HAL Id: tel-00005171
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Henry de Thélin
To cite this version:
Henry de Thélin. Concentration de genre et laminarité. Mathématiques [math]. Université Paul
Sabatier - Toulouse III, 2003. Français. �tel-00005171�
présentéeen vuede l'obtention du
do torat de l'université Paul Sabatier Spé ialité : Mathématiques Pures
par
Henry de Thélin
Con entration de genre et
laminarité
Soutenue le 11 dé embre 2003, devant le jury omposé de :
F. Berteloot professeur, université Toulouse III examinateur D. Cerveau professeur, université Rennes I rapporteur J. Duval professeur, université Toulouse III dire teur N. Sibony professeur, université Paris Sud examinateur J-C. Sikorav professeur, ENS Lyon rapporteur
LaboratoireEmile Pi ard, UMR 5580, UFRMIG, université PaulSabatier, 118 route de Narbonne, 31062Toulouse édex 4,Fran e.
Je tiens tout d'abord à exprimer ma vive gratitude à Julien Duval pour son aide, sa disponibilitéetsagentillesse tout aulong de ette thèse. Ce fut un réel plaisirde travaillersous sa dire tion.
Jesuistrèsre onnaissantàFrançoisBertelootetNessimSibonydem'avoir faitl'honneurd'êtremembresdujuryetjeremer ieplusparti ulièrement Do-minique Cerveau etJean-Claude Sikorav qui ont a epté d'être rapporteurs de e travail.
Je remer ie haleureusement Yveline Panabière et Agnès Requis dont le travailrend plus fa ilela vie àl'Université.
Je remer ie aussi mes ollègues do torants, et surtout Camille, Laurent et Olivier, ar ils ont réé dans notre bureau une atmosphère sympathique et propi eau travail.
En n,jeremer iemafamilleetmesamis,etj'adressetoutemonae tion à Mathilde quim'a soutenutout au long de es trois années.
Dans ette thèse, on s'intéresse à deux problèmes.
Lepremierest desavoirsiunelimitedesuitede ourbesanalytiques onserve un ara tère analytique.
Lese ond on erne ladynamiqueholomorphedans P 2
(C). On her he àvoir si le genre de ourbes du type C
n = f
n
(L) (où f est un endomorphisme holomorphedeP
2
(C) etLune droiteproje tivegénérique) se on entre dans des zonesdynamiquement intéressantes.
Soit C n
une suite de ourbes analytiques de la boule unité B de C 2
. Si l'airedesC
n
restebornéealors,quitteàextraire,C n
onvergeversune ourbe analytique. C'est le théorèmede Bishop(voir[4℄).
Quandl'airen'estplusuniformémentmajorée,onespère réerunelamination ommelimitedes C
n
.Cependant,un ex ès de genrepeut tertout ara tère analytiqueà ette limite:dansl'exemplede Wermer(voir[10℄),unesuitede ourbesdontlegenreaugmenteplus vitequel'aire onvergeversun ompa t ne ontenant au undisque holomorphe.
Notre lamination limite sera omprise dans un sens faible, elui de ourant laminaire introduit par E. Bedford, M. Lyubi h et J. Smillie dans [2℄. Un (1;1)- ourantpositifestlaminaires'ils'é ritlo alement ommeuneintégrale de ourants d'intégration sur une famille de disques, hors d'un ensemble négligeable (voirleparagraphe 1.1.1 pour plus de détails).
L'objetdu premier hapitre est alors de démontrer :
Théorème 1. Soit C n
une suite de ourbes analytiques lisses de la boule unité B de C
2
(s'étendant un peu au-delà de B). On note A n l'aire de C n , G n le genre de C n et on suppose que T n = [Cn℄ An onverge versun (1;1)- ourantpositif fermé T de B (toujourspossiblequitte à extraire). Alors, si G n =O(A n ), T est laminaire.
Cet énon é est une version lo ale de résultats pré édents, de nature glo-bale dansP
2
(C) :dans[3℄, BedfordetSmilliemontrentque,pour toutesuite de ourbesrationnelles C
n de P
2
limites de [C n ℄ A n
sont laminaires. Dans [8℄, leur résultat a été étendu par R. Dujardinaux ourbesalgébriquesde P
2
(C) de genreen O(A n
)àsingularités raisonnables.
L'ingrédientprin ipal,dansleursituation,estlaformuledeRiemann-Hurwitz. Dans notre as, onne peut pas l'utiliser fautede revêtements au-dessus des dire tions omplexes. Cependant, en modi ant un peu les ourbes C
n , on obtiendra une inégalité de Riemann-Hurwitz appro hée qui permettra de on lure.
Uneinégalitéde e typeexiste déjàdans lathéoried'Ahlfors. On verra (voir l'appendi eB),quelaméthodeutiliséedanslapreuveduthéorèmepré édent permetde laretrouver.
Signalonsl'intérêt du théorème 1pour l'étudede ourants limitesde [C n ℄ A n où C n
est une ourbe algébrique lisse de P 2 (C) (par exemple C n = f n (L) où f est un endomorphisme holomorphe de P
2
(C) et L une droite proje tive générique). En eet, malgré un genre total en O(A
2 n
), si on sait trouver un ouvertoùlegenrese on entrepeu(enO(A
n
)),onendéduitlalaminaritédes ourants limitesdans elui- i.Cela nous onduitnaturellementaudeuxième hapitredelathèse:la on entrationdugenredes ourbeslissespré édentes, issues de ladynamique.
Apartird'unendomorphismeholomorphe,f,dedegréd2,J.E.Fornæss etN. Sibonyontdé ni le ourantde Green,T,asso iéàf (voir[12℄et[13℄), dontlesupport estl'ensembledeJuliadef.Ce ourantpossèdeun potentiel ontinu:onpeut don dé nirson auto-interse tionT^T (voir[12℄).D'autre part, en généralisant un résultat de Fornæss et Sibony (voir [14℄), C. Favre et M. Jonsson (voir [11℄) ont montré que e ourant est naturel d'un point de vue dynamique : il équirépartit les préimages de droites génériques. En eet, siC
n =f
n
(L) ave L une droite générique, alors [C n ℄ A n = [C n ℄ d n onverge vers T. Autrement dit, dans notre situation,la laminaritéde T se ramèneà l'étude du genre de f
n (L).
D'autres appro hes ont été utilisées pour montrer la laminarité de T dans ertaines situations.
En eet, Fornæss et Sibony (voir [15℄) ont montré que pour des endomor-phismes hyperboliques (dans un sens fort), le ourant T est laminaire en dehors du supportde lamesure T ^T.
Dans [1℄, Bedford et Jonsson onsidèrent des endomorphismes qui laissent une droite totalement invariante. Dans ette situation, ils montrent que le ourant de Greenest laminairedans lebassin d'attra tion de ette droite. Dans e qui pré ède, on voit que l'auto-interse tion joue un r le fondamen-tal dans la laminarité. Cela est essentiellement dû au fait qu'un ourant
d'intégrationsurunefamillededisquesdisjointsestd'auto-interse tionnulle. Quand f est un endomorphisme ritiquement ni, on verra que le genre de f
n
(L)hors d'un petit voisinagedu supportde T ^T est en O(d n
) (pour des droites L génériques). Autrement dit, dans e as, le ourant de Green est laminaireen dehors du supportde T ^T.
Pour un endomorphisme quel onque, f, on ne sait pas si on a le même ontr le. Cependant, si f est générique, le genre de f
n
(L) hors d'un pe-tit voisinage du support de T ^T est en O(d
n(1+)
). Plus pré isément, on a le :
Théorème 2. Pour f générique parmi les endomorphismes de degré d, on a : limsup n!1 1 n log max L2(P 2 ) Genre(f n (L) U)logd;
où U est un petit voisinage du support de T ^T.
Ladémonstrationde e théorème sefera essentiellementen deux étapes. En eet, si on admet un instant que les anses de f
n
(L) sont in niment petites, on onstate qu'une anse de f
1
(L), tirée en arrière par f n 1
, se omporte omme f
(n 1)
(x) (où x est un point de P 2
(C)). Autrement dit, la première étape de la démonstration onsistera à ontr ler le nombre de points de f
n
(x) hors d'un petit voisinage du support de T ^T. Celle- i s'énon e :
Proposition 1. Pour f génériqueparmi lesendomorphismes de degré d,on a : limsup n!1 1 n logmax x2P 2 Cardinal(f n (x) U)logd;
où U est un petit voisinage du support de T ^T.
Lase ondeétape onsisteraalors àdominerlatailledes anses.Pour ela, on utiliserades modules d'anneaux etdes omparaisons aire-longueur.
1 Courants laminaires 1
1.1 Courants laminaires . . . 1
1.2 Cas modèle . . . 7
1.3 Cas général . . . 10
1.3.1 Simpli ation géométrique des ourbes C n . . . . 10
1.3.2 Comment se rappro her du as modèle . . . 10
1.3.3 Majoration du nombre de sommets et minora-tion du nombre d'arêtes . . . 11
2 Con entration du genre 15 2.1 Préliminaires de dynamique holomorphe . . . 15
2.1.1 Dé nition du ourant de Green. . . 15
2.1.2 Mesure de Green . . . 16
2.2 Un exemple : le as ritiquement ni . . . 17
2.3 Contr le des préimages des points . . . 20
2.3.1 Entropie topologique . . . 20
2.3.2 Majoration du ardinal d'ensembles (n;Æ)-séparés 24 2.3.3 Constru tion d'ensembles (n;Æ)-séparés . . . 25
2.3.4 Fin de la démonstration . . . 27
2.4 Contr le du genre . . . 28
2.4.1 Un peu de géométrie hyperbolique . . . 28
2.4.2 Constru tion de lapartition dynamiquede f n (L) 30 2.4.3 Majoration du genre des préimages de droites . 31 2.4.4 Contr le des longueurs des arêtes de la partition 32 A Généri ité 35 B Théorie d'Ahlfors 39 B.1 Cas modèle . . . 40
B.2 Cas général . . . 41
B.2.2 Majoration du nombre de sommets et minora-tion du nombre d'arêtes . . . 43
Courants laminaires
Dans e hapitre,on vadonner un ritère pour que la limite d'une suite de ourbes analytiques de la boule unité de C
2
soit une lamination (en un sens faible).
