumatique lisse . . . .127

5.15 Inuen edelapression surlaréponse fréquentielle d'unpneumatique rainuré . . . .128

5.16 Inuen edurayon de lajante sur laréponsefréquentielle d'unpneumatique lisse . .128

5.17 Réponseen fréquen e pour diérentspointsd'unpneumatique lisse . . . .129

5.18 Réponseen fréquen e pour diérentspointsd'unpneumatique rainuré . . . .129

5.19 Modélisationd'une ellulede pneumatique ave troistypesde matériaux . . . .131

5.20 Parties réelles des réponses en fréquen e de diérents points suite à une ex itation en

x = 0

. . . .132

5.21 Partiesimaginaires desréponsesen fréquen edediérentspointssuite àune ex ita-tionà

x = 0

. . . .132

5.22 Amplitudes des réponses en fréquen e de diérents points suite à une ex itation à

x = 0

. . . .133

6.1 Zonede onta tave la haussée . . . .137

6.2 Représentation desddlsde lamatri e équivalente globale du pneumatique . . . .138

6.3 Lestermesnon nuls de lamatri eglobale derigidité dynamique . . . .139

6.4 Périodi itéde lamatri e desfon tionsde Green . . . .140

6.5 Erreurd'approximationdesfon tions deGreen de lase tionà

θ = 0

. . . .141

6.6 Comparaison d'une fon tion de Green et de son approximation dans le as le plus défavorable . . . .142

6.7 Dépla ement de lazonede onta tsur la haussée . . . .143

6.8 Typesde haussées simulées . . . .144

6.9 Représentation

3D

de la texture des é hantillons des haussées utilisées dans les simulations . . . .144

6.10 Dé ompositiondu mouvement d'unpneumatique en onta tave une haussée . . .145

,

n = 5

. . . .149

x

0 = 0

( haussée réelle(A),

V

0 = 90 km/h

) . . . .150

x

0 = 0

( haussée réelle(B),

V

0 = 90 km/h

) . . . .150

6.17 Spe tre de la for e de onta t au point

(x

0 = 0, y

0 = 0)

pour diérentes vitesses ( haussée sinusoïdale(b),

λ

x

= λ

y

= 4 mm

) . . . .152

(x

0 = 0, y

0 = 0)

pour diérentes longueurs d'ondes( haussée sinusoïdale(b),

V

0 = 50 km/h

) . . . .152

(22)

(x

0 = 0, y

0 = 0)

pour diérentes vitesses

( haussée réelle (A)) . . . .153

6.20 Spe tre de la for e de onta t en tiers d'o tave au point

(x

0 = 0, y

0 = 0)

pour

diérentesvitesses ( haussée réelle(A)) . . . .153

(x

0 = 0, y

0 = 0)

pour les haussées réelles

(

V

0 = 50 km/h

) . . . .154

6.22 Spe tre de la for e de onta t en tiers d'o tave au point

(x

0 = 0, y

0 = 0)

pour les

hausséesréelles (

V

0 = 50 km/h

) . . . .154

A.1 S héma desdiérentesétapesde al ul (1/2) . . . .164

(23)

(24)

1.1 Comparaison dumodèlegénéraliséde onta tpon tuel ave l'expérien e . . . 13

2.1 Paramètres de simulations . . . 49

2.2 Comparaison desfréquen es propres pour une pression nulle (

p = 0 P a

) . . . 53

2.3 Comparaison desfréquen es propres pour

p = 1000 P a

. . . 53

2.4 Comparaison desfréquen es propres pour

p = 2.5 10

5 _{P a}

. . . 53

3.1 Paramètres de simulationpour le systèmemasse-ressort . . . 77

3.2 Comparaison destemps de al ul . . . 77

3.3 Paramètres utiliséspour les simulations . . . 83

4.1 Paramètres de simulationsdu systèmeà deuxddls . . . .103

5.1 Cara téristiques du pneumatique homogène . . . .121

5.2 Cara téristiques d'unpneu Mi helin de type 165/65/R1377T . . . .130

5.3 Cara téristiques du pneumatique homogène . . . .131

6.1 Nombrede modesretenuspourl'approximationdesfon tionsde Greendelase tion

(25)

(26)

Le bruit de onta t pneumatique/ haussée (ou bruit de roulement) est à l'heure a tuelle la premièresour ede bruitdutra routierhorsagglomération.A partird'unevitessede

50 km/h

le bruit de roulement des pneumatiques devient plus important devant les autres bruits générés par une voiture de tourisme. En eet, le bruit du tra routiera trois sour es prin ipales qui sont les eetsaérodynamiques,lemoteuretle onta tpneumatique/ haussée.Pourdesvitessesusuelles (in-férieures à

100 km/h

), lebruit aérodynamique reste très faible.Con ernant lemoteur, lesprogrès de l'industrie automobile ont permis de réduire onsidérablement ette sour e de bruit qui peut même disparaître ave l'arrivée des moteurs éle triques. En ontre-partie, le bruit généré par le onta t pneumatique/ haussée estdevenu unepréo upation majeuredesorganismesdere her he françaisetinternationaux. Cetteévolutionest liée,pour l'essentiel, à l'augmentation onstantedu tra routier.

Dans e ontexte, au oursde la dernièredé ennie, plusieurs projets françaiseteuropéens ont été destinés à la lutte ontre le bruit de roulement. Ces projets sont prin ipalement axés sur les études théoriques et expérimentale de l'ensemble des phénomènes inuençant le bruit de roule-ment :leprojet françaisPREDITTexture-Bruit(2004-2007) surla orrélation entre latexture de la haussée etlebruit de roulement, les projets européens SILVIA (2002-2005) pour le développe-ment de revêtements de hausséespeu bruyantes, RATIN(2002-2003) etITARI(2004-2007) pour lamodélisationdu onta tpneumatique/ haussée etleprojetfran o-allemandDEUFRAKOP2RN (2006-2008)pour laprévisionetlapropagationdu bruit deroulement.

