ARTheque - STEF - ENS Cachan | Un exemple de coordination entre quatre disciplines autour d'un concept : la symétrie.

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UN EXEMPLE DE COORDINATION DES ENSEIGNEMENTS DE QUATRE DISCIPLINES AUTOUR D1UN CONCEPT :LA SYMETRIE .

Témoi gnages.·des Expérimentateurs

1 )

SOMMAIRE

La Symétrie: phénomène d'optique Page 2

1 - Réflexion de la lum i ère par un miroir-plan et

symétrie or t hogonale. 2

II - Util isati on du phénomène de réf le xion pour l'étude

des axes de symétrie d' une figure. 4

III - Compositi on de symétrie s et réf l exi on sur deux miroirs. 8

2)

3)

Un exemple de progress ion en mat héma t iq ues sur le thème

des transformations ponct uel les.

Un exempl e de travai l inte rdisciplinai re auto ur du concept de symét r i e .

-:-:-:-:- :-:-:-

:-10

Ont participé à l lélaboration de ce document

Madame BREZILLON (Physique) Lycée Bréquigny Rennes

Mons i eur COLOBER (Tra vaux Manuel s Educatifs) Lycée de Redon Madame CORNEC (Mathématiques) C.E.S. Les Gayeulles Rennes Monsieur GESTIN (Physique) Lycée de Redon

Monsieur LE GOFF (Mat hé matiques) Lycée de Redon

Madame LEVE! LLEY (Ma thématiques) Lycée Bréqui gny Rennes Madame LORANS (Biologi e) L.ycée de Redon

Madame PERON (Physiq ue) C.E.S. les Gayeulles Rennes Madame PERRIER (Mat hématiques) 1. R.E.M . de Rennes Madame PERROT (Biologie) Lycée Bréquigny Rennes

1

1 NT R D DU C T 1 D N

j

1

Les équipes d'expérimentateurs E.S.E. essayant de coordonner leurs enseignements ont trouvé des points de rencontre de divers ordres

- au niveau de thèmes d'étude, - au niveau de méthodes,

- au niveau de concepts.

L'un de ces concepts est celui de symétrie qui intervient de façon naturelle dans les quatre disciplines concernées par l'E.S.E.

L'existence d'une équipe pluridisciplinaire permet de prendre en compte les différentes approches d'un tel concept, de l'enrichir pro-gressivement et de le faire opérer dans des situations très diverses.

L'ordre dans lequel interviennent les différentes approches n'est pas impératif, il fait l'objet d'une discussion au sein de l'équipe d'enseignants.

Il n'est pas question ici (comme c'est par contre le cas pour certains thèmes d'étude), de traiter "la symétrie" simultanément dans les quatre disciplines. Si certaines séquences concernent à la fois deux disciplines (par exemple mathématiques et physique pour l'étude des miroirs) ce n'est que momentané.

A cela deux raisons :

Il y aurait le risque de "lasser" les élèves en introduisant la même notion simultanément dans plusieurs disciplines, de "bloquer" certains d'entre eux qui se heurteraient plusieurs fois à la même diffi-cul té.

- Par contre il y a intérêt à "laisser mOrir", à reprendre

l'étude plus tard alors que des acquisitions nouvelles permettent de l'appréhender sur un terrain plus riche.

Les exemples qui suivent résultent de témoignages du travail réalisé en 6ème et en 5ème dans plusieurs classes E.S.E.

LA SYMETRIE: PHENOMENE D'OPTIQUE Phy sique - Mathématiques

l - Réflexion de la lumière par un miroir plan et symétrie orthogonale

Cette séquence est menée à la foi s par les deux professeurs de mathématiques et de sciences physiques, en classe de 6ème.

Il s'agit tout d'abord d'analyser le phénomène physique de la réflexion par un miroir plan. Les mathématiques n'interviennent al or s que

comme un instrument dans la description du phénomène, permettant de locali-ser de façon préci se 1 limage d'un objet.

La symétrie orthogonale est donc introduite à partir de l'ex

-perlence menée en physique, et c'est encore cette expérience qui permettra d'en dégager les proprié tés.

