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Jean-Marie HUET enseigne eu Sup Tau Lycée Chaptal de Paris depuis 17 ans, et à l'E.S. T.A.C.A. (Levallois-Perret) depuis 11 ans, où il fait un cours de mécanique i
engrenages.
Nous publions la suite de l'article paru dans aptep-info n°55
Ill. Aspect énergétique:
Le théorème de l' énergie-puissance, ou sa forme intégrée: le théorème de l' énergie cinétique, est ici bien adapté au calcul du rendement. Il n' en reste pas moins que ce théorème, pour les aspects énergétiques en mécanique de façon générale, est d' utilisation très limitée: il vaut mieux dans certains cas (embrayages, trains épicycloïdaux) calculer directement les pertes internes par frottement pour quantifier le rendement. De plus, si le mécanisme comporte des ressorts, ce théorème mesure des transferts d' énergie ciné-tique/potentielle induisant des cou-plages dans les équations différentielles qui ne peuvent pratiquement se découpler que par recours au P.F.D. ou aux équations de LAGRANGE.
Enfin, un autre paradoxe réside dans le fait que le calcul du rendement est plus délicat en engrenages classiques que dans le cas des engrenages paradoxaux.
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En effet, dans le premier cas, Wext + Wint = 6Wc = 0 entre les 2 dates ti ( début d' engrénement ) et tf ( fin d'engrénement sur le segment de conduite ) entraîne les calculs suivants:-vitesse de glissement entre 2 dents en M ( Voir Fig. 3 et 6 ), :
V2I(M) = (w20-wlü)x yO, linéaire en x= distance du point de contact M au C.I.R. .( 0 = bati, 1 =pignon, 2 =roue ).
-effort avec frottement au contact M:
Fl/2 = Nl/2 xO
+
Tl/2 yO où: Nl/2 =effort normal aux 2 profils en développante de cercle suivant xO, tangentiellement aux cerclesde base, ·
Tl/2 = effort tangentiel de frottement, suivant yO
( Tl/2 =- k*V2I(M)) et vérifiant DTI/20 = f*DNl/20 (loi de Coulomb: f= coefficient de frottement).
-travail perdu par frottement: ...
Pendant dt, ce travail élémentaire vaut dWint = Pint*dt =
Tl/2*(w20-wiO)*x*dt = K*Tl/2*x*dx à intégrer sur le segment de conduite entre les instants ti et tf; d' où le résultat suivant:
Wint =- Nl/2*f*K/2*(gf2
+
ga2) =- Nl/2*f*G, avec:
K = 1/cos00*(1/r1 + 1/r2) 60 = angle de pression,
rl et r2 =rayons primitifs du pignon et de la roue,
gf et ga= longueur d' approche et de retraite, G = K/2*(gf2
+
ga2) =glissement total des profils.
-travail extérieur :
Wext = Cm*fll
+
Cr*112 avecCm = couple moteur sur pignon,
fll = angle de rotation du pignon de ti à tf ( = (gf
+
ga)/r1 *cosOO ),Cr = couple récepteur sur la roue,
fl2 = angle de rotation de la roue de ti à tf ( = -(gf
+
ga)/r2*cos60 ).-rendement:
êta= Cr*r2/Cm*r1 = 1 - f*G/(gf+ ga)= 0.96 à 0.99 selon l'usi nage.( considérer G*1/cosf3 en dentures hélicoïdales, avec f3 =angle d'hélice primitive).
Dans le second cas ( eng. paradoxaux), Pext
+
Pint = dWc/dt = 0 demande beaucoup plus simplement:-vitesse de glissement en M situé sur PIP2 ( Voir Fig. 7 ):
VlO(M) = w10 1\ OIM = {wl *rb*xO
{w1 *(11
+
x)*yO V20(M) = w20 r. 02M = {wl *rb*xO· { -w1 *(a -11 - x)*yO D' où la vitesse de glissement au contact M:
V2l(M) = V20(M)- VIO(M) =- wl *a*yO.
-vitesse de glissement en M' situé sur P'lP'2 ( Voir Fig. 8. ): le même calcul donne:V21(M') = w1 *a*yO'
aptep-info 56 fevr.93
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FIG 8. Contact M'appartenant à P l'P2' entre dent menéelmenante dans un plan apparent:
FIG 7. Tangente commune apparente aux deux développantes de cercle
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-effort avec frottement au contact M:
Fl/2 = Nl/2*x0 + Tl/2*y0 où l'on a ici: Nl/2 =Cm 1 2*rb, Donc Tl/2 = f*Cm /2*rb (Cm= couple moteur sur pignonl, le coefficient 2 est dû à la présence de 2 segments de contact) -effort avec frottement au contact M':
F'l/2 = N'l/2*x0' + T'112.*y0' avec: N'l/2 = DCrD 1 2*rb et T'l/2 = (-f*DCrO /2*rb)y0' (attention: le couple récepteur Cr ( < 0 ) sur le pignon 2 tournant dans le même sens est différent de Cm car rendement êta faible).
- Pint perdue par frottement:
Tl/2*V2l(M)+T'l/2*V2l(M')=f*a*wl *Crn/(2*rb) -- Pext qui se décompose en:
+Cm * w 1 sur le pignon moteur, -Cr* w1 sur le pignon récepteur.
f*a *w 1 *Cr/(2 *rb)
D'où la formule du rendement des engrenages PARADOXAUX·
êta= DCrD 1 Cm= [1 ~ Pal(2*rb)] 1 [1 + f*a/(2*rb)J.
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cf. en annexe 3 la courbe de rendement en fonction de a/2rb.2ry
aptep-info 56 fevP.93
