Experimental study of hydraulic ram effects on a liquid storage tank: Analysis of overpressure and cavitation induced by a high-speed projectile

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Experimental study of hydraulic ram effects on a liquid

storage tank: Analysis of overpressure and cavitation

induced by a high-speed projectile

Nicolas Lecysyn, Aurélia Bony-Dandrieux, Laurent Aprin, Frederic Heymes,

Pierre Slangen, Gilles Dusserre, Laurent Munier, Christian Le Gallic

To cite this version:

Nicolas Lecysyn, Aurélia Bony-Dandrieux, Laurent Aprin, Frederic Heymes, Pierre Slangen, et al..

Experimental study of hydraulic ram effects on a liquid storage tank: Analysis of overpressure and

cavitation induced by a high-speed projectile. Journal of Hazardous Materials, Elsevier, 2010, 178

(1-3), pp.635-643. �10.1016/j.jhazmat.2010.01.132�. �hal-02012164�

E x p eri m e nt al st u d y of h y dr a uli c r a m eff e ct s o n a li q ui d st or a g e t a n k: A n al y si s

of o v er pr e s s ur e a n d c a vit ati o n i n d u c e d b y a hi g h- s p e e d pr oj e ctil e

Ni c ol a s L e c y s y n

_{, A ur éli a B o n y- D a n dri e u x}

_{, L a ur e nt A pri n}

_{, Fr é d éri c H e y m e s}

_{, Pi err e Sl a n g e n}

_,

Gill e s D u s s err e

_{, L a ur e nt M u ni er}

_{, C hri sti a n L e G alli c}

a_{E c ol e d es Mi n es d’ Al ès, 6, a v e n u e d e Cl a vi èr es, 3 0 3 1 9 Al ès C e d e x, Fr a n c e}

b_{C e ntr e d’ ét u d es d e Gr a m at, C o m miss ari at à l’ E n er gi e At o mi q u e, 4 6 5 0 0 Gr a m at, Fr a n c e}

K e y w or ds: H y dr a uli c r a m C at a str o p hi c f ail ur e C a vit ati o n Ri s k s

a b s t r a c t

T hi s w or k i s p art of a pr oj e ct f or e v al u ati n g c at a str o p hi c t a n k f ail ur e s c a u s e d b y i m p a ct s wit h a hi g h- s p e e d s oli d b o d y. Pr e vi o u s st u di e s o n s h o c k o v er pr e s s ur e a n d dr a g e v e nt s h a v e pr o vi d e d a n al yti c al pr e di c-ti o n s, b ut t h e y ar e n ot s uf fi ci e nt t o e x pl ai n ej e cc-ti o n of li q ui d fr o m t h e t a n k. T hi s st u d y f o c u s e s o n t h e h y dr o d y n a mi c b e h a vi or of t h e li q ui d aft er c olli si o n t o e x pl ai n s u b s e q u e nt ej e cti o n of li q ui d. T h e st u d y i s c h ar a ct eri z e d b y u s e of hi g h- v el o cit y pr oj e ctil e s a n d a n al y si s of pr oj e ctil e d y n a mi c s i n t er m s of e n er g y l o s s t o t a n k c o nt e nt s. N e w t e st s w er e p erf or m e d at t w o pr oj e ctil e v el o citi e s ( 9 6 3 a n d 1 2 5 5 m s− 1_{) a n d}

o v er a r a n g e of vi s c o siti e s (fr o m 1 t o 2 3. 6 6 m P a s) of t h e t ar g et li q ui d. B a s e d o n d at a o bt ai n e d fr o m a hi g h-s p e e d vi d e o r e c or d er, a p h e n o m e n ol o gi c al d e h-s cri pti o n i h-s pr o p o h-s e d f or t h e e v ol uti o n of i nt e n h-s e pr e h-s h-s ur e w a v e s a n d c a vit ati o n i n t h e t ar g et li q ui d s.

1. I nt r o d u cti o n

D uri n g p a st w ar s, h y dr a uli c r a m s w er e i n v e sti g at e d t o a v oi d c at a str o p hi c f ail ur e of f u el c ell s i n air cr aft t h at w er e s u bj e ct e d t o b alli sti c i m p a ct. I n t o d a y’ s g e o p oliti c al c o nt e xt, s o m e st or a g e t a n k s ar e e x p e ct e d t o b e t ar g et s f or t err ori st s. T h e s e at m o s p h eri c li q-ui d st or a g e t a n k s ar e c o m m o nl y u s e d i n c h e mi c al pl a nt s, a s t a n k er tr u c k s, a n d t o st or e g a s oli n e a n d f ertili z er s; t h e f ail ur e of s u c h t a n k s c o ul d h a v e s eri o u s c o n s e q u e n c e s o n t h e e n vir o n m e nt, i n cl u di n g t o xi c a n d fl a m m a bilit y eff e ct s. T a n k f ail ur e s c o ul d b e i niti at e d b y a hi g h e n er g y b ur st, l e a di n g t o a n e x pl o si o n t h at pr o d u c e s a s h o c k-w a v e a n d t h er m al eff e ct s.

1. 1. Pr o bl e m st at e m e nt

C at a str o p hi c t a n k f ail ur e w a s st u di e d d uri n g t h e A p oll o s p a c e pr oj e ct t o u n d er st a n d d a m a g e m e c h a ni s m s t h at c o ul d b e i n d u c e d b y m et e orit e s i m p a cti n g s p a c e cr aft f u el c ell s [ 1]. T e st s w er e c arri e d o ut b y firi n g h y p er v el o cit y pr oj e ctil e s (fr o m 1 3 0 1 t o 6 4 0 0 m s− 1₎

i nt o w at er t a n k s. I n t h o s e st u di e s, r e s e ar c h er s w er e p arti c ul arl y i nt er e st e d i n e v al u ati n g d a m a g e m e c h a ni s m s c a u s e d b y h y dr a uli c r a m s. A h y dr a uli c r a m c o m bi n e s a n u m b er of e v e nt s, a s ill u str at e d s c h e m ati c all y i n Fi g. 1 . ( 1) W h e n t h e pr oj e ctil e e nt er s t h e t a n k, t h e t a n k w all m a y cr a c k d u e t o t h e hi g h pr e s s ur e a n d str e s s e s

∗ C orr es p o n di n g a ut h or. T el.: + 3 3 4 6 6 7 8 2 7 6 6; f a x: + 3 3 4 6 6 7 8 2 7 0 1. E- m ail a d dr ess: ni c ol a s.l e c y s y n @ e m a.fr ( N. L e c y s y n).

n e ar t h e e ntr y p oi nt, a n d ( 2) a s h o c k w a v e i s f or m e d. A s t h e pr oj e ctil e tr a v er s e s t h e fl ui d, ( 3) hi g h pr e s s ur e i s g e n er at e d, a n d e n er g y i s i m p art e d t o t h e fl ui d t hr o u g h pr oj e ctil e dr a g. ( 4) T hi s e n er g y s et s t h e fl ui d i n m oti o n, f or mi n g a c a vit y. ( 5) B ot h t h e fl ui d m oti o n a n d t h e s u b s e q u e nt c a vit y gr o wt h a n d c oll a p s e i m p o s e str e s s e s o n t a n k w all s. Fi n all y, if t h e pr oj e ctil e h a s s uf fi ci e nt ki n eti c e n er g y, it will e xit t h e t a n k. A s it e xit s, ( 6) a l o c al ar e a of c o m-pr e s s e d fl ui d i s f or m e d, a n d ( 7) cr a c k s ar e m-pr o d u c e d i n t h e w all ar o u n d t h e e xit h ol e. T hi s p h e n o m e n o n h a s b e e n t h e s u bj e ct of i n v e sti g ati o n s i nt o s ur vi v a bilit y of f u el c ell s i n milit ar y air cr aft [ 2 – 6].

