Analyse partie 02 / 4e_niveau avancé  / 20-21

ANALYSE

PARTIE 02

4

ème

_année

1.4 Équations différentielles *

1

1.4.1 Introduction *

1

1.4.2 Résolution d’équations différentielles

du 1

er

ordre *

3

1.4.3 Interprétation géométrique des équations

différentielles *

9

1.4.4 Applications aux sciences expérimentales *

12

1.5 Séries entières et formule de Taylor *

18

1.5.1 Rappels sur les suites et séries *

18

1.5.2 Séries entières *

21

1.5.3 Formule de Taylor *

23

AVANT-PROPOS

 Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de

Genève en quatrième année, en analyse. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres

filières d’enseignement.

 Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices.

 La théorie et les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont destinés aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2).

 Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré

blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.

 Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer à la section : « Ce qu’il faut absolument savoir ».

 Des QR CODES apparaissent à certains endroits du cours. Une fois scannés avec vos smartphones, ils donnent (aux personnes ayant un compte EDUGE) accès à la lecture de vidéos dont le contenu est en lien avec certains sujets du cours.

 Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione

 Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

1.4 Équations différentielles *

1.4.1 Introduction *

Définitions *

i) Une équation différentielle est une équation qui met en relation une variable x, une fonction f x et ses dérivées successives

( )

f ' x , f '' x , f

( )

( )

( 3 )

( )

x ,etc.

Exemples *

a) f '(x) = x b) f ''(x) + f (x)= 0

que l’on écrit traditionnellement : a) y' = x b) y'' y = 0+

On note donc y= f ( x ) ; y'= f '( x ) ; y'' = f ''( x ) ; y( 3 ) = f( 3 )( x ) ; ...., ce qui permet de considérer y comme une fonction de x.

ii) L’ordre d’une équation différentielle est celui de la dérivée la plus élevée apparaissant dans l’équation. Dans les exemples précédents, la première équation est d’ordre 1, la seconde d’ordre 2.

iii) Une solution d’une équation différentielle est une fonction y = f x

( )

qui satisfait l’équation. La fonction

2

x y

2

= , par exemple, est une solution de l’équation différentielle a) y' =x. En effet : ' 2 x x x x ok ! 2   = ⇒ =    

iv) Résoudre une équation différentielle, c'est trouver l'ensemble de toutes les fonctionsy= f x

( )

qui satisfont cette équation. Cet ensemble est appelé solution générale de l'équation différentielle. Si nous reprenons, par exemple, l'équation différentielle y' =x,

nous avons vu que y = x2/2 est une solution particulière de cette équation. Nous pouvons

remarquer que y = x2/2 +1 est une autre solution particulière et que, plus généralement, toute

fonction de la forme y=x / 2 C2 + , où C est une constante arbitraire, est une solution de cette

équation différentielle.

Les fonctions y= x / 2 C2 + avec C∈ forment donc la solution générale de l'équation

différentielle y' = ; la solution générale contient une infinité de fonctions. x

Une solution particulière peut être obtenue à partir de la solution générale lorsque dans le problème apparaît des contraintes supplémentaires, appelées conditions initiales, qui vont fixer les valeurs des constantes.

Cherchons par exemple la solution particulière de l'équation y' = telle que y(0) = 2 : x

y(0) = 0 /2 + C =2 2 ⇒ C =2

La solution particulière de l'équationy' = telle que x y 0

( )

= est donc2 y= x / 22 + . 2

Exemple de la physique * (loi du mouvement de Newton)

Au voisinage de la surface de la Terre, le mouvement d’un objet de masse m, (en négligeant les frottements) est régi par l’équation différentielle :

m a( t )⋅ = − ⋅m g ⇔ m v'( t )⋅ = − ⋅ ⇔m g m x''( t )⋅ = − ⋅ (selon l’axe x) m g

avec FP = − ⋅m g force de pesanteur avec g≅10 m / s2

( )

x t = position de l’objet au temps t.

( )

( )

v t = x' t =vitesse de l’objet au temps t.

( )

( )

( )

a t =v' t =x'' t = accélération de l’objet au temps t.

Résolvons cette équation différentielle afin d’obtenir la fonctionx t :

( )

( )

(

)

(

)

1 1 2 1 1 2 1 2 solution généra m a( t ) m g a( t ) g a( t )dt g dt v t gt C C 1 v( t )dt gt C dt x( t ) gt C t C C ,C le 2 ⋅ = − ⋅ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − + ∈ ⇔ = − + ⇔ = − + + ∈

∫

∫

∫

∫

 

Si au temps t=0 on connaît la position x( 0 )= et la vitesse x₀ v( 0 )= v₀

de l’objet (conditions initiales) on a : v( 0 )=C₁ =v et x( 0 )₀ =C₂ =x₀. On obtient alors la fonction bien connue : x( t ) 1gt2 v t₀ z₀

2

= − + + (solution particulière)

Remarque *

Beaucoup de phénomènes en physique, biologie, chimie et en économie sont décrits à l’aide d’équations différentielles. La notion de conditions initiales correspond dans ce cas à l’état d’un système à un instant donné.

Activités *

a) Déterminer si les fonctions ci-dessous sont bien des solutions particulières des équations différentielles données :

i) y'' y+ = 0 avec y=3sin x

( )

−4cos x

( )

ii)y'' 2y'− + =y 0 avec y x e = 2 x

b) Former au moins deux équations différentielles dont la solution particulière est donnée ci-dessous :

i) y=2x2 + 3 ii) y=3ex iii) y=cos x

( )

m

0 x(t)

1.4.2 Résolution d’équations différentielles

du 1

er

_ordre*

Rappel *

Une équation différentielle (E.D.) est du 1er _{ordre si elle ne fait intervenir que la dérivée première.}

Dans ce chapitre, on donnera des méthodes pour trouver la solution générale de certaines classes d’équations différentielles du 1er ordre.

Remarque sur la notation différentielle * Soit y = f x

( )

une fonction.

Par définition :

∆x = accroissement de x.

∆y = accroissement de y= f ( x+ ∆x ) − f x

( )

On peut alors écrire la dérivée de f au point

(

x ; f x

( )

)

de la manière suivante : x 0 x 0 f ( x x ) f ( x ) y f '( x ) lim lim x x ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ → → + − = =

qui est géométriquement la pente de la droite tangente T au graphique de f au point

(

x ; f x

( )

)

.

Par définition :

dx x = ∆ = différentielle de la variable indépendante x.

( )

dy = f ' x ⋅dx = différentielle de la variable dépendante y.

