THESE
THESE
En vue de l'obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Délivré par l'Université Toulouse III - Paul Sabatier Discipline ou spécialité : Mathématiques
JURY
Dominique BAKRY (professeur, Université Paul Sabatier), examinateur Franck BARTHE (professeur, Université Paul Sabatier), directeur de thèse
Eric CARLEN (professeur, Rutgers University), rapporteur
Dario CORDERO-ERAUSQUIN (professeur, Université Pierre et Marie Curie), rapporteur Michel LEDOUX (professeur, Université Paul Sabatier), président du jury
Cyril ROBERTO (MCF, Université de Marne-La-Vallée), examinateur
Ecole doctorale : Mathématiques Informatique Télécommunication de Toulouse Unité de recherche : Institut de Mathématiques de Toulouse
Directeur(s) de Thèse : Franck BARTHE
Rapporteurs : Eric CARLEN et Dario CORDERO-ERAUSQUIN
Présentée et soutenue par Nolwen HUET
Le 7 décembre 2009
Titre :
présentée en vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
délivré par : Université Toulouse III – Paul Sabatier
Discipline : Mathématiques
Inégalités géométriques pour des
mesures log-concaves
par
Nolwen Huet
Soutenue le 7 décembre 2009 devant le jury composé de :
Dominique Bakry
Examinateur
Franck Barthe
Directeur de thèse
Eric Carlen
Rapporteur
Dario Cordero-Erausquin
Rapporteur
Michel Ledoux
Examinateur
Cyril Roberto
Examinateur
Institut de Mathématiques de Toulouse,
Inégalités géométriques pour des mesures log-concaves
Résumé. Dans la majeure partie de cette thèse, nous étudions des inégalités géométriques pour cer-taines mesures log-concaves. Nous donnons une preuve directe par semigroupe de l’inégalité de Brunn-Minkowski gaussienne dans le cas de plusieurs ensembles, avec une caractérisation des coefficients. La même méthode permet de retrouver les inégalités de Brascamp-Lieb et Brascamp Lieb inverse pour la mesure de Lebesgue. Nous démontrons ensuite une inégalité isopérimétrique avec constante universelle pour les mesures log-concaves isotropes dont la densité ne dépend que du rayon. Ce résultat améliore l’inégalité de Cheeger démontrée par Bobkov. Kannan, Lovász et Simonovits ont conjecturé que toute mesure log-concave isotrope vérifie l’inégalité de Cheeger avec constante universelle. Nous donnons de nouveaux exemples où cette conjecture est vérifiée, comme le cas de la mesure uniforme sur un convexe de révolution, et des méthodes pour en construire d’autres. La dernière partie concerne la propriété d’hy-pergroupe. Elle nous permet de décrire tous les noyaux markoviens admettant une famille prescrite de fonctions comme base de vecteurs propres. Elle est vérifiée sur les groupes finis, sur certaines bases de Sturm-Liouville et sur les polynômes de Jacobi.
Mots clés. Inégalité géométrique, analyse fonctionnelle, convexité, noyau markovien.
Geometric inequalities for some log-concave measures
Abstract. In most of this thesis, we study geometric inequalities for some log-concave measures. We give a streamlined semigroup proof of Gaussian Brunn-Minkowski inequality in the case of several sets, with a characterization of the coefficients. Our method also yields semigroup proofs of Brascamp-Lieb inequality and of its reverse form. Then, we show an isoperimetric inequality with a universal constant for isotropic log-concave measures whose density depends only on the radius. This result improves the Cheeger inequality proved by Bobkov. Kannan, Lovász et Simonovits conjectured that any isotropic log-concave measures satisfy a Cheeger inequality with a universal constant. We give new examples for which the conjecture comes true, as uniform measures on convex sets of revolution, and methods to construct other ones. The last part deal with the hypergroup property. It allows the description of all Markov kernels whose eigenvectors are given.
Cette thèse a été effectuée sous la direction de Franck Barthe que je remercie vivement. Il a su avoir confiance pour moi dans les moments de doute, m’aiguiller lorsque je butais sur un problème, et m’instiller le goût des articles bien écrits.
Je suis reconnaissant à Eric Carlen et Dario Cordero-Erausquin de rapporter mon travail. Je remercie également Michel Ledoux et Cyril Roberto qui me font l’honneur d’être membres de mon jury, et plus particulièrement Dominique Bakry qui a bien voulu m’écouter encore un peu, après m’avoir encadré avec sa passion débordante habituelle lors de mon mémoire de DEA.
Pendant ces trois années de thèse, j’ai un peu bourlingué entre différents bureaux suite aux réamé-nagements du LSP et de l’IMT. Mais j’ai une pensée particulière pour les membres du bureau des 4 as des premiers jours : Erwan, Matthieu et Michel. L’ambiance d’émulation constante d’alors m’a certaine-ment permis d’atteindre les plus hauts sommets scientifiques et d’écrire les quelques mille et un articles présentés dans cette thèse. . . Je pense aussi à tous les doctorants que j’ai pu croiser. Que j’ai tenté de convertir avec plus ou moins de succès aux mystères du disque volant. Merci à Michel et Victoire pour leurs relectures.
J’ai également eu la chance de faire un stage de trois mois à Londres grâce au réseau européen Phenomena in High Dimension. Un grand merci à Keith Ball pour son accueil chaleureux.
Il me faut aussi —si je tiens à ma peau— remercier les parrains de la mafia, Jean-Claude et Jean-Marc, qui m’ont secrètement financé. Un petit mot sur les BTR : il y a une vie après les mathématiques, si si, elle a la forme d’un disque et ça tourne et ça vole.
Introduction 9
1 Inégalités de Brunn-Minkowski gaussiennes . . . 11
2 Inégalités isopérimétriques pour des mesures log-concaves à symétrie radiale . . . 14
3 Quelques exemples pour la conjecture KLS . . . 18
4 Propriété d’hypergroupe et représentation de noyaux markoviens . . . 19
1 Inégalités de Brunn-Minkowski gaussiennes 25 1.1 Functional and semigroup approach . . . 27
1.1.1 Preliminaries . . . 27
1.1.2 Semigroup proof for smooth functions . . . 29
1.1.3 Φ−1-concave functions . . . 31
1.2 Back to sets . . . 32
1.3 Further remarks . . . 34
1.3.1 Brascamp-Lieb type inequalities . . . 34
1.3.2 Looking for Gaussian Brascamp-Lieb inequalities . . . 37
2 Inégalités isopérimétriques pour des mesures log-concaves à symétrie radiale 41 2.1 Hypotheses on φ . . . 43
2.2 Isoperimetry for the radial measure νn,φ . . . 44
2.3 Tensorization and cut-off argument . . . 48
2.4 Getting functional inequalities . . . 51
2.5 Isoperimetry for µn,φ . . . 54
2.6 Optimality and the isotropic case . . . 55
3 Quelques exemples pour la conjecture KLS 65 3.1 B-symmetric log-concave measures . . . 67
3.2 Convex sets of B-revolution . . . 68
3.3 `p-sum of convex sets . . . . 70
3.4 Case of `p-balls . . . . 75
4 Propriété d’hypergroupe et représentation de noyaux markoviens 77 4.1 The finite case . . . 78
4.1.1 The GKS property . . . 78
4.1.2 Orthogonal matrix representation . . . 80
4.1.3 The hypergroup property . . . 82
4.1.4 Markov operators as convolutions . . . 85
4.1.5 The case of finite groups . . . 86
4.1.6 On the GKS inequalities . . . 88
4.2 The hypergroup property in the infinite setting . . . 89
4.2.1 Markov sequences associated with a UOB . . . 89
4.2.2 The hypergroup property . . . 90
4.3.1 The natural UOB associated with a measure on a compact interval . . . 92
4.3.2 Wave equations . . . 93
4.3.3 Achour–Trimèche’s theorem and wave equations . . . 94
4.3.4 Other representations of the solutions of the wave equation . . . 97
4.3.5 More about the solutions of the wave equation (4.4) . . . 100
4.4 The case of Jacobi polynomials: Gasper’s theorem . . . 103
4.4.1 Jacobi polynomials . . . 104
4.4.2 Gasper’s result . . . 105
4.4.3 The special case of ultraspherical polynomials (p = q ≥ 1) . . . 105
4.4.4 The case of dissymmetric Jacobi polynomials (q > p > 1) . . . 107
De nombreuses inégalités traduisent des faits géométriques. La plus célèbre est peut-être l’inégalité isopérimétrique dans le plan : si on note L et A respectivement le périmètre et l’aire d’une surface (assez régulière) du plan euclidien, alors
A ≤ L
2
4π.
Cette inégalité exprime le fait que le disque est la surface maximisant l’aire pour un périmètre donné. En effet, si L est le périmètre d’un disque, alors son rayon est donné par R = L/2π et son aire par πR2= L2/4π. Plus généralement, en dimension supérieure, la boule maximise le volume pour une aire
du bord fixée. Ceci s’écrit également sous la forme d’une inégalité. Notons Voln la mesure de Lebesgue
de Rn
. Soit A une partie borélienne de Rn de bord ∂A. On définit la mesure de son bord de la manière
suivante :
Vol+n(∂A) = lim
ε→0+
Voln(A) − Voln(A)
ε , où A désigne l’ε-élargi de A pour la norme euclidienne, c’est-à-dire
Aε= {x ∈ Rn; ∃a ∈ A, |x − a| ≤ ε}.