Voi i le plan de e texte. Dans un premierparagraphe, on dé nira la lasse des ourantslaminaires.Danslese ond,ondémontreradansun asmodèlele ritèrequidonnelalaminaritédesvaleursd'adhéren ed'unesuitede ourbes. L'obje tifdu dernierparagraphe sera alors de s'y ramener.
1.1 Courants laminaires
Notre référen e pour la laminarité est l'arti le de Bedford, Lyubi h et Smillie (voir [2℄).
Dé nition 1.1.1. Un ourantT est laminédansun bidisque, sidans elui- iil s'é rit R [ t ℄d(t); i iles t
sont des graphes,deuxà deuxdisjoints,de fon tions holomorphes au-dessus d'une des dire tions du bidisque, et une mesure positive portée par une transversale aux graphes.
A partirde ette dé nition, onvoit qu'un ourant laminé est né essaire-ment fermé.
D'autre part, les ourants laminés ont de bonnes propriétés de ompa ité, par le théorème de Montel :
Proposition1.1.1. Soit T n
une suitede ourantslaminésdansun bidisque. Si lamasse des mesures transverses
n
reste bornée, alors, quitte à extraire, T
n
onverge vers un ourant T qui est laminé dans le bidisque.
Preuve. Ladémonstrationde ette proposition va sefaire en deux étapes. Danslapremière,onvapasseràlalimitesur ertainsgraphesqui omposent
T n
de façon à obtenir un ourant T laminé dans le bidisque B. Dans la se- onde, onmontrera quequitte à extraireune sous-suite, T
n
onverge vers e ourant T.
Dans toute lasuite, on prendra B =D(0;1) 2
.
Constru tion d'un ourant T laminé dans B
On prend ommetransversale =f0gD(0;1).Les ourants T n s'é rivent alors R [ n (t)℄d n
(t).Modulol'extra tiond'unesous-suite,onpeutsupposer que
n
onverge vers une mesure .
C'est ette onvergen e que l'on veut étendre aux graphes n
(t). Si
n
est une suite de graphes d'appli ations holomorphes f n
: D(0;1) ! D(0;1),onpeuten extraireunesous-suite qui onverge.Pour faire onverger les
n
(t), ils'agit alors de fairedes extra tions su essives : 'est e pro édé que l'on va dé riremaintenant.
On xe k dans N et ondé oupe le arré entré en 0 etde longueur 2(in lus dans ) en k
2
arrés égaux. Quitte à bouger un peu le quadrillage, on sup-posera que ne harge pas son bord (pour tout k).
SoitCun arréde equadrillage hargéparettunpointdeC\support (). La onvergen ede
n
versimpliquel'existen ed'unesuitet nj 2support( nj ) ave t n j
quitendvers t.Onpeutdon onstruireunesous-suiteden j desorte que n j (t n j
) onverge vers un graphe qui passe par t.
Parunpro essus d'extra tionssu essives, on onstruit unesous-suite k
(n) defaçonquelamêmepropriétésoitvraiepourlesautres arrésduquadrillage hargés par .
Lesgraphes, k
(t), ainsiobtenussont disjoints.Eneet, sideux d'entre eux se ren ontrent, alors les graphes de T
k
(n)
qui les approximent se roisent en ore. Autrement dit, ona onstruit un ourant laminé S
k dé ni par : S k = Z [ k (t)℄d k (t); où k
est une dis rétisation de (i.e. k = P k 2 i=1 (C i )Æ t i où C 1 ;:::;C k 2 sont les arrés du quadrillage et les t
i les points de C i \support() onsidérés pré édemment). Le ourant S k
sera appelé dis rétisationde T.
Maintenant, on peut faire la même hose au ran k +1 : on onstruit une sous-suite
k+1
(n) k
(n) quivéri e lespropriétés i-dessus àl'étapek+1. En ontinuantlepro édé,onobtient unefamillede graphessurun ensemble dénombrable et dense du support de . D'autre part, l'in lusion de
k+1 (n) dans
k
(n) implique que tous es graphes sontdisjoints dans B.
sonten oredisjoints.Autrementdit,onafabriquéun ourantT laminédans B dé ni par : T = Z [(t)℄d(t);
Extra tion d'une sous-suite de T n
qui onverge vers T Pour omparer les ourantsT etT
n
, onva utiliser lelemme suivant:
Lemme 1.1.1. Pour tout > 0, il existe Æ > 0 tel que tout ouple de graphes disjoints de fon tions holomorphes au-dessus de D(0;1), (
1 ; 2 ), ave d( 1 \ ; 2 \ ) Æ véri e d C 1( r 1 ; r 2 ) . I i r i est la partie du graphe i au-dessus de D(0;r) (ave 0<r <1).
Preuve. Grâ e à l'inégalité de Cau hy, il su t de montrer d C 0( 1 ; 2 ) au lieude d C 1( r 1 ; r 2 ) (ave r <<1).
Supposonsque elasoitfaux:onpeutdon onstruiredeuxsuitesde disques disjoints 1;n et 2;n ave d( 1;n \ ; 2;n \ ) ! 0 et d C 0( 1;n ; 2;n ) . Quitteàextrairedes sous-suites,
i;n
onverge vers i
(i=1;2au-dessusde D(0;)).Alors,par onstru tion,
1 ren ontre 2 sur etd C 0 ( 1 ; 2 ). Autrement dit, juste avant la limite, on a
1;n qui oupe 2;n : e qui est impossible.
Une première onséquen e de e lemme est que le ourant T est aussi pro he que l'on veut de son dis rétisé S
k
(sik est grand). D'autre part, en remplaçantlespointst du supportde
k
par leurs approxi-mations dans le support de
k
(n)
et les graphes de S k
par les graphes de T
k
(n)
orrespondants, on obtient un ourant qui est aussi pro he que l'on veut de S
k
(don de T).
En n, e ourant est pro he de ladis rétisation de T k (n) don de T k (n) . La ombinaisonde es remarques onduità la onstru tion d'une sous-suite de T
n
qui onverge vers T.
On pourrait imaginerdé nir les ourants laminaires omme les ourants lo alementlaminés. Dans notre situation, ette dé nition serait trop forte : il n'y a pas de ourants de e type-là à potentiel ontinu dans P
2
(C). En eet, un tel ourant est d'auto-interse tion nulle. D'autre part
R
T ^T =1 (quitteànormaliserT).Tout e inous onduitàunenotionplussouple(dite laminaritéfaibledans [2℄) :
Dé nition1.1.2. Un ourantT estlaminaire,s'ils'é rit ommeunesomme P T j ave T j laminé dans U j
, et une ompatibilité entre les T j
On va donner deux exemples de ourants laminaires : dans le premier, on onstruira un ourant T, d'auto-interse tion non nulle, qui est laminaire dans C
2
. Le se ond mettraen lumièrel'obsta le quejoue l'auto-interse tion pour lalaminarité: ondonnera un exemplede ourant T qui sera laminaire seulement en dehors du support de son auto-interse tion.
Exemple 1.Voir[9℄. On onsidère, dans C 2 , le ourant T = dd max(log + jzj;log + jwj). Il s'é rit omme une sommede ourants laminés:
Z S 1 [fe i gD℄d()+ Z S 1 [D fe i g℄d()+ Z S 1 [V ℄d();
où est la mesure de Lebesgue de S 1
, D est le disque unité de C, et V désigne l'ensemblef(z;w)2C 2 ;z =e i w;jzj>1g. Le ourant T est don laminairedans C
2 .
Dans et exemple,l'auto-interse tionde T estlamesuredeLebesguedu tore unité.
Exemple 2. On onsidère, dans C 2 , le ourant T = dd log + kzk. Par dé -nition T est nul dans la boule unité B. D'autre part, sur C
2 B, T s'é rit R P 1 (C) [L a
℄d(a) où est la mesure de Lebesgue sur la droite à l'in ni et L a est ladroite qui joint l'origineaupointa.
Autrement dit, T est laminaireen dehorsde lasphère unité.
Maintenant,onpeut voirqued'unepart l'auto-interse tiondu ourantT est une mesure portée par la sphère etque d'autrepart T harge elle- i. En n, sile ourantT étaitlaminairesurlasphèreunité, elle- i ontiendrait né essairement des disques holomorphes, e qui est impossible.
Soit C n
une suite de ourbes analytiques de la boule unité de C 2
, d'aire A
n .
Lalaminaritéd'un ourantestliéeàlaprésen e danssonsupportdegraphes de fon tionsholomorphes au-dessus d'une dire tion omplexe.
Pourmontrer qu'unelimite deT n = [C n ℄ A n
est laminaire,laméthode sera don de onstruire de tels graphes dans les ourbes C
n
,puis de passerà lalimite. Pour dé rire ette méthode et en montrer les limites, on va traiter deux exemples.
