UNIVERSITÉ PARIS-DAUPHINE ECOLE DOCTORALE DE DAUPHINE
U.F.R. DE MATHÉMATIQUES DE LA DÉCISION
No attribué par la bibliothèque
THÈSE
pour obtenir le grade de DOCTEUR EN SCIENCES
SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES présentée et soutenue publiquement par
Adrien NGUYEN HUU
le 13 Juillet 2012
sous le titre
VALORISATION FINANCIÈRE
SUR LES MARCHÉS D'ÉLECTRICITÉ
Directeur de Thèse
Pr. Bruno BOUCHARD, Université Paris-Dauphine JURY
Rapporteurs : M. Miklós RÁSONYI Lecturer, University of Edinburgh M. Peter TANKOV Professeur, Université Paris-Diderot Examinateurs : M. Bruno BOUCHARD Professeur, Université Paris-Dauphine
Me Nadia OUDJANE Chercheuse, EDF R&D
L'université n'entend donner aucune approbation ou improbation aux opinions émises dans cette thèse : ces opinions doivent être considérées comme propres à leur auteur.
Ach ! Wie qualvoll ist die Zeit zwischen einem grossen Plan und der Ausführung ! Wievel grundlose Angst ! Wievel Unentschlossenheit ! Es geht um das Leben. -Es geht um weit mehr : um die Ehre !1
Friedrich Von Schiller
1. Ah ! Que l'intervalle est cruel entre un grand projet conçu et son exécution ! Que de vaines terreurs ! Que d'irrésolutions ! Il en va de la vie. - Il en va de bien plus, il en va de l'honneur !
Il y a toujours quelque émerveillement au calcul rétrospectif des chances d'aboutissement de certains projets. Cette thèse ne déroge pas à la règle et fut une étonnante série de coïncidences et d'évènements singuliers2, bien avant même son commencement o ciel.
On ne peut, à l'issue d'un tel chemin, se faire l'apôtre du hasard froid et n'éprouver au-cune gratitude pour les coups du destin. On ne peut non plus refaire l'histoire de ces trois années rétrospectivement sans perdre certes la candeur, la naïveté ou parfois le désespoir qui a pu m'habiter à un moment ou un autre, mais surtout l'intime sentiment d'une nécessité de continuer. Cette nécessite, mêlée aux heureux hasards saupoudrant la nar-ration, tient aux personnes qui m'ont entouré à cette période et que je tiens à remercier ici. C'est dans cet esprit que je veux honorer en premier lieu mon directeur de thèse Bruno Bouchard pour ses exceptionnelles qualités individuelles et académiques. Sa patience, son savoir, son attention, son implication constante et ses conseils m'ont inspiré et continue-ront de le faire. Ce fut un très grand honneur d'être son élève, et un privilège que je ne saurai oublier. J'espère que le présent travail et mes futurs travaux lui rendront un hom-mage digne de lui. S'il est vrai que l'in uence du Directeur de thèse se fait ressentir tout au long de la carrière d'un chercheur, je me ravi de ce coup du sort. Ma gratitude va tout également à Nadia Oudjane qui fut mon encadrante au sein de la Division Recherche et Développpement chez EDF. C'est avec amitié et reconnaissance que je la remercie pour sa générosité, ses bons conseils et son expertise. Notre entente bien au delà des sujets scienti ques a été d'une grande valeur pour moi. Ils m'ont tous deux fait sentir ce par-cours tortueux tel une nécessité, tel un dé , et l'aboutissement de cette thèse tient pour une très grande partie à leur présence à mes côtés.
Je veux remercier Miklós Ràsonyi pour avoir accepté de rapporter cette thèse. Une grande partie des résultats de ce manuscript s'inspirent de ses travaux et c'est un honneur d'être évalué par ses soins. Je souhaite remercier le professeur Peter Tankov pour avoir également accepté de rapporter cette thèse. En n, Ma gratitude va à Nizar Touzi pour avoir accepté de faire partie du jury, mais aussi pour sa bienveillance soutenue tout au long de cette thèse.
Mes remerciements vont également à mes nombreux compagnons de route. Je serai tou-jours gré de l'accueil extraordinaire qui m'a été fait tout au long de ces trois années à EDF, au sein du Département OSIRIS et précisement du groupe R33. J'ai une pensée particulière pour Marie Bernhart et Mathilde Bouriga avec qui j'ai partagé un bureau à
2. sans toutefois emprunter les termes de synchronicité acausale à Carl Gustav Jung, bien que le contexte soit à tonalité psychologique.
l'ambiance chaleureuse, ainsi qu'à Wim Van Ackoiij pour sa disponibilité sans faille. J'ai aussi une reconnaissance toute particulière, emprunte d'un grand respect, pour René Aïd et Ivar Ekeland, qui ont su favoriser le kairos en me lançant quelque fois une opportunité extraordinaire.
Il y a aussi des rencontres qui, sous couvert de science, ont recouvert diverses variations de philia. Celles-ci sont d'autant plus valeureuses qu'elles m'ont aidé tout au long de cette thèse tant d'un point de vue moral que scienti que. J'adresse donc un grand merci à Ludovic Moreau, Ngoc Mingh Dang, Romuald Elie, Luciano Campi, Jean-François Chassagneux, Mathieu Rosenbaum, Damien Fessler. Mes compagnons d'une route plus ancienne m'ont accompagné dans cette odyssée personnelle comme dans d'autres. J'ex-prime ici ma reconnaissance à ma famille et mes amis, tout particulièrement à Maureen, Andreï et Adrien dont le soutien et l'aide fut infaillible.
Pour nir, je souhaite dédier cette thèse à mon père, le premier esprit mathématicien que j'ai admiré.
Résumé
Cette thèse traite de la valorisation de produits dérivés du prix de l'électricité, et s'incrit dans le domaine des mathématiques nancières. Dans la première partie, nous nous inté-ressons à la valorisation par absence d'opportunité d'arbitrage de portefeuilles incluant la possibilité de transformation d'actifs par le biais d'un système de production, cela sur des marchés présentant des coûts de transaction proportionnels. Faisant appel à cette théo-rie spéci que, nous proposons un concept alternatif d'absence d'opportunité d'arbitrage pour une fonction de production et étendons certains résultats de Rásonyi [Rásonyi 10] à temps discret. Cela nous permet de démontrer la propriété fondamentale de fermeture pour l'ensemble des portefeuilles atteignables de ce type, ainsi que des corollaires comme l'existence d'un portefeuille optimal ou un théorème de sur-réplication. Nous continuons l'approche avec fonction de production en temps discret en étendant la modélisation à un marché en temps continu avec ou sans frictions. Cette approche s'inspire grandement du cadre théorique proposé par Denis et Kabanov [Denis 11b]. Cela permet aussi de déduire la propriété de fermeture et la caractérisation des actifs réplicables.
Dans le seconde partie, nous nous concentrons sur des problématiques de valorisation de produits dérivés sur électricité. Dans un premier temps nous présentons une classe de mo-dèles faisant apparaitre un lien structurel entre le coût de production d'électricité et les matières premières nécessaires à sa production. En formulant spéci quement la fonction des prix des commodités et du niveau de la demande, on obtient une formule explicite pour le prix de l'électricité spot. Le passage par une mesure martingale spéci que au traitement des incomplétudes de marchés, permet d'obtenir un certain prix d'absence d'opportunité d'arbitrage pour les contrats futures sur électricité minimisant le risque quadratique de couverture. Nous spéci ons alors le modèle pour obtenir des formules analytiques et pro-posons des méthodes de calibration et d'estimation statistique des paramètres dans le cas où le prix spot dépend de deux combustibles. Dans un second temps, nous abordons par des méthodes de contrôle stochastique initiées par Bouchard, Elie et Touzi [Bouchard 09] le problème de la prime de risque associée à un produit dérivé de contrat futures non disponible. Utilisant des résultats de dualité déjà existant, nous étendons l'application nu-mérique au cas d'un marché semi-complet. Notre point de vue se concentre essentiellement sur la représentation sous forme d'espérance de la fonction valeur du problème.
