presentation

Modèle déterministe:

système

Problématique: lièvres et lynx

au Canada

Construction d’un modèle

mathématique

Notations: i_n nombre de lièvres et y_n nombre de lynx de l’année n.

Sans interaction des deux espèces:

i_n+1=(1+a)i_n et y_n+1=(1d)y_n.

Avec interaction des deux espèces:

Points d’équilibre

Populations constantes de lièvres et de lynx: Avec , on a:

Deux points d’équilibre: O (0,0) et



Simulation au tableur

Obtention:

•des valeurs de i_n et y_n avec possibilité de

« réglage » des paramètres i₀, y₀, a, b, c et d ; •des nuages de points de coordonnées (n , i_n) et (n , y_n) ;

Simulation au tableur

Exploitation pour :

•mettre en évidence l’allure et la « périodicité » des solutions ;

•mettre en évidence le point d’équilibre non trivial



•répondre à des problématiques de gestion de populations animales dans un système proie-prédateur.

Système linéarisé au voisinage

du point d’équilibre



:

pourquoi ?

Utilité en terme écologique;

Connaissance explicite des deux populations du système au cours du temps.

Système linéarisé : l’obtention

On pose: i_n=u_n+d/c et y_n=v_n+a/b avec u_n0 et v_n0.

Avec , on a:

donc, en négligeant les termes d’ordre 2,            n n n n n n n n y ci y d y y bi i a i ) 1 ( ) 1 ( 1 1 , 1 1              n n n n n n n n n n v cu v u b ca v v bu v c bd u u . 1 1            n n n n n n v u b ca v v c bd u u

Système linéarisé: l’obtention

Écriture matricielle du système :

           n n n n n n v u b ca v v c bd u u 1 1 . 1 1 et avec 1           _           b ca c bd A v u X AX X n n n n n

Système linéarisé: l’exploitation

Deux systèmes possibles à choisir selon les objectifs: •Système: •Système: . 1 1 et avec 1           _           b ca c bd A v u X AX X n n n n n . et avec 1                       b ad c ad C y i T C AT T n n n n n

Système linéarisé: une explication

De , on a d’où

De même:

D’où l’allure des courbes précédentes au voisinage du point d’équilibre



           n n n n n n v u b ca v v c bd u u 1 1 0 ) 1 ( 2 ₁ 2       n n n u ad u u  cos sin , , . 1 ad A n B n Aet B R u_n   n       'cos 'sin , , ' ' . 1 ad A n B n A et B R v_n   n     

Des idées de prolongement

Étude d’une perturbation dans le système discret: influence de la pêche dans le

système sardines-requins en Adriatique.

Mise en place et exploitation d’algorithmes dans l’étude du système discret.

Exploitation du modèle continu (système d’équations différentielles).