Étude comparative des paramètres atmosphériques d'étoiles naines blanches déterminés par les techniques photométrique et spectroscopique

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Universit´e de Montr´eal

´

Etude comparative des paramètres atmosphériques d’étoiles naines blanches déterminés par les techniques photométrique et spectroscopique

par

Cynthia Genest-Beaulieu

D´epartement de Physique Facult´e des arts et des sciences

Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures en vue de l’obtention du grade de Maˆıtre ès sciences (M.Sc.)

en Physique

avril, 2014

c

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Université de Montréal Faculté des études supérieures

Ce m´emoire intitul´e: ´

Etude comparative des paramètres atmosphériques d’étoiles naines blanches déterminés par les techniques photométrique et spectroscopique

pr´esent´e par: Cynthia Genest-Beaulieu

a été évalué par un jury composé des personnes suivantes: Nicole St-Louis, président-rapporteur

Pierre Bergeron, directeur de recherche Patrick Dufour, membre du jury

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SOMMAIRE

Ce mémoire présente une analyse comparative des paramètres atmosphériques obtenus `

a l’aide des techniques photométrique et spectroscopique. Pour y parvenir, les données photométriques et spectroscopiques de 1375 naines blanches de type DA tirées du Sloan Digital Sky Survey (SDSS) ainsi que les données spectroscopiques du Villanova White Dwarf Catalog ont été utilisées. Il a d’abord fallu s’assurer que les données photom´ e-triques et spectroscopiques étaient bien calibrées. L’analyse photométrique a démontré que la photom´etrie ugriz ne semblait pas avoir de probl`eme de calibration autre que le décalage des points zéro, qui est compensé en appliquant les corrections photométriques appropri´ees. De plus, le fait que le filtre u laisse passer le flux `a certaines longueurs d’onde dans le rouge ne semble pas affecter la détermination des paramètres atmosphériques. L’analyse spectroscopique a ensuite confirmé que l’application de fonctions de correction permettant de tenir compte des effets hydrodynamiques 3D est la solution au problème de log g ´elevés. La comparaison des informations tirées des données spectroscopiques des deux différentes sources suggère que la calibration des spectres du SDSS n’est toujours pas au point. Les paramètres atmosphériques déterminés à l’aide des deux techniques ont en-suite été comparés et les températures photométriques sont systématiquement plus faibles que celles obtenues à partir des données spectroscopiques. Cet effet systématique pourrait être causé par les profils de raies utilisés dans les modèles d’atmosphère. Une méthode permettant d’obtenir une estimation de la gravité de surface d’une naine blanche à partir de sa photométrie a aussi été développée.

Mots clés : étoiles : paramètres atmosphériques - naines blanches - tech-niques : photométrique et spectroscopique

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ABSTRACT

We present a comparative analysis of atmospheric parameters obtained with the so-called photometric and spectroscopic techniques. Photometric and spectroscopic data for 1375 DA white dwarfs from the Sloan Digital Sky survey (SDSS) are used, as well as spec-troscopic data from the Villanova White Dwarf Catalog. We first test the calibration of the ugriz photometric system by using model atmosphere fits to observed data. Our photometric analysis indicates that the ugriz photometry appears well calibrated when the SDSS standard photometric corrections are applied. We also show that the reported red leak of the u filter does not affect the results of the photometric analysis. The spec-troscopic analysis of the same data set reveals that the so-called high log g problem can be solved by applying published correction functions that take into account 3D hydrody-namical effects. However, a comparison between the SDSS and the White Dwarf Catalog spectroscopic data also suggests that the SDSS spectra still suffer from a small calibration problem. We then compare the atmospheric parameters obtained from both fitting tech-niques and show that the photometric temperatures are systematically lower than those obtained from spectroscopic data. This systematic offset may be linked to the hydrogen line profiles used in the model atmospheres. We finally explore the results of a technique aimed at measuring surface gravities using photometric data only.

Keywords: stars: atmospheric parameters - white dwarfs - techniques: pho-tometric and spectroscopic.

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TABLE DES MATI`ERES

SOMMAIRE . . . . iii

ABSTRACT . . . . iv

TABLE DES MATI`ERES . . . . v

LISTE DES TABLEAUX . . . . vii

LISTE DES FIGURES . . . viii

D´EDICACE . . . . xi

REMERCIEMENTS . . . . xii

CHAPITRE 1 : INTRODUCTION . . . . 1

CHAPITRE 2 : MOD`ELES D’ATMOSPH`ERE . . . . 7

2.1 Formalisme de Hummer-Mihalas . . . 7

2.1.1 Particules neutres . . . 8

2.1.2 Particules charg´ees . . . 10

2.1.3 Probabilit´e d’occupation . . . 11

2.2 Opacit´e du gaz et ´elargissement des raies . . . 12

2.3 Effets hors ´equilibre thermodynamique local . . . 15

CHAPITRE 3 : M´ETHODOLOGIE . . . . 16

3.1 Echantillons . . . .´ 16

3.1.1 Echantillon photom´´ etrique . . . 16

3.1.2 Echantillons spectroscopiques . . . .´ 17

3.1.3 Echantillons communs de SDSS et Gianninas . . . .´ 18

3.2 Détermination des paramètres atmosphériques . . . 20

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3.2.2 Technique spectroscopique . . . 23

CHAPITRE 4 : ANALYSE PHOTOM´ETRIQUE . . . . 30

4.1 Crit`eres de s´election . . . 30

4.2 Les cinq filtres ugriz . . . . 32

4.3 La bande passante u . . . . 35

4.4 Effet de la gravit´e de surface . . . 37

4.5 Validit´e de la calibration photom´etrique . . . 39

CHAPITRE 5 : ANALYSE SPECTROSCOPIQUE . . . . 46

CHAPITRE 6 : COMPARAISON DES ÉCHELLES DE TEMPÉRATURE 59 6.1 Données brutes . . . 59

6.2 Donn´ees corrig´ees pour le rougissement . . . 63

6.3 Effets des profils Stark . . . 72

CHAPITRE 7 : MESURES DE LA GRAVIT´E DE SURFACE PHOTOM´ E-TRIQUE . . . . 75

CHAPITRE 8 : CONCLUSION . . . . 82

BIBLIOGRAPHIE . . . . 85

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LISTE DES TABLEAUX

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LISTE DES FIGURES

1.1 Position des naines blanches contenues dans le DR7. . . 5

3.1 Courbes de transmission du syst`eme photom´etrique ugriz. . . . 22

3.2 Exemples de r´esultats de la technique photom´etrique. . . 25

3.2 Exemples de r´esultats (suite) . . . 26

3.2 Exemples de r´esultats (suite) . . . 27

3.3 Exemple de r´esultat de la technique spectroscopique pour l’objet SDSS J000034.06-052922.4. . . 28

3.4 Exemples de r´esultats de la technique spectroscopique. . . 29

4.1 Histogramme des valeurs de χ2 pour l’´echantillon photom´etrique. . . 31

4.2 Courbes de transmission des filtres ugriz. . . . 33

4.3 Comparaison des températures effectives photométriques obtenues avec différentes courbes de transmission. . . 34

4.4 Comparaison des temp´eratures effectives photom´etriques obtenues en utilisant ugriz et seulement griz. . . . 36

4.5 Comparaison des temp´eratures effectives photom´etriques en suppo-sant log g = 8.0 et en utilisuppo-sant la gravit´e de surface spectroscopique. . 38

4.6 Histogrammes de la différence entre les magnitudes observées (corri-gées) et celles prédites par les modèles. . . 41

4.7 Histogrammes de la différence entre les magnitudes observées (non corrigées) et celles prédites par les modèles. . . 42