Abstract
This Ph.D. dissertation deals with the pricing of derivatives on electricity price. It belongs to the eld of Arbitrage Pricing Theory and nancial mathematics.
The rst part is a theoretical extension of Arbitrage Pricing Theory : we assess the pro-blem of pricing European contingent claims when the nancial agent has the possibility to transform assets by means of production possibilities. We propose a speci c concept of arbitrage for such portfolios and extend some results of Rásonyi [Rásonyi 10] in discrete time for markets with proportional transaction costs. This allows to show the closedness property and corollaries such as portfolio optimization problem or a super-hedging theo-rem. We then study such portfolios with nancial possibilities in continuous time, with or without frictions. This framework is mostly motivated by Denis & Kabanov [Denis 11b]. We prove here the same closedness result and the super-replication theorem as corollary. We apply these results to the pricing of futures contract on electricity.
The second part is dedicated to applications of expectation representation in the treatment of incompleteness of nancial markets, with a focus on electricity derivative pricing. We start with the presentation of a class of models allowing to link the electricity spot price with its production cost by a structural relationship. We specify a two combustibles model with possible breakdown. It provides explicit formulae allowing to t several pattern of electricity spot prices, by means of the demand level and commodity prices. Using the minimal martingale method of Föllmer and Schweizer [Föllmer 91], we are able to explicit an arbitrage price and a hedging strategy for futures contracts minimizing a quadratic risk criterion. We then specify the model to obtain explicit formulae and propose calibration and statistical estimation of parameters in a two combustibles model. We address in a se-cond time the question of the risk premium associated to the holding of a European option upon a non-yet available electricity futures contract. We essentially apply the ideas of Bou-chard and al. [BouBou-chard 09] to the semi-complete market framework de ned by Becherer [Becherer 01] and propose numerical procedures to obtain the risk premium associated to a contingent claim and a given loss function.
Table des matières
Introduction à la problématique 1
Technical Introduction 9
1 Arbitrage Pricing Theory and fundamental results 17
1.1 Arbitrage Pricing Theory . . . 18
1.1.1 The proportional transaction costs framework . . . 19
1.1.2 Equivalent martingale measures and incomplete market . . . 21
1.2 Fundamental results . . . 23
1.2.1 Convergence lemmata . . . 24
1.2.2 Fatou-convergence . . . 25
1.2.3 Measurable selection . . . 25
I Arbitrage pricing of generation possibilities in nancial markets 29 2 No marginal arbitrage condition in discrete time 33 2.1 Introduction . . . 33
2.2 De nitions and main results . . . 35
2.2.1 Model description . . . 35
2.2.2 The no-arbitrage condition . . . 37
2.2.3 Dual characterization of the no-arbitrage condition and closedness properties . . . 40
2.3 Applications . . . 43
2.3.1 Super-hedging theorems . . . 43
2.3.2 Utility maximization . . . 45
2.4 Example : an electricity generation pricing and hedging model . . . 45
2.4.2 The no-arbitrage condition . . . 47
2.5 Proofs . . . 48
2.5.1 No-arbitrage of second kind in the linear model and (K, L)-strictly consistent price systems . . . 48
2.5.2 The closedness properties . . . 50
2.5.3 Super-hedging theorems . . . 53
2.5.4 Utility maximization . . . 55
2.6 Absence of arbitrage of the rst kind . . . 55
2.6.1 Additional notations and fundamental theorem of asset pricing . . 55
2.6.2 Proof of the theorem . . . 57
3 Conditional Sure Pro t condition in continuous time 61 3.1 Introduction . . . 61
3.2 The framework . . . 62
3.2.1 The set of nancial positions . . . 63
3.2.2 Absence of arbitrage in the nancial market . . . 64
3.2.3 Admissible portfolios and closedness property . . . 65
3.2.4 Illustration of the framework by examples of nancial markets . . . 66
3.2.5 Addition of production possibilities . . . 68
3.3 The conditional sure pro t condition . . . 70
3.4 Application to the pricing of a power future contract . . . 72
3.4.1 The nancial market . . . 72
3.4.2 The generation asset . . . 73
3.4.3 Super replication price of a power futures contract . . . 74
3.5 Proofs . . . 75
3.5.1 Proof of Proposition 3.3.1 . . . 75
3.5.2 Proof of Theorem 3.1.1 . . . 79
II Risk pricing and hedging in electricity market 83 4 A model of electricity prices 87 4.1 Introduction . . . 87
4.2 The Model . . . 89
4.2.1 Commodities market . . . 89
4.2.2 Market demand for electricity . . . 90
4.3 The choice of an equivalent martingale measure . . . 92
4.4 Electricity forward prices . . . 94
4.5 A model with two technologies and constant coe cients . . . 96
4.5.1 Dynamics of capacity processes ∆i . . . 96
4.5.2 Dynamics of the electricity demand D . . . 98
4.5.3 Forward prices . . . 99
4.6 Numerical results . . . 100
4.6.1 Data choice . . . 101
4.6.2 Reconstruction of S1 t and St2 . . . 101
4.6.3 Estimation of electricity demand . . . 102
4.6.4 Estimation of capacity process . . . 103
4.6.5 A comparison with a naive econometric model . . . 106
4.6.6 Forward prices computation . . . 106
4.6.7 Calibration on forward prices . . . 109
4.6.8 Spot price simulations . . . 110
4.7 Conclusion and perspectives . . . 111
5 Hedging electricity options with controlled loss 113 5.1 Introduction . . . 113
5.2 The stochastic target problem with controlled loss . . . 114
5.2.1 General framework . . . 115
5.2.2 The complete market case . . . 120
5.3 Extension to the semi-complete market framework . . . 122
5.3.1 The semi-complete market framework . . . 122
5.3.2 Numerical resolution of the Stochastic Target problem . . . 126
5.4 Application . . . 131
5.4.1 Model and structural correlation . . . 131
5.4.2 The complete market case for t ≥ t0 . . . 134
5.4.3 Numerical procedure for t = t0 . . . 135
5.4.4 The Black-Scholes benchmark . . . 137
5.5 Numerical results . . . 138
5.5.1 Parameters estimation and sources of error . . . 138
5.5.2 Numerical validation . . . 141
5.5.3 Comparison for a call option with simulations . . . 143
5.6 Proofs . . . 146
Introduction
Cette thèse a pour objectif de présenter quelques problématiques de nance concernant les marchés dérégulés d'électricité traitées par les mathématiques nancières. Elle est composée de deux volets relativement indépendants concernant les techniques utilisées, précédés d'un chapitre introductif. La première partie est à caractère théorique et repré-sente un développement particulier de la théorie de valorisation par absence d'opportunité d'arbitrage pour un agent ayant des capacités de production. La seconde partie regroupe deux applications du calcul stochastique à la valorisation de contrat futures et d'option sur ces contrats respectivement. Bien que faisant appel à des approches diérentes, ces deux applications, et la première partie, ont en commun l'utilisation de mesures martin-gales équivalentes pour la valorisation dans le cadre de marché incomplet. Pour introduire ces deux parties, nous commençons par décrire les marchés d'électricité et leurs particu-larité, ainsi que les diérentes approches utilisées jusque là pour résoudre les problèmes abordés ou similaires.
