Modélisation DEM thermo-mécanique d'un milieu continu. Vers la simulation du procédé FSW

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Iñigo Terreros

To cite this version:

Iñigo Terreros. Modélisation DEM thermo-mécanique d’un milieu continu. Vers la simulation du procédé FSW. Autre. Ecole nationale supérieure d’arts et métiers - ENSAM, 2013. Français. �NNT : 2013ENAM0060�. �pastel-00996971�

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2013-ENAM-0060

École doctorale n

◦

432 : Sciences des Métiers de l’ingénieur

Doctorat ParisTech

T H È S E

pour obtenir le grade de docteur délivré par

l’École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers

Spécialité « Mécanique et matériaux »

présentée et soutenue publiquement par

Iñigo TERREROS

le 15 novembre 2013

Modélisation DEM thermo-mécanique d’un milieu continu :

Vers la simulation du procédé FSW

Directeur de thèse: Ivan IORDANOFF Co-encadrement de la thèse: Jean-Luc CHARLES

Jury

M. Laurent DUBAR, Professeur, Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis Président

M. Jean-François MOLINARI, Professeur, École Polytechnique Fédérale de Lausanne Rapporteur

M. Charles PINTO, Professeur, University of the Basque Country Rapporteur

M. Olivier CAHUC, Professeur, Université de Bordeaux Examinateur

M. Lionel FOURMENT, Chargé de recherche au CNRS, Mines ParisTech Examinateur

M. Mohamed GUESSASMA, Maître de conférences, IUT de l’Aisne Examinateur

M. Jean-Luc CHARLES, Maître de conférences, Arts et Métiers ParisTech Examinateur

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Remerciements

Irakurle hori, lan honen orrialdeen artean idazten zailena egin zaidanaren aurrean aurkitzen zara momentu honetan, esker onen orrialdean. Eskertuen artean borrokarik ez egoteko ordena kronologiko bat jarraitzea erabaki dut.

Antolaketa hau jarraituz, lehenik eta behin guraso eta amamei eskerrak eman nahi dizkiet —ordenak hemen ez dauka garrantzirik, ni baino lehenago jaio ziren eta—. Ez dut senideekin jarraitzeko aukera galduko eta nire arreba Patriziaren, lehengusu-lehengusinen eta osaba-izeben txanda dator orain. Eskerrik asko.

Tesia hasi baino lehen ezagutu nituen lagunak aipatu behar ditut orain. Batzuk txikia nintzela ezagutu nituen Laudion, beste batzuk beranduago Bilbon eta Borde-len. . . bakoitzak bere lekua eta momentua aurkitzeko ahalegina egin dezala, lagun onak zareten heinean ez dut uste arazorik edukiko duzuenik ;-)

Tesi hasierara heldu baino lehen, ikastolan nire irakaslea izan zen Iñakiri eskerrak eman nahiko nizkioke, lan hau aurrera eramateko behar izan ditudan erreminta asko bere klaseetan ikasi nituen eta.

Toujours dans le milieu académique, je passe à la langue de Molière pour remercier Ivan et Jean-Luc pour leurs encadrements et Franck pour avoir rendu possible le début de cette thèse.

Berriro euskarara itzuliz, tesi honetan zehar nire pisu-kideak izan diren Héctor eta Lara eskertuko ditut. Era berean, behin tesia hasita egin nituen lagun guztiak eskertzen ditut, batez ere bulego-kideak izandakoak —Lucie, Sébastien, Damien, Younes, Mohamed, Nicolas G. eta Nicolas H.— eta nire besoa sendatu zuen Fabrice. Bukaerara ailegatzen —gogoratu orden kronologiko bat jarraitzen saiatu naizela— EHUko eta IK4-Lortekeko langileak eskertuko nahiko nituzke FSW saiakuntzak posible egiteagatik, batez ere Egoitz eta Ekaitz.

Azkenik, eta behin defentsa egunera ailegatuta, bertan egon ziren lagunak etortzen zaizkit gogora. Lehen aipatutako gurasoak eta pisu-kideez aparte, Xabi, Txemi, Fibo, José, Ander eta Margaux, eskerrik asko lo ez geratzeagatik. . . edo behintzat saiatzeagatik.

Je remercie finalement l’ensemble des hommes et des femmes du laboratoire, sta-giaires, doctorants, post-doctorants, maîtres de conférences, professeurs, personnels techniques et administratifs qui participent à la vie du laboratoire et l’ont rendue agréable et conviviale, ainsi que les membres du jury pour les remarques qu’ils m’ont très aimablement proposé.

Financial support for this research from the Basque Government (Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa sailaren Ikertzaileen Prestakuntzarako Programa) is gratefully appreciated.

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Table des matières

Table des figures viii

Liste des tableaux x

1 État de l’art 1

1.1 Soudage par friction malaxage . . . 1

1.1.1 Introduction . . . 1

1.1.2 Paramètres du procédé . . . 3

1.1.3 Microstructure du cordon de soudure . . . 4

1.1.4 Caractéristiques mécaniques . . . 5

1.1.5 Applications . . . 6

1.1.6 Verrous scientifiques . . . 7

1.2 Simulation numérique du procédé FSW . . . 8

1.2.1 Modèles analytiques . . . 8

1.2.2 Modèles FEM . . . 8

1.2.3 Modèles sans maillage . . . 12

1.2.4 Méthode des éléments discrets . . . 13

1.3 Simulation DEM en mécanique des matériaux continus . . . 16

1.3.1 Algorithmes de recherche de contacts . . . 16

1.3.2 Calcul des interactions entre éléments discrets . . . 18

1.4 Simulation DEM thermique des matériaux continus . . . 21

1.5 Choix . . . 22

1.5.1 Bilan . . . 22

1.5.2 Déroulement . . . 24

2 Simulation DEM thermique d’un matériau continu 25 2.1 Introduction . . . 25

2.2 Description générale de la méthode . . . 26

2.2.1 Application à la conduction de la chaleur . . . 27

2.3 Démonstration mathématique pour domaines 3D cristallins . . . 28

2.3.1 Démonstration . . . 28

2.3.2 Conclusions . . . 30

2.4 Extension aux domaines 3D isotropes . . . 31

2.4.1 Détermination des proprietés locales des éléments . . . 31

2.4.2 Interactions entre l’élément discret et ses voisins . . . 34

2.5 Validation du modèle thermique . . . 35

2.5.1 Poutre cylindrique & source de chaleur . . . 35

(9)

2.6 Conclusions . . . 39

3 Simulation DEM mécanique d’un matériau continu élasto-plastique 43 3.1 Force issue d’un potentiel . . . 44

3.1.1 Loi de base . . . 44

3.1.2 Problématique . . . 45

3.1.3 Loi simplifiée . . . 46

3.1.4 Essais sans endommagement . . . 47

3.1.5 Modèle d’endommagement . . . 48

3.1.6 Essais avec endommagement . . . 52

3.2 Force issue d’un lien microscopique . . . 57

3.2.1 Contrainte équivalente de Von-Mises . . . 58

3.2.2 Critère de plasticité . . . 59

3.2.3 Algorithme général . . . 61

3.2.4 Calibration . . . 61

3.2.5 Résultats . . . 63

3.3 Conclusions . . . 65

4 Simulation DEM thermo-mécanique d’un matériau continu élasto-plastique 67 4.1 Description de la méthode de couplage utilisée . . . 67

4.2 Essai numérique de compression avec couplage thermo-mécanique . 70 4.3 Quelques premiers éléments pour l’application au FSW . . . 73

4.3.1 Essais experimentaux de soudage FSW . . . 73

4.3.2 Essais numériques de soudage FSW . . . 77

4.4 Conclusions . . . 79 5 Conclusions et perspectives 81 5.1 Conclusions . . . 81 5.1.1 Choix de la méthode . . . 81 5.1.2 Thermique continue . . . 81 5.1.3 Mécanique continue . . . 82 5.1.4 Couplage thermo-mécanique . . . 82 5.2 Perspectives . . . 83

A Géométrie des outils FSW 85 A.1 Exemples d’outils FSW . . . 85

B Méthode LCM 89 C Adimensionnement des paramètres mécaniques 93 C.1 Longueur . . . 93

(10)