4.8 Différence entre la photométrie observée et synthétique en fonction de la température effective. . . 44

5.1 Gravit´es de surface en fonction de la temp´erature effective pour l’´ echan-tillon spectroscopique du SDSS. . . 47

5.2 Gravit´es de surface en fonction de la temp´erature effective pour l’´ echan-tillon de Gianninas. . . 48

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5.3 Figure 16 de Giammichele et al. (2012). . . 50 5.4 Fonctions de correction de Tremblay et al. (2013). . . 51 5.5 Distribution de masses pour l’échantillon spectroscopique du SDSS. . 53 5.6 Distribution de masses pour l’échantillon de Gianninas. . . 54 5.7 Comparaison entre les températures effectives déterminées à partir des

spectres de SDSS et de ceux de Gianninas. . . 56 6.1 Comparaison des temp´eratures effectives photom´etriques et

spectro-scopiques pour l’échantillon commun du SDSS. . . 60 6.2 Comparaison des températures effectives photométriques et

spectro-scopiques pour l’échantillon commun du SDSS. . . 61 6.3 Comparaison des températures effectives photométriques et

spectro-scopiques pour l’échantillon commun de Gianninas. . . 62 6.4 Distribution de distances pour l’échantillon commun du SDSS. . . 65 6.5 Distribution de distances pour l’échantillon commun de Gianninas. . 66 6.6 Comparaison des températures effectives photométriques avec et sans

la considération du rougissement pour l’échantillon photométrique. . . 67 6.7 Comparaison des températures effectives photométriques (corrigées

pour le rougissement) et spectroscopiques pour l’échantillon commun du SDSS. . . 68 6.8 Comparaison des températures effectives photométriques (corrigées

pour le rougissement) et spectroscopiques pour l’échantillon commun du SDSS. . . 69 6.9 Comparaison des températures effectives photométriques (corrigées

pour le rougissement) et spectroscopiques pour l’échantillon commun de Gianninas. . . 70 6.10 Comparaison des températures effectives photométriques et

spectro-scopiques calcul´ees avec les profils Stark de Lemke pour l’´echantillon commun de Gianninas. . . 73

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7.1 Effet de la gravit´e de surface sur la couleur u − g en fonction de g − r. 76 7.2 Distribution des gravit´es de surface photom´etriques en fonction de la

température effective pour l’échantillon photométrique, non corrigées pour le rougissement. . . 77 7.3 Distribution des gravités de surface photométriques en fonction de la

température effective pour l’échantillon photométrique, corrigées pour le rougissement. . . 78 7.4 Distribution des gravités de surface photométriques et

spectrosco-piques pour les ´echantillons photom´etrique et spectroscopique du SDSS. 80

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REMERCIEMENTS

J’aimerais tout d’abord remercier mon directeur de recherche, Pierre Bergeron, qui a accepté de me prendre sous son aile. Passionné par les naines blanches, il a réussi à me transmettre son enthousiasme pour ces objets dégénérés. Ses conseils et ses commentaires constructifs sont toujours les bienvenus et ont permis de me rendre là où je suis aujourd’hui. J’aimerais ensuite remercier Marie-Michèle pour m’avoir aidée à quelques reprises lorsque rien ne fonctionnait et que mes codes refusaient de coopérer.

Je me dois aussi de remercier mes parents qui m’ont toujours soutenue dans la poursuite de mes études, qui m’ont enseigné à donner le meilleur de moi-même peu importe la situation et qui ont été à mes côtés aux bons comme aux mauvais moments.

Un merci tout spécial à Étienne et à Louis pour le soutien moral lors des moments plus difficiles, ainsi qu’à Frédérique pour sa patience, surtout avec mes problèmes de tricot.

Finalement, je remercie mes collègues de bureau, passés et présents, pour leur aide avec LA_{TEX et avec certaines traductions (entre autres), et surtout parce que j’ai bien aimé}

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CHAPITRE 1

INTRODUCTION

Le stade de naine blanche est l’étape finale de l’évolution des étoiles dont la masse initiale se situe entre 0,07 et 8 fois la masse du Soleil, ce qui constitue environ 97% des étoiles de la Galaxie. Ce type d’étoile est constitué d’un coeur de carbone et d’oxygène inerte et dégénéré, ainsi que d’une atmosphère généralement riche en hydrogène. Il existe plusieurs types de naines blanches. La gravité élevée régnant dans ces objets fait en sorte que les éléments lourds, comme les métaux, coulent vers le centre, laissant les plus légers `

a la surface. C’est pourquoi environ 80% des naines blanches montrent des atmosphères riches en hydrogène, caractérisées par un spectre montrant la série des raies de Balmer. De tels objets sont appelés des DA. Cependant, certains objets ne montrent qu’une petite fraction d’hydrogène et auraient plutôt une atmosphère riche en hélium. On fait souvent référence à cette catégorie d’objets comme des non-DA. On y retrouve les DB et les DO, dont les spectres présentent des raies d’hélium neutre et ionisé, respectivement, les DZ, montrant des traces de métaux, tels le magnésium, le calcium ou le fer, ainsi que les DQ, pour lesquelles on peut voir du carbone atomique ou moléculaire. Finalement, les naines blanches dont le spectre est continu, c’est-à-dire qu’aucune raie d’absorption n’est apparente, sont nommées DC. Comme ce sont les plus nombreuses et les mieux comprises, seules les naines blanches dont le spectre ne montre que des raies d’hydrogène seront utilisées dans le cadre de cette étude.

La masse d’une naine blanche étant trop faible, la contraction de l’étoile due à la gravité ne permettra jamais au coeur d’atteindre une température suffisamment élevée pour que s’enclenche le brûlage du carbone et de l’oxygène se trouvant en son coeur. Par conséquent, n’ayant plus de source d’énergie, la naine blanche ne fait que se refroidir. De plus, durant ce processus de refroidissement, la masse de l’étoile reste approximativement constante, puisque les vents stellaires sont de l’ordre de ∼ 10−14 M par année pour ce type d’objet,

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sont connues, les modèles évolutifs permettent de connaˆıtre son âge. De plus, si cette étoile se trouve dans un amas, cela permet aussi de déterminer l’âge de celui-ci, ce qui fait de ce type d’astres d’excellents chronomètres astronomiques.

Cependant, là n’est pas leur seule utilité. En effet, si la distribution de masse et la fonction de luminosité des naines blanches d’un disque galactique sont connues, il est alors possible de reconstruire la période de formation stellaire dans ce disque. Par conséquent, la détermination des paramètres atmosphériques des naines blanches est cruciale dans la compréhension de l’évolution de la Galaxie. Évidemment, la justesse des informations obtenues dépend de l’exactitude des modèles d’atmosphère utilisés ainsi que de la validité des techniques employées.

Plusieurs techniques pour mesurer les paramètres atmosphériques ont été développées. La première est utilisée si la naine blanche se trouve dans un système binaire résolu. Il est possible de déterminer la masse de celle-ci à partir de son orbite. Par exemple, Heintz (1974) et Gatewood & Gatewood (1978) ont utilisé cette méthode afin de déterminer les masses de 40 Eri B (0.43 M) et Sirius B (1.05 M), respectivement. Cependant, cette

technique n’est pas infaillible. Par exemple, si les deux étoiles sont assez près l’une de l’autre, il se peut qu’il y ait eu échange de masse, modifiant ainsi l’évolution du système. Dans ce cas, l’âge déterminé à l’aide des modèles évolutifs n’est pas valable. De plus, cette technique ne fonctionne que pour les naines blanches se trouvant dans des systèmes binaires résolus, limitant ainsi grandement le nombre de naines blanches pour lesquelles la masse peut être mesurée.

Certains se sont donc tournés vers l’astérosismologie. En effet, Winget et al. (1991) et Fontaine et al. (1991) ont pu déterminer la masse de certaines étoiles en analysant leurs modes de pulsation, ce qui est plus fiable que de passer par les systèmes binaires. Cependant, pour pouvoir utiliser cette technique, il faut évidemment que la naine blanche soit variable, ce qui n’est pas toujours le cas. De plus, il semble que l’astérosismologie ne soit vraiment efficace que dans un certain intervalle de température et pour un certain type d’objet. Évidemment, pour avoir une distribution de masse représentative, il faut pouvoir utiliser cette technique sur un grand échantillon d’étoiles ayant des températures variées.

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Il a donc été proposé d’utiliser le décalage vers le rouge gravitationnel des raies d’ab-sorption mesuré dans le spectre. En effet, celui-ci est en fait une mesure directe du ratio M/R de la naine blanche. Par cons´equent, si la température effective est connue, il suffit d’utiliser les modèles évolutifs pour en déterminer la masse. Cependant, la vitesse radiale de l’étoile doit être connue afin de séparer l’effet Doppler dû à celle-ci du vrai décalage vers le rouge gravitationnel, c’est pourquoi cette méthode n’était utilisée que pour les naines blanches se trouvant dans des systèmes binaires ou des amas ayant un mouvement propre commun. Falcon et al. (2010) et Falcon et al. (2012) ont cependant poussé cette méthode plus loin, en l’appliquant à un groupe de naines blanches ne se trouvant pas dans de tels systèmes, ce qui leur a permis d’obtenir une valeur moyenne du décalage vers le rouge et, par conséquent, la masse moyenne de leur échantillon. Un avantage de cette technique, c’est qu’elle est essentiellement indépendante des modèles d’atmosphère, donc les résultats ne sont pas affectés par les approximations faites dans ceux-ci. Cependant, cette technique nécessite de mesurer la température effective ou encore le rayon de la naine blanche de fa¸con indépendante pour obtenir sa masse. Il serait plus utile de pouvoir déterminer tous les paramètres atmosphériques en n’utilisant qu’une seule méthode.

