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Identification des paramètres de conception à partir de
mesures incertaines
Emmanuel Pillet, Scott Cogan, Noureddine Bouhaddi
To cite this version:
Emmanuel Pillet, Scott Cogan, Noureddine Bouhaddi. Identification des paramètres de conception à
partir de mesures incertaines. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens,
France. �hal-01813041�
à partir de mesures incertaines
Emmanuel Pillet
* —Scott Cogan
—Noureddine Bouhaddi
Institut FEMTO-ST UMR 6174, Département LMARC Université de Franche Comté
24 rue de l’Epitaphe 25000 Besançon
* emmanuel.pillet@edu.univ-fcomte.fr
RÉSUMÉ.Le contexte de ce travail est la mise en place d’outils d’aide à la décision en conception robuste de structures mécaniques dans un environnement incertain. Nous proposons d’étudier le problème inverse de l’identification paramétrique des structures mécaniques à partir d’obser-vations incertaines et d’apprécier si le gain d’information obtenu grâce à d’éventuelles mesures expérimentales justifie le coût de ces dernières. Nous utilisons dans cette étude une formulation probabiliste des problèmes inverses qui combine, sous forme de distribution de probabilité, les informations a priori sur les paramètres et les modèles d’incertitudes sur les mesures réelles ou simulées . La distribution a posteriori ainsi construite permet de générer des modèles grâce à une méthode de Monte Carlo. L’étude des modèles obtenus ouvrira alors des pistes au concep-teur quant à l’utilité des expériences envisagées ou la pertinence des paramètres identifiés. ABSTRACT. The context of this work is the setting up of decision aiding tools in robust design of mechanical structures in an uncertain environment. We propose to study the inverse problem of the parametric identification of mechanical structures starting from uncertain observations and to appreciate if the information gain obtained thanks to possible experimental measurements justifies the cost of these last. In this study, we use a probabilistic formulation of the inverse problems which combines, in the form of probability distribution, a prior information on the parameters and models of uncertainties on the real or simulated measurements. The a posteriori distribution permit to generate models thanks to a Monte Carlo method. The study of the models obtained will guide the designer as for the usefulness of the experiments considered or the pertinence of the identified parameters.
MOTS-CLÉS :identification, mesures incertaines, aide à la décision, Monte Carlo. KEYWORDS:identification, uncertain data, decision aiding, Monte Carlo.
1. Introduction
Le problème de l’identification inverse concerne beaucoup de domaines scienti-fiques et en particulier celui de la dynamique des structures. Le but en est souvent de valider des modèles numériques à partir de mesures expérimentales. Cependant, les données mesurées contiennent systématiquement des incertitudes dues par exemple aux conditions expérimentales, à la précision des l’appareils de mesure ou à l’expéri-mentateur lui-même. La formulation probabiliste des problèmes inverses développée par Tarantola [TAR 87] permet d’associer une distribution caractéristique des incer-titudes expérimentales avec une densité de probabilité a priori sur les paramètres de conception à identifier afin d’obtenir une distribution a posteriori. Bien que dévelop-pée pour le domaine géophysique, cette approche a déjà été appliquée en mécanique à des modèles linéaires et non-linéaires mais en se limitant bien souvent à des hypo-thèses gaussiennes [BEN 95]. Pour rester dans un cadre plus général, nous générerons les modèles de paramètres a posteriori grâce à une simulation de Monte carlo (MC) «pilotée » par un algorithme de Metropolis [MET 53, MOS 95, MOS 02]. Toutefois, cette approche par inférence Bayesienne [BAY 63] peut être sujette à discussion no-tamment à cause de l’utilisation d’une information a priori probabiliste. En effet, com-ment juger qu’une information a priori peut être représentée probabilistiquecom-ment ? On trouvera dans [SCA 01] une discussion sur les méthodes Bayesiennes et fréquentistes. Admettons que nous voulons représenter un systéme mécanique par un modèle numé-rique. Les connaissances actuelles en simulation numérique permettent de s’approcher de la réalité sans avoir recours à l’expérimentation, mais lorsque le degré de précision souhaité sur le modèle augmente, il est souvent nécessaire de faire des mesures ex-périmentales sur le système réel afin de pouvoir recaler le modèle éléments finis. La première étape pour le concepteur sera d’effectuer une étude de sensibilité pour déter-miner les paramètres les plus influents sur les réponses de son modèle. Il se deman-dera alors quelles caractéristiques de la structure serait-il intéressant de mesurer pour obtenir une information utile sur les paramètres de conception d’intérêt. Est-ce que la mesure de la 5efréquence propre apportera plus de renseignements ? Est-ce que le
coût d’une expérience bien particulière se justifiera par le gain d’information apporté ? Il est évident que sur le plan économique une entreprise cherchera bien souvent à di-minuer le temps et les moyens mis à disposition pour les expérimentaions. C’est à ce genre de préoccupations que nous nous intéressons dans cet article.