On a alors la relation suivante : dy f '( x ) dx f '( x )

dx dx ⋅ = = Conclusion : dy f '( x ) dy f '( x ) dx dx = ⇔ = ⋅ et donc dy y' dx = x x+∆x f(x) f(x+∆x) f dx dy ∆y ∆x T

•

•

Méthode de résolution 1 : séparation des variables

Équations différentielles d’ordre 1 de la forme : y' = g( x ) h( y )⋅ avec g et h deux fonctions. Exemples * a) y' =sin( x ) dy sin( x ) dx ⇔ = (écriture dy y' dx= )

⇔ ⋅1 dy=sin( x ) dx⋅ (séparation des variables)

⇔

∫

1 dy=

∫

sin( x ) dx (intégration par rapport à x et y)

⇔ = −y cos( x ) k+ k∈ (primitives)

Vérification :

(

−cos( x )+k

)

' =sin( x ) ok !

b) y' = y dy y dx ⇔ = (écriture dy y' dx= ) 1 dy 1 dx y

⇔ ⋅ = ⋅ (séparation des variables)

1dy 1 dx y

⇔

∫

=

∫

(intégration par rapport à x et y)

⇔ln y = +x C C∈ (primitives)

ln y x C x C C x

e e + y e e y e e

⇔ = ⇔ = ⋅ ⇔ = ± ⋅ (équation implicite → équation explicite)

⇔ = ⋅y k ex k∈ Vérification :

(

x

)

' x x x k e⋅ = ⋅k e ⇔ ⋅k e = ⋅k e ok ! c)

(

x− ⋅1

)

y'=2 y

(

x 1

)

dy 2 y dx ⇔ − ⋅ = (écriture dy y' dx= ) 1 dy 1 dx 2 y x 1 ⇔ =

− (séparation des variables)

1 1dy 1 dx

2 y x 1

⇔ =

−

∫

∫

(intégration par rapport à x et y)

ln y ln x 1 C C 2 ⇔ = − + ∈_ (primitives) 1 2 1 ln y ln x 1 C 2 ln y ln x 1 C e e e     ₋     ⇔ _{ }= − + ⇔ = ⋅

  (équation implicite → équation explicite)

(

)

(

)

(

)

1 2 2 2 C 2C 2C 2 y x 1 e y x 1 e y e x 1 y k x 1 k ⇔ = − ⋅ ⇔ = − ⋅ ⇔ = ± ⋅ − ⇔ = ⋅ − ∈_ Vérification :

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

)

' 2 2 2 2 x - 1 ⋅ ⋅k x−1 =2 k⋅ x−1 ⇔ ⋅k 2 x−1 = ⋅ ⋅2 k x−1 ok !

•

Méthode de résolution 2 : variation des constantes

Équations différentielles linéaire d’ordre 1 de la forme : y'+g( x ) y⋅ =h( x ) avec g et h deux fonctions. Elle comporte deux phases distinctes :

i) Recherche de la solution générale pour l’équation sans second membre : y' g( x ) y+ ⋅ = 0

avec la méthode de la séparation des variables.

ii) Recherche d’une solution générale pour l’équation avec second membre : y'+g( x ) y⋅ =h( x )

Exemples *

a) y'+ =y cos x

( )

+sin x

( )

(la séparation des variables ne marche pas avec cette équation)

i) Recherche de la solution générale pour l’équation sans second membre :y'+ = y 0

dy y 0 dx ⇔ + = (écriture dy y' dx = ) 1 dy 1 dx y

⇔ ⋅ = − ⋅ (séparation des variables)

1dy 1 dx

y

⇔

_∫

= −

_∫

(intégration par rapport à x et y)

⇔ln y = − +x C C∈ (primitives)

⇔eln y =e− +x C ⇔ y =e−x⋅eC ⇔ = ± ⋅y eC e−x (équation implicite → équation explicite)

⇔ y= ⋅α e−x α∈

ii) Recherche d’une solution générale pour l’équation avec second membre : y'+ =y cos x

( )

+sin x

( )

Idée : on admet α = α(x) et donc α est une fonction dépendante de x qui est telle que y=α( x ) e⋅ −x soit solution de l’équation avec second membre.

( )

(

x

)

(

( )

x

)

( )

( )

x e ' x e cos x sin x α _⋅ − ₊ α _⋅ − _{= +} (substitution avec y=α

( )

x e⋅ −x)

( )

x

( )

x

( )

x

( )

( )

' x e x e x e cos x sin x α − α − α − ⇔ ⋅ − ⋅ + ⋅ = + (calcul différentiel)

( )

x

( )

( )

' x e cos x sin x α − ⇔ ⋅ = + (simplification)

( )

(

( )

( )

)

x ' x cos x sin x e α ⇔ = + ⋅ (simplification)

( )

(

( )

( )

)

x x cos x sin x e dx α ⇔ =

_∫

+ (intégration)

( )

x

( )

x e sin x C C α ⇔ = ⋅ + ∈_ (primitives)

Finalement, la solution générale de l’équation avec second membre est :

x

(

x

( )

)

x x

( )

y=α( x ) e⋅ − = e ⋅sin x +C ⋅e− ⇒ y= ⋅C e− +sin x C∈

Vérification :

(

x

( )

)

'

(

x

( )

)

( )

( )

b) 1 2

y' y ( x 1 )

x 1

− ⋅ = +

+ (la séparation des variables ne marche pas avec cette équation)

i) Recherche de la solution générale pour l’équation sans second membre : y' 1 y 0

x 1 − = + dy 1 y 0 dx x 1 ⇔ − = + (écriture dy y' dx = ) 1 dy 1 dx y x 1 ⇔ ⋅ = ⋅

+ (séparation des variables)

1dy 1 dx

y x 1

⇔ =

+

∫

∫

(intégration par rapport à x et y)

⇔ln y =ln x 1+ +C C∈ (primitives)

⇔eln y =eln x 1 C+ + ⇔ y = ⋅ +ec x 1 (équation implicite → équation explicite)

⇔ = ± ⋅ +y e ( x 1 )c ⇔ y=α( x 1 )+ α∈

ii) Recherche d’une solution générale pour l’équation avec second membre :

1 2

y' y ( x 1 )

x 1

− = +

+

Idée : on admet α = α(x) et donc α est une fonction dépendante de x qui est telle que y=α( x ) ( x⋅ + soit solution de l’équation avec second membre. 1 )

( )

(

)

1

(

( )

)

