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des Anciens et Anciennes Eièves des Sections Normaies
et de l’Ecole Normale Supérieure de l’Enseignement Technique
Présidents d’honneur :
MM. les D irecteurs généraux honoraires de l ’E nseignem ent Technique. M. le D irecteur adjoint honoraire de l’Enseignem ent Technique.
MM. les anciens Directeurs de l’Ecole Normale Supérieure de l'Enseignem ent Technique.
M. le D irecteur de l’Ecole Normale Supérieure de l’Enseignem ent Technique M. le D irecteur adjoint de l’E.N.S.E.T.
Mme la sous-directrice de 1’E.N.S.E.T.
Secrétaires généraux et Présidents honoraires :
H. COURT : Inspecteur général de l’Instruction publique. A. BIGUENET : Inspecteur général de l’Instruction publique. M. NESPOULOUS, Proviseur du Lycée Technique de Vincennes. A. THÜTZAT, Professeur à l ’E.N.N.A. de Paris.
J.M. REFEUTL, Professeur au L.T. de C ham pigny-sur-M am e. D. SAUVALLE, Professeur à l’I.U.T. de Reims.
CANTAREL (B 56-59), D irecteur L.T.E. Alès.
Secrétaire régional honoraire du Groupe de Paris :
JUTTET, 45, rue B em ard-P alissy, à G ien (Loiret).
COMITÉ
Président :
Mlle MEGE (EP 46-48), 48 bis, rue Bobillot, Paris-IS'.
Vice-Président :
BONMARTIN (B 42-44), D irecteur adjoint de l’E.N.N.A., 4, rue A .- M usset - (69) Villeurbanne.
Mme BAZIEU (Az 44-46), Proviseur du L.E. «L a Maison des A iles», Echouboulains (77).
Secrétaire général :
P. PUECH (Al 4 4 - 4 6 ) , 93, rue de Paris, Join ville-le-P on t ( 94).
Secrétaires adjoints :
CHASSINAT, Professeur I.U.T. Orsay (A l 44-46). GARNERO, Principal, C.E.S. de Su cy-en -B rie (94).
BOSOM (B 56-59), 136. avenue de la D ivision-Leclerc - (92) Chatenay-M alabry. MERY (B 56-60), 9, allée du M ali - (94) Presnes.
Trésorier :
RESSAYRE (D 56-59), 4, avenue du Pasteur-M artin-Luther-K ing, Le Pecq (78).
Trésorier adjoint :
PORCHER (B 53-56), 37, avenue de St-M andé, Paris 12'.
AUTRES MEMBRES DU COMITE
Mlle DUPU Y (E 60-64), M m e R E V E IL L E R E (C 49-51), MM. AUBRY (B 29-31), B O IS S IE R (B 46-48), B RU N (B 53-57), C H EPD EV ILLE (Ai 52-5), C LEM ENT (B 57-61), P A R G IE R (E P 39-42), G A BIO N (D 27-29), G A G N O L (P 38), M lle P R O U H E T (C 41-43)’ PR U N E T, CREU ZA T (E P 38-40), K O S C H E R (P 40-42).
ADRESSE et COMPTE COURANT POSTAL :
ASSOCIATION AMICALE DES ANCIENS ELEVES E.N.S.E.T. 61, avenue du Président- W ilson. 94 - Cachan (V al-de-M arne) C.C.P. Paris 5488-99
C otisation annuelle : 33 F — D ébutants, R etraités ; 20 F (L’année budgétaire comm ence au l " octobre).
E n s e i g n e m e n t t e c h n i q u e s u p é r i e u r
Cours d'électronique
Problèm es e t applications
R. TOUCHET
Ancien élève de l’E.N.S.E.T.,
Professeur à l’I.U.T. de Ville d ’Avray et à l’E.N.S.E.T.
Les fascicules d ’exercices et problèmes constituent un
complément indispensable au cours fondamental. Le but
recherché n’est pas de mettre sous les yeux de l’utilisa
teur un certain nombre de solutions considérées comme
modèles par l’auteur, limitées à un certain nombre de
cas à résoudre. L’électronicien, au cours de sa vie active,
se posera, le plus souvent, des problèmes pratiques sans
cesse renouvelés : il est souhaitable de substituer, devant
ces problèmes, une attitude de réflexion et de recherche
personnelle à l’extrapolation plus ou moins heureuse de
documents existants.
Les thèmes des problèmes ont été choisis dans la litté
rature technique, de façon à aborder des questions im
portantes, qui ne peuvent, par leur ampleur trouver place
dans un cours magistral : outre l’aspect form ateur du
travail, un certain nombre de résultats sont intéressants
à retenir, mais ce n’est pas là l’objectif essentiel. L’ou
vrage com porte des sujets d ’examens et concours, mais
découpés et remaniés en fonction des nécessités péda
gogiques de celui-ci et de sa finalité.
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59
a
m
AkK e n y e fp fh À A h ti
ifCAkK
Certains correspondants locaux ont reçu l’an
nuaire 1971 en port dû.
1°) Qu’ils retranchent la somme qu’ils ont débour
sée du montant des cotisations qu’ils enverront au
Trésorier de l’Amicale.
2°) Qu’ils lui com m uniquent la facture, elle nous
sera remboursée par la société de routage qui
s’excuse auprès de tous de cette regrettable erreur.
Le Secrétaire général
P. PUECH
Â
Nouvelle adresse de notre Présidente
Mlle MÉGE,
48 bis, rue Boblllot
Paris-XIII‘
Nouvelle adresse de notre Trésorier
M. RESSAYRE
4, avenue du Pasteur-Martin-Luther-KIng
78 - Le Pecq
C e u x q u i s^en v o n t
Hommage du Lycée Ozenne à
Madame CASTANET,
Professeur de Sciences Economiques au LYCÉE OZENNE, TOULOUSE 5 novembre 1970
Cher Monsieur CASTANET,
Jean-Jacques, Henri, Michel, Philippe et Laurent,
Notre émotion est grande pour nous tous, du Lycée Ozenne, d’être avec vous
pour adresser un dernier adieu à Madame CASTANET.
La com m unauté du Lycée Ozenne s’est sentie tout entière concernée par
ce deuil douloureux, ce m alheur irréparable, cette évidence inacceptable. Mada
m e CASTANET nous quitte, discrètem ent, com me elle a vécu ; mais comme elle
a vécu, avec quel rayonnem ent, un rayonnem ent discret, oui, mais si profond
et tellem ent im prégné d’am itié et d’affection.
Comment, Cher Monsieur CASTANET, ne serions-nous pas avec vous, ici
présents ou par la pensée, nous qui l’avons connue, appréciée, aimée ? avec vous
de tout cœur, depuis de longs mois, de longues semaines de calvaire, depuis]
jeudi m atin, ce m atin, m ain ten a n t et ensiiite quand il faudra bien que la vie
reprenne avec la fidélité que nous devons au souvenir de Madame CASTANET ?
Mesdames, Messieurs,
Oui, com m ent pourrions-nous oublier Madame CASTANET ?
Un professeur passionné par son m étier ;
Un professeur cultivé, ouvert à tous les changem ents, réceptif à toutes les évo
lutions ;
Un professeur aim ant et com prenant ses élèves ;
Une fem m e intelligente et sensible ;
Une fem m e dom inant tcnôtes ses obligations avec sérénité et a ffe c tio n .