La di ulté majeure de ette thématique est la ompréhension des diérents phénomènes qui interviennent dans les mé anismes de génération du bruit. Deux grandes familles de phénomènes sontresponsablesdelagénérationdubruit.Lapremière on ernelesphénomènesdepompaged'air (air-pumping)etladeuxième s'arti uleautourdesvibrationsdupneumatique etdesonintera tion ave la hausséeau oursduroulement.Letravailde ettethèses'ins ritdans ettedernièrefamille. Il traite deux aspe ts majeurs dans la modélisation du bruit de roulement. Le premier onsiste à al uler desfon tions de réponse en fréquen e (ou fon tions de Green) du pneumatique dans une largebandede fréquen es[

0 4000 Hz

℄.Le se ondpoint estde al uler laréponsedupneumatique dansledomaine temporelen intégrant les non-linéaritésduesau onta t ave la haussée au ours duroulement.

L'étudebibliographiquemenéeaupremier hapitreabordeplusieursaspe tsdubruitde onta t pneumatique/ haussée. Au départ, une présentation généralesur les diérentsmé anismes qui in-terviennentdanslepro essusdelagénérationdebruitestréalisée.Ensuite,l'étudesefo alisesurla modélisationdu onta tpneumatique/ haussée etlesdiérentsmodèles depneumatiquesexistants danslalittérature sontprésentés:modèlesanalytiques simpliés,modèles numériquesbasés surla méthode des éléments nis, leurs avantages etleurs in onvénients y seront aussidis utés. Con er-nantle onta t, desmodèlesstatiques, quasi-statiquesetdynamiquesquitraitent laproblématique

(27)

numériques on ernant lamodélisationdesstru turesen moyenneset hautesfréquen es.

Le deuxième hapitre on erne l'étude d'un modèle simplié de pneumatique. Le modèle est unanneau ir ulairebasé surunefondation élastique. Il onsisteà dé rirel'eet del'ensemble des éléments d'un modèle de pneumatique

3D

à l'aide d'une poutre ir ulaire et de ressorts radiaux et tangentiels. Dans la première partie de e hapitre, les équations et les diérentes hypothèses adoptées pour la onstru tion du modèle sont présentées en détail. Ensuite, le modèle analytique est omparé à un modèle numérique réalisé à l'aide du logi iel d'éléments nis Abaqus et d'un programme Matlab. Ce modèle sera utilisé omme modèle de base an de valider les diérentes idées développées dans ette thèse.La dernière partie de e hapitre est onsa réeaux al uls des fon tions de Green de l'anneau dans le domaine fréquentiel ainsi qu'aux eets de la pression de gonement etde lavitessede rotationsur le omportement du modèle.

Le troisième hapitre est onsa réauproblèmede onta t pon tuel unilatéral entreunsystème dynamiqueetunobsta lerigide,lafon tiondeGreendusystèmedynamiqueétantsupposée onnue dansledomaine fréquentiel. Habituellement, laréponsedynamique est al ulée par un produit de onvolutionentrelafor eetlafon tiondeGreen. Cependant, ettedémar he estsouvent oûteuse entermes de temps de al ul. Dans e hapitre, nousavonsutilisé une autre démar he dont l'idée de base est de simplier ette fon tion en la dé omposant sur une base modale. Les paramètres modauxsontidentiés àl'aidedel'algorithmeLSCE(LeastSquareComplexExponential). Ces pa-ramètressontensuiteutiliséspour onstruireune onvolutionplusrapide.Cette onvolutionmodale estparti ulièrement adaptée au problème de onta t dynamique. An de modéliser le onta t, un ressortestintroduit entre la haussée etlesystèmemé anique.Une omparaisonentrelaméthode lassiqueetlemodèledéveloppé permetde montrerl'e a ité de laméthode.Enn, desexemples d'anneau ir ulaire roulant sur diérentes hausséesmodèleset réelles sont présentés.

Au quatrième hapitre, nousprésentonsun nouveau modèle de onta t dynamique. Le modèle est basé sur les mêmes prin ipes que eux utilisés dans le troisième hapitre. Le onta t est ainsi modélisé par l'addition d'une ondition inématique au lieu d'un ressort de onta t (méthode de pénalisation) entre les deux orps en onta t. En eet, dansla méthode de pénalisation, le hoix d'unevaleuradéquatede laraideur de onta tn'est pastoujours fa ile.L'additiond'une ondition inématique aux onditions lassiques de onta t permet d'éviter ette di ulté et de onstruire unmodèle de onta t plusstable etplus robuste.Le modèle estensuite généraliséauproblème de onta t multi-points. Une appli ation du modèle de onta tmulti-point à un système omposé de deuxddlsetdu modèle d'anneau ir ulaire on lut e hapitre.

Le inquième hapitre porte sur le al ul des fon tions de Green d'un pneumatique

3D

. Le modèleutiliséexploite lapropriétédesymétriederévolutiondupneumatique.Le prin ipe onsiste à modéliser une seule ellule du pneumatique appelée ellule de référen e. La matri e de rigidité dynamique globale est alors onstruite à partir de la matri e de rigidité dynamique de référen e par un pro essus de rédu tion de modèle su essif.Le transfert de repère, les onditions de pério-di itéetles onditionsauxlimites supplémentaires assurentl'équivalen e entre lemodèleéléments nis lassique et lemodèle périodique. Ce dernier permet de al uler les fon tions de Green d'un pneumatique omplet jusqu'aux moyennes fréquen es (

4000 Hz

) ontrairement à la méthode des élémentsnis lassique,limitéeauxbasses fréquen es[

0 500 Hz

℄. Dansun premiertemps, le mo-dèle périodique est validé pour le as du modèle d'anneau ir ulaire, puis, dans un se ond temps pourle asdepneumatiqueshomogèneethétérogène.Dansladernièrepartiedu hapitre,quelques simulationssurl'inuen e delapression degonageetde ertainsparamètres géométriquessur la réponsedynamiquedu pneumatique sont présentées.

(28)

Le dernier hapitre permetd'appliquer l'ensembledu travaildéveloppé au oursde ette thèse au asd'unmodèledepneumatique

3D

roulantsurdiérentstypesde hausséesrigides.Lamatri e desfon tionsdeGreendelazonede onta test al uléeàl'aidedumodèlepériodiqueprésentédans le hapitre pré èdent. Les propriétés de symétrieet depériodi itéde ette matri e sont exploitées pour optimiser le temps de al ul. Quelques simulations de l'évolution des dépla ements et des for es de onta t sont présentées pour diérentes haussées modèles et réelles. Enn, l'étude du ontenuspe traldesfor esde onta tenfon tion delavitessededépla ement etdelarugositédes haussées estprésentée.