2 x ( x 1 ) ' x ( x 1 ) ( x 1 ) x 1 α ⋅ + − ⋅ α ⋅ + = + + (substitution avec y=α( x ) ( x⋅ + ) 1 )

( )

( )

1 ' x ( x 1 ) x x 1 α α ⇔ ⋅ + + − + ⋅α

( )

x ( x 1 )⋅ + 2 ( x 1 ) = + (calcul différentiel)

( )

2 ' x ( x 1 ) ( x 1 ) α ⇔ ⋅ + = + (simplification)

( )

' x x 1 α ⇔ = + (simplification)

( ) (

x x 1 dx

)

α ⇔ =

_∫

+ (intégration)

( )

( x 1 )2 x C C 2 α + ⇔ = + ∈_ (primitives)

Finalement, la solution générale de l’équation avec second membre est : 2 3 ( x 1 ) ( x 1 ) y ( x ) ( x 1 ) C ( x 1 ) y C( x 1 ) C 2 2 α  +  + = ⋅ + =_ + _ + ⇔ = + + ∈    Vérification : ' 3 3 2 ( x 1 ) 1 ( x 1 ) C( x 1 ) C( x 1 ) ( x 1 ) 2 x 1 2  + _{+ +}  ₋  + _{+ +} _{= +}   ₊       2 3( x 1 ) C 2 + ⇔ + ( x 1 )2 C 2 + − − 2 ( x 1 ) ok ! = +

Théorème *

La solution générale de l’équation différentielle linéaire du 1er ordre y' g( x ) y+ ⋅ =h( x ) est la somme d’une solution particulière de cette équation et de la solution générale de l’équation différentielle y' g( x ) y+ ⋅ = 0

Exemples *

i) La solution générale de l’équation linéaire du 1er ordre y'+ =y cos x

( )

+sin x

( )

est :

( )

( ) ( ) x Sol . générale Sol . particulière de y' y 0 de y' y cos x sin x y sin x C e− C + = + = + = + ⋅ ∈_  

ii) La solution générale de l’équation linéaire du 1er ordre 1 2

y' y ( x 1 ) x 1 − ⋅ = + + est : 2 3 Sol . générale Sol . particulière 1 de y' y 0 1 _{x 1} de y' y ( x 1 ) x 1 ( x 1 ) y C ( x 1 ) C 2 − ⋅ = + − ⋅ = + + + = + _{}⋅ + ∈_  Démonstration *

Soit yG la solution générale et yP la solution particulière de l’équation y' g( x ) y+ ⋅ =h( x ).

Nous pouvons donc écrire y '_G +g( x ) y⋅ _G =h( x ) et y '_P +g( x ) y⋅ _P =h( x ) et par différence :

(

) (

)

(

)

(

)

G G P P G P G P G P G P y ' g( x ) y y ' g( x ) y h( x ) h( x ) y ' y ' g( x ) y g( x ) y 0 y y ' g( x ) y y 0 + ⋅ − + ⋅ = − ⇔ − + ⋅ − ⋅ = ⇔ − + ⋅ − =

Ce qui montre que Y = y_G −y_P est la solution générale de l’équation y' g( x ) y+ ⋅ = . 0

Finalement yG = +Y yP

Remarques *

a) Dans le cas où l’on ne trouve pas de solution particulière de l’équation différentielle linéaire on utilise la méthode de la variation des constantes (ou méthode de Lagrange).

b) L’équation différentielle y'+g x

( )

⋅ =y 0 est à variables séparables et on peut toujours trouver la solution générale de cette équation différentielle.

( )

( )

( )

( )

( )

_{ln y} g x dx C( ) _C g x dx( ) _{G( x )} dy 1 1 y' g x y 0 g x y dy g x dx dy g x dx dx y y ln y g x dx C e e y e e y e

avec G une primitive de g.

α α − ⋅ + − ⋅ ₋ + ⋅ = ⇔ = − ⋅ ⇔ ⋅ = − ⋅ ⇔ = − ∫ ∫ ⇔ = − + ⇔ = ⇔ = ± ⋅ ⇔ = ⋅ ∈

∫

∫

∫



Remarque :

Lors de la résolution des équations différentielles doivent figurer toutes les étapes de calculs.

Exercice 1 *

Résoudre les équations différentielles du 1er ordre suivantes à l’aide de la méthode de la séparation

des variables : a) y' x y = b) y' = − x c) y'−xe−y = 0 d) x y'2 =cos ( y )2

e)Effectuer le contrôle des solutions pour a) et b).

Exercice 2 *

Résoudre les équations différentielles du 1er ordre suivantes à l’aide de la méthode de la séparation

des variables et en considérant les conditions initiales :

a) y'=2x 1−y2 avec y 0

( )

=1

b) y' = ⋅m

(

y−n

)

avec y 0

( )

= y₀ ( m et n sont des constantes). c) y2+( x+1 ) y'= avec 0 y 0

( )

=1

d)Effectuer le contrôle des solutions pour a)

Exercice 3 *

Résoudre les équations différentielles linéaires du 1er ordre suivantes à l’aide de la méthode de

la variation des constantes et en considérant les conditions initiales :

a) ( x+1 ) y' 2 y− =( x+1 )3 avec y 1

( )

=2 b) xy'− =y ln( x ) avec y 1

( )

=1

c) y'+ =y cos( x ) avec y 0

( )

=1 d)Effectuer le contrôle des solutions pour a)

Exercice 4 *

Résoudre l’équation différentielle linéaire du 1er ordre : y' +g( x ) y⋅ =h( x )

1.4.3 Interprétation géométrique des équations

différentielles *

Exemple 1 * Soit l'équation différentielle : y'= x dy x dx

 ₌ 

 

 

Cette équation signifie que la pente de la tangente à la courbe y = f (x) au point ( x ; y ) est égale à x.

Elle définit un champ de direction associé à l’équation différentielle :

Ce champ de directions laisse transparaître les graphiques des fonctions y= f x

( )

qui en chaque point ont la pente voulue, c'est-à-dire les solutions de l'équation différentielle. Il s'agit ici de paraboles. La pente dépend de x et pas de y.

La résolution algébrique de cette équation différentielle donne la solution générale :

2

x

y C C

2

= + ∈_

Avec comme condition initiale y 0

( )

= −1 on a C = −1 et la solution particulière est :

2

x

y 1

2

= − (courbe en gras et continue)

La pente de la tangente à la courbe y = f (x) au point (2;1) est égale à 2.

•

f

y x

Exemple 2 * Soit l'équation différentielle : y' = y dy y dx

 ₌ 

 

 

Cette équation signifie que la pente de la tangente à la courbe y = f (x) au point ( x ; y ) est égale à y.