Rappelons que la norme euclidienne de x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn est définie par |x| =px21+ · · · + x2n. On
peut alors écrire l’inégalité isopérimétrique de Rn :
Vol+n(∂A) ≥ n(vn)1/nVoln(A) n−1
n
où vn= π n/2
Γ(n/2+1) est le volume d’une boule euclidienne de rayon 1 dans R
n. La première preuve rigoureuse
de cette propriété est due à Schwarz qui procède par symétrisation (cf [49] pour plus d’informations et d’autres preuves). On peut également la voir comme conséquence d’une autre inégalité géométrique très importante : l’inégalité de Brunn-Minkowski.
Cette inégalité nous donne une borne inférieure sur le volume de la somme de Minkowski de deux boréliens. Soient A et B deux parties boréliennes de Rn. On définit leur somme de Minkowski par
A + B = {a + b; (a, b) ∈ A × B}.
Ce nouvel ensemble n’est pas forcément mesurable lui-même, mais on s’en sort en regardant sa mesure extérieure : il s’agit de l’infimum des volumes des parties mesurables le contenant. Dans la suite, nous n’aborderons plus les problèmes de mesurabilité et nous sous-entendrons le passage à la mesure extérieure dans les cas de non-mesurabilité. L’inégalité de Brunn-Minkowski dans Rn s’écrit alors
Voln(A + B) 1/n ≥ Voln(A) 1/n + Voln(B) 1/n . (1)
On a encore égalité dans le cas de boules. De plus, si B = εBn2 où Bn2 est la boule euclidienne centrée en
0 et de rayon 1 de Rn, alors A + B est l’élargi Aεprécédemment introduit. En utilisant que la somme de
Minkowski de deux boules est encore une boule : rBn
2+ εBn2 = (r + ε)Bn2 et l’homogénéité de la mesure de
Lebesgue Voln(λA) = λnVoln(A), on obtient que la boule a le plus petit élargissement possible, à mesure
fixée. Plus précisément, si B est une boule de même volume que A, borélien de Rn, alors
En dérivant cette inégalité, on retrouve l’inégalité isopérimétrique précédente.
L’inégalité (1) est démontrée par Brunn [46] dans le cadre d’ensembles convexes de R2
et R3, les
cas d’égalité sont étudiés par Minkowski [100]. Elle est obtenue pour des ensembles non nécessairement convexes de Rn par Lusternik [91] grâce à une méthode de symétrisation. Une méthode plus simple
consiste à prouver une version adimensionnelle de Brunn-Minkowski grâce à la formule de Prékopa-Leindler [103, 88, 104], son pendant fonctionnel. Pour tous α et β ∈ (0, 1) tels que α + β = 1, et toutes parties boréliennes A et B, l’inégalité de Brunn-Minkowski adimensionnelle s’écrit :
Voln(αA + βB) ≥ Voln(A)αVoln(B)β. (2)
D’après l’inégalité arithmético-géométrique, cette inégalité est plus faible que la précédente. Cependant, appliquée à C/Vol(C)1/n et D/Vol(D)1/n, on retrouve l’inégalité de Brunn-Minkowski n-dimensionnelle. La version fonctionnelle de (2) s’énonce ainsi :
Théorème (Prékopa-Leindler). Soient f , g et h des fonctions mesurables de Rn
dans R+ et α et β ∈
(0, 1) tels que α + β = 1. Si pour tout x et y dans Rn,
h(αx + βy) ≥ f (x)αg(y)β, alors Z h ≥ Z f αZ g β .
Ce théorème se montre facilement par récurrence. Appliqué à des fonctions indicatrices, on en déduit (2). Cette inégalité est fondamentale et peut-être considérée pour d’autres mesures. Les mesures µ de Rn
vérifiant
µ(αA + βB) ≥ µ(A)αµ(B)β (3) pour tous α et β ∈ (0, 1) tels que α + β = 1, et toutes parties boréliennes A et B, sont appelées mesures log-concaves. Grâce au théorème de Prékopa-Leindler, toute mesure à densité log-concave par rapport à la mesure de Lebesgue vérifie (3). En fait, Borell [37] montre la réciproque : toute mesure de Rnvérifiant (3) est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur Rk avec k ≤ n et de densité log-concave.
Là encore, on peut déduire une inégalité isopérimétrique valable pour toute mesure log-concave µ à partir de l’inégalité de Brunn-Minkowski (3) des mesures log-concaves, en choisissant pour B une boule euclidienne. Le résultat suivant est dû à Bobkov [32]. Pour tout r > 0, et tout x0∈ Rn,
2rµ+(∂A) ≥ µ(A) log 1
µ(A)+ 1 − µ(A) log 1
1 − µ(A)+ log µ{|x − x0| ≤ r}. (4) En choisissant la valeur de r de telle sorte à ce que la somme des deux derniers termes soient positives, on peut déduire d’autres inégalités. En particulier, toute mesure log-concave vérifie l’inégalité de Cheeger :
µ+(∂A) ≥ C min{µ(A), 1 − µ(A)}, (5) avec la constante
C =q c E X − E(X)
2
où c est une constante universelle, X est une variable aléatoire de loi µ et E désigne l’espérance. Si on choisit de renormaliser (par changement de variable affine) µ de telle sorte que sa covariance soit l’identité, on trouve la constante C = c/√n. Kannan, Lovász et Simonovits avaient déjà montré ce résultat en utilisant leur lemme de localisation dans [75]. En fait, ils conjecturent un résultat beaucoup plus fort.
Conjecture KLS. Soit µ une mesure log-concave sur Rn. Si la covariance de µ est l’identité alors la
constante dans l’inégalité de Cheeger est une constante universelle, en particulier ne dépendant pas de la dimension.
Dans la majeure partie de cette thèse, nous nous attachons à montrer des inégalités géométriques pour certaines mesures log-concaves. Dans le chapitre 1, nous démontrons une version de l’inégalité Brunn-Minkowski adaptée à la mesure gaussienne et adaptons la preuve aux inégalités de Brascamp-Lieb et Brascamp-Lieb inverse. Le chapitre 2 est consacré à l’étude de l’inégalité isopérimétrique pour des mesures à symétrie radiale. Nous exhibons dans le chapitre 3 un certain nombre d’exemples et des règles de construction pour en fabriquer d’autres, pour lesquels la conjecture de Kannan, Lovász et Simonovits précédemment citée est vraie. Le dernier chapitre, quant à lui, est consacré à un travail distinct. Nous y étudions la propriété d’hypergroupe de certaines familles de fonctions, qui nous permet de trouver tous les noyaux markoviens admettant pour base de vecteurs propres ces familles de fonctions données. Les contenus des chapitres 1 et 4 ont fait l’objet d’articles publiés [22] et [10]. Le chapitre 2 est soumis à publication et le chapitre 3 est un travail encore en cours. Dans la suite de cette introduction, nous présentons plus en détails chacun des chapitres.
1
Inégalités de Brunn-Minkowski gaussiennes
Notons γn la mesure gaussienne standard sur Rn définie par
γn(dx) =
exp(−|x|2/2) (2π)n/2 dx.
Sa densité par rapport à la mesure de Lebesgue étant log-concave, c’est une mesure log-concave et elle vérifie donc l’inégalité de Brunn-Minkowski (3), qu’on peut réécrire
log ◦γn(αA + βB) ≥ α log ◦γn(A) + β log ◦γn(B). (6)
On peut cependant améliorer cette inégalité. Ehrhard prouve dans [62] que si A et B sont convexes, alors Φ−1◦ γn(αA + βB) ≥ αΦ−1◦ γn(A) + βΦ−1◦ γn(B), (7)
où Φ−1 est l’inverse de Φ, la fonction de répartition de la mesure gaussienne γ1 sur R. Latała [83] étend
le résultat à A borélien et B convexe. Plus récemment, Borell réussit à démontrer le cas où les deux ensembles sont seulement boréliens dans [41]. Comme γ1est log-concave, sa fonction de répartition Φ est
également log-concave et donc
Φ αΦ−1◦ γn(A) + βΦ−1◦ γn(B) ≥ γn(A)αγn(B)β.
Ainsi (7) implique (6). En fait, cette inégalité caractérise même les mesure gaussiennes. En effet, supposons que µ est une mesure de probabilité sur Rn satisfaisant
Φ−1◦ µ(αA + βB) ≥ αΦ−1◦ µ(A) + βΦ−1◦ µ(B).
Si on applique cette inégalité à des ensembles de la forme (−∞, t)×Rn−1
puis (t, +∞)×Rn−1, en utilisant
les symétries de γ1:
Φ−1(1 − x) = −Φ−1(x), Φ(−a) = 1 − Φ(a), on trouve que pour tous t1< t2, il existe a et b tels que
∀t ∈ (t1, t2), µ (−∞, t) × Rn−1 = Φ(at + b).
Les coefficients a et b ne dépendent en fait pas de l’intervalle (t1, t2) choisi et on en déduit que la première
marginale de µ est gaussienne. On peut appliquer le même raisonnement aux ensembles (−∞, t)u + u⊥ , pour tout u ∈ Rn, et montrer ainsi que toutes les marginales de µ sont gaussiennes. On a donc bien que
µ est une mesure gaussienne.
Comme pour l’inégalité de Brunn-Minkowski classique, cette inégalité de Brunn-Minkowski gaus-sienne, ou inégalité de Ehrhard, permet de retrouver l’inégalité isopérimétrique gaussienne découverte
indépendamment par Borell [38] et Sudakov et Tsirel’son [111]. En effet, Φ−1◦ γn(Aε) = Φ−1◦ γn (1 − λ) A 1 − λ+ λ εBn 2 λ ≥ (1 − λ)Φ−1◦ γn A 1 − λ + λΦ−1◦ γn εB n 2 λ −→ λ→0+Φ −1◦ γ n(A) + ε.