Le premier est elui de Wermer (voir [10℄) : on verra qu'un ex ès de genre pour les ourbesC
n
entraîne lanon-laminaritéde lalimite. Danslese ond, ontraiterale asopposé oùC
n
est unesuite dedisques dans un bi arréC(0;1)
2
fois- i lalimite de T n
sera laminaire.
Exemple 3.L'exemple de Wermer.
On va ommen er par dé rire la onstru tion des ourbes C n
. Le adre de et exempleest C
2 .
Soit D le disque unité de C eta n
une suite dense de D. Le point de départ est la ourbe C
0
, graphe au-dessus de D, dé nie par f
0
(z;w) = w = 0. A partir de elle- i, on rée une ourbe C 1 en dou-blant C 0 au-dessus de a 1 . Plus pré isément, C 1
est dé nie par l'équation f 1 (z;w)=f 0 (z;w) 2 1 (z a 1 )=0(où n
est une suiteque l'on pré isera). En itérant le pro édé, on obtient une suite de ourbes C
n
de genre environ 2
2n .
On a rmequeT,valeur d'adhéren e de lasuite [Cn℄ An (i iA n vaut essentielle-ment2 n
)n'estpaslaminaire.Eneet,siK n désigneunÆ n -voisinageferméde C n
,onpeut hoisirlessuites n etÆ n de sortequeK n+1 K n .Sile ourantT était laminaire,on auraitdon un disque holomorphe dans K =\
n1 K
n . Quitte à réduire e disque, on peut supposer qu'il est un graphe au-dessus d'un voisinage de a
n
(pour des n aussi grands que l'on veut). Autrement dit, on aurait une se tion ontinue de jK
n
(où (z;w) = z) sur un er le entourant a
n
: e qui est impossible ar, par onstru tion, a n
est une valeur ritique pour jC
n .
On peut ra ner et exemple : si on ne rami e pas à haque étape, on peut onstruire des ourbes C
n
de sorte que les valeurs d'adhéren es de [Cn℄
A n
ne soient pas laminairesettelles que lerapport
Gn An
tende vers l'in ni aussi len-tementque l'on veut.
Exemple 4.Cas de genre nul ave une proje tion propre.
Dans e paragraphe, laméthode utiliséeest elle de BedfordetSmillie (voir [3℄).
On noteraC(0;1)le arréde C entré en 0dontles téssontde longueur1. ConsidèronsunesuitededisquesC
n
quiontleurborddansC(0;1)C(0;1). L'appli ation (z;w)=z est alors un revêtement de degré d
n = R Cn ! où ! est la formekählérienne standard de C.
Quitte àextraire une sous-suite, [C
n ℄ An
onverge vers un ourant T.
Pour montrer que T est laminaire, on va montrer que le nombre de rami - ations pour est de l'ordre de d
n
: ela réera de grands espa es où l'on pourra mettre des graphes de fon tions holomorphes. A n d'obtenir tout le ourantT,oninsèreradesgraphesdeplusenpluspetitsquiseront onstruits au-dessus d'un quadrillagede plus en plus n.
Constru tion de graphes
On ommen e par quadrillerC(0;1)en k 2
arrés égaux. Siest une omposante onnexede C
n
au-dessus d'undes arrés,onadeux possibilités:
soitlarestri tiondeàestunhoméomorphisme(dans e asestappelée bonneîle);
soit e n'est pas le as et onparlera de mauvaise omposante.
Parpassageàlalimitesurlesbonnesîles,onobtiendraun ourantlaminaire. Cependant, si on veut que elui- i soit égal à T, il faut que le nombre de mauvaises omposantes ( omptées ave multipli ité par rapport à ) soit faible devant le nombre de bonnes îles.
Pourévaluerlenombredemauvaises omposantes,onvautiliserlaformulede Riemann-Hurwitz.Eneet, sionnotem()lamultipli itéde la omposante (quiestundisqueparleprin ipedumaximum),lenombrederami ations de j est égal à m() 1. Alors, par la formule de Riemann-Hurwitz, on a : (C n )+ X (m() 1)=d n (C(0;1))=d n : D'autre part, si m()2on am()2(m() 1).
En ombinant les deux relations i-dessus, on obtient don une majora-tion du nombredes mauvaises omposantes ( omptéesave multipli ité)par 2(d
n
1). Autrement dit, il y a au moins k 2 d n 2(d n 1) k 2 d n (1 k ) bonnes îlesau-dessus du quadrillage(
k
désigne une suite qui onverge vers 0 quand k tend vers l'in ni).
Grâ e à ette minoration,on va montrer que T est laminaire.
Laminarité de T dans le bi arré Soit T
k;n
le ourant dé ni par T k;n = 1 A n X bonnes îles [ ℄ (T k;n est laminé
au-dessus de haque arré du quadrillage). Rappelons que T n = [C n ℄ An .
La minoration du paragraphe pré édent nous onduit à: Z T k;n ^ !(1 k ) Z T n ^ !;
d'où, en remarquant que d n
est majoré par A n , Z (T n T k;n )^ ! k :
En utilisant maintenant la proposition de ompa ité du paragraphe 1.1.1, T onverge vers un ourant T laminéau-dessus des arrés du quadrillage
(quitte à extraire une sous-suite), eton atoujours l'estimée : Z (T T k )^ ! k ; ave T T k 0 par onstru tion.
Si onra ne de plus en plus lequadrillage (i.e. sik augmente), T k
roît vers un ourant T
1
qui est laminaire (passer de T k à T k 0 ave k 0 > k revient à rajouter des ourants laminés qui sont ompatibles entre eux). De plus, T 1 T et R (T T 1 )^ !0.
Maintenant, on onsidère un point p du bi arré. Si on tourne le bi arré ini-tial,qu'on lediminue dans une dire tionetqu'on l'agranditdansl'autre, on obtient un autre bi arré C
1 C
2
qui ontient p, tel que C n \C 1 C 2 ait son bord dans C
1 C
2
. Par le prin ipe du maximum, l'interse tion de C n ave C
1 C
2
est toujours omposée de disques. Alors, en refaisantle même raisonnement que pré édemment ave
[Cn\C1C2℄ A n au lieu de [Cn℄ A n on obtient un ourantT 0 1 laminaireave R (T T 0 1 )^ 0 !=0(où 0 est laproje tion orthogonale sur C 1 ). D'autre part, si C 1 C 2
est générique pour T 1 , on a T 0 1 T 1 sur l'inter-se tion des bi arrés. Autrement ditT =T
0 1
au voisinage de p.Le ourantT est don bien laminairedans C(0;1)C(0;1).
On vamaintenantpasser à lasituationgénérale :le as non propre. L'obje tifsera de démontrer le théorème suivant :
Théorème 1.1.1. Soit C n
une suitede ourbes analytiqueslissesde laboule unité B de C
2
(s'étendant un peu au-delà de B). On note A n l'aire de C n , G n le genre de C n et on suppose que T n = [Cn℄ An onverge versun (1;1)- ourantpositif fermé T de B (toujourspossiblequitte à extraire). Alors, si G n =O(A n ), T est laminaire.
Dans un premier paragraphe, on va démontrer e théorème dans un as modèle. Dans le se ond, on verra que, quitte à modi er un peu les ourbes C
n
, lasituationréelle n'est pas très éloignéedu as modèle.Cette proximité démontrera alorsle théorème.
1.2 Cas modèle
Dans e paragraphe, onvamontrer omment onstruire de bons disques sur les ourbesC dans un as modèle.
On ommen epar supposer les ourbes C n
àgéométrie bornéepar A n : L n +G n +B n =O(A n ), où: L n =longueur du bord de C n ; G n =genrede C n ; B n
=nombre de omposantes de bord de C n
:
Puis, on se xe une dire tion D (qui véri e
T 6=0, où est la proje tion orthogonale asso iée à D), et on quadrille le arré C D, entré en 0, de té2,en 4k
2
arréségaux.Untelquadrillagepeutêtre dé omposéenquatre famillesde k
2
arrés deux àdeux disjoints.
On vapartir de lafamilleQ lamoins re ouverte. Ellevéri e en parti ulier :
S n (Q)= 1 aire de Q Z Cn\ 1 (Q) ! S n = 1 aire de C Z Cn !
où ! est laformekählériennestandard de C.
Le but est de démontrer que les omposantes onnexes de 1
(Q) sont ma-joritairementdes îles(disques dontlebord seprojettesur leborddes arrés de Q).
Le nombre d'îles au-dessus de Q est liéà la ara téristique d'Eulerde C n
1
(Q). En eet, si I désigne l'ensemble des îles de 1 (Q), on a (C n 1 (Q)) (C n
) #I (enleverune îlefait huter la ara téristiqued'Euler de 1).Enutilisantalorsl'hypothèsesurlegenreetlenombrede omposantes de bord,onobtientuneminorationdu nombred'îlespar (C
n 1 (Q)) O(A n ). On va majorer (C n 1
(Q)) pour obtenir une bonne minoration du ar-dinal de I.Pour ela, onpave C Qen roix(voir gure 1.1).
Fig. 1.1 Pavage en roix. Les arrés fontpartie de la famille Q. Les roix pavent essentiellement C Q.
deux sommets siles omposantes en questionsont adja entes. Dans toutela suite, on identi era sommetset omposantes onnexes orrespondantes. On obtient alors: (C n 1 (Q)) X sommets () nombre d'arêtes s a
où s est le nombre de sommetset a lenombre d'arêtes.