Une quatrième technique implique l’utilisation de la photométrie ainsi que de la paral-laxe trigonométrique. En effet, comparer la photométrie synthétique prédite par les mo-dèles d’atmosphère à celle observée permet d’obtenir, entre autres, une bonne estimation de la température effective et de la distance d’un objet. Lorsque la parallaxe trigonométrique est connue, cela permet de contraindre la valeur de la gravité de surface, donc d’obtenir la masse, encore une fois en faisant appel aux modèles évolutifs. Cette méthode fut utilisée notamment par Bergeron et al. (1997) et Bergeron et al. (2001), et elle a l’avantage d’uti-liser la photométrie, ce qui est facile à obtenir pour la plupart des objets. Cependant, il est ardu de mesurer la parallaxe trigonométrique d’un objet qui se situe à une très grande distance. Par conséquent, l’échantillon est souvent limité aux objets qui sont assez près. De plus, si la mesure de la parallaxe comporte des erreurs systématiques, par exemple que la valeur est toujours surestimée, cela se réflètera sur la distribution de masse.

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eter-miner les paramètres atmosphériques des naines blanches. C’est probablement la méthode la plus utile puisque seul le spectre est nécessaire. Cette méthode compare les spectres observés aux spectres synthétiques prédits par les modèles d’atmosphère, ce qui permet de déterminer, entre autres, la température effective et la gravité de surface de l’étoile. Comme la forme des raies spectrales dépend de la gravité de surface ainsi que de la temp´ e-rature effective, surtout dans le cas des naines blanches de type DA, ces deux valeurs sont facilement détermin´ees. Finalement, comme log g ∝ M/R2 _{et que T}

eff est connue, les s´

e-quences évolutives permettent d’obtenir la masse. Quelques exemples d’utilisation de cette technique sont présentés dans Bergeron et al. (1992), Liebert et al. (2005) et Gianninas et al. (2011).

Il existe donc cinq méthodes qui permettent de déterminer les paramètres atmosph´ e-riques des étoiles naines blanches. L’utilisation de l’une ou l’autre de ces techniques devrait normalement permettre d’obtenir les mêmes informations à propos d’une étoile donnée. Comme les méthodes les plus utilisées sont, sans aucun doute, celles impliquant la photo-métrie et la spectroscopie (les quatrième et cinquième techniques), cette étude se restrein-dra à celles-ci. Pour pouvoir comparer les paramètres atmosphériques obtenus à partir de ces deux techniques, il est nécessaire de se constituer deux ensembles de données, soit un photométrique et un spectroscopique.

Les différents relevés ne mesurent, en général, qu’un seul type de données. Cependant, le Sloan Digital Sky Survey (SDSS) possède des mesures photométriques et spectroscopiques pour une multitude d’objets, dont un nombre non négligeable de naines blanches. Le principal objectif du SDSS est de compléter une carte tridimensionnelle de la distribution des galaxies et des quasars dans le ciel. Le projet a débuté en 2000 avec le relevé SDSS-I (2000-2005) qui a été suivi du SDSS-II (2005-2008). À la fin de ces huit années d’opération, la carte du ciel comprenait au dessus de 930,000 galaxies et plus de 120,000 quasars, couvrant plus du quart du ciel. Le projet SDSS se poursuit maintenant avec le troisième relevé (SDSS-III ; 2008-2014) qui, en date du plus récent Data Release, le DR10, avait couvert 14,555 degrés carrés du ciel. Pour mener à bien ce projet ambitieux, un télescope de 2,5 mètres de diamètre, situé à l’Apache Point Observatory au Nouveau-Mexique, est

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Figure 1.1 : Position de toutes les naines blanches identifi´ees spectroscopiquement conte-nues dans le DR7 du SDSS (Eisenstein et al., 2006).

dédié spécialement à ce relevé.

Une caméra pouvant imager 1,5 degré carré du ciel à la fois est d’abord utilisée pour mesurer la photom´etrie des objets dans cinq bandes passantes, soit u, g, r, i et z. En-suite, à l’aide des données photométriques et d’une série de critères préétablis, certains objets sont choisis pour un suivi spectroscopique. Donc, la photométrie de tous les objets se trouvant dans le champ couvert par le relevé SDSS a été mesurée, mais le spectre de seulement certains se trouve dans les banques de données. Les spectres sont obtenus grâce `

a une paire de spectrographes spécialement construits pour ce relevé. En effet, 640 fibres optiques permettent de mesurer autant de spectres simultanément. Il peut arriver que certaines plaques soient réutilisées. Dans ce cas, les fibres optiques ne sont pas n´

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ecessai-numéro de plaque, un numéro de fibre ainsi qu’une date donnée en jour julien modifié. Le jour julien modifié correspond au jour julien auquel on a soustrait 2,400,000.5 jours ou encore au nombre de jours s’étant écoulés depuis le 17 novembre 1858, à minuit. Ainsi, deux spectres ayant le même numéro de plaque et de fibre optique, mais ayant été mesurés `

a deux moment différents ne corresponderont pas nécessairement au même objet dans le ciel.

Les cibles sont ensuite classées par priorité selon leur photométrie. Les cibles prioritaires sont, bien entendu, les galaxies et les quasars, auxquelles les fibres optiques sont d’abord assignées. Les fibres non utilisées peuvent alors être assignées à des cibles secondaires, telles les étoiles naines blanches. Le SDSS a permis de faire passer le nombre de naines blanches identifiées spectroscopiquement de 269 dans le Early Data Release à près de 20,000 en date du DR7 (voir figure 1.1), le plus récent a avoir été analysé (Kleinman et al., 2013). Cependant, comme ce sont des étoiles de faible luminosité et que les temps de pose sont fixes, le rapport signal-sur-bruit des données est généralement faible. Il existe tout de même un nombre significatif de naines blanches pour lesquelles la photométrie et le spectre sont d’assez haute qualité pour les besoins de cette étude.

Afin de pouvoir déduire les paramètres atmosphériques des naines blanches à partir des données photométriques et spectroscopiques mesurées, il est nécessaire d’avoir de bons mo-dèles d’atmosphère. Ceux-ci sont décrits en détail au chapitre 2. De plus, ce projet nécessite des échantillons de données photométriques et spectroscopiques ainsi que des techniques permettant d’en tirer les informations voulues. C’est ce qui est abordé au chapitre 3. Les chapitres 4 et 5 sont consacrés à l’étude des paramètres atmosphériques obtenus grâce aux techniques photométrique et spectroscopique, respectivement. Le chapitre 6 est ensuite consacré à la comparaison des caractéristiques obtenues à partir de ces deux techniques. Finalement, le chapitre 7 présente une méthode permettant d’obtenir un estimé de la gravité de surface d’une naine blanche seulement à partir de sa photométrie.

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CHAPITRE 2

MOD`ELES D’ATMOSPH`ERE

Les modèles d’atmosphère sont cruciaux dans la détermination des paramètres atmo-sphériques. Ils permettent, entre autres, de prédire la photométrie (voir la section 3.2.1) ainsi que la forme des raies présentes dans un spectre (voir la section 3.2.2). Pour que les modèles soient fidèles aux atmosphères réelles des naines blanches, il faut tenir compte des sources d’opacité, de la convection, ainsi que des différents mécanismes entrainant un élargissement des raies d’absorption. Les modèles d’atmosphère utilisés ici ont été d´ eve-loppés initialement par Bergeron et al. (1991a) et Bergeron et al. (1995). Ils contiennent cependant toutes les améliorations mentionnées dans Tremblay & Bergeron (2009).

2.1 Formalisme de Hummer-Mihalas

Le formalisme de Hummer-Mihalas (HM) permet de calculer les populations des diff´ e-rents états accessibles, soit des états liés de l’hydrogène, de H−, de l’hydrogène moléculaire, ainsi que des populations de protons et d’électrons libres. Connaˆıtre ces quantités permet ensuite de calculer l’opacité de l’atmosphère de fa¸con réaliste. Une description plus détaillée de ce formalisme est faite dans Bergeron et al. (1991a).