1er exemple une situation vécue int rodui t e par le problème technique suivant:

Dans la salle de classe, le plan du ta-bleau est perpendiculaire à celui des

fenêtres (1,2,3,4) par où entre la lumière. Le tableau renvoie la lumière en partie dans les yeux des él èves qui parlent de

"f aux- j our " et demandent que l'on tire

les stores. Mais suivant la place de l 'élè-ve dan s la salle, ce n'est pas le même store qu'il faut tirer (et suivant l'heure de l a journée !)

Tous les élèves sont d'accord sur le fait que la surface du tableau renvoie la lumière, mais dans quelle direction précise? On compare avec le rebond d'une balle et l'on déci de d'expérimenter de façon plus précise avec des glaces de poche ou des lames de verre assez mi nces .

-2ème exerrpZe l'expérience des deux bougies

l EJle possède un côté spectaculaire qui flatte la curiosité

l

l des élèves et permet de centrer leur intérêt; elle n'est cependant qu'une

l

l approche qualitative du phênorn ène , aucun enfant ne s'interrogeant sur la

l position de l'image par rapport au miroir et à l'objet.

Liste du matériel p~~~ou p~

- planche

- épi ng l esà têt e de couleur

- 1 vitre (il serait préférable cependant d'utiliser une lame métallisée semi - t ransparent e afin d'éviter l limage "pare site " donnée par la lame à face parallèles)

- 1 régl et

- 1 feuil le de papier calque

- pour mainteni r la vitre verticale

. soit (1) 2 cales de bois fixées sur la planche

(assurent la perpendicularité définitive de la vitre et de la planche mais nécessitent un "br ico l aqe" prëparatoirevj

.

. soit (2) 1 support +1 noix + 1 pince métallique

(utilis able s à la demande mais qui nécessitent un règlage de perpendicularité à chaque séance).

Manipulation

Les élèves voient une épingle "f'antôme " qui ne pique pas, aussi grande que la vraie dont ils peuvent localiser le pied P' à

l'aide d'une deuxième épi ngl e bien réelle, qu'ils voient cette fois par transparence.

Ils ét udi ent alors la position de P' par rapport à P et le trait 6. et compar ent entre eux leurs résultats.

Remarque : Les élèves s'aperçoivent spontanément que l'image est plus nette lorsqu'ils l'observent non de face mais de biais.

On constate que si le point Ai localise l'image d'un objet placé en A , la trace du miroir 6. est la médiatrice de (AA ').

On décide de dire que AI es t l'i mage de Adans la symétrie orthogonale d'axe 6. ou que A' est le symétrique de A par rapport à 6.

On cons ta te aussi que le pliage de la feuille de papier le long de 6. permet de faire coi nci der A et A' .

Elles sont mises en évidence par l'expérience:

image de l'image d'un point: si l'épingle objet est en A', l 'épingle

image est en A

conservation de l ' a l i gnement : si les épingles objets sont alignées, il en est de même pour leurs images.

image dun segment: il est maté rialisé par une épingle "couchée".

II - Utilisation du ph éno~ène de la rêfl exion pour l'étude des axes de symétrie d' une fj..9~e

Cette séque nce es t menée en 6ème. Les expériences effectuées pendant le cours de physique sont ens uite expl oi t ées en mathématiques,

le professeur ayant assisté à la recherche expérimentale.

La notion de symétrie orthogonale a été dégagée de l'expé-rience menée en Sciences Physiques puis précisée et développée en mathé-matiques. Il s'agit maintenant d'utiliser le phénomène de la réflexion

pour préciser la notion d' axe de symétrie d'une figure. En mathématiques

on sera amené aussi à dégager les notions de superpositions par glissement

et par retournement.

plus

Expérience 1

1) ~9.!:~!j~1

(voir expe r le nce 1 du paragraphe 1)

- des figures géométriques en carton de différentes formes,

chacun en double exemplai re , les deux faces étant de

cou-leur différente, certaines présentant un axe de symétrie,

d'autres non.

- un support, une noix, une pince, une vitre.

- des lettres de l' al phabe t taillées dans du carton.

"Re cher c he de l 'a xe de symétrie d'une fi.gure géomé trique "

Remarques (1 ) l l l 2 2 2 2

Les élèves proposent immédiatement la méthode du pliage et, puisqu'elle est simple et rapide, n'éprouvent pas l'envie

d'en chercher une autre.