T hi s bri ef d e s cri pti o n d e m o n str at e s t h e c o m pl e x p h y si c al m e c h-a ni s m s t h h-at c o ntri b ut e t o h-a h y dr h-a uli c r h-a m. U si n g fl ui d d y n h-a mi c s h-a n d o n e- di m e n si o n al e q u ati o n s of st at e, it i s p o s si bl e t o d e s cri b e t hi s p h e n o m e n o n a n al yti c all y. T h e pr e s e nt a p pr o a c h i s t o d et er mi n e a s o ur c e t er m f or li q ui d ej e cti o n d u e t o i m p a ct o n a t a n k. 1. 2. T h e or eti c al b a c k gr o u n d T h e si m pli fi e d di a gr a m i n Fi g. 1 s h o w s t hr e e m aj or e v e nt s c o n-tri b uti n g t o a h y dr a uli c r a m: ( a) a pr oj e ctil e i m p a ct s a t a n k w all, pr o d u ci n g a hi g h- pr e s s ur e s h o c k w a v e i n t h e fl ui d, ( b) t h e pr oj e c-til e tr a v er s e s t h e fl ui d, tr a n sf erri n g e n er g y t o t h e fl ui d a n d f or mi n g a c a vit y, ( c) t h e pr oj e ctil e e xit s t h e t a n k, c o m pr e s si n g fl ui d n e ar t h e r e ar w all a n d cr a c ki n g t h at w all. A c o m pl et e a n al yti c d e s cri pti o n of a h y dr a uli c r a m r e q uir e s a n a n al yti c c h ar a ct eri z ati o n of e a c h of t h e s e e v e nt s.

N o m e n cl at u r e

Ac c a vit y cr o s s- s e cti o n al ar e a ( m2)

Ap pr oj e ctil e cr o s s- s e cti o n al ar e a, f or s p h eri c al pr oj e

c-til e Ap = d2p/ 4 ( m2)

Cx dr a g c o ef fi ci e nt of pr oj e ctil e

Cx( 0) dr a g c o ef fi ci e nt wit h o ut c a vit ati o n

Cx(K ) dr a g c o ef fi ci e nt wit h c a vit ati o n

Cp s o u n d v el o cit y i n pr oj e ctil e m at eri al ( m s− 1)

Cl s o u n d v el o cit y i n fl ui d ( m s− 1)

dm a x c a vit y m a xi m u m di a m et er ( m)

dp pr oj e ctil e di a m et er ( m)

g gr a vit ati o n al a c c el er ati o n ( m s− 2₎

h h ei g ht of li q ui d at s h ot l e v el a xi s ( m) K c a vit ati o n p ar a m et er

m p m a s s of pr oj e ctil e ( k g)

m m a s s of di s pl a c e d li q ui d d uri n g p e n etr ati o n ( k g) n1, n2 r efr a cti o n i n d e x e s of m e di u m 1 a n d 2

l fl ui d vi s c o sit y ( P a s)

p0 i niti al st ati c pr e s s ur e at a xi s l e v el of t h e pr oj e ctil e

( P a) p st ati c pr e s s ur e at a xi s l e v el of t h e pr oj e ctil e ( P a) pv li q ui d v a p or pr e s s ur e ( P a) R e R e y n ol d s n u m b er rc c a vit y di a m et er ( m) l fl ui d d e n sit y ( k g m− 3) p pr oj e ctil e d e n sit y ( k g m− 3) sp H u g o ni ot sl o p e c o ef fi ci e nt of pr oj e ctil e m at eri al Sl H u g o ni ot sl o p e c o ef fi ci e nt of fl ui d t ti m e ( s)

1, 2 r e s p e cti v el y i n ci d e nt a n d r efr a cti v e a n gl e s (r a d)

u a xi al gr o wt h v el o cit y of c a vit y ( m s− 1₎

uc r a di al gr o wt h v el o cit y of c a vit y ( m s− 1)

up 0 pr oj e ctil e v el o cit y b ef or e i m p a ct ( m s− 1)

up pr oj e ctil e v el o cit y aft er i m p a ct ( m s− 1)

us s h o c k fr o nt v el o cit y ( m s− 1)

Vp pr oj e ctil e v ol u m e, f or a s p h eri c al pr oj e ctil e Vp =

4 d3 p/ 3 ( m3)

1. 2. 1. S h o c k w a v e

A s d e s cri b e d b y H ol m [ 3], w h e n a hi g h- s p e e d pr oj e ctil e i m p a ct s a t a n k, d y n a mi c str e s s e s ar e g e n er at e d a n d tr a n s mitt e d t hr o u g h t h e w all. T h e s e str e s s e s ar e c a u s e d b y t h e p e n etr ati o n a n d p erf or a-ti o n a n d t a k e t h e f or m of c o m pr e s si v e a n d cir c u mf er e na-ti al b e n di n g str e s s e s i n t h e w all. A s t h e pr oj e ctil e p erf or at e s t h e t a n k, it a c c el-er at e s t h e fl ui d dir e ctl y a h e a d of t h e i m p a ct p oi nt: b ef or e i m p a ct

Fi g. 1. Pr o p o s e d s e q u e n c e of e v e nt s o c c urri n g d uri n g a h y dr a uli c r a m.

Fi g. 2. R a pi d d e cr e a s e i n i m p a ct s h o c k pr e s s ur e wit h di st a n c e ( a d a pt e d fr o m H ol m [ 3]).

t h e fl ui d i s at r e st, b ut at t h e i n st a nt aft er i m p a ct, t h e fl ui d i s m o v-i n g at t h e v el o cv-it y of t h e pr oj e ctv-il e. T hv-i s s u d d e n a c c el er atv-i o n of t h e fl ui d g e n er at e s a n i nt e n s e pr e s s ur e fi el d b o u n d e d b y a s h o c k w a v e. T a n k w all str e s s e s ar e i n d u c e d b y t hi s pr e s s ur e fi el d w hi c h, w h e n a d d e d t o t hi s d y n a mi c str e s s e s, c a n c a u s e c at a str o p hi c f ail ur e of t h e e ntr y w all. T h e s h o c k- w a v e pr e s s ur e fi el d e x p a n d s i n a h e mi s p h er-i c al s h a p e a w a y fr o m t h e er-i m p a ct p oer-i nt wer-it h a v el o cer-it y gr e at er t h a n t h at of s o u n d i n t h e fl ui d.

T o w n s e n d et al. [ 6] h a v e st u di e d s u p er- v el o cit y i m p a ct s o n air cr aft f u el c ell s fill e d wit h w at er. T h e y u s e d 3. 5 a n d 7 g h ar d-e n d-e d st d-e d-el, c u bi c pr oj d-e ctil d-e s m o vi n g at v d-el o citi d-e s fr o m 1 0 0 0 t o 3 0 0 0 m s− 1_{; t h e y m e a s ur e d o v er pr e s s ur e s i n t h e t ar g et t a n k of}

u p t o 5 0 0 b ar. E x p eri m e nt al t a n k s di m e n si o n s w er e r e s p e cti v el y 5 3 5 m m × 2 0 5 m m × 1 5 0 m m a n d 4 2 3 m m × 3 2 0 m m × 2 5 0 m m ( h ei g ht × wi dt h × d e pt h). T h e y pr o p o s e d a n a n al yti c al m o d el t h at d e s cri b e s s h o c k- w a v e d y n a mi c s, b a s e d o n t h e H u g o ni ot – R a n ki n e r el ati o n s: us= Cl+ Slup ( 1) T hi s r el ati o n s h o w s t h at t h e v el o cit y usof t h e s h o c k fr o nt i s gr e at er t h a n t h e s p e e d of s o u n d Cli n t h e fl ui d. It i s k n o w n t h at b ot h t h e v el o cit y of t h e s h o c k fr o nt a n d t h e i nt e n sit y of t h e r el at e d pr e s s ur e fi el d v ar y dir e ctl y wit h t h e a m o u nt of e n er g y t h at t h e pr oj e ctil e tr a n sf er s t o t h e fl ui d d uri n g i m p a ct. B or g et al. [ 7] h a v e p erf or m e d t e st s u si n g a 1 9 g al u mi n u m pr oj e c-til e i m p a cti n g a t a n k fill e d wit h tri b ut yl p h o s p at e; i m p a ct v el o citi e s v ari e d fr o m 2 1 0 0 t o 4 1 0 0 m s− 1_{. B a s e d o n ( 1), B or g pr o p o s e d t h at} t h e i m p a ct pr e s s ur e c a n b e writt e n a s p = lClup + lSlu2p ( 2) U si n g ( 2), B or g c o ul d c o m p ut e t h e v el o cit y dr o p o n i m p a ct. N ot e t h at ( 2) r el at e s t h e s h o c k o v er pr e s s ur e t o t h e pr oj e ctil e i m p a ct e n er g y ( ≈ u2 p). Alt h o u g h t h e p e a k pr e s s ur e at i m p a ct i s hi g h, t h e pr e s s ur e fi el d w e a k e n s r a pi dl y b e c a u s e of t h e g e o m etri c e x p a n si o n of t h e s h o c k w a v e. A n e x p eri m e nt al e x a m pl e of t hi s pr e s s ur e att e n u ati o n i s pr o-vi d e d b y H ol m [ 3] a n d i s s h o w n i n Fi g. 2 . St e p k a et al. [ 1] h a s st u di e d i m p a ct s o n t a n k s w hi c h w er e 6 1 c m2 _{b y 3 0. 5 c m or a c u b e 3 0. 5 c m}