V n e fem m e qui savait être, peut-être à son insu, l’âm e de son foyer.
Raym onde BLANQUIES est née to u t près d’ici, à Lentillac S t Biaise, en
1923. Fille de cette campagne si riche en beauté, mais où les difficultés sont{
souvent le fa it de la vie quotidienne, un pays rude et déclicat, où s’allient la
douceur et l’énergie, fille de ce pays où elle a passé son enfance. Madame CAS
TANET le restera jusqu’au dernier m om ent ; elle y revient trop tôt, bien trop tôt.
Ce fu t au Lycée de Figeac l’élève modeste, peut-être tim ide, mais qui s’a ffir
me vite volontaire et brillante, intelligente et même surprenante. Deux bacca
lauréats, Philo et Math. Elem, et la voici en 1942 à l’Ecole Normale d’institutrices
de Toulouse, puis institutrice en H aute-G aronne à Pelleport et à Vignauic. In s
titutrice, elle réalisait sa vocation : l’enseignem ent ; mais elle ne donnait pas
sa vraie mesure. En 1945-46, elle revient à l’Ecole Normale, m ais comme sur
veillante, et elle prépare le concours d’entrée à l’Ecole Normale Supérieure de
l’Enseignem ent Technique ; le succès à ce difficile concours est im m édiat. Ses
camarades de l’E.N.S.E.T. et de la promotion 1946-48 se souviennent toujours
de Raym onde BLANQUIES, m êm e si les vicissitudes de carrière les ont séparés
d’elle ; ils lui ont toujours conservé la m êm e amitié.
C’est à l’Ecole Normale Supérieure de l’Enseignem ent Technique qu’elle
connaît Albert CASTENET, fu tu r professeur de Lettres ; ils se m arieront en
1951 : un ménage de professeurs, uni par une profonde com m unauté d’idées, de
sensibilité, de générosité.
La carrière de professeur de Sciences Economiques de M adame CASTENET
devait commencer à Bayonne en 1948, se poursuivre à Nîmes en 1949, se fixer-
à Toulouse en 1954.
Pendant plus de vingt ans, que ce soit à Bayonne où son souvenir reste
toujours vivant parmi ses anciennes collègues, à Nîmes où elle n ’a laissé que des
amis, à Toulouse parm i nous, au Lycée Ozenne, Madame CASTENET est restée
fidèle à elle -m êm e dans to u t ce qu’elle faisait : suivre ses élèves avec le m êm e
attachem ent, les années passant, donner à son enseignem ent non seulem ent du
savoir, mais tout cet indéfinissable qui fa it que l’on aime le professeur, ce qu’il
enseigne et le travail que l’on partage avec lui ; actualiser son enseignem ent en
adaptant et en innovant ; croire en cet enseignem ent et penser à tout l’avenir
des jeunes qu’il porte en lui.
Aimer ses élèves, aimer sa classe, aimer ses collègues, aimer son Lycée, c’est
tout Madame CASTANET, avec discrétion et délicatesse, mais avec force et foi.
Mais ce professeur savait être aussi épouse et mère, avec le m êm e don d’elle
même, le même enrichissem ent et le m êm e rayonnem ent.
S’il est quelque chose de difficile pour une fem m e, c’est bien de concilier sa
vie professionnelle et sa vie familiale, sa mission de professeur et sa mission de
fem m e.
Madame CASTANET y est parvenue étonnam m ent ; on le ressent douloureu
sem ent aujourd’hui. Elle a vécu pour son mari et pour ses enfants ; elle est une
partie d’eux-mêmes.
Ainsi a-t-elle réalisé, et avec quel mérite, cet idéal de fem m e, de fem m e
complète, énergique et douce, apportant autov^r d’elle aide et soutien, amour e t
affection.
Ceux d’entre nous qui la connaissent depuis longtemps avaient découvert
tout cela en elle ; ceux qui l’on connue plus tardivem ent l’ont aisém ent deviné.
Je ne suis que le porte-parole de tous ceux qui l’aimaient, ses amis, ses
collègues, ses élèves, de tous ceux qui l’estim aient.
Rendre hommage à Madame CASTENET, au nom de nous tous, du Lycée
Ozenne, de l’Education Nationale, Inspecteur Général, Recteur, Inspecteur Prin
cipal de l’Enseignem ent Technique, Inspecteur d’académie, était une tâche aussi
facile qu’ém ouvante ; Il y avait ta n t de choses à dire, de choses simples et pro
fondes.
Ce qui est d it ici a été dit ce m atin devant tout le Lycée rassemblé avec
ém otion et recueillem ent pendant que Madame CASTANET s’en allait vers sa
demeure dernière. Comme nous ne pouvions venir ici qu’en p etit nombre, à neuf
heures, tous ensemble, dans la cour du Lycée, nous avons beaucoup pensé à vous.
Monsieur CASTANET, à vos enfants ; nous avons intensém ent pensé à Madame
CASTANET.
Elle avait idû cesser son enseignem ent en avril 1969 ; mais, p en d a n t ces
d ix-neuf mois, nous n ’avons pas été séparés d’elle ; elle conservait sa place parm i
nous, elle restait bien présente au L ycée; et le Lycée Ozenne conservait toute
sa place dans ses pensées.
Oui, Cher Monsieur CASTANET, Jean-Jacques, Henri, Michel, Philippe et
Laurent, nous aimions bien, nous aimions très sincèrem ent Madame CASTANET ;
nous ne l’oublierons pas, je puis voiis l’assurer. Que ce soit une douce consolation
comme l’expression de notre affection.
M aurice VERGNAUD
Proviseur du Lycée Ozenne
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SWARTZ (A-48-50)
Docteur e.s-sciences - M aître assistant
(Faculté des Sciences de Lyon)
Je me propose dans cet article d*indiquer quelques propriétés de fonctions que l'on n*étudie pas en général en détail dans Iss cours do mathématiques ou de physique classiques et qui se présentent souvent de façon inattendue dans la resolution de problèmes très divers.
Ces fonctions,bien que connues depuis longtemps,sont -d'un abord diffi cile et ont encore fait l'objet d'études récentes.Leur intérêt réside dans les cas particuliers qui s'en déduisent et qui fournissent la ' pluplart des fonctions usuelles utilisées en physique mathématique.
PHEAIERE PARTIE. 1■ Equation hypergéométrique
confluente-Cn appelle équation hypergéométrique confluente l'équation différentiel le du second ordre
, 2
(1) x(l-x) + [^o -(a+b+l)x] -aby = 0 a,b,c constantes quelqonques, Cette équation a d'abord été étudiée par Suler,puis pat Gauss,Hiemann,
Klein,etc...Les solutions de (1) s'appellent fondtions hypergéométriques parmi lesquelles se trouve la série hypergéométrique de rayon de convergence unité:
P(a,b,o;x) e 2 • • • ( ^ i - p .b(b-fl).. . (b-fn-lj.