La résolution du problème inverse a donc ici pour but la détermination de modèles pour une prise de décision comme illustré avec la figure 1 tirée de [SCA 00]. Dans un premier temps, nous décrirerons le principe de la méthode de MC utilisée pour inférer sur les données du problème. Puis, nous exposerons la démarche que pourrait avoir un concepteur qui voudrait réaliser des essais pertinants afin d’identi-fier des paramètres de conception. Finalement, une application viendra illustrer notre propos.
Modèle réel m Données observables d ProbabilitéP (m) Décisions Autres connaissances Problème direct Inférence
Figure 1 – Problème inverse et prise de décision
2. Identification inverse par la méthode de Monte Carlo 2.1. Formulation du problème inverse
Soit m= {m1
, m2
, . . . , mNM
} le vecteur des NM paramètres mk d’intérêt. Soit
d= {d1
, d2
, . . . , dND
} le vecteur des ND données observables dk. Le problème
di-rect, qui consiste à prédire d à partir de m, peut être formulé par :
d= g(m) (1)
où g est une fonction généralement non-linéaire.
L’estimation des paramètres à partir de la mesure des données observables constitue le problème inverse. En suivant les travaux de Tarantola [TAR 87], la solution Baye-sienne de ce problème est la détermination d’une densité de probabilité a posteriori
σm(m) sur l’ensemble m. Cette densité de probabilité s’écrit, à une constante de
nor-malisation près, sous la forme suivante :
σm(m) ∝ ρm(m)ρd(d) (2)
Nous avons donc le produit de deux termesρm(m), densité de probabilité a priori sur m, etρd(d) densité de probabilité rendant compte des incertitudes sur les données observées.
ρm(m) représente l’information a priori sur les paramètres, celle-ci ne dépendant pas
des mesures pouvant être réalisées. Si a priori on considére que les NM paramètres de
m sont indépendants alors :
ρm(m) =
NM
Y
k=1
Ainsi, si l’on supppose que les paramètresmk sont distribués normalement (de moyenneµk
prioriet d’écart-typeσpriorik cette expression devient :
ρm(m) ∝ exp(− 1 2 NM X k=1 (m k− µk priori σk priori )2 ) (4)
Si de plus, a priori, une corrélation est présumée exister entre les paramètres,
ρm(m) s’écrit : ρm(m) ∝ exp(− 1 2(m − µpriori) tC−1 m(m − µpriori)) (5)
oùµpriori= {µ1priori, . . . , µ NM
priori} et Cmest la matrice de covariance associée. Ceci reste un exemple, les paramètres pouvant tout aussi bien suivrent une loi uni-forme, lognormale ou autre. En fait, comme nous désirons utiliser la méthode de MC, tout ce dont nous avons besoin c’est d’un ensemble de règles probabilistes qui nous permettrons de générer des paramètres à partir deρm(m) [MOS 95].
L’ensemble d des données observables provient d’expérimentations qui comme toutes mesures sont entachées d’incertitudes. C’est pourquoi, l’information fournie par d est décrite par une densité de probabilitéρd(d).
Soient dobsles données relevées sur les appareils de mesures. En considérant que les incertitudes dues aux mesures sont indépendantes des données observables d alors :
dobs= d + ε (6)
oùε est une erreur décrite par la densité de probabilité f (ε). Dans ce cas :
ρd(d) = f (ε) = f (dobs− d) (7)
Siε est représentée par une distribution gaussienne de moyenne nulle et de
cova-riance Cdalors : ρd(d) ∝ exp(− 1 2(d − dobs) tC−1 d (d − dobs)) (8)
Pour des observations considérées indépendantes les unes des autres, cette expres-sion devient : ρd(d) = k exp(− 1 2 ND X k=1 (d k− dk obs σk obs )2 ) (9)
avecσk
obsl’écart-type associé à la valeur moyennedkobs.
