• Aucun résultat trouvé

Devoir de synthèse n°1       4ème Mathématiques Mr Yakoubi+Khaldi 08 12 09

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Devoir de synthèse n°1       4ème Mathématiques Mr Yakoubi+Khaldi 08 12 09"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

Exercice n°1 : (2.25points)

Répondre par « vrai » ou « faux » en justifiant la réponse : 1) ABC étant un triangle du plan.

(S(AB)oSA=S(AC)) si est seulement si (ABC est rectangle en A).

2) Si (Un) est une suite réelle telle que 2n 1

n n U lim 1 U +

→+∞ = alors (Un) est convergente.

3) Si f est une fonction deux fois dérivable sur [1,2] alors il existe c∈

] [

1, 2 tel que f (c)′′ =f (2) f (1).′ − ′

Exercice n°2 : (4.25points)

Le plan est orienté dans le sens direct.

On considère un carré ABCD de centre O tel que

(

AB;AD

)

[ ]

2 2 π ≡ π   ɵ et les points

( )

D A′ =S A ,

( )

C D′ =S D et I le milieu de

[ ]

A C′ .

1) a) Montrer qu’il existe un unique déplacement R du plan qui transforme A' en A et D en B. b) Caractériser l’application R.

2) Soit ϕ =t oRAD .

a) Déterminer φ(D) et φ(A'). b) Caractériser alors φ.

c) Montrer que φ(A)=D' et en déduire la nature du triangle IAD'. 3) Soit l’antidéplacement g=S(BD)oφ.

a) Montrer que gog(A')=A.

b) En déduire que g est une symétrie glissante de vecteurDA



. c) Déterminer g(D) et en déduire l’axe de g.

Lycée 07 Nov. 1987 Métlaoui Lycée de Métlaoui

***

Profs : YAKOUBI & KHALDI Date : 08/12/2009

DEVOIR DE SYNTHESE N°1

MATHEMATIQUES

DUREE 3H CLASSE 4ème Maths

(2)

Exercice n°3 : (4points)

Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormé direct

(

O, u, v

)

 

. 1) Soit l’équation

( )

E : z2 2 1 i sin 2

(

)

z 2i sin 2 0 où 0,

2 θ π   − + θ + θ = θ∈  .

a) Résoudre dans ℂ l’équation (Eθ).

b) Ecrire les solutions sous forme exponentielle.

2) Soit le point M 1

(

+e2iθ

)

. Déterminer l’ensemble des points M lorsque θ décrit 0, 2  π       . 3) On considère l’application : f : P

( )

( )

P M z

( )

֏M z tel que z =2 ′ ′

( )

′ −z

a) Montrer que f est une isométrie.

b) Déterminer l’ensemble des points invariants par f et en déduire que f est une symétrie orthogonale dont on précisera l’axe.

c) Soit le pointN 1 e

(

− − θ2i

)

. Vérifier que f(M)=N et en déduire l’ensemble des points N lorsque θ décrit 0, 2 π      . Exercice n°4 : (5points)

1) On considère la fonction f définie sur [0,2] parf (x)=x 2x−x2 et on désigne par (

C

C

C

C

f) sa

courbe dans un repère orthonormé

( )

O,i, j

 

.

a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et à gauche en 2. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

b) Dresser le tableau de variations de f. c) Tracer (

C

C

C

C

f).

2) Soit n∈ ℕ et f* n la fonction définie sur [0,2] par :

n 2

n

f (x)=x 2x−x , on désigne par (

C

C

C

C

n) la

courbe de fn dans le repère

( )

O,i, j

 

.

a) Etudier la position relative de (

C

C

C

C

n) et (

C

C

C

C

n+1).

b) Montrer que fn est dérivable sur ]0,2[ et que :

(

)

n n 2 x 2n 1 n 1 x f (x) 2x x  + − +    ′ = − .

c) En déduire que fn admet un maximum absolu en un réel αn de ]0,2[ que l’on précisera. Vérifier que n 3; n *.

2

α ≥ ∈ ℕ

3) Soit (Un) la suite définie sur *

ℕ par Un=fn(αn).

a) Vérifier que pour tout

n * n n ( ) n , U . 2n 1 α ∈ = + ℕ

b) Montrer que pour tout

n * 3 n n , 1 2 2    ∈   ≥ +   ℕ .

c) En déduire que pour tout n *, Un n 2 2 2n 1 + ∈ ≥ + ℕ . Déterminer alors n nlim U→+∞ .

(3)

Exercice n°5 : (4.5points)

Soit f une fonction dérivable sur

[

0,+∞ vérifiant : f(0) = 0 ; f (1)

[

4 π = et f '(x) 1 2 1 x = + .

On admet que la fonction f admet une limite finie ℓ en +∞ .

1) Soit la fonction g définie sur

]

0,+∞ par :

[

g x

( )

f x

( )

f 1 x

   = +   . a) Montrer que g est dérivable sur

]

0,+∞ et que g’(x) = 0.

[

b) En déduire que pour tout x∈

]

0,+∞ on a :

[

g x

( )

2 π = puis que 2 π = ℓ . c) Déterminer alors f 0,

(

[

+∞ .

[

)

2) Montrer que l’équation f(x) = 2x – 1 admet une solution unique α dans ]0,2[.

3) Soit la suite (Un) définie sur ℕ par :

0 n 1 n U 0 1 U 1 f U ; n 2 +  =    = + ∈    ℕ

a) Montrer que pour tout n∈ ℕ ; Un ∈

[

0, 2

]

.

b) Montrer que pour tout n∈ ℕ , n 1 n 1

U 2 U 2

2

+ − α ≤ − α .

c) En déduire que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite.

Références

Documents relatifs

En France, comme le montrent les résultats de notre enquête, cette pratique est encore peu développée dans les pathologies neuromusculaires et peu appliquée à

The P2VP molecules are either assumed to be Gaussian chains or they fill a shell of thickness L with possible water penetration.The fitting of the models to the experimental

Comparison of experimental and numerical simulation results suggests that the swelling pressure of bentonite pellet materials evolves in two phases upon suction decrease, which

diabétiques parmi les patients traités par aspirine en prévention primaire ainsi que d’étudier si les médecins généralistes évaluent le risque hémorragique et communiquent

There are various possible representations of the microscopic pore network: sample scale averaged structural parameters, extrapolation of theoretic pore network, or use of all

However, at a saturating concentration of the donor, pCMB binding does not affect the proportion of total enzyme which is present as acyl (Ac2-L-Lys-D-alanyl)-. enzyme at the

MM PENE Pierre PIANA Lucien PICAUD Robert PIGNOL Fernand POGGI Louis POITOUT Dominique PONCET Michel POUGET Jean PRIVAT Yvan QUILICHINI Francis RANQUE Jacques RANQUE Philippe

- être dites sdle (scie ordinaire, avec un dkninutif sôyelète o.;t sôliète petite scie), r(u)cèperèce (grande scie servant à ruceper un tronc, à le débiter en tronçons)