Les marchés dérégulés d'électricité
Un risque nancier récentLa dérégulation des marchés d'électricité est un phénomène récent et mondialement ob-servé, démarré par le Chili au début des années 1980 sous la forme d'un système com-pétitif de production d'électricité basé sur les prix marginaux. A l'instar du Chili, un mouvement général de dissolution des monopoles industriels apparait, avec notamment la séparation des activités de transmission et de distribution d'une part et des activités de production ou de vente d'autre part. Aujourd'hui, il existe un éventail considérable de marchés de gros organisés autour de regroupements. Citons les plus connus : PJM (Pennsylvani-New Jersey-Maryland) aux États-Unis d'Amérique, Nordpool en Scandina-vie (Danemark, Suède, Finlande, Estonie et Norvège) ou EPEX en centre Europe (France, Allemagne, Autriche et Suisse). L'objectif prioritaire de la dérégulation est d'atteindre un
équilibre compétitif permettant une optimalité économique de l'allocation des ressources. L'introduction de la compétition dans ce secteur introduit pour ses acteurs de nouvelles sources de risque. Les prix sont désormais variables et xés par le marché. La complexité de l'industrie électrique impliquant déjà de nombreuses sources de risque (endogènes et exogènes), les marchés de l'électricité ont rapidement fait émergé un besoin de gestion globale des risques nanciers et industriels. Ctte gestion des risques est dévenue priori-taire pour les participants à un marché dérégulé. Aujourd'hui, les participants historiques (les producteurs) ont été rejoints par de nouveaux investisseurs. En eet, le risque prix de l'électricité est devenu une opportunité de diversi cation des risques pour des in-vestisseurs institutionnels. La possession d'une centrale électrique apparait alors comme un actif avantageux au sein d'un portefeuille nancier3. Les investissements dans le
do-maine énergétique croissant rapidement, la place centrale de l'électricité dans les marchés d'énergie attire irrémédiablement l'intérêt des banques et fonds d'investissements pour les produits nanciers ou les entreprises du domaine électrique.
Les marchés d'électricité ont de nombreuses diérences avec les marchés de commodités habituels (matières premières) ou les marchés actions. C'est pourtant pour ces derniers que les mathématiques nancières ont permis des avancées techniques importantes. Nous allons voir ici quelles sont ces diérences et ce qu'elles impliquent sur les moyens appli-cables aux marchés pour la gestion des risques.
Les caractéristiques de l'électricité
L'électricité désigne dans le langage courant l'énergie électrique. Sans rentrer dans les dé-tails du processus de production physique, rappelons que l'électricité est un phénomène physique utilisé comme transporteur d'énergie électromagnétique. Celle-ci peut être pro-duite par la transformation de diérentes sources initiales d'énergie :
l'énergie potentielle mécanique, que nous obtenons par la retenue des eaux d'un barage (centrales hydro-électriques),
l'énergie cinétique (éoliennes),
l'énergie potentielle chimique, qui est contenue dans diverses matières premières et transformée en énergie thermique (centrales nucléaires et thermiques). Cette dernière ressource retiendra toute notre attention dans ce qui suit.
L'électricité est le moyen le plus rapide et le plus pratique pour transporter de l'énergie dans les pays ayant développé les infrastructures nécessaires. Le stockage de l'énergie
3. Entre 2003 et 2004, Goldman Sachs a fait l'acquisition de plus de 30 centrales pour un montant supérieur à 4 milliards de dollars dans deux états des États-Unis d'Amérique.
électro-magnétique nécessite des moyens technologiques sans commune mesure avec les quantités produites à l'échelle des marchés. Elle peut être reconvertie en une autre forme d'énergie, mais à très fort coût et faible rendement. Cela implique que l'électricité ne peut être, une fois produite, considérée comme un bien consommable ou revendable à loisir dans un futur proche ou éloigné. Ce fait implique un changement de paradigme si nous souhaitons appliquer les méthodes de nance mathématique car la possession d'un actif est nécessaire pour la gestion du risque de son prix, cf. [Vehvilainen 02].
Un second corollaire découle de ce qui précède. De la quasi-immédiateté et de la commo-dité de sa fourniture, il apparait que la demande d'électricité est essentiellement motivée par son usage. Le prix d'achat devient alors un critère secondaire de consommation : la demande est localement inélastique aux variations de prix. La considérer comme une source exogène de risque dans des modèles de prix permet alors parfois des calculs ex-plicites, voir notamment [Barlow 02]. La demande d'électricité procède par un soutirage d'énergie disponible sur un réseau ouvert aux consommateurs. Comme l'électricité n'est pas stockable, la production doit correspondre à la demande de manière continue. D'autre part les réseaux de distribution d'électricité étant le seul moyen de transport de cette énergie, les marchés d'électricité sont des regroupements géographiquement localisés. La fourniture dépend donc de la répartition des noeuds de distribution physiques. Les prix peuvent ainsi varier d'une aire géographique à une autre selon les moyens de productions localement existant.
Les prix d'électricité sont ainsi in uencés par de nombreux facteurs physiques de pro-duction, mais également par l'organisation du marché. Dans une économie régulée ou sur un marché, le prix de l'électricité est xé en fonction du coût de production, et d'une règle de prix marginal local : Le fournisseur d'électricité calcule un prix virtuel pour une unité supplémentaire d'énergie à un noeud du réseau et utilise cet incrément du coût de production comme prix de vente. Ainsi, le coût de production est normalement amorti. Cette règle initiera au Chapitre 4 la construction d'un modèle structurel de prix.
L'impact sur les prix
Ces préliminaires sur le sous-jacent permettent de mettre en lumière les particularités des marchés d'électricité, par opposition aux autres marchés. En premier lieu, l'équilibre entre ore et demande ne pouvant être parfaitement et instantanément ajustés par la pro-duction, le marché spot désigne en réalité la xation du prix pour le lendemain. Comme la fourniture d'électricité se fait sous la forme d'une puissance et se vend sous forme d'énergie, 'électricité est vendue sur des périodes de temps, dont la granularité minimale
est l'heure. Le prix spot de l'électricité est donc un prix xé pour le lendemain sur des tranches horaires. La continuité du prix spot est donc une construction conceptuelle. La xation des prix dépend de la demande et du coût de production marginal au niveau de cette demande. La demande elle même dépendant de facteurs qu'il est raisonnable de considérer comme saisonniers et stationnaires (température, activité économique), les prix Spot re ètent ces propriétés. Le coût de production pouvant varier grandement d'une centrale de production à une autre, il n'est pas impossible d'observer sur le marché des phénomènes de très grande variation temporaire des prix. Ces sauts dénommés pics de prix, ainsi que la grande volatilité du prix Spot, représentent des di cultés supplémen-taires pour une représentation mathématique dèle du processus de prix.
La liste de ces particularités peut être retrouvée dans [Burger 04] ou [Coulon 09a]. Ces caractéristiques ont fait l'objet de nombreuses tentatives de modélisation stochastique. L'introduction d'une composante déterministe pour appréhender la saisonnalité des prix a été faite entre autres par [Lucia 02] ou [Cartea 05]. La modélisation des pics de prix ou la stationnarité à long terme ont été étudiées dans [Burger 04, Cartea 05] et [Benth 07a] à titre d'exemple. Ces caractéristiques sont désormais des critères de pertinence des modèles proposés dans la littérature. Nous jugerons de la pertinence du modèle du Chapitre 4 à l'aune de ces critères.
Les contrats nanciers assurant la livraison d'une quantité xée d'énergie pour une date future obéissent également à la règle de la granularité. Ces contrats dit futures ou forward (si négociés de gré à gré) sont en fait des contrats de type swap [Deng 06] couvrant des périodes xées de temps. Ces périodes sont liées naturellement au calendrier qui guide l'activité économique : elles décrivent les semaines, les mois, les trimestres ou les années du calendrier grégorien. A n d'assurer une liquidité su sante pour ses participants, le marché est organisé pour ne proposer qu'une partie des périodes possibles, en fonction de la taille de celle-ci et de son éloignement dans le temps. Encore une fois, l'impossibilité de stocker le sous-jacent empêche de reconstituer une structure par terme par des arguments d'arbitrage usuels. L'étude de ce problème fait l'objet du chapitre 5.