Pour le passage à la limite, on a besoin de connaître l’asymptotique de Φ−1. Or, par intégration par partie, on obtient quand r → +∞
1 − Φ(r) = Z +∞ r e−t2/2 √ 2π dt ∼ e−r2/2 √ 2πr. D’où log 1 − Φ(r) ∼ −r2/2, et l’équivalent quand x → 1−, Φ−1(x) ∼p−2 log(1 − x). D’autre part, par une autre intégration par partie, quand r → +∞,
1 − γn(rBn2) = Z +∞ r Kntn−1e−t 2/2 dt ∼ Knrn−2e−r 2/2 , log(1 − γn(rBn2)) ∼ −r 2/2.
On trouve donc l’équivalent souhaité
Φ−1(γn(rBn2)) ∼ r.
Calculons maintenant la mesure de l’élargi d’un demi-espace : Φ−1◦ γn (−∞, x) × Rn−1 ε = Φ−1◦ γn (−∞, x + ε) × Rn−1 = Φ−1◦ Φ(x + ε) = x + ε = Φ−1◦ γn (−∞, x) × Rn−1 + ε.
On obtient finalement que si H est un demi-espace de Rntel que γ
n(A) = γn(H), alors γn(Aε) ≥ γn(Hε).
En dérivant, on obtient que les demi-espaces sont les ensembles mesurables de plus petite mesure de bord gaussienne. Ce qui se traduit par l’inégalité isopérimétrique gaussienne :
γ+n(∂A) ≥ ϕ ◦ Φ−1◦ γn(A),
où ϕ est la densité de γ1.
Pour démontrer l’inégalité (7), Ehrhard et Latała utilisent une méthode de symétrisation pour se rame-ner en dimension 1. Borell utilise une toute autre méthode : comme pour l’inégalité de Brunn-Minkowski classique, elle consiste à démontrer une version fonctionnelle. En fait, il montre une inégalité dépendant d’un paramètre t interpolant entre la condition sur les fonctions et l’inégalité sur leurs intégrales, en faisant intervenir le semigroupe de la chaleur Pt. Si f , g et h sont des fonctions boréliennes de Rn dans
[0, 1] telles que
∀x, y ∈ Rn, Φ−1◦ h(αx + βy) ≥ αΦ−1◦ f (x) + βΦ−1◦ g(y), (8)
alors pour tout t ≥ 0,
∀x, y ∈ Rn, Φ−1◦ P
th(αx + βy) ≥ αΦ−1◦ Ptf (x) + βΦ−1◦ Ptg(y). (9)
Ici Ptf est défini par
Ptf (x) =
Z
Si f est régulière, c’est la solution de l’équation de la chaleur ∂tPtf =
1
2∆Ptf, (10) de condition initiale P0f = f . Si on pose t = 0 dans (9), on retrouve (8). Si on pose t = 1 et x = y = 0, on
trouve la version fonctionnelle de (7). Lorsque les fonctions sont régulières, prouver (9) n’est rien d’autre que montrer un principe de maximum pour les fonctions vérifiant une certaine équation différentielle. Dans [42], Borell utilise ce principe pour montrer que l’inégalité de Brunn-Minkowski gaussienne reste vraie lorsqu’on relâche les conditions sur les coefficient α et β. Puis, dans [43], il montre par une récurrence astucieuse une version de cette inégalité pour m ensembles avec les conditions correspondantes sur les coefficients αi. Nous montrons dans le chapitre 1 ce résultat en utilisant directement la preuve par
semigroupe, et en donnons une légère extension. Notre théorème principal est le suivant. Théorème 1. Soient Iconv⊂ {1, . . . , m} et α1, . . . , αm> 0. L’inégalité
Φ−1◦ γn X i αiAi ≥X i αiΦ−1◦ γn(Ai)
est vraie pour tous boréliens A1, . . . , Am de Rn tels que Ai est convexe lorsque i ∈ Iconv, si et seulement
si X i αi≥ 1 et ∀j /∈ Iconv, αj− X i6=j αi≤ 1.
Nous démontrons en fait une version fonctionnelle de ce résultat. On définit la fonction C sur R+× (Rn)mpar
C(t, x) = C(t, x1, . . . , xm) = Φ−1◦ Pth Pαixi −
X
i
αiΦ−1◦ Ptfi(xi).
Alors, une version du principe du maximum assure que
C(0, . ) ≥ 0 =⇒ ∀t ≥ 0, C(t, . ) ≥ 0.
Heuristiquement, on veut que, dès que le minimum (en x) de C atteint 0, il soit repoussé vers le haut. Cela se traduit par :
Hessx(C) ≥ 0 ∇xC = 0 C ≤ 0 =⇒ ∂tC ≥ 0.
Or C vérifie une équation différentielle provenant de (10) de la forme ∂tC = P + S,
où P désigne les termes du premier ordre et S ceux du second ordre. Lorsque ∇xC = 0, les termes du
premier ordre se simplifient. Ce sont en fait les termes du second ordre qui donnent la condition sur les coefficients αi. En effet, si on peut mettre S sous la forme E C, où E est un opérateur elliptique, alors
S ≥ 0 dès que Hessx(C) ≥ 0. C’est le cas s’il existe une matrice symétrique réelle positive B de taille
m × m vérifiant
hα, Bαi = he1, Be1i = · · · = hem, Bemi = 1,
avec (e1, . . . , en) la base canonique de Rn. Après un peu d’algèbre linéaire, cette dernière condition se
traduit en X i αi ≥ 1 et ∀j, αj− X i6=j αi≤ 1.
Le cas d’ensembles convexes correspond dans la version fonctionnelle à des fonctions Φ−1◦ Ptficoncaves,
dont le laplacien est négatif. On utilise ce fait pour relâcher les inégalités sur les αiet obtenir la condition
du théorème 1.
Cette technique de preuve s’adapte également à la démonstration des inégalités de Brascamp-Lieb et Brascamp-Lieb inverse, comme cela avait déjà été remarqué en dimension 1 dans [19] pour la deuxième
inégalité. Ce sont des extensions respectivement de l’inégalité de Hölder et de l’inégalité de Prékopa-Leindler, au cas où les fonctions n’ont pas toutes le même ensemble de départ. Pour i = 1, . . . , m, soient ci> 0 et Bi: Rn → Rni linéaire surjective tels que
m
X
i=1
ciBi∗Bi= In.
Soient fi: Rni→ R+ des fonctions boréliennes. Alors l’inégalité de Brascamp-Lieb [45, 90] s’écrit
Z Rn m Y i=1 fi(Bix)cidx ≤ m Y i=1 Z Rni fi ci .
L’inégalité de Brascamp-Lieb inverse [12, 14] assure quant à elle, que s’il existe une fonction borélienne h : Rn → R+vérifiant ∀xi∈ Rni, h Xm i=1 ciB∗ixi ≥ m Y i=1 fi(xi)ci, alors Z Rn h ≥ m Y i=1 Z Rni fi ci .
Comme précédemment, pour prouver ces deux inégalités, nous montrons qu’une fonction C dépendant du temps vérifie une équation différentielle qui préserve la positivité. Pour Brascamp-Lieb inverse, on pose
C(t, x) = log Pth Xm i=1 ciBi∗xi − m X i=1 cilog Ptfi(xi).
On obtient la conclusion attendue en faisant tendre t → +∞ et en utilisant que : Ptf (x) = (2πt)−d/2 Z Rd f (y) exp |x − y| 2 2t dy ∼ (2πt)−d/2 Z Rd f.
De façon plus inattendue, cette méthode permet aussi de retrouver Brascamp-Lieb. On choisit C(t, x) = m X i=1 cilog Ptfi(Bix) − log Pth(t, x). et on pose ensuite h(x) =Qm i=1fi(xi) ci.
Nous avons aussi cherché des versions gaussiennes de ces inégalités de Brascamp-Lieb. Si ∀x ∈ Rn,
m
X
i=0
ciΦ−1◦ fi(Bix) ≥ 0,
a-t-on pour tout t ≥ 0,
∀x ∈ Rn, m
X
i=0
ciΦ−1◦ Ptfi(Bix) ≥ 0 ?
Malheureusement, nous n’avons pu vérifier les conditions de notre version du principe du maximum que dans des cas pouvant se déduire directement du théorème 1.
2
Inégalités isopérimétriques pour des mesures de probabilité
log-concaves à symétrie radiale
Dans le chapitre 2, nous étudions l’isopérimétrie de mesures µ sur Rn de la forme
µ(dx) =e
−φ(|x|)
avec φ convexe croissante et Z choisi tel que µ soit une mesure de probabilité. Ainsi µ est une mesure log-concave dont la densité ne dépend que du rayon. Bobkov a montré [33] que de telles mesures vérifiaient la conjecture KLS. En fait, il montre que si de plus la covariance de µ est l’identité, c’est-à-dire dans notre cas particulier, si Eµ(|X|2) = n, alors µ satisfait l’inégalité de Poincaré avec constante universelle :
∀f : Rn→ R régulière, C2Varµ(f ) ≤ Eµ(|∇f |2), (12)
où C > 0 est une constante universelle. De façon générale, l’inégalité de Cheeger (5) implique l’inégalité de Poincaré (12) avec la même constante C à constante universelle mutiplicative près (cf [54, 93, 94]). En effet, l’inégalité de Cheeger est équivalente, grâce à la formule de la coaire ([63]), à une inégalité fonctionnelle L1(cf [95, 35]) :
CEµ |f − Mµ(f )| ≤ Eµ(|∇f |),
où Mµ(f ) désigne une médiane de f . On déduit alors l’inégalité de Poincaré en appliquant l’inégalité
ci-dessus à sgn(f )f2, lorsque Mµ(f ) = 0 : CEµ(f2) ≤ 2Eµ(|f ∇f |) ≤ 2 q Eµ(f2) q Eµ(|∇f |2), Varµ(f ) ≤ Eµ(f2) ≤ 4 C2Eµ(|∇f | 2).