(29)

(30)

Bibliographie

N

ous allons ommen er e hapitreparunbref historiquedel'importan edubruitenparti ulier du bruit du tra routier. Nous abordons également les diérents mé anismes physiques qui interviennentdanslepro essusdegénérationde etypedebruit. Danslasuitenousnousfo alisons sur la modélisation du onta t dynamique entre un pneumatique et une haussée. Nous mettrons l'a ent sur les diérents modèles de onta t utilisés pour traiter e genre de problématique. Nous présentons également les diérents modèles de pneumatiques existants dans la littérature, leurs avantages ainsi que leurs limites d'appli ation. Enn, nous présentons des modèles numériques appliqués aux stru tures dynamiques enmoyennes fréquen es.

(31)

Plan du Chapitre 1

1.1 L'importan edu bruit . . . 7

1.1.1 Lesdiérentessour esdebruitdesvéhi ules . . . 7

1.1.2 Lesmé anismesdegénérationdubruit. . . 8

1.2 Modélisationdu onta t d'un pneumatique sur une haussée . . . 10

1.2.1 Conta thertzien . . . 10

1.2.2 Modèlede onta tpon tuel généralisé . . . 12

1.2.3 Conta tpon tuel vis oélastique . . . 13

1.2.4 Méthodesnumériquespourgérerleproblèmede onta tdynamique . . . . 14

1.2.5 Appli ationsau onta tpneumatique- haussée . . . 17

1.3 Pneumatique . . . 19

1.3.1 Propriétésmé aniqueset géométriques. . . 19

1.3.2 Fabri ationd'unpneumatique. . . 20

1.3.3 Rlesd'unpneumatique . . . 21

1.3.4 Sour esdevibrationd'unpneumatique . . . 21

1.3.5 Modélisationvibratoiredupneumatique . . . 21

1.4 Cal ulen dynamique moyennesfréquen es . . . 28

1.4.1 Laméthodedesélémentsnis-FEM . . . 29

1.4.2 Modèlesdeguided'onde. . . 30

1.4.3 LemodèleSEA . . . 33

1.4.4 LaThéorieVariationnelledesRayonsComplexes . . . 33

(32)

1.1 L'importan e du bruit

Depuis une trentaine d'années, les nuisan es sonores gurent parmi les préo upations ma-jeures de la population. Selon des re her hes ré entes [Afs07℄, l'être humain ne s'habitue pas au bruitmaisena umuleleseets:ta hy ardie,énervement,sommeilagité,fatigue...D'autresétudes [LGHZ04,IK04℄,ont on luque ebruitpourraitaussiêtreàl'origined'un ertainnombrede rises ardiaquesquipeuventêtremortelles.Comptetenude es onnaissan es,unesériedetextesédi tés depuisont permis d'envisager dessolutions.

Parmilesdiérentessour esdenuisan essonores,ilapparaîtquelebruit auséparla ir ulation routière est la sour e dominante. La lutte ontre e phénomène s'est longtemps résumée à implé-menterdesdispositifsanti-bruit lelongdesroutes.Ré emment,leseortsseportent davantagesur larédu tion du bruit à la sour e : moteur, pneumatique, revêtement des haussées, limitation de vitesse...Les dispositions de laloi du31 dé embre 1992 relative àlalutte ontre lebruit ont pour but de limiter es nuisan es en dénissant des normes sur la onstru tion de routes nouvelles ou modiées àproximitéd'habitations existantes.

Lagure(1.1)présentel'évolutiondesvaleurslimitesxéesparl'UnionEuropéennepour dié-rentstypesdevéhi ules.Pour lesautomobiles(véhi uleslégers),lavaleurlimitedubruitétaitxée à77dB(A),à partirde1995/96,elle aétéabaisséeà 74dB(A).Cela orrespondà unerédu tion demoitiédesémissionssonores.La valeur limitedubruitémispar les amionsdépendà lafoisde leurpoidsetde leurpuissan e.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 Jusqu’en 1980 (directive UE 70/157/CE)

Jusqu’en 1980 (directive UE 81/334/CE)

Jusqu’en 1988 (directive UE 84/424/CE)

Depuis 10/95 (directive UE 92/97/CE)

PSfragrepla ements Niv eau de bruit

d

B

(

A

)

Automobiles

Camions<

75KW

<Camions<

150KW

Camions>

150KW

Figure 1.1: Limitesdesniveauxde bruitxésparl'Union Européennepour diérents types de véhi ules

1.1.1 Les diérentes sour es de bruit des véhi ules

(33)

prin ipale-lebruitdugroupemoto-propulseur :ilprovientdubruitdel'admission,dumoteur,dela haîne de transmissionet dela ligne d'é happement. Lesa teurs de l'industrie automobile ont réalisé un progrès onsidérableen termesderédu tionde ettesour e sonore,qui abaisséde7dB(A) depuis 1980;

le bruit aérodynamique : il est dû aux turbulen es aérodynamiques réées autour du véhi ule età l'intera tiondel'airave lastru ture.Afaiblevitesse,lesbruitsaérodynamiquessontabsents;

lebruitderoulement,oubruitde onta tpneumatique/ haussée.C'estunepréo upationforte dèslors que la vitesse du véhi ule dépasse 50 km/h. Il on erne l'ensemble des véhi ules routiers et met en jeu à la fois la te hnologie de fabri ation des pneumatiques qui doivent trouver un ompromisentresé urité, onfort,résistan eauroulementetfaibleniveau d'émissionsonore,etles revêtementsroutiers quidoivent,euxaussi, trouverun ompromisentrequalitéd'usage,durabilité etperforman ea oustique.Fa eauxenjeuxé onomiquesetenvironnementaux, ettedernièresour e devient unepréo upation deplusieurs organismes dere her hes.