En n, le besoin de contrats couvrant des risques spéci ques a fait apparaitre des pro-duits dérivés de toute sorte, cf. [Deng 06] ou les monographies [Clewlow 00, Pilipovic 97]. Citons les options d'achat et de vente sur contrat Futures, dont la valorisation et la cou-verture partielle sont abordées dans le chapitre 5. Notons aussi l'exemple des contrats spread, dont les contributions de cette thèse ont en partie permis la valorisation, cf. [Aid 10].
Valorisation des produits dérivés sur le marché d'électricité
La théorie de valorisation par absence d'opportunité d'arbitrageLa théorie d'évaluation des actifs contingents par absence d'opportunité d'arbitrage, ou APT (pour Arbitrage Pricing Theory), permet, à partir d'une règle économique interdi-sant les pro ls sans risques, de déduire le ou les prix justes d'un produit dérivé. Celle-ci est développée de façon sommaire dans le chapitre 1 pour en introduire les résultats essen-tiels. Une des conditions fondamentales à l'application de cette théorie est la description de l'ensemble des portefeuilles réalisables. Les résultats de cette théorie sont en eet va-lables, et permettent la valorisation de produits dérivés, seulement si le sous-jacent est échangeable. Ce n'est toutefois pas le cas concernant le prix spot de l'électricité.
De façon informelle, il n'existe pas d'arbitrage s'il existe une probabilité sous laquelle le processus de prix est une martingale. En marché incomplet, cette probabilité peut ne pas être unique. Ici, quand bien même le prix de l'électricité n'autoriserait aucune probabilité équivalente martingale, aucun arbitrage n'est possible à partir d'un portefeuille constitué d'électricité. Le marché n'est donc même pas incomplet au sens habituel du terme ! Il n'est toutefois pas vrai qu'aucun contrôle n'est possible sur l'électricité. Un producteur peut en eet mettre en place une stratégie nancière avec un portefeuille de matières premières nécessaires à la production d'électricité d'une part, et par le contrôle de sa production d'autre part. Dans la première partie de cette thèse, nous proposons une ex-tension paramétrique de l'APT pour les producteurs d'électricité a n de leur permettre la valorisation de produits nanciers sur l'électricité. Cette condition est paramétrique parce qu'il n'existe pas de condition économique naturelle équivalente à l'absence d'op-portunité d'arbitrage pour un producteur. Il faut donc interdire d'une certaine manière, a priori, la possibilité de certains pro ts.
Dans la première partie, nous introduisons donc diérentes formes d'une condition éco-nomique imposée au producteur d'électricité, dont le portefeuille est préalablement dé ni comme un ensemble d'actifs nanciers échangeables sur un marché ou transformables se-lon une fonction de production donnée. Dans le chapitre deux, nous explorons de manière assez exhaustive la modélisation en temps discret avec coûts de transaction proportion-nels. Dans le troisième chapitre, nous proposons un critère de valorisation pour une classe générale de modèles de marché nancier.
Notre contribution est donc la suivante. Nous montrons mathématiquement que l'en-semble des richesses terminales atteignables par les portefeuilles précédement décrits est un ensemble fermé si la condition économique additionnelle est supposée. Cette
priété permet de proposer, dans le cas discret, une formulation duale de la condition économique. Dans les cas discrets et continus, nous obtenons une formulation duale pour l'appartenance d'une variable aléatoire à l'ensemble des richesses terminales atteignables. Ce théorème permet de déterminer quelle est la richesse initiale avec laquelle faire un portefeuille d'investissement-production qui permet de couvrir une option donnée. Nous illustrons ce résultat par des exemples. Nous dé nissons un système de production élec-trique contrôlable et proposons le prix de couverture d'un contrat futures sur l'électricité pour le possesseur de ce système de production.
Modèles structurels de valorisation
La littérature en mathématiques nancières portant sur la valorisation de produits déri-vés de l'électricité est vaste, répondant à des besoins spéci ques : prévision, couverture de risque, gestion optimale de production. Il est courant, cf. [Ventosa 05, Coulon 09b] ou [Carmona 11], de diviser la littérature en trois directions distinctes : la modélisa-tion stochastique des prix sous forme réduite, la modélisamodélisa-tion par fondamentaux et la modélisation structurelle.
La première direction s'attache à une modélisation endogène et synthétique du prix de l'électricité spot [Lucia 02, Benth 04, Cartea 05, Benth 07a, Benth 07b, Geman 02] ou des contrats futures [Lucia 02, Fleten 03, Kiesel 09]. Ces modèles permettent par l'estimation historique des paramètres ou par la calibration selon des données de marché d'extraire l'information des observations de prix pour simuler des trajectoires avec un réalisme certain et détecter des tendances. L'étude porte éventuellement sur la corrélation des prix d'électricité avec d'autres commodités, cf. [Frikhal 10].
La deuxième direction, à l'opposé, a pour objet la modélisation des moyens de productions et des contraintes physiques sur le système. Cette direction est moins répandue dans la littérature mais beaucoup plus utilisée dans l'industrie énergétique, qui dispose de nombreuses données sur la production. On citera la monographie [Kallrath 09] sur le sujet. Le réalisme fonctionnel de ces modèles contrebalance une complexité qui empêche bien souvent les calculs explicites. L'objectif de ces modèle est en eet la simulation du système électrique étudié pour des visées prédictives en gestion de production.
La troisième direction est une synthèse des deux premières. A l'instar de Barlow [Barlow 02], un grand nombre de modèles a été proposé, utilisant la demande d'électricité comme fac-teur de risque exogène et l'introduisant dans des modèles de production plus ou moins complexes, cf. [Eydeland 99], [Burger 04] ou [Cartea 08]. En introduisant des actifs échan-geables dans le processus de production, voir notamment [Coulon 09b] ou très récemment
[Carmona 11], il est possible d'obtenir des formules explicites de relation entre le prix d'électricité et les prix des commodités nécessaires à la production.
C'est cette approche que nous développons dans le premier chapitre de la seconde partie de cette thèse. En partant d'un modèle structurel qui utilise des informations publiques sur les capacités de production pour un marché donné, des prix de marché des commo-dités et la demande d'électricité, nous proposons un modèle de prix Spot de l'électricité possédant quelques particularités recherchées (pics, périodicité, clusters de volatilité). L'ensemble des directions de modélisation ont pour point commun de permettre la si-mulation des prix d'électricité à partir de facteurs exogènes ou non. La valorisation et la couverture des produits dérivés par le biais de ces modèles n'est toutefois pas l'ob-jectif principal. Seuls les modèles faisant apparaitre des relations simples entre le prix de l'électricité et ceux d'autres actifs nanciers permettent éventuellement d'inférer des stratégies de couverture.
L'approche proposée dans le chapitre 4 est d'utiliser une mesure de valorisation spéci que introduite dans le cadre de marché incomplet par Föllmer et Schweizer [Föllmer 91]. Nous réintroduisons alors la valorisation par espérance, et calculons le prix des contrats futures en relation avec le prix Spot. Cette méthode réutilisée dans [Aid 10] permet alors la valorisation de produits dérivés sur électricité non pas dans le cadre d'une couverture parfaite, mais celle donnée par la mesure de valorisation qui correspond à la minimisation du risque quadratique local.
Dans ce chapitre, notre contribution est la spéci cation de ce modèle sur l'exemple du marché français. Nous proposons des méthodes d'estimation statistique usuelles pour le modèle proposé, puis de calibration à partir des prix de contrat futures.
Incomplétude du marché à terme
Comme nous l'apercevons, l'impossibilité de stocker l'électricité empêche d'utiliser les mé-thodes classiques de valorisation nancière. Les relations d'arbitrage supprimées, l'étude de la structure par terme de l'électricité pose également des barrières qu'il n'est pas envisageable de franchir avec les méthodes usuelles.