Faisons l e changement de variable x = - ^ .L'équatiçn (1) s'écrit:
(2) z(l - -2- ] S ay = 0 .
dz*
^
Si b — »o",l'éqaation tend vers:
(2)
, A
^
^ 0.
z Les deux points singuliers de la fonction F (a,b,c;-r— )
_ / , z V "C a(a+l)... (a+n-1) z ,, 1 s,, 2 , , n-1 ^ F (a,b,c— ) = ^ c ( c ^ l L i U n -ll' ~ ) (1+^ ^ ^
• a^a-t-i;.. .ia+n-i j
• ^ ^ . 1
A
f \ . 1 1\
Krc
viennent confluer au point à l'infini donnant ainsi naissance à une fonction classique appelée fonction de Kummer définie par la série de rayon de convergence infini:
4)(a,c;z) = i
T ’ ’ y,zo c(c+l)... (c+n-l; ni
Cette fonction <)* est solution de l'équation (2) limite de (l). Remarquons que toutes les équations différentielles linéaires du second ordre dont les coefficients sont des fonctions linéaires de la variable indépendauite,c'est à dire toutes les équations de la forme (dites quelquefois du type de Laplace):
“ i ^
^
^
= °
dx
peuvent être réduites,par des transformations élémentaires desvariables à une équation de type (l).Le telles équations peuvent être considérées comme donnant une seconde approximation de très nombreux phénomènes naturels régis par des équations de la forme
d ^ ^ ^1^^^ S " ^
= °
où les p^ sont des fractions rationnelles convenables (équations de la olasee de Fuchs).
Une approximation plus grossière est encore obtenue en considérant l'équation à coefficients consteuits
^2
a^ —I + a^ ^
^ ° •
dx" dx
Les fonctions hypergéométriques oonfluentes ou fonctions confluentes sont les solutions de l'équation confluante (2) ainsi que celles des équations qui s'en déduisent par des transformations élémentaires.Parmi celles-ci, l'une des plus connues est l'équation de ïftiittaker:
1 ) y = 0
,1 4 Z
dz z
2. Intégration de l'équation confXuente.
A partir de la fonction <|i de Kummer définie plus haut et qui est une in tégrale particulière de l ’équation confluente,on peut trouver l'intégrale générale.On pose y =x‘t^ où J’ est une constante à déterminer et une fonc tion inconnue. L'équation (2) s'écrit :
(3) X ^ + (2 +c - x) - [ a + j> - ° - 1) j >) = c. Cette équation est analogue à (2) à condition de poser p = 1 - c et de remplacer respectivement a et c par a -c + 1 et 2 - c.L'équation (3) admet porir intégrale x ^ ( a - c + l , 2 - c ; x ) linéairement indépendante de
i^(a,c;x) si c n'est pas un entier. L'intégrale générale s'écrit donc
y = A <j> (a,c;x) + B x ^ ° < j > ( a - c + 1,2 - c;x) où A et B sont des constantes arbitraires.
Si c est un entier,la première des fonctions (si c o) ou la seconde (si c .^2) n'a plus de sens.On considère alors la fonction modifiée;
a" - i a(a + 1).. (a +n — 1) x*^
cf, (a,c,x) _ ^ 4>(a,c,x) = P (c + n) ÏÏT qui a un sens même si c est un entier négatif ou nul.
Cependant,si c est un entier,les deux fonctions ne sont plus linéairement
' X “C 1
indépendantes car leur wronskien est égal à e x sinDe et s'ennuie pour c entier.
3. Propriétés de la fonction .
Elles sont très nombreuses,tellement que leur simple énoncé remplirait plusieurs pages.On citera brutalement les suivantes,sans démonstration. a) (a,c;x) = e* (c -a,c;x) identité de kummer.
b) <j) (a,c;x) = -^ <f) (a + l,c + l;x)
li'')/ . ù® A , , a(a +l)...(a + m — l ) i , ,
(a,c;x) = — (a,c;x; c c(c +l)...(c + m - î ) r
o) X®' b <]>(a,c;x)J = a(a +l)...(a + m -1) ^5 (a + m,c;x) dx
d) ^ [ e ' V ■ ^ 4>(a,c;x) J = (-1)“ (1 -c) (2-c) ... (m - c ) e ' V “"^ (a-m,c-m;x) d“ fe ^ è (a,c;x)l = (-1)“ (c-a) (c-a+l)... (c-a+m—1) -x i , e; „ L ~ J ----c(c+l;... (c+m-l; r— --- e q?(a,o+m:x;T' » ’ ' f) Relations de contiguité.ai l'on pose:
<|)(a +) = <|>(a+l,c;x) / <f> (a -) s <|)(a-l,c;x) (o +) - 43(a,c+l;x) ^ <|>(c -) £ (p (a,c-l;x) ,
on obtient 6 relations possibles entre les fonctions précédentes.On citera par exemple. î Q_a)43(a-) + (2a -c + x )4>-a4>(a+) = 0
g ) P r o p r i é t é s l i é e s à l a t r a n s f o r m a t i o n de L a p l a c e . P a r d é f i n i t i o n , l a t r a n s f o r m a t i o n de L a p l a c e d ' u n e f o n c t i o n P ( t ) e s t l a f o n c t i o n f ( s ) t e l l e q u e ; f ( s ) = i ’g P ( t ) = ^ e " ® ’^ P ( t ) d t . On a , p a r e x e m p l e : ( a , c ; t ) ] =s*° (1- 5- ) " ^ ( ( ) l c >0, £ s > l ) -( t fLdés i gne l a p a r t i e r é e l l e ) . S i SyfTi.; d é s i g n e l a f o n c t i o n de B e s s e l u n i f o r m e c o r r e s p o n d a n t - à l a f o n c t i o n h a b i t u e l l e J y q u i e s t p o l y d r o m e : E y ( x ) = x"' ^/' 2jy (2 f ^ ) p ~ t / + n - l TnT ~ o b t i e n t , ( 4 ) = n ( a ) s - ^ < ^ ( a , c ; - ^ - ) ( ^ a > 0 , ^ ^ - > 0 ) . En p a r t i c u l i e r , s i a = c e t e n r e m a r q u a n t que 4^ ( ^ a ; x ) = e , 1 a f o r mul e p r é c é d e n t e d e v i e n t : / g [ t ° " ^ E ^ _ ^ ( t ) j = ( Æ c > 0 , i R s > 0 ) . L ' u n e d e s c o n s é q u e n c e s de l a f o r m u l e \ 4 ) e s t que l ' o n a < t > ( a , o , x ) = ( f e >0. « a > 0) q u i e s t , a v e c l a s é r i e de d é f i n i t i o n e t l ' é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e q u ' e l l e s a t i s f a i t , u n e d e s p r o p r i é t é s l e s p l u s i m p o r t a n t e s de l a f o n c t i o n < J i . 1. Cas p a r t i c u l i e r s imp o r t a n t s de l a . f o n n t i o ^ ^ _ ^ O u t r e l e c a s c = a d a n s l e q u e l s e r é d u i t à l ' e x p o n e n t i e l l e , u n a u t r e c a s i T i i p o r t a n t e s t c e l u i où c = 2 a . L a f o n c t i o n s e r é d u i t à c e l l e de B e s s e l . S i l ' o n p o s e : a = | + V , c = l + 2v ' , y = x “ '‘^e^/-'>| , x = 2i î , l ' é q u a t i o n c o n f l u e n t e d e v i e n t c e l l e de B e s s e l : En p a r t i c u l i e r ; l a s o l u t i o n J y ( T ) de c e t t e é q u a t i o n d e v i e n t o g a l e à u n " u l t i p l e d e4> , e n a c c o r d a v e c l a f o r m u l e j (Ç) = ( 1 ^ y , l + 2 V , 2 i ^ ). ^ 2 ^ P ( V + 1)