Il faut d’abord déterminer à partir de quelle énergie l’atome devient ionisé, c’est-` a-dire quel est le dernier niveau atomique lié de celui-ci. Le formalisme de HM suppose que l’électron a une certaine probabilité d’être lié à l’atome et une probabilité correspondante d’être libre, pour des conditions physiques données. Ainsi, plus l’on considère un niveau atomique élevé, plus la probabiblité que l’électron soit lié est faible. Cette proposition prend aussi en compte les interactions entre l’atome et les particules environnantes ; plus ces interactions sont nombreuses, plus la probabilité que l’électron soit libre est grande. En considérant tout cela, l’équation de Boltzmann peut s’écrire comme suit :

Nij N = wij gij Z∗exp −χij kT (2.1)

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avec Nij, la densit´e d’ions j se trouvant dans l’´etat i, Nj,la densit´e totale d’ions j, gij, le

poids statistique de la transition de i vers j, χij, le potentiel d’excitation de cette transition

et Z_j∗, la fonction de partition modifi´ee, d´efinie comme :

Z_j∗ =X i wijgijexp −χij kT (2.2) Dans cette dernière ´equation, wij est la probabilité d’occupation, normalisée à l’unité,

de l’´etat i de l’ion j. Cette quantit´e peut aussi être interprétée comme la probabilité que l’électron soit lié à l’atome. Par conséquent, la probabilité que l’électron soit libre est simplement donn´ee par 1 − wij.

Il est possible de trouver NH(n), la densit´e d’atomes d’hydrog`ene se trouvant dans

l’´etat n, en combinant l’´equation de Saha et l’´equation 2.1, ce qui donne

NH(n) = wnNpNe2n2CIT− 3 2exp χ I H n2_kT ! (2.3) Dans cette derni`ere ´equation, χI_Hest le potentiel d’ionisation et, dans le syst`eme d’uni-t´es cgs, CI = 2.07 × 10−16.

En utilisant la définition 2.1, on s’assure de la continuité de toutes les quantités phy-siques à travers les différentes couches de l’atmosphère, plus particulièrement celle de l’opacité, et la probabilité d’occupation peut être calculée comme une fonction continue de la température et de la pression. La convergence de la fonction de partition modi-fiée est garantie par la décroissance de la probabilité lorsque les niveaux plus élevés sont considérés. Aussi, les interactions avec les différents perturbateurs peuvent être traitées indépendamment. Ici, on considère deux types de perturbations : celles causées par les particules neutres et celles occasionnées par les particules chargées.

2.1.1 Particules neutres

Les étoiles utilisées pour cet ouvrage sont des naines blanches de type DA, c’est-à-dire que leur atmosphère est riche en hydrogène. Par conséquent, les particules neutres qui doivent être traitées ici sont en majorité des atomes d’hydrogène. Les interactions avec les

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particules neutres sont traitées à l’aide du modèle de sphères dures. Avec cette approche, le dernier état atomique lié est contraint par la distance entre les différentes particules. Si la densité, excluant les ´electrons, est N , la distance moyenne r0 entre chacune de ces

particules est r0 ∼ ₃ 4πN 1₃ (2.4) De plus, `a chaque niveau excit´e n est associ´e un rayon caract´eristique rn. Si ce rayon

caract´eristique est plus grand que la distance moyenne entre les particules, donc si rn >

r0, ce niveau ne peut exister. On d´efinit donc que le rayon caract´eristique d’interaction

correspond `a une fraction f du rayon atomique de l’hydrog`ene associ´e au niveau n,

rn∼ f n2a0 (2.5)

o`u a0est le rayon de Bohr classique. La valeur de f a d’abord été posée égale à l’unité, faute

de résultats expérimentaux. Cependant, il a été montr´e que poser f = 1 pr´edisait des raies de Balmer plus faibles que ce qui est observ´e dans les spectres de DA froides (6000 K < Teff < 7500 K), o`u la probabilité d’occupation est dominée par les perturbations par les

particules neutres. Si les raies de Balmer sont trop faibles dans les spectres synthétiques, cela signifie que les interactions considérées sont plus fortes dans le modèle que dans l’atmosphère réelle de l’´etoile, donc que la valeur de f est trop ´elev´ee. En effet, plus f est petit, moins la forme des raies dépend des perturbations causées par les particules neutres. ´Evidemment, poser f = 0 rend le mod`ele complètement insensible à ce type de perturbations, ce qui n’est pas réaliste. Par conséquent, il a été détermin´e que f = 0.5 est la valeur pour laquelle les modèles représentent le mieux ce qui est observé, en supposant une atmosphère pure en hydrogène et une gravité de surface égale `a log g = 8.0.

Pour trouver la contribution des particules neutres à la probabilité d’occupation, il faut utiliser le deuxième coefficient du viriel dans l’équation d’état de van der Waals. Cette contribution s’écrit alors

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wn(neutre) = exp " −4π 3 X n0 Nn0(r_n+ r_n0)3 # (2.6) La somme doit être faite sur toutes les esp`eces Nn0 ayant des états liés et toutes ces

particules ont un rayon caract´eristique rn0 qui leur est associ´e. En examinant l’´equation

2.6, on comprend que wn(neutre) représente la probabilité que d’autres particules, étant

dans l’´etat n0, se trouvent à une distance supérieure `a rn+ rn0. En de¸cà de cette distance,

l’´etat atomique n a une probabilité de e−1 d’être détruit. De plus, on remarque aussi que chaque terme de la somme est pondéré par le nombre de particules dans l’´etat n0, soit Nn0. Par conséquent, l’atome sera principalement affecté par les interactions avec

les particules les plus abondantes et les perturbations causées par les autres particules seront négligeables. Étant donné le type d’étoiles utilisées ici, les perturbations les plus importantes seront occasionnées par les atomes d’hydrogène neutres.

2.1.2 Particules charg´ees

Les interactions avec les particules chargées sont traitées différemment. Hummer & Mihalas, dans leur formalisme, proposent que la probabilité qu’un atome soit ionisé est donnée par celle qu’un champ électrique net supérieur `a Fcrit, valeur au-dessus de laquelle

l’atome est considéré ionisé, soit causé par les particules chargées à proximité.

Hummer & Mihalas utilisent la distribution de Holtsmark, W (β), pour repr´esenter la distribution des particules chargées se trouvant dans l’entourage de l’atome. On d´efinit β comme la force du champ électrique normalisé, c’est-`a-dire β = F/F0, o`u F0 = 2.5985eN2/3

est la force du champ ´electrique normal, N ´etant la densité de particules perturbatrices, et F est le champ ´electrique dû à une particule chargée sur un électron se trouvant dans un certain état excité. Par conséquent, la probabilité d’occupation des particules chargées est donnée par :

wn(charg´ee) = Q(βcrit) ≡ Z βcrit

0

W (β)dβ (2.7)

Hummer & Mihalas ont d´evelopp´e une expression semi-classique pour exprimer βcrit

(23)

(voir Hummer & Mihalas 1988 et Tremblay & Bergeron 2009) en termes de la charge du noyau perturb´e Za, de la densit´e totale d’ions (H+, He+ et He++) Nion, de l’´energie

d’ionisation χn ≡ Za2/2n2 et d’un facteur de correction quantique Kn (voir Hummer &

Mihalas 1988). Cela leur permet d’écrire la probabilité d’occupation des particules chargées comme suit : wn(charg´ee) = Q   Knχ2n 4Zaa20 _4πN e 3 −2₃ _N ion Ne 1₃   (2.8)

Dans les modèles actuels, la distribution de Holtsmark dans l’équation 2.7 est remplacée par une distribution de Hooper. Cette modification au formalise HM permet de tenir compte de l’effet d’écrantage du champ électrique de Debye.

2.1.3 Probabilit´e d’occupation

Bien entendu, dans l’atmosphère d’une naine blanche, il faut tenir compte des in-teractions à la fois avec des particules neutres et des particules chargées. La probabilité d’occupation totale du niveau excit´e n d’un atome est alors donn´ee par

wn= wn(neutre) × wn(charg´ee) (2.9)

On remarque que wn d´epend de NH(n) qui dépend elle-mˆeme de wn. Pour remédier à

ce probl`eme, les populations sont d’abord obtenues en posant wn = 1, puis l’´equation 2.3

est itérée jusqu’à ce que la quantit´e NH(n) demeure constante.

Dans le cas des DA froides, les perturbations par les particules neutres dominent en-tièrement la probabilité d’occupation. Cependant, plus la température augmente, plus la contribution des particules chargées à la probabilité d’occupation est grande. Lorsque la température atteint environ 12,000 K, ce dernier type d’interaction domine complètement, rendant les modèles insensibles à la valeur du param`etre f dans l’´equation 2.5.