Il faut donc les amener à trouver une méthode physique

basée sur les observation s faites antérieurement à propos

de la réflexion.

(A)

P(Jvr« jt

"l'W'

'f/1

r-(" 'M'l.O",

2 Ils placent alors la fiqure dans la position A , la trace

l

(2) ? 2

+

~ ~

~m>_j

2 ? 2 2 l 2 2 2

L'ut i l i sa ti on de cette figure (possédant deux côtés

paral-lèles à son axe de symé t ri e ) est apparue comme une arme à

doubl e tranchant ; el le perme t , certes de trouver instan-tanément la mé thode phys iq ue, mais elle ne conduit pas à

une analyse de cet t e méthode : la trace du miroir est placée

spontané ment "au mili eu de la fi gure1/ et l'on perd de vue

la néces sité de superposer l'image de I et la partie II de

l'obje t . Il semblera i t donc souha itable d'amener les élèves ·

à util iser cette métho de pour reche r che r (éventuellement

par tâtonnement) les axes de symétrie de différentes figures. (n' ayant pas nécessa i rement de côtés parallèles à l'axe).

/ '

/

Expér ience II :

A) Etudion s l 'image donnée.. par un mi r oi r M.. d'une figure

géomé t r i qu e possé dan t un axe de symétrie",

On utilisera les fig ures dont l ' expér i ence l a mis en évi-dence l 'a xe de symét rie .

Caractériser la direction d'un axe de symétrie d'une figure.

? L' exp érie nce est libre et, cependant, chaque groupe arrive

2 à isole r la'postt'ion privilégiéell.(b) telle qu'une

transla-?

l tion amène l'objet sur l'image du cas général (a) i . \

t---- _

n . .

!p\

,~~

t) 1 .... , ... 1 ....

_»

l ,",'''

!

- - - -

- -(#",,"" / c , c / / / ' / / c ' / / / / C " C

'{N

,G

Les él èves "pl acent" l'image à l'aide des éping les et

recherc hent la prop r iété mathémat i que à l 'aide de la figure

géomé tr'jque en carton.

-B) Ztuâions l 'image âonnée par un mi roir d'une figure géomé~~ique

possédant ou non un axe de symétrie.

La méthode expérimentale est la même que précédemment. On constate que, quelle que soit la position de l'objet

- dans le cas d'une figure ne possédant pas un axe de symétrie, il est nécessaire de retourner la feuille de papier calque

~our superposer l'image et l'objet,

- dans le cas d1une figure possédant un axe de symétrie il est possi ble aussi d'obtenir cette superposition par un simple glissement de la feuille de papier calque.

Exerci ce :

ÂBCD

'EFGH

IJKLIVI NDPl3RSTUV W X VZ

Encadrez en rouge les lettres de l 'alphabet dont l'image peut

être superpcsab le à l'objet par translation(les élèves ont à leur

disposi-tion des lettres en cartons aux 2 faces de couleurs différentes).

Remarques: 1) la recherche est volontiers intuitive~ l'expérience de réflexion servant de vérification.

2) mais clest la démarche, expérimentale qui amène à IItrierll

les lettres du type

A

_, (axe de symétrie vertical)

les lettres du type-·B-- (axe de symétrie horizontal)

3) en

choisis~ant

d'encadrer en rouge les lettres du

type~

et en vert les lettres du type

E!

,on arrive aux cas

particul iers

HI

ex

Expérience III :

Comment vérifier rapidement qu'une de ces 4 lettres possède 2 axes de symétrie perpendiculaires

les élèves trouvent qu'en utilisant ? miroirs perpendiculaires et en disposant la lettre de telle façon que chacun des axes de symétrie soit parallèle à l'un des miroirs. ils obtiennent deux images déduites chacune de l'objet par une transla-tion.

III - Composition de symétries et réflexion sur deux miroirs

L'uti lisetion simultanée de deux miroirs plans amène en ôëme à la notion de composition de symétries. Cette notion est reprise et développée en mathématiques en 6ème, puis en 5ème.

Tandis qu'en 6ème il est presque toujours fait appel au support expérimental, en 5ème la symétrie orthogonale apparaît comme une application bijective du plan dans lui-même.