Table des matières

C.2 Masse . . . 93

C.3 Temps . . . 93

C.4 Paramètres adimensionnés . . . 94

C.4.1 Raideur de contact . . . 94

C.4.2 Force maximale d’attraction . . . 94

C.4.3 Distance maximale d’interaction . . . 94

C.4.4 Vitesse . . . 94

C.4.5 Coefficient de dissipation . . . 95

D Modification du potentiel Lennard-Jones 97 D.1 Bilan . . . 98

D.1.1 Remarques . . . 98

E Boucle de calcul principale 99 E.1 Force issue d’un potentiel . . . 99

E.2 Force issue d’un lien microscopique . . . 100

F Plan de l’outil FSW 101

(11)

1.1 Outil de soudage par friction malaxage . . . 1

1.2 Schéma du procédé de soudage par friction malaxage . . . 2

1.3 Différentes dispositions possibles . . . 4

1.4 Matériau sous compression, formulation eulérienne . . . 9

1.5 Matériau sous compression, formulation lagrangienne . . . 10

1.6 Matériau sous compression, formulation ALE . . . 11

1.7 Force issue d’un potentiel de Lennard-Jones . . . 19

1.8 Couplage DEM-CNEM . . . 23

2.1 Domaine discret parallélépipèdique . . . 27

2.2 Domaine 3D du type « cubique primitif » & particule avec 6 voisins . . 29

2.3 6 éléménts discrets autour d’un élément discret i . . . 30

2.4 Polyèdre platonique tracé autour d’un élément discret . . . 32

2.5 Snd t & fvi en fonction du nombre de voisins . . . 32

2.6 Cellule cristalline du type « cubique primitif » . . . 34

2.7 Poutre cylindrique utilisée dans les calculs . . . 35

2.8 Courbes analytique & DEM . . . 36

2.9 Schéma de la plaque utilisée dans les simulations . . . 37

2.10 Dispersion relative en fonction du nombre d’éléments discrets . . . 39

2.11 Évolution de la température au point A . . . 40

2.12 Évolution de la température au point B . . . 40

2.13 Évolution de la température au point C . . . 41

3.1 Éléments discrets soumis à un potentiel de Lennard-Jones . . . 44

3.2 Force issue d’un potentiel de Lennard-Jones . . . 45

3.3 Simplification de la loi d’interaction originale . . . 46

3.4 Simulation DEM d’essais de chargement cyclique . . . 48

3.5 Simulation DEM d’essais de traction . . . 49

3.6 Domaine discret . . . 50

3.7 Détail du domaine discret . . . 50

3.8 Barycentre des éléments discrets en interaction . . . 51

3.9 Éléments discrets & modification de la loi de comportement . . . 52

3.10 Algorithme général . . . 53

3.11 Essais de traction avec différentes éprouvettes . . . 54

3.12 Essais de traction avec variation de c_d . . . 55

3.13 Essais de traction avec variation de K . . . 56

3.14 Essais de traction avec variation de γ . . . . 56

(12)

Table des figures

3.16 Essais de traction avec variation de C . . . 56

3.17 Essais de chargement cyclique avec endommagement . . . 57

3.18 Poutre d’Euler-Bernouilli avec les repères liés aux éléments discrets . . . 58

3.19 Schéma du critère de plasticité utilisé . . . 60

3.20 Algorithme général . . . 62

3.21 Algorithme de calcul de forces . . . 63

3.22 Résultats de la calibration . . . 64

3.23 Essai à rupture . . . 65

3.24 Essai de chargement cyclique . . . 66

4.1 Travail mécanique transformé en énergie thermique . . . 68

4.2 Algorithme de calcul de la chaleur générée . . . 69

4.3 Représentation graphique des résultats expérimentaux et numériques . 71 4.4 Comportement macroscopique des éprouvettes . . . 72

4.5 Position relative des thermocouples . . . 74

4.6 Montage expérimental . . . 75

4.7 Détail du pion de l’outil utilisé . . . 75

4.8 Températures aux points de contrôle de la plaque « A » . . . 76

4.9 Températures aux points de contrôle de la plaque « B » . . . 76

4.10 Températures aux points de contrôle de la plaque « C » . . . 77

4.11 Élément discret polyédrique . . . 78

4.12 Pénétration du pion . . . 79

A.1 Outils FSW . . . 85

B.1 Domaine discrétisé en cellules . . . 90

B.2 Cellules avec contacts potentiels . . . 91

F.1 Plan de l’outil FSW . . . 101

F.2 Températures des 4 premiers points de contrôle . . . 102

(13)

2.1 Valeurs calculées de Snd

t et fvi en fonction du nombre de voisins . . . 33

2.2 Caractéristiques de la poutre . . . 36

2.3 Caractéristiques de la plaque . . . 37

2.4 Caractéristiques de la source de chaleur . . . 38

2.5 Coordonnées des points de contrôle . . . 38

3.1 Variables de l’équation générale . . . 43

3.2 Paramètres mécaniques . . . 47

3.3 Valeurs des paramètres . . . 47

3.4 Conditions limites des différents essais . . . 48

3.7 Caractéristiques mécaniques de l’AA 2024-T351 . . . 63

3.8 Conditions limites des différents essais . . . 65

4.1 Comparaison entre les résultats expérimentaux et les résultats numériques 70 4.2 Coefficients de Johnson-Cook . . . 72

(14)

1

État de l’art

1.1 Soudage par friction malaxage

1.1.1 Introduction

Les difficultés trouvées au moment de réaliser des soudures performantes avec des aluminiums utilisés dans l’industrie aéronautique — notamment les aluminiums fortement alliés de la famille 2xxx et 7xxx — ont toujours été un verrou pour l’utilisation des procédés de soudage dans l’assemblage des structures aéronautiques [MM05]. L’utilisation des techniques conventionnelles de soudage avec ce type d’aluminiums provoque une diminution de la tenue mécanique qui est causée par la porosité et la structure dendritique formée dans le joint soudée [GDDDc05] entre autres.

Le procédé appelé « soudage par friction malaxage » —Friction Stir Welding, FSW en anglais — a été inventé parThe Welding Institute en 1991 [TNN+₉₂_{]. Le}

principe de ce procédé est simple : un outil rotatif composé d’un pion et d’un épaulement (voir : figure1.1) est introduit entre les pièces à souder. Le mouvement

Épaulement

Pion Figure 1.1 – Outil de soudage par friction malaxage.

de rotation et de translation de l’outil provoque l’échauffement du matériau. Cet échauffement n’est pas uniquement dû à la friction entre l’outil et la matière mais aussi à la déformation plastique de cette dernière. Cette montée locale de température rend en état « pâteux » le matériau autour de l’outil et cela facilite

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son malaxage. L’écoulement complexe alors créé [LMB+₀₁_{] produit un joint « en}

état solide » composé de grains équiaxiaux de faible taille qui possèdent des bonnes propriétés mécaniques qui seront décrites dans le paragraphe1.1.4.

La figure1.2montre un dessin schématique du procédé. Dans ce schéma l’outil

Cordon de soudure Direction de soudage x y z ω AS RS

Figure 1.2 – Schéma du procédé de soudage par friction malaxage.

avance selon la direction de l’axe x et tourne autour de l’axe y à une vitesse de rotation ω. La dissymétrie du champ de vitesses par rapport au plan xy est la cause de la différentiation de deux zones . La première zone, où la vitesse tangentielle de l’outil a la même direction que la vitesse d’avance, est appelée AS —advancing side en anglais —. La deuxième zone, où les directions de la vitesse d’avance et de la vitesse tangentielle de l’outil sont opposées, est appelée RS —retreating side en anglais.

Mishraet al. classent les avantages du procédé FSW en trois groupes [MM05] : 1. Avantages métallurgiques

– Procédé en phase solide. – Faible distorsion de la pièce.

– Stabilité dimensionnelle et répétabilité. – Éléments d’alliage conservés.

– Bonnes propriétés métallurgiques dans le joint soudé. – Faible taille de grain.

– Faible fissuration.

2. Avantages environnementaux – Élimination des gaz.

– Élimination du besoin de nettoyer les surfaces. – Élimination des dissolvants.

(16)

1.1. Soudage par friction malaxage 3. Avantages énergétiques

– Réduction de la quantité de matière utilisée.

– Consommation réduite d’énergie : 97,5% de réduction par rapport au soudage laser.

– Diminution de la consommation de carburant des véhicules à cause de sa réduction de poids.

1.1.2 Paramètres du procédé

Les propriétés mécaniques finales du joint soudé sont déterminées par la micro-structure et l’état de précipitation du matériau après le soudage. Pour un matériau donné, cette microstructure et cet état de précipitation sont définis par l’évolution du flux de matière et du champ de températures pendant le procédé de soudage. Selon le classement fait par Mishraet al. [MM05], les paramètres du procédé qui ont le plus d’influence sur le flux de matière et le champ de températures, donc, les paramètres qui ont le plus d’influence sur l’état final du joint soudé, sont au nombre de trois : la géométrie de l’outil, les réglages du procédé et la disposition des joints à souder.