(24)

2.2 Opacit´e du gaz et ´elargissement des raies

Maintenant que les populations des états liés de l’hydrogène, de protons, d’électrons, de H−, de H2, de H+2 et de H+3 sont connues, il est possible de calculer l’opacité du gaz. La

première source d’opacité à considérer est l’absorption de photons menant à une transition entre deux niveaux liés d’un atome. Pour une transition de l’´etat i `a l’´etat j, l’opacit´e κij(ν), dite li´ee-liée, s’écrit comme suit :

κij(ν)dν = Ni πe2 me wj wi fijφ(ν)dν (2.10)

avec Ni, la population de l’´etat initial i et fij, la force d’oscillateur associ´ee `a cette

transi-tion. Le facteur wj/wiest pr´esent pour tenir compte de la probabilit´e qu’un de ces niveaux

soit d´etruit lors de l’absorption du photon. De plus, φ(ν) est le profil d’´elargissement spec-tral, normalisé à l’unité, soit

φ(ν)dν = λ 2 cF0 " Z ∞ −∞ S ∆λ F0 + λ0ν F0c ! H(a, ν) √ π dν # dν (2.11)

o`u ∆λ est mesur´e depuis le centre de la raie, a = Γ/4π∆νD, avec ∆νDla largeur de Doppler

et Γ la demi-largeur de l’´elargissement naturel de la raie, et F0 = 1.25×10−9ZpN

2 3

e, le champ

´electrique lorsque l’on se trouve `a la distance moyenne entre les ions, o`u Zpest la charge des

ions. L’int´egrale entre crochets est une convolution entre une fonction de Voigt, H(a, ν), et un profil Stark pur, S (∆λ/F0), ce qui permet de tenir compte de l’´elargissement naturel

et thermique des raies. L’effet Stark est responsable du décalage, ou de la séparation, des raies dans le spectre, et celui-ci est causé par une levée de la dégénérescence des niveaux atomiques de l’hydrogène, et est occasionné par l’interaction entre les particules chargées du plasma et l’atome qui absorbe les photons. C’est le mécanisme d’élargissement des raies le plus important dans les naines blanches de type DA. On suppose ici que le champ électrique local dû aux protons est constant dans le temps et dans l’espace. Les interactions avec les électrons sont traitées avec l’approche collisionnelle. Toutefois, comme ces dernières collisions se font rapidement, les électrons se dépla¸cant à grande vitesse, il est nécessaire de les traiter à l’aide de la mécanique quantique afin de tenir compte de la

(25)

structure interne de l’atome d’hydrogène. On peut ainsi écrire le profil Stark pur comme suit : S ∆λ F0 ! = Rβcrit 0 P (β) I ∆λ F0, β dβ Rβcrit 0 P (β)dβ (2.12) o`u P (β) est la distribution de probabilité et I (∆λ/F0, β) est le profil d’élargissement

´electronique. Cette formulation permet de combiner le formalisme de HM ainsi que l’effet Stark de fa¸con coh´erente. Une description plus en profondeur de l’effet Stark est faite dans Tremblay & Bergeron (2009).

L’équation 2.11 donne les profils d’élargissement des raies induites par les collisions électroniques. Cependant, les ailes de ces raies s’étendent jusqu’`a l’infini en termes de ∆ν, alors que l’influence des électrons ne devrait gu`ere se faire sentir plus loin que νc. Une

correction est alors appliquée aux profils afin que ceux-ci soient diminu´es d’un facteur e−1 lorsque ∆ν = νc− ν0, ν0 étant la fr´equence centrale de la transition et νc est la fréquence

de coupure : φ0(ν) = φ(ν)e −|ν−ν0|/νc R∞ 0 φ(ν)e−|ν−ν0|/νcdν (2.13) La deuxième source d’opacité à considérer est l’absorption de photons menant à une transition d’un état lié de l’atome vers un niveau ayant été détruit par les interactions avec les particules environnantes. Cette transition mène alors à l’ionisation de l’atome. On appelle ce type d’opacité liée-libre, ou pseudo-continue. On considère ici l’absorption d’un photon d’´energie hν à partir du niveau i. Cette absorption engendre une transition vers le niveau fictif n∗, supérieur `a i. Ce niveau s’exprime comme :

n∗ = 1 n2 i −hν χI !−1 2 (2.14) L’opacité liée-libre s’écrit alors

κi(ν)dν = Ni 1 − wn∗ wi 64π4m ee10 3√3ch6 gbf,i(ν) n5 iν3 dν (2.15)

(26)

pour ν < νc. Dans cette derni`ere ´equation, gbf,i est le poids statistique de cette transition.

Bien que l’effet Stark soit la première cause d’élargissement des raies dans le spectre d’une naine blanche de type DA, il y a d’autres mécanismes dont il faut tenir compte. Par exemple, le deuxième en importance est causé par les interactions avec les atomes d’hydrogène neutres. L’impact de ces interactions est important surtout pour les étoiles ayant de basses températures effectives et elles affectent surtout les transitions impli-quant un niveau atomique supérieur de nombre quantique principal peu élevé. Pour les raies de Balmer, cet effet est important lorsque la température effective est plus basse que ∼ 10, 000 K. Dans ce cas, il faut consid´erer l’élargissement dû à la résonance et aux processus non résonants (Hammond et al., 1991). Ce type d’élargissement est habituelle-ment additionné à l’élargissement naturel puisqu’il s’agit d’un profil de Lorentz. La liste complète des sources d’opacité et des mécanismes d’élargissement traités dans les modèles d’atmosphère se trouve dans le tableau 2.I (voir aussi le tableau 1 de Tremblay & Bergeron 2009).

Tableau 2.I : Liste des sources d’opacité incluses dans les modèles d’atmosphère Source d’opacité Type d’opacité Populations

H li´ee-li´ee, effet Stark (H-H+,H-e−) Ni(H)

H liée-liée, quasi-moléculaire (H-H,H-H+₎ _{N (H)}

H li´ee-li´ee, particules neutres (H-H) Ni(H)

H li´ee-libre (pseudo-continue) Ni(H)

H libre-libre NeN (H+) H2 libre-libre NeN (H+2) H3 libre-libre NeN (H+3) H− li´ee-libre N (H−) H− libre-libre NeN (H) H+₂ li´ee-libre N (H+₂) H+₂ libre-libre N (H)N (H+₎ H−₂ libre-libre NeN (H2)

H-H2 absorption engendr´ee par collision N (H)N (H2)

H2-H2 absorption engendr´ee par collision N (H2)N (H2)

H diffusion Rayleigh N (H)

H2 diffusion Rayleigh N (H2)

e− diffusion Thomson Ne

(27)

2.3 Effets hors ´equilibre thermodynamique local

Il existe deux modes de transport d’énergie dans les naines blanches, selon la temp´ e-rature effective. Lorsque l’étoile est froide, l’atmosphère est convective et lorsque celle-ci est chaude, on est dans un environnement complètement radiatif. De plus, à haute tem-pérature, les effets hors ETL deviennent importants. Il est donc nécessaire d’utiliser un code permettant de bien modéliser les effets hors ETL. Cependant, bien qu’il en existe quelques-uns, ces codes ne peuvent traiter correctement à la fois la convection et les effets hors ETL. Ce problème est discuté à la section 2.2 de Liebert et al. (2005).

Afin de palier à ce problème, deux grilles de modèles seront utilisées. La première, quand Teff ≤ 30, 000 K, est calculée en faisant l’approximation de l’équilibre thermodynamique

local (ETL). Cette approximation est valide aux basses temp´eratures, car les effets hors ETL ne deviennent importants qu’autour de Teff ∼ 40, 000 K. De plus, ces mod`eles utilisent

la théorie de la longueur de m´elange (mixing-length theory, ML2/α = 0.7) pour traiter la convection, qui devient importante à des températures inférieures `a ∼ 15, 000 K. Pour Teff > 30, 000 K, on utilise la deuxi`eme grille de modèles basée sur le code de modèles

d’atmosph`ere TLUSTY, qui tient compte explicitement des effets hors ETL.

En combinant ces deux grilles, on obtient des mod`eles d’atmosph`ere dont la temp´ era-ture se situe entre 1500 K ≤ Teff < 120, 000 K. La grille est divis´ee comme suit : 1500 K

(250 K) 5500 K (500 K) 17,000 K et 20,000 K (5000 K) 90,000 K (10,000 K) 120,000 K, où les nombres entre parenthèses représentent l’intervalle de température séparant les diff´ e-rents modèles. En plus de couvrir cet intervalle en température, la grille complète contient des modèles pour les naines blanches ayant une gravit´e de surface entre 6.0 ≤ log g ≤ 9.5, par bonds de 0.25 dex.