ρd(d) mesure donc la distance entre les observations et les données prédites par la
relation (1).
Notre objectif est désormais de générer des modèles paramétriques de densité de pro-babilité σm(m). Le traitement analytique de σm(m) n’étant pas forcément simple lorsque le nombre de paramètres est élevé, nous allons utiliser pour cela la méthode de MC décrite ci-après.
2.2. Echantillonnage à partir des règles de Metropolis
Mosegaard et Tarantola [MOS 95, MOS 02] proposent un échantillonnage de la densité de probabilité a posteriori à partir de l’algorithme de Metropolis [MET 53] et de ses règles d’acceptation. Nous considérerons toujours dans cette étude que a priori les paramètres sont indépendants et que leurs densités de probabilité a priori ont une expression explicite, de même pour les observations. La même hypothèse étant faite sur les observations nous allons donc appliquer les règles de Metropolis àρmpuis à
ρdsuivant l’algorithme suivant :
1) Initialiser à un modèle arbitraire mn. Calculerρmn= ρm(mn), dn= g(mn)
etρdn= ρd(dn).
2) Générer un nouveau modèle mc = mn+ step , où step est un pas aléatoire. Calculerρmc = ρm(mc).
3) Siρmc ≥ ρmn, le modèle est accepté. Siρmc < ρmn, décider aléatoirement
d’accepter le modèle avec une probabilité d’acceptation ρmc
ρmn. Dans le cas contraire
aller en 2). Si le modèle est accepté alors mn= mc,ρmn= ρmcet aller en 4).
4) Calculer dc = g(mc) et ρdc = ρd(dc) Si ρdc ≥ ρdn, le modèle est accepté. Si
ρdc < ρdn, décider aléatoirement d’accepter le modèle avec une probabilité
d’accep-tation ρdc
ρdn. Dans le cas contraire aller en 2). Si le modèle est accepté alorsρdn= ρmc,
stocker mnet aller en 2).
Nous obtenons ainsi un ensemble de modèles en accord avecσm(m) qui permettra de faciliter la prise de décision comme nous le développerons en section 3.
Le pas qui permet de passer d’un modèle mn à mc est choisi aléatoirement dans une plage dont l’étendue influencera l’efficacité de l’algorithme. En effet si le taux d’acceptation est élevé, l’ensemble des modèles a priori est décrit trop lentement ; si il est faible, nous passons du temps à tester trop de modèles qui sont rejetés. Quelques simulations avec peu de tirages permettront d’ajuster ce pas de manière à retenir 25-50% des modèles proposés.
L’utilisation de la méthode de MC implique le calcul de problèmes directs (1) un grand nombre de fois. Pour un modèle numérique de grande taille et de nombreux paramètres, le coût de calcul est prohibitif, voire pratiquement impossible. Comme les calculs peuvent être différents selon le type d’observation, si l’on groupe les
don-nées résultant d’un même calcul dans un ensemble dk et que l’on considére comme indépendantes les incertitudes sur les données, alorsρd(d) s’exprime par le produit
ρd(d) =Q
ND
k=1ρd(dk). Dans l’algorithme précédent on test d’abord ρd(d1)
(corres-pondant aux données du plus faible temps de calcul), puisρd(d2) si la transition est acceptée et ainsi de suite. Cet algorithme «en cascade » devient alors beaucoup plus efficace.
Lorsque le modèle est jugé «trop lourd », remplacer le modèle complet par un mo-dèle approché en utilisant un méta-momo-dèle permet de diminuer les temps de calcul. A chaque donnée observabledk on peut par exemple associer une surface de réponse construite à partir de l’interpolation des différents points de réponse obtenus pour di-vers jeux de paramètres m. Le nombre de tirages sur les paramètres pourra aussi être diminué en utilisant la technique du Latin Hypercube Sampling [HEL 03].
3. Préparation des essais et identification paramétrique
Nous allons voir comment l’algorithme précédent peut nous aider à quantifier le gain d’information apporté par telle ou telle expérience et identifier les paramètres d’intérêt.