Nous obtenons le champ de direction associé à l’équation différentielle :

Celui-ci nous montre que les solutions particulières de cette équation différentielle ont des allures exponentielles. La pente dépend de y et pas de x.

La résolution algébrique de cette équation différentielle donne la solution générale :

x

y= ⋅C e C∈

Avec comme condition initiale y 0

( )

= 1 on a C = 1 et la solution particulière est :

x

y=e (courbe en gras et continue)

•

La pente de la tangente à la courbe y = f (x) au point ( 1 ; 3 ) est égale à 3.

f

y x

Exercice 5 *

Considérons l’équation différentielle : y'= ⋅ x y dy x y dx

 _{= ⋅} 

 

 

a) Tracer le champ de direction pour

(

x; y

)

avec x∈ − − −

{

3; 2; 1;0;1;2;3

}

et y∈ − − −

{

3; 2; 1;0;1;2;3

}

.

b) Tracer la solution particulière de l’équation différentielle y'= ⋅ avec x y y 0

( )

= 1

dans le même repère que le champ de direction du point a). c) Résoudre l’équation différentielle y'= ⋅ avec x y y 0

( )

= . 1

Comparer la solution particulière avec celle obtenue au point b).

Exercice 6 *

Considérons l’équation différentielle : y'= + x y dy x y dx

 _{= +} 

 

 

a) Tracer le champ de direction pour

(

x; y

)

avec x∈ − − −

{

3; 2; 1;0;1;2;3

}

et y∈ − − −

{

3; 2; 1;0;1;2;3

}

.

b) Tracer la solution particulière de l’équation différentielle y'= + avec x y y 1

( )

= 1

dans le même repère que le champ de direction du point a). c) Résoudre l’équation différentielle y'= + avec x y y 1

( )

= . 1

1.4.4 Applications aux sciences expérimentales *

Equations différentielles du 1er _ordre

Importance des équations différentielles *

Depuis plusieurs centaines d'années, les scientifiques s'efforcent de décrire/modéliser le monde qui nous entoure par des équations mathématiques.

La dérivée étant définie comme un taux de variation instantané, une équation différentielle exprime donc une relation entre les variations d'une fonction et la fonction elle-même. Elle permet donc, lorsqu'on la résout, d'accéder à la connaissance de la fonction par l'intermédiaire de ses variations. Or, dans les sciences expérimentales, c'est le plus souvent sous cette forme que les fonctions apparaissent à l'observateur.

En effet, l'étude expérimentale d'un phénomène physique, biologique, économique, etc. débouche souvent sur une équation différentielle dont la résolution permet de retrouver la loi qui régit le phénomène.

Exercice 7 *

Loi de refroidissement de Newton

Si un corps est placé dans un milieu ambiant dont la température Ta est constante, la température T

(en Celsius) du corps au temps t (en minute) est donnée par la loi de refroidissement de Newton : « La vitesse de refroidissement du corps est proportionnelle à la différence des températures du corps et du milieu ambiant. »

Ce qui peut s’écrire : dT k

(

T - T_a

)

dt = ⋅ avec T la température du milieu ambiant. a

a) Résoudre cette équation différentielle, sachant qu'au temps t = 0 la température est égale à T0 .

Autrement dit, déterminer la température T de ce corps au temps quelconque t, c.-à-d. T(t) avec

T(0)= T0 .

b) Dans une pièce dont la température est de 20°, se trouve une bouilloire remplie d'eau dont la température initiale est de 100°. Après 15 minutes, la température de l'eau n'est plus que de 80°.

i) Quelle est la valeur de la constante k ?

ii) Quelle sera la température de l'eau après 20 minutes ?

iii) Au bout de combien de temps la température de l'eau ne sera-t-elle plus que de 40o ? iv) Tracer le graphique de T(t) pour t∈

[

0;200

]

(1 page A4 quadrillée).

c) Loi de refroidissement de Newton, revue et corrigée par "LES EXPERTS" ! Au moment où l'on découvre le cadavre d'un homme assassiné

(à 20h15), sa température est encore de 34,8°. Une heure plus tard, elle est descendue à 33,9°.

Sachant que la température de la pièce dans laquelle on a trouvé le corps est de 21,3°, déterminer à quelle heure le crime a été commis.

Exercice 8 * Introduction

Qu'est-ce que la radioactivité ?

Dans la nature il existe des noyaux instables qui retrouvent un état de stabilité par une

désintégration spontanée.

Le résultat d'une désintégration est l'émission d'une ou plusieurs particules et souvent d’un rayonnement électromagnétique de fréquence élevée. Il existe des éléments qui sont

naturellement radioactifs.

Les autres éléments radioactifs, plusieurs centaines, sont rendus artificiellement instable en bombardant des noyaux normalement stables avec des neutrons ou autres particules.

Loi de la désintégration

« La vitesse de désintégration d’un corps radioactif à l’instant t (c'est-à-dire la variation instantanée de la masse dm par unité de temps dt) est proportionnelle à la masse m de ce corps au temps t.

a) Exprimer la « loi de la désintégration » sous forme d’une équation différentielle et donner la masse m du corps radioactif en fonction du temps t sachant que m(0) = m0.

b) Calculer le temps nécessaire à la désintégration de la moitié de la masse radioactive m0.

c) On appelle demi-vie τ1/2 (ou T) d'un élément radioactif, le temps nécessaire pour que la moitié

des atomes présents initialement se désintègrent. τ1/2 peut varier de 10-6 secondes à plus de 105

ans. La demi-vie est la principale caractéristique utilisée pour distinguer un élément radioactif d'un autre. Par exemple, l'isotope radioactif 210_{Bi du bismuth a une demi-vie d'environ 5 jours,}

celui du 210_{Po du polonium a une demi-vie d'environ 140 jours. Les réacteurs nucléaires}

produisent l'isotope 239_{Pu du plutonium, dont la demi-vie est d'environ 24’000 ans !}

i) Si on a 1024 gr. de 210Bi, combien en restera-t-il après 50 jours ? ii) Si une centrale nucléaire produit un kilo de 239_{Pu aujourd'hui,}

combien faudra-t-il de temps pour qu'il en reste 1 gramme ?

d) On admet que la concentration du 14_{C(radioactif) dans}

l'atmosphère a toujours été constante au cours du temps. Les organismes vivants ingèrent durant toute leur existence du carbone et en particulier du 14C. Ainsi, durant la vie, l'absorption de 14Ccompense exactement la partie de 14C

qui s'est désintégrée. Dès la mort, la quantité de 14Ccommence à décroître, diminuant de moitié toutes les 5 568 années

(demi-vie du 14_C).