(28)

CHAPITRE 3

M´ETHODOLOGIE

La première étape pour mener à terme ce projet est de se définir un échantillon signi-ficatif. Comme le projet a pour but de comparer les paramètres atmosphériques d’étoiles naines blanches déterminés à l’aide de la technique spectroscopique à ceux déterminés à l’aide de la technique photométrique, deux ensembles de données seront nécessaires ici, soit un échantillon photométrique et un échantillon spectroscopique. La définition de ces ensembles de données est faite à la section 3.1. Les techniques photométrique et spectro-scopique, qui seront utilisées pour déterminer les paramètres atmosphériques de tous les objets composants les échantillons, sont décrites à la section 3.2.

3.1 Echantillons´

Les naines blanches les mieux modélisées et les mieux comprises sont celles dont le spectre présente des raies d’hydrogène, que l’on appelle DA. De plus, ce sont aussi les naines blanches les plus nombreuses. Donc, c’est exclusivement avec ce type d’étoile que les analyses seront accomplies.

3.1.1 Echantillon photom´´ etrique

Les banques de données du SDSS ne contiennent évidemment pas que des naines blanches. Cependant, Kleinman et al. (2013) ont créé un catalogue de toutes les naines blanches confirmées spectroscopiquement à partir des données tirées du Data Release 7 (DR7) du SDSS. Ainsi, l’échantillon photométrique sera basé sur ce catalogue. Le SDSS DR7 White Dwarf Catalog contient 19,713 naines blanches de tout type. De ce nombre, 12,831 sont des DA, c’est-à-dire dont le spectre montre des raies d’hydrogène. Il est à noter ici que les naines blanches montrant un sous-type, par exemple DAB, DAO, etc., ont été mises de côté. Finalement, comme il s’agit de données qui ont été mesurées et qu’on veut s’assurer de la qualité de celles-ci, l’échantillon sera limité aux étoiles pour lesquelles le

(29)

signal-sur-bruit en bande g est sup´erieur ou ´egal `a 25.

L’échantillon photométrique est donc constitué de 1493 ensembles de photométrie ugriz, ce qui repr´esente 1375 naines blanches de type DA, certaines étoiles ayant été observées à plus d’une reprise.

3.1.2 Echantillons spectroscopiques´

Contrairement aux données photométriques, qui ne proviennent que du SDSS, les don-nées spectroscopiques sont tirées de deux sources différentes. On divisera donc les spectres en deux échantillons distincts : l’échantillion spectroscopique du SDSS et celui de Gianni-nas.

3.1.2.1 Echantillon spectroscopique du SDSS´

Tel que mentionné à la section 3.1.1, chacune des naines blanches du catalogue de Kleinman et al. (2013) a été confirmée spectroscopiquement. Par conséquent, chacune des 1375 étoiles de l’échantillon photométrique possède non seulement des données photom´ e-triques, mais aussi spectroscopiques mesurées par le SDSS. L’échantillon spectroscopique du SDSS est donc composé des mêmes objets que l’échantillon photométrique. Les infor-mations nécessaires à l’obtention du spectre d’un objet, c’est-à-dire le numéro de plaque, le numéro de fibre optique ainsi que la date de la séance d’observation (voir le chapitre 1) sont présentes dans Kleinman et al. (2013).

Tous les spectres de l’´echantillon spectroscopique du SDSS proviennent du SDSS Data Archive Server1_{, ou DAS, qui contient toutes les donn´}_{ees spectroscopiques ayant ´}_et´_e

me-surées jusqu’au DR7. L’algorithme de réduction des données a été amélioré pour le DR7 et toutes les données, mêmes celles provenant de catalogues précédents, ont été re-réduites `

a l’aide de cette version. Chaque spectre couvre les longueurs d’onde entre 3800 ˚A et 9200 ˚A avec une résolution de 3 ˚A (pleine largeur à mi-hauteur). Une description de cet algorithme amélioré de réduction de données est disponible sur le site internet du SDSS2.

1_{http ://das.sdss.org/spectro/}

(30)

3.1.2.2 Echantillon de Gianninas´

L’échantillon de Gianninas et al. (2011) est composé de 1150 naines blanches de type DA, y compris celles présentant un sous-type tel les DAB, DAO, DA+dM, etc., tirées du catalogue de McCook & Sion (2013). Il s’agit des ´etoiles les plus brillantes (V ≤ 17.5). Un spectre à haut signal-sur-bruit a été mesuré pour chacun des objets composant cet échantillon, c’est-`a-dire S/B ∼ 70. L’acquisition de ces spectres s’est effectu´ee à plusieurs sites différents sur une période d’environ 20 ans. Par conséquent, la résolution diffère d’un spectre à l’autre, et varie entre ∼3 ˚A et 9 ˚A (pleine largeur à mi-hauteur). Aussi, la plage de longeurs d’onde couverte n’est pas exactement la même pour tous les objets. Une description plus détaillée de l’acquisition des spectres, comprenant les sites d’observations, les résolutions spectrales ainsi que les longueurs d’onde couvertes, est disponible à la section 2 de Gianninas et al. (2011). Aucune photométrie n’a été mesurée pour ces étoiles dans le cadre de l’étude de Gianninas et al. (2011).

3.1.3 Echantillons communs de SDSS et Gianninas´

Le but de ce travail est de comparer les informations tirées de la photométrie à celles ob-tenues de la spectroscopie. Par conséquent, il sera nécessaire d’avoir un ensemble d’étoiles pour lesquelles on possède à la fois de la photométrie et un spectre. Comme les ´ echan-tillons photométriques et spectroscopiques du SDSS sont composés des mêmes objets, la combinaison des deux définira dans ce qui suit l’échantillon commun du SDSS.

Dans le cadre de leur étude, Gianninas et al. (2011) n’avaient pas mesuré la photométrie de leurs étoiles. Cependant, il se trouve que certaines naines blanches de leur échantillon ont été observées photométriquement par le SDSS. Celui-ci ne couvre pas tout le ciel, mais seulement certaines régions (voir la figure 1.1), par conséquent ce ne sont pas toutes les étoiles de l’échantillon de Gianninas qui ont été observées. Il est alors nécessaire de faire le tri dans cette liste d’objets afin de trouver lesquels sont contenus dans les banques de données du SDSS. De plus, l’échantillon sera ici limité aux étoiles dont la température se situe entre 7000 K < Teff < 40, 000 K, car `a l’extérieur de cet intervalle, la technique

spectroscopique devient moins efficace et moins pr´ecise (voir la section 3.2.2). Apr`es ce

(31)

premier tri, il faut déterminer si l’étoile d’intérêt se trouve ou non dans le champ du SDSS. Il existe un outil, le Coverage Check3_{, qui permet d’obtenir cette information. Il suffit d’y}

entrer la liste des positions des objets de l’échantillon, préalablement obtenues grâce à Simbad4_{. Si l’´}_{etoile est bel et bien dans le champ du SDSS, on obtient de l’information sur}

la séance d’observation de cette région, comme le numéro des plaques utilisées ou la date de la prise de données. Si aucune donnée photométrique n’est disponible, le résultat de la recherche est simplement no. On se retrouve alors avec une liste de naines blanches dont le spectre provient de Gianninas et al. (2011) et pour lesquelles il existe de la photométrie ugriz. Il est `a noter que seulement certaines de ces étoiles possèdent également un spectre SDSS.

Lorsque l’on a déterminé quelles naines blanches sont présentes dans les banques de données photométriques du SDSS, on utilise les cartes de référence du White Dwarf Catalog de McCook & Sion (2013) et celles du SDSS5 _{pour obtenir la position de l’objet dans les}

donn´ees de ce dernier. On peut ensuite se servir d’un autre outil de recherche, soit le Imaging Query6_{, dans lequel on ins`}_{ere la liste des positions trouv´}_{ees `}_{a l’aide des cartes de}

référence, et ainsi obtenir la photom´etrie ugriz des astres composant l’´echantillon. Si la spectroscopie est aussi disponible, l’outil fournira aussi le numéro de la plaque, de la fibre optique ainsi que la date à laquelle la prise de données a été faite.

Faire une recherche dans les banques de données du SDSS directement à l’aide des positions obtenues de Simbad amène beaucoup de mauvaises correspondances. En effet, le module de recherche Imaging Query retourne l’objet le plus près de la position demandée. Cependant, les naines blanches sont des objets ayant de grands mouvements propres, donc elles se déplacent beaucoup. Par conséquent, il est fort probable que le résultat de la recherche ne corresponde pas à l’étoile d’intérêt, surtout si la région contient de nombreux objets. Il est possible d’enlever les mauvaises correspondances en comparant les spectres obtenus à ceux de Gianninas, mais pour cela il faut laisser tomber les étoiles dont seule la photométrie a été mesurée et cela réduit beaucoup la liste d’objets. Il est donc plus

3_{http ://dr10.mirror.sdss3.org/coverageCheck/search} 4_{http ://simbad.u-strasbg.fr/simbad/}

5_{http ://skyserver.sdss3.org/dr10/en/tools/chart/navi.aspx} 6

(32)

judicieux d’utiliser les cartes de références pour construire l’échantillon le plus significatif possible.