Un a u t r e c a s d i g n e d e p e m a ro u e e s t c e l u i o i l e preiTiier* par ai r Let re a e s t é g a l à u n e n t i e r n é g a t i f - n :1a s é r i e ^ s ' a r r ê t e a s o n ( n + l ’^ eme t e r r . c e t s e r é d u i t à u n p ol y n ô m e p r o p o r t i o n n e l a u p ol y n ô m e de L a g u e r r e L ° “ ^ ( x ) . S i l ' o n é c r i t c - a =«, L^°^^(x) = ^ ( - n , o< + l ; x ) . n ' n i ’ L a p r o p r i é t é l a p l u s i m p o r t a n t e d e s p o l y n ô m e s de L a g u e r r e e s t c , ; l l e d ' o r t h o g o n a l i t é . ^ ^n = j r_><+n+l)_
((2o(>-V
( n ! ïïi= nL o r s q u e l a d i f f é r e n c e c - a d e s d e u x p a r a m è t r e s e s t é g a l e à u n e n t i e r p o s i t i f e t , e n p a r t i c u l i e r à l - u n i t é , l a f o n c t i o n ^ s e r é d u i t à l a f o n c t i o n ganima i n c o m p l è t e A i n s i ^ { o ( , ^ + l ; x ) = £<x~“y ( o ( , x ) . L e s f o n c t i o n s d u c y l i n d r e o a r a b o l i q u e ou f o n c t i o n s d ' o n d e deCo u l o mb s o n t d ' a u t r e s c a s p a r t i c u l i e r s de l a f o n c t i o n < ^ . ü a n s c e d o m a i n e , c e s t é g a l ai’ d o u b l e de l a p a r t i e r é e l l e de a . B n f i n T r i c o m i a m o n t r é que l a f o n c t i o n ^ d e Kummer e s t d é v e l o p p a b l e e n s é r i e de f o n c t i o n s de B e s s e l
^ ’^ (a ,^ c ;x ) =
. k e t n é t a n t d e s c o n s t a n t e s c o n v e n a b l e s . 5 . La s e c o n d e s o l u t i o n * ^ de 1' ' q u a t i on c o n f l u e n t e . u ' - j q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e (2) a d m e t u n e s e c o n d e s o l u t i o n T j ^ l i é e à p a r l a r e l a t i o n T ( a . c ; x ) = ^ ( a , c ; x ) ^ ^ ( a - c + l ,2- c ; x ) c n o n e n t i e r . S i l ' o n i n t r o d u i t à l a p l a c e de , i l v i e n t = = < J ^ a - c + l ,2- c ; x ) ] . L e s p r o p r i é t é s d e s e d é d u i s e n t de l a r e l a t i o n "S'I.'Rn c h a n g e a n t a e t c e n a - c+ 1 e t 2- c , l a r e l a t i o n (5) d e v i e n t : ' Ÿ " ( a - c + l , 2- c ; x ) = x ° “ ^ ( a , c : x "l. S i c e s t u n e n t j . e r , La f o r m u l e f o n d a m e n t a l e s e c o m n l i q u e é n o r m é m e n t . 6. P r o p r i é t é s de l a f o n c t i o n ' V y . E l l e a de n o m b r e u s e s p r o p r i t H ' ^ s a n a l o g u e s à c e l l e s de P a r exempl e ( a , c ; x ) - j j ^ ( a , c ; x ) = ( - 1 ) ^ a ( a + l ) . . . ( a + n - 1 ) ”'i^(a+n, c + n ; x ) ( n = 1 , 2 , . . . ) [ e ^ ■ ÿ ' ( a , c ; x ] = ( - l ' i ’^e ^ ( a , c + n : x ) r ^ a + n - l - \ J f ( a , c - x ) ] = a ( a + l ) . . . ( a + n - l ) ( a - c + l ) . . . ( a - c + n ) * d x ^ ^ ' a + n , c ; x ' ' ^ r e - ^ x ° - ^ + ^ - l f ( a , c ; x ^ ] = ' - l ) ^ e - ^ x ° - ^ - l ^ ( a - n , c ; x ) d x ^ [ x ° “ ^ "ÿ" ( a , c ; x ) ] = ( - l ) ’^ ( a - c + l ) . . . ( a - c + n ) x ° “^ “ ^')J^(a, c - n ; x ) dx'3Ï1
^ [ e - ^ x ° - l T ( a , c ; x ) = ( - l ) ^ e - ^ x ° - ^ - l T ( a - n , c - n ; x dx S i g n a l o n s i me a u t r e r e p r é s e n t a t i o n i m p o r t a n t e de " ÿ " v a l a b l e s e u l e m e n t p o u r l e s v a l e u r s r é e l l e s e t p o s i t i v e s de x :' ^ ( a , c ; x ) = 2^~° P ( l - a ) e ^ ^ ^ (cosB)~' ^cosj^ ^ t g 9 + ( 2 a - c ) c o s 6 j d Ô
^
( x > 0 , ( R c < l , a
1 , 2 , 3 . . . )
, 0“ _ ( c - ' l ) / \ / . E n f i n ' ^ I ^ ( a , c ; x ) = jt—. S n ou L„ ' s o n t l e s n o l y n o m e s PK; x=» n + a ^ ^ de u a g u e r r e . 7 . I n t é g r a l e s p o r t a n t s u r d e s f o n c t i o n s c o n f l u e n t e s . ■^a l i s t e e n e s t t r è s l o n g u e . C i t o n s ( e n o ï ï i e t t a n t l a c o n s t a n t e d ' i n t é g r a t i o n ) : ^ c ; x ) d x = 4* ( a - l , o - l ; x ) (a. ^ l ) y ( a , c ; x ) d x = x ° 4‘*' (a, c + l ; x ) <|>* ( a , c ; X ) dx = j — <|>*' ( a - 1 , c ; x ) ( a ^ 1 ) { a , c ; x ) d x = X'- a ' ^ ( a - l , o - l ; x ) { a ^ l ) y x ° - l Y ( a , c ; x ) d x = ' ^ ( a , c+ 1 ; x ) ( a c ) C “ 3. - a—1 y x ^ - 2 ^ ( a , Q ; x ) d x = ^ a - l ) ( a - o 1 ^ ( a - l , c ; x ) { a l , a : ^ c ) J e ^ ( a , c ; X ) dx = - e ( a , c - 1 ; x "l. F o r m u l e s i n t é g r a l e s de r é c i p r o c i t é : P ( a ) ^ V " ^ ( l + t ) ° - ^ T ( a , - : t x ) d t = P ( a ) y t ^ “ ^ ( l + t ^ ( a , c ; t x ) d t^ ”
((]^ a ; > 0 , R a ’>
0, ( Ra
> ( R ( c' _
1\ d^a'
. . . . ^ W p V ( o ^ £ a , t y ( a , c ; t ) d t = p ( a ) p '( a -5T n --- „ ^ S . E x e m p l e d ' a n n l i c a t i o n d e s f o n c t i o n s c o n f l u e n r e s g é n é r a l e s . Ij ' u n e d e s p l u s i r r r o o r t a n t e s e s t l e p r o b l è m e d e s d e u x c o r p s e n m é c a n i q u e q u a n t i q u e . l e s y s t è m e l e p l u s s i m p l e e s t c o n s t i t u é pa.r l ' a t o m e d ' h v d r o g è n e . L e s d e u x n a r t i c u l e s é l e c t r o n e t p r o t o n s o n t s o u m i s e s a u p o t e n t i e l d ' a t t a c t i o n m u t u e l l e - e / r . S o i t m l a m a s s e r é d u i t e de l ' a t o m e . L a f o n c t i o n d ' o n d e t ( x y z ) de l ' é l e c t r o n e s t s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n de S c h r o d i n g e r ) ' f ( x y z ) = E T ( x y z ) En n a s s a n t a u x c o o r d o n n é e s p o l a i r e s r , B , f , o n o b t i e n t : ^ 0 1 . . 