o n a s si d e. F or a 0. 9 g st e el c yli n d er i m p a cti n g wit h a v el o cit y of 4 2 7 0 m s− 1_{, St e p k a et al. [ 1] f o u n d t h e pr e s s ur e t o b e 4. 6 3 × 1 0}9_{P a}

at a di st a n c e of 0. 0 1 9 m fr o m i m p a ct, b ut t h e pr e s s ur e dr o p p e d t o a m bi e nt at 0. 1 3 m fr o m t h e i m p a ct p oi nt. T h e y al s o f o u n d t h at, f or t h e s a m e ti m e aft er i m p a ct, s m all hi g h- v el o cit y pr oj e ctil e s l o s e a l ar g er p art of t h eir ki n eti c e n er g y t h a n m or e m a s si v e, l o w- v el o cit y pr oj e ctil e s. T h e s e r e s ult s i n di c at e t h at, e v e n f or hi g h- v el o cit y a n d hi g h- ki n eti c e n er g y pr oj e ctil e s, t h e si d e a n d r e ar w all s of e x p

er-i m e nt al t a n k s ar e n ot s u bj e ct e d t o ser-i g ner-i fi c a nt pr e s s ur e s fr o m t h e s h o c k w a v e.

I n s u m m ar y, t h e s h o c k w a v e cr e at e d b y a h y dr a uli c r a m i s c h ar-a ct eri z e d b y ar-a n i nt e n s e pr e s s ur e fi el d of s h ort d ur ar-ati o n ( 1 0 0 s) c o m p ar e d t o t h e dr a g pr e s s ur e p h a s e. It i s e s s e nti all y a “ p oi nt s o ur c e ” e n er g y r el e a s e t h at r e s ult s i n a n e x p a n di n g, h e mi s p h eri-c all y s h a p e d, pr e s s ur e w a v e fr o nt t h at e m a n at e s fr o m t h e p oi nt of i m p a ct. T h e ki n eti c e n er g y of t h e pr oj e ctil e i s t h e m o st i m p ort a nt p ar a m et er i n d et er mi ni n g t h e s p e e d of pr o p a g ati o n a n d str e n gt h of t h e s h o c k fr o nt. T hi s pr e s s ur e p ul s e c o ntri b ut e s t o t a n k f ail ur e m ai nl y w h e n s m all hi g h- v el o cit y pr oj e ctil e s i m p a ct a st or a g e t a n k. 1. 2. 2. Dr a g pr ess ur e

A n y s urf a c e i n c o nt a ct wit h a fl o wi n g fl ui d i s s u bj e ct t o a dr a g f or c e e x ert e d b y t h e fl ui d. A f or c e b al a n c e s h o w s t h at t hi s dr a g f or c e d e cr e a s e s t h e v el o cit y of t h e pr oj e ctil e. T hi s pr o bl e m h a s b e e n st u d-i e d b y St e p k a et al. [ 1]. T h e y fir e d s u p er- v el o cd-it y pr oj e ctd-il e s d-i nt o t a n k s fill e d wit h w at er a n d m e a s ur e d pr oj e ctil e v el o citi e s a n d fl ui d pr e s s ur e s at diff er e nt p oi nt s i n t h e t a n k. T h e n St e p k a et al. a n al y z e d t h e d at a, st arti n g wit h N e wt o n’ s s e c o n d l a w i n t h e f or m pVpd u_dtp(t) = − 1₂Cx(t) lApu2p(t) ( 3) I n ( 3) t h e li q ui d i s a s s u m e d i n c o m pr e s si bl e a n d Cxi s a c o n st a nt, Ap a n d Vp ar e c o m p ut e d f or a s p h eri c al b o d y. T h e s ol uti o n t o ( 3) i s up(t) = up 0 1 + 3 4Cx( lup 0/ pdp)t ( 4)

T hi s r el ati o n d e s cri b e s t h e d e c a y of pr oj e ctil e v el o cit y; i n a n ot h er w or d s, dr a g f or c e s di s si p at e e n er g y fr o m t h e pr oj e ctil e t o t h e fl ui d.

B or g et al. [ 7] a s s u m e d t h at Cxi s n ot c o n st a nt b ut, i n st e a d, v ari e d

wit h ti m e; t h e n t h e y s ol v e d ( 3) n u m eri c all y u si n g a R u n g e- K utt a s c h e m e. M or e o v er, t h e y u s e d t h e H u g o ni ot – R a n ki n e r el ati o n t o q u a ntif y t h e pr oj e ctil e v el o cit y d e c a y. W e h a v e c o m p ut e d pr oj e ctil e v el o cit y d e c a y wit h B or g’ s a p pr o a c h a n d h a v e c o m p ar e d it t o r e s ult s c o m p ut e d wit h E q. ( 4) a n d fi n d n o di sti n g ui s h a bl e diff er e n c e s (l e s s t h a n 2 %).

1. 2. 3. C a vit y f or m ati o n a n d gr o wt h

C a vit ati o n i s a g e n er al t er m u s e d t o d e s cri b e t h e f or m ati o n of b u b bl e s i n a m o vi n g li q ui d. S hi et al. [ 8] h a v e u s e d e x p eri m e nt al vi s u ali z ati o n t o d e s cri b e t hi s p h e n o m e n o n. T h e y s h ot pr oj e ctil e s v erti c all y i nt o a t a n k fill e d wit h w at er a n d u s e d a s h a d o w gr a p h s y st e m t o vi s u ali z e c a vit ati o n.

A s a pr oj e ctil e m o v e s t hr o u g h a li q ui d, a pr e s s ur e diff er e nti al e xi st s b et w e e n t h e h e a d ( st ati c pr e s s ur e p0) a n d t h e w a k e of t h e

pr oj e ctil e. If t h e pr e s s ur e i n t h e w a k e r e a c h e s t h e v a p or pr e s s ur e of t h e li q ui d ( pv), b u b bl e s c a n f or m. N ot e t h at up h a s a n i m p ort a nt

v al u e c o m p ar e t o pva n d p0 w hi c h i m pli e s c a vit ati o n p ar a m et er K

d e cr e a s e s, a n d t h e c a vit y di a m et er i n cr e a s e s. T hi s p h e n o m e n o n i s c all e d s u p er c a vit ati o n b y K n a p p et al. [ 9]. A n a n al yti c al d e s cri pti o n h a s b e e n pr o p o s e d b y B at c h el or [ 1 0] a n d b y K n a p p et al. [ 9]: K = p₁0− pv

2 lu2p

( 5) S u p er c a vit ati o n i s e x p e ct e d t o i n fl u e n c e t h e dr a g f or c e a p pli e d t o t h e s oli d b o d y, c o m p ar e d t o o n e wit h o ut c a vit ati o n. A s cit e d b y S hi et al. [ 8], B at c h el or pr o p o s e d a li n e ar a p pr o xi m ati o n f or t h e dr a g c o ef fi ci e nt of a n u n d er w at er b o d y i n a n a xi all y s y m m etri c fl o w: Cx(K ) = Cx( 0)( 1 + K ) ( 6)

It i s a s s u m e d t h at ( 6) i s v ali d f or l o w K v al u e s. F or a hi g h- v el o cit y pr oj e ctil e ( u p t o 1 0 0 0 m s− 1_{) s h ot i nt o a n at m o s p h eri c t a n k fill e d}

wit h w at er, t h e r ati o b et w e e n t h e st ati c v a p or pr e s s ur e a n d t h e d y n a mi c pr e s s ur e b e c o m e s s m all ( ≈ 1 0− 6_{). I n s u c h c a s e s, c a vit y}

Fi g. 3. A xi al a n d r a di al gr o wt h of c a viti e s.

di m e n si o n s al s o i n fl u e n c e t h e h y dr a uli c r a m. I n d e e d, t h e f or m a-ti o n a n d gr o wt h of a g a s p h a s e i n t h e t a n k i n cr e a s e s t h e pr e s s ur e, w hi c h c o ntri b ut e s t o vi ol e nt ej e cti o n of li q ui d fr o m t h e t a n k.