Après avoir effectué toutes ces étapes, 561 étoiles de l’échantillon de Gianninas se trouvent à posséder aussi de la photom´etrie ugriz. Ceci d´efinira dans le reste de cette analyse l’échantillon commun de Gianninas. Finalement, 200 de ces étoiles ont aussi un spectre mesuré par le SDSS ; on fera référence à ces naines blanches comme l’échantillon spectroscopique commun. Il est à noter ici que certaines données peuvent provenir d’un Data Release ultérieur au DR7, les banques contenant tout ce qui a été mesuré jusqu’au DR10 inclusivement.

3.2 Détermination des paramètres atmosphériques

Les données spectroscopiques et photométriques permettent de déterminer les para-mètres fondamentaux d’une étoile. On peut ainsi déterminer sa température effective, sa gravité de surface, sa composition, sa distance par rapport à nous, etc. La présente sec-tion décrit les méthodes photométrique et spectroscopique utilisées afin de déterminer ces paramètres.

3.2.1 Technique photom´etrique

La photométrie permet notamment de déterminer la température effective, et, dans une certaine mesure, la gravité de surface des étoiles de notre échantillon. Cette technique a d’abord été développée par Bergeron et al. (1997). Pour déterminer ces paramètres, il faut comparer la photométrie observée à celle prédite par les modèles d’atmosphère. La première étape consiste à convertir les magnitudes observées en flux moyen. La photométrie ugriz est bas´ee sur le système de magnitude AB95, on utilise donc l’équation de conversion

suivante :

mν = −2.5 log (fνm) − 48.60 (3.1)

o`u mν est la magnitude AB pour une fr´equence effective ν et

(33)

f_νm = R∞ 0 Sνfνd[log(ν)] R∞ 0 Sνd[log(ν)] (3.2) Dans cette derni`ere ´equation, Sν est la fonction de transmission de la bande-passante et fν

est le flux observé. Les fonctions de transmissions utilisées ici sont celles déterminées par Doi et al. (2010) et montrées à la figure 3.1. Bien que la photométrie du SDSS soit basée sur le système AB95, elle n’y est pas tout à fait conforme. En effet, il faut appliquer les

corrections suivantes aux magnitudes observées, tel que mentionné dans Eisenstein et al. (2006), afin de pouvoir les comparer aux modèles :

uAB= uSDSS− 0.040 (3.3)

gAB= gSDSS (3.4)

rAB= rSDSS (3.5)

iAB= iSDSS+ 0.015 (3.6)

zAB= zSDSS+ 0.030 (3.7)

Les mod`eles d’atmosph`ere donnent le flux d’Eddington (Hν) en fonction de la fr´equence.

On peut obtenir le flux d’Eddington moyen (Hm

ν ) pour une bande-passante en rempla¸cant

fν par Hν dans l’´equation 3.2. On peut ensuite comparer ces deux flux moyens, en sachant

que f_λm = 4π _R D 2 H_λm (3.8)

o`u D est la distance de l’´etoile `a la Terre et R est son rayon. On utilise ici une m´ethode de minimisation du χ2_{, d´}_{efini comme la diff´}_{erence entre les flux th´}_{eoriques et les flux}

observés, pondérée par l’incertitude sur ces derniers. Cette minimisation est faite selon la méthode de Levenberg-Marquardt (Press et al., 1992). En général, on ne laisse que deux paramètres libres, soient la temp´erature effective, Teff et l’angle solide, π (R/D)2. Lorsque

(34)

Figure 3.1 : Courbes de transmission pour les cinq bandes-passantes (u, g, r, i et z) du SDSS, telles que mesur´ees par Doi et al. (2010).

de la temp´erature effective et de l’angle solide en supposant log g = 8.0 comme gravit´e de surface, ce qui nous permet de calculer le rayon. Avec cette valeur, on peut alors déterminer la masse de la naine blanche à l’aide de modèles évolutifs. Ceux-ci sont semblables à ceux décrits dans Fontaine et al. (2001), à la différence que le coeur des naines blanches sont constitués de carbone et d’oxyg`ene et q(He) ≡ log(MHe/Métoile) = 10−2 et q(H) = 10−4,

valeurs représentatives pour une atmosphère riche en hydrogène. Cette grille de modèles couvre les naines blanches ayant des masses entre 0.2 Met 1.3 M, par bonds de 0.1 M

pour M < 0.9 M, puis par bonds de 0.05 M jusqu’`a 1.3 M. Ainsi, il est possible de

connaˆıtre l’évolution de plusieurs paramètres de la naine blanche, la température effective et la gravité de surface par exemple, entre le début de leur vie de naine blanche jusqu’à l’âge de 2 × 1010 _ann´_ees.

Connaissant maintenant la masse et le rayon de notre ´etoile, il est possible de calculer sa gravit´e de surface :

g = GM

R2 (3.9)

o`u G est la constante gravitationnelle. En g´enéral, la gravité de surface ainsi calculée ne concordera pas avec notre supposition initiale. Il s’agit ici de procéder par itération jusqu’à

(35)

ce qu’il y ait cohérence entre ces deux valeurs. Si la parallaxe trigonométrique de l’étoile est inconnue, on suppose simplement que la gravit´e de surface est de log g = 8.0, valeur moyenne pour les naines blanches. La figure 3.2 présente quelques exemples de résultats obtenus lorsque l’on utilise la technique photométrique. Cette figure montre de bons et de mauvais résultats. Évidemment, ces derniers devront être retirés des analyses. Le tri des données est effectué au chapitre 4.

3.2.2 Technique spectroscopique

Il est aussi possible de déterminer la température effective et la gravité de surface d’une étoile grâce à son spectre. La technique spectroscopique a été développée par Bergeron et al. (1992). Elle a ensuite été améliorée par Bergeron et al. (1995) et Liebert et al. (2005).

Afin de déterminer la température et la gravité de surface d’une étoile, on doit comparer le spectre de celle-ci aux spectres synthétiques. La première étape est de normaliser le flux d’une raie, autant pour le spectre observé que synthétique. À cette étape, chaque raie est traitée indépendamment. Pour ce faire, on se positionne à une certaine distance, fixe par rapport au centre de la raie, et on normalise le spectre continu à l’unité. Afin de pouvoir comparer les données spectroscopiques aux modèles, ces derniers sont convolués avec un profil instrumental gaussien (3, 6 ou 9 ˚A, selon la résolution du spectre). La comparaison se fait donc seulement en fonction de la forme de la raie.

Définir le spectre continu n’est pas une tâche facile. Deux approches sont possibles. La première est utilisée lorsque la température effective de l’étoile se trouve dans l’intervalle 9000 K ≤ Teff ≤ 16, 000 K o`u les raies de Balmer sont très fortes. On utilisera alors une

somme de profils pseudo-Gaussiens, ce qui est une bonne approximation. La deuxième approche est utilisée lorsque la température effective de l’étoile se trouve à l’extérieur de cet intervalle. En effet, lorsque Teff ≥ 16, 000 K ou Teff ≤ 9000 K, cette méthode devient

instable, car les raies disparaissent ou le spectre continu devient linéaire. On utilisera alors les spectres synthétiques afin de reproduire celui qui est observé, en incluant un point zéro, un décalage en longueur d’onde ainsi que des termes jusqu’`a l’orde λ6_{. Pour s’assurer que}

(36)

de Levenberg-Marquart. Après avoir défini le continu, on a une courbe très lisse qui suit le spectre observé (haut de la figure 3.3). La température effective déterminée à l’aide de la photométrie est utilisée comme point de départ dans cette méthode par itération. On obtient ainsi les valeurs de gravité et de température recherchées. Le résultat final est montré dans la partie du bas de la figure 3.3. La figure 3.4 présente quelques exemples de résultats de la technique spectroscopiques. Tout comme pour la figure 3.2, des exemples de bons (3 premières rangées) et de mauvais (dernière rangée) résultats sont montrés. Il ne faut évidemment pas tenir compte des spectres problématiques dans les analyses, ceux-ci sont donc tout simplement retirés des échantillons.