Néanmoins, dans le cas des mesures log-concaves, Ledoux [87] montre que la réciproque est vraie, c’est-à-dire que (12) implique (5). Ainsi le résultat de Bobkov permet d’obtenir une inégalité de Cheeger avec constante universelle pour les mesures µ définies précédemment, à covariance identité. Si on définit le profil isopérimétrique de µ par
Isµ(a) = infµ+(∂A) : µ(A) = a ,
on a donc, pour tout a ∈ (0, 1/2),
Isµ(a) ≥ Ca.
Lorsqu’on a plus d’informations sur φ, on peut espérer améliorer cette inégalité. Ainsi, si φ(t) = t2/2, on retrouve le cas de la gaussienne pour laquelle on a vu que l’on connaît exactement la solution au problème isopérimétrique. D’où Isγn(a) = ϕ ◦ Φ −1(a) ≥ Ca r log1 a. Plus généralement, nous montrons dans le chapitre 2 le théorème suivant.
Théorème 2. Soient α ≥ 1 et φ : t 7→ (λt)αavec λ > 0 choisi de telle sorte que µ défini par (11) vérifie
Eµ(|X|2) = n. Il existe une constante universelle C > 0 telle que pour tout a ∈ [0, 1/2],
– si α ≤ 2, alors Isµ(a) ≥ Ca log1 a 1−1/α ; (13) – si α ≥ 2, alors Isµ(a) ≥ Ca r log1 a. (14)
Nous étendons également ce résultat à des φ plus généraux. Les conditions sur φ portent alors sur la concavité ou la convexité de√φ.
Remarquons que le calcul de λ tel que Eµ(|X|2) = n est simple. En effet
Eµ(|X|2) = R+∞ 0 t n+1e−tα dt λ2R+∞ 0 tn−1e−t α dt = Γ (n + 2)/α λ2Γ(n/α) . D’où λ = s Γ (n + 2)/α nΓ(n/α) ≈ n 1/α−1/2.
Ici, la notation a ≈ b signifie qu’il existe deux constantes universelles positives c et C telles que ca ≤ b ≤ Ca.
Pour prouver une telle inégalité, on aimerait utiliser la formule (4) de Bobkov. Il faut alors estimer la mesure des boules et de leurs complémentaires. En calculant Eµ(et|X|
α
) puis en appliquant l’inégalité de Markov de façon « naïve », on obtient une estimation valable pour tout r > 0 :
µ{|x| ≥ r} ≤ Cnαe−(λr) α/2
. Lorsque α ∈ [1, 2], on obtient (cf par exemple le lemme 4 de [15])
Isµ(a) ≥ C √ n a log1 a 1−1/α .
Cela donne la bonne fonction en a mais le mauvais ordre de grandeur pour la constante devant. Il nous faut donc une estimation plus précise, obtenue en optimisant en t dans la procédure précédente ou bien en effectuant une intégration par partie. En contrepartie, le résultat n’est plus valable que pour r assez grand. Γ (n/α) α µ{|x| ≥ r/λ} = Z +∞ r tn−1e−tαdt = 1 α rn−αe−rα+ (n − α) Z +∞ r tn−α−1e−tαdt . D’où, pour tout r > 0,
µ{|x| ≥ r} ≥ 1 Γ(n/α) (λr) n−α e−(λr)α , et pour tout λr ≥ (2(n − α)/α)1/α, µ{|x| ≥ r} ≤ 2 Γ(n/α) (λr) n−α e−(λr)α .
Comme on choisit r = Cn(log 1/a)1/α afin de déduire la bonne inégalité à partir de (4), cette estimée
valable pour des valeurs de r assez grande conduit à une inégalité isopérimétrique pour des ensembles de mesure assez petite. En fait, nous montrons l’existence de constantes universelles c et C telles que pour tout α ≥ 1, ∀a ∈ [0, e−cn∧ 1/2], Isµ(a) ≥ Cn1/α−1/2a log1 a 1−1/α . (15) Lorsque α < 2, n1/α−1/2 → +∞ et donc l’inégalité ci-dessus est plus forte que (13). Quand α ≥ 2, on
utilise a ≤ e−cn pour déduire (14).
Une autre idée pour démontrer le théorème 2, consiste à décomposer µ en sa mesure radiale associée, i.e. la projection de µ sur le rayon, et la mesure uniforme sur la sphère σn−1. En effet, si R et θ sont
deux variables aléatoires indépendantes respectivement de loi ν et σn−1, alors X = Rθ est de loi µ. C’est
ainsi que Bobkov montre que µ vérifie la conjecture KLS dans [33]. La mesure radiale est une mesure sur R+ pour laquelle nous prouvons les inégalités (13) et (14). Quant à σ
n−1, on connaît exactement son
profil isopérimétrique puisque Lévy [89]et Schmidt [108] ont montré que ce sont les calottes sphériques qui minimisent la mesure de bord. On peut transformer ces inégalités isopérimétriques en des inégalités fonctionnelles de la forme : ∀f régulière, J Z f dm ≤ Z J (f ) dm + 1 C Z |∇f | dm,
où J (a) ≈ a(log 1/a)1−1/α si α ≤ 2 ou J (a) ≈ aplog 1/a si α ≥ 2. En tensorisant les inégalités obtenues
pour ν et σ, on obtient : J Z f dµ ≤ Z J (f ) dµ + 1 C Z |∂rf | dµ + 1 C√n Z r |Πθ⊥(∇f )| dµ,
avec ∂rla dérivée radiale et Πθ⊥la projection orthogonale sur θ⊥. Cette inégalité permettrait de conclure
si r était borné puisque |∇f |2= |∂
rf |2+ |Πθ⊥(∇f )|2. Pour tensoriser l’inégalité de Poincaré, Bobkov s’en
sortait en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour sortir r de la dernière intégrale. Ici, ça ne marche pas et nous avons recours à une technique de cut-off. On tronque lorsque r dépasse √n, c’est-à-dire pEµ(|X|2) par hypothèse. Lorsqu’on remplace f par la fonction indicatrice de A, on retrouve l’inégalité
isopérimétrique souhaitée, quitte à choisir des ensembles de mesure assez grande pour que l’erreur due à la troncature ne soit pas perceptible. Ainsi nous prouvons
∀a ∈ [e−cn, 1/2], Isµ(a) ≥ C a log1 a 1−1/α∧2 .
Nous avons vu que les inégalités obtenues au théorème 2 ne sont pas optimales au sens où (15) les améliore lorsque a est assez petit. Cependant, le résultat est optimal lorsqu’on cherche à minorer le profil isopérimétrique par une constante dépendant éventuellement de n, multipliée par une fonction de a indépendante de n. En effet, comme µ vérifie la conjecture KLS, la constante optimale doit être une constante universelle. De plus, la fonction en a optimale est donnée alors par les résultats connus pour le cas n = 1 (cf [18] par exemple) et ne peut être meilleure que le profil gaussien d’après le théorème central limite de Klartag [78].
Par ailleurs, si l’on autorise des profils dépendant de n, nous prouvons l’amélioration suivante du théorème 2 :
Théorème 3. Soient α ≥ 1 et φ : t 7→ (λt)αavec λ > 0 choisi de telle sorte que µ défini par (11) vérifie
Eµ(|X|2) = n. Il existe une constante universelle C > 0 telle que pour tout a ∈ [0, 1/2],
Isµ(a) ≥ CJ (a),
où J est définie sur [0, 1/2] par J (a) = n1/α−1/2 a log1 a 1−1/α si a ≤ e−n, a r log1 a si a ≥ e −n.
On peut trouver des intervalles pour a sur lesquels ce théorème donne des inégalités optimales à constante multiplicative près. Il s’agit d’exhiber des ensembles presque isopérimétriques, c’est-à-dire pour lesquels la mesure de bord est minimale, toujours à constante multiplicative près. Dans le cas particulier de la gaussienne, α = 2, nous avons vu que les demi-espaces étaient les solutions exactes du problème iso-périmétrique. Dans le cas général, nous utilisons le fait que les marginales de µ tendent vers la gaussienne γ1lorsque la dimension est grande pour montrer le lemme suivant.
Lemme 4. Pour tout r tel que
c1≤ r ≤ c2n1/8,
ou encore pour tout a := µ {x1≥ r} tel que
e−c3n1/16 ≤ a ≤ e−c4 < 1/2, (16) on a µ+ ∂{x1≥ r} ≤ C0 a r log1 a, où C0, c1, . . . , c4 sont des constantes universelles positives.
Les demi-espaces sont donc presque isopérimétriques pour tout α ≥ 1, quand (16) est vérifié. De ma-nière plus surprenante, les complémentaires de boules sont aussi des ensembles presque isopérimétriques pour tout α ≥ 1 et en particulier pour la gaussienne, lorsque la mesure de l’ensemble est assez petite. Cela se comprend dans la mesure où nous utilisons l’isopérimétrie de la mesure radiale pour démontrer l’inégalité vérifiée par µ.
Lemme 5. Il existe une constante universelle C > 0 telle que, pour tout n ≥ α + 1, dès que a := µ {|x| ≥ r} ≤ e−3n∧ 1/2, alors µ+ ∂{|x| ≥ r} ≤ Cα n1/α−1/2 a log1 a 1−1/α .