Géométrie de l’outil : Il existe une grande variété de géométrie d’outil (voir : annexeA). Les différences les plus remarquables se trouvent principalement dans le pion. Celui-ci peut être lisse ou fileté et peut en plus posséder des cannelures qui ont pour but de stimuler le flux de matière autour de l’outil. L’épaulement peut lui-même aussi avoir des variations géométriques comme, par exemple, des spirales gravées, avec le même objectif d’augmenter le flux de matière et le frottement créé. Réglages du procédé : Les paramètres les plus importants dans cette section sont la vitesse de rotation ω et la vitesse d’avance v. Le rapport entre ces deux paramètres va définir si une soudure est « chaude »1 _{ou « froide » [}_AAAE12_{]. En}

plus de ces paramètres cinématiques, l’angle d’inclinaison entre l’axe de l’outil et l’axe perpendiculaire au plan des plaques — tilt en anglais — peut être considéré comme un autre paramètre du soudage. L’utilité de cette inclinaison de l’outil consiste à empêcher que la matière malaxée par le pion sorte en forme de copeau par l’arrière de l’outil. Finalement, l’échauffement ou refroidissement des structures à souder avant ou après le passage de l’outil doit être aussi classé dans cette section.

1. Les concepts de « soudure chaude » et « soudure froide » utilisés dans l’argot du procédé FSW ne sont pas directement liés à la température mais au rapport ω/v. Pour un processus donné l’augmentation de ce rapport va faire augmenter la chaleur générée, donc la température. Or, les températures obtenues vont varier pour une même valeur de ω/v si l’outil ou le matériau sont différents.

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Disposition des joints à souder : Les dispositions les plus adaptées pour souder deux plaques par friction malaxage sont celles appeléesbutt joint et lap joint en anglais. Dans le premier cas, les plaques sont positionnées côté à côté, tout comme dans l’exemple de la figure1.3a. Dans le deuxième cas, par contre, les plaques sont

(a)Butt joint (b)T butt joint

(c)Fillet joint

(d)Lap joint (e)T lap joint

Figure 1.3 – Différentes dispositions possibles.

empilées l’une sur l’autre (voir : figure1.3d). Malgré la bonne adaptation de ces deux dispositions au soudage par friction malaxage, il est aussi envisageable de souder des plaques en disposition angulaire ou en forme de « T » (voir : figures1.3b, 1.3cet

1.3e), entre autres.

1.1.3 Microstructure du cordon de soudure

Le cordon de soudure peut être divisé en trois parties en fonction de sa micro-structure : le noyau —nugget zone en anglais —, la zone affectée thermo-mécanique-ment —thermo-mechanically affected zone, TMAZ en anglais — et la zone affectée thermiquement —heat-affected zone, HAZ en anglais.

(18)

1.1. Soudage par friction malaxage Noyau : Le noyau est la zone qui se trouve au milieu du joint soudé. Cette zone

a subi des intenses déformations plastiques et un fort réchauffement thermique dû au passage du pion. Cela a comme résultat une microstructure composée de grains recristallisés dynamiquement et de faible taille. Dans le cas particulier des alliages d’aluminium 2024, cette taille varie typiquement entre 2 µm et 3,9 µm

[NBP00,CM03]. Des microstructures plus fines peuvent être obtenues en traitant

thermiquement les plaques. Selon les expériences de [BLM+₉₉_{], un refroidissement}

préalable à -30°C peut faire diminuer la taille des grains jusqu’au 0,8 µm en moyenne. Zone affectée thermo-mécaniquement : Cette zone se trouve des deux côtés du noyau. Elle est soumise à de forts gradients de température et de déformation, mais le taux de déformation n’est pas suffisamment élevé pour provoquer une récristallisation dynamique. Sa microstructure est donc composée par des grains fortement déformés autour du noyau. L’état de précipitation de la zone affectée thermo-mécaniquement est différent à l’état de précipitation du matériau de base à cause de la dissipation et recréation de précipités causée par le cycle thermique. Zone affectée thermiquement : Au contraire des zones décrites précédemment, la bande qui sépare la zone affectée thermo-mécaniquement et le matériau de base ne subi pas des déformations plastiques. La géométrie des grains de cette zone est alors la même que celle des grains du matériau de base. Or, son état de précipitation varie dû aux effets des gradients de température subis et ses propriétés mécaniques sont en général plus faibles.

1.1.4 Caractéristiques mécaniques

Dans les essais de traction réalisés avec des éprouvettes en aluminium 2024-T3 de 1,6 mm et 4 mm d’épaisseur, le rapport entre la contrainte maximale à rupture des éprouvettes soudées et celle des éprouvettes du matériau de base oscille entre 0,82 et 0,98 [BBD+₉₉_{]. Il est remarquable que ces résultats soient nettement meilleurs que}

ceux obtenus avec les méthodes de soudage conventionnelles dans d’autre type de matériaux.

En ce qui concerne le comportement en fatigue des joints soudés avec le procédé FSW, les éprouvettes peuvent montrer une dégradation de ses propriétés de 50% par rapport au matériau de base après 107_{cycles [}_BI99_{]. Néanmoins, cette étude montre}

aussi que les éprouvettes qui ont été fraisées pour améliorer son état de surface possèdent des performances en fatigue comparables à celles du matériau de base. Ceci est vrai pour les cas où la direction du cordon de soudure est perpendiculaire à la direction du chargement mais aussi pour les cas où ces deux directions sont parallèles.

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Les travaux qui analysent le comportement sous corrosion des joints soudés par FSW se centrent sur l’influence de la microstructure et l’état de précipitation finale sous ce type de conditions. Ce travaux ne sont pas concernés par les possibles optimisations des paramètres de fabrication pour obtenir une métallurgie plus résistante à la corrosion. Par contre, ils ont mené au développement de traitements pour augmenter la tenue des structures soudées. Pour donner un exemple, le travail de [HDW+₀₁_{] fait une étude de l’effet que différents traitements laser ont dans la}

microstructure et la tenue en corrosion du joint FSW. 1.1.5 Applications

Le fait de pouvoir souder des alliages d’aluminium des séries 2xxx et 7xxx, largement utilisés dans l’industrie aéronautique, ouvre une vaste plage de possibilités pour optimiser la construction de structures aéronautiques. Il y a des travaux qui analysent, par exemple, le soudage du fuselage des aéronefs [TBLB00, Loh00,

Loh01], la réparation des fissures dans les ailes [She00], le soudage de la structure

des moteurs de fusée [BvDKS00] ou le soudage de la base des ailes [Mar01]. Comme mentionné dans l’introduction, les procédés de soudage par fusion conventionnels provoquent une série de défauts dans ce type de matériaux dû à la montée excessive de la température. En conséquence, la plupart des assemblages des structures aéronautiques sont faits en utilisant des procédés de rivetage. Cela augmente la complexité et le coût des processus, la quantité de matière utilisée et le poids final de la structure. L’application du soudage par friction malaxage peut permettre la modification des démarches classiques de fabrication afin de réduire les coûts et augmenter les performances des aéronefs. L’industrie de l’armement a elle aussi des intérêts liés au procédé FSW, notamment à cause des bonnes propriétés balistiques de certains des aluminiums des séries 2xxx et 7xxx déjà mentionnés [BB00]. Le FSW n’intéresse pas que les industries de l’aéronautique et de l’armement. Ainsi, les industries de l’automobile et navale, de même que les industries ferroviaires et nucléaires suivent de plus en plus près son évolution. Malgré l’intérêt croissant de ces dernières, c’est grâce au support économique des deux premières que le FSW a pu être initialement développé.

De plus, toute une nouvelle gamme de procédés différents sont en train de se développer autour du concept du soudage par friction malaxage. Cette famille d’applications est connue commeFriction Stir Processing en anglais. Le principe de base du FSP est d’utiliser un outil FSW pour modifier la microstructure des matériaux métalliques et ainsi améliorer ses caractéristiques mécaniques. Parmi les applications déjà mises en place on trouve la création de matériaux composites à matrice métallique [ALH+₁₂_,_SMM+₁₂_{], le raffinement de la microstructure des}

(20)

1.1. Soudage par friction malaxage comportement superplastique sous grands taux de déformation [MPB12], entre

autres.

