Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1 Vecteurs de l'espace 3ème Sc Expérimentales
Dans tous les exercices l’espace est rapporté à un repère orthonormé , , Exercice 1
On donne les points (1 , 1 , −1) , (1, −1 ,2) , (3 , 1, −1) et (2 , 1 , 1) 1) a) Déterminer les composantes des vecteurs , ,
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés
2) a) Calculer é , ,
b) Que peut-on conclure ?
3) Déterminer les coordonnées du point tel que 2 = − + 3
Exercice 2
on considère les points (2 , 1 , 0) , (0 , 1, 1) , (0 , 3 , 2) et le vecteur 0 0 1 1) Démontrer que les points , et ne sont pas alignés
2) Montrer que les vecteurs , et ne sont pas coplanaires. 3) Déterminer les coordonnées du point dans le repère , , , Exercice 3
On considère les points (−1 , −1 , 3) , (2 , 1, 0) , (1 , 1 , −3) et (1 , 2 , −1)
1) a) Déterminer les composantes des vecteurs , ,
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés 2) a) Déterminer les coordonnées du point = ∗
b) Déterminer les coordonnées du point " centre de gravité du triangle 3) a) Montrer que les points , , et ne sont pas coplanaires
b) Déterminer les coordonnées des points , # et $ tel que = + ,
# = − 3 et $ = + 2 − 3
4) Soit le point %(& , ' , (), montrer que si , , et % sont coplanaires alors 3& − 6' − ( = 0 Exercice 4
Dans chacun des cas dire si les vecteurs , * et + sont coplanaires ou non 1) 1 −1 1 , * 2 1 −1 et * 1 1 2 2) −1 2 3 , * 3 −1 1 et * −1 1 2 3) −20 4 , * −1 −1 2 et * 1 −3 1 Exercice 5
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 2 1) a) Montrer que les points , / ne sont pas alignés
b) Déterminer les composantes des vecteurs , et c) Montrer que le quadrilatère est un parallélogramme
2) Soit %(& , ' , ()montrer que %, et sont coplanaires ssi & + ' + ( + 4 = 0. Exercice 6
On considère les points (0 , −1 , 0) ; (1 , 1 , 0) ; (0 , 0 , 1) et (−3 , 3 , −2) 1) a) Déterminer les composantes des vecteurs , , et
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés 2) a) Montrer que le triangle est rectangle
b) Calculer l’aire du triangle
3) a) Montrer que les points , , et ne sont pas coplanaires Exercice 7
On considère les points (1 , −2 , −1) ; (3 , −3 , −2) ; (0 , −3 , 1) et (1 , 1 , 1) 1) a) Déterminer les coordonnées du point milieu du segment 0 1
b) Soit " le centre de gravité du triangle , déterminer les coordonnées du point " 2) a) Montrer que les points , , et ne sont pas coplanaires
b) Soit %(& , ' , ()montrer que %, et sont coplanaires ssi & + ' + ( + 2 = 0 Exercice 8
On considère les points (1 , 2 , 3) , (−1 , 3, 0) et (−2 , 2 , 5) 1) a) Déterminer les coordonnées des vecteurs et
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés
2) Déterminer les coordonnées du point pour que soit un parallélogramme
3) a) Calculer les coordonnées du point milieu du segment 0 1 b) Déterminer les coordonnées du centre de gravité " du triangle c) Déterminer les coordonnées du centre de gravité "’ du triangle d) Vérifier que est le milieu de 0""′1
4) Dans la base 4 , 5 , 6 on considère le vecteur −4
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a) Calculer é , ,
b) Justifier alors que le triplet , , est une base de 7
c) Déterminer les composantes des vecteurs , et dans la base , ,
