Lycée pilote 15 octobre 1963-Bizerte Mme Bayoudh Correction du devoir de contrôle n°1 2ème Sc6 Exercice 1
1) Faux en effet :si 0 < < 1 alors < < √ et 0 < 4 − < 1 alors (4 − ) < 4 − < √4 − .
2) Faux en effet : ∆= 81 − 84 < 0 alors l’équation n’a pas de racines. 3) Vrai en effet : l’équation est définie sur 2, +∞
Sur 2, +∞ , l’équation est équivalente à − 2 < 9 éq < 11 d’où = 2,11 Exercice 2
1) a/ 1 est une racine de (E) éq 1 + − 7 + = 0 éq + − 6 = 0 ∆= 1 + 24 = 25 > 0 alors = != −3 et = #!= 2 b/ Si 1 est une racine de (E) alors la deuxième racine est /
Ainsi si = −3 alors = 01, −31 et si = 2 alors = 01, 21. 2) Pour que (E) admette deux racines inverses (dont le produit égale 1)
il faux que = 1.
Or pour = 1 , l’équation devient − 6 + 1 = 0 dont le disciminant ∆= 32 > 0 Alors pour = 1 , l’équation (E) admet deux racines inverses.
Exercice 3
1) a/ 2 = 348 − 2√15 − 48 + 2√15 5
= 8 − 2√15 + 8 + 2√15 − 26(8 − 2√15)(8 + 2√15) = 16 − 2√64 − 60 =12
2 étant négatif alors 2 = −√12 = −2√3
b/ 7 + 4√3 = 2 + 2 × 2√3 + 8√39 = 82 + √39 d’où : = 682 + √39 = ;2 + √3; = 2 + √3
alors 2 + 2: = −2√3 + 4 + 2√3 = 4 . Donc 2 + 2: est un entier . 2) a/ ∈ 1,2= éq 1 ≤ ≤ 2 éq − 1 ≥ 0 et − 2 ≤ 0
alors | − 1| = − 1 et | − 2| = 2 − d’où A = ( − 1) + 3(2 − ) = − 4 + 6
b/ − 4 + 6 = ( − 2) − 4 + 6 = ( − 2) + 2 ≥ 2
Ainsi pour tout ∈ 1,2= , | − 1| + 3| − 2| ≥ 2 . Exercice 4
Soit G le centre de gravité du triangle ACE alors N2OOOOOP + NQOOOOOP + NAOOOOOP = 0OP Mq G est aussi le centre de gravité du triangle BDE
1111èreèreèreère méthodeméthode : N:méthodeméthode OOOOOP + NZOOOOOP + NAOOOOOP = N2OOOOOP + 2:OOOOOP + NQOOOOOP + QZOOOOOP + NAOOOOOP = N2OOOOOP + NQOOOOOP + NAOOOOOP = 0OP
2222èmeèmeèmeème méthodeméthodeméthodeméthode : N2OOOOOP + NQOOOOOP = N[OOOOP + [2OOOOP + N[OOOOP + [QOOOOP = 2N[OOOOP Donc 2N[OOOOP + NAOOOOOP = 0OP
D’autre part N:OOOOOP + NZOOOOOP + NAOOOOOP = N[OOOOP + [:OOOOP + N[OOOOP + [ZOOOOP + NAOOOOOP = 2N[OOOOP + NAOOOOOP = 0OP . Alors les triangles ACE et BDE ont le même centre de gravité.
Exercice 5
1) a/ 2_OOOOOOP 3 ` − 32` − 65 2:OOOOOP 3−3−65
aéb82_OOOOOOP,2:OOOOOP9 = −6(` − 3) + 3(2` − 6) = −6` + 18 + 6` − 18 = 0 2_
OOOOOOP et 2:OOOOOP sont colinéres alors _c(2:) . b/ e_OOOOOOP 3 `2` − 55
e_OOOOOOP ⊥ 2:OOOOOP équivaut −3` − 6(2` − 5) = 0 équivaut −15` + 30 = 0 Pour ` = 2 les droites (e_) et (2:) sont perpendiculaires.
2) a/ H(2,-1) (Pour ` = 2) _2
OOOOOOP 3125 et _eOOOOOOP 3−21 5
On a _eOOOOOOP ⊥ 2:OOOOOP et _c(2:) alors _eOOOOOOP ⊥ _2OOOOOOP D’où la base (_2OOOOOOP ,_eOOOOOOP) est orthogonale.
Or _2 = _e = √5 ≠ 1 alors la base (_2OOOOOOP ,_eOOOOOOP) n’est pas orthonormée. b/ Soit 3m5 le couple de composantes du vecteur e:OOOOOP dans la base (_2OOOOOOP ,_eOOOOOOP). e:OOOOOP = _2OOOOOOP + m_eOOOOOOP équivaut n 0 = − 2m−5 = 2 + m o équivaut n 0 = − 2m−10 = 4 + 2m o équivaut p5 = −10m =q o équivaut n = −2
m = −1 o Donc e:OOOOOP 3−2−15 dans la base (_2OOOOOOP ,_eOOOOOOP)