1.1.6 Verrous scientifiques

Les enjeux économiques de la mise en place au niveau industriel du procédé de soudage par friction malaxage ont été exposés dans les paragraphes précédents. En résumé, il s’agit d’un procédé peu coûteux et écologique qui permet l’améliora-tion des liaisons en terme de performances mécaniques. Cette augmental’améliora-tion des performances mécaniques va, à son tour, permettre d’alléger les structures soudées. Cela a comme conséquence directe la diminution des coûts en matières premières. Les économies réalisées à cause de la simplification du processus d’assemblage de la structure ne sont pas négligeables non plus. Or, pour pouvoir propager l’utilisation du procédé FSW à tous les domaines de l’industrie il existe la nécessité de qualifier les assemblages et les joints obtenus. Cette nécessité de qualification est d’autant plus évidente dans le cas de l’industrie aéronautique, où les certifications sont faites suivant des standards très exigeants.

Malgré les nombreuses applications industrielles du FSW déjà mises en place, son développement reste largement empirique et basé sur une grande connaissance expérimentale du procédé. Néanmoins, l’observation de façon dynamique des phénomènes qui ont lieu à l’intérieur du matériau pendant le soudage pose des problèmes expérimentaux difficiles à résoudre, principalement à cause du passage de l’outil. De nos jours l’observation de l’intérieur du cordon de soudure est toujours faitepost mortem. Cela permet de connaître précisément la microstructure et l’état de précipitation du joint pour prédire la tenue mécanique du joint obtenu. Mais le fait de ne pas connaître d’une façon détaillée l’histoire des sollicitations pendant le procédé rend difficile la prédiction des propriétés métallurgiques qui vont être obtenues pour des paramètres du procédé donnés.

Ainsi, il est possible d’étudier l’influence de la métallurgie dans les propriétés mécano-chimiques du joint car il est possible de corréler les données métallurgiques obtenuespost mortem avec les résultats des essais expérimentaux. Il est, par contre, plus difficile d’étudier l’influence des réglages du procédé sur la métallurgie qui va être obtenue car il n’est guère facile d’accéder à l’histoire des sollicitations méca-niques et thermiques d’une façon dynamique. Cela explique la nature éminemment empirique du développement du procédé FSW.

C’est dans cet aspect que la simulation numérique peux jouer un rôle décisif pour faciliter la compréhension et le développement du procédé. L’observation numérique des phénomènes qui ont lieu à l’intérieur du joint lors du passage de l’outil va permettre une étude plus approfondie de la sensibilité des caractéristiques métallurgiques aux paramètres du procédé. La maîtrise de l’influence des réglages du procédé va permettre l’obtention de joints plus homogènes et en conséquence va

(21)

faciliter la qualification du procédé nécessaire pour répandre celui-ci dans différents domaines de l’industrie.

1.2 Simulation numérique du procédé FSW

L’évolution de la simulation numérique du procédé de soudage par friction ma-laxage comprend quelques approches analytiques et un grand nombre d’approches numériques basées sur la mécanique des milieux continus :

1.2.1 Modèles analytiques

Un des premiers essais de modélisation du procédé FSW est le modèle analy-tique de Rusellet al. [RS99] présenté l’année 1999. Il s’agit, selon l’auteur, d’un « simple exercice de modélisation ». Dans cette première approche, la chaleur gé-nérée est estimée analytiquement à partir d’une équation simple qui dépend des paramètres cinématiques et des propriétés du matériau. La puissance thermique due au frottement de l’épaulement est estimée entre 1 et 2 kW tandis que celle issue du frottement du pion et de la déformation plastique du matériau est estimée entre 20 et 40 W pour un aluminium 2014-T6 avec une vitesse d’avance de 1,33 m/s, une vitesse de rotation de 44 rad/s et un rayon d’épaulement de 12,5 mm. Pour simplifier encore plus le modèle, la source de chaleur est considérée ponctuelle. Après avoir calculé l’évolution du champ de températures, les auteurs calculent analytiquement la concentration des précipités et la microdureté du matériau à partir de deux équations.

Cette première approche est rapide et flexible mais, malgré toutes les hypothèses simplificatrices prises en compte, ce modèle est capable de prédire quantitativement le profil de microdureté de la zone affectée thermiquement et la vitesse maximale d’avance pour un matériau donné. Ces résultats sont loin de résoudre toute la problématique liée au procédé FSW car, par exemple, les prédictions dans deux des zones les plus importantes du joint — le noyau et la zone affectée thermo-mécaniquement — sont clairement insuffisantes. Ces résultats ont été cependant très encourageants, car ils ont montré que la simulation du procédé FSW pouvait donner quelques résultats utiles et exploitables même si le modèle utilisé reste très simple.

1.2.2 Modèles FEM

Depuis sa création, la méthode des éléments finis [ZTZ05] —Finite Element Method, FEM en anglais — a été largement utilisée par les scientifiques et ingénieurs pour traiter un grand nombre de problèmes différents. Les problèmes liés au soudage

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1.2. Simulation numérique du procédé FSW par friction malaxage n’en font pas exception et dès les premières tentatives de

modélisation du procédé FSW la méthode FEM a été la base de plusieurs travaux. Vue l’importance que le flux de matière autour du pion a dans l’état final du joint soudé (voir : §1.1.2), certains auteurs ont choisi une formulation eulérienne du problème, qui est plus adaptée à la modélisation des écoulements (voir : figure

1.4). En 2000 Bendzsaket al. [BNS00] ont utilisé le logicielStir3D pour analyser #» F Avant compression #» F Après compression Figure 1.4 – Matériau sous compression, formulation eulérienne.

le champ de vitesses, déformations, températures et forces subies par l’outil en utilisant cette démarche. Il faut rappeler que dans la formulation eulérienne les nœuds sont bloqués dans toutes les directions. Cela oblige à faire un remaillage à chaque pas de temps car l’outil se déplace et cela fait varier la position des nœuds de l’interface outil-matière. La même année, Colegrove et al. [CPGM00] ont essayé de diminuer ces problèmes que le mouvement du pion provoquait dans le maillage eulérien en divisant le domaine en deux parties : une partie qui traitait l’état thermique global et une autre partie qui s’occupait de l’état thermique et du flux de matière locale avec un système de coordonnées local fixé à l’outil pour éviter le remaillage. Cette démarche résoud les problèmes de remaillage évoqués précédemment, mais une autre caractéristique de la formulation eulérienne — le fait que la matière puisse couler au travers du maillage — pose des problèmes de contact entre l’outil et la matière qui vont rester irrésolus malgré cette tentative d’amélioration. Plus précisément, ce modèle impose des conditions limites qui ne permettent pas l’écoulement de la matière au travers de la surface du pion. Cette surface délimite le domaine eulérien et elle reste inaltérée par rapport au système de coordonnées local. Cela empêche le matériau de se décoller de l’outil car un tel décollage entraînerait la variation de la géométrie du domaine donc un remaillage. Il y a des auteurs qui, de leur côté, ont choisi une formulation lagrangienne du problème (voir : figure1.5). Parmi les travaux de ceux qui ont fait ce choix on peut distinguer deux familles. Il y a un premier type de travaux qui en général s’intéressent moins aux problèmes de malaxage et cherchent à simuler entre autres l’évolution du champ de températures et la distribution des contraintes résiduelles, toujours à une certaine distance de la zone de passage de l’outil [ZC04]. Le deuxième type de

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#» F Avant compression #» F Après compression Figure 1.5 – Matériau sous compression, formulation lagrangienne.

travaux s’intéressent aussi à cette zone, mais ils étudient en plus la zone du noyau et utilisent un remaillage intensif pour s’adapter aux grandes déformations [CM06,

BHSF06]. Il faut remarquer que ce remaillage est une potentielle source de diffusion

d’erreur numérique dans les résultats. Le travail de Heurtieret al. [HJD+₀₆_],

publié en 2006, représente une exception et mélange une méthode analytique avec la FEM lagrangienne pour contourner les difficultés de cette dernière dans la zone déformée plastiquement : d’abord le champ de vitesses est calculé analytiquement à partir des équations utilisées dans la mécanique des fluides classique. Puis, la chaleur générée dans le procédé est calculée à partir du champ de vitesses obtenu. Les sources de chaleur considérées sont le frottement de l’épaulement contre la surface du matériau et la déformation plastique. La chaleur apportée par le frottement du pion est donc négligée. Les deux sources de chaleur retenues sont traitées indépendemment, même si les auteurs considèrent qu’elles sont couplées dans la réalité. Jusqu’ici le modèle est purement analytique, et cela lui permet de faire une description des phénomènes d’écoulement qui ont lieu au cœur du joint. Une fois la chaleur générée calculée, le champ de températures est calculé à l’aide de la méthode des éléments finis à formulation lagrangienne. Les profils de température et de microdureté obtenus avec ce modèle correspondent quantitativement à des essais expérimentaux menés avec des plaques de 10 mm d’épaisseur en alliage d’aluminium 2024.