3
Quelques exemples pour la conjecture KLS
Dans le chapitre 3, nous nous intéressons à la conjecture KLS. Rappelons qu’elle affirme que toute mesure de probabilité log-concave µ, dont la covariance est l’identité, vérifie l’inégalité de Cheeger (5) avec une constante universelle. Nous avons vu à la section 2 que d’après un résultat de Ledoux, c’est équivalent à demander que µ vérifie l’inégalité de Poincaré (12) avec constante universelle. En fait, dans le cadre des mesures log-concaves, E. Milman a montré récemment [97] que toutes les inégalités de Poincaré (p, q) sont équivalentes pour 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞. En particulier, la conjecture KLS revient à montrer qu’il existe une constante universelle C > 0 telle que
∀f : Rn → R régulière, Varµ(f ) ≤ C |∇f | 2 ∞. (17)
Cela simplifie grandement le problème. Notamment, si µ vérifie la conjecture KLS et si ˜µ est l’image de µ par une application T régulière, alors il suffit de borner E kD?T k2 pour prouver que ˜µ satisfait également la conjecture. En effet,
Varµ˜(f ) = Varµ(f ◦ T ) ≤ C E |∇f ◦ T |2 ≤ C E kD?T k2
|∇f |
2 ∞.
Cette conjecture reste très difficile à appréhender dans sa généralité. Pour l’instant, on ne sait que la vérifier dans des cas mettant en jeu assez de structure. Nous avons vu précédemment que le résultat de Bobkov [33] prouvait la conjecture pour les mesures log-concaves à symétrie radiale. Les propriétés de tensorisation de l’inégalité de Poincaré (cf [35]) permettent de voir que les mesures produit vérifient également la conjecture. Cependant la conjecture initiale de Kannan, Lovász et Simonovits [75] portait sur les mesures uniformes sur des convexes. Jusqu’à présent, on sait que la conjecture est vraie pour les boules `p avec p ≥ 1, définies par
Bnp = x ∈ Rn; |x|p= X xpi 1/p ≤ 1
(cf [48] pour le cas euclidien p = 2, [110] pour p ∈ [1, 2], [85] pour p ≥ 2 et [24] pour une preuve unifiée), pour l’hypercube (cf [73] ou [36]), et pour le simplexe régulier (cf [24]), ou pour toute dilatation et tout produit de convexes satisfaisant la conjecture.
Dans ce chapitre, nous exhibons de nouvelles classes de convexes et de mesures log-concaves satisfaisant la conjecture KLS.
Théorème 6. Fixons p0≥ 1. Pour tous entiers k, n, n1, . . . , nk ≥ 1 et tous réels p0≥ p, q, q1, . . . , qk≥ 1,
– les convexes de `q-révolution de la forme
K = {(t, x) ∈ I × Rn; |x|q ≤ R(t)}
avec I un intervalle de R et R une fonction positive concave sur I, – les `p-sommes de boules `qi définies par
Bp(Bnq11, . . . , B nk qk) = {x ∈ R n1+···+nk; |x 1|pq1+ · · · + |xk| p qk ≤ 1},
vérifient la conjecture KLS pour les convexes. De même,
– les mesures log-concaves sur Rn symétriques par rapport à la norme `q de la forme
µ(dx) = ρ(|x|q)dx
– les mesures log-concaves sur R1+n de `q-révolution de la forme
µ(dtdx) = ρ(t, |x|q)dx
avec ρ log-concave et décroissante en la deuxième variable, vérifient la conjecture KLS pour les mesures log-concaves.
En fait, on peut remplacer les Bnq et les normes `
q par des corps convexes B dont l’intérieur contient
0, et leurs normes associées | . |B définies par
|x|B= inf n λ > 0, x λ ∈ B o , dès que :
– B vérifie lui-même la conjecture KLS, – si µB désigne la mesure uniforme sur B,
EµB ∇|X|B 2 |X|2≤ C,
où C est une constante universelle. Dans le cas de la `p-somme de convexes B
i, les convexes doivent vérifier de plus
EµB ∇|X|B 2 EµB|X| 2≤ C.
Il n’est pas difficile de vérifier que les conditions ci-dessus sont remplies pour les boules `q, grâce à la
représentation suivante de leur mesure de cône et de leur mesure uniforme : si Y suit la loi de densité proportionnelle à exp(−P |yi|q), alors X = Y /|Y |q est indépendant de Y et suit la loi σBq, la mesure
de cône sur Bq (cf [106, 105]). Si de plus Z est une variable indépendante de densité proportionnelle à
zq−1exp(−zq), alors Y /|(Y, Z)|
q suit la loi uniforme sur Bq (cf [21]).
Pour montrer le résultat concernant les mesures symétriques ou de révolution par rapport à | . |B, on
considère µ comme l’image de la mesure ν ⊗ σB, où ν est respectivement la loi sur R+de r = |x|B, ou la
loi sur R × R+ de (t, r) = (t, |x|
B). Pour la `p-somme de convexes, nous suivons la preuve unifiée donnée
dans [24] pour les boules `p, pour tout p ≥ 1. Nous montrons un lemme de représentation de la mesure uniforme, semblable à celui précédemment cité pour les boules `p. Si B1, . . . , Bk sont des corps convexes
de Rn1, . . . , Rnk d’intérieur contenant 0, on définit leur `p-somme par
Bp(B1, . . . , Bk) = {x ∈ Rn1+···+nk; |x1|pB1+ · · · + |xk|pBk≤ 1}.
Lemme 7. Soient Y = (Y1, . . . , Yk) ∈ Rn1+···+nk et Z ∈ R+, des variables aléatoires de densités
propor-tionnelles respectivement à exp(−P |yi| p Bi) et z p−1exp(−zp). Posons S =X|Yi|pBi+ Z p et X = T (Y, Z) = Y S1/p.
Alors X est indépendante de S, et de loi uniforme sur Bp(B1, . . . , Bk).
On conclut alors en majorant E kD?T k2, d’après la remarque précédente.
4
Propriété d’hypergroupe et représentation de noyaux
markoviens
Soit (E, E , µ) un espace polonais muni de sa tribu borélienne et d’une mesure de probabilité. Un noyau markovien est la donnée d’une famille de probabilités k(x, dy) sur (E, E ) pour tout x ∈ E, avec x 7→ k(x, A) mesurable pour toute partie mesurable A de E. On lui associe un opérateur K défini sur les fonctions mesurables bornées par
Kf (x) = Z
f (y)k(x, dy).
Ce sont de bons outils pour l’étude d’inégalités fonctionnelles, comme nous avons pu le constater avec le noyau de la chaleur à la section 1. Dans ce dernier chapitre, nous nous intéressons aux noyaux markoviens
bornés et autoadjoints sur L2(µ) admettant une famille donnée de fonctions comme base de vecteurs
propres. On peut les décrire de manière simple lorsque cette famille de fonctions vérifie la propriété dite d’hypergroupe.
Remarquons tout d’abord que si K est un opérateur autoadjoint de L2(µ), alors il provient d’un noyau
markovien si et seulement si
f ≥ 0 ⇒ Kf ≥ 0 et K1 = 1. (18) Soit (fn)n≥0 une base orthonormée de L2(µ) formée de fonctions continues sur E, et telle que f0 = 1.
Nous dirons que la suite (λn)n≥0est une suite markovienne si l’opérateur de L2(µ) défini sur la base (fn)
par
∀n ≥ 0, Kfn= λnfn
provient d’un noyau markovien. On voit immédiatement qu’il faut λ0 = 1 et |λn| ≤ 1. Si on note M
l’ensemble des suites markoviennes, il est donc compact dans RN. De plus toute combinaison convexe de
noyaux markoviens autoadjoints l’est encore, donc M est également convexe. Ainsi, par le théorème de Krein-Milman, M est entièrement décrit par ses points extrémaux. Nous introduisons maintenant une propriété sur (fn)n≥0permettant de les identifier.
Definition. La famille (fn)n≥0vérifie la propriété d’hypergroupe au point x0 si pour tout x ∈ E, la suite
fn(x)/fn(x0)n≥0est une suite markovienne. De façon équivalente, pour tout x ∈ E, il existe un noyau
markovien k(x, y, dz) tel qu’on ait la formule produit suivante : ∀n ≥ 0, ∀x, y ∈ E, fn(x)fn(y)
fn(x0)
= Z
fn(z)k(x, y, dz). (19)
Lorsque cette propriété d’hypergroupe est vérifiée, on peut définir une structure de convolution sur l’espace des mesures bornées sur E par la formule
ν1? ν2(dz) =
Z
ν1(dx)ν2(dy)k(x, y, dz).
Avec des masses de Dirac en x et y, on obtient δx? δy(fn) =
fn(x)fn(y)
fn(x0)
.
Si la famille (fn)n≥0 est une famille assez riche de fonctions mesurables, on a alors pour tout x ∈ E,
δx? δx0 = δx0? δx= δx.
On voit donc apparaître la structure d’hypergroupe. Cependant on n’essaie pas ici de vérifier tous les axiomes (cf le traité très complet [29] pour plus de précisions sur les hypergroupes). On extrait simplement la propriété qui nous intéresse, qui permet de montrer le théorème suivant.
Théorème 8. Si (fn)n≥0vérifie la propriété d’hypergroupe, i.e. si
∀x ∈ E, λn(x) :=
fn(x)
fn(x0)
∈ M,
alors les suites λn(x)n≥0 sont en fait les points extrémaux de M, et toute autre suite markovienne
(λn)n≥0 s’écrit λn= Z f n(x) fn(x0) ν(dx), où ν est une mesure de probabilité.