Donner approximativement l'âge d'un os humain fossile qui contient 10% du carbone 14 trouvé dans un os humain récent.

Exercice 9 *

On parle d'un phénomène de croissance / décroissance exponentielle lorsque :

« La vitesse d'accroissement de la population d'un milieu au temps t (c'est-à-dire la variation instantanée du nombre d'habitants dp par unité de temps dt) est proportionnelle au nombre d'habitants p de ce milieu au temps t. »

a) Exprimer la « loi de croissance/décroissance exponentielle » sous forme d’une équation différentielle et déterminer la population p en fonction du temps t.

b) Sachant qu’aux temps t0 et t1, la population est respectivement égale à p0 et p1,

montrer que la population p au temps t en fonction de ces 4 paramètres est : 0 1 0 t t t t 1 0 0 p p( t ) p p − −   = _{⋅ }  

c) Une ville de l’ouest des U.S.A. avait une population de 500 habitants en 1834 et de 300 habitants en 1840. En admettant que la population de cette ville suive une loi de croissance/décroissance exponentielle, en quelle année cette ville est-elle devenue une ville « fantôme » ?

d) La population mondiale était de 2,5 milliards d’humains en 1950, de 3,02 milliards en 1960. Quelles estimations pouvez-vous faire pour les décades suivantes ?

Exercice 10 *

Imaginons qu’une population donnée dans un milieu donné ne puisse pas dépasser une certaine quantité M. Les causes de cette limitation sont multiples ; prenons comme exemples le manque de logement dans une ville, le manque de nourriture sur une île, etc.

Loi de croissance logistique

Pierre François Verlhust (1804 -1849 , mathématicien belge) exprima la vitesse d’accroissement

d’une population à l’aide d’une formule qui tienne compte du fait que le milieu est limité et soit valable tout au long de la croissance (c’est-à-dire aussi bien au départ, quand rien n’arrête la reproduction que plus tard, quand le milieu est saturé).

En utilisant l’expression : fonction loi de croissance retardatrice exp onentielle dp M - p k p dt = ⋅ ⋅_M  (équation différentielle du 1 er _ordre)

Où p est le nombre d’individus au temps t. k est le taux de croissance.

M est la capacité d’accueil du milieu.

Avec cette équation nous arrivons à un bon compromis. En effet : i) Lorsque la croissance débute, p est très petit en comparaisons de M :

dp k p M p k p M 0 k p

dt M M

− −

= ⋅ ⋅ _ ⋅ ⋅ = ⋅

Ce qui est bien l’expression d’une croissance exponentielle : dp k p p( t ) p e₀ k t dt

⋅

⋅ ⇒ ⋅

 

ii) Lorsque p est très proche de M donc en fin de croissance :

dp k p M p k p M M 0

dt M M

− −

= ⋅ ⋅ _ ⋅ ⋅ =

Ce qui est bien l’expression d’une croissance nulle : dp 0 p( t ) Cte

dt  ⇒  (droite horizontale)

En conclusion, la croissance d’une population se caractérise par une phase initiale de croissance

exponentielle suivie d’une phase de ralentissement de la vitesse d’accroissement due aux facteurs limitants.

Schéma comparant les lois de croissances exponentielles et logistiques :

Remarque : Dans les conditions naturelles, la taille de la population peut subir des variations l’éloignant de cette courbe (par exemple, une épidémie, une catastrophe naturelle, etc.)

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 t 200 400 600 800 1000 P M = 800 Po = 100 k = 40/100

Enoncé :

a) Résoudre l’équation différentielle dp k p M p

dt M

−

= ⋅ ⋅ , sachant qu'au temps t = 0 la population est égale à p0 .

Indications pour résoudre cette équation :

i) Utiliser la méthode de séparation des variables.

ii) Pour calculer une intégrale utiliser la décomposition en fractions partielles.

b)

Un biologiste observe que la population d’oiseaux sur une île à un taux de croissance de un tiers. Au premier mois de l’observation (1er septembre 2003) il y a 30'000 oiseaux. Il estime aussi que la capacité d’accueil de l’île n’est pas illimitée (nourriture limitée, abris restreints,etc.) et donc que la capacité d’accueil de l’île ne peut dépasser 100'000 oiseaux.

En supposant que la population suive une loi de croissance logistique : i) Combien y aura-t-il d’oiseaux au 1er _{juillet 2004 ?}

ii) À partir de quel mois, la population a-t-elle été supérieure à 50'000 individus ? iii) Tracer le graphique dep= p t

( )

pour t∈

[

0;20

]

(1 page A4 quadrillée).

c) La loi de croissance logistique est-elle un modèle réaliste d'accroissement d’une population si t → ∞ ? Justifier votre réponse.

Exercice 11 *

Une des équations de base de la théorie des circuits électriques est LdI R I U( t ) dt + ⋅ =

où L (henrys) désigne l’inductance, R (ohms) la résistance, I (ampères) l’intensité du courant, U (volts) la force électromotrice, ou f.e.m. et t le temps en secondes.

a) Exprimer I en fonction de t si R > 0, L > 0 et U t

( )

= U₀ sont des constantes et si le courant initial est de I 0

( )

= I₀. b) Quelle est la valeur du courant I si t → ∞ ?

U0

Exercice 12 *

Considérons un bateau de masse m qui subit une force constante F_M appliquée par le moteur au bateau. Selon l’axe des x : F_MX =F_M. La résistance opposée par l’eau (fluide) au bateau crée une force de frottement visqueux F_F proportionnelle (et de sens opposé) à la vitesse de la voiture. Nous avons alors, selon l’axe des x : F_FX = − ⋅λ v( t ). La valeur du coefficient λ > 0

dépend de la forme du bateau.

Le mouvement du bateau est régi par l’équation différentielle : (loi de Newton)

(

)

M f M m a( t ) F F m a( t ) F λ v( t ) selon l’axe x ⋅ = + ⇔ ⋅ = − ⋅    ⇔ m v'( t )⋅ + ⋅λ v( t )−F_M =0 ( paramètres : m,λ et F )_M Rappel s

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x t position du bateau au temps t.

v t x’ t vitesse instantanée du bateau au temps t.

a t v' t x'' t accélération instantanée du bateau au temps t.