Dans le cadre de la création d’un modèle numérique représentatif du système réel, le concepteur peut à l’aide de ces connaissances construire un modèle numérique qui lui servira de référence. Ensuite, après avoir associé une distribution a priori assez éten-due sur les paramètres d’étude (une densité de probabilité uniforme semble alors être le meilleur choix), il utilisera la méthode de MC décrite précédemment pour déter-miner les modèles a posteriori à partir de la simulation de différents jeux de mesures incertaines. Ces données seront obtenues grâce aux valeurs déterministes du modèle de référence, valeurs auxquelles on associera un modèle d’incertitude. Les conditions limites influençant généralement l’observabilité des paramètres, il est conseillé de ré-péter les calculs pour différentes configurations ou les différents sous-ensembles de la struture. On aura donc recensé au préalable les mesures de caractériques (fréquences propres, déformées, Frf, pesées, etc . . .) et les configurations techniquement
réali-sables mais aussi les niveaux d’incertitudes associés. Si à l’examen des résultats une différence significative apparaît entre les modèles a priori et a posteriori, alors les combinaisons de mesures apportant le plus d’information sur les paramètres et ayant le moins d’éléments en commun, seront retenues. De plus, l’inclusion dans le recen-sement des différentes mesures réalisables d’une estimation du coût et du temps de réalisation de chacune d’entre elle, permettra au concepteur d’apprécier les ensembles d’expériences les moins coûteux.
Les expériences réalisées, le concepteur peut s’attaquer au recalage de son modèle à partir des techniques existantes ou réutiliser la méthode de MC. Dans ce cas, la re-cherche de modèles adequats se fera en utilisant les résultats des expériences à la place de leurs simulations. Le concepteur disposera ainsi de distributions a posteriori sur les paramètres de conception qui l’aideront à choisir une valeur ou une plage de variation pour chaque paramètre.
REMARQUE. — Si l’on envisage de réaliser les expériences sélectionnées, il faut bien être conscient que le choix de celles-ci peuvent reposer sur des hypothèses fortes voire erronées quant à la modélisation des incertitudes expérimentales. Ainsi, dans la pra-tique, une expérience qui semblait judicieuse en théorie s’avérera en fait inutile.
4. Application
L’exemple suivant est tiré de [LAL 90]. Il s’agit d’un rotor modélisé par un arbre, trois disques (D1, D2, D3) et deux paliers (B1, B2) (figure 2).
− → Y (v, θz) − → X Ω − → Z (w, θy) kyy cyy B1 L1 D1 L2 D2 d L3 D3 L4 kyy cyy B2
Figure 2 – Modèle du rotor.
L’arbre d’axe suivant−→X est discrétisé en 13 éléments finis poutre identiques, en
flexion dans les plans (XY ) et (XZ). Chaque noeud i possède 4 degrés de liberté
(ddl)(v, w, θy, θz). Les trois disques Dk(k = 1, 2, 3) sont modélisés par des masses et inerties localisées aux noeuds 3, 6 et 11. Des éléments ressort linéaire et amortisseur visqueux représentent, dans les deux plans de flexion, les paliersB1etB2 supposés identiques. Ces éléments sont localisés entre le noeud 1 (noeud 2) et le repère fixe pourB1(pourB2). De plus un balourd de massembest placé à la distanced (mbd =
200 g.mm) du centre géométrique de l’arbre sur le disque D2, dans le plan (XY).
L’amplitude de la réponse à balourd|Ub| est calculée en résolvant le système (pour une fréquenceΩ) : (−Ω2 [M ] + jΩ[BG] + [K + KB])Ub= −mbdΩ 2 sin Ωt cos Ωt (10)
Les vitesses critiques du rotorΩi
c(i = 1, 2, . . .) sont déterminées en calculant les
pulsations propresωi(i = 1, 2, . . .) solutions du problème homogène :
(−ω2
Les détails de la construction de[M ], matrice de masse, [BG] matrice d’amortis-sement gyroscopique,[K] matrice de raideur et [KB] matrice de raideur des paliers, des systèmes matriciels sont fournis dans [AIT 03]. On notera que l’amortissement dans les paliers a été négligé. Le modèle éléments finis de ce rotor comporte 66 ddl de flexion. Les valeurs nominales des paramètres sont données tableau 1.