Pour le voir, il suffit de prendre ν(dz) = kλ(x0, dz) où kλ est le noyau markovien associé à la suite
markovienne λ.
Nous montrons dans la suite que cette propriété n’est pas creuse puisqu’elle est vérifiée dans différentes situations : dans le cas des groupes finis, de bases de Sturm-Liouville et de polynômes orthogonaux.
Lorsque E est fini, la propriété d’hypergroupe s’écrit ∀x, y, z, X n≥0 fn(x)fn(y)fn(z) fn(x0) ≥ 0,
puisqu’il s’agit alors de la densité par rapport à µ de k(x, y, dz). On peut alors la voir comme une propriété duale de la propriété GKS qui apparaît en mécanique statistique. La base orthonormale de fonctions (fn)
vérifie la propriété GKS si le produit de deux fonctions de cette base s’exprime avec des coefficients positifs dans cette même base, ou encore si
∀i, j, k, X
x∈E
fi(x)fj(x)fk(x) µ(x) ≥ 0.
Bakry et Echerbault introduisent dans [8] cette propriété pour étendre les inégalités GKS (d’après Griffiths [68], Kelly et Sherman [76]) démontrées sur {−1, 1}N. Si H est une fonction sur E, on note µ
H(dx) =
e−H(x)/ZHµ(dx). On dit que H est GKS si elle s’exprime comme combinaison linéaire à coefficients
positifs des fn.
Théorème (Bakry-Echerbault). Supposons que la base (fn) vérifie la propriété GKS. Alors, si F et H
sont GKS ,
Z
F dµH ≥ 0.
Nous conjecturons également
Conjecture. Supposons que la base (fn) vérifie la propriété GKS et la propriété d’hypergroupe. Alors,
si F , G et H sont GKS, Z F G dµH− Z F dµH Z G dµH ≥ 0.
Si on munit l’ensemble {−1, 1}N de la mesure uniforme, alors la base
wA: x 7→ Y i∈A xi ! A⊂{1,...,N }
vérifie la propriété GKS et la propriété d’hypergroupe au point (1, . . . , 1). Plus généralement, pour tout groupe fini G, on munit l’ensemble des classes de conjugaisons ˆG de la mesure induite par la mesure uniforme sur G. Alors la base orthonormale formée des caractères irréductibles de G (constants sur les classes de conjugaison), vérifie la propriété GKS et la propriété d’hypergroupe en la classe de conjugaison de l’élément neutre. La structure d’hypergroupe est simplement donnée par la convolution habituelle sur les groupes.
Ainsi, pour tout ensemble fini E muni de la mesure uniforme, il existe une base orthonormale complexe de fonctions vérifiant la propriété d’hypergroupe et la propriété GKS : il suffit de prendre les caractères de Z/nZ. En revanche, nous démontrons le résultat suivant en ce qui concerne les bases réelles :
Théorème 9. Soit E un ensemble fini, muni de la mesure uniforme et d’une base orthonormale réelle de fonctions sur E. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) la base de fonctions vérifie la propriété d’hypergroupe en un point ; (ii) la base de fonctions vérifie la propriété GKS ;
(iii) le cardinal de E vaut 2N
et la base de fonctions est la base des caractères de (Z/2Z)N, c’est-à-dire
la base (wA)A⊂{1,...,N } décrite ci-dessus.
En fait, (i) et (ii) impliquent que la matrice de la base de fonctions est une matrice de Hadamard, i.e. à entrées ±1 et lignes orthogonales entre elles. Quand sa taille est 2N, il s’agit de la matrice provenant de la base (wA). De façon générale, le cardinal d’une telle matrice doit être 1, 2 ou 4k, mais en trouver une
pour tout k reste un question ouverte. Cependant, lorsqu’elle vérifie (i) ou (ii), nous montrons qu’elle doit être de taille 2N. Notons également qu’il est possible de trouver des mesures et des bases pour lesquelles
une des deux propriétés — GKS ou hypergroupe — est vérifiée mais pas l’autre, dès que le cardinal de E est plus grand que 3.
Considérons maintenant le cas où E = [a, b] un intervalle compact de R et µ = e−V (x), avec V une fonction sur E supposée assez régulière. On associe à µ l’opérateur différentiel
L(f )(x) = f00(x) − V (x)f0(x),
qui est symétrique dans L2(µ). Il existe une base orthonormale de L2(µ), dite de Sturm-Liouville,
consti-tuée de vecteurs propres (f0 = 1, . . . , fn, . . .) de L, tels que fn0(a) = fn0(b) = 0 et Lfn = −λnfn avec
λ0 = 1 < λ1 < · · · < λn < · · · (cf [47]). La propriété d’hypergroupe correspond alors à un principe du
maximum pour l’équation des ondes. En effet, (fn) vérifie la propriété d’hypergroupe au point a si, pour
tout f assez régulière sur [a, b] dont la dérivée s’annule en a et b, f ≥ 0 =⇒ F ≥ 0, où F est la fonction définie sur [a, b]2 par
(Lx− Ly)F = 0, F (a, . ) = f,
F vérifient les conditions de Neumann sur le bord de [a, b]2.
Nous montrons que ce principe du maximum est vérifié dans les cas suivants.
Théorème 10. Si la densité de µ est log-concave croissante, ou bien si elle est log-concave symétrique et [a, b] = [−b, b] est symétrique, alors la base de Sturm-Liouville vérifie la propriété d’hypergroupe au point a.
Le cas symétrique est annoncé par Achour et Trimèche dans [1] sans démonstration. Nous nous inspirons fortement de la preuve qu’Achour donne dans sa thèse, jamais publiée. On commence par restreindre le domaine d’étude en utilisant les symétries du problème. Puis nous montrons une formule de représentation pour la fonction F au point M en appliquant un lemme analogue à la formule de Stockes sur le triangle M M−M+ (cf figure ci-dessous) :
2G(M ) = G(M−) + G(M+) + Z [M−M ] G(s)a+(s) ds + Z [M M+] G(s)a−(s) ds,
avec G(x, y) = F (x, y)e−V (x)e−V (y) et a+, a− ≥ 0 d’après les hypothèses sur µ. On en déduit alors la
positivité de F sur le domaine restreint puis sur [a, b]2tout entier.
Nous nous intéressons enfin au cas des polynômes de Jacobi. Pour p, q > 0, ce sont les polynômes orthogonaux Pnp,qn≥0associés à la mesure de probabilité définie sur [−1, 1] par
µp,q(dx) = Cp,q(1 − x) q−2
2 (1 + x) p−2
2 dx.
Ce sont aussi les vecteurs propres de l’opérateur Lp,qf (x) = (1 − x2)f00(x) − qx + 1 2 + p x − 1 2 f0(x).
Si on fait le changement de variables x = cos θ, on s’aperçoit qu’on a de nouveau affaire à une base de Sturm-Liouville avec conditions de Neumann. Si de plus p, q ≥ 1, la mesure µp,q est log-concave. Le
théorème précédent implique alors que dans le cas symétrique p = q ≥ 1, les polynômes de Jacobi vérifient la propriété d’hypergroupe en 1. Dans ce cas particulier, ces polynômes s’appellent également polynômes ultrasphériques et la formule produit (19) correspondante était déjà connue de Gegenbauer [67]. En fait, si p est entier, on peut donner une interprétation géométrique pour les polynômes ultrasphériques qui permet de comprendre la structure de convolution sous-jacente. En effet, si X est une variable aléatoire uniforme sur la sphère Sp ⊂ Rp+1
, et u ∈ Sp, alors µp,p est la loi de hX, ui. Quant à l’opérateur Lp,p, il
correspond au laplacien sphérique appliqué aux fonctions ne dépendant (par exemple) que de la première coordonnée. Soient ν1et ν2deux mesures de probabilité sur [−1, 1]. On peut remonter de façon unique ν1
0 −b +b −b +b M M+ M− Fig. 1 – Triangle M M−M+.
qui fixe e1, telle que sa projection sur e1soit ν1. On choisit X selon cette loi ˆν1, puis on remonte ν2en une
probabilité ˆν2 zonale autour de X. Enfin on tire un point Y sur la sphère selon ˆν2. On vérifie facilement
que la loi de Y est zonale autour de e1. On définit alors la convolée ν1? ν2 comme la projection de cette
loi sur e1. C’est cette convolution qui donne la structure d’hypergroupe recherchée.
Dans le cas général, Gasper [65, 66] étend la formule produit à q > p ≥ 1 par une démonstration très technique. Il calcule explicitement la somme
X
n≥0
Pp,q
n (x)Pnp,q(y)Pnp,q(z)
Pnp,q(1)
à l’aide de fonctions de Bessel et hypergéométriques. Koornwinder [82] en donne une autre preuve à l’aide d’une formule de représentation intégrale pour les polynômes de Jacobi, faisant encore intervenir des fonctions hypergéométriques. Là encore, lorsque p et q sont entiers, une interprétation géométrique des polynômes de Jacobi permet de retrouver cette formule de Koornwinder plus simplement. Posons N = p + q et paramétrisons la sphère SN −1 par
X = r 1 + x 2 X1, r 1 − x 2 X2 ! ,
avec X1 ∈ Sp−1, X2 ∈ Sq−1 et x ∈ [−1, 1]. La mesure image de la mesure uniforme sur la sphère σN −1
par l’application X 7→ (X1, X2, x) est alors σp−1⊗ σq−1⊗ µp,q. Et Lp,q correspond au laplacien sphérique
sur SN −1 appliqué aux fonctions ne dépendant que de x. Cependant la preuve reste assez complexe.