La ombinaisonde ette relationave lapré édente, nous onduità une mi-norationdu nombre d'îlespar a s O(A
n
).Il nous restedon àmajorerle nombre de sommetsetà minorerle nombre d'arêtes.
On vaajouter unehypothèse supplémentairedans e paragraphe:nous sup-poseronsqueles omposantes onnexes au-dessus des roixsontdes graphes au-dessus de elles- i.
Le nombre de sommetsest alors égal à k 2 S n (C Q) où S n (C Q)= 1 aire de C Q Z Cn\ 1 (C Q) !:
Pourminorerlenombred'arêtes, onutiliselaremarquesuivante:siest un sommet et() savalen e (i.e. le nombre d'arêtes qui partent du sommet), on a: L n X sommets (4 ()) 1 k ; 'est-à-dire : X sommets () 4k 2 S n (C Q) kO(A n ); e qui implique: a2k 2 S n (C Q) kO(A n ):
Le nombre d'îles au-dessus de Q est alors minorépar :
k 2 S n kO(A n )=k 2 S n (1 );
ar ladire tionD est bien hoisie (
T 6=0).
Les omposantes au-dessus de Q sontdon bien majoritairementdes îles. Dans la réalité, on n'aura pas vraiment des graphes au-dessus des roix. Cependant, quitte à modi er un peu les ourbes C
n
1.3 Cas général
1.3.1 Simpli ation géométrique des ourbes C n
Voi i omment on se ramène à des ourbes C n
à géométrie bornée par A
n
, quitte à rétré irun peu laboule de départ : Considéronslestroisboules on entriquesB,
0
BetB(où 0
eststri tement omprisentreet1).Notons
f C
n
la ourbeobtenueen ollantles omposantes onnexes de C n \( 0 B B)qui tou hentB,àC n \(B). Parleprin ipe du maximum, f C n
a son bord in lus dans 0
B. Nous allons voir que f C
n a un nombre de omposantes de bord en O(A
n
). En eet, si on oupe C n suivant esN omposantes debord,grâ eau ontr ledugenreonobtientau moinsN O(A
n
) omposantes onnexesdans l'uneoul'autredes alottes sphériques B
0 B,
0
B B.Par onstru tionlebordde doit ren ontrer lesdeux sphères bordantla alottedans laquelleellesetrouve.Unargument d'aire s'appuyant sur le théorème de Lelong (voir [18℄) montre alors que N O(A
n
) est un O(A n
), don N aussi. De plus, quitte à bouger un peu
0
B et àextraire une sous-suite, on a f L
n
=O(A n
)via la formule de oaire (voir[19℄).
On s'est don ramenéà une ourbe f C n qui véri e f L n + f G n + f B n =O(A n ) et qui oïn ide ave C
n
sur B.
Dans la suite,tous les tildes seront oubliés.
1.3.2 Comment se rappro her du as modèle
Reprenons ladémonstrationdu paragraphe1.2 : On part d'une dire tion D (qui véri e
T 6= 0, où est la proje tion or-thogonale asso iée àD). On quadrillele arréC D, entré en 0,de té 2 en 4k
2
arréségaux (asso iéà un telquadrillage,ily aquatre famillesde k 2
arrésdeuxàdeuxdisjoints).Onpartde lafamilleQlamoinsre ouverte (en parti ulier le nombre moyen de feuillets S
n
(Q) au-dessus de Q est inférieur au nombre moyen de feuillets S
n
au-dessus du quadrillage initial). Puis on pave C Qen roix omme dans leparagraphe pré édent (voir gure 1.1).
Dans le paragraphe 1.2, on s'était pla é dans un modèle où les ompo-santes au-dessus des roixétaient des graphes. I i e n'est plus vrai,mais on va voir que l'on peut se ramener au as où la majorité de es omposantes se projettent sur presque toute la roix orrespondante.
Siest une omposanteau-dessusd'une roix, onpeut dé omposer()en strates :
1
est la partie de () re ouverte au moins une fois,...,
elle re ouverte fois (où est la multipli ité maximale de ). On note
j la partie de (C ) quiborde
j .
Soit k
une suitequitendlentementvers 0(dans etexte toutesuitetendant vers 0 sera notée
k ). Alors, sil( j ) désigne lalongueur de j , onpeut avoir: -l'existen ed'unj dansf1;:::;gave lequel l(
j )
k k
(ondiraquelastrate en questiona un bord long),
ou :
- pour tout j dans f1;:::;g,l( j
)
k k
(on parlerade bord ourt).
Enutilisantl'inégalitéisopérimétrique, onremarquequedans ledernier as, on asoit :
aire de j
(1 k
)aire de la roix , pour un ertain j 2f1;:::;g:
Soit : aire de j l( j ) 2 , pour tout j 2f1;:::;g:
Dans notre ontexte, e sont les omposantes du dernier type qui sont les plus éloignées de la situationpropre :on veut don les enlever.
En tantunede es omposantes,onmodi ela ourbeC n
d'uneaire(pour !)aupluségaleà P j=1 l( j ) 2 1 k P j=1 l( j
).Enlesenlevanttoutes,l'aire est don hangée d'au plus
1 k
L n
qui est négligeable. D'autre part, en utili-sant l'inégalité triangulaire, on voit que la longueur de la proje tion par du bord de la ourbe obtenue en enlevant es omposantes est majorée par 2L
n
=O(A n
).En n, ettenouvelle ourbevéri etoujoursG n +B n =O(A n ). Dans lasuite, ontravaillera ave C
n
privée de es omposantes, que l'on no-tera toujours C
n .
Notons I l'ensemble des îles au-dessus de Q. Dans le paragraphe 1.2 on a vu, via la onstru tion du graphe où haque sommet représente une om-posante onnexe au-dessus d'une roix, et où l'on met autant d'arêtes entre deux sommets qu'il y a d'ar s en ommun dans le bord des omposantes orrespondantes, quele ardinalde I est minorépara s O(A
n
)(où s est le nombre de sommets eta le nombre d'arêtes) .
Ilnousresteàmajorerlenombredesommetsetàminorerlenombred'arêtes.
1.3.3 Majoration du nombre de sommets et minoration du nombre d'arêtes
Grâ e à notre simpli ation ee tuée au paragraphe pré édent, on sait qu'un sommetpossèdeune stratequi asoitun bordlong, soitune aire supé-rieure à (1 k )aire de la roix= 3(1 k ) k 2 .
D'après l'hypothèsesur lalongueur dubord,ilyaauplus k
O(A n
qui possèdent une strate ave un bord long.
Pourlessommetsquipossèdentunestrated'airesupérieureà 3(1 k ) k 2 ,onvoit fa ilementqu'ily en aauplus S
n (C Q) k 2 (1 k ) , oùS n (C Q) est lenombre moyen de feuillets au-dessus de C Q. On obtient alors une majoration de s par : S n (C Q)k 2 (1+ k )+ k k O(A n ):
Passons maintenantà laminoration du nombre d'arêtes.
On se xe un sommet au-dessus d'une roix. Les tés de la roix qui ne sont pas dans le bord de Qseront notés
1 , 2 , 3 et 4 .
La omposante () ontient des strates pour lesquelles on a l( j ) k k et d'autres ave ette longueur plus petite que
k k
. Les strates de la deuxième espè e se divisent en deux atégories : elles qui ont une aire inférieure à l(
j )
2
et ellespour qui ette aireest supérieureà 3(1 k ) k 2 .Sim()désignele nombre de stratesde ladernière sorte,on a:
()4m();
où() est la valen edu sommet (i.e. lenombre d'arêtes quien partent). En eet, onpeut tout d'abord supposer que l'uniondes segments
i
ne ren- ontre pas les valeurs ritiques de . Ensuite, soit un sous-segment de
i hoisi desorte qu'unde sespetitsvoisinagesdansla roixsoitin lusdansles m() strates ( 'est possible ar elles s'emboîtent les unes dans les autres); alors se relève en aumoins m() arêtes dans .
Laminorationde P
m()entraînedon elledunombred'arêtesa = 1 2
P (). Pour l'obtenir, onvaminorer l'aire re ouverte par les
P
m() strates. Les strates pour lesquelles la longueur de
j est supérieure à k k sont en nombre au plus égal à
kO(An)
k
. L'union de es éléments est don d'aire
infé-rieure à kO(An) k 3 k 2 = O(An) k k .
De même, l'ensemble des strates qui ont un petit bord et une aire majorée par l(
j )
2
a une aire majoréepar k O(A n ) k .
En ombinant es deux majorations et le fait que l'aire de C Q est égale à 3, on obtient que l'aire re ouverte par les strates qui ont un petit bord et une aire minoréepar
3(1 k ) k 2 est supérieure à: 3S n (C Q) O(A n ) k k : Autrement dit, on a: a2 X m()2 1 aire de la roix 3S n (C Q) O(A n ) k k ;
qui est plus grandque 2k 2 S n (C Q) k k O(A n ):
Cela nous onduit àune minoration du nombre d'îles au-dessus de Q par :
k 2 S n (1 k )
par e que ladire tionD est bien hoisie ( T 6=0) etque S n (C Q)S n .
L'estimée pré édente impliqueque Qétait quand même bien re ouverte. En parti ulier, si Q
0
est une famille de arrés, on a S n (C Q 0 ) (1 k )S n . On en déduit la présen e d'au moins (1
k )k 2 S n îles au-dessus de Q 0 , soit 4(1 k )k 2 S n
îlesau-dessus du quadrillageinitial.