L’objectif de cette application est de montrer l’évolution des modèles a priori aux modèles a posteriori suivant les observations simulées et de voir comment choisir les «bonnes » expériences. Les paramètres d’intérêt sont la masse volumique du disque
D3 (ρd), le module d’Young de l’arbre (Ea) et la raideur du palierB1 (kyy). Une distribution uniforme étendue de 0 à 3 fois la valeur nominale est choisie a priori sur ces paramètres. Nous considérerons des incertitudes gaussiennes sur les observations, décrites tableau 2, d’écart-type égal à 3% de la valeur nominale. Les différents jeux de mesures simulés sont indiqués dans la légende de la figure 3.
Paramètres Valeur nominale
Positions des disques (m) L1= 0.2; L2= L4= 0.3; L3= 0.5
Épaisseurs des disques (m) e1= e2= 0.05; e3= 0.06
Rayon arbres (m) Ra= 0.2
Rayons intérieurs des disques (m) Ri
1= Ri2= Ri3= 0.05
Rayons extérieurs des disques (m) Re
1= 0.12; R2e= R3e= 0.2
Masse volumique (arbre et disques)
(kg.m−3) ρa,d= 7800 Module d’Young(N.m−2) E a,d= 2.1 × 1011 Coefficient de Poisson ν = 0.3 Raideurs paliers(N.m−1) kyy= 5 × 10 7 ; kzz= 7 × 10 7 kyz= kzy= 0 Amortissements paliers (N.m−1.s−1) cyy= 5 × 102; czz= 7 × 102 cyz = czy= 0
Tableau 1 – Valeurs nominales des paramètres de conception.
Données observées Valeur nominale
Vitesse critique :Ωi c(i = 1 : 2) Ω1 c = 3700.7 tr/min Ω2 c = 3887.8 tr/min Masse totale : Mt = 195.3 kg Réponse à balourd (Ω = 5000tr/min) : noeud 6 ; direction−→Y y6= 3.244 × 10−6m
Tableau 2 – Données observées.
L’ensemble de la méthode présentée a été programmée en langage Matlab [MAT ] et intégrée à la plateforme de calcul Aesop développée au LMARC. Les distributions a
posteriori estimées sur ces paramètres, obtenues par l’algorithme proposé, sont
0 1 2 3 4 5 6 7 x 1011 Ea Distribution S 1 : Ω 1 c S2 : Ω 1 c, Ω 2 c S 3 : Mt S4 : Ω 1 c, Mt S 5 : y6 S6 : Ω 1 c, y6 S 7 : Ω 1 c, Ω 2 c, Mt, y6 A priori Nominale 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x 107 k yy Distribution 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 ρd Distribution
On constate clairement que le gain d’information varie suivant le type d’obser-vation. Ainsi pourEa, la mesure deMt seule ou dey6seule n’est pas informative,
Ω1
c l’est un peu plus mais s’avère plus utile combinée avecMt. Quant àρd, comme on pouvait s’y attendre, la mesure deMt apparaît comme déterminante dans l’iden-tifiabilité de ρd. Donc, dans un cadre idéal, les mesures de Ω1c et deMt semblent priomordiales pour identifier ces 2 premiers paramètres. L’ajout d’essais supplémen-taires (courbe rouge) ne modifie que sensiblement les distributions a posteriori. Sur les 3 paramètres, la raideurkyyest la moins identifiable. Seul le jeu complet des me-sures proposées permet de se centrer clairement autour de la valeur nominale. Nous nous sommes ici seulement basés sur des considérations visuelles, cependant celles-ci permettent de percevoir efficacement les grandes tendances vis à vis du gain d’information à espérer avec les relevés expérimentaux.
5. Conclusions
Notre objectif était d’étudier le potentiel d’une approche bayesienne du problème inverse en vue de faciliter la prise de décision, aussi bien pour estimer le gain d’in-formation fourni par les mesures expérimentales que pour identifier les valeurs des paramètres à associer au modèle numérique. Les résultats montrent que pour répondre à ces questions difficiles, l’association de cette formulation bayesienne, permettant d’obtenir une information a posteriori à partir de considérations a priori, à une mé-thode de MC, est envisageable.
L’établissement de critères plus fins permettant d’analyser et d’interpréter l’ensemble des résultats compléterons nos recherches. L’application de nos propositions à des systèmes mécaniques concrets est également une de nos directions de travail. Cependant la simplicité et la généralité de la démarche proposée au concepteur dans ce papier, pourraient plaider en faveur de son utilisation.
Remerciements
Les auteurs tiennent à remercier le ministère délégué à la recherche du gouverne-ment français pour son soutient financier (projet supersonique 2003).
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