S elf a n d Ri p k e n, a s cit e d b y K n a p p et al. [ 9], h a v e st u di e d s u p er-c a vit ati o n t o e m p h a si z e t h e r el ati o n b et w e e n er-c a vit y di m e n si o n s a n d t h e c a vit ati o n p ar a m et er K . R ei c h ar dt [ 1 1], cit e d b y K n a p p et al. [ 9], f o u n d t hi s r el ati o n b et w e e n dr a g a n d c a vit y di a m et er:

dm a x

dp =

Cx(K )

K ( 1 − 0 .1 3 2 K1/ 2₎ ( 7)

T hi s s e mi- e m piri c al r el ati o n s h o w s t h at w h e n K i s s m all, c a vit y di m e n si o n s ar e l ar g e, a n d t h e n t h e g a s p h a s e cr e at e d i n t h e t a n k i s i m p ort a nt; i n f a ct, t h e r e s ult c a n b e c at a str o p hi c ej e cti o n of li q ui d t hr o u g h t h e br e a c h f or m e d b y pr oj e ctil e i m p a ct.

H el d [ 1 2] h a s pr o p o s e d a m o d el, i niti all y f o u n d b y S z e n dr ei [ 1 3], t h at a p pli e s t o s u p er c a vit ati o n i n d u c e d b y a j et- s h a p e d c h ar g e i n a li q ui d- fill e d t ar g et. T h e B er n o ulli r el ati o n c a n b e u s e d t o r el at e t h e st ati c pr e s s ur e p t o t h e a xi al gr o wt h v el o cit y of a c a vit y:

p = lu2

2 + lg h ( 8)

S z e n dr ei [ 1 3] a s s u m e d t h at t h e a xi al gr o wt h v el o cit y i s t h e s a m e a s t h e r a di al o n e. T hi s h a s b e e n e x p eri m e nt all y c h e c k e d ( Fi g. 3 ). R e ar-r a n gi n g ( 8), t h e ar-r a di al gar-r o wt h v el o cit y of t h e c a vit y c a n b e e x par-r e s s e d a s drc dt = uc ≈ u = 2 p l − 2 g h ( 9)

Alt h o u g h p c h a n g e s a s t h e pr oj e ctil e p e n etr at e s t h e li q ui d, S z e n dr ei [ 1 3] a s s u m e d t h at t h e f or c e ( p Ac) a p pli e d t o t h e pr oj e ctil e r e m ai n s c o n st a nt; t h e n, p = p0.A_Ap c ≈ p0 d2 p 4 r2 c ( 1 0) If p0 i s t h e i niti al st ati c pr e s s ur e, it s v al u e i s h ar dl y a s l ar g e a s t h e pr e s s ur e of t h e st ati c u n di st ur b e d li q ui d, w hi c h c a n b e n e gl e ct e d. S o, a p pl yi n g t h e B er n o ulli r el ati o n, p = p(up 0₂− uc)2 ( 1 1) H el d [ 1 2] a s s u m e d t h at t h e c a vit y gr o wt h v el o cit y i s pr o p orti o n al t o t h e pr oj e ctil e v el o cit y,

uc= up

1 + l/ p

Fi g. 4. E x p eri m e nt al s et u p f or t h e D G A t e st s. T hi s h y p ot h e si s a p pli e s i n t hi s c a s e ( Fi g. 3 ), s o c o m bi ni n g ( 1 0), ( 1 1) a n d ( 1 2) gi v e s p = d2p lu2p 8 r2 c( 1 + l/ p)2 ( 1 3) S u b stit uti n g t hi s e x pr e s si o n f or p i nt o ( 9), w e fi n d d rc d t = d2 pu2p 4 r2 c( 1 + l/ p)2 − g h = Au2p r2 c − 2 g h ( 1 4)

T h e pr oj e ctil e v el o cit y i s gi v e n a n al yti c all y b y ( 4), w hi c h w e n o w writ e a s up = _{1 + ( 3u} up 0 p 0Cx l/ 4 pdp)t = up 0 1 + Bt ( 1 5) S o c o m bi ni n g ( 1 5) wit h ( 1 4) l e a v e s drc dt = A u2 p 0 r2 c( 1 + Bt )2 − 2 g h ( 1 6) w h er e A a n d B ar e gi v e n b y A = d2p 4( 1 + l/ p)2 ( 1 7) B = 3 u₄p 0Cx l pdp ( 1 8)

Fi g. 5. C yli n dri c al ( a) a n d c u bi c ( b) t ar g et v e s s el s wit h vi s u ali z ati o n s cr e e n s.

Fi n all y, a p pl yi n g E ul er’ s fi nit e- diff er e n c e r el ati o n f or s m all t, ( 1 6) c a n b e writt e n a s rc(t + dt ) = rc(t) + A u2 p 0 r2 c( 1 + Bt )2 − 2 g h. t ( 1 9) 2. A p p a r at u s a n d m et h o d s 2. 1. E x p eri m e nt al d e vi c e

T e st s w er e p erf or m e d i n w hi c h a hi g h- v el o cit y pr oj e ctil e i m p a ct e d a li q ui d- fill e d t a n k. A g u n w a s u s e d t o a c c el er at e a s m all s p h eri c al pr oj e ctil e a n d a hi g h- s p e e d r e c or di n g d e vi c e (fr o m 4 0 0 0 t o 5 0, 0 0 0 fr a m e s p er s e c o n d (f p s) wit h a m m o ni u m h y dr o xi d e (T a bl e 1 )) w a s u s e d t o r e c or d t h e pr o gr e s s of t h e pr oj e ctil e t hr o u g h t h e li q ui d. T h e e x p eri m e nt al s et u p i s ill u str at e d i n Fi g. 4 . T hi s e x p er-i m e nt al d e ver-i c e er-i s l ar g el y d et aer-il e d er-i n [ 1 6] (Fer-i g s. 5 – 7 ). 2. 2. Pr oj e ctil e v el o cit y m e as ur e m e nt Vi d e o s e q u e n c e s w er e pr o c e s s e d t o e n h a n c e i m a g e s of pr oj e c-til e di s pl a c e m e nt [ 1 7]; t h e e n h a n c e m e nt s c o n si st e d of filt eri n g, er o di n g, a n d t hr e s h ol di n g e a c h i m a g e of s h ot g u n s e q u e n c e s. T h e e x p o s ur e ti m e ( 1/ 3 0, 0 0 0 s) of t h e c a m er a w a s l o n g e n o u g h ( c o m-p ar e d t o t h e ti m e of fli g ht of t h e m-pr oj e ctil e) t o r e c or d a n “ o m-pti c al s m e ar ” ( Fi g. 8 ). T h e l e n gt h of t h e “ o pti c al s m e ar ” di vi d e d b y t h e ti m e b et w e e n t w o fr a m e s ( 3 0, 0 0 0 f p s) pr o vi d e s t h e pr oj e ctil e v el o cit y. T h e a c c ur a c y of t hi s pr o c e d ur e d e p e n d s o n t h e o pti c al a b err ati o n s d e s cri b e d i n t h e pr e vi o u s s e cti o n.

T h er ef or e, w e w er e a bl e t o o bt ai n pr oj e ctil e v el o citi e s b ot h b ef or e a n d aft er i m p a ct, t h er e b y o bt ai ni n g t h e d e c a y of v el o cit y i n t h e v e s s el. N ot e, h o w e v er, t h at t h e pr oj e ctil e v el o cit y w a s n ot m e

Fi g. 7. Li g ht- diff u si n g s cr e e n a n d t o p c a m er a.

Fi g. 8. O pti c al m e a s ur e m e nt of pr oj e ctil e v el o cit y. At ri g ht i s a pr oj e ctil e a b o ut t o e nt er t h e t ar g et, at l eft t h e pr oj e ctil e i s l e a vi n g t h e t a n k.

s ur e d i n t h e li q ui d b e c a u s e s u c h m e a s ur e m e nt s w o ul d b e aff e ct e d b y o pti c al r efr a cti o n fr o m t h e li q ui d a n d fr o m t h e tr a n s p ar e nt w all s; i n c yli n dri c al v e s s el s, v el o cit y m e a s ur e m e nt s i n t h e li q ui d w o ul d b e f urt h er d e gr a d e d b y r efr a cti o n fr o m t h e cir c ul ar w all s. I n st e a d, t h e a v er a g e v el o citi e s of pr oj e ctil e s w er e m e a s ur e d i n air, w h er e e n er g y l o s s d u e t o dr a g i s i n si g ni fi c a nt c o m p ar e d t o d e c el er ati o n i n t h e li q-ui d (f or v er y s h ort ti m e i nt er v al s). C o n s e q u e ntl y, t h e e x p eri m e nt al v el o citi e s o bt ai n e d fr o m t hi s o pti c al t e c h ni q u e ar e t h e i niti al a n d fi n al v el o citi e s of t h e pr oj e ctil e cr o s si n g t h e t a n k.