En eet, le bruit de onta t pneumatique/ haussée représente une part importante du bruit extérieur émis par les véhi ules routiers (1.2). Pour une voiture roulant à 30 km/h en se onde, il ompte pour 30%environdubruit générépar levéhi ule,les bruitsdumoteur, delatransmission et de l'é happement étant prédominants à ette vitesse. A partir de 50 km/h (troisième rapport de vitesse), le bruit de onta t représente la moitié de la ontribution sonore du véhi ule. Sur autoroute,à 130 km/h,ilest prépondérant, ave 90% dubruit.

Vitesse

Bruit

Echappement

Transmission

Contact pneu−chaussée

1

2

3

4 35 %

30 %

15 %

70 %

85 %

65 %

1er rapport

2eme rapport

3eme rapport

Contact pneu−chaussée

Groupe Moteur

Figure 1.2: Contributiondesdiérentes sour esde bruitde roulement

1.1.2 Les mé anismes de génération du bruit

La modélisation desdiérents phénomènesresponsablesdu bruitrayonné par le onta t pneu-matique/ haussée est un problème multi-physique omplexe. Il fait l'objet de quatre thématiques dere her hes ommel'illustre lagure(1.3).

(34)

l'im-0000000000000000

0000000000000000

1111111111111111

000000000000000

111111111111111

000000000000000

111111111111111

Vibration de pneumatique

Air pumping

Propagation

Effort de contact

Figure1.3: Les thématiques de re her he pour la modélisation du bruit engendré par le onta t peuma-tique/ haussée

fréquen es),d'autre partla ompressionpuisladétentedel'air piégéentreless ulptures du pneu-matiqueetla haussée.Cesmé anismess'a ompagnentd'uneetd'ampli ation(eetdièdre)sur toutelagammede fréquen e, unphénomène quisetraduit par dessons pluttaigus (moyennes et hautesfréquen es).

1.1.2.1 Le phénomène d'air-pumping

C'est un phénomène lié au omportement du uide et son intera tion ave la haussée et le pneumatiquedanslazonede onta t.L'airpiégédansless ulpturesdupneumatique,subitune dé-pressionbrusque equiengendrelapropagationd'uneondea oustique, ephénomèneestdominant dansledomaine deshautes fréquen es.Plusieurs auteurs sesont intéressés à e phénomène et sa ontributionaubruitengendréparle onta tpneumatique- haussée.JennweinetBergmann[JB85℄ supposent que l'air-pumping est la partie manquante pour mieux estimer le bruit rayonné par le roulement du pneumatique. Gerrestsen [GS97℄ a mis en éviden e la ontribution de ette sour e dans la génération du bruit de roulement, en parti ulier dans le domaine des hautes fréquen es. Gagen[Gag99℄aétudiél'é oulementduuidepiégédansless ulptures,ilaproposédeuxsolutions, unesolutionanalytiqueappro héeetunesolutionnumérique.Sonétudesurlesparamètresinuant l'état du uide à la sortie des s ulptures a permis d'établir une relation linéaire entre lalargeur de la rainure et la vitesse de l'air. Une autre étude a été réalisée par Fujikawa, Koike Oshino et Ta hibana [FOT99℄ sur la résonan e des patins de gomme. Les auteurs ont testé l'inuen e des ara téristiquesde la haussée surlagénérationdu bruit de roulement etils ont aussi on lu qu'il yabienunerésonan eà l'intérieurdupneumatique.Hamet etal.[HDP90℄ont proposéunmodèle analytiquequi dé rit lephénomène danssa phased'é happement d'air. Ils ont également ee tué desmesuresde lapression àl'intérieur des avités.Enn, Conte [Con08℄a modéliséle phénomène à l'aide de laméthode CFD (Computational Fluid Dynami s). Il a dé rit le phénomène de pom-page d'air pour une su ession de avités formées par des pneumatiques et des haussées réelles. Il on lut que les propriétés géométriques de la haussée onstituent le paramètre qui ontrle la

(35)

1.1.2.2 La propagation du bruit de roulement d'unpneumatique

Cette thématique de re her he a été bien explorée, de nombreuses études ont été réalisées pour traiter le sujet. L'étude du rayonnement a oustique du pneumatique né essite à la fois une onnaissan edelavitessedelasurfa edupneumatiqueetlapriseen omptedel'ampli ationdela puissan erayonnéepareetdièdre.Laplupartdesmodèlesutiliséspourtraiter etteproblématique sont basés sur la méthodes des éléments de frontières (BEM). Fadavi [Fad02℄ a al ulé le niveau sonoreetl'ampli ationdubruitd'unpneumatiqueàl'aidedulogi ielSamray(basésurlaméthode BEM). Anfosso-Lédée[AL96℄ appliquela même méthode en introduisant l'eet d'absorption d'un asphalt poreux sur l'ampli ation. Bé ot [Be 03℄a développé laméthode dessour es équivalentes pour al uler le rayonnement surdes haussées d'impédan e quel onque. Jean [Jea98℄ a modélisé le rayonnement des pneumatiques à l'aide d'une appro he appelée GRIM (Green Ray Integral Method).Sonmodèle onsisteàutiliserunefon tiondeGreenparti ulièred'unpneumatiquerigide. Le al ulestréaliséàl'aidedu odede al ulBEM MICADOutilisant uneappro hevariationnelle [JNG08℄.