1 * _oo s _ e î ? , i _ O L î + o u r r j S s m j i f » (e + e 2 ) T = 0. h rOn a p p l i q u e l a m é t h o d e h a b i t u e l l e de é é p a r a t i o n d e s ^ a r i â b l e é ^ ea. p o s a n t ' ^ = R ( r ) _ ® ( 6 ) . ^ (f).Une d i s c u s s i o n c l a s s i q u e '^^' ^montre que 1' é q u a t i o n r a d i a l e , s a t i s f a i t e p a r r s ' é c r i t : 2 " 2 ^ ê + 2r R + — ( Er ^ + e ^ ) = £ ( £ + l ) (£. e n t i e r ^ O ) . ^ ^ R h ^ C e t t e é q u a t i o n p e u t a e r a m e n e r à l ' é q u a t i o n c o n f l u a n t e de v a r i a b l e s X e t Y e n p o s a n t i -2me B = ^ me^ r ^ p u i s ( 7 ) r = ^ X , R ( r ) = r ^ e “ ' ' / " ' o ' ^ ( ^ ) ^ = ^ d + t ) P a r s u i t e , d a n s l a m e s u r e où a n ' e s t p a s u n e n t i e r n é g a t i f o u n u l ; on a u r a : (8) R ( r ) = r ^ e - " ‘/ ^ o [ ^ l ^ d , c ; | î d ) + c ^ ^ C a . c : ^ ) ] *" 0 o ** C- j et C g p o n s t a n t e s a r b i t r a i r e s . S i l ' é n e r g i e E e s t n é g a t i v e , l a f o n c t i o n r c o r r e s p o n d a n t e a u n c o m p o r t e m e n t i n a d m i s s i b l e p o u r r - » 0 ou r — . Da n s c e s c o n d i t i o n s , p o u r é v i t e r u n e a b s u r d i t é , i l f a u t que E a i t u n e v a l e u r t e l l e que l e p a r a m è t r e a s o i t é g a l à u n e n t i e r n é g a t i f ou n u l q u ' o n d é s i g n e r a p a r n ^ . E n e f f e t , i l v i e n t a l o r s : .2r ^ _ % * . . (2t + l ) /2r ' «-o T T î î r a ; \ V E t l ' o n p a r v i e n t , à u n f a c t e u r c o n s t a n t p r è s , à R ( r ) = r ^ e ~ ^ ^ d d ^ l q u i e s t a c c e p t a b l e . ° Da c o n s é q u e n c e l a p l u s i m p o r t a n t e de c e q u i p r é c è d e e s t que l o r s q u e E < 0 , l e s y s t è m e e s t " q u a n t i f i é " , c ' e s t à d i r e que l ' é n e r g i e n e p e u t p r e n d r e q u ' u n e s u i t e d i s c r è t e de v a l e u r s E ^ , E2, E ^ . . q u i c o m p t e t e n u d e s r e l a t i o n s (6) e t de l a c o n d i t i o n a = - n , s o n t o d o n n é e s p a r l a f o r m u l e ■c - 2 me ^ ^ \ ®n = — 1 2 " 2 --- ( n = l + f + n ^ ) . I l n P a r c o n t r e , s i E > 0 , l e s y s t è m e n ' e s t p a s q u a n t i f i é e t a u l i e u , d ' u n s p e c t r e de r a i e s , é m e t s p e c t r e c o n t i n u d a n s l e q u e l , s i l ' o n p o s e Tq = i^;, s o i t 2m e , l a d i s t r i b u t i o n de l ' i n t e n s i t é l u m i n e u s e e s t l i é e a u x v a l e u r s de l a f o n c t i o n d ' o n d e de Coulomb H ( C , ; p ^où l ' o n t a p o s é H ( ^ , k ; x ) = e^^(|> ( 1 + d + i k , 2+26 ; - 2 i x ). Dans c e t t e f o n c t i o n de C o u l o m b , 1 ' i m a g i n a i r e n e f i g u r e q u ' e n a p p a r e n c e . La f o r m u l e deKummer ( a , c ; x ) = e ^ ( c - a , c ; - x ) p e r m e t , e n e f f e t , de v o i r q u ' e l l e c o ï n c i d e a v e c s a c o n j u g u é e , do n c q u ' e l l e e s t r é e l l e . 20
DEUXIEI/Œ) PARTIE L e s f o n c t i o n s gamma I n c o m p l è t e s . 1 . D é f i n i t i o n s . L e s f o n c t i o n s gamma i n c o m p l è t e s o n t é t é é t u d i é e s p o u r La p r e m i è r e f o i s p a r L e g e n d r e e n 1 8 1 1 , p o u r x r é e l . L e s f o n c t i o n s gamma i n c o m p l è t e s p e u v e n t ê t r e c o n s i d é r é e s comme d e s f o n c t i o n s c o n f l u e n t e s a u c a s où a e s t e n t i e r p o s i t i f . D u p o i n t de v u e h i s t o r i q u e , l e u r o r i g i n e e s t t o u t e a u t r e e t p r o v i e n t de l a d é c o m p o s i t i o n e n d e u x i n t é g r a l e s de l ' i n t é g r a l e c l a s s i q u e q u i d é f i n i t l a f o n c t i o n gamma e u l é r i e n n e ; ( 1 ) P(c,i) = ^ e ~ ‘‘^t“‘ " ^ d t ( ^ > 0 ) où l ' o n p o s e e ^t*"^ ^ d t ( 2 ) e t , x ) = ^ ‘^ e - V - ^ d t ( 3 ) f o n c t i o n gamma ' i n c o m p l è t e c o m p l é m e n t a i r e , c e q u i i m p l i q u e l ' i d e n t i t é d i t e de P rym ( 1 8 7 7 ) : r (*^ ) = î X ) + P ( d , X ) . ( 4 ) L a d é f i n i t i o n ( 2 ) p r é s e n t a n t q u e l q u e s i n c o n v é n i e n t s , i l e s t p r é f é r a b l e de l u i s u b s t i t u e r l a s u i v a n t e : ( 5 ) Y(<4,x) = r (o< )x (<^ , e ^ + l ; - x ) . ^ La f o n c t i o n d é f i n i e p a r ( 5 ) , à c a u s e d u f a c t e u r F (°<.)x , n ' e s t p a s u n i f o r m e e t p o s s è d e u n e i n f i n i t é de p ô l e s = 0 , - 1 , - 2 , . . . P o u r c e t t e r a i s o n , o n p r e n d comme p o i n t de d é p a r t de l a t h é o r i e d e s f o n c t i o n s ^ i n c o m p l è t e s n o n p l u s y (®^,x) ou P ('< ,x1 m a i s l a f o n c t i o n gamma i n c o m p l è t e m o d i f i é e y ^ ( o < ,x ) d é f i n i e p a r (6) î ( V , x ) = 4>*‘ (i<,«<+l;x) , o u , e n u t i l i s a n t l a f o n c t i o n de ICummer: { ‘ ) Y V , x ) = ( l , o ( + l : - x ) . On a a i n s i u n e f o n c t i o n e n t i è r e de x e t d e o < .O n r a m è n e r a à c e t t e d e r n i è r e l e s f o n c t i o n s c l a s s i q u e s y («<,x ) e t P (ot,x'! a u moyen d e s r e l a t i o n s ( 8 ) j r ( < A ,x ) = p ( « < > x ° ^ y V ,x ^ \ r (o<,x) = r - Y ( ^ , x ) , d a n s l e s q u e l l e s o n a t t r i b u e à l a o u i s s a j.ce x s a " v a l e u r p r i n c i p a l e " d é f i n i e a u moyen de l a f o r m u l e X = e ^ L o g x , L o g X = L o g | x | + i a r g x , - R ^ a r g x < n , c e q u i i m p l i q u e (-x )''^ = x'^e ^ a v e c £ = 1 s i a r g x > 0 e t f = - 1 s i a r g x ^ 0 . A i n s i y * ( o < , x ) e s t d é f i n i TTiême si<< e s t u n e n t i e r n é g a t i f . D a n s c e c a s , y * ( - n , x ' * = x ^ .