Récemment, Carlen, Geronimo et Loss [51] ont donné une preuve très simple et élégante du théorème de Gasper. De plus, ils interprètent le noyau k(x, y, dz) comme une projection d’un opérateur étudié précédemment dans [50], mesurant les corrélations entre les vélocités de particules dans le modèle de Kac pour l’équilibre d’un gaz. Cela leur permet de mieux comprendre l’interprétation géométrique des polynômes de Jacobi dans le cas asymétrique. Nous en déduisons une construction de la convolution. Supposons pour cela que q est un multiple de p, c’est-à-dire que q = (k − 1)p, de telle sorte que N = kp. Ecrivons X ∈ SN −1 sous la forme d’une matrice [X] de taille p × k. Avec ces notations, notre remarque précédente était que l’image de σN −1 par
X 7→ 2 [X](1, 0, . . . , 0)0
2
est la mesure de Jacobi µp,q. Plus généralement, pour tout u ∈ Sk−1, l’application
X 7→ 2 [X]u
2
− 1
envoie σN −1sur µp,q. La convolution s’interprète alors ainsi : soient ν1et ν2 deux mesures de probabilité
sur [−1, 1] ; – tirons X ∈ SN −1 de la forme X = r 1 + x 2 X1, r 1 − x 2 X2 ! ,
avec x de loi ν1, X1uniforme sur la sphère Sp−1 et X2uniforme sur la sphère Sq−1, indépendantes
entre elles ;
– tirons u ∈ Sk−1, indépendamment de X, de la forme u = r 1 + y 2 , r 1 − y 2 u2 ! , avec y de loi ν2, et u2 uniforme sur la sphère Sk−2, indépendantes.
Alors la loi de [X]u = r 1 + y 2 r 1 + x 2 X1+ r 1 − y 2 r 1 − x 2 [X2]u2 est invariante par rotation dans Rmet la loi de 2
[X]u
2
− 1 définit la convolée ν1? ν2. Remarquons que
[X2]u2s’écrit
[X2]u2=
r 1 + z
2 Z1
avec z et Z1indépendantes de loi respectivement µp,q−pet σp−1. Alors hX1, Z1i est de loi µp−1,p−1 et on
retrouve la formule produit de Gasper sous la forme : Pp,q n (x)Pnp,q(y) Pnp,q(1) = δx? δy(Pnp,q) = Z Pnp,q◦ ψ(x, y, z, w) µp,q−p(dz)µp−1,p−1(dw),
avec ψ définie sur [−1, 1]4 par 4 ψ(x, y, z, w) + 1
Inégalités de Brunn-Minkowski
gaussiennes
Écrit en collaboration avec Franck Barthe, publié dans [22].
In this chapter, we are interested in Gaussian versions of the classical Brunn-Minkowski inequality on the Lebesgue measure of sum-sets (see e.g. [102, 109]). On Rn with its canonical Euclidean structure
(h·, ·i, | · |) we consider the standard Gaussian measure γn(dx) = (2π)−n/2exp(−|x|2/2) dx, x ∈ Rn. Given
α, β ∈ R and sets A, B ⊂ Rn, we recall that their Minkowski combination is defined by
αA + βB = {αa + βb; (a, b) ∈ A × B}.
Using symmetrization techniques, Ehrhard [62] proved a sharp lower bound on the Gaussian measure of a convex combination of convex sets. Namely: if α, β ≥ 0 satisfy α + β = 1 and if A, B ⊂ Rn are convex, then
Φ−1◦ γn(αA + βB) ≥ αΦ−1◦ γn(A) + βΦ−1◦ γn(B),
where Φ is the cumulative distribution function of γ1. This inequality becomes an equality when A and B
are parallel half-spaces or the same convex set. Latała [83] showed that the inequality remains valid when A is convex and B is an arbitrary Borel set. In the remarkable paper [41], Borell was able to remove the remaining convexity assumption. He actually derived a functional version of the inequality (in the spirit of the Prékopa-Leindler inequality) by a wonderful interpolation technique based on the heat equation. In a series of papers, Borell extended the inequality to more general combinations:
Theorem (Borell [43]). Let α1, . . . , αm> 0. The inequality
Φ−1◦ γn X i αiAi ≥X i αiΦ−1◦ γn(Ai) (1.1)
holds for all Borel sets A1, . . . , Am in Rn if and only if
X i αi≥ 1 and ∀j, αj− X i6=j αi≤ 1.
Moreover, (1.1) holds for all convex sets A1, . . . , Amin Rn if and only if
X
i
αi≥ 1.
Borell established the case m = 2 for Borel sets in [42] thanks to his semigroup argument. His proof in [43] of the general case relies on a tricky and somewhat complicated induction. Remark that a linear combination of Borel sets need not be a Borel set; however it is analytic or Suslin, hence universally measurable, see e.g. [63].
We give here a slight extension of the above statement (the referee pointed out that it can actually be deduced from Borell’s theorem, thanks to the Sudakov-Tsirelson inequality Φ−1◦ γn(tA) ≥ tΦ−1◦ γn(A),
valid for t ≥ 1 and A convex. The latter is also a corollary of Borell’s general inequality.) More importantly we propose a streamlined version of the semigroup argument for m functions directly, which allows to take advantage of convexity type assumptions. This better understanding of the semigroup technique also allows to study more general situations. The main result is stated next. It involves the heat semigroup, for which we recall the definition: given a Borel nonnegative function f on Rn, its evolute at time t ≥ 0
is the function Ptf given by
Ptf (x) =
Z
f x +√t y γn(dy) = E f (x + Bt)
where B is an n-dimensional Brownian motion. By convention ∞ − ∞ = −∞ so that inequalities like (1.1), or the one introduced in the next theorem, make sense.
Theorem 1.1. Let Iconv⊂ {1, . . . , m}, α1, . . . , αm> 0. The following assertions are equivalent:
(i) The parameter α = (α1, . . . , αm) satisfies
X i αi≥ 1 and ∀j /∈ Iconv, αj− X i6=j αi≤ 1. (1.2)
(ii) For all Borel sets A1, . . . , Am in Rn such that Ai is convex when i ∈ Iconv,
Φ−1◦ γ X i αiAi ≥X i αiΦ−1◦ γ(Ai)
(iii) For all Borel functions h, f1, . . . , fmfrom Rn to [0, 1] such that Φ−1◦ fi is concave when i ∈ Iconv,
if ∀x1, . . . , xm∈ Rn, Φ−1◦ h X i αixi ≥X i αiΦ−1◦ fi(xi), then Φ−1 Z h dγ ≥X i αiΦ−1 Z fidγ .
(iv) For all Borel functions h, f1, . . . , fmfrom Rn to [0, 1] such that Φ−1◦ fi is concave when i ∈ Iconv,
if ∀x1, . . . , xm∈ Rn, Φ−1◦ h X i αixi ≥X i αiΦ−1◦ fi(xi),
then for all t ≥ 0
∀x1, . . . , xm∈ Rn, Φ−1◦ Pth X i αixi ≥X i αiΦ−1◦ Ptfi(xi).
Remark. Condition (1.2) can be rephrased as X
αi≥ max 1, max{2αj− 1; j 6∈ Iconv}.
Actually the condition will come up in our argument in the following geometric form: there exist vectors u1, . . . , um∈ Rmsuch that for all i ∈ Iconv, |ui| ≤ 1, for all i 6∈ Iconv, |ui| = 1, and |P αiui| = 1.
In the next section we show that the condition on α implies the fourth (and formally strongest) as-sumption in the latter theorem, when restricted to smooth enough functions. The third section completes the proof of the theorem. In the final section we discuss related problems.
Before going further, let us introduce some notation.
• We consider functions depending on a time variable t and a space variable x. The time derivative is denoted by ∂t, while the gradient, Hessian, and Laplacian in x are denoted by ∇x, Hessx, and
∆x, omitting the index x when there is no ambiguity.
• The unit Euclidean (closed) ball and sphere of Rd
are denoted respectively by Bd
and Sd−1.
• For A ⊂ Rd, we set Aε
= A + εBd. The notation Aε
i means (Ai)ε.
1.1
Functional and semigroup approach
As already mentioned we follow Borell’s semigroup approach of the Gaussian Brunn-Minkowski inequali-ties (see [41] and [42]): for parameters α satisfying (1.2), the plan is to show the functional version of the inequality (Theorem 1.1(iii)), by means of the heat semigroup. Note that (iv) implies (iii) by choosing t = 1 and xi = 0 in the last equation of (iv). So our aim is to establish (iv). More precisely, given Borel
functions h, f1, . . . , fm from Rn to (0, 1), we define C on [0, T ] × (Rn)mby
C(t, x) = C(t, x1, . . . , xm) = Φ−1◦ Pth Pαixi −
X
i
αiΦ−1◦ Ptfi(xi).
Since P0f = f the assumption
∀xi∈ Rn, Φ−1◦ h Pαixi ≥
X
i
αiΦ−1◦ fi(xi) (1.3)
translates as C(0, . ) ≥ 0. Our task is to prove
C(0, . ) ≥ 0 =⇒ ∀t ≥ 0, C(t, . ) ≥ 0.
1.1.1
Preliminaries
When the functions h and fi are smooth enough, the time evolution of Pth and Ptfi is described by the
heat equation. This yields a differential equation satisfied by C. Our problem boils down to determining whether this evolution equation preserves nonnegative functions. This is clearly related to the maximum principle for parabolic equations (see e.g. [47]). We will use the following lemma.
Lemma 1.2. Assume that C is twice differentiable. If Hess(C) ≥ 0 ∇C = 0 C ≤ 0 =⇒ ∂tC ≥ 0 (1.4)
and if for some T > 0
lim inf |x|→∞ inf 0≤t≤TC(x, t) ≥ 0, (1.5) then C(0, . ) ≥ 0 =⇒ ∀t ∈ [0, T ], C(t, . ) ≥ 0.