La technique spectroscopique est surtout efficace lorsque la temp´erature effective de l’´etoile se situe dans l’intervalle 7000 K < Teff < 40, 000 K. `A l’ext´erieur de cet intervalle,

les mod`eles deviennent moins sensibles.

(37)

Figure 3.2 : Exemples de résultats obtenus par la technique photométrique. Dans la partie de gauche, la photométrie observée est représentée par les barres d’erreur et la photométrie prédite est représentée par les points noirs. On y retrouve aussi la température effective, le χ2_{, la gravit´}_{e de surface (ici suppos´}_{ee `}_{a log g = 8.0) de l’´}_{etoile. La partie de droite}

montre la forme de la raie Hα que montrerait le spectre d’une naine blanche DA `a cette temp´erature (courbe rouge), ce qui permet la comparer avec le spectre mesur´e (coubre noire), si celui-ci existe.

(38)

Figure 3.2 : Exemples de r´esultats (suite)

(39)

(40)

Figure 3.3 : Exemple de résultat de la technique spectroscopique pour l’objet SDSS J000034.06-052922.4. La partie supérieure montre la délimitation de chacune des raies ainsi que la définition du spectre continu. La partie inférieure gauche montre le résultat de la minimisation pour chacune des raies individuellement (décalées arbitrairement pour plus de clarté) et la droite montre le spectre observé (noir) et le spectre synthétique qu’aurait une étoile de température et de gravité de surface telles que déterminées par la minimisation (rouge). Les spectres observé et synthétique sont normalisés à l’unité à 4600 ˚

A.

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Figure 3.4 : Exemples de résultats de la technique spectroscopique. Le spectre observé est en noir et la courbe rouge représente la solution obtenue apr`es la minimisation du χ2, pour chacune des raies individuellement. Celles-ci ont été décalées verticalement pour plus de clarté.

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CHAPITRE 4

ANALYSE PHOTOM´ETRIQUE

La photométrie est très utile pour la détermination des paramètres atmosphériques des naines blanches. Ce que l’on cherche à déterminer, c’est si la technique photométrique et la technique spectroscopique permettent de tirer les mêmes informations à propos d’un objet. Il est donc important que les données photométriques soient de bonne qualité. Ce point sera abordé à la section 4.1. De plus, le SDSS est un projet à long terme et les filtres ugriz utilis´es ont changé avec le temps. Ce fait est discuté aux sections 4.2 et 4.3. Ensuite, comme la parallaxe trigonométrique des étoiles de l’échantillon photométrique n’a pas été mesurée, la gravité de surface de chaque objet sera supposée égale `a log g = 8.0. L’impact de cette suppositon est décrit à la section 4.4. Finalement, la calibration de la photométrie sera testée à la section 4.5.

4.1 Crit`eres de s´election

La technique photométrique utilise, dans ce cas-ci, la photom´etrie ugriz afin de ca-ractériser l’atmosphère des objets d’intérêt. Les données photométriques ont toutes été mesurées par le SDSS et, comme pour toute série de données expérimentales, il existe des mesures aberrantes (voir la dernière rangée de la figure 3.2). On ne veut évidemment pas tenir compte de ces dernières lors des analyses, il est donc important de définir un critère permettant d’éliminer les étoiles pour lesquelles la photométrie n’a pas été mesurée de fa¸con satisfaisante.

Un premier critère de sélection a déjà été appliqué à l’échantillon photométrique (voir la section 3.1.1). Dans le cadre du SDSS, le ciel est imagé 1.5 deg2 _`_{a la fois, donc le temps}

de pose est le même pour tous les objets observés, qu’ils soient brillants ou non. Or, moins un objet est brillant, plus le temps de pose doit être long pour que le rapport signal-sur-bruit (S/B) de la mesure soit ´elevé. L’échantillon photométrique a donc été limité aux naines blanches DA pour lesquelles le S/B en bande g est sup´erieur à 25. Cependant, ce

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Figure 4.1 : Histogramme des valeurs de χ2 _{obtenues par la technique photom´}_etrique

pour les étoiles de l’échantillon photométrique en utilisant la photométrie des cinq bandes passantes et en supposant log g = 8, 0. Pour certaines étoiles, χ2 _{> 30, celles-ci n’´}_{etant pas}

montr´ees sur cette figure.

critère ne semble pas suffisant et ne permet pas d’éliminer toutes les mauvaises mesures de l’échantillon.

La technique photom´etrique est bas´ee sur une m´ethode de minimisation du χ2 _(voir

la section 3.2.1), on peut donc se servir de cette valeur de χ2 _{pour ´}_{eliminer les ´}_etoiles

pour lesquelles la photométrie n’a pas été mesurée de fa¸con ad´equate. En effet, plus le χ2

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l’inverse, si la photom´etrie de l’objet est aberrante, on obtiendra une valeur de χ2 _assez

´elev´ee. Il est donc possible de d´eterminer une valeur χ2

crit au-del`a de laquelle les objets ne

seront plus considérés dans les analyses. On s’assure ainsi que les résultats se seront pas biaisés par les données aberrantes. La figure 4.1 présente un histogramme des valeurs de χ2 _{obtenues par la technique photom´}_etrique.

La figure 4.1 montre que, pour la plupart des étoiles de l’échantillon photométrique, le χ2 _{obtenu est assez faible, donc la technique photom´}_{etrique permet d’obtenir un tr`}_es

bon accord entre la photométrie synthétique prédite par les modèles d’atmosphère et la photométrie observée. Cependant, il existe un nombre non négligeable de naines blanches pour lesquelles la minimisation du χ2 _{ne se fait pas de fa¸con satisfaisante. En observant}

les r´esultats de la technique photom´etrique et la valeur du χ2 _{correspondante (voir figure}

3.2), on peut conclure qu’en retirant les ´etoiles pour lesquelles χ2 _{> 4.0, cela permet de ne}

garder que celles pour lesquelles l’accord entre les modèles et les données photométriques est acceptable. On d´efinira donc χ2

crit = 4.0. Pour l’´echantillon photom´etrique, des 1493

ensembles de photom´etrie, 1209 ont un χ2 _{≤ χ}2

crit et 284 ont χ2 > χ2crit et, sauf avis

contraire, ces derniers seront ´ecart´es des analyses.

4.2 Les cinq filtres ugriz

Tel que mentionné plus haut, le SDSS utilise un système de photométrie en cinq bandes, soit u, g, r, i et z. Chaque bande couvre une partie distincte du spectre ´electromagnétique, soit l’ultraviolet, le vert, le rouge, le proche infrarouge et l’infrarouge moyen, respective-ment. Les courbes de transmission de ces cinq filtres ont été mesurées avant leur installation dans la caméra. Une fois installées, les couches interférentielles appliquées sur les filtres, qui définissent la longueur d’onde de coupure du côté rouge de chaque bande passante, sont exposées au vide de la caméra. Avec le temps, cela a eu pour effet de les déshydrater, décalant ainsi vers le bleu les longueurs d’onde de coupure de chacun des filtres (Fan et al., 2001). Les courbes de transmission des cinq filtres ont alors été mesurées à nouveau par Jim Gunn, en 2001. Ces courbes sont disponibles via le site du SDSS1_{. Plus r´}_ecemment,

1_{http ://www.sdss3.org/instruments/camera.php}

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Figure 4.2 : Courbes de transmission des cinq bandes passantes du SDSS telles que déterminées par Doi et al. (2010) et par Gunn en 2001, incluant l’extinction due à une masse d’air de 1.3. La courbe de transmission de chacune des bandes passantes a été normalisée à l’unité. Les courbes de Gunn ne montrent pas la réponse complète du système. Doi et al. (2010) ont publié un autre estimé de ces courbes en utilisant plus de données et une période de temps plus longue. La figure 4.2 compare les courbes de transmission mesurées en 2001 par Gunn à celles mesurées en 2010 par Doi et al. Bien que ce ne soit pas ´evident sur la figure 4.2, le filtre u est celui ayant le plus chang´e entre son installation et aujourd’hui. La section 4.3 est consacrée exclusivement à l’étude de ce filtre. De plus, les courbes de Gunn ne présentent pas la réponse complète du système, de l’atmopshère jusqu’au détecteur. Cependant, comme ce sont ces courbes qui étaient utilisées avant que celles de Doi et al. (2010) ne soient disponibles, il est important de comparer les résultats obtenus en utilisant chacun des ensembles de courbes.

Afin de déterminer si le changement des bandes passantes affecte le résultat de la technique photométrique, la température effective de toutes les étoiles de l’échantillon photométrique a été déterminée deux fois : la première en utilisant les courbes de