2 . r r i n c i p a l e s p r o p r i é t é s d e s f o n c t i o n s gamïïia i n c o m p l è t e s . L e s p r o p r i é t é s f o n d a m e n t a l e s d e s f o n c t i o n s gamma i n c o m p l è t e s s e d é d u i s e n t i m m é d i a t e m e n t d e s p r o p r i é t é s c o r r e s p o n d a n t e s d e s f o n c t i o n s c o n f l u a n t e s , e n u t i l i s a n t , à c ô t é de l a p r é c é d e n t e f o r m u l e de d é f i n i t i o n , l a r e l a t i o n : ( 5 ) F ( c '.,x ) = e ~ ^ x '^ '$ '( l ,o ( + l ; x ) = e “’' ^ ( l - o < , l - ( ! C ; x ) ^ o u i p e u t ê t r e v é r i f i é e e n e f f e c t u a n t d a n s r ( c K , x ) =% e “ '*'t'^“ ^ d t l a s u b s t i t u t i o n t = x ( l + f ) q u i c o n d u i t à l ' é g a l i t é : ( 1 0 ) r ( e < , x ) = x°^e~^o^x f ( l + t (Æ x > 0 ) . l a f o n c t i o n y ■'*•((><,X ) e s t 1106 i n t é g r a l e o a r t i c u l i è r e de l ' é q u a t i o n l i n é a i r e d u s e c o n d o r d r e ( 1 1 ) x y + (°< + l + x ) y + o(,y =0 d o n t u n e a u t r e i n t é g r a l e n a r t i c u l i è r e e s t x ( l i n é a i r e m e n t i n d é p e n d a n t e de l a p r e m i è r e t a n t que«< n ' e s t p a s u n e n t i e r n é g a t i f ou n u l ) . S i g n a l o n s l e s d é v e l o n p e r i i e n t s s u i v a n t s e n s é r i e de o u i s s a n c e s de r a y o n de c o n v e r g e n c e i n f i n i : I _ 1 ^ _ „ - x 1 ( ^ 2 ) I J v«*,x) - TiiTiDn!--- ^ ^^opT sîT ïïT T ) œ o< +n °® o< +n y ( o ^ , x ) = ( _ i ) n ^ - ^ . ^ - ^ ^ - . = e ^ ^ ^ 0( ^1) . . .T ic+nl” d e s f o r m u l e s de r é c u r r e n c e e t de d ' r i v n t i o n d e s f o n c t i o n s c o n f l u e n t e s g é n é ^ ^ a l e s , on d é d u i t d e s f o r m u l e s a n a l o g u e s >our l e s F .G - .T .: y ^ ( o C - l , x ) = X ■)T'’*(<^,x) + p ^ x ) y (p< + l,x ) =o<-y(e<,x) - x ‘*e“ ’'' r (o< + l,x) = (Xp ( x , x ) + x°^ e ~ ^ ( 1 3 ) ( 1 4 )
^
= ( - l ) ^ X ( o ( + l ) . . . ( ^ + n - l ^ y ^ ( i < + n , x ) dx Ce^x°^ (X , x ) J = e^x°^ ( x - n , X) dx ^ L x - “^ P (o < ,x ) J = ( - l ) ^ x - ‘^ - ’^‘ P (<K+n,x). V d x ^ l e s f o r m u l e s o e r m e t t e n t de r e ’’. i “ r l e s f o n c t i o n s e t Ÿ ”, n o u r a = n + 1 , e n t i e r p o s i t i f , a u x F . 5 . 1 . p a r l e s r e l a t i o n s : c f > ( n t l , o ( + l ; x ) = ^ â ! ' _ [ e ^ x ' ^ - ‘V ' p < , x ) J ( 1 5 ) ■ d x ‘ n i Y ( n + l , o < + l ; x ) [ e ^ x ’^ -p (o C ,x ) J ( n = 0 , 1 , 2 . . . ) d a n a l e s d é r i v é e s d u d e u x iè m e m e m b r e , t o u s l e s t e r m e s s a u f 22y W t x )
, P(o<,x)
d a n s l e s q u e l s l a d é r i v é e d x ^ d x ^ n ièm e c o n d u i t a u x p o l y n ô m e s de l a g u e r r e , s o n t d e s f o n c t i o n s é l é m e n t a i r e s e n r a i s o n de l ' é g a l i t é b a n a l e ( 1 6 ) V (c<,x) = - 53^ n (o(.,x) = e '^ x " ^ " ^ D ans l ' h y p o t h è s e «< = n + l , b i e n que l e s d e u x f o n c t i o n s e t " î ' n e s o i e n t p a s é l é m e n t a i r e s , 1 ' é q u a t i o n c o n f l u e n t s a d m e t c e p e n d a n t u n e s o l u t i o n é l é m e n t a i r e , c ' e s t à d i r e q u ' i l e x i s t e u n e c o m b i n a i s o n l i n é a i r e de 4 ’e t "5('qui s e t r o u v e ê t r e u n e f o n c t i o n é l é m e n t a i r e , i l r é s u l t e (fie ( 1 5 ) q u e : i ( n + l , « C + l ; n ) + ( l - o t ) ^ ^ ( n + l , o < + l ; x ) = \ ( , x . . n - < (e-'X dx'^' = P ( c C ) e ^ x - L ^ ^ - x ) . Dans c e q u i s u i t , o n do n n e d e s r e p r é s e n t a t i o n s i n t é g r a , l e s d i v e r s e s d e s P . G - . I , , l a p l u p a r t s o u s f o r m e de t r a n s f o r m é e - s de L a p l a c e :Y*(i«t,x) =
P ( ^ ~ l )/
e ^ ° ° ^ ^ c o s{o^B + s±r^)d9
J
s i n(o(& +
x s i n P ) d ^ = P (<’<■,- x ) - c o s ® < ^ , x ) J ! ’*’(»<,x ) = 0-7 5- ') ^ ( ' b x ) d t 0 , i f l x > 0 ) x/ 2 P (®<,x) = J ( c o s B ) ’* ~ ^ c o s j ^ ^ t g é ( l - o < ) ^ d6 ( x >0, ^ > 0) ^ X [ i + t " i = p' ( l - “^)e^ r* (o (,x ) ( 1 , (R x > 0 ) x ( l + x ) ^ x Y ^ ( o ^ ,x ) ] = j , - p ^ (1+ x ) " ^ P ( l , p , l + « < ; ^ ) ( ^ P >0, t f î x >0) î e x p ( - x e ’*^) J = x ~ ‘^ P ( -0( , x ) ( < ^ x >0) [ e x p ( - x e ~ ^ ) J = x “ °‘j('(®<,x) (<^°<>0, (R x >0) •A jo u to n s e n f i n d e u x f o r m u l e s q u ' o n ne p e u t p a s d é d u i r e f a c i l e m e n t d e s f o r m u l e s c o r r e s p o n d a n t e s r e l a t i v e s a u x f o n c t i o n s c o n f l u a n t e s g é n é r a l e s e t q u i s e m b l e n t p a r t i c u l i è r e s a u x P . G - . I . L a p r e m i è r e q u i s e t i r e de l ' é g a l i t é b a n a l e f O t K'(o(.,x+y) - T ( f ( . , x ) = / e ~ ^ t d-t e s t l a s é r i é de N i e l s e n u t i l e p o u r l ' i n t e r p o l a t i o n d e s t a b l e s de f o n c t i o n s Y . E n p o s a n t t = x + u e t e n d é v e l o p p a n t e n s é r i e l a p u i s s a n c e ( x + u )* ^ ~ ^ ,o n p a r v i e n t a u d é v e l o p p e m e n t v a l a b l e p o u r | y | Z | x l : ( 1 7 ) V (o < ,x + y ) = y ( o < , x ) -f e '^ x * ^ " ^ '^ n "^ [ ^ ~ e “ ^ e ^ ( y ) ] ^l a r é d u i t e de r a n g (n + 1 ) de l a s é r i e e x p o n e n t i e l l e , c ' e s t à d i r e que l ' o j ^ p o s e e ( y ) =