Du au manque de nesse dans l'information sur la structure par terme, nous appelons ce problème celui de la granularité de la courbe de prix futures. Ce problème a été assez peu étudié dans la littérature, bien que sa considération soit précoce dans l'industrie électrique. Citons [Verschuere 03] dans le cas qui nous intéresse, à savoir le problème de couverture sur le marché à terme, et [Lindell 09] pour la considération de ce problème à
des ns de reconstitution de la structure par terme à granularité horaire.
Notre problématique dans le chapitre 5 est la gestion du risque lié à la possession d'une option sur un contrat futures non encore apparu. Pour traiter ce cadre de marché in-complet, nous proposons d'aborder le problème en terme de prime de risque liée à une fonction de perte. C'est ainsi l'occasion d'utiliser l'approche de cible stochastique en es-pérance introduite par [Bouchard 09]. Nous reprenons notamment avec une très légère généralisation l'application proposée dans cet article a n de proposer une stratégie de couverture du risque utilisant le contrat futures de granularité supérieure disponible. Dans la modélisation proposée, la forme d'incomplétude du marché est très spéci que. Elle correspond fortement à la dé nition donnée par Becherer [Becherer 01] de marché semi-complet : le marché composé des actifs disponibles est complet, c'est à dire qu'il est possible de couvrir parfaitement toute option ayant pour sous-jacent un actif dispo-nible sur le marché. L'approche par cible stochastique étant une approche directe, nous montrons que s'il est possible de se ramener par une espérance conditionnelle à un pro-blème en marché complet, alors le propro-blème peut être traité ensuite par une méthode de dualité exhibant la probabilité équivalente martingale. Le cadre de marché complet a eectivement été exploré de cette façon dans [Bouchard 09]. Par cette procédure, on exhibe de manière non arbitraire une mesure de probabilité équivalente martingale de marché, laissant toutefois le risque extérieur au marché évalué sous la probabilité his-torique. Dans l'idée, nous faisons alors le lien avec la mesure minimale de Föllmer et Schweizer introduite dans le chapitre précédent.
Pour nir, notre approche nous conduit à étudier une cible stochastique intermédiaire qui peut être non-explicite et nécessiter une résolution numérique. Grâce au principe de programmation dynamique, nous conservons un problème sous forme d'EDP non-linéaire. Nous proposons alors une résolution numérique de cette EDP par des méthodes de Monte-Carlo et des processus tangents. La représentation de Feynman-Kac de l'EDP linéaire est associée à une méthode de point xe utilisant les processus tangents pour le calcul des dérivés et du contrôle optimal. Bien que non formalisée, cette méthode s'avère e cace et ouvre une nouvelle piste de recherche dans la résolution numérique d'équations de type HJB.
Technical introduction
This thesis intends to treat some nancial pricing problems on deregulated electricity markets. By means of the theory of nancial mathematics, we attempt to formulate va-rious approaches of electricity futures contracts pricing. This thesis is divided in two parts. The rst part investigates Arbitrage Pricing Theory with an emphasis on the ma-thematical development of nancial markets with proportional transaction costs. In this part, we propose an economical condition allowing an investor with production possibili-ties to price and hedge derivatives on his production and the nancial market. We extend the fundamental results of Arbitrage Pricing Theory to that case. The second part of this these is composed of two chapters developing speci c models of electricity futures prices for hedging purposes. The rst one proposes a structural model of electricity spot prices. This allows to evaluate futures prices formation and hedging by alternative assets. The second one treats the incompleteness of the term structure of electricity prices. We focus on the control of loss on a derivative product upon unknown futures prices. The common ground is the exhibition of a speci c equivalent martingale measure for pricing purposes. We also use the related expectation operators for explicit or numerical resolution.
Arbitrage pricing with production possibilities
In the rst part, we consider the situation of an investor with production possibilities. This is essentially motivated by the economical assumption that electricity is a non-storable good. It consequently forbids to consider nancial portfolios based on electricity spot price. Since electricity markets are still mostly constituted of electricity producers, it is viable to take the approach of an electricity provider. This is a micro economical point of view where the electricity spot price is exogenous to the agent.
We consider the set X of portfolio strategies under a general form Vt= ξt+ Rt(βt)
where ξt will denote a usual self- nancing portfolio composed of nancial assets, and
Rt(βt) is the net return of production controlled by a process β. The return function
Rt will thus transform a consumed quantity of assets β into a new position Rt(βt).
It is formally a generalization to general orders of nancial (selling or buying) orders, when they are introduced in an elementary way (see [Bouchard 06] and [De Vallière 07] for a useful formulation in the incomplete information case in markets with proportional transaction costs). We oppose here the linear structure of nancial orders to the non-linear general structure of industrial transformation. A direct problem appears immediately : production returns are not bounded with an economical assumption such as the absence of arbitrage on a nancial market. This raises two natural questions. The rst one is how to de ne an economical assumption similar to the no-arbitrage condition and the second one questions the possible assumptions on the production function in order to have fundamental properties for X under this new condition.
After introducing the fundamental results of Arbitrage Pricing Theory in chapter 1, we consider in the second chapter of this part the latter questions in a speci c market setting. The material dimension of production incites us to express the manipulated quantity of assets in units. This is indeed done in the particular treatment of markets with proportional transaction costs. It started with [Kabanov 02] and has been repeatedly used after that, see the monograph [Kabanov 09] for a complete presentation. This costs are widespread on every type of nancial market. Moreover, the linearity of all the considered objects in this framework underlines the mathematical treatment of non-linearity we introduce with production possibilities. The introduction of non-linearity actually follows [Bouchard 05] where the authors introduce a non-linear industrial asset. In the latter, the robust no-arbitrage condition of [Schachermayer 04] is extended to non-linear assets in order to prove the closedness property of the set of attainable terminal wealth, and then to have existence in the portfolio optimization problem. The dual characterization of the robust no-arbitrage condition in the non-linear context has recently been done in [Pennanen 10] for illiquidity matters. All these studies were done in the discrete time setting, allowing to handle very general conditions on the non-linear framework. See also Kabanov and Kijima [Kabanov 06] and the references therein for the particular consideration of industrial investment.
The main distinction between our work and the above research is that we do not consider industrial assets in the latter sense. Contrary to pure nancial assets, industrial assets cannot be short-sold. Moreover, they produce at each period a (random) return, labelled in terms of pure nancial assets, which depend on the current inventory in industrial
sets. This model is well-adapted to industrial investment problems but not to production issues, since the production regime does not appear as a control. What we propose is a general framework of investment-production possibilities. The investment possibilities are given by a model of a nancial market and/or possible nancial strategies. The pro-duction possibilities are given by an endomorphism R on the set of assets in the nancial market. The production asset can transform some asset into others, with possible random factors (prices, failures).
The contribution of the second chapter is then a re-edition of the closedness property and its corollaries for this class of models. The main novelty is that we do not use the robust no-arbitrage condition any more, as in [Pennanen 10]. As we said, there is no economical justi cation for the absence of sure pro ts for a producer selling its production on a market. We thus introduce an extended version of the no sure pro t condition of [Rásonyi 10] for linear production function, which can be used to allow limited pro ts for a general production function. This condition of absence of arbitrage of the second kind is particularly well suited to our extension, and avoid to prove the closedness property at rst. We thus propose a dual characterization of this condition (a fundamental theorem of asset pricing) with a direct proof, and then we prove the key property of closedness for the set of terminal attainable wealth. We then explore, as corollaries, the super-hedging theorem under many additional assumptions and the portfolio optimization problem. The extension of this class of models to continuous time or frictionless market is the object of Chapter 3. In this chapter, we want to propose a very general and exible condition for investor-producers such as before. For this purpose, we propose an abstract nancial setting which includes the main classes of nancial models : frictionless markets with general semimartingales [Schachermayer 04], càdlàg price processes subject to strictly positive proportional transaction costs [Campi 06] and discrete time markets with convex transaction costs [Pennanen 10]. The attempt to model a great variety of situations draws its inspiration from [Denis 11b] and [Denis 11c]. By focusing on the production condition only, we can propose a general nancial setting where the no-arbitrage condition of the nancial market is expressed by its dual formulation, namely, the existence of a martingale de ator. We provide examples of applications in order to ensure that the general model suits to applications.