Exercice 1 : De ssi nez les image s de la let t r e objet Fdonnées par les deux

mi roirs per pendi culai res don t les traces sont Ml~2_'

les élèves disposent du

"

matériel util isé. pour l'étude de la réflexion et ne sien ser vent que s'ils le dési rent. - 8

-~

J1j: ----

-

-_.

-

--

-

-

----

-~' / --

-

-_

.

..

.

....

---!.

§

(/'11.)

Remarques :

1) tous les élèves ont fait l'expérience avant de dessiner l'image donnée par l lun des miroirs, puis ils dessinent directement l'image donnée par le deuxième miroir.

2) quant à l'image dans le secteur III quelle découverte Il

(par hasard dans la plupart des cas). Je n'oublierai jamais leur mines surprises. Certains, même, y regardaient à deux fois, n'en croyant pas

leurs yeux. Puis une fois l'effet de surprise passé, l'explication a été claire et immédiate: cette image dans le secteur III est l'image

de celle du secteur II par réflexion dans le miroir Ml ou celle du secteur I

par réflexion dans le miroir M 2

On aborde ainsi la notion de composition de symétries ortho-gonales et l'on vérifie que 1~ composée des symét ries par rapport à deux axes perpendiculaires est une rotation de 1800 _{(ou symétrie-point).}

3) L'image obtenue dans le secteur III permet d'aborder de façon très naturelle la notion de champ d'un miroir.

Exerr:Jice 2

Les élèves disposent de deux miroirs de poche qu'ils placent .

perpendiculairement à la feuille de papier. Ils observent les images d'une lettre tracée sur la feuille.

- certaines de ces images sont à "l'endroit" ..

d'autres à 111 1enversIl (nombre pair ou

impair de symétries)

- pour certaines positions des deux miroirs on obtient un nombre fini d'images.

On peut dresser le tableau suivant nombre d' images

angle formé par les traces des 2 miroirs

4 6 etc ...

UN EXEMPLE DE PROGRESSION EN MATHEMATIQUES SUR LE THEME DES TRANSFORMATIONS PONCTUELLES

l'étude expérimentale de la réflexion en 6ème a été le point

de départ de l 'étude en mathématiques du thème: transformations géométriques d'ensembles de points du plan. Cette étude siest échelonnée sur plusieurs séances espacées dans le temps en 6ème puis en Sème; elle a permis dlenvi-sager après la symétrie orthogonale par rapport

a

une droite, la composée

de telles symétries: translation,rotation et enfin l 1homothétie (avec comme cas particulier la symétrie centrale) .

Au niveau de la 6ème (3ème trimestre)

1) les élèves ont été sensi bi l i sés

a

la notion d'axe de symétrie par une série de manipulations en Mathématiques et en Travaux Manuels: bissec-trice d'un secteur angulaire, médiatrice d1un segment, polygones super-posables à eux-mêmes par pliage .

.A propos du cercle: recherche du centre, étant donné un arc seulement.

2) Suite

a

une séance consacrée en physique

a

l'étude des images données par un miroir-plan, il y a eu un travail en commun des professeurs de physique etmathématiques .

•Lors d'un compte-rendu oral (par les élèves) le vocabulaire suivant a été util i sé

- objet-image (A0-"> AI)

- la trace du mi roi r es t la médi atri ce de lA AI]

- alignement des épingles-objets et alignement de leurs images

- objet et image se superposent par pliage autour de la trace du mi roi r .

• Exploitation mathématique :

Sur papier millimétré, une droitë (.è:.) représente la trace du miroir, construire l'image d'un point A.

Tout point A a pour image un point AI appelé le symétrique de A par rapport à (6).

- les élèves disposent de deux triangles quelconques superposab les.

de deux triangles rectangles superposables. de deux rectangles superposables,

de deux figures-plans superposables recto blanc, verso rouge.

Placer un objet dans un demi-plan, prévoir la position de 1limage dans l'autre demi-plan. Rapprocher, éloigner llobje t du miroir, le tourner.. . Quelques difficultés lorsque aucun des segments nlest parallèle à (~) .

Une vérification à 1laide du miroir est alors nécessaire.

Il apparaît que dans certains cas un simple glissement amène l'objet en coïncidence avec 1limage, dans d'autres cas un retournement est nécessaire.