sa
‘^T— 1:^0 m! • l a s e c o n d e f o r m u l e a s s o c i é e e s t u n d é v e l o p p e m e n t e n s é r i e de f o n c t i o n s de B e s s e l de l a f o n c t i o n y ( x , x ) = e ^ S j ^ ( k ) x Dans ce d é v e l o p p e m e n t q u i c o n v e r g e a b s o l u m e n t e t u n i f o r m é m e n t d a n s u n d o m a in e f i n i q u e l c o n q u e du p l a n a n a l y t i q u e de x , e n o o s a n t o( = 0 , k = 1 e t e n c h a n g e a n t x e n x ^ , o n d é d u i t , comme c a s p a r t i c u l i e r , l a c u r i e u s e r e l a t i o n Z e ^ ( l ) x ^ J ^ (2x ) = e ^ ^ S i g n a l o n s e n f i n l e d é v e l o p p e m e n t e n f r a c t i o n c o n t i n u e d û à L e v e n d r eP ( < ^ , x ) =
---X + — - — ---1 + x+ 2-«< 1 + . . . 3. C o m p o r te m e n t a s y m p t o t i o u e d e s ? . & . ! . Ce c o m p o r t e m e n t e s t f a c i l e à é t u d i e r s i l ' u n e d e s q u a n t i t é s ot ou X d i v e r g e . I l e s t b e a u c o u p p l u s d i f f i c i l e s i l e s d e u x d i v e r g e n t en même te m p s .O n s e b o r n e r a a u x d é v e l o p p e m e n t s a s y m p t o t i q u e s s u i v a n t s : ^ P K x ) ^ e - ^ x ' ‘ - l ^ S( - f
■ ( n - l - o P ^ > q , b o r n é ) ^ ^ (J/_o() ( 2-o<). . . ( n —l-t< ) J --- - _ t ^ n + l --- x ^ O , « b o r n e ) y ^ ( o ( , x ) / v e p (« + n + 'l) b o r n é ) . I c i l a s é r i e e s t a s y m p t o t i q u e m a i s c o n v e r g e n t e . 1. Z é r o s e t n r o p r i é t é s d e s c r i p t i v e s d e s P . G . I . On p e u t l e s r é s u m e r a i n s i : a ) l a f o n c t i o n y **ne p o s s è d e a u c u n z é r o r é e l n o u r o ^ ^ O ; b ) e l l e p o s s è d e u n z é r o n é g a t i f q u ' o n d é s i g n e c a r x s i e t s e u l e m e n t s i l - 2 n 2 - 2 n ( n = 1 , 2 . . . );..
.
. I ît 0 ) e l l e p o s s é d é u n z e r o n é g a t i f x e t u n z é r o n o s i t i f x s i e t s e u l e m e n t s i -2n<^»<'< l - 2 n ( n = 1 , 2 . . . ) ; d ) e l l e p o s s è d e u n z é r o n u l m u l t i p l e d ' o r d r e n si«>< = - n . De ce q u i p r é c è d e e t de l a f o r m u l e \ -j. « ( » < + l , x i , o n d é d u i t que l a f o n c t i o n Y * (o < ,x ) e s t t o u j o u r s u n e f o n c t i o n m o n o to n e de x p o u r ° < > 0 , e t p l u s p r é c i s é m e n t c r o i s s a n t e p o u r - l < o < 0 e t d é c r o i s s a n t e p o u r < = 0 ’ 0. P o u r P< = 0 , e l l e s e r é d u i t à l a c o n s t a n t e l . D a f i g u r e 1 m o n t r e ,0/5
-•1-5
3
O1
-I 2C o u r b e s d e n i v e a u x d e l à F o n c r i o n r z =.
P , g . .1o
d ' a p r è s T r i c o m i / 5 / , l e s c o u r b e s de n i> /e a u x de l a f o n c t i o n z =Jf’*(o^,x), l a 2 / l e s f o r m e s de c e t t e f o n c t i o n c a l c u l é e s p a r o r d i n a t e u r , p o u r q u e l a u e s v a l e u r s c a r a c t é r i s t i q u e s d e . 5 . C as • p a r t i c u l i e r s im p o r t a n t s de_s P , .... S i »< e s t e n t i e r n é g a t i f , y * ( - n , x ) = x'^. «a La f o n c t i o n P ( 0 , x ) n e u t ê t r e d é f i n i e o a r l ' i n t ' g r a l e P ( 0 , x ^ =
f
^ t f o n c t i o n n o n u n i f o r m e de x q u ' o n t r o u v e r e p r é s e n t é e d a n s l a l i t t é r a t u r e p a r l e s v m b o le - P . ( - x ) ( e x p o n e n t i e l l e i n t é g r a l e ) . - / jC e n même te m p s a u ' o n p o s e S . ( x ) = / s i n t ^ t r C . ( x ) = —/ c o s t d t ^ . T . / --- T— e t a u s s i q u e l q u e f o i s ^ ^ ^ r di f . ( x ) = E . (L og x ) = f d t yo Log t ■ 3e t o u t e s c e s f o n c t i o n s , s e u l e S ^ ( x ) e s t u n i f o r m e . I l e s t p r é f é r a b l e a l o r s de p r e n d r e p o u r p o i n t de d é p a r t , à c ô t é d u s i n u s i n t é g r a l . r j t d t l e s d e u x a u t r e s f o n c t i o n s e n ; i è r e sJ,
d t yp t a u x q u e l l e s l ' e x p o n e n t i e l l e i n t ' . ' g r a l e e t l e s i n u s i n t é g r a l s e r a m è n e n t f a c i l e m e n t p a r l e s f o r m u l e s : E ^ ( - x ) = G + Log X -Ej^j^(x) , C ^ ( x ) = G + Log X - G j ^ j ^ ( x ) o à G = 0 , 5 7 7 215 7 e s t l a c o n s t a n t e d ' E u l e r . P a r a l . l è l e m e n t , on a r ( 0 , x ) = - E . ( - x ) = 2 . ( x ) - G - L o g x . n 1 i n e p l u s , o n o b t i e n t ^ i n ^ ^ ^ ^ ^ i S j^ ( x ) a i n s i que l e s d é v e 2 .o p p e n e n ts p a r t o u t c o n v e r g e n t s : = X - x ^ ^ ^3 ^ ^43 . 3 !