En faisant une synthèse des problématiques trouvées dans les deux paragraphes précédents, il est possible de dire que :

– Les modèles eulériens sont adaptés à la simulation des flux mais ils gèrent avec difficultés la conservation de la masse aux interfaces.

– Les modèles lagrangiens ne souffrent pas de ce problème de conservation de masse mais ils doivent être intensivement remaillés afin de s’adapter aux flux, ce qui génère des erreurs numériques.

De plus, malgré toutes les avances dans la connaissance du procédé — températures atteintes à l’intérieur du cordon, champ de vitesses, etc. — que les travaux déjà présentés ont apporté, aucune des démarches n’est capable de prédire certains

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1.2. Simulation numérique du procédé FSW phénomènes liés au malaxage comme le manque de remplissage de matière derrière

l’outil connue comme « effet tunnel », par exemple.

L’impossibilité de simuler des phénomènes décrits quelques lignes plus haut due aux problèmes liés à l’exclusivité d’utilisation d’une des deux formulations ont mené à certains auteurs à l’utilisation de la méthode ALE —Arbitrary Lagrangian Eulerian en anglais — pour simuler le FSW (voir : figure1.6).

#» F Avant compression #» F Après compression Figure 1.6 – Matériau sous compression, formulation ALE.

Le travail de Schmidtet al. [SH05] présenté en 2005 montre un modèle 3D thermo-mécanique du procédé FSW qui utilise la formulation ALE. Le logiciel utilisé est le code commercial de calcul par éléments finisAbaqus/Explicit. L’objectif de ce travail est précisément de trouver les conditions du procédé qui assurent un bon remplissage de la cavité créée lors du passage de l’outil pour éviter l’effet tunnel. Le comportement du matériau est décrit selon une loi de Johnson–Cook et les forces de contact sont modélisées avec la loi de Coulomb. Cet aspect fait que les résultats numériques sont très sensibles au coefficient de friction choisi et représente une des principales motivations pour explorer d’autres méthodes de simulation qui soient naturellement adaptées à gérer ce type de phénomènes (voir : §1.2.4). Les données numériques de création de chaleur et des forces dans l’axe de l’outil correspondent aux résultats expérimentaux réalisés dans des alliages d’aluminium 2024-T3. Une variation de ce travail a été implémentée dans le logiciel Forge3 en 2005 par Guerdoux et al. [GF05]. Le but étant aussi de prendre en compte le mouvement des surfaces libres pour prédire les forces de plongée et la création de défauts derrière le passage de l’outil. Trois ans plus tard, en 2008, une amélioration des travaux de Schmidt et Guerdoux a été présentée par Zhanget al. [ZZ08]. Dans cette amélioration Zhang arrive à simuler la déformation plastique à la surface des plaques soudées, phénomène qui échappait aux modèles de Schmidt et Guerdoux.

Malgré tous les efforts, la formulation ALE n’arrive pas a se débarrasser com-plètement les problèmes liés au maillage. Pour donner un exemple, le mouvement des surfaces libres est négligé dans les zones à formulation eulérienne [GF07]. Ceci explique que certains auteurs se soient tournés vers les méthodes sans maillage — meshless methods en anglais —.

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1.2.3 Modèles sans maillage

La première simulation numérique du FSW avec une méthode sans maillage est celle de Alfaroet al. [ARP+₀₉_{] présentée au congrès ESAFORM 2009. La}

méthode utilisée dans ce modèle est plus précisément la méthode des éléments naturels [SMB98] — Natural Element Method, NEM en anglais —. La précision de cette méthode n’est pas affectée par la distorsion du maillage donc elle est naturellement adaptée aux grandes déformations et au comportement thermo-mécanique fortement couplé et non-linéaire du procédé de soudage par friction malaxage. Néanmoins, cette méthode n’est pas naturellement adaptée à d’autres phénomènes très présents dans le procédé FSW, notamment celui du contact. Les auteurs sont alors forcés de supposer dans ce travail que le pion et le matériau sont parfaitement collés, en surestimant ainsi la déformation créée à cause du contact outil-matière.

Une autre méthode sans maillage utilisée dans la simulation du procédé FSW est celle connue comme SPH ouSmoothed Particle Hydrodynamics en anglais [LL03], conçue à l’origine pour traiter des problèmes d’astrophysique [Luc77]. La première utilisation de cette méthode pour la simulation du FSW date de 2006 [TGSK06], où les auteurs ont développé un, selon leurs mots, « modèle simpliste » pour étudier son adéquation au procédé. Dans le travail présenté au congrès CSMA 2011 [TZM+₁₁_]

Timesliet al. ont proposé un modèle 2D thermo-mécanique. Le contact entre les particules du matériau et celles de l’outil est géré par les équations de continuité et de quantité de mouvement qui imposent un gradient de pression qui empêche la pénétration. Ceci n’est pas le modèle d’interaction le plus correct entre différents corps car la chaleur est obtenue à partir du champ de vitesses et non à partir du frottement créé au contact outil-matière.

Bilan : Les difficultés les plus importantes rencontrées pour simuler le soudage par friction malaxage peuvent être résumées ainsi :

– Les modèles analytiques ne sont pas adaptés pour prendre en compte l’en-semble des phénomènes mis en jeu dans le procédé. De plus, il existe un fort couplage entre les différents phénomènes présents, fait qui rend encore plus difficile l’utilisation de ce type de modèles.

– Les modèles FEM doivent faire face à deux difficultés majeures : le maillage du domaine et la modélisation des contacts. Il y a des travaux qui ont essayé de résoudre le premier aspect avec l’adoption de la formulation ALE, mais il n’y a pas de tentative qui ait pour cible la résolution du problème de la gestion des contacts avec la FEM.

– Les modèles sans maillage, par définition, sont libres des problèmes liés au maillage. Or, la formulation continue sur laquelle ces modèles sont basés trouve à peu près les mêmes problèmes que les méthodes FEM au moment

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1.2. Simulation numérique du procédé FSW de faire face à la gestion des discontinuités telles que la présence de contacts

entre différentes surfaces libres.

Alternative : Même si elle n’a jamais été appliquée à l’étude du FSW, une autre méthode sans maillage connue comme « méthode des éléments discrets » [Cun71] — Discrete Element Method ou DEM en anglais — s’est révélée être une bonne alternative à la FEM et à la NEM pour résoudre localement les problèmes liés à la phénoménologie présente dans le procédé de soudage par friction malaxage. Cette méthode a désormais montré son adaptation naturelle à la fracture des matériaux [TP07], au couplage des systèmes multi-corps [FE07,FGE07] et au contact sec en présence du troisième corps [RIRB08], entre autres, ce qui fait la différence par rapport aux modèles présentés jusqu’à présent. En outre, la tentative préliminaire d’une simulation du procédé FSW avec la méthode des éléments discrets présentée au congrès ESAFORM 2009 [TIC+₀₉_{] a montré que cette méthode peut jouer}

un rôle important dans le processus de compréhension du soudage FSW. Plus de précisions sur les caractéristiques de cette méthode vont être maintenant présentées : 1.2.4 Méthode des éléments discrets

Afin de bien comprendre l’origine et les motivations de la méthode des éléments discrets et ses différences par rapport aux méthodes continues déjà mentionnées, les principales caractéristiques de chaque méthode vont être exposées suivant le schéma proposé par Munjiza dans son livre The combined finite-discrete element method

[Mun04].

Formulation générale des problèmes continus : Regardée à l’échelle du grain, la microstructure des matériaux utilisés en ingénierie est discontinue. Or, la quantité de matériau normalement utilisée dans les applications fait que les propriétés des matériaux peuvent être homogénéisées et considérées continues à l’échelle macroscopique. Une bonne illustration de cela est obtenue en regardant la masse m du matériau. Dans les approches continues le rapport masse sur volume est considéré comme une fonction continue ρ appelée masse volumique qui est représentée par l’équation

ρ = dm dV

où V est le volume. C’est à dire, la distribution discontinue de la masse à l’échelle microscopique a été remplacée par une fonction continue ρ à l’échelle macrosco-pique.