1.1.2.3 L'eet dièdre

Al'entréeetà lasortiedeszonesde onta tseproduituneetdièdreou equ'onappelleaussi eetpavillon.Le pneu etla haussée forment auvoisinage delazone de onta t unesorte de ne a oustique, qui s'a ompagne d'une ampli ation de la puissan e rayonnée. Cette ampli ation peut atteindre 20 dB par rapport à un hamp libre. Plusieurs auteurs ont mis en éviden e son importan e, le phénomène a été abordé par K. S ha [1℄ et D. Ronneberger [Ron82℄. Il a fallu attendre dix ans pour modéliser e phénomène par Kropp [Kro92℄. Kropp a proposé un premier modèle prédisant le bruit de onta t pneumatique/ haussée, en prenant en ompte l'eet dièdre. Unmodèleanalytiquea étéétudié parKlein [Kle98℄dansle as2Dpourun er leaudessusd'une haussée réé hissante. Dans le as tridimensionnel ave des géométries plus omplexes seule la méthode deséléments de frontièrespermetde modéliser e phénomène. Fadavi [Fad02℄a étudié le phénomène dans le as 3D, son étude est réalisée à l'aide du logi iel SAMCEF pour le maillage du pneumatique puis SAMRAY pour le al ul du rayonnement a oustique. Il a montré que la modélisation de l'eet dièdre par un modèle 2D n'est pas susante pour dé rire l'ensemble des phénomènesliésà eteet.Dansle as3Dl'ondea oustiquepeuttourner autourdupneumatique enproduisant d'autresinterféren es, esdernièresne peuvent pasêtre aptées parlemodèle2Dde l'INRETSétudiéparKlein.Ila omparél'ampli ationdusonpareetdièdredesdeuxmodèles,la diéren epeutatteindre10dBpour ertainesfréquen es.Desexpérien esont onfortélesrésultats delamodélisationpar laméthode desélémentsdefrontière. Lagure(1.4) montreunesimulation réaliséepar lelogi ielSAMRAYquimetenéviden el'ampli ation durayonnement à ausede la géométrie anguleuseentrelepneumatique et la haussée (l'eetdièdre).

1.2 Modélisation du onta t d'un pneumatique sur une haussée

Dans le adre de ette thèse, on s'intéresse uniquement aux eorts de onta t normaux. En parti ulier,onnetiendrapas omptedufrottementquipeutêtreàl'originedediérentsphénomènes tels quele rissement [FSDJ07,CNS09℄.

1.2.1 Conta t hertzien

(36)

0

50

100 Pres_mod_(dB)

X

Y

Z

Figure 1.4:Rayonnementa oustique autourd'unpneumatique,eetdièdre

Plusieursmodèlessurle omportement mé aniquedu onta tontétéproposés.LathéoriedeHertz reste la référen e du problème de onta t. En 1882 Hertz a proposé une solution du problème de onta t entre deux orps élastiques isotropes. Les formules proposées par Hertz permettent d'ex-primerl'aire de onta t, le dépla ement relatif etla pression de onta t de deux solides élastiques enfon tion dela harge appliquée.Pour trouverlasolutionduproblèmede onta t, Hertz[Her81℄ asupposétoutd'abord unedistributionparaboliquedelapressionnormalede onta tagissantsur une aire de onta t elliptique et a ensuite vérié que les onditions de onta t unilatéral étaient biensatisfaites.

En seplaçant dansl'hypothèse despetitesdéformations, la surfa e de onta treste petite par rapport auxdimensions dessolides en onta t, haque solidepeutêtre assimilé à un demi-espa e élastique.Pour unefor ed'appui donnée,lathéoriedeHertz fournitlatailledelazonede onta t, lapressionnormalesousle onta tetles ontraintesnormales prin ipales.Dansle asd'un onta t pon tuel entre deux solides (voir gure 1.5), Hertz établit une relation entre la harge normale appliquéeetl'é rasement au niveau du point de onta tpar laformulesuivante:

P = Cδ

3/2

(1.1)

ave

C =

4E

∗

√

_R

3

(1.2)

où

P

représentela hargenormaleappliquée et

δ

l'interpénétration du orps(1)dans(2).

R

et

(37)

PSfragrepla ements

R

1 R

2 δ

(E

1 , ν

1 )

(E

2 , ν

2 )

Figure 1.5: Conta tpon tuelentredeuxsolides déformables

1 E∗

=

1 − ν

1

2 E

1 +

1 − ν

2

2 E

2 ,

(1.3)

1 R

=

1 R

1 +

1 R

2 .

(1.4)

où

E

1 , ν

1 , R

1

et

E

2 , ν

2 , R

2

sont respe tivement le module d'Young, le oe ient de Poisson et le rayonde ourbure desdeuxsolides (1)et(2).

1.2.2 Modèle de onta t pon tuel généralisé

LathéoriedeHertzestvalableuniquementpourdes onta tshertziens.Depluslesdéformations doivent êtresusammentfaiblesdesorteà resterdansledomaine élastique.Sameur[Sam04℄s'est intéresséau onta tpon tuel entreunmassifsemi-innietune pointedeformequel onque.Ils'est basésur la théoriedu potentiel d'intera tion de Wilke. Le potentiel de onta t entre deux solides ayant dessurfa esrégulières estdonné par laformule :

U = c

8 15π

1

4 (θ

₁

+ θ

₂

)

V

2 P

1

2 S

7

4

(1.5) où

θ

i

=

1−ν

2 i

πE

Dans le asd'unepointe oniquelarelation entre la hargeetl'interpénétrations'é rit :

P =

8 π

G

2 (1 − ν

2 _)E

∗

tanα δ

2

(1.6)

(38)

Où

G

estlemodulede isaillement.Delamêmefaçonla onstanteestidentiéepourunepointe oniqueen omparant ave laloi de onta t (1.1),donnant ette fois

c

= 0, 45

.

Ande validerlemodèlede onta tpon tuelgénéralisé(1.5),Sameuraee tuéune ampagne d'essai pour les trois formes de pointes. Les résultats d'identi ation des oe ients

c

s

,

c

et

c

p

sontregroupésdansle tableau(1.1).

Typede lapointe Modèle Expérien e sphérique

c

s

0.36 0.34 onique

= 2µ

e

ij

ouen ore

e

ij

=

1 2µ

e

s

ij

.

(1.7)

Et dansle asvis oélastique ette relation prendlaforme:

s

ij

=

Z

t

0 G(t − τ)

de

ij

dτ

dτ , e

ij

=

Z

t

0 J(t − τ)

ds

ij

dτ

dτ.

(1.8)

où

e

ij

,

s

ij

sont respe tivement les parties déviatoriques de la déformation et de la ontrainte,

G

lafon tion derelaxation et

J

elledu uage.

En passant par la transformée de Lapla e, I.F.Kozhevnikov et al. [KCD

+

08℄ont proposé une relationentrele dépla ement verti al

u

z

etlapressionde onta t parla formule:

u

z

(x, y, t) =

(1 − ν)

π

Z

t

0 J(t − τ)

d

dτ

"ZZ

Ω

m

p(ξ, η, τ )

p

(x − ξ)

2 _{+ (y − η)}

2 dξdη

#

dτ

(1.9)

où

Ω

m

= max(Ω(t))

estl'aire maximale qui peutêtre observée au ours du hargement.