à l'aide du miroir, recherche d'axes de symétrie des lettres de 11_{al phabet} réparties entre les groupes. Le plus souvent 1'objet est placé de telle sorte que son axe de symétrie soit parallèle à (~).

l'utilisation de deux miroirs disposés à angle droit permet de vérifier que 1a composée dedeuxsymétries orthogonales d'axes perpendicul ai res est égale à une rotation de 1800

•

3) Plus tard, les élèves nyant utilisé des cartes à jouer pour l'introduction des entiers relatifs, ont cherché leurs axes de symétrie. Quelques erreurs ont été redressées à 1laide d'un miroir.

A noter leur perplexité dans le cas des figures, les sportifs évoquent le tracé du terrain de football .

Au niveau de la Sème

1ère séance :(octobre)

Un questionnaire polycopié est destiné à présenter la symétrie orthogonale

comme une application bijective du plan dans lui-même,

a

attirer l'attention sur les points invariants, la conservation des formes et des longueurs.

Une exécution très soignée de dessins est exigée sur papier

a

dessin. Quelques difficultés dans le cas où la figure se situe de part et d'autre de l'axe. Compte rendu écrit.

-2ème séance :(octobre)

Sur papier à dess in :

- Composition de deux symétries orth ogo nale s dlaxes parallèles (Dl ) et (D

2) S S FI l (Dl ) F 2 1 (°2) > F 3 La transformat io n de FI en F 3 slopère par IIg1issement ". S(02) ~uiv ie de S(D A) ne donne pas de FI la même image que S(D)suivie de S(D )' ~ 1 2

- Composition de deux symétries orthogonales d1axes perpendic ul aires.

Les élèves int erprètent leurs résul t ats or~ l e ment dans leur propre langage.

3ème séance : (décembre)

Tr ans f ormati ons dlun ensembl e de points sur papier millimétré (document

ci-après) . 1) Translatio ns Fl~~ _F2 2) Symétrie de centre

a

:

F 1....-->FS 3) Homothéties F1t->l Fa FI '-") F6 F 3- >F7

Aucun dessin nles t fait au tablea u. Les él èves exécuten t rapide ment le

travai l à parti r d1i ndicati àns orale s .

g~~lg~~~_r~~~rg~~~_9~~_~1~~~~

:

Les ima ges ont toujours la même forme que L' obj et, mais pas touj ours la

même grandeur. Dans certains cas ell es sont renversées, (langage employé

en physique à propos de l'étude des lentilles).

On pourrai t "passer" de FI à F₃ par une seule tr ansl ation

de F

3 à F4 par une trans la tion

- Le rapprochement est fait entre les homothé ti es et 1 luti l is at ion du

"sketch-a-çraphIl qui permet d'agrandi1" ou de réduire un des sin.

- Il y a propor t ionnalité entre les longueurs de l ' objet et celle s de l'image

11-En revanche,la correspondance de F₆ et F₇ par une symétrie cent ra le leur échappe.

4ème séance :(mars)

Rappel des translations sur quadrillage apr ès l'étude de l ' addition et de la soustraction dans Z. Les vecteurs des translations sont exprimés main te-nant à liai de de couples appartenant à l x Z

Un regai n d'intérêt gr âce au jeu de la course aut o (f ic he I.R.E.M. Strasbour g)

puis une élève imagine une ligne polygonale fermée qu'elle dicte à ses cam a-rades en utilisant des translations successi ves d'un poin t du pl an.

Sème séance ~(avril)

Sur papier quadri llé (à peti ts carreaux): réal i sation d'un papier peint à

1 .. .

parti rd' un moti f initi al reprcdutt grâce à deux transl ati ons t( 6 ; 0) et

t'(3;5)

Observations exi·stenced'une réciproque de t , de tl

t 0 t' = t' 0 t

t 0 t- 1= t(o,o)

chaines de translations composées de t, t', t- 1 , t,-l

On me fait la remarque qu'il existe aussi des papiers peints avec.des motifs symétri ques.

6ème séance :rmai)

Rotations dans le plan

Introduites par un dessin suggérant la grande aiguille d'une horloge dans différentes positions.

- Recherche de motifs de dallage du plan par rotations réitérées d'un quart de tour autour de chaque sommet d'un pentamino choisi.