De plus,un argumentd'airemontre quetrès peu d'entre elles sont rami ées. On adon aumoins4(1 k )k 2 S n
bonnesîles(graphes au-dessusdes arrés du quadrillage)dans les ourbesC
n .
Montrons que ela donne lalaminaritéde T dans B. Soit T
k;n
le ourant dé ni par T k;n = 1 An X bonnes îles [ ℄ (T k;n
est laminé
au-dessus de haque arré du quadrillage). Rappelons que T n = [C n ℄ An .
La minoration du paragraphe pré édent nous onduit à: Z T k;n ^ !(1 k ) Z T n ^ !; d'où, Z (T n T k;n )^ ! k :
En utilisant maintenant la proposition de ompa ité du paragraphe 1.1.1, T
k;n
onverge vers un ourant T k
laminéau-dessus des arrés du quadrillage (quitte à extraire une sous-suite), eton atoujours l'estimée :
Z (T T k )^ ! k ; ave T T k 0 par onstru tion.
Si onra ne de plus en plus lequadrillage (i.e. sik augmente), T k
roît vers un ourant T
1
qui est laminaire (passer de T k à T k 0 ave k 0 > k revient
T 1 T et R (T T 1 )^ !0.
Maintenant, si on prend une autre dire tion D 0
générique par rapport à T 1 et telle que 0 T 6= 0 (où 0
désigne la proje tion asso iée à D 0
), on onstruit de mêmeun ourant T
0 1
T qui est supérieur à T 1 et qui véri e R (T T 0 1 )^ 0 ! =0. Alors T =T 0 1
Con entration du genre
On onsidère i ides ourbesdu typef n
(L)oùf est un endomorphisme holomorphe de P
2
(C) et L une droite proje tive. Cette suite onverge (dans unsensquel'onpré isera)versun ourantT appelé ourantdeGreenasso ié à f.
L'obje tif de e hapitresera de montrer que laplus grande partie du genre de f
n
(L)se on entre sur le supportde la mesureT ^T.
Voi i le plan de e texte : dans un premier paragraphe, on fera quelques rappelsde dynamiqueholomorphe.Danslese ond, ondémontreralerésultat dansun asparti ulier: eluidesendomorphismes ritiquement nis.Lasuite sera onsa rée au as général : dans un premier temps, on montrera queles pointsse on entrent sur le support de T ^T. Ensuite, via un argumentde longueur-aire, onen déduira la on entration du genre.
2.1 Préliminaires de dynamique holomorphe
Dans e paragraphe, on va rappeler la dé nition du ourant et de la mesure de Green asso iés à un endomorphisme holomorphe de P
2
(C), puis on détailleraquelques-unes de leurs propriétés.
2.1.1 Dé nition du ourant de Green
Soit f un endomorphisme holomorphe de P 2
(C) de degré d2. On notera C
f
l'ensemble ritique de f. On sait que C f
est une ourbe algé-brique de degré 3d 3 et quele degré topologiquede f vaut d
2 .
On vamaintenant onstruire le ourantde Green asso iéà f (voir [12℄). Soit ! laformede Fubini-Study de P
2 (C).
La formef
! est ohomologueà d!, ona don :
f ! d =!+dd u;
où u est une fon tion lissede P 2
(C). En itérant ette relation,onobtientque :
f n ! d n =!+dd G n ; ave G n = P n 1 i=0 uÆf i d i .
Le fait que la diéren e max P 2 (C) jG n+k G n
j est majorée par C d
n
(où C est une onstante indépendante de k et n) entraine que la suite G
n
onverge uniformément vers une fon tion ontinue G =
P 1 i=0 uÆf i d i . Autrement dit, la suite T n = f n ! d n
onverge vers un ourantT =!+dd G. Par onstru tion, ona : f T =dT et kTk= Z T ^! =1:
Le omplémentaire du support de T oïn ide ave l'ensemblede Fatou (i.e. le plus grand ouvert où lafamilleff
n g
n0
est lo alementnormale).
D'autre part, le ourant T est naturel d'un point de vue dynamique : il équirépartit lespréimages de droites génériques. En eet, un as parti ulier d'un résultat de Favre etJonsson (voir[11℄) généralisant Fornæsset Sibony (voir[14℄) montrequelalimitedes préimagesde droitesgénériques deP
2 (C) par f
n
onverge vers T. Plus pré isément :
Théorème 2.1.1. [11℄ L'ensemble des droites de P
2 (C) telles que : 1 d n f n [L℄9T
est un sous-ensemble algébrique propre du dual de P 2
(C).
2.1.2 Mesure de Green
Dansladé nition de T,la fon tionG est ontinue :onpeut don dé nir l'auto-interse tion = T ^T. Cette mesure est une probabilité qui véri e f
=d
2
(voir [12℄).
D'autrepart,J.-Y.BriendetJ.Duval,en généralisantunrésultatdeFornæss et Sibony (voir [12℄), ont montré qu'elle est naturelle d'un point de vue
Théorème 2.1.2. [5℄ L'ensemble des points de P
2 (C) tels que : f n Æ a 9
est un sous-ensemble algébrique propre de P 2
(C).
En n, omme onséquen edel'inégalitéde Chern-Levine-Nirenberg(voir [12℄), on utiliseralefait que ne harge pas lesensembles pluripolaires.
2.2 Un exemple : le as ritiquement ni
Un endomorphisme holomorphe f est ritiquement ni si son lieu post- ritique, C =[ n0 f n (C f
), est une ourbe algébrique(voir [13℄).
Exemple 5. f = [z d : w d : t d ℄. Dans e as, on a : C = (z = 0)[(w = 0)[(t=0):
Dans e paragraphe, on va montrer que le genre des ourbes du type f
n
(L)(oùLestune droiteproje tivegénérique) se on entre surlesupport de =T ^T. Plus pré isément :
Proposition 2.2.1. Pour un endomorphismeholomorphe ritiquement ni, le genre de l'image ré iproque par f
n
d'une droite proje tive générique L, f
n
(L), est dominé par O(d n
) en dehors d'un voisinage du support de la mesure .
Corollaire 2.2.1. Pourun endomorphismeholomorphe ritiquement ni,le ourant de Green T est laminaire en dehors du support de lamesure .
Preuve. En utilisant le théorème 2.1.1, on voit que l'on peut prendre une droite L qui véri e les hypothèses de la propositionpré édente ainsi que:
1 d n f n [L℄!T:
Le orollairedé oulealors du théorème 1.1.1 du hapitre pré édent.
Remarque 1. Il existe des exemples d'endomorphismes ritiquement nis dontle ourantde Greenestlaminaireseulementen dehorsdu supportde . Il su t de prendre lasuspension àP
2
(C) d'un exemple de Lattès. C'est une version dynamique de l'exemple2 du hapitre1.
Démontrons laproposition2.2.1. Pour al uler le genre de f
n
(L), on va onstruire une triangulation de L qui serelèvera en une triangulation de f
n
(L)(par triangulation,onentend dé ompositionendesdisques).Pour on lure,ilresteraalorsàfaireun al ul de ara téristiqued'Euler sur f
n (L).
On va supposer que f n
(L) est lisse ( e qui est vrai pour L générique). D'autre part,onva traiterle as d'unedroiteLqui passepar un pointa ap-partenantausupportdeprivédeC tellequeCardinal(L \ C)=degré de C = ( 'est possible ar ne harge pas C).Le asd'une droitegénériquesefait d'une manièrepro he.
Dans la suite,on supposera que a est lep le nord de L.
Quitte à bouger un peu la droite, on peut supposer que l'interse tion des méridiens qui passent par C \L ave l'équateurest onstituée de points : a
1 ;:::;a
. On lesordonne viaune orientation de l'équateur.
En onsidérant alors les méridiens qui passent par le milieu des segments [a i ;a i+1 ℄ (i = 1;:::; 1) et [a ;a 1
℄ (où les segments onsidérés sont situés sur l'équateur), on obtient une triangulation de L ave fa es, arêtes et deux sommets.
Cettetriangulationserelèveparf n
enunetriangulationde f n
(L).Eneet, un disque qui ren ontre C en auplus un pointse relèveen un disque par f
n . On vamaintenant al uler legenre de f
n
(L)hors d'un -voisinage du sup-portde la mesure, U
.
Soit laréuniondesarêtesetdessommetsdelatriangulationquisont onte-nus dans U ; alors g(f n (L) U )g(f n (L) ). D'autre part, une omposante onnexe de f
n
(L) peut être de deux types :
- soitelle ne ontient pas d'arête de la triangulationet alors 'est un disque (don de genre nul),
- soitelleen ontient au moinsune.
SiQdésigneles omposantesdudeuxièmetypeetqleurnombre,onobtient:
g(f n (L) U )q (Q) 2 : Ainsi : 2g(f n (L) U ) 3
Nombre d'arêtes quisortentde U
;
ar (Q) est majoré par le nombre d'arêtes qui sortent de U
. Il reste don à majorer e dernier terme.
Lesarêtes étantatta hées ausupportde , onen déduit quele genrede f
n
(L) hors de U
est majoré(àune onstanteprès) par le nombre d'arêtes de la triangulation de diamètre supérieur à . Il su t don de majorer e terme par O(d
n
).C'est l'objet du lemme:
Lemme 2.2.1. Les préimages parf n
des arêtes delatriangulation deLsont de diamètre inférieur à (sauf O(d
n
) d'entre elles).