Enajoutant l'équationd'équilibre suivante :

F (x, y, t) =

Z Z

Ω(t)

(39)

onpeutdéterminerainsià haqueinstant

t

l'é rasement

δ(t)

etlapression

p(r, t)

entoutpoint delasurfa edudemi-espa e. Avantdegénéraliser emodèle, lesauteurs ont omparé esrésultats ave la méthode MIM (Méthode d'Inversion de Matri e) dans le as d'une pointe sphérique. La gure (1.6) illustre la omparaison de la distribution de la pression du onta t entre les deux méthodes derésolution.

Figure 1.6:Distribution de la pression en surfa ed'une pointe sphérique en onta tave un massifsemi inni [KCD

+

08℄:modèle numérique,- - modèleanalytique.

1.2.4 Méthodes numériques pour gérer le problème de onta t dynamique

L'analyse du problème de onta t dynamique entre deux solides déformables ou un solide dé-formableetune surfa e rigideest généralement traitéepar deux grandesfamilles de méthodes :la méthode de pénalisation [KY90℄et la méthode des multipli ateurs de Lagrange [BC85℄. D'autres méthodes ont été développées, par exemple la méthode de Lagrange perturbée [SWT85℄ qui est une régularisation de la méthode des multipli ateurs de Lagrange par l'addition d'unterme à la fon tion lagrangienne,ou bien laméthode de Lagrange augmentée [JR88℄qui ombine destermes de la méthode des multipli ateurs de Lagrange et de la fon tion de pénalité. On peut aussi iter d'autresméthodes ommelaméthode deséléments de onta t [SW79℄, laméthode de fon tion de ontrainte [EB91℄, laméthode de la ompensation linéaire [KK96℄et la méthode in rémentale de programmation onvexe [MHS03℄.

Dans ette thèse on s'intéresse au problème de onta t unilatéral entre un solide déformable (

S

)etunobsta le rigide(

R

) ommelemontrelagure(1.7).Les onditionsde onta tunilatéral, dites onditionsde Signorini,sont les suivantes :

lesolide ne peutpénétrerl'obsta le;

en asd'absen e de onta t, lesolide nesubit au un eort de l'obsta le;

(40)

00000000000000000000000000

11111111111111111111111111

n

PSfragrepla ements

ζ

u

0 S

R

Figure 1.7:Condition de onta tde Signorini

.

1.2.4.1 Méthode de pénalisation

Cette méthode permet de gérer le onta t entre un point matériel et une surfa e rigide ou déformable.Une petite pénétration dupointmatériel

ζ

danslasurfa eestautorisée ontrairement aux onditionsdeSignori.Par onséquentlafon tionnelledel'énergietotaleestaugmentéeparune fon tionde pénétration:

Γ (

u

t

)

a

_{= Γ (}

u

t

) +

κ

2 ζ

T

t

ζ

t

(1.13)

ave

Γ (

u

)

lafon tion del'énergietotaleasso iéeaux orpsen onta t, u

t

ledépla ementnodal,

ζ

le ve teur pénétration à l'instant

t

et

κ

le fa teur de pénalité (ou raideur de onta t). La minimisationde l'équation(1.13) mèneà l'équation variationnelle dis rète.

δΓ (

u

t

) = δΓ (

u

t

) + κζ

T

t

δζ

t

(1.14)

Lesfor es de onta t peuvent être al ulées par larelation deré urren e :

F

t

=

F

t−1

+ κζ

T

(1.15)

La méthode présente l'avantaged'être fa ileà mettreen oeuvre.Elle ne présente au unajout d'in onnue supplémentaire mais le hoix de la raideur de onta t est souvent déli at. Une valeur faible de ette raideur permetdes pénétrations importantesqui ne sont pasa eptables physique-ment, tandis que desvaleurs tropgrandes donnent naissan e à desos illations etdes instabilités numériques[JR99,Zho93,MPE92℄.Danssonarti leHalquist[HGB85℄aproposéuneformulepour le hoix de ette valeur

κ = α

A

2 V

e

K

0

(1.16)

ave

A

l'aire de la surfa e de l'élément en onta t,

V

e

le volume de et élément,

K

0

lemodule de ompressibilité et

α

un fa teur d'é helle qui est égal en général à

0, 1

. Une autre formule pour

(41)

le hoix de lavaleur delaraideur de onta ta étéproposéepar Chamoret [CSRB04℄.Cettefois la raideur de onta t est hoisie de façon automatiqueen fon tion de lapré ision souhaitée. En plus elle nedépend pasdespropriétés desmatériaux omme elle proposéepar Halquist:

κ =

1 β∆t

2 [

QM

−1

Q

T

_]

−1

(1.17)

ave

β

unparamètredeNewmark. LetermeQM

−1

Q

T

orrespondà la ondensation detoutes lesmasses quiparti ipent au onta t.

1.2.4.2 Méthode des multipli ateurs de Lagrange

Contrairementà laméthodedepénalisation, etteméthodepermetderespe terparfaitementla onditiondenonpénétration.Ellepermetégalementd'éviterlesproblèmesliésau hoixdelaraideur de onta t. Elle onsiste à introduire des in onnues supplémentaires appelées multipli ateurs de Lagrangepuisàdénir deuxsurfa es:unesurfa e maitreetune surfa ees lave.La surfa emaitre estutilisée, viasanormale,pourladénitiondeladire tionde onta t. Lasurfa ees lave ontient les noeuds de onta t, es noeuds n'ont pas le droit de pénétrer la surfa e maitre, alors que le ontraire estpossible.

Le hoixde ette hiérar hiedépend des ritères suivants :

si l'undes orps estinniment rigide,alors il sera hoisi ommemaitre;

si les deux orps sont déformables,lapiè e laplus rigideet/ou mailléeleplus grossièrement sera hoisie omme maitre(nb :il s'agiti i de larigidité -lo ale- de lastru ture et non sim-plement du matériauqui la onstitue).

L'introdu tion des multipli ateurs de Lagrange ainsi que la dénition de es surfa es rend la méthode di ile à mettreen oeuvre et oûteuse entermes de temps de al ul.