Proof. For ε > 0, set Cε(t, x) = C(t, x) + εt on [0, T ] × (Rn)m. If Cε< 0 at some point, then Cεreaches
its minimum at a point (t0, x0) where ∇C = 0, Hess(C) ≥ 0, C < 0, and ∂tC + ε ≤ 0 (= 0 if t0< T ). By
the hypotheses, it implies ∂tC ≥ 0 which is in contradiction with ∂tC ≤ −ε. So for all ε > 0 and T > 0,
Cεis non-negative on [0, T ] × (Rn)m, thus C is non-negative everywhere.
Property (1.5) is true under mild assumptions on h and fi which are related to the initial condition
C(0, . ) ≥ 0 in the large:
Lemma 1.3. If there exist a1, . . . , am∈ R such that
• lim sup |x|→∞ fi(x) ≤ Φ(ai) • h ≥ Φ P iαiai then for all T > 0,
lim inf |x|→∞ inf 0≤t≤TC(x, t) ≥ 0.
Proof. Let δ > 0. By continuity of Φ−1, there exists ε > 0 such that Φ−1 Φ(ai) + 2ε ≤ ai+
δ P αj
. Let r > 0 be such that γn(rBn) = 1 − ε. Then, for 0 ≤ t ≤ T ,
Ptfi(xi) = Z rBn fi(xi+ √ t y) γn(dy) + Z (rBn){ fi(xi+ √ t y) γn(dy) ≤ (1 − ε) sup xi+r √ t Bn fi+ ε sup fi ≤ sup xi+r √ T Bn fi+ ε
≤ Φ(ai) + 2ε for |xi| large enough.
Moreover Pth ≥ Φ Pαiai so for |x| large enough and for 0 ≤ t ≤ T , it holds C(t, x) ≥ −δ. As δ > 0
was arbitrary, the proof is complete.
Checking property (1.4) of Lemma 1.2 requires the following lemma:
Lemma 1.4. Let d ≥ 2, α1, . . . , αm> 0. Let k be an integer with 0 ≤ k ≤ m and
ϕ : (Sd−1)k× (Bd)m−k →
R+
(v1, . . . , vm) 7→ |Piαivi|
. Then the image of ϕ is the interval
J := " max n 0o∪nαj− X i6=j αi, 1 ≤ j ≤ k o ,X i αi # .
Proof. As ϕ is continuous on a compact connected set, Im(ϕ) = [min ϕ, max ϕ]. Plainly |P αivi| ≤P αi,
with equality if v1 = · · · = vm is a unit vector. So max ϕ =Piαi. For all j ≤ k, since |vj| = 1, the
triangle inequality gives X i αivi ≥ αj|vj| − X i6=j αi|vi| ≥ αj− X i6=j αi.
Hence Im(ϕ) ⊂ J and these two segments have the same upper bound. Next we deal with the lower bound. Let us consider a point (v1, . . . , vm) where ϕ achieves its minimum, and differentiate:
For j ≤ k, vj lies in the unit sphere. Applying Lagrange multipliers theorem to ϕ2 with respect to vj
gives a real number λj such that,
αj
X
i
αivi= λjvj. (1.6)
For j > k, the jth variable lives in Bd. If |v
j| < 1 the minimum is achieved at an interior point and
the full gradient of ϕ2with respect to the jth variable is zero. HenceP
iαivi= 0. On the other hand if
at the minimum point, |vj| = 1, differentiating in the jth variable only along the unit sphere gives again
the existence of λj∈ R such that (1.6) is satisfied.
Eventually, we face two cases:
Case 1: P αivi = 0 and min ϕ = 0. In this case, the triangle inequality gives 0 = |P αivi| ≥
αj−Pi6=jαi whenever j ≤ k.
Case 2: the vi’s are collinear unit vectors and there exists a partition S+∪ S−= {1, . . . , m} and a
unit vector v such that
min ϕ = X S+ αiv − X S− αiv = X S+ αi− X S− αi> 0.
Assume that S+contains two indices j and `. Let e1and e2be two orthonormal vectors of Rdand denote
decreasing and continuous function of θ ∈ [0, π]. Denote by U (θ) the rotation in the plane Vect(e1, e2)
which maps this vector to |αjR(θ)e1+ α`e1|e1. Then
αjU (θ)R(θ)e1+ α`U (θ)e1+ X S+\{j,`} αie1− X S− αie1= λ(θ)e1, where λ(0) = P S+αi− P
S−αi = min ϕ > 0 and λ is continuous and decreasing in θ ∈ [0, π]. This
contradicts the minimality of min ϕ. So S+ contains a single index j and
min ϕ = αjv − X i6=j αiv = αj− X i6=j αi > 0.
Note that necessarily j ≤ k, otherwise one could get a shorter vector by replacing vj = v by (1 − ε)v.
Moreover, the condition αj−Pi6=jαi> 0 ensures that αj> α` for ` 6= j. This implies that for ` 6= j,
α`− X i6=` αi≤ α`− αj< 0 < αj− X i6=j αi. So min ϕ = max n 0o∪nαj−Pi6=jαi, 1 ≤ j ≤ k o as claimed.
1.1.2
Semigroup proof for smooth functions
We deal with smooth functions first, in order to ensure that Ptfi and Pth satisfy the heat equation. This
restrictive assumption will be removed in Section 1.2 where the proof of Theorem 1.1 is completed. Theorem 1.5. Let fi, i = 1, . . . , m, and h be twice continuously differentiable functions from Rn to
(0, 1) satisfying the hypotheses of Lemma 1.3. Assume moreover that for f = fi or h,
∀t > 0, ∀x ∈ Rn, ∇f (x + √ t y) e −|y|2/2 −−−−→ |y|→∞ 0.
Let α1, . . . , αm be positive real numbers such that
X i αi≥ 1 and ∀j, αj− X i6=j αi≤ 1. If ∀xi∈ Rn, Φ−1◦ h X i αixi ≥X i αiΦ−1◦ fi(xi), then ∀t ≥ 0, ∀xi∈ Rn, Φ−1◦ Pth X i αixi ≥X i αiΦ−1◦ Ptfi(xi).
Proof. Let us recall that C is defined by
C(t, x) = C(t, x1, . . . , xm) = H t,P αixi −
X
αiFi(t, xi)
where we have set
H(t, y) = Φ−1◦ Pth(y) and Fi(t, y) = Φ−1◦ Ptfi(y).
In what follows, we omit the variables and write H for H t,P αixi and Fi instead of Fi(t, xi). With
this simplified notation,
C = H −XαiFi,
∇xiC = αi(∇H − ∇Fi),
∇xi∇ ∗
xjC = αiαjHess(H) − δijαiHess(Fi).
Moreover, one can use the property of the heat kernel to derive a differential equation for Fi and H.
Indeed, for any f satisfying hypotheses of the theorem, we can perform an integration by parts to obtain ∂tPtf =
1 2∆Ptf.
Then we set F = Φ−1◦ Ptf and use the identity (1/Φ0(x))0= x/Φ0(x) to show ∂tF = ∂tPtf Φ0(F ) = ∆Ptf 2 Φ0(F ), ∇F = ∇Ptf Φ0(F ), ∆F = ∆Ptf Φ0(F )+ F |∇Ptf | 2 (Φ0(F ))2.
We put all this together to get
∂tF =
1 2
∆F − F |∇F |2 and to deduce the following differential equation for C:
∂tC =
1
2(S + P) where the second order part is
S = ∆H −Xαi∆Fi
and the terms of lower order are
P = −H |∇H|2−XαiFi|∇Fi| 2
.
We will conclude the proof using Lemma 1.2. So we need to check condition (1.4). First we note that P is non-negative when ∇C = 0 and C ≤ 0, regardless of α. Indeed, ∇C = 0 implies that ∇Fi= ∇H for
all i. So P = − |∇H|2C, which is non-negative if C ≤ 0.
It remains to deal with the second order part. It is enough to express S as E C for some elliptic operator E , since then Hess(C) ≥ 0 implies S ≥ 0. Such a second order operator can be written as E = ∇∗A∇ where A is a symmetric nm × nm matrix. Moreover, E is elliptic if and only if A is positive
semidefinite. In view of the structure of the problem, it is natural to look for matrices of the following block form
A = B ⊗ In= (bijIn)1≤i,j≤m,
where In is the identity n × n matrix and B is a positive semidefinite matrix of size m. Denoting
xi= (xi,1, . . . , xi,n), EC = m X i,j=1 bi,j n X k=1 ∂2 ∂xi,k∂xj,k C ! = m X i,j=1 bi,j αiαj∆H − δi,jαi∆Fi = hα, Bαi∆H − m X i=1 bi,iαi∆Fi.
Hence there exists an elliptic operator E of the above form such that E C = S = ∆H −Pm
i=1αi∆Fi if
there exits a positive semidefinite matrix B of size m such that
hα, Bαi = he1, Be1i = · · · = hem, Bemi = 1
where (ei)i is the canonical basis of Rm. Now a positive semidefinite matrix B can be decomposed into
B = V∗V where V is a square matrix of size m. Letting v1, . . . , vm∈ Rm be the columns of V , we can
translate the latter into conditions on vectors vi. Actually, we are looking for vectors v1, . . . , vm∈ Rm
with |v1| = · · · = |vm| = X αivi = 1.
By Lemma 1.4 for k = m, this is possible exactly when α satisfies the claimed condition: X
αi≥ 1 and ∀j, αj−
X
i6=j