2. 3. C a vit y gr o wt h m e as ur e m e nt

C a vit ati o n cr at er di a m et er s w er e m e a s ur e d fr o m hi g h- s p e e d i m a gi n g r e c or d s (Fi g. 9 ). T o q u a ntif y t h e e x p eri m e nt al u n c ert ai nt y, li g ht r efr a cti o n w a s t a k e n i nt o a c c o u nt, a s s h o w n i n Fi g. 1 0 , n1 si n 1 = n2si n 2 ( 2 0)

Fi g. 1 1 s h o w s a t w o- di m e n si o n al i nt er pr et ati o n of li g ht r efr a cti o n d uri n g t h e s e t e st s. N ot e t h at t h e l o n g er t h e p at h f oll o w e d b y li g ht t hr o u g h t h e t a n k w all, t h e m or e a li g ht r a y di v er g e s. C o n s e q u e ntl y, t h e err or d u e t o r efr a cti o n i s mi ni mi z e d f or p oi nt s al o n g t h e t ar-g et s y m m etr y a xi s a n d m a xi mi z e d f or p oi nt s cl o s e t o t h e w all s. H o w e v er, t h e di st a n c e fr o m t h e c a m er a ( d ) t o t h e t ar g et i s l ar g e Fi g. 9. M e a s uri n g t h e gr o wt h i n di a m et er of a c a vit y. Fi g. 1 0. S c h e m ati c of li g ht b ei n g r efr a ct e d a s it l e a v e s o n e m e di u m a n d e nt er s a n ot h er. Fi g. 1 1. T o p- vi e w s c h e m ati c s h o wi n g r efr a ct e d li g ht a s o b s er v e d b y c a m er a ( a d a pt e d fr o m S err a d eill [ 2 2]). c o m p ar e d t o t h e di a m et er ( ˚ ) of t h e t a n k, a n d t h e r ati o c a n b e e x pr e s s e d b y ˚ d = 5 0 0 8 5 4 0 = 6 × 1 0− 2 ≈ si nsi n 21 ⇒ 1 2 ( 2 1)

Fi g. 1 2. ( a, l eft) Pr oj e ctil e p e n etr ati o n a n d c a vit y f or m ati o n i n a c yli n dri c al v e s s el fill e d wit h w at er. ( b, ri g ht) S a m e a s i n ( a) b ut i n a c u bi c v e s s el. H er e, t h e s h o c k w a v e i s cl e al y vi si bl e. I n b ot h c a s e s t h e i niti al pr oj e ctil e v el o cit y w a s 1 2 5 5 m s− 1_.

Fi g. 1 3. T hr e e p h a s e s of a h y dr a uli c r a m. ( a) A pr oj e ctil e i m p a ct s t h e v e s s el a n d p e n etr at e s t h e w all, ( b) a c a vit y f or m s a n d gr o w s b e hi n d t h e pr oj e ctil e i n t h e li q ui d a n d ( c) t h e c a vit y c o nti n u e s t o gr o w e v e n aft er t h e pr oj e ctil e h a s e xit e d t h e t a n k. H er e t h e i niti al v el o cit y of t h e pr oj e ctil e w a s 1 2 5 5 m s− 1_.

C o n s e q u e ntl y, t h e e sti m at e d err or i s a b o ut 6 %, t o w hi c h o pti c al a b err ati o n s ( 2 %) m u st b e a d d e d.

3. R e s ult s a n d di s c u s si o n 3. 1. D es cri pti o n of t h e p h e n o m e n a

U si n g t h e vi d e o s r e c or d e d d uri n g e a c h t e st, s u c h a s i n Fi g. 1 2 , w e c a n i d e ntif y t h e f oll o wi n g p h a s e s of t h e p h e n o m e n o n: ( a) t h e pr oj e ctil e i m p a ct s t h e v e s s el, ( b) t h e pr oj e ctil e p e n etr at e s t h e v e s s el w all a n d a h y dr a uli c r a m b e gi n s t o f or m ( Fi g. 1 2 a), ( c) t h e pr oj e ctil e cr o s s e s t h e v e s s el i n a b o ut 8 0 0 s a n d d uri n g t hi s ti m e a c a vit y f or m s (Fi g. 1 2 b) a n d ( d) t h e c a vit y gr o w s o v er a p eri o d of a b o ut 5 m s ( Fi g. 1 2 c).

S h ortl y aft er i m p a ct, Fi g. 1 3 a s h o w s a s h o c k w a v e f or mi n g i n fr o nt of t h e pr oj e ctil e a n d b e gi n ni n g t o pr o p a g at e t hr o u g h t h e li q-ui d. T h e o pti c al diffr a cti o n of t h e gri d s h a d o w s h o w s t h at li q q-ui d i s p ert ur b e d b y t h e s h o c k w a v e, w hi c h m o v e s at cl> up. T h e n a c a vit y

f or m s b e hi n d t h e pr oj e ctil e (Fi g. 1 2 b); t hi s i s c a u s e d b y air fr o m t h e at m o s p h er e w hi c h i s e ntr ai n e d b y t h e pr oj e ctil e [ 8]. T h e v ol-u m e of t hi s c a vit y i n cr e a s e s q ol-ui c kl y, p ert ol-ur bi n g t h er m o d y n a mi c e q uili bri u m [ 9] a n d cr e ati n g a n e g ati v e pr e s s ur e wit h a c o n s e q u e nt air v a c u u m i n t h e c a vit y [ 1 8]. N o w pr oj e ctil e dr a g cr e at e s a pr e s-s ur e diff er e nti al b et w e e n t h e fr o nt a n d r e ar of pr oj e ctil e. W h e n t h e pr e s s ur e at t h e r e ar of t h e pr oj e ctil e r e a c h e s t h e li q ui d v a p or pr e s s ur e, t h e c a vit y i s f urt h er e nl ar g e d. A n ot h er si g ni fi c a nt p h e-n o m e e-n o e-n o c c ur s w h e e-n t h e pr oj e ctil e e e-nt er s t h e li q ui d: a s pl a s h f or m s at t h e li q ui d b o u n d ar y o n b ot h si d e s of t h e v e s s el (Fi g. 1 2 c). T hi s i s attri b ut e d t o t h e a d d e d m a s s of air a n d o v er pr e s s ur e i n t h e v e s s el, w hi c h l e a d s t o ej e cti o n of li q ui d t hr o u g h b ot h t h e e ntr y a n d e xit h ol e s.

C a vit y gr o wt h b y air e ntr ai n m e nt c o nti n u e s u ntil t h e di a m et er i s a b o ut 0. 2 m, w hi c h i s a b o ut t w e nt y ti m e s m or e t h a n t h e pr oj e ctil e di a m et er. T h e n, aft er t h e pr oj e ctil e h a s cr o s s e d t h e li q ui d, c a vit y

gr o wt h c o nti n u e s u ntil t h e di a m et er i s a b o ut 0. 5 m, w hi c h i s h alf t h e h ei g ht of t h e v e s s el.

It i s w ort h n oti n g t h at n o o s cill ati o n s ( c oll a p s e a n d r e b o u n d of c a vit y i n t h e w a k e of pr oj e ctil e) h a v e b e e n i d e nti fi e d i n t hi s st u d y, alt h o u g h t hi s p h e n o m e n o n i s cl a s si c all y d et e ct e d li k e i n [ 2 4]. T h at f a ct i s pr o b a bl y d u e t o e x p o s ur e ti m e a n d pr e s s ur e tr a n s d u c er s l o c ati o n, n ot a p pr o pri at e t o vi s u ali z e or r e c or d t hi s o s cill ati o n. 3. 2. Pr oj e ctil e v el o cit y l oss

T h e m o d el pr o p o s e d b y St e p k a et al. [ 1] f or l o s s of pr oj e ctil e v el o cit y i s c o m p ar e d t o e x p eri m e nt al p oi nt s i n Fi g. 1 4 . I n t hi s c a s e, v al u e s f or Cx h a v e b e e n c o m p ut e d u si n g t h e Br a u er r el ati o n [ 1 9]: Cx = 2 4_{R e} + 3 , 7 3√ R e − 4 .8 3 × 1 0− 3√ _{R e} 1 + 3 × 1 0− 6_{R e}3/ 2 + 0 .4 9 ( 2 2)

C a vit ati o n dr a g h a s n ot b e e n t a k e n i nt o a c c o u nt f or pr oj e ctil e v el o c-it y d e c a y, w hi c h s e e m s t o b e s uf fi ci e nt t o e x pl ai n t h e p h e n o m e n o n. It i s a s s u m e d t h at t h e c a vit ati o n p ar a m et er i s v er y s m all; t hi s p oi nt i s d e v el o p e d i n S e cti o n 3. 3 .