En eetlafon tionnelle del'énergie totale à l'instant

t

estdonnée parlaformule

Γ (

u

t

)

a

_{= Γ (}

u

t

) + λ

T

t

ζ

t

(1.18)

t

δζ

t

= 0

(1.19)

λ

T

_t

δζ

_t

_{≤ 0}

(1.20)

Lesfor es sont ensuite al ulées par laformule:

F

t

=

K

c

t

λ

T

(1.21)

ave K

c

(42)

1.2.5 Appli ations au onta t pneumatique- haussée

Plusieurs modèles ont étédéveloppés es dernières années pour traiter leproblème du onta t pneumatique/ haussée. Ces modèles sont souvent basés surdes formules analytiques,parfois vali-déespardesexpérien es.Kleinetal.[KJFAL04℄ontproposéunmodèle2Dquipermetderetrouver leprol delatexturedela haussée enveloppépar lepneumatique au oursduroulement.En par-tant du résultat de Johnson [Joh85℄ qui donne la relation entre le dépla ement et la pression en surfa edu plansemi-inni,Klein [Kle98℄é ritleproblème souslaforme :







u(x) − u(x

0 ) =

R

_Γ

_c

[G(x, y) − G(x

0 , y)] p(y) dy

∀x ǫ Γ

u(x) − u(x

0 ) = z(x) − z(x

0 )

et

p(x) > 0 ∀x ǫ Γ

c

p

m

=

_|Γ|

1 R

_Γ

p(x) dx

(1.22)

où

Γ

c

estl'aire de onta t et

G(x, y)

estlafon tion de Green périodique.

D'autresmodèlesontétéétudiésà l'universitédeChalmers.Kropp[Kro89℄aproposéunmodèle 2Dbasésurune fondation élastiquede Winkler

1

.Larsson[Lar02℄proposeun modèle quasi-3Den tenant omptedesintera tions entrelespointsà lasurfa edelabandederoulement.Leproblème dynamiqueest dé omposéen plusieurs problèmes statiques. En 2004 Wullens[Wul04℄propose un modèle 3D en modélisant la bande de roulement par un massif élastique semi-inni. Les auteurs destrois modèles onsidèrent seulement les eorts radiaux etnégligent les eets d'adhésion et de frottement.

Au oursdesathèseCesbron[Ces07℄adéveloppé unmodèlede onta tpneumatique/ haussée en roulement. Partant du même prin ipe queWullens, le modèle est appro hé par une su ession d'états statiques et labande de roulement est modélisée par un massif semi-inni. Pour résoudre leproblème de onta t Cesbron a développé une Méthode Itérative à Deux E helles (MIDE). Le prin ipe dela méthode est d'étudier leproblème surdeux é helles diérentes, d'abord uneé helle ma ros opique pour évaluer l'eort de onta t aux niveaux des sommets des aspérités, puis une é helle mi ros opique qui vise à déterminer la distribution lo ale de la pression dans la surfa e de onta t à partir des eorts aux sommets des aspérités. Cette étape fait appel à la Méthode d'Inversion de Matri e (MIM). Le ouplage des deux é helles rend le problème moins oûteux en termesdetemps de al ul.Lesrésultatsdelaméthodestandard MIMetdelaméthode MIDEsont omparésdansle asdetrois typesd'aspérités( ylindrique, sphérique et onique). Lessurfa esen onta t ave le massif semi-inni sont omposées de sept aspérités identiques disposées de façon hexagonale ommelemontre lagure(1.8). Lagure(1.9) illustreune omparaison dela distribu-tionde pression al ulée par lesdeux méthodes.

Dans Brinkmeier [BNPE08℄, l'auteur étudie l'inuen e de la rugosité de la haussée sur le omportement dynamiqued'unpneumatique.A l'aidedel'analyse deFourier dis rète desmesures dela texture, une expressiondéterministe dela rugosité danslazonede onta t estintégrée dans le modèle. Ainsi le dépla ement dû au onta t peut être dé omposé en une somme de fon tions harmoniques. Cesfon tions sontdénies en haquenoeud en onta t ave la haussée :

u

(t) =

X

i

u

i

e

j(φ

i

+ω

ex

i

t)

(1.23) où

ω

ex

i

estlafréquen ed'ex itationet

φ

i

laphasede onta t.Cettedernièreest al uléeà partir delavitessederotationdansladire tion ir onférentielleetdemanière aléatoiredansladire tion

(43)

Figure 1.8:Congurationdessurfa esen onta tave lemassifsemi-inni [Ces07℄

−15

0 −10

−5

0

5

10

15

5

10 Poinçons cylindriques −

δ

= 1.0 mm

p (MPa)

−15

0 −10

−5

0

5

10

15

0.5

1

1.5

2 Pointes sphériques −

δ

= 1,4 mm

p (MPa)

−15

0 −10

−5

0

5

10

15

5

10 Pointes coniques −

δ

= 1,4 mm

y (mm)

p (MPa)

MIM

MIDE

(44)

longitudinale. La for e d'ex itation f estdéduite en fon tion de es dépla ements etde la matri e deraideur de onta t

K

c

. L'équation demouvement peutalors s'é rire:

Mq

+

Gq

+

Kq

=

f

(t) ;

f

(t) = −K

c

u

(t)

(1.24) oùM, GetKsont respe tivement les matri esde masse,d'amortissement etde raideur.