Preuve. Ladémonstrationde elemmereposesurla omparaisonaire-diamètre qui suit (voir[5℄).
Fait :
Ilexiste C >0telque,pourtoutepairededisquesholomorphesD ~ Ddans P 2 (C), onait (Diam(D)) 2 C Aire( ~ D) min(1;Mod(A)) ;
où A désignel'anneau ~ D D.
On peut mettre une arête de la triangulation de L dans un disque D disjoint de C, de sorte que le module de l'anneau D soit égal à une onstante m inférieure à1 etqui ne dépend quede C\L.
On notef n i
lesbran hes inverses de f n
sur D.Lesanneauxf n i
(D )ont le même moduleque elui de D .
Enutilisantlefaitpré édent,onobtientdon unemajorationdu arrédu dia-mètre de f n i ( )par C m Aire(f n i
(D)).Autrement dit,le nombre de bran hes inverses pour lesquelles le diamètre de f
n i
( ) est supérieur à est majoré par C m 2 Aire(f n (L)) = Cd n m 2
. C'est e quel'on voulait démontrer.
Dans le as d'un endomorphisme quel onque, si on dé oupe L ave des disques qui ne ren ontrent les valeurs ritiques V = f(C
f
) qu'en un seul point et que l'on remonte ette triangulation par f, on en obtient une de f
1
(L). Cependant les éléments de ette triangulation n'ont au une raison de ontinuer à rester des disques quand on les relèvera de nouveau par f ( ertains d'entreeux peuventtou her V en plusieurspoints). Pour onserver une triangulation, ilfaudra don faire un redé oupage.
Lors de ette opération,on pourra garder le ontr le des longueurs des pré-images des arêtes (on aura au plus d
n(1+)
arêtes de longueur supérieure à ). On ompensera alors la perte de l'atta he par le ontr le en d
n(1+) du nombre de points de f n (x) hors de U
, pour tout point x de P 2
ontr le sera vraipour des endomorphismes f génériques). Cela su rapour majorer le genre ar les arêtes qui sortent de U
sont omposées des arêtes de longueur supérieure à , auxquelles on ajoute elles qui ont un sommet hors de U
2 .
Autrement dit, on obtiendra le:
Théorème 2.2.1. Pour f générique parmi les endomorphismes de degré d, on a : limsup n!1 1 n log max L2(P 2 ) Genre(f n (L) U )logd:
Le plan sera don le suivant : dans un premier temps on montrera que l'on peut ontr ler le nombre de points de f
n (x) hors de U 2 par d n(1+) . Puis, onverra que ela permet ee tivement de majorerle genre de f
n (L) hors de U par d n(1+) .
2.3 Contr le des préimages des points
Le ontr le du nombre d'anté édents d'un point x de P 2
(C) hors de U s'inspiredu al uldel'entropietopologiqued'unendomorphismeholomorphe de degréd.
Après quelquesrappelssurl'entropietopologiquequiin lurontlesdiérentes étapesde e al ul, onpassera au ontr le des préimages de points.
2.3.1 Entropie topologique
Commeréféren egénérale pour eparagraphe,onpourraprendre lelivre d'A. Katok etB. Hasselblatt(voir [17℄).
L'entropie topologiqueh top
(f) est dé nie par :
h top (f)=sup Æ>0 limsup n!1 1 n log(maxfCard(F); F (n;Æ)-séparég)
où un ensemble est dit (n;Æ)-séparé si pour tout ouple (x;y) 2 F 2 on a d n (x;y):=max 0qn 1 d(f q (x);f q (y))Æ.
C'estdon unequantitéquidé ritlenombred'orbitesquel'onpeutdis erner à une erreur Æ près après un tempsn.
Unendomorphismef holomorphedeP 2
(C)estd'entropietopologique2logd. L'obtention de ettevaleur estla ombinaisond'unemajoration obtenue par M. Gromov(voir[16℄)etd'une minorationdue àM.Misiurewi z etF. Przy-ty ki (voir[17℄).
Lamajorationreposede manière ru ialesur lethéorèmede Lelong(voir [18℄) :
Théorème 2.3.1. (Lelong) Pour toute boule B(x;r) de C
n
et toute surfa e analytique dans B(x;r) passant par x, on a :
Vol( \B(x;r))Cr 4
;
où C est une onstante indépendantede n.
Si on note n = f(x;f(x);:::;f n 1 (x));x 2 P 2 (C)g le multigraphe de f d'ordre n, on voit qu'un ensemble F (n;Æ)-séparé donne un ensemble G Æ-séparé dans
n
pour la distan e produit d n . En désignant par ! n la forme kählériennesur (P 2 (C)) n
induite par la formede Fubini-Study ! sur haque fa teur, ona : Z n ! 2 n =vol( n ) X y2G vol(B n (y; Æ 2 )\ n ) où B n (y; Æ 2
) est la boule entrée en y de rayon Æ 2
pour la métrique d n
. Le théorème de Lelong nous onduit alors à une minoration du volume de
n parC(Card (G))(oùC estune onstanteindépendanteden).Autrementdit, l'entropie topologiqueest majorée par laquantité :
lov(f):=limsup n!1 1 n log(vol( n ))=limsup n!1 1 n log Z n ! 2 n
qui est égale à
limsup n!1 1 n log Z P 2 (C) n 1 X i;j=0 f i !^f j !=2logd; ar f i ! est ohomologue àd i !.
Laminoration repose sur la onstru tiond'ensembles (n;Æ)-séparés dans les préimages f
n
(x) de points x dont les anté édents ne s'appro hent pas trop souvent de l'ensemble ritique.
Elles'ins ritdans un adre plusgénéral, elui desappli ations de lasseC 1
:
Théorème 2.3.2. (Misiurewi z-Przyty ki)
Si M est une variété lisse, ompa te et orientable et f :M !M une appli- ation de lasse C
1
, on a :
Preuve. (Voir[17℄).
On se xe une formevolume ! sur M et 2℄0;1[. Le ja obien de f est dé ni par larelation f
! =Jf !.
L'appli ationfestlo alementinje tivesurle ompa tB =fx2M=jJf(x)j g. Il existe don Æ > 0 tel que pour x et y dans B ave d(x;y) Æ on ait f(x)6=f(y).
Maintenant, on onsidère l'ensemble A des points de M dont l'orbite visite peu B, i.e.: A=fx2M=Card(B\fx;f(x);:::;f n 1 (x)g)(1 )ng: Si x est un pointde A,on a: jJf n (x)j= n 1 Y j=0 jJf(f j (x))j< n (max x2M jJf(x)j) (1 )n <1;
si est assez petit.
Autrement dit, le volume de f n
(A) est stri tement inférieur à elui de M. Par le théorème de Sard, on peut don trouver un point x, valeur régulière de f
n
,qui setrouvedansM f n
(A).Enparti ulier, lespointsde f n
(x)ne sont pas dans A : leurs orbites visitentdon souvent l'ensemble B.
La suite de la démonstration va se faire en deux étapes. Dans la première, on va onstruire un ensemble Q
n
(n;Æ)-séparé in lus dans f n
(x). Dans la se onde, on on lura en minorantle ardinalde Q
n parN
(1 )n
(où N est le degré topologique de f).
Dans un premiertemps, onpartde x eton onsidère lespointsde f 1
(x) (il y en aau moins N).
SiN d'entre euxsontdansB,onnoteQ 1
l'ensemble onstituépar espoints (on parlera de bonne transition).
Si e n'est pas le as, on prend pour Q 1
l'ensemble onstitué par une seule préimage de x hors de B (on parlera de mauvaise transition).
Dans tous les as Q 1
f 1
(x) est onstitué de valeurs régulières pour f. En remplaçant maintenant x par les point de Q
1
dans le raisonnement pré- édent, on onstruit un ensemble Q
2 f 1 (Q 1 ) f 2 (x). Puis, en itérant le pro édé,on arrive àun ensembleQ
n f 1 (Q n 1 ):::f n (x). L'ensemble Q n
obtenu est (n;Æ)-séparé. En eet, si y 1 ;y 2 2 Q n et d(f k (y 1 );f k (y 2 )) Æ pour k = 0;:::;n 1 alors f n 1 (y 1 )=f n 1 (y 2
) ar de deux hoses l'une : soitf
n 1
(y )et f n 1
Æ; soitf n 1 (y 1 )ouf n 1 (y 2 )estdansB
etalorsl'égalitédé ouledufaitqueQ 1 est réduità un point.
A partirde là,onmontre de mêmeque f n 2 (y 1 )=f n 2 (y 2 )etainsi de suite jusqu'à y 1 =y 2 . La minoration du ardinal de Q n
repose sur la domination du nombre de mauvaises transitions dans une bran he inverse de x par n.
En eet, si on fait une ré urren e sur le nombre maximal, k, de mauvaises transitions entre xetun pointyde f
n
(x), onobtient quele ardinalde Q n est minorépar N
n k .
Onadon onstruitun ensemble(n;Æ)-séparédontle ardinalestminorépar N
(1 )n
. Autrement dit, on a h top
(f) (1 )logN, pour tout 2℄0;1[. Le théorème est don démontré.
On va maintenantpasser au ontr le des préimages des pointsde P 2
(C). Ilseravalablepourlesendomorphismesquinepossèdentpasdepointstriples dans l'orbite positive de l'ensemble ritique.