The counterpart of a general nancial setting is that we have to impose strong conditions on the production. First of all, we reduce to the case of a discrete time control on the portfolio process. Although it keeps a realistic value, we were not able to extend the discrete time framework to a continuous or impulse-control setting of production
possibilities. We comment this question in the chapter. Then, the production function has to be concave and bounded. The concavity assumption is a direct consequence of the available convergence theorems for sequences of random objects in the continuous time setting, see Theorems 1.2.3 and 1.2.4 in chapter 1. It ensures the convexity of the set, which is a fundamental assumption in the theory. The boundedness assumption is introduced in order to keep the admissibility property of portfolios. In continuous time, this property is essential as we rely on the concept of Fatou-closure of considered sets, from which it is possible to obtain the weak* topology closure, see Theorem 1.2.7 below. In chapter 3, we propose a exible parametric condition on production pro ts. It is also based on the no sure pro t condition fashion, and allows for variations in its expression. Under this condition, we extend the closedness property of the set of possible nancial terminal positions to positions allowing production pro ts. The corollary, which is of central interest here, is the super-hedging theorem. As in the previous chapter, we provide an application to an electricity producer willing to price an electricity futures contract .
Speci c pricing measures for electricity derivatives hedging
The second part of this thesis includes two chapters, both being application of nancial mathematics to electricity futures contracts. Chapter 4 presents a structural model of electricity Spot price depending on storable assets used in the production in order to obtain futures prices under some speci c risk neutral measure. Chapter 5 is an application of the stochastic target approach to the risk premium associated to the holding of an option upon a non-tradable futures contract.
A structural model of electricity prices
The objective of this chapter is to present a model for electricity spot prices and the corresponding forward contracts, which relies on the underlying market of fuels, thus avoiding the electricity non-storability restriction. The structural aspect of our model comes from the fact that the electricity spot prices depend on the dynamics of the elec-tricity demand at any instant, and on the random available capacity of each production means. Our model explains, in a stylized fact, how the prices of dierent fuels together with the demand combine to produce electricity prices. This modelling methodology al-lows one to transfer to electricity prices the risk-neutral probabilities of the market of fuels and, under the hypothesis of independence between demand and outages on one hand, and prices of fuels on the other hand, it provides a regression-type relation
ween electricity forward prices and fuels forward prices. Moreover, the model produces, by nature, the well-known peaks observed on electricity market data. In our model, spikes occur when the producer has to switch from one technology to another. Numerical tests performed on a very crude approximation of the French electricity market using only two fuels (gas and oil) provide an illustration of the potential interest of this model.
Considering the electricity spot market, we start from an aggregated bid-ask equilibrium of a competitive market. As a fundamental assumption, see Barlow's model [Barlow 02] for a complete explanation, we will assume that the demand is inelastic. The direct conse-quence is that the electricity spot price on the market is only related to the aggregated oer function where the level of production is xed by the demand variable. The electri-city spot price Pt will depend on several other random variables St (commodity prices,
generation capacity, failure,...) and will be seen as a general function of the demand : Pt= f (Dt, St)
Since this demand is a non-tradable risk factor, the considered market will be incom-plete. There are two well-known consequences. First of all, this implies that the perfect replication of contingent claims is not possible (at least at a reasonable price). Secondly, standard results in Arbitrage Pricing Theory assess that the set of equivalent martingale measures is not reduced to a singleton. This implies an in nite number of no-arbitrage prices for a claim. This is where we introduce the so-called minimal martingale mea-sure. This speci c measure was rst introduced by Föllmer and Schweizer [Föllmer 91] to partially hedge any claim in incomplete market. In our context, it will be used to price widespread contracts on electricity : forward and futures contracts.
Under this probability measure, the asset price process for fuels is a martingale, whereas the dynamics for Demand and the failure probabilities remain the same. This is a speci c incomplete market setting where the market composed of tradable assets is supposed to be complete. This market is then augmented to satisfy the representation of risks induced by the model.
In this chapter, our contribution stands in the explicitness of a simple structural mo-del with two combustibles, estimation of production parameters with public data and parameters calibration with futures prices. In this fashion, we exhaust the exploitation of the model and provide dierent guidelines for further enhancement. Indeed, the pro-posed model obtains interesting new results and oers many perspectives for further developments. We see three dierent areas to explore. First, the supposed competitive equilibrium on the spot market could be changed to take into account possible strategic
bidding. This feature could provide a measure to the possible deviation of forward elec-tricity prices from their equilibrium due to frictions on the spot. Second, the spot market could be extended to a multizonal framework to take into account the fact that electricity is exchanged between dierent countries and that a spot price is formed in each country. Finally, the relation linking forward electricity prices to forward fuels prices could be extended to a wider class of contingent claims. This point has been investigated recently in [Aid 10] for the pricing of spread options. We hope to develop these other points in future papers.
Controlling loss with a cascading strategy on electricity Futures contracts
In chapter 5, we face a speci c source of unhedgeable risk, given by the apparition of a futures price at an intermediary date between the present and the term of an option based upon this precise contract. we decide to adopt here the approach of [Bouchard 09] : the stochastic target with a target in expectation. By this bias, we try to control in expectation a risk criterion given by a threshold.
The stochastic target is a control problem where the terminal condition T is given and the objective is to nd the viability set before T . It has been initiated by Soner and Touzi [Soner 02a, Soner 02b] for target reaching in the almost sure sense. In [Bouchard 09], Bouchard, Elie and Touzi generalized the approach to targets in expectation, in order to provide a stochastic control formulation of the quantile hedging problem. It also has been extended in several directions : for jump-diusion processes in [Bouchard 02] and [Moreau 11], for the obstacle version in [Bouchard 10] and the general semimartingale framework with constraints in [Bouchard 11a]. Signi cantly, the equivalence with a stan-dard control problem has been noticed in [Bouchard 12]. We actually use this property in our context.
In chapter 5, we follow the application provided in [Bouchard 09], with minor modi ca-tions. We indeed use a speci c model for the apparition of the new futures contract that comes close to the de nition of semi-complete market, see [Becherer 01]. This setting al-lows, by using a conditional expectation, to retrieve a complete market setting and thus use the approach of [Bouchard 09] with full power. This allows to provide an interme-diary target and a new problem under the standard form. However, the main drawback is that this condition is non-explicit in most cases. This is why we propose a heuristic method for solving numerically non-linear PDEs based on probabilistic methods. Since we try to fully exploit the expectation formulation of the value function of the problem, we propose a mixed method based on the Feynman-Kac representation of a linear PDE
and tangent processes in order to obtain partial derivatives. A xed point algorithm is used to nd the optimal control. The method appears to be very e cient since it avoids the curse of dimensionality of the PDE.
The contributions are thus the following. Theoretically, we provide the extension of the complete market solution of loss control rst given in [Bouchard 09] to speci c incomplete markets based on risk factors independent to the market and arriving at deterministic times. In practice, we provide a numerical method for the general resolution of the non-linear PDE associated to the stochastic target problem. We also apply this method to the initial problem of controlling loss on a portfolio endowed with an option on a non-existing contract.
Chapitre 1
Arbitrage Pricing Theory and
fundamental results
This introductory chapter is motivated by self countenance of the thesis. We rst recall the purpose of Arbitrage Pricing Theory. We follow two monographs of reference, which are [Delbaen 06] and [Kabanov 09]. One can nd a good historical introduction of this theory in Part 1 of the rst book and Chapter 2 of the second one. We focus on the special case of markets with proportional transaction costs, which underlies the rst part of the thesis, and a speci c martingale measure in incomplete markets which is of use in Chapter 4 and in relation with semi-complete markets introduced in Chapter 5. In a second time, we introduce the fundamental results of Measure Theory, Probability and Arbitrage Pricing Theory on which we rely repeatedly in the Thesis.