Cette hypothèse de continuité est valide tant que la dimension caractéristique du problème traité reste beaucoup plus grand que la taille des discontinuités.

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L’hypothèse de continuité permet de considérer des équation constitutives pour définir les propriétés du matériau et des équations d’équilibre qui vont à leur tour définir la conservation de la masse, de l’énergie, etc.

La combinaison de ces deux types d’équations donne un nombre d’équations aux dérivées partielles — formulation « forte » du problème — ou d’équations intégrales — formulation « faible » du problème —. Cet ensemble d’équations est de manière générale résolu avec des méthodes numériques déjà mentionnées dans la section1.2comme la FEM ou la NEM.

Formulation générale des problèmes discrets : Pour la majorité de problèmes traités par les ingénieurs, la condition qui permet l’hypothèse du continuum est vraie. Malheureusement, ce n’est pas toujours le cas et l’énoncé suivant en montre un clair exemple :

Donné un seau de volume V rempli de balles de tennis, calculer la masse m totale des balles contenues dans le seau.

Dans ce problème, la dimension de la discontinuité — taille des balles de tennis — n’est pas beaucoup plus grande que la dimension caractéristique du problèmei. e.

la taille du seau. Cela explique pourquoi l’utilisation de l’équation m =

Z

V ρ dV

n’est pas naturellement adaptée à résoudre ce problème.

La solution « physique » du problème — certainement pas la plus rapide — passerait par peser les balles une par une dans une bascule puis faire la somme des masses obtenues. Si N est le nombre de balles dans le seau et m_i la masse de chaque balle i, la traduction de ce long exercice de mesure en équation mathématique donne : m = N X i=1 m_i (1.1)

et c’est exactement ce type d’équations adaptées aux problèmes discontinus qui est utilisé dans la méthode des éléments discrets. Dans l’exemple donné, chaque balle de tennis représenterait un élément discret.

Pour faire une similitude avec les équations constitutives utilisées dans les méthodes continues, dans la méthode des éléments discrets le comportement de l’ensemble du domaine est défini par les lois d’interaction entre les éléments discrets en contact. Contrairement aux méthodes continues, la méthode des éléments discrets n’a pas besoin d’équation de conservation de la masse. Dans la catégorie des méthodes DEM connue commesmooth DEM, où les éléments discrets sont indéformables et le schéma d’intégration est explicite, la force résultante subie par

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1.2. Simulation numérique du procédé FSW un élément discret qui est en contact avec N_vautres éléments discrets est représentée

généralement par l’équation :

#» F = Nv X j =1 #» F_j

La similitude de cette équation avec l’équation1.1est évidente.

Les méthodes qui traitent les problèmes liés aux domaines discontinus ont été créées dans les années 60 et 70 du XXe_{siècle et développées par divers auteurs de}

différents domaines. Les travaux de Cundall [Cun71] étaient liés aux applications géotechniques tandis que les travaux de Greenspan [Gre91] se placent à l’échelle quasi-moléculaire, pour donner deux exemples extrêmes en terme d’échelles. Un bilan complet des différents modèles, algorithmes et techniques des méthodes discontinues peut être trouvé dans le livre Computational granular dynamics de Pöschel et Schwager [PS05].

La plupart des travaux qui utilisent les méthodes DEM ont traité les procédés utilisant des poudres, notamment pour l’industrie pharmaceutique et pour l’indus-trie du ciment. Ce type de travaux continuent des nos jours [AA12], mais il ne sont pas proches de la problématique et des besoins d’une simulation FSW. La même chose peut être dite de la problématique abordée par les travaux qui traitent des flux particulaires avec la DEM [Zoh05].

Il y a par contre des travaux plus liés à la phénoménologie du soudage par friction malaxage : en plus des travaux déjà cités qui étudient la fracture des ma-tériaux [TP07] et le couplage des systèmes multi-corps [FGE07] avec la DEM, on en trouve certains qui étudient le frottement et l’usure en présence du troi-sième corps [ISB02,NI07,FIB07,IBNC08]. L’adaptation à la simulation du contact et du frottement est une des caractéristiques qu’un modèle numérique doit pos-séder pour simuler correctement le soudage par friction malaxage. En outre, le frottement est une source de chaleur qui modifie le champ de températures. Ceci est un phénomène qui va définir l’état final du joint soudé (voir : § 1.1.2). La création et transmission de la chaleur entre deux corps en contact sec a déjà été étudié par une approche éléments discrets [RIRB08]. Néanmoins, la plupart des problèmes thermo-mécaniques trouvés dans la bibliographie s’intéressent aux ma-tériaux granulaires. Vargas a publié un certain nombre de travaux liés à ce sujet

[VM01,VM02a,VM02b,VM07,VMPD03] mais il n’est pas le seul auteur à l’avoir

abordé. McCarthy et Rognon ont aussi développé des méthodes pour prédire et valider l’effet que différents paramètres comme, par exemple, les contraintes ont sur la transmission de la chaleur [REBM10,MJMH10].

À ce stade, le problème issu de l’inadaptation des méthodes continues peut être considéré comme inversé. En effet, la méthode des éléments discrets a été développée et adaptée intensivement pour étudier des phénomènes liés aux matériaux granu-laires et aux contacts multi-corps. Ceci lui donne les caractéristiques nécessaires

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pour, a priori, être la méthode la plus adaptée à la simulation du procédé de soudage par friction malaxage dans la proximité du contact entre l’outil et la matière. Or, la DEM n’a pas été si largement utilisée dans des problèmes liés aux matériaux continus et elle n’est pas forcement la mieux adaptée. Les paragraphes suivants vont synthétiser la bibliographie existante au sujet de la simulation mécanique et thermique des matériaux continus avec la méthode des éléments discrets.

1.3 Simulation DEM en mécanique des matériaux continus

La recherche des contacts entre les éléments discrets étant à la base de toutes les méthodes DEM, l’état de l’art des algorithmes de recherche de contacts va être étudié avant d’aborder la simulation DEM en mécanique des matériaux continus. 1.3.1 Algorithmes de recherche de contacts

La recherche de contacts dans une simulation DEM mécanique est une des parties les plus chronophages. Si elle n’est pas optimisée elle peut typiquement prendre plus du 80% du temps de calcul face à moins de 10% du temps pour la résolution des équations de Newton qui sont la base de ces calculs mécaniques [WO99]. Toutes les méthodes de recherche de contacts ont pour but la réduction de la complexité de l’algorithme de recherche, qui, dans le cas d’une recherche « brute » entre toutes les combinaisons possibles d’éléments discrets est de O N2 , Nétant le nombre d’éléments discrets du domaine. Il est donc très important de trouver une méthode optimisée de recherche de contacts, tout en sachant que les performances de ces méthodes varient fortement en fonction de la dispersion de la taille des éléments discrets du domaine, les conditions limites et la compacité, entre autres.

Dans le travail de Ogarko et Luding [OL10] les méthodes de recherche de contacts existantes sont classées dans quatre groupes :

1. Méthodes de triage spatial. 2. Méthodes arborescentes.

3. Méthodes basées sur la triangulation de Delaunay. 4. Méthodes de recherche par cellules.

Dans le classement du livre Computational Granular Dynamics [PS05] les méthodes arborescentes et les méthodes basées sur la triangulation de Delaunay ne sont pas mentionnées mais, par contre, la méthode basée sur les listes de voisins de Verlet est expliquée.

Voici une succincte explication des méthodes désormais existantes dans la bibliographie :

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1.3. Simulation DEM en mécanique des matériaux continus Liste de voisins de Verlet : Le principe de fonctionnement de cette méthode

est le suivant : La distance maximale d_max que l’élément discret le plus rapide du domaine va parcourir dans un pas de temps donné est égale à d_max= v_max∆t . En conséquence, les éléments discrets ne peuvent créer des contacts que avec d’autres éléments discrets qui se trouvent à moins d’une certaine distance. Cela permet d’élaborer une liste de voisins pour chacun des éléments discrets du domaine qui enregistre les éléments qui peuvent provoquer un changement de son état de contact. Ainsi, la vérification des contacts ne se fait que entre les élément discret regardé et les éléments discrets de sa liste de voisins.