La généri ité de ette hypothèse sera montrée dans l'annexe A. Alors lerésultat sur le ontr le des préimages de points s'énon e :
Proposition 2.3.1. Pour f générique parmi les endomorphismes de degré d, on a : limsup n!1 1 n logmax x2P 2 Cardinal(f n (x) U )logd: I i U
désigne toujours le -voisinagedu support de lamesure T ^T. La démonstrationde ette propositionressembleà elledu al ul de l'entro-pie topologique d'un endomorphisme holomorphe de P
2
(C) de degré d. En eet, en voi ile plan:
Dansunpremiertemps,onvamajorerle ardinald'unensemble(n;Æ)-séparé hors de U
par d
n(1+)
. Il s'agit don de lo aliser au omplémentaire de U l'argumentdeGromov.Autrementdit,onseraessentiellementramenéà ma-jorer vol( n jU ) = R njU ! n ^! n par d n(1+)
. Ce raisonnement est valable pour tout endomorphisme de P
2 (C).
Lase ondeétape onsisteà onstruireunensemble(n;Æ)-séparé ontenudans unensembleP
n
depointsdef n
(x),de ardinalminoréparCardinal(P n
)d 2 n
. C'est dans ette étapeque l'on utilise la généri ité de f.
2.3.2 Majoration du ardinal d'ensembles (n;Æ)-séparés
Dans e paragraphe,on va démontrer le lemmesuivant :
Lemme 2.3.1. Pour f un endomorphisme holomorphe quel onque, le ar-dinal d'un ensemble (n;Æ)-séparé hors de U
(ave Æ petit) est majoré par Cnd
n
(oùC est une onstantequi ne dépend que de Æ et ).
Preuve. Dansladémonstration,onnoteratoujoursC toute onstantequine dépend que de Æ et .
SoitF unensemble(n;Æ)-séparéhorsdeU
.IlinduitunensembleGÆ-séparé dans n j(U ) . On aalors, vol( n jU 2 ) X y2G vol(B n (y; Æ 2 )\ n )C Card (F);
par le théorème de Lelong.
On obtient don une minoration du volume du multigraphe restreint à U 2 par C Card(F)(ave Æ petit).
Pour dominerle ardinalde F par Cnd n
,il restedon àmajorervol( n jU 2 ) par ette même quantité.
Tout d'abord, on a: vol( n jU 2 )= Z n jU 2 ! n ^! n = Z U 2 n 1 X i;j=0 f i !^f j !: La majoration de vol( n jU 2 )par Cnd n
sedéduit don de elle de Z U 2 f i ! d i ^ f j ! d j par C( 1 d i + 1 d j ). On noteraT i = f i ! d i . Soit une fon tion C
1
à support ompa t dans U 3
, omprise entre 0 et 1 et quivaut 1 sur U
2 .Alors : Z U 2 T i ^T j = Z U 2 T i ^T j Z T i ^T j :
Mais ladernière intégraleest égale à: Z
(T T)^T + Z
ar R
T ^T est dominéepar T ^T(U 3
)qui vaut 0. Autrement dit, si on sait majorer
R (T
i
T)^S (où S désigne un (1; 1)- ourant positif fermé de masse 1)par
C d
i
, onpourra on lure. Cependant, en reprenant la onstru tion de T, ona :
Z (T i T)^S = Z (G i G)dd ^S; 'est-à-dire, Z (T i T)^S jG i Gj P 2 (C) j j C 2;
qui est bienmajoré par C d
i .
Remarque 2. En terme d'entropie topologique, onobtient que h top
(fjU ) est majoréepar logd.
I i,h top
(fjU
)désignel'entropietopologiquede f lo aliséeàU .Elleest dé nie par : h top (fjU )=sup Æ>0 limsup n!1 1 n log(maxfCard(F); F (n;Æ) séparé ;F U g):
2.3.3 Constru tion d'ensembles (n;Æ)-séparés
On onsidèreun-voisinage,C
,del'ensemble ritiquedef.L'appli ation f est lo alement inje tive sur le omplémentaire de C
. Il existe don Æ >0 telque pour x ety dans (C
)
ave d(x;y)Æ onaitf(x)6=f(y).En n, on prend Æ stri tementplus petit que .
L'obje tifde e paragraphe est alors de démontrer :
Lemme 2.3.2. On peut onstruire un ensemble (n;Æ)-séparé ontenu dans un ensemble P
n
de points de f n
(x), de ardinal minoré par Card(P n
)d 2m
, où m est le nombre maximal de passages de l'orbite d'ordre n d'un point de P
n
dans C 2
.
Preuve. La démonstration de e lemme va se faire en deux étapes. Dans la première,onva onstruireunensemble(n;Æ)-séparé ontenudansl'ensemble P
n
. Dans lase onde, on minorerale ardinal de et ensemble.
On noteP n k l'ensemblef k (P n ).
Dans un premier temps, on part de x et on onsidère les points de P 1
f
1 (x).
Parmi eux, il y a eux qui sont dans (C )
garder tous les points qui sont dans la première atégorie. Ensuite, parmi eux qui sont dans C
2
, on ne garde que elui qui a le plus d'anté édents dans P
n
. On note Q 1
l'ensemble onstitué par e point et par les points de P 1 \(C 2 )
. D'autre part, on dira que l'on a eu une mauvaise transition au pointde (C
2
) quel'on a onservé.
En remplaçant maintenantx par lespointsde Q 1
dans leraisonnement pré- édent, on onstruit un ensemble Q
2 P
2
. Puis, en itérant le pro édé, on arrive à un ensemble Q n P n f n (x). L'ensemble Q n
obtenu est (n;Æ)-séparé. En eet, si y 1 ;y 2 2 Q n et d(f k (y 1 );f k (y 2 )) Æ pour k = 0;:::;n 1 alors f n 1 (y 1 )=f n 1 (y 2
) ar de deux hoses l'une : soitf n 1 (y 1 )etf n 1 (y 2 )sont dans(C )
etl'égalitéprovient de ladé nition de Æ; soit f n 1 (y 1 ) ou f n 1 (y 2 ) est dans C
et alors es deux éléments sont dans C
2
( ar Æ est inférieurà ) etl'égalité dé oulede ladé nition de Q 1
. A partirde là,onmontre de mêmeque f
n 2 (y 1 )=f n 2 (y 2 )etainsi de suite jusqu'à y 1 =y 2 .
On adon onstruit un ensemble(n;Æ)-séparé, Q n
, in lusdans P n
.Il resteà minorer le ardinalde et ensemble par Card (P
n )d
2m .
On va faire une ré urren e sur le nombre maximal k de mauvaises transi-tions entre x et un point y de P
n
( e nombre varie entre 0 et m). Elle va montrer que le ardinal de Q
n
est minorépar Card(P n
)d 2k
. Pour k =0, lerésultat est lair ar on n'enlève au un point de P
n . On vatraiter le as k =1 pour mieux omprendrele pro édé. Si onpart d'un pointy dans P
n
, ona deux possibilités : - Soit il existe l dans f1;:::;ng tel que f
l
(y) soit une mauvaise transition. Dans e as, on note S(y) l'ensemble des préimages dans P
n des points de f 1 (f (l +1) (y))\P n l \C 2
. Commeonne garde quela bran he qui donnele plus de points dans P
n
, onen déduit queparmi les points de S(y), il y en a au moins Card(S(y))d
2
qui sont dans Q n
. -Soit e l n'existepas etalors yest dans Q n
.Dans e as,onnote S(y)=y. Maintenant, onpeut re ommen er ave z 2P
n
S(y) et ainsi de suite. On obtientdon : Card (Q n ) Card(P n )d 2 :
On suppose lapropriété vraiejusqu'au rangk et onveut la montrer aurang k+1.
Quand on enlève les points de P n
orrespondant auxk premières mauvaises transitions, onobtientun sous-ensemblede P
n
(qui ontientQ n
) de ardinal minoré par Card(P )d
2k .
Dans haque bran he de e sous-ensemble il reste au plus une mauvaise transition. On se retrouve don dans le as k = 1 ave e sous-ensemble à la pla e de P
n
. Autrement dit, on trouve bien une minoration de Q n par d 2 (Card(P n )d 2k )=Card(P n )d 2(k+1)
.La ré urren e est don démontrée. Dansnotre situation,onsaitquelenombre de mauvaises transitionsest ma-joré par m.
On obtient don une minorationdu ardinalde l'ensembleQ n ,(n;Æ)-séparé, par Card (P n )d 2m .
Onvamaintenant nir ladémonstrationde lapropositionsurle ompor-tementdes préimages des points.
2.3.4 Fin de la démonstration
On xe >0 etdans toutela suite n sera supposé grand.
On rappellequel'on onsidèredes endomorphismesholomorphesgénériques. Cela signi e que C
f \f i (C f )\f j (C f ) = ; dès que i;j 2 N et i 6= j. La généri ité de ette ondition est démontrée dans l'annexe A.
Soit k telque 3 k
< .
Tout d'abord, si est assez petit, on a C 2 \ f i (C 2 ) \ f j (C 2 ) = ; si i;j 2f1;:::;kg eti6=j.
Ensuite,l'appli ationf est lo alementinje tivesurle omplémentairede C
. Il existe don Æ=Æ( ;f)>0telque pour xety dans (C
)
ave d(x;y)Æ on aitf(x)6=f(y).En n, onprend Æ petit devant et .
Maintenant, en utilisant le paragraphe pré édent, si on xe un point x de P
2
(C) etquel'on noteP n
l'ensemblede ses préimagespar f n
quisetrouvent hors de U
, on peut onstruire un ensemble (n;Æ)-séparé in lus dans P n
de ardinalminorépar Card (P
n )d
2m
(où mest lenombremaximaldepassages de l'orbited'ordre n d'un point de P
n
dans C 2
).