I n Fi g. 1 4 , t h e pr oj e ctil e v el o cit y i s pl ott e d a s a r ati o of i niti al t o fi n al v el o citi e s a n d t h e i n d e p e n d e nt v ari a bl e i s t a k e n t o b e t h e di m e n si o nl e s s i m p a ct p ar a m et er ( Cx lup 0t)/( pdp), a s pr o p o s e d b y

St e p k a et al. [ 1]. E x p eri m e nt al p oi nt s w er e c o m p ut e d fr o m o pti c all y m e a s ur e d v el o citi e s f or up 0 a n d Cx, li q ui d d e n siti e s a n d vi s c o siti e s

w er e t a k e n fr o m [ 1 4] a n d [ 1 5]. E q. ( 3) c a n b e r e s ol v e d o v er x , w e h a v e t o i ntr o d u c e it li k e: pVpd U_{d x}p d x_dt = pVpupd u_{d x}p = − 1₂Cx lApu2p ( 2 3) T h e n s e p ar at e v ari a bl e s a n d i nt e gr at e o v er x t o o bt ai n up(x ) = up 0e(− 3 Cx lx / 4dp) ( 2 4) K n o wi n g t h e cr o s si n g l e n gt h (t a n k di m e n si o n s r e d u c e d b y w all s t hi c k) a n d t h e a v er a g e pr oj e ctil e v el o cit y gi v e n b y ( 2 4), t h e cr o s si n g

Fi g. 1 5. R el ati o n b et w e e n c a vit y di a m et er a n d c a vit ati o n p ar a m et er. T a bl e 1 D e n sit y of a m m o ni u m h y dr o xi d e ( k g m− 3_). A m m o ni a m a s s fr a cti o n ( %) T e m p er at ur e (◦_C) 0 5 1 0 2 0 2 5 8 9 6 9. 5 9 6 8. 6 9 6 7. 7 9 6 5. 1 9 6 4. 0 1 2 9 5 6. 1 9 5 4. 8 9 5 3. 4 9 5 0. 1 9 4 8. 0 ti m e t c a n b e d et er mi n e d. T h e e x p eri m e nt al p oi nt s i n Fi g. 1 4 fit t h e m o d el, w hi c h m e a n s t h at ( 3) i s s uf fi ci e nt t o e x pl ai n t h e v el o cit y d e cr e a s e a n d, c o n s e q u e ntl y, t h e tr a n sf er of ki n eti c e n er g y t o t h e li q ui d. I n Fi g. 1 4 , t h e 1 0 % v erti c al err or b ar s a c c o u nt f or err or s i n t h e o pti c al m e a s ur e m e nt s ( S e cti o n 2. 2 ) a n d t h e 1 0 % h ori z o nt al b ar s a c c o u nt f or u n c ert ai nti e s i n li q ui d d e n siti e s a n d vi s c o siti e s. 3. 3. C a vit ati o n

V al u e s f or t h e c a vit ati o n p ar a m et er h a v e b e e n c al c ul at e d u si n g t h e st ati c pr e s s ur e at t h e a xi s l e v el of t h e pr oj e ctil e p at h i n t h e t ar-g et ( ≈ 3( × 1 03_{) P a), t h e li q ui d v a p or pr e s s ur e (≈ 2( × 1 0}3_{) P a), a n d t h e}

d y n a mi c pr e s s ur e c a u s e d b y li q ui d di s pl a c e m e nt i n t h e vi ci nit y of t h e pr oj e ctil e (≈ 5( × 1 08_{) P a); t h e r e s ult s w er e s m all v al u e s f or K}

(≈ 1 0− 5_{). T hi s c o n fir m s t h e n e gli gi bl e i n fl u e n c e of c a vit ati o n o n t h e}

dr a g c o ef fi ci e nt ( 5). H o w e v er, Fi g. 1 5 s h o w s t h e r el ati o n b et w e e n K a n d c a vit y di m e n si o n s, a s pr o p o s e d i n ( 7). Ot h er st u di e s o n s u p er c a vit ati o n p erf or m e d b y S elf a n d Ri p k e n [ 2 0] at l o w er v el o ci-ti e s ( 1 2 – 1 5 m s− 1_{) h a v e s h o w n t h e v ali dit y of t h e s e mi- e m piri c al}

r el ati o n pr o p o s e d b y R ei c h ar dt [ 1 1]. I n t hi s pr e s e nt st u d y, w e h a v e e xtr a p ol at e d t h e m o d el a n d r e p ort e d o ur e x p eri m e nt al p oi nt s (Fi g. 1 5 ), a g ai n c o n fir mi n g t h e v ali dit y of t h e m o d el.

A n ot h er a s p e ct of t hi s st u d y w a s t o q u a ntif y t h e d y n a mi c s of t h e g a s p h a s e c a u s e d b y s u p er c a vit ati o n, f or gr o wt h of t h e c a vit y i s e x p e ct e d t o c o ntri b ut e t o ej e cti o n of li q ui d fr o m t h e t a n k. T h u s, H el d’ s m o d el [ 1 2] i s c o m p ar e d t o o ur e x p eri m e nt al d at a i n Fi g. 1 6 . T h e m o d el pr e di ct s a r a pi d i niti al i n cr e a s e i n c a vit y di a m et er w hi c h i s att e n u at e d aft er 2 0 0 s. T h e e x p eri m e nt al d at a fit t h e m o d el w ell d uri n g t h e i niti al p h a s e, b ut t h e d at a c o nti n u e t o i n cr e a s e at l o n g er ti m e s w hil e t h e m o d el pr e di ct s t h at t h e gr o wt h r at e sl o w s. O pti c al r efr a cti o n c o ul d b e a s o ur c e of u n c ert ai nti e s; h o w e v er, n ot e t h at air dr a g, d e s cri b e d b y S hi et al. [ 8], i s n ot t a k e n i nt o a c c o u nt. 3. 4. I n fl u e n c e of c a vit ati o n o n li q ui d dis c h ar g e

Pr eli mi n ar y i n v e sti g ati o n s i n 2 0 0 5 ( Fi g s. 1 7 a n d 1 8 ) s u g g e st e d t h at c a vit ati o n aff e ct s li q ui d ej e cti o n m or p h ol o g y. T h e e x p

eri-m e nt al s et u p, w hi c h i s l ar g el y d et ail e d i n [ 1 6] a n d [ 2 1], i n v ol v e d s h o oti n g a hi g h- v el o cit y s p h er e ( v el o citi e s cl o s e t o 1 0 0 0 m s− 1_{) i nt o}

i n d u stri al st e el v e s s el s fill e d wit h w at er or a m m o ni u m h y dr o xi d e. T h e ai m of t h o s e e x p eri m e nt s w a s t o o b s er v e vi ol e nt li q ui d ej e c-ti o n d u e t o i m p a ct a n d t a n k f ail ur e. Hi g h- s p e e d vi d e o r e c or d er s w er e u s e d t o vi s u ali z e t h e p h e n o m e n o n ( Fi g. 4 ).

T w o i m p ort a nt f e at ur e s w er e o b s er v e d d uri n g t h e fir st 3 m s of li q ui d ej e cti o n (Fi g. 1 7 ): ( a) t h e c a vit y i s vi si bl e a n d s e e m s t o i n fl u-e n c u-e i niti al li q ui d j u-et m or p h ol o g y a n d ( b) t h u-e l o n git u di n al s h a p u-e of t h e br e e c h d o e s n ot h a v e a n y eff e ct at t hi s ti m e s c al e. Si d e vi e w s i n Fi g. 1 8 c o n fir m e d t h e s e o b s er v ati o n s: t h e i niti al li q ui d j et m or-p h ol o g y l o o k s li k e a s n a k e’ s t o n g u e a n d i s cir c ul ar. T hi s i s w h y w e h a v e tri e d t o c orr el at e c a vit ati o n di a m et er t o t h e “ s n a k e t o n g u e ” di a m et er. T h er ef or e, t hi s m o d el h a s b e e n u s e d t o pr e di ct i niti al j et s h a p e a s d e s cri b e d i n Fi g. 1 9 .