Speci c notations
These notations concern the whole thesis. Speci c notations are introduced in the context if needed.
Unless otherwise speci ed, any element x ∈ Rd will be viewed as a column vector with
entries xi, i ≤ d, and transposition is denoted by x0 so that x0y stands for the natural
scalar product. We write Md to denote the set of square matrices M of dimension d with
entries Mij, i, j ≤ d. The identity matrix is denoted by I
d. As usual, Rd+ and Rd− stand
for [0, ∞)d and (−∞, 0]d. The closure of a set Θ ⊂ Rn is denoted by ¯Θ, n ≥ 1. We write
cone(Θ) (resp. conv(Θ)) to denote the cone (resp. convex cone) generated by Θ. Given a ltration F on a probability space (Ω, F, P) and a set-valued F-measurable family A = (At)t≤T, we denote by L0(A, F) the set of adapted processes X = (Xt)t≤T such that
Xt ∈ At P − a.s. for all t ≤ T . For a σ-algebra G and a G-measurable random set A, we write L0(A, G)for the collection of G-measurable random variables that take values in A
P − a.s. We similarly de ne the notations Lp(A, G) for p ∈ N ∪ {∞}, and simply write Lp if A and G are clearly given by the context. Unless otherwise speci ed, inequalities between random variables or inclusion between random sets have to be understood in the a.s. sense.
1.1 Arbitrage Pricing Theory
Arbitrage Pricing Theory has for purpose to seek pricing rules for nancial instruments based on an economical assumption made on the nancial market. In nuce, it intends to derive the existence of a fair pricing rule from a mathematical formulation of the absence of arbitrage on the nancial market. Formally, when the nancial market prices are represented by a process S, the no-arbitrage property for this market holds if and only if there exists a stochastic de ator, i.e., a strictly positive martingale ρ such that the process Z := ρS is a martingale. The process Z can then be seen as the market price of assets with which agents shall price derivative products. It is the core of mathe-matical applications to nance. This result is commonly expressed by the existence of a measure equivalent to the historical probability under which price processes are (local) martingales. It allows an incredible amount of applications to derivative pricing and risk hedging, the most commonly known being the seminal and pathbreaking paper of Black and Scholes [Black 76].
The theoretical side of this branch of applied mathematics is focused on such a rule, trying to link martingale theory to no-arbitrage arguments. It is almost all contained in one result known as the Fundamental Theorem of Asset Pricing (FTAP). By introducing several imperfections in the market, or portfolios constraints, in order to improve the model representation of the economical reality, several variants of the FTAP can be expressed. This was rst established for the discrete time and nite probability space framework by Harrison & Pliska [Harrison 81]. Starting from results of Harrisson & Kreps [Harrison 79], extension to the in nite probability space is proved by Dalang, Morton and Willinger [Dalang 90]. Then follows a long line of contributions, see [Delbaen 06] and the references therein.
Let us denote by X(T ) the set of possible terminal wealth that is attainable with self- nancing portfolios starting with a zero wealth. A no arbitrage condition expresses a condition on the possible outcomes of X(T ). For example, if X(T ) is composed of real
outcomes, the no-arbitrage condition of the rst kind can informally be written as : NA : X(T ) ∩ R+= {0} .
The FTAP thus expresses an equivalence between such a mathematical expression and a dual condition providing the martingale de ator ρ of the previous paragraph. When there exists a unique process ρ, the market is said to be complete. In general, the martingale de ator ρ is not unique, due to some frictions. It encompass the case of transaction costs, or unavailable assets or information.
1.1.1 The proportional transaction costs framework
A speci c and recent branch of the theory is the study of nancial markets subject to transaction costs. Transaction costs are market frictions that can be observed on all nancial markets. The dierence between a bid price and the ask price, which can be indierently credited to transaction costs or liquidity matters, fundamentally changes the way to model nancial strategies. Take the case of proportional transaction costs. Commonly, a nancial portfolio V is represented by a stochastic integral with respect to the asset price S, where the integrand ν represents the strategy (the amount of money put in the risky asset). When the agent is subject to proportional transaction costs λ on buying and selling orders, the portfolio shall be written
Vt= x + Z t 0 νsdSs− Z t 0 λSsd|ν|s .
Therefore, strictly positive proportional transaction costs force the strategy to be a nite variation process, whereas frictionless markets allow for a quadratic variation process ν. The set of portfolio processes is totally dierent from the frictionless case, and so is X(T ). A geometrical representation, introduced by Kabanov [Kabanov 99] for currency mar-kets, has emerged as consequence. It follows from the observation that with proportional transaction costs, the expression of the wealth is sensitive to the numéraire in which it is expressed. Therefore, it is more convenient to express exchange rates between currencies, or assets, and holdings in quantity of assets, than to reduce to a single wealth value, which is virtual if the exchange rates evolve through time. By directing the exchange rate from an asset to another, we are also able to make a distinction between bid ans ask prices, and to introduce random proportional transaction costs. We introduce then the following notations. If the market contains d assets, we denote by πij the quantity of
asset i necessary to obtain one unit of asset j. πij is an adapted random process. It will
be reintroduced in the introduction of the next chapter. Formally, it allows to de ne a random region of the space Rd :
Kt(ω) := conv πij(ω)ei− ej, ei; i, j ≤ d
, (1.1.1)
where ei stands for the i-th unit vector of Rd de ned by eki = 1i=k. This region is a
random closed convex cone indexed by t. It denotes the solvency region, i.e., the set of possible portfolio positions that can be modi ed by an allowed transaction in order to be non-negative in every component (every asset holding). In the literature, this geometrical object has almost replaced the notion of price. Indeed, portfolio modi cations are made by transfers of assets which are represented by vectors in −Kt. It induces a geometrical
vision that allows to use tools from convex analysis that we present in the Section 1.2. We refer to Kabanov and Safarian [Kabanov 09] for a wide overview of models with proportional transaction costs.
In markets with transaction costs, there are two possible expressions of arbitrage. One is the possibility to reach a solvent wealth non equivalent to zero (i.e. in R KT) with a
portfolio starting with a null wealth. The other is the possibility to reach a solvent position (i.e. in KT) with a portfolio starting from an insolvent position (not in K0). Whereas
the rst one is a direct adaptation of the no-arbitrage condition in the frictionless case, the second one is more speci c. This condition has been introduced by [Rásonyi 10] and is the object of study of the rst part of the Thesis.
Let (Ω, F, F = (Ft)t∈T, P) be a discrete time ltered stochastic basis, with T := {0, 1, . . . , T }.
We introduce a F-adapted process Kt which values are closed subsets of Rd, and which
is de ned by equation 1.1.1 above for all t ∈ T. We also de ne its polar cone Kt∗(ω) :=ny ∈ Rd+ : xy ≥ 0 ∀x ∈ Kt(ω)
o
and assume that intK∗
t 6= ∅ P-almost surely. This condition is called e cient frictions
and is assumed in the largest part of Chapter 2. It means that there are strictly positive transaction costs on every possible transfer. We then de ne
Xt(T ) := ( T X s=t ξs : ξs∈ L0(−Ks, Fs) for t ≤ s ≤ T )
the set of terminal attainable wealth with a self- nancing portfolio starting with a null wealth at time t. The no-arbitrage condition of second kind (called no sure gain in liquiditation value in [Rásonyi 10]) reads as follows.
De nition 1.1.1. There is no arbitrage of the second kind if for all 0 ≤ t ≤ T , ξ ∈ L0(Rd, Ft) and V ∈ Xt(T ),
ξ + V ∈ L0(KT, FT) =⇒ ξ ∈ L0(Kt, Ft) .
This de nition is partially recalled in Chapter 2. Part 1 relies heavily on this de nition of Arbitrage and we will see that it is possible to extend this de nition or transform it in the study of investment-production portfolios.