=

= =

= = =

a) Résoudre l’équation différentielle pour déterminer la fonction vitesse v( t ) .

b) Considérons la situation suivante : v 0

( )

=v et F0 M =0 pour t ≥0

(bateau qui stoppe les machines au temps t=0 et la seule force qui agit sur le bateau est la force de frottement)

1) Quel est alors la solution particulière de cette équation. 2) Déterminer la fonction position du bateau x( t ) avec x 0

( )

=0

3) Quelle sera la distance parcourue par le bateau entre t=0 et t = +∞ ?

0

G

x(t) x

1.5 Séries entières et formule de Taylor *

1.5.1 Rappels sur les suites et séries *

Définition *

a) Soit une suite de terme général . Exemple : 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ... 1! 2! 3! 4! avec n 1 u n! = le terme général.

b) On appelle série (numérique) l’expression _{n 1 2 3 n}

n 1 u u u u ... u ... ∞ = = + + + + +

∑

Exemple :



n n 1 u 1 1 1 1 1 ... n! 1! 2! 3! 4! ∞ = = + + + +

∑

Cette série est à termes positifs car u_k ≥ ∀ ∈0 k  . *

c) On appelle nème _{somme partielle la somme des termes de la suite jusqu’au n}ème_,

et on note : s_n = +u₁ u₂+u₃+ +... u_n . s_n forme une suite. Exemple : les premières sommes partielles de

n 1 1 n! ∞ =

∑

sont : 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 s u 1! 1 1 s u u 1! 2! 1 1 1 s u u u 1! 2! 3! ... = = = + = + = + + = + + Rappel :

(

)

1 si n 0 n! 1 2 3 ... n 1 n si n 1 =  =  _{⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ≥} 

d) Une série est convergente si _n

nlim s→+∞ = ∈s  . Le nombre est appelé la somme de la série.

Dans le cas contraire, la série est divergente et on dit qu’elle n’a pas de somme.

Question : Comment déterminer si une série est convergente ou divergente ? Autrement dit, que vaut _n

nlim s→+∞ ? Exemple : n 1 n 1 2 3 4 ... ∞ = = + + + +

∑

est une série numérique.

Le terme général de la série est u_n =n et la série est à terme positif.

(

)

(

)

n

n n n

n n 1 lim s lim 1 2 3 .... n lim

2

→∞ →∞ →∞

+

= + + + + = = +∞ La série est divergente.

n

u

Critères de convergence des séries à termes positifs *

Proposition 1 *

Si une série converge alors son terme général u_n tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Remarque *

La réciproque de cette proposition est fausse. En effet, considérons la série « harmonique »

 n n 1 u 1 1 1 1 1 ... n 1 2 3 4 ∞ = = + + + +

∑

Le terme général u_n 1 n = satisfait _n n lim u 0

→∞ = mais la série diverge car on peut prouver

avec le critère de l’intégrale que _n

n

lim s

→∞ = +∞ .

Contraposée de la proposition 1 *

Si le terme général u_n ne tend pas vers 0 lorsque n tend vers l’infini alors la série diverge.

Remarque : La contraposée ne permet pas d’établir la convergence de

 n n 1 u 1 n! ∞ =

∑

car  n n u 1 lim 0 n! →∞ =

Proposition 2 * ( Critère de d’Alembert ou du quotient)

Soit _n

n 1

u ∞

=

∑

une série à termes positifs

(

u_n ≥0

)

et n 1 n n u lim L u + →∞ = .

i) Si alors la série converge. ii) Si alors la série diverge.

iii) Si alors le critère ne permet pas de conclure. Exemple *

On aimerait établir la convergence ou la divergence de la série



n n 1 u 1 1 1 1 1 ... n! 1! 2! 3! 4! ∞ = = + + + +

∑

Calculons :

(

)

(

)

Pr op 2 ( i ) n 1 n n n n n n 1 n 1 n 1 ! u 1 2 .... n 1

lim lim lim lim 0 L 1 u converge

1 u 1 2 .... n n 1 n 1 n ! ∞ + →∞ →∞ →∞ →∞ ₌ + ⋅ ⋅ ⋅ = = = = = < ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +

∑

Remarques * a) On a bien que _n n n 1 lim u lim 0 n ! →∞ = →∞ = (voir proposition 1).

b) On sait maintenant que la série 1

n! ∞

=

∑

converge mais le critère du quotient ne donne pas 1 L< 1 L> 1 L=

Critère de convergence des séries à termes quelconques *

Définition *

On dit que la série _n

n 1

u ∞ =

∑

est absolument convergente si _n

n 1 u ∞ =

∑

converge. Exemple * • Considérons la série n n 1 n 1 u 1 1 1 1 1 ( 1 ) ... n ! 1! 2! 3! 4 ! ∞ + = − ⋅ = − + − +

∑

 qui n’est pas à termes positifs.

• Considérons la série dont les termes sont en valeurs absolues et étudions sa convergence : n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 u 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ... n ! n ! n ! 1! 2! 3! 4 ! ∞ ∞ ∞ + + = = = − ⋅ = − ⋅ = = + + + +

∑

∑

∑



La série à terme positif obtenue est convergente (voir exemple précédant avec le critère du quotient). • La série n 1 n 1 1 ( 1 ) n ! ∞ + = − ⋅

∑

est donc absolument convergente. Théorème 3 * Si la série _n n 1 u ∞ =

∑

est absolument convergente alors _n

n 1

u ∞

=

∑

converge. Autrement dit : Si la série _n

n 1 u ∞ =

∑

converge alors _n n 1 u ∞ =

∑

converge. Exemple * La série n n 1 n 1 u 1 1 1 1 1 ( 1 ) ... n ! 1! 2! 3! 4 ! ∞ + = − ⋅ = − + − +

∑

 est absolument convergente (voir exemple

ci-dessus) et en utilsant le théorème 3 on peut conclure qu’elle converge . Remarque *

La réciproque du théorème est fausse c’est-à-dire : « Si la série _n n 1 u ∞ =

∑

converge alors _n n 1 u ∞ =

∑

converge. » Contre-exemple : n 1 n 1 1 ( 1 ) n ∞ + = −

∑

converge mais n 1 n 1 n 1 1 1 ( 1 ) n n ∞ ∞ + = = − =

1.5.2 Séries entières *

Définitions *

a) Une série entière est une expression du type _n n _{0 1 2} 2 _n n

n 0 a x a a x a x ... a x ... ∞ = = + + + + +

∑

Les a_ksont les coefficients de la série et x est la variable de la série. Une série entière peut-être vue comme un polynôme de degré infini.