Fi g. 2 0 s y nt h e si z e s e x p eri m e nt al p oi nt s fr o m pr e vi o u s t e st s ( 2 0 0 6 a n d 2 0 0 7) i n w hi c h t h e e x p eri m e nt al s et u p w a s t h e s a m e a s t h at u s e d i n 2 0 0 5 [ 2 1]. T h e c orr el ati o n i s n ot i d e al, w hi c h c a n b e e x pl ai n e d b y t h e f a ct t h at c a vit ati o n i s n ot t h e o nl y e v e nt c o n-tri b uti n g t o i niti al j et m or p h ol o g y. M o m e nt u m e x c h a n g e b et w e e n t h e air p h a s e a n d li q ui d j et i s al s o e x p e ct e d t o pl a y a r ol e. T hi s h a s b e e n st u di e d m or e a c c ur at el y i n a n u m eri c al st u d y t h at u s e s a t w o- di m e n si o n al m ulti p h a s e m o d el [ 2 3] (T a bl e 2 ).

It i s i m p ort a nt t o n ot e t h at t h e s e t e st s s eri e s all o w st u d yi n g t h e p h e n o m e n o n at s m all s c al e c o m p ar e d t o l ar g er t a n k s i n a n i n d u s-tri al pl a c e. T w o el e m e nt s of di s c u s si o n c a n b e f o u n d i n [ 1 6]: • A di m e n si o n al st u d y h a s s h o w n t h at it i s p o s si bl e t o a n al y z e t h e pr o bl e m t h a n k s t o a s et of si x n o n- di m e n si o n al n u m b er s; T a bl e 2 P E G 4 0 0 vi s c o sit y a n d d e n sit y at 2 5◦_C.

P E G 4 0 0 m a s s fr a cti o n ( %) Vi s c o sit y ( m P a s) D e n sit y ( k g m− 3₎ 4 0 4. 8 3 1 0 6 5. 5 7 4 2 3. 6 6 1 1 2 1. 5

Fi g. 1 6. Gr o wt h i n c a vit y di a m et er o v er ti m e. (t o p) T ar g et w a s w at er a n d pr oj e ctil e h a d a n i niti al v el o cit y of 1 4 1 9 m s− 1_{. ( mi d dl e) T ar g et w a s w at er a n d pr oj e ctil e h a d a n} i niti al v el o cit y of 1 3 8 8 m s− 1_{. ( b ott o m) T ar g et w a s 7 4 % P E G i n w at er a n d pr oj e ctil e} h a d a n i niti al v el o cit y of 1 1 4 7 m s− 1_{. P oi nt s ar e e x p eri m e nt al d at a a n d li n e s ar e t h e} m o d el d e v el o p e d b y H el d [ 1 2].

Fi g. 1 7. Fr o nt vi e w of fir st 3 m s of pr oj e ctil e e xiti n g a li q ui d- fill e d t a n k.

Fi g. 1 8. S a m e e x p eri m e nt s h o w n i n Fi g. 1 7 , b ut vi e w e d fr o m t h e si d e. T h e li q ui d b ei n g ej e ct e d fr o m t h e e xit h ol e h a s t h e s h a p e of a s n a k e’ s t o n g u e.

Fi g. 1 9. Gr o wt h i n di a m et er of j et ej e cti n g li q ui d fr o m pr oj e ctil e e xit h ol e.

Fi g. 2 0. Att e m pt t o c orr el at e c a vit y di a m et er ( m o d el) wit h di a m et er of j et ( e x p eri-m e nt) ej e cti n g li q ui d fr o eri-m pr oj e ctil e e xit h ol e.

• N u m eri c al si m ul ati o n s c o ul d b e a w a y t o c o m p ut e c o n s e q u e n c e s fr o m t hi s a n al yti c al s o ur c e t er m a p pr o a c h.

3. 5. H y dr a uli c r a m

O v er pr e s s ur e h a s b e e n e x p eri m e nt all y m e a s ur e d u si n g t h e i m m er s e d pr e s s ur e pr o b e s; v al u e s ar e r e p ort e d i n T a bl e 3 . I n Fi g. 2 1 a li n e ar c orr el ati o n i s pr o p o s e d f or r el ati n g e x p eri m e nt al v al u e s t o t h e c al c ul at e d s h o c k pr e s s ur e. S u c h a li n e ar r el ati o n, d o e s e xi st b et w e e n t h e or eti c al a n d e x p eri m e nt al v al u e s, a s p u bli s h e d b y T o w n s e n d et al. [ 6]. T h e e x p eri m e nt al a p pr o a c h u s e d i n [ 6] c o n-si st e d of m e a s uri n g o v er pr e s s ur e ( at diff er e nt p oi nt s i n t h e t ar g et) i n d u c e d b y a st e el pr oj e ctil e o n a n al u mi n u m t a n k fill e d wit h w at er.

T a bl e 3

V el o cit y a n d pr e s s ur e v al u e s m e a s ur e d d uri n g D G A t e st s.

Pr oj e ctil e v el o cit y ( m s− 1_{) T ar g et Pm a x ( b ar) Ti m e aft er i m p a ct ( s)}a 9 4 1 St e el v e s s el fill e d wit h w at er ( 6 0l) 1 1 6 1 2 9 1 4 6 0 St e el v e s s el fill e d wit h w at er ( 6 0l) + 1 0 % a m m o ni u m h y dr o xi d e > 3 8 0 1 1 0 9 7 1 St e el v e s s el fill e d wit h w at er ( 6 0l) + 1 0 % a m m o ni u m h y dr o xi d e + 4 0 % P E G 1 0 4 1 0 9 1 2 7 3 St e el v e s s el fill e d wit h w at er ( 6 0l) + 1 0 % a m m o ni u m h y dr o xi d e + 4 0 % P E G 1 9 5 1 3 9 9 6 3 St e el v e s s el fill e d wit h w at er ( 6 0l) + 1 0 % a m m o ni u m h y dr o xi d e + 7 4 % P E G 1 0 2 1 1 6 1 2 1 5 St e el v e s s el fill e d wit h w at er ( 6 0l) 2 9 1 1 1 7 1 2 4 1 St e el v e s s el fill e d wit h w at er ( 6 0l) + 1 0 % a m m o ni u m h y dr o xi d e 2 6 4 1 2 1 a _{T hi s v al u e d o e s n ot t a k e a c c o u nt of a c c el er o m et er ( M U R A T A P K S) r e s p o n s e ti m e w hi c h i s a b o ut ± 2 0 s.} Fi g. 2 1. C o m p ari s o n of c al c ul at e d a n d e x p eri m e nt al s h o c k pr e s s ur e s. 4. C o n cl u si o n s T e st s w er e p erf or m e d t o r e pr o d u c e a n d a n al y z e t h e c o n s e-q u e n c e s of hi g h- s p e e d i m p a ct s of pr oj e ctil e s o n fl ui d- fill e d t a n k s. T ar g et- pr oj e ctil e i nt er a cti o n s c a n b e e x pl ai n e d a s a s eri e s of t hr e e e v e nt s: s h o c k- w a v e pr o p a g ati o n, c a vit y f or m ati o n, a n d e n er g y l o s s. E a c h of t h e s e e v e nt s h a v e c a n b e a n al yti c all y m o d el e d b y r el ati o n s b a s e d o n H u g o ni ot – R a n ki n e, N e wt o n’ s s e c o n d l a w a n d B er n o ulli r el ati o n.