1.1.2 Equivalent martingale measures and incomplete market
As said before, the set of equivalent martingale measures is not unique in incomplete market. There is not a unique martingale de ator ρ such that Z := ρS is a martingale. Therefore, several pricing rules implies several no-arbitrage prices. In a frictionless mar-ket, the process ρ takes the form of a change of probability measure. Thus, in incomplete market, there are several probability measures Q, equivalent to the initial measure of the model, under which the process S is a (local) martingale. The following introductory sections recall implicit assumptions in Chapters 4 and 5.
The minimal martingale measure
This section intends to introduce the minimal martingale measure of Föllmer & Schweizer [Föllmer 91]. This measure is central in Chapter 4. We will also make the link with the semi-complete market setting, which is a special case of incomplete market. This paragraph is inspired from Schweizer [Schweizer 95, Schweizer 01].
Let (Ω, F, P) be a probability space equipped with a ltration F := (Ft)0≤t≤T satisfying
the usual assumptions (right-continuity and completeness), with T > 0 nite. Let S be a F-adapted Rd-valued càdlàg process.
De nition 1.1.2. A real-valued process ρ is a martingale density for S if ρ is a local P-martingale with ρ0= 1 P − a.s. and such that ρS is a local P-martingale.
In the above de nition (taken from [Schweizer 95]), it is always possible to take a càdlàg version of ρ. If S admits a martingale density ρ which is strictly positive (which is called a strict martingale density), then S is a P-semimartingale.
De nition 1.1.3. A Rd-valued P-semimartingale S satis es the structure condition (SC)
if it admits a canonical decomposition
S = S0+ M + A
with M ∈ M2
loc(P), Ai Mi Bwith Ai having predictable densities θi for i = 1 . . . d
and some given càdlàg increasing process B null at 0, and there exists λ ∈ L2
loc(M ) such that " dMi, Mj t dBt # 1≤i,j≤d · λt= " θitdM i t dBt # 1≤i≤d .
It is always possible to nd a process B as above. Schweizer [Schweizer 95] showed the following characterization of martingale densities.
Theorem 1.1.1. Assume that S satis es (SC). Then ρ ∈ M2
loc(P) is a martingale density
for S if and only if ρ satis es the stochastic dierential equation ρt= 1 −
Z t
0
ρs−λsdMs+ Rt 0 ≤ t ≤ T
for some R ∈ M2
0,loc(P) strongly orthogonal to Mi for i = 1 . . . d.
The natural interpretation is to see ρ as a change of measure. In the above theorem, one can take in particular R = 0, and ρ := E −b R λ · dM
is thus the density of a measure Qmin P with respect to P. If ρb is a martingale, then Q
min is called the minimal
local martingale measure for S. If in addition we suppose that ρbis square-integrable, Qmin is called the minimal martingale measure for S. This probability measure satis es several criteria which are not detailed here. We provide here a su cient condition for the uniqueness of Qmin (Theorem 7 in [Schweizer 95]). It also justi es the appellation of
minimal measure.
Theorem 1.1.2. Assume that S is continuous. Then it admits a strict martingale density if and only if S satis es (SC). In that case, if
H(Qmin|P) := EQmin log dQ dP F < +∞, then Qmin is the unique minimizer of H(Q|P) −1
2EQR λ · dM T
over all non nega-tive Q P such that dQ
dP
F
t
is a martingale density for S satisfying EQR λ · dM T <
+∞.
It is thus possible to identify the minimal (local) martingale measure given this criterion. In Chapter 4, we directly propose the equivalent martingale measure Qmin for the asset
prices S. It appears from the above construction that in the nancial setting, the minimal martingale measure aects the dynamics of the price S (which depends on the process
M) but let unchanged the orthogonal part in F. This property is commented in Chapter 4. Note that if R λ · dM T is deterministic, Qmin is also the unique minimizer of
D(Q, P) :=
Var dQ dP
1/2
over all equivalent local martingale measures Q of P with dQ dP ∈ L
2(R∗
+, P). This is the
case in the proposed model in Chapter 4. The semi-complete market framework
Now, we bene t from the above notations to introduce the semi-complete market frame-work. This concept is used in Chapter 5. In his Thesis, Becherer [Becherer 01] de nes a semi-complete market model as a complete nancial sub-market and additional inde-pendent sources of risk. In what follows, we take the de nitions from [Bouchard 11b]. Let us de ne the ltration FS
t := σ {Ss : 0 ≤ s ≤ t}. We assume without loss of
gene-rality that (FS
t )0≤t≤T is completed and right-continuous. The ltration (FtS)t is thus a
sub ltration of F, representing the information coming from the nancial market. De nition 1.1.4. The nancial market is complete if
EQ[H] = EQ
0
[H] for all Q, Q0 ∈ M(P) and all H ∈ L∞(R, FTS) .
Considering the above de nitions, De nition 1.1.4 implies that for any martingale den-sities ρ and ρ0 for S being true martingales, we have that
Eρt|FtS = E ρ0t|FtS
.
We nish this section by quickly saying that the minimal martingale measure appears in the semi-complete market setting in portfolio optimization problems, see [Becherer 01] and [Bouchard 11b].
1.2 Fundamental results
Arbitrage Pricing Theory has oered great improvements in the general theory of sto-chastic processes. The questions it raises involves many tools from convex analysis and topology. We start with the leading example of the theory, which is that the FTAP often relies on the Hahn-Banach selection theorem. We propose here the geometrical version of Hahn-Banach theorem one can nd in [Brezis 83]. It will be used in Part 1.
Theorem 1.2.1 (Hahn-Banach selection theorem). Let A ⊂ E and B ⊂ E be two non-empty disjoint convex subset of E, a topological vector space. Suppose that A is closed and B is compact. Then there exists a closed hyperplane which separate A and B in the strict sense.
In the theory, the martingale de ator ZT will play the role of the hyperplane generator,
and A will denote the set of terminal attainable wealth of self nancing portfolios. It will be associated to Theorem 1.2.8 to be applied to random sets. Nevertheless, we need the closedness property of this set to apply the theorem. This is where Arbitrage Pricing Theory provides enhancements.
1.2.1 Convergence lemmata
Let us rst introduce a fundamental result [Komlós 67]. Theorem 1.2.2 (Komlos theorem). Let (ξn)
n≥1 be a sequence of random variables on
(Ω, F , P) bounded in L1, i.e., with supnE [|ξn|] < ∞. Then there exists a random variable
ξ ∈ L1 and a subsequence (ξnk)
k≥1 Césaro convergent to ξ a.s., that is, k−1Pki=1ξni →
ξ a.s. Moreover, the subsequence (ξn) can be chosen in such a way that any further subsequence is also Césaro convergent to ξ a.s.
A fundamental result as a generalization of Komlos Theorem is due to Delbaen and Schachermayer [Delbaen 94].
Theorem 1.2.3. Let (ξn)
n≥1 be a sequence of positive random variables. Then there
exists a sequence ηn ∈conv {ξm, m ≥ n} and a random variable η with values in [0, ∞]
such that ηn→ η a.s.
The notation conv is used to de ne a closed convex set generated by the given elements. This theorem has recently been extended by Campi and Schachermayer [Campi 06] to be applied to nite variation predictable processes de ned on a nite time interval [0, T ] and a ltered probability space (Ω, F, F, P).
Theorem 1.2.4 (Campi-Schachermayer theorem). Let Vn be a sequence of nite
varia-tion, predictable processes such that the corresponding sequence (VarT(Vn))n≥1 is bounded
in L1 under some probability Q ∼ P. then there exists a sequence Wn∈conv {Vm, m ≥ n}
such that Wn converges for a.e. ω for every t ∈ [0, T ] to a nite variation predictable
process W0.
Here, VarT(V)denotes the total absolute variation of the process V on [0, T ]. This
theo-rem is the essence to prove the closedness property of the set of attainable claims. 24