4 . 4 !
• • •
G. ( x ) = x ^ 4 6 i n ^ 7^ -^,---X + X 2-2! 4.-4! - • • • S j _ ( x ) = X - 1 ^ - + + . . . En o u t r e , on t r o u v e l e d é v e l o p p e m e n t e n s é r i e c o n v e r g e n t e p o u r t o u t x a® S i n ( x ) = ^ a v e c H^ = l + | + . . . + S i g n a l o n s , p o u r f i n i r , l e s de\xx r e l a t i o n s i n t é g r a l e s "*e“^ ^ L o g t d t = - i E ^ ^ ( x ) ® ^ x I- T + t “ ^ = e ^ P ( 0, x ) ( £ x > 0) = ( £ x > 0),0 ÏÏa a t i t r e o a s p a r t i c u l i e r n o t a b l e de P . G . I . e s t c e l u i p o u r l e q u e l on a ^ ou p l u s g é n é r a l e m e n t , p o u r l e q u e l o / d i f f è r e de j p a r u n n-oiabrè e n t i e r . l e s P . G . I . s o n t a l o r s l i é e s a u x f o n c t i o n s d ' e r r e u r ; ! r * 2 /■* 2 E r f ( x ) e'"*^ d t , ^ r f i ( x ) -- X e ’*^'dt , a i n s i q u ' à l a f o n c t i o n d ' e r r e u r c o m p l e : ^ e n t a i r e —13 ^ î r f c ( x ) - d t p a r l e s f o r m u l e s E r f ( x ) = I y ( I , x ^ ) , E r f i ( x ) = | P (o^) x"^ P ( | , - x ^ ) E r f c ( x ) = J ^ , x ^ ) . Alix f o n c t i o n s d ' e r r e u r s e r a t t a c h e n t a u s s i l e s i n t é g r a l e s Ae F r e s n e l C( x ) = ^ , S ( x ) = ^ d t q u i i n t e r v i e n n e n t d a n s l a t h é o r i e de l a d i f f r a c t i o n de l a l u m i è r e p a r l e s f e n t e s . L e l e c t e u r t r o u v e r a d a n s l e s t a b l e s s p é c i a l i s é e s ( p a r exem ple ; "Handbook o f M a t h e m a t i c a l P i m c t i o n s " e d i t e d b y "‘i l t o n A.bramowitz a n d I r e n e A. S t e g u n , D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c , N e w - ^ o r k . ) d e n o m b re u x d é v e l o p o e m e n t s en s é r i e , d é v e l o p p e m e n t s a s y m p t o t i q u e s e t t r a n s f o r m é e s de L a p l a c e d e s f o n c t i o n s p r é c é d e n t e s . 6. E x e m p le s d ' a p p l i c a t i o n d e s F . G . I . 1 ° )La f o n c t i o n P { U , x ) i n t e r v i e n t e n g é n é r a l d a n s l e c a l c u l de l a t r a n s f o r m é e de l a p l a c e d ' u n e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e . A i n s i : / x [ i + t ^ ] = P (0, x ) , 0 )
^
X[ l + t
—]
P
( 1 -P
{ o i , x ) , 1 ,^ X >
0 ) . 20 \ Un a u t r e e x e m p le b i e n c o n n u e s t c e l u i de l a l o i d u X ^ en s t a t i s t i q u e . S o i t «< u n e n t i e r n a t u r e l n o n n u l e t (X ^ ,X2. • u n e s u i t e de v a r i a b l e s a l é a t o i r e s n o r m a l e s r é d u i t e s , m u t u e l l e m e n t i n d é p e n d a n t e s . L a d e n s i t é de x " = x2 . x2 + . . . . x2 e s t l a f o n c t i o n k ( x ) = 0 s i x é 0, x ( n/ 2 - 4 - f x /2; ^ . -n^--' 2 ^ 2 p ( n /2) X > 0 . La l o i de l a v a r i a b l e a l é a t o i r e s ' a p p e l l e l o i d u ^ ^ à n d e g r é s de l i b e r t o ( o u de K .P e a r s o n ) . La f o n c t i o n de r é n a r t i t i o n d e ^ ^ e s t donc d é f i n i e p a r K ( x ) = 0 s i X 4 0 , X _ 1 / . ( n /2- l ) - l t /2j . , . . , . “ —TtTTôi--- / e d t q u ' o n p e u t e n c o r e e c r i r e ; j r ( ^ 1 —(t /2/ ^ d t \ 1 v^/'n \ ^ n ^ ^ ^ - - p W 2 T 7 o ^2^ ' ® = p ( h /2) y ^2’^ ^ •En g é n é r a l , on c h e r c h e l a p r o b a h i l i t é p o u r d u e :X ^ d é p a s s e u n e p r o b a b i l i t é d o n n é e : < = ) = / k ^ ( x ) d x = 1 - K ^ i X ^ ) = 1- ( n /2) ^ ^2’ ^ 3 0) E t u d e d ' u n d é c l i n de n h o s p h o r e s c e n c e . l e s c h é m a d é s o r m a i s c l a s s i q u e d e s b a n d e s d ' e n e r g i e p e r m e t d ' e x p l i q u e r l a p h o s p h o r e s c e n c e de n o m b re u x c r i s t a u x ( s u l f u r e s e t o x y d e s e n p a r t i c u l i e r ) . On p o u r r a s e r e p o r t e r a u x r é f e r e n c e s / 6 / , / 7 / , / 8 / _ A e t B s o n t d e s b a n d e s d ' é n e r g i e , e n s e m b l e s de n i v e a u x t r è s r a p p r o c h é s d e s é l e c t r o n s d a n s l e c r i s t a l . A l ' é t a t n o n e x c i t e , A n a r e x e m p le e s t p l e i n e ( b a n d e de v a l e n c e ) e t B e s t v i d e ( b a n d e de c o n d u c t i b i l i t é ) ( f i g . 3 ) . S i l ’ on c o n s i d è r e u n é l e c t r o n e n B , i l B B a n d g d » c o r » d u c H b i l i t g ^ / / / / / / / / / / / B o n d » d » v a l f f n c o