1.3 Pneumatique

1.3.1 Propriétés mé aniques et géométriques

L'histoire dupneu a ommen é en 1888,après soninvention par l'é ossaisJohn BoydDunlop. Lespremiers pneumatiques ont été onçus pour les vélos, desboudins de aout hou gonés d'air etxésà lajante. En1891,lefrançaisEdouard Mi helininventelepneumatiquedémontablepour les bi y lettes. L'invention est un su ès immédiat etpas seulement dans le monde du vélo : très vite l'automobile, le ferroviaire, l'aéronautique et la ma hinerie s'emparent à leur tour du pneu. Aujourd'huilepneumatique abeau oupévolué,ildevientunproduitdehautete hnologie quidoit répondre à des exigen es fortes et diverses en termes de performan e. Il existe ainsi des pneus à lamelles pour une meilleure adhéren e sur la neige,des pneus faisant é onomiser du arburant par une moindre résistan e au roulement, des pneus limitant le bruit de roulement... Malgré les diérentsmodèlesdepneumatique,leurs onstitutionsrestentlesmêmes.Ilssontfabriquésà partir de aout hou naturel et arti iel, d'adjuvants himiques omme le soufre, les huiles et d'autres, ainsiquede ables textilesetmétalliques. Lepneu est onstitué detroisgrandeszones (voirgure

1.10) :

Flanc

Gomme de découpage

Gomme intérieure

Renfort

Tringle

Talon

Carcasse

à arceaux droits

Sculptures

Ceintures

Figure 1.10:Constitutiond'unpneumatique

1. La zonesommet s'appelle aussi la bande de roulement. C'est la ou he de gomme qui entre en onta t ave laroute. Cette gomme doit êtreassez adhérentepour être apable de

(45)

trans-une grande résistan e au roulement. La bande de roulement est reusée de s ulptures et de petits anaux qui éva uent l'eau et la neige et diminuent le risque d'aquaplanage. Sous la bandederoulementsetrouvent lesnappes eintures, onstituéesdelsmétalliquesparallèles. Ces ables,endeux ou hes roisées,assurentlarigidité dupneumatique,notamment lorsde pousséeslatérales (virages).

2. Les an s sont les éléments latéraux du pneu. Constitués d'une gomme souple, ils sont a-pables de résister aux ho s et aux tensions liées au roulement du pneu. Sur ette zone se trouvent tous les marquages du pneu (dimension, fabriquant, indi es et ) omme le montre la gure(1.11)

3. Lazonebasse assurel'a ro hage du pneu à lajantegrâ e à deuxanneaux métalliquesqui prennentappuisur elle- i.Ainsifaite, ettezonepermetd'avoiruneétan héité parfaiteentre lajante etle pneu dansle as d'un pneu tubeless, 'est-à -dire sans hambre à air et pour lequell'air estgardédansl'espa e entrelajante etlepneu.

Figure 1.11:Constitutiond'unpneumatique

1.3.2 Fabri ation d'un pneumatique

Le pro essus de fabri ation d'un pneumatique ommen e par le mélange des aout hou s na-turels et synthétiques (environ 30 types de aout hou s) ave les huiles de fabri ation, le noir de arbone et d'autres produits himiques. Les proportions variant d'une usine à une autre, elles sont plus di téespar les oûts etla qualité du produit que l'on veutobtenir. Ces ingrédients sont mélangés dans des malaxeurs géants, appelés Banbury, fon tionnant à des températures et des pressions extrêmement élevées. Ces mélanges servent à fabriquer des bandes. Ces dernières sont pressées etsoumisesà des températures très élevées. Delà ,ellesseront dé oupées en bandesqui deviendront des an s, des bandes de roulement ou d'autres parties de pneus. Les bandes sorties de etteopérationvontenvelopperuntambour pour obtenirun ylindreauxextrémitésduquel des

(46)

dans un moule de vul anisation à une température d'environ 300C. L'identi ation des pneus ainsiqueless ulptures delabande deroulement sont gravéesdanslemouleettransféréesaupneu durant ette opération.

1.3.3 Rles d'un pneumatique

Lespneumatiquessontles seulsélémentsdu véhi uleen onta tave lesol,ils ontdemultiples fon tionsquisont prin ipalement :

supporter toute la harge du véhi ule, ils ne doivent don pastrop sedéformersous l'eort, tant en statiquequ'en dynamique;

assurer la transmission des eorts du moteur et réper uter au sol les ouples de freinage et d'a élération du véhi ule;

donnerla dire tiondu véhi uleetparti iperaumaintien de lastabilitéde latraje toire; ontribuerà lasuspension etau onfort grâ eà leur exibilité;

adhérer surtous lestypesde revêtements quelque soit leurétat.

1.3.4 Sour es de vibration d'un pneumatique

La vibration d'un pneumatique est l'une des sour es prin ipales du bruit de roulement. La ompréhension du omportement dynamique du pneumatique est essentielle pour mieux évaluer lebruit. Plusieurs études théoriques etexpérimentales ont été réalisées pour traiter lesujet. Iwao et Yamazaki [IY96℄ont mesuréle dépla ement de lasurfa e de la bande de roulement etdu bord d'un pneumatique lisse roulant à une vitesse de 50km/h. Ils ont identié ainsi quatre zones de sour esémissives(voir gure1.12). La première zoneest pla ée à l'arrière dupneumatique, juste au-dessus de la ligne de fuite de la zone de onta t, le spe tre fréquentiel de ette zone est situé entre

400

et

600 Hz

. Elle ontient la première fréquen e de résonan e des patins de gomme. La deuxième et la troisième zone sont situées au niveau de la zone de onta t. Elles vibrent sur une largebande de

500 Hz

à

2000 Hz

,et ontiennent ladeuxième fréquen ede résonan edespatins. Enn la quatrième zone est située en haut du pneumatique et vibre dans la bande de fréquen e [

500 600 Hz

℄. Les sour es prin ipales de l'émission sonore sont situées prin ipalement autour de la zone de onta t et du bord de pneumatique. Dans es zones le niveau global de la pression a oustiqueestplus important.

1.3.5 Modélisation vibratoire du pneumatique

1.3.5.1 Modèles analytiques

Diérentsmodèlessontproposésdanslalittératurepourmodéliserle omportementdynamique d'unpneumatique. Le modèle d'anneau ir ulaire de Bohm [Boh66℄a été étudié par plusieurs au-teurs (Dodge [Dod65℄, Kropp [Kro89℄, He kel [He 86℄, Dorhmann [Dor88℄ et Huang [HH92℄). Le pneumatiqueestmodéliséparunanneau ir ulairelissetournantà unevitesseangulaire onstante (voir gure 1.13). Le modèle permet d'avoir des résultats pertinents dans le domaine des basses fréquen es

(0 − 400 Hz)

.Lesmodesetlesfréquen espropres al uléspar e modèleont étévalidés pardesmesures expérimentales ([Kro89℄,[WNR08℄).Ce modèleseraétudié plus endétaildansle pro hain hapitre.