Ce type de méthode de recherche de contacts est notamment utilisée dans le contexte de la Dynamique Moléculaire — MD,Molecular Dynamics en anglais —

[WBN10,WB10]. Les résultats du travail de Muthet al. [MMEL07] montrent que

même si cette méthode arrive à diminuer la complexité de l’algorithme à O (N), elle n’est pas la plus performante pour les domaines 3D compacts et monodisperses. Méthodes arborescentes : Le principe des méthodes arborescentes est expliqué dans le chapitre 3 du livreThe Combined Finite-Discrete Element Method [Mun04]. L’espace du domaine discret est divisé en cellules et sub-cellules et un diagramme en forme d’arbre est créé que avec les cellules qui contiennent des éléments discrets. Finalement la détection des contacts est faite à partir de l’information contenue dans le diagramme arborescent. Les comparaisons des différentes méthodes montrées dans le travail de [OL10] montrent que la performance de cette méthode est au dessous de celles des méthodes de triage spatial dans le cas des domaines 3D compacts. Méthodes basées sur la triangulation de Delaunay : Les bases de la recherche de contacts à partir des triangulations de Delaunay sont montrées dans les travaux de Ferrez [FLM00,FL02]. Les deux étapes principales de cette méthode sont :

1. Construire une triangulation de Delaunay T avec tous les éléments discrets du domaine.

2. Trouver les contacts dans les bords de la triangulation T.

Tous les contacts vont se trouver dans les bords de T. Ce fait permet de limiter la recherche et de diminuer la complexité à O (N).

Méthodes de triage spatial : La méthode de triage spatial est aussi connue comme AABB —Axis Alligned Bounding Boxes en anglais —. Elle est surtout utilisée dans des simulations de solides rigides comme [Bar94]. Elle est très utilisée pour trouver les contacts entre éléments discrets de forme polygonale — le travail de Schinner [Sch99] décrit une méthode pour des domaines 2D — parce-qu’elle donne la possibilité d’entourer l’élément dans une boite virtuelle et faire une première recherche en prenant en compte cette boite et pas l’élément avec toute la

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problématique géométrique qui lui est liée. Cette première recherche permet de diminuer les éléments discrets candidats à être en contact et cela diminue le nombre des coûteuses opérations à faire avec des éléments polyédriques.

Le travail de Koziaraet al. [KB05] teste différentes stratégies pour optimiser la méthode et montre que sa complexité est de O (N). Les résultats du travail de

[MMEL07] montrent que cette méthode est la plus performante dans des domaines

3D compacts et polydisperses. Néanmoins, la méthode AABB est souvent utilisée en combinaison avec des méthodes de recherche par cellules qui vont être expliquées par la suite [THM+₀₃_,_OL12_].

Méthodes de recherche par cellules : L’idée principale de cette méthode est de diviser le domaine discret en cellules et de limiter la recherche de contacts aux éléments discrets appartenant à des cellules voisines. Cette idée a été conçue par Quentrec et Brot [QB73] en 1973 pour accélérer les calculs de dynamique moléculaire qui, à l’époque, utilisaient une méthode de recherche de contacts évaluant les N(N − 1)/2 contacts possibles, N étant le nombre d’éléments discrets du domaine [Ver67]. Le travail de Fortin et Coorevits [FC04] montre que la complexité des calculs passe de O N2_{à O (N) en utilisant la méthode dans des} domaines 2D et le travail de Sanni et al. [SFC05] montre l’équivalent pour les domaines 3D.

Le travail de Muthet al. [MMEL07] montre de son côté que dans des domaines polydisperses cette méthode est moins performante que la méthode AABB expliquée dans le paragraphe précédent. Cependant, ce résultat ne prends pas en compte l’optimisation pour les domaines bi-disperses faite par Mioet al. [MSSH07] car il a été publié la même année.

Le travail déjà cité de Ogarko et Luding [OL10] montre la méthode de recherche par cellules dite LCM — Linked Cell Method en anglais — comme la plus rapide pour chercher les contacts dans de domaines compacts avec éléments discrets sphériques et petite dispersion de taille. C’est pour cela qu’elle a été retenue pour les calculs menés dans ce travail. Une description approfondie de la méthode LCM est présentée dans l’annexeB.

Un travail plus récent du même auteur [OL12] combine l’idée de faire plusieurs divisions en cellules avec la méthode AABB pour optimiser la méthode LCM pour les domaines polydisperses.

1.3.2 Calcul des interactions entre éléments discrets

Les travaux qui utilisent la méthode des éléments discrets pour faire des simu-lations mécaniques des matériaux continus peuvent être classés en deux groupes différents selon le type de loi d’interaction utilisée pour trouver les forces exercées sur chaque élément discret. L’équation générale qui donne cette force a pourtant la

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1.3. Simulation DEM en mécanique des matériaux continus même allure dans les deux groupes :

#» F_i= N_v X j =1 #» F_{j i} #»δ ,#»δ ,˙ #»θ ,#»˙θ

Dans cette équation #»F_{j i} est la force que l’élément discret j exerce sur son voisin i ; #»

δ est le vecteur entre les barycentres des deux éléments discrets ; #»δ est la vitesse˙ relative entre les éléments discrets ; #»θ représente un angle caractéristique entre l’élément discret i et l’élément discret j et, finalement, #»θ représente sa vitesse˙ angulaire relative.

Force issue d’un potentiel : Dans le premier groupe de travaux la fonction #»

F_{i j} #»δ ,#»δ ,˙ #»θ ,#»˙θ

est typiquement issue d’un potentiel d’interaction à distance de la famille des potentiels de Lennard-Jones [Jon24] aussi utilisés dans la dynamique moléculaire —Molecular Dynamics, MD en anglais, voir : figure1.7—. Les forces

1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 ·10−4 −500 0 500 1.000 1.500 Distance (m) For ce (N )

Figure 1.7 – Force issue d’un potentiel de Lennard-Jones.

provoquées par les interactions avec les éléments discrets voisins sont sommées et la force résultante #»F_i est utilisée pour calculer l’accélération de l’élément discret et grâce à un algorithme d’intégration numérique obtenir sa nouvelle position et vitesse à l’instant suivant.

Avec cette démarche Greenspan est arrivé à simuler la propagation de fissures dans une plaque de cuivre 2D de 8 cm × 11,4 cm dans son travail déjà cité [Gre91].

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Quelques années plus tard, Tang et Horie ont utilisé la technique 2D créée à l’Université d’État de Caroline du Nord et connue comme DM2_—_Discrete

Meso-dynamic Method — pour simuler le compactage des poudres [THP97, HY99], des impacts sur des matériaux poreux [TL01] et plus récemment des impacts sur des métaux poli-cristallins [HC07]. La DM2 _{est aussi utilisée pour modéliser le}

changement de phase du fer dans le travail de [YH02]. Dans un des travaux de Tang [Tan01], l’auteur fait une extension de la méthode aux trois dimensions pour modéliser l’impact d’une sphère en acier et la rupture d’un cylindre sous pression. Force issue d’un lien microscopique : Des travaux plus récents ont utilisé une type de loi d’interaction différente pour décrire le comportement du matériau. Dans ces travaux les éléments discrets sont liés par des liens cohésifs de différents genres — poutres, cordes, ressorts-amortisseurs, etc. —. Au lieu d’obtenir directement un vecteur de force en fonction des vecteurs de position, rotation et vitesse relative, ces paramètres vont définir dans le cas le plus général un état de contrainte qui en fonction de la géométrie des liens va être transformé en un torseur d’actions méca-niques qui va agir sur l’élément discret. Les valeurs numériques de ce torseur vont aussi dépendre des propriétés mécaniques des liens qui relient les éléments discrets. Ces propriétés à l’échelle microscopique ont des valeurs qui doivent être trouvées — soit analytiquement, soit empiriquement, soit par le biais d’une calibration — pour obtenir le comportement désiré du matériau à l’échelle macroscopique. Une fois les valeurs du torseur trouvées, les forces qui agissent sur l’élément discrets sont calculées en prenant en compte les géométries du lien et de l’élément discret.