Exemple : n 2 3 4 n 0 nx x 2x 3x 4 x ... ∞ = = + + +

∑

est une série entière.

b) Une série entière est convergente si pour x=x₀ fixé la série numérique converge. Exemple :

Si on considère la série entière n

n 0 nx ∞ =

∑

avec x 1 2

= − on obtient la série numérique : 1 2 3 4 ...

2 4 8 16

− + − + + qui n’est pas à terme positif. Etudions la convergence de la série entière n

n 0

nx ∞ =

∑

avec le critère du quotient : n 1 n 1 n n n n n u ( x ) ( n 1 ) x n 1

lim lim x lim x L

u ( x ) _{n x} n + + →∞ →∞ →∞ + + = = ⋅ = = La série entière n n 0 nx ∞ =

∑

est absolument convergente si L= <x 1 et donc converge si x <1 (théorème 3).

En particulier, la série numérique 1 2 3 4 ... 2 4 8 16

− + − + + converge car x 1

]

1;1

[

2

= − ∈ − .

c) Le rayon de convergence d’une série entière est l’ensemble des nombres réels pour lesquels elle converge.

Exemple : Le rayon de convergence de la série entière n

n 0

nx ∞ =

∑

est l’intervalle

]

−1;1

[

. Pour étudier le rayon de convergence d’une série entière, on peut utiliser les critères de convergence pour les séries numériques.

Remarque *

Les critères de convergence permettent parfois de déterminer si la série est convergente ou divergente. En revanche ils ne donnent aucune indication de la valeur de la somme infinie.

Exercice 13 *

Déterminer le rayon de convergence des séries entières : a) 2 3 4 x x x x ... 2 3 4 + + + + b) 2 3 4 x+8 x +27 x +64 x +... c) 1 2 3 x x x 1 ... 1! 2! 3! + + + + d) 2 3 4 x 2x 6 x 24 x ... 2+ 4 + 8 + 16 +

Indication : Utiliser le théorème 3 et le critère de convergence du quotient.

Exercice 14 * a) Démontrer que n n x lim 0 x n ! →∞ = ∀ ∈

Indications : i) Etudier la convergence de la série entière

n n 0 x n ! ∞ =

∑

.

ii) Utiliser la proposition 1.

b) Démontrer que

]

[

n n x lim 0 x 1;1 n →∞ = ∀ ∈ −

Indications : i) Etudier la convergence de la série entière

n n 0 x n ∞ =

∑

.

1.5.3 Formule de Taylor *

Introduction

Calculer la valeur en un point d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle est particulièrement aisé à l'aide d'une machine car cette activité ne fait appel qu'aux quatre opérations de base sur les nombres réels : addition, soustraction, multiplication et division.

Exemple : Si 3 2

P( x )=3x +2x −5 alors 3 2

P( 1 )= ⋅ + ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −3 1 2 1 5 3 1 1 1 2 1 1 5

Mais comment évaluer en un point une fonction comme le sinus, le cosinus, l'exponentielle ou le logarithme naturel ?

Exemple : Si f ( x )=sin( x ) alors f ( 1 )=sin( 1 )=...???

Idée

On cherche à « remplacer » la fonction f par un polynôme P convenablement choisi. Proposition

Si f est dérivable en a

alors l’expression algébrique de la droite tangente P₁ à f au point

(

a; f a

( )

)

est donnée par : P x₁

( )

= f a

( )

+ ’f

( )(

a x−a

)

Illustration :

Remarque :

Sur cette illustration, si x est proche de a alors f ( x ) est proche de P x = f a₁

( )



( )

+ f’ a

( )

( )

x− . a

Démonstration

• L’expression algébrique d’une droite est du type : P x₁

( )

=mx+n avec m la pente et n l’ordonnée à l'origine.

Si f est dérivable en a alors f ' a

( )

existe et f '(a)= m donc P x₁

( )

= f '(a) x⋅ +n.

• De plus, on sait que la droite tangente à f passe par le point

(

a; f a

( )

)

donc P (a)₁ = f (a). Déterminons la valeur de l’ordonnée n :

P (a)₁ = f (a) ⇔ f '( a ) a⋅ + =n f (a) ⇔ n= f ( a )− f '( a ) a⋅

• Conclusion : ₁

_

m n P ( x )= f '( a ) x⋅ +_{}f ( a )− f '( a ) a⋅ = f ( a )+ f '( a ) ( x⋅ −a ) P1 y f

•

x a

•

•

Remarque

Pour obtenir l’expression algébrique de la droite tangente P₁ à f au point

(

a; f a

( )

)

il faut pouvoir évaluer au préalable f a

( )

et f ' a

( )

.

Exemples

a) Si x est proche de a = 0 alors f x

( )

=sin x

( )

est proche de P x₁

( )

=sin 0

( )

+ cos 0

( )(

x 0−

)

= x. Autrement dit : sin x

( )

≅x dans un voisinage de a = 0 .

b) Si x est proche de a = 0 alors f x

( )

=ex est proche de P x₁

( )

=e0+e0

(

x 0−

)

= + 1 x. Autrement dit : ex ≅ +1 x dans un voisinage de a = 0 .

Remarque

L'idée est maintenant de « construire » un polynôme P de degré supérieur à un afin d'améliorer _n

encore l’approximation du calcul de f x( ) si x est proche de a.

f

Théorème

Si f est une fonction n + 1 fois continûment dérivable sur un intervalle ouvert I contenant a alors pour tout x∈ on a : I

(I) f ( x )=P ( x )_n +R ( x )_n où ( n ) 2 n n f '( a ) f ''( a ) f ( a ) P ( x ) f ( a ) ( x a ) ( x a ) ... ( x a ) 1! 2! n! = + − + − + + − et (II) n 1 ( n 1 ) n n t [ a;x ] x a R ( x ) f ( x ) P ( x ) max f ( t ) ( n 1 )! + + ∈ − = − ≤ ⋅ + De plus :

(III) Si f est infiniment dérivable et x∀ ∈ I _n

n lim R ( x ) 0 →∞ = alors ( k ) k k 0 f ( a ) f ( x ) ( x a ) k ! ∞ =

=

∑

− x∀ ∈ ( f est analytique sur I ) I

Terminologie

• L'égalité f ( x )=P ( x )_n +R ( x )_n est la formule de Taylor d'ordre n de la fonction f au point a. • P ( x )_n est le polynôme de Taylor d'ordre n.

• f( n )( a ) n

( x a )

n! − est le terme d’ordre n du polynôme de Taylor.