D'autre part, en utilisantlamajorationobtenue dans lelemme 2.3.1,le ar-dinal de et ensemble est majoré par Cnd
n
(où C est une onstante qui ne dépend que de Æ et ). Autrement dit, on a: Card(P n )Cnd 2m d n :
Maintenant, si on montre que pour tout point y de P 2
(C), le nombre de passages de l'orbite d'ordre n de y dans C
2
est majoré par n (pour n grand), onaura :
Card (P )Cnd n(2 +1)
et laproposition sera démontrée.
Soit don A l'ensemble des points de P 2
(C) dont l'orbite visite souvent un 2-voisinagede l'ensemble ritique, i.e.:
A=fx2P 2 (C)= Card(C 2 \fx;f(x);:::;f n 1 (x)g) ng:
Alors A est bien vide :
en eet, soity 2A. Si onprend m2N ave m+k n, on a:
Card(i2fm;:::;m+kg,f i
(y)2C 2
)2
par dé nition de . D'où
Card(i2f1;:::;ng, f i (y)2C 2 )2([ n k ℄+1)n( 2 k + 2 n )< n: 2.4 Contr le du genre
Dans e paragraphe, onva passer à ladémonstration du théorème 2.2.1. Dans elle- i, il su t de traiterle as où L est générique. En eet, une ma-joration du genre de f
n
(L) U pour des droites génériques par Cd (1+ )n
(ave C indépendante de L) onduit à la même majoration du genre de f
n
(L) U pour toutes les droites par passage à la limite. Dans toute la suite on supposera don que f
n
(L) est lisseet que L est transverse à l'en-semble post ritique.
Pour majorer le genre de f n
(L) U, on va onstruire une partition en disques et anneaux de f
n
(L) et faire un al ul de ara téristique d'Euler. Cependant, lors de la démonstration du as ritiquement ni, on a vu que l'on devait ontr ler la longueur des arêtes de la triangulation.Dans e but, on vautiliser i iun peu de géométrie hyperbolique. En eet, si on onsidère une petite arête dans la partie épaisse d'une surfa e hyperbolique, on peut l'insérerdansun disque desorte à ontr lerlemodulede l'anneau ainsi réé. On est don en mesure d'utiliserun argument longueur-aire.
Voi i don le plan de e paragraphe : dans un premier temps, on va faire quelques rappelsde géométrie hyperbolique, puis on onstruira la triangula-tion de f
n
(L).En n lesdeux dernièrespartiesseront onsa rées d'unepart àlamajorationdugenreetd'autrepartau ontr ledes longueursdes arêtes de latriangulation.
2.4.1 Un peu de géométrie hyperbolique
unité D, ondit queS est hyperbolique.
Dans la suite,on suppose queS est une surfa e de Riemann hyperbolique. Lerevêtementuniversel :D !Spermetdedé nirunemétrique omplète de ourbure 1sur S àpartirde lamétriquede Poin aréde D.On l'appelle métriquedePoin aréde S.C'estl'uniquemétrique omplètede ourbure 1 dansla lasse onformedes métriquesdé nissantlastru ture omplexedeS.
ApartirdelamétriquedePoin arédeS,,onpeutdé nirlerayon d'inje ti-vitéen un pointp: 'estleplusgrandr telquejD(q;r)soitun plongement (où q est un anté édent de p).
Grâ eàlui,onpeutdé omposer S endeux parties:l'unemin e(où lerayon d'inje tivité est inférieur à Argsh (1))et l'autreépaisse.
La topologiede lapartie min e est assez simple :
Théorème 2.4.1. Voir [6℄.
La partie min e de S est onstituée de usps et d'anneaux disjoints. Un usp est isométrique au ylindre in ni ℄ 1;log2℄ S
1 muni de la métrique ds 2 =d 2 +e 2 dt 2 .
Un anneau de la partie min e est un voisinage d'une géodésique de la forme : C( )=fp2S; d (p; )Argsh( 1 sh( 1 2 l ( )) )g:
Il est isométrique au ylindre
[ Argsh( 1 sh( 1 2 l ( )) );Argsh( 1 sh( 1 2 l ( )) )℄S 1 muni de la métriqueds 2 =d 2 +l 2 ( ) h 2 dt 2 .
Pour montrer la on entration du genre près du supportde , onva uti-liser e théorème pour fabriquer une partition de f
n
(L). Dans e pro édé, il y a une étape statique que l'on va expli iter maintenant : on va produire une partitionen disques et anneauxd'une surfa e de Riemannhyperbolique S quel onque d'aire nie.
La partitionsera omposée de lapartie min eet d'un re ouvrementrégulier de lapartie épaisse par des disques.
On note F un ensemble -séparé maximal dans la partie épaisse (ave < Argsh (1)).L'airepourunemétriquede ourbure 1d'undisqueD(x;
2
)ave x dans la partie épaisse est une onstante qui ne dépend que de . Le ar-dinal de F est don majorépar Caire(S) (on note C toute onstante quine dépend que de ). On re ouvre la partie épaisse ave la réunion des disques
des disques quisont lesinterse tionsdes disques pré édents, d'où une parti-tion de S par des disques et des anneaux.
Si x est un élément de F, il y a au plus C points de F dans D(x;2). La partition i-dessus ontient don un nombre d'arêtes dominépar Caire(S). C'est ette partition que l'on utilisera pour onstruire une partition dyna-mique de f
n (L).
Remarquons en n que l'aire de S est bornée par sa topologie (grâ e à la formulede Gauss-Bonnet).Autrementdit,lenombre d'arêtesde lapartition pré édente est majoré par C (S).
2.4.2 Constru tion de la partition dynamique de f n
(L)
On part d'une droite L proje tive et on note V l'ensemble des valeurs ritiques de f.
La premièreétape onsiste àfabriquer une bonne partitionde L omposée de disques etd'anneaux.
Quitte à bouger un peu L, S = L L\V est une surfa e de Riemann hy-perbolique ( ar V est de degré 3d(d 1) 3). En utilisant le paragraphe pré édent, on peut don onstruire une partition de S, don de L, en des disques et des anneaux. Elle ontient auplus CCard(L\V)arêtes.
C'est la bonne partitionque l'on her hait.
Par onstru tion, les disques (resp. les anneaux) de la partition de L se re-lèvent sous formede disques (resp. d'anneaux). En eet, l'appli ation f est un revêtementde f
1
(L) f 1
(V)sur L V. Ainsi,en tirant en arrièrepar f lapartitionde L,on en obtientune de f
1 (L). On vamaintenant raisonner dans f
1
(L)oùon veut onstruire une bonne partition. Quitte à bouger un peu lespartitions, on supposera dans la suite que lesarêtes que l'on onstruit ne tou hent jamaisun itéré de V.
Les disques (resp. les anneaux) de f 1
(L) qui ren ontrent V en au plus un point(resp.quineren ontrentpasV)serelèventparf sousformededisques (resp. d'anneaux). On ne va don pas les modi er. Par ontre, on va redé- ouperlesdisquesetanneauxqui n'entrentpas dansles atégories i-dessus. On vatraiter le as du disque ( eluide l'anneau est identique).
On note D un disque de f 1
(L) qui tou he V en aumoins deux points.En doublant D et en enlevant les points de V \D ainsi que leurs symétriques, on obtient une surfa e de Riemann S
0
hyperbolique.
Comme dans l'étapepré édente, onproduit une partitionde S 0
en utilisant les anneaux de la partie min e auxquels on ajoute un re ouvrement de la partie épaisse par des disques D(x;).
Pour des raisons de symétrie, le bord de D dans S 0
disques et anneaux qui ontient CCard(D\V) arêtes.
En re ommençant e que l'on vient de faire ave les autres disques et an-neaux qui ren ontrent V, on onstruit une bonne partition de f
1
(L). Si onrelève elle- ipar f etquel'onitèrelepro édé,onaboutitàunepartition dynamique de f
n
(L) en disques etanneaux.
Dans leparagraphe suivant,onvamontrer qu'un ontr le des longueurs des arêtes de lapartitioninduitlamajoration her hée du genre de f
n (L)hors U en d n(1+ ) .
2.4.3 Majoration du genre des préimages de droites
On va pro éder i i ommedans le as ritiquement ni.
Soit laréuniondes arêteset des sommetsde lapartitionainsi obtenue qui sont ontenus dans U
. Alors : g(f n (L) U )g(f n (L) );
et 'est e dernier terme quel'on vamajorer. Une omposante onnexe de f
n
(L) peut être de deux types. Soit elle ne ontient pas d'arête de la triangulation et alors 'est né essairement un disque ouun anneau(don de genrenul). Soitelleen ontient aumoinsune. SiC désigneles omposantesdu deuxièmetypeet leur nombre, onobtient:
g(f n (L) U ) (C) 2 ; Ainsi : 2g(f n (L) U ) 3
Nombre d'arêtes quisortentde U
:
Il reste don à majorer e dernier terme. Si a est une arête qui sort de U
, elleentre dans un des deux as suivants : 1
er
as :a possède un sommethors de U 2 .
La majoration du nombre de es arêtes dé oule alors du ontr le des pré-images des sommets.
On xe >0. Il existe n 0 à partir duquel ona: max x2P 2 Card (f n (x)\U 2 )d n(1+ ) :
Etant donné que le nombre d'arêtes réées au rang k est de l'ordre de Cd k
, n