Cambordeet al. ont travaillé sur des essais de compression statiques et dyna-miques avec des matériaux fragiles [CMD00] et Tavarez et al. ont fait des essais d’impact sur le béton en utilisant des critères énergétiques de rupture [TP07]. Dans les deux cas le modèle utilisé est un modèle 2D. La force appliquée sur chaque élément discret est déduite analytiquement à partir de « micro-raideurs » calculées en fonction des propriétés macroscopiques du matériau à simuler avec les équations de Kusano [KAA+₉₂_{] ou une modification de ces équations dans le cas de Tavarez.}

Fleissner et Gaugele utilisent une méthode appeléegranular solid [FGE07,

GFE08] pour simuler des matériaux continus élasto-plastiques avec la DEM. Dans

ces travaux les éléments discrets sont liés avec des poutres qui ne transmettent pas des efforts de rotation. L’équation qui décrit la force totale subie par un élément discret i est alors :

#» F_i= N_v X j =1 #» F_{j i} #»δ ,#»˙δ

La distance entre les barycentres des éléments discrets est utilisée pour calculer une déformation équivalente ε. Une loi de comportement élasto-plastique microscopique obtenue empiriquement donne la fonction σ (ε) qui va être utilisée pour calculer

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1.4. Simulation DEM thermique des matériaux continus la contrainte σ provoquée par la déformation de la poutre. La force issue de

l’interaction entre un élément discret i et son voisin j est calculée en fonction de la contrainte obtenue et de la section de la poutre. Des essais numériques de traction uniaxiale et de flexion par choc sur éprouvette entaillée Charpy ont été menés. Les éléments discrets des éprouvettes numériques étaient disposés selon une distribution cristalline du type cubique face centrée. Même si les essais numériques de traction donnent des résultats qui correspondent quantitativement bien aux essais expérimentaux, les auteurs ne montrent pas le comportement à rupture de l’éprouvette numérique.

Au lieu d’obtenir empiriquement la loi de comportement des liens qui relient les éléments du domaine, le travail de Hahn [HWK10] utilise la même loi de com-portement que le matériau à simuler. La section et longueur des liens doit alors être modifiée pour obtenir le comportement désiré. Le travail fait une démonstration mathématique de la validité de la méthode pour des coques 2D sous contraintes planes.

Dans un cas plus général, André [AICN12] utilise dans son travail une méthode de calibration pour ajuster les propriétés mécaniques des poutres qui lient les éléments discrets avec le but d’obtenir le bon comportement macroscopique du matériau. Son modèle utilise des poutres cylindriques encastrées aux éléments qui suivent le modèle d’Euler-Bernoulli. Ces poutres travaillent alors en traction, flexion et torsion. Le modèle a été utilisé avec succès pour la simulation des phases d’ébauchage et de doucissage de la silice. Cette démarche a montré en conséquence son adaptation aux problèmes de contact, dans les cas des matériaux fragiles comme la silice.

La combinaison des travaux de calibration et validation de André avec les travaux sur les matériaux élasto-plastiques de Gaugele et Fleissner donnent une piste sur la direction à suivre pour modéliser un matériau élasto-plastique avec une démarche adaptée à la gestion des problèmes de contact.

L’obtention d’un tel modèle permettrait d’adapter la méthode DEM à la mo-délisation mécanique d’un milieu continu et permettrait donc de simuler dans un même modèle la partie continue et discontinue d’un problème mécanique.

1.4 Simulation DEM thermique des matériaux continus

Comme mentionné auparavant (voir : §1.2.4), la méthode des éléments dis-crets a été utilisée pour simuler les échanges thermiques à travers des matériaux granulaires dans les travaux de Vargas, Richard et Rognon, entre autres. Mal-heureusement, seul le travail de Hahn [HSKW11] utilise la DEM pour faire une simulation thermique d’un matériau continu. Dans ce travail, le domaine est créé à partir de polygones de Voronoi. Chaque côté des polygones représente un lien de section et propriétés thermiques connues qui conduit la chaleur. Un des points les

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plus importants de ce travail est la constatation que « des anisotropies locales de la conductivité à une échelle petite n’influent pas le flux de chaleur global ».

Ce travail est restreint pour les domaines en deux dimensions. Cela signifie qu’une méthode 3D de simulation thermique doit être mise en place pour pouvoir réaliser une simulation du procédé de soudage par friction malaxage avec la méthode des éléments discrets.

1.5 Choix

1.5.1 Bilan

Ce premier chapitre a exposé l’importance que le procédé de soudage par friction malaxage peut avoir dans divers processus industriels utilisés à l’heure actuelle. Il a été mentionné que ce procédé est relativement peux coûteux et écologique d’où l’intérêt de le qualifier pour pouvoir le répandre avec la robustesse nécessaire dans divers secteurs de l’industrie manufacturière.

Néanmoins, le développement du FSW reste largement empirique. La plupart des études sont faites à partir des données extraitespost mortem et cela rend difficile la corrélation des effets que les réglages du procédé ont dans l’état final des joints obtenus. Une observation dynamique des phénomènes qui ont lieu à l’intérieur du cordon de soudure pendant sa formation pourrait être d’une grande utilité pour déterminer l’influence de ces réglages. À la fin du paragraphe1.1.6le rôle positif que les simulations numériques peuvent jouer vis à vis de l’optimisation des paramètres du procédé a été souligné.

Dans la section 1.2l’existant en terme de simulation du procédé FSW a été exposé. En prenant en compte les caractéristiques exposées dans la section1.1, les paramètres les plus importants du procédé sont l’histoire thermo-mécanique du matériau et le contact entre l’outil et la matière. Ces deux aspects vont définir la microstructure et l’état de précipitation du joint, donc la tenue mécanique et sous corrosion de l’assemblage. Une bonne simulation du procédé doit alors être basée sur une méthode naturellement adaptée à ces aspects. En reprenant ce qui a été dit dans le bilan de la fin du paragraphe1.2.3, les méthodes utilisées de nos jours souffrent globalement d’une inadaptation au problème du contact outil-matière et il est nécessaire de remarquer que celui-ci est un aspect qui joue un rôle de premier ordre dans le procédé, d’où la grande variété de géométries d’outil présente sur le marché (voir : annexeA).

C’est pour toutes les raisons qui viennent d’être exposées que le choix d’utiliser la méthode des éléments discrets pour créer un modèle numérique du procédé de soudage par friction malaxage a été fait.

Il y a, cependant, certains aspects de la méthode des éléments discrets qui restent à développer. En effet, la modélisation du continuum avec la méthode DEM est un

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1.5. Choix champ qui n’a pas été suffisamment exploré. Du point de vue mécanique les travaux

mentionnés dans la section1.3donnent quelques pistes à suivre pour obtenir un modèle mécanique élasto-plastique capable de gérer les grandes déformations et la rupture du matériau. Du point de vue thermique la bibliographie est presque inexistante. Le seul travail qui traite de la conduction de la chaleur dans un milieu continu avec une méthode DEM a été mentionné dans la section1.4.

Enfin, la méthode DEM est connue pour être très coûteuse en temps de calcul. Pour résoudre le problème du temps de calcul la solution à long terme passe par le couplage entre la méthode des éléments discrets et une méthode continue — des travaux de couplage entre la DEM et la CNEM [YRLC04,YCLR05,CCCL10] on déjà été menés à l’I2M [JCD+₁₃_{] —. La DEM serait utilisée dans les zones où l’outil}

entre en contact avec la matière et la méthode continue ailleurs. Un schéma de ce que donnerait un tel couplage est représenté sur la figure1.8.

Cordon de soudure Formulation continue

Formulation discontinue

Figure 1.8 – Schéma du couplage des méthodes DEM et CNEM pour la simulation du FSW. La partie bleue est modélisée avec une méthode à formulation discontinue comme la DEM et la partie verte est modélisée avec une méthode à formulation continue comme la CNEM.

On va donc dans ce travail proposer une modélisation DEM qui permette de simuler le comportement thermo-mécanique d’un matériau continu élasto-plastique. Tous les éléments discrets utilisés sont des éléments sphériques, qui sont les plus adaptés à la détection des interactions. Les figures2.1et2.7montrent des exemples de ce type de domaines utilisés dans des calculs.

La plate-forme de calcul par éléments discrets choisie est GranOO (voir : www.granoo.org). Cette plate-forme de calcul développée au sein du laboratoire I2M est dédiée aux calculs DEM en dynamique explicite. Elle est capable de mener des calculs multi-physiques et sa conception orientée objet permet de créer facilement une vaste gamme de simulations.

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1.5.2 Déroulement

Ainsi, ce document va se structurer comme suit :

– Dans le chapitre suivant une méthode DEM pour simuler la conduction de la chaleur à travers des milieux continus va être présentée.

– Le chapitre 3 traite les aspects mécaniques d’une simulation DEM d’un matériau continu élasto-plastique.

– En suite le document abordera le couplage entre les modèles thermiques et mécaniques exposés.

– Le chapitre final présentera les conclusions et les perspectives ouvertes par le travail développé dans le présent document.