• R ( x )n , est le reste d'ordre n. La fonction R ( x )n mesure l'erreur commise

lorsqu'on remplace f x

( )

par P ( x )_n car R ( x )_n = f ( x )−P ( x )_n

• n 1 ( n 1 ) t [ a;x ] x a max f ( t ) ( n 1 )! + + ∈ − ⋅

+ est la majoration du reste d’ordre n.

Illustration f

•

a Pn Pn(a) = f(a)

•

•

Pn(x) x f(x) Rn(x)

Exemple

a) Etablissons la formule de Taylor de la fonction f x

( )

=sin x

( )

d'ordre n= , au point a 05 =

et une majoration du reste d'ordre n= . 5

f ( x ) sin( x ) f ( 0 ) 0 f '( x ) cos( x ) f '( 0 ) 1 f ''( x ) sin( x ) f ''( 0 ) 0 = = = = = − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 5 5 f ( x ) cos( x ) f ( 0 ) 1 f ( x ) sin( x ) f ( 0 ) 0 f ( x ) cos( x ) f ( 0 ) 1 = − = − = = = = • Formule de Taylor ( a 0 ; n 5= = ) 5 3 5 5 f ( x ) P ( x ) x x sin( x ) x R ( x ) 3! 5! = = = − + +  

Le polynôme P ( x )₅ , utilise la valeur connue de la fonction sinus au point a = 0 ainsi que celles de ses dérivées en ce point pour approximer la valeur de la fonction sinus en un autre point. De plus, il n'y a que les quatre opérations de base sur les nombres réels qui sont utilisées : addition, soustraction, multiplication et division.

• Majoration du reste :

( )

(

)

5 1 6 ( 6 ) 5 5 t [ 0 ;x ] 1 x 0 x

R ( x ) sin x P ( x ) max sin ( t )

5 1 ! 6 ! + ∈ = − = − ≤ ⋅ = + _{} car sin( n )( t ) ≤ 1 ∀ ∈t  ∀ ∈n 

b) Calculons une approximation du sin 1

( )

en utilisant le polynôme de Taylor d'ordre n=5 et la majoration du reste. 3 5 1 1 101 sin( 1 ) 1 0.8416 3! 5! 120 ≅ − + = = 6 2 5 1 1 R ( 1 ) 0.00138 10 6 ! 720 − ≤ = = <

c) Avec la calculatrice scientifique TI-30 XS Multiview nous obtenons : 0.841470985 Nous constatons : 0.841470985 0.8416− ≅ ⋅2 10−4

d) On veut approximer le nombre sin 1

( )

avec le polynôme de Taylor P x_n

( )

de la fonction f ( x )=sin x

( )

en a = 0. Quel doit être le degré minimum n du polynôme de Taylor P x_n

( )

pour avoir une erreur plus petite ou égale à 10−10 ?

On cherche le plus petit nombre entier n tel que : R 1_n

( )

≤10−10 ( Inéquation d’inconnue : n )

( )

n 1 ( n 1 ) 10 10 n t [ 0;x ] 1 10 1 0 1 R 1 max f ( t ) 10 10 ( n 1 )! ( n 1 )! 10 ( n 1 )! 14 n 1 n 13 + + − − ∈ = − ≤ ⋅ ≤ ⇔ ≤ + + ⇔ ≤ + ⇔ ≤ + ⇔ ≥  On a alors sin( 1 ) P 1 1₈

( )

1 1 1 1 1 1 0.841470985 3! 5! 7 ! 9! 11! 13! ≅ = − + − + − + ≅ (9 décimales exactes)

Remarque

On peut montrer que x∀ ∈ , _n

n

lim R ( x ) 0

→∞ = ce qui implique que sin x

( )

est analytique sur  :

( ) (

)

( ) (

)

3 5 7 2 k 1 2 k 1 k k k 0 x x x x x sin( x ) x ... 1 ... 1 x 3! 5 ! 7 ! 2k 1 ! 2k 1 ! + ∞ + = = − + − + + − ⋅ + = − ⋅ ∀ ∈ +

∑

+ 

Autrement dit, cette égalité permet de calculer le sin x

( )

pour tout x appartenant à  aussi précisément que l'on souhaite ; il suffit de prendre en considération suffisamment de termes. Illustration f x

( )

=sin( x ) 1 P ( x )= x 3 3 x P ( x ) x 3 ! = − 3 5 5 x x P ( x ) x 3 ! 5 ! = − +

Tester le logiciel Geogebra avec la commande :

PolynômeTaylor( <Fonction>, <Valeur x>, <Ordre> )

f

f

Démonstration partie (I) • Rappels :

i) Intégration par partie :

b b b a a a f '( x ) g( x )dx⋅ = f ( x ) g( x )⋅ − f ( x ) g'( x )dx⋅

∫

∫

ii) Théorème fondamental :

x

a

f '( t )dt= f ( x )− f ( a )

∫

( f est une primitive de f ' ) • Commençons par écrire

( )



( ) 0 0 x a P x R x f ( x )= f ( a )+

∫

f '( t )dt 

grâce au théorème fondamental.

• On effectue une intégration par partie sur R x₀

( )

:

_

_

(

)

_

(

) 

x x x u'( t ) a v( t ) _{u( t )} v( t ) a _{u( t )} v'( t ) a 1 ⋅ f '( t )dt= − − ⋅x t f '( t ) − − − ⋅x t f ''( t )dt

∫

_{}

∫

_{} On obtient alors :

(

)

( )

(

)

( ) 1 1 x a P x _{R x} f '( a ) f ( x ) f ( a ) x a x t f ''( t )dt 1! = + − +

∫

− ⋅  

• On effectue à nouveau une intégration par partie sur R x₁

( )

:

(

) 

(

)

_

(

)

x 2 2 x x a u'( t ) v( t ) v( t ) a v'( t ) u( t ) _a u( t ) x t x t x t f ''( t )dt f ''( t ) f '''( t )dt 2! 2! − − − ⋅ = − ⋅ − − ⋅

∫

_

∫

_   On obtient alors :

(

)

(

)

( )

(

)

( ) 2 2 2 x 2 a P x _{R x} x t f '( a ) f ''( a ) f ( x ) f ( a ) x a x a f '''( t )dt 1! 2! 2! − = + − + − +

∫

⋅ _{ } • Si on continue le processus : ( ) _{( )} n n x ( n ) ( n 1 ) 2 n n a P x _{R x} f '( a ) f ''( a ) f ( a ) f ( t ) f ( x ) f ( a ) ( x a ) ( x a ) ... ( x a ) ( x t ) dt 1! 2! n! n! + = + − + − + + − +

∫

−  