- Etant donné deux triangles isométriques, chercher des compositions d

'iso-métries qui permettent d'associer un triangle à l'autre.

-UN EXEMPLE DE TRAVAIL INTERDISCIPLINAIRE AUTOUR DU CONCEPT DE SYMETRIE

TRAVAUX MANUELS

1FABRI CATI ON

J

l

Technique

cartonnage

/

~

out i l l age matériaux

DIUN 1GLOBE 1 1TERRESTRE

J

lForme

~ ~

.Sphère continents vocabulaire

/ \ ~ géogr aphi que

armature recouvrement stabilité

suppot t tronconique

l'

!

1

L

bi ssectrice

- secteur d'angle

- perpendiculaire en un point à une

I

l, ddes diro itesques "m

~

repérage dér i diense lIl1intersectionet des disques "par allèles".

1

Liaison aVeC les mathémat iques

tracé des di amètres sur chaque di sque

r

"méri di enIl

matérialisation dl un axe de symétrie de l a sphère au montage.

,

recherche du diamètre des disques

parallèles par mesure sur un croquts à

l'échelle. équateur

échelle 1/4

di sque"par allèle"

les méridiens

Armature>"(8 di sq ues )

\ les parallèles (5 di sques) A) La sphère 1 1

Montage : positi onnement des di sques

i

méridien~ - corde arc secteur

i

B) Le support tronconique 1

développement du cône, du tronc de cône - secteur, couronne

o

1\0

sUf.>port.

Tr acé du dévelap pement du

sont enl èvés

progressiveme nt

Manipulation: disque canson ~ 500 mm

des secteurs de 40o~~~~~~~~-11

---_

.._~~---_.-

-_

.

_

-

---~-_.

-MATHEMATIQUES

-Point de départ: la construction en travaux manuels dlun globe terrestre.

Etude faite en mathématique :

vocabulaire, quelques définitions

périmètre du cercle, nombre rr

secteurs angulaires, construction d'un rapporteur

les symétr-ies du cercle: étude de la symétrie orthogonale

à l taide dun miroir (reconstitution d'un cercle à l'aide de

lLimage dl un demi -cercle ).

la symét rie centrale: on s lest contenté de constatations.

recherche de la longueur d'un arc de cercl~ (proportionnalité)

cône (travail préparatoire à une utilisation en T.M.)

construction dl un cône à parti r dl un cercle, recherche du

diamètre de base et de la hauteur (calcul pour le diamètre,

mesure pour la hauteur).

BIOLOGIE Observons la tête osseuse d'un carnivore.

zone d'articulation

f - - - mâchoire supérieure

- plan de la denture du chat

Sur le plan on place les dents schématisêes

puis on constate quex..~ est axe de s;vmétrie.

,,"" 1

-

... ,

; l ' ;'

,

1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 1 , 1 L . •' , _. _l~.. _ /

.

\ 1 l , mâchoire inférieure \ l' ~---\

,

,

:

\ ,

,

"

' .... -4.-"

I.J

App 1i qlti an trouver 1a formul e cmFltai re cfttJfl ani.l

Symétrie bilatérale

ex denture du chat

corps humain~ le côté droit est le symétrique du côté gauche~

les 2 mains sont superposables paume à paume seulement.

tous les vertébrés

oursin irrégulier: le spatangue

ex : certaines fleurs : légumineuse : genêt Diagramme (coupe transversale idéale de la fleur)

Jipo..e.

_~-+-_-:-_ G+o.lI\.Y..ti

La symétrie bilatérale correspond donc à ce qu'on appelle en

mathématiques: symétrie orthogonale par rapport à un plan; une coupe

(cf. dessin) par un plan perpendiculaire au plan de symétrie présente un

axe de symétrie (intersection de ces deux plans).

-Symétrie rayonnée

ex oursin régulier (oursin livide commun)

symétri e rayonnée de type 5

certaines fleurs ex : primevère

on parle aussi parfois de symétrie axiale

...

~

La symétrie rayonnée correspond à.ce qu'on désigne en mathématiques par axe de répétition (d'ordre 5, dans le cas de l'oursin ou de la primevère), une coupe par un plan perpendiculaire à cet axe de répétition présente un centre de répéti ti on (de même ordre).