It h a s b e e n s h o w n t h at t h e s e m o d el s d e p e n d o n n o n-di m e n si o n al n u m b er s s u c h a s R e y n ol d s, c a vit ati o n p ar a m et er, dr a g c o ef fi ci e nt. F or t hi s s et of e x p eri m e nt al v al u e s, t h e m o d el s h a v e b e e n v ali d at e d b y e x p eri m e nt al d at a a n d l e a d t o t h e f oll o wi n g c o n-cl u si o n s

W e e x p e ct t h at a n al yti c d e s cri pti o n s of t h e p h e n o m e n a will b e i m pr o v e d b y c o u pli n g t h e s e e x p eri m e nt al r e s ult s t o C F D si m ul a-ti o n s. F or e x a m pl e, s u c h si m ul aa-ti o n s s h o ul d h el p u s m o d el c a vit y f or m ati o n, s h o c k- w a v e pr o p a g ati o n, a n d di s si p ati o n of ki n eti c e n er g y fr o m t h e pr oj e ctil e i nt o t h e li q ui d. T h e r e s ult s w er e c at a s-tr o p hi c f ail ur e s of t h e v e s s el s, a n d o ur st u di e s h a v e pr o d u c e d a pr eli mi n ar y st e p t o u n d er st a n d t h e f oll o wi n g li q ui d di s c h ar g e.

I n f ut ur e w or k, w e pl a n t o c h ar a ct eri z e li q ui d di s c h ar g e, fr a g-m e nt ati o n g-m e c h a ni s g-m s, a n d s u b s e q u e nt e v a p or ati o n of v e s s el c o nt e nt s. T h e o v er all g o al i s t o att ai n a n i nt e gr at e d d e s cri pti o n t h at st art s fr o m pr oj e ctil e i m p a ct a n d e xt e n d s t o c o n s e q u e n c e s i n t er m s of c o nt ai n er f ail ur e, c at a str o p hi c li q ui d di s c h ar g e, a n d fi n al br e a k-u p [ 2 3] l e a di n g t o e v a p or ati o n a n d at m o s p h eri c di s p er si o n ( cl o k-u d c o n c e ntr ati o n s). A c k n o wl e d g m e nt T h e a ut h or s ar e gr at ef ul t o C E G ( C e ntr e d’ Et u d e s d e Gr a m at) f or t h eir fi n a n ci al s u p p ort a n d f or t h eir ef fi ci e nt h el p d uri n g t h e t e st s.

R ef e r e n c e s

[ 1] F. S. St e p k a, C. R. M or s e, R. P. D e n gl er, I n v e sti g ati o n of C h ar a ct eri sti c s of Pr e s s ur e W a v e s G e n er at e d i n W at er Fill e d T a n k s I m p a ct e d b y Hi g h- v el o cit y Pr oj e ctil e s, T N D- 3 1 4 3, 1 9 6 5.

[ 2] R. E. B all, Str u ct ur al R e s p o n s e of Fl ui d- c o nt ai ni n g-t a n k t o P e n etr ati n g Pr oj e c-til e s ( H y dr a uli c R a m) — A C o m p ari s o n of E x p eri m e nt al a n d A n al yti c al R e s ult s, N P S- 5 7 B p 7 6 0 5 1, 1 9 7 6.

[ 3] P. D. H ol m, H y dr a uli c R a m S h o c k W a v e a n d C a vit ati o n Eff e ct s o n Air cr aft F u el C ell S ur vi v a bilit y, 1 9 7 3.

[ 4] E. A. L u n d str o m, W. K. F u n g, Fl ui d D y n a mi c A n al y si s of H y dr a uli c R a m III ( R e s ult of A n al y si s), J T C G/ A S- 7 4- T- 0 1 5, 1 9 7 6.

[ 5] L. S. M u ell er, E x p eri m e nt al I n v e sti g ati o n of H y dr a uli c R a m, 1 9 7 4.

[ 6] D. T o w n s e n d, N. P ar k, P. M. D e v all, F ail ur e of fl ui d fill e d str u ct ur e s d u e t o hi g h v el o cit y fr a g m e nt i m p a ct, I nt er n ati o n al J o ur n al of I m p a ct E n gi n e eri n g 2 9 ( 2 0 0 3) 7 2 3 – 7 3 3.

[ 7] J. P. B or g, J. R. C o g ar, S. Tr e d w a y s, J. Y a gl a, M. Z wi e n er, D a m a g e r e s ulti n g fr o m hi g h s p e e d pr oj e ctil e li q ui d fill e d m et al t a n k s, i n: C o m p ut ati o n al M et h o d s a n d E x p eri m e nt al M e a s ur e m e nt s X, W a s s e x I n stit ut e of T e c h n ol o gi e s Pr e s s, 2 0 0 1, p p. 8 8 9 – 9 0 2.

[ 8] H. H. S hi, I. M ot o y u ki, T. T a k u y a, O pti c al o b s er v ati o n of t h e s u p er c a vit ati o n i n d u c e d b y hi g h- s p e e d w at er e ntr y, Tr a n s a cti o n s of t h e A S M E 1 2 2 ( 2 0 0 0) 8 0 6 – 8 1 0.

[ 9] R. T. K n a p p, J. W. D ail y, F. G. H a m mit, C a vit ati o n ( 1 9 7 0) 1 9 6 – 1 9 7. [ 1 0] G. K. B at c h el or, A n I ntr o d u cti o n t o Fl ui d D y n a mi c s, 1 9 6 7.

[ 1 1] H. R ei c h ar dt, T h e L a w s of C a vit ati o n B u b bl e s at A xi all y S y m m etri c B o di e s i n a Fl o w, Mi ni str y of Air cr aft Pr o d u cti o n ( Brit ai n), 1 9 4 6, r e p. a n d tr a n sl. 7 6 6. [ 1 2] M. H el d, V eri fi c ati o n of t h e e q u ati o n f or r a di al cr at er gr o wt h b y s h a p e d c h ar g e

j et p e n etr ati o n, I nt er n ati o n al J o ur n al of I m p a ct E n gi n e eri n g 1 7 ( 1 9 9 5) 3 8 7 – 3 9 8. [ 1 3] T. S z e n dr ei, A n al yti c al m o d el of cr at er f or m ati o n b y j et i m p a ct a n d it s a p pli c a-ti o n t o c al c ul aa-ti o n of p e n etr aa-ti o n c ur v e s a n d h ol e pr o fil e s, i n: Pr o c e e di n g s of t h e 8t h I nt er n ati o n al S y m p o si u m o n B alli sti c s, v ol. VII, 1 9 8 3, p p. 3 9 – 4 7. [ 1 4] A. Y ur qi n a, M. E. M a n z ur, P. Brit o, R. M a n z o, M. A. A. M oli n a, P h y si c o c h e mi c al

st u di e s of a c et a mi n o p h e n i n w at er- P e g 4 0 0 s y st e m s, J o ur n al of M ol e c ul ar Li q-ui d s 1 3 3 ( 1 – 3) ( 2 0 0 7) 4 7 – 5 3.

[ 1 5] S. Kiri n ci c, C. Kl of ut ar, Vi s c o sit y of a q u e o u s s ol uti o n s of p ol y( et h yl e n e gl y c ol) s at 2 9 8. 1 5 K, Fl ui d P h a s e E q uili bri a ( 1 9 9 9) 1 5 5 – 3 1 1.

[ 1 6] N. L e c y s y n, A. D a n dri e u x, F. H e y m e s, L. A pri n, P. Sl a n g e n, L. M u ni er, E. L a p e-bi e, C. L e G alli c, G. D u s s err e, B alli sti c i m p a ct o n a n i n d u stri al t a n k: st u d y a n d m o d elli n g of c o n s e q u e n c e s, J o ur n al of H a z ar d o u s M at eri al 1 7 2 ( 2 – 3) ( 2 0 0 9) 5 8 7 – 5 9 4.

[ 1 7] N. L e c y s y n, P. Sl a n g e n, G. D u s s err e, L. M u ni er, E. L a p e bi e, C. L e G alli c, E x p er-i m e nt al er-i n v e ster-i g ater-i o n of a c at a str o p her-i c t a n k f aer-il ur e wer-it h a her-i g h s p e e d ver-i d e o r e c or d er. i m a g e pr o c e s si n g a n d h y dr o d y n a mi c c h ar a ct eri z ati o n of t h e li q ui d j et, i n: Pr o c e e di n g s of t h e 1 2t h I nt er n ati o n al S y m p o si u m L o s s pr e v e nti o n a n d S af et y Pr o m oti o n i n t h e Pr o c e s s I n d u stri e s, E di n b ur g h, S c otl a n d, T o pi c 4, P a p er 2 1 2, 2 0 0 7.

[ 1 8] H.I. A b el s o n, Pr e s s ur e m e a s ur e m e nt s i n w at er- e ntr y c a vit y, J o ur n al of Fl ui d M e c h a ni c s 4 4 ( 1 9 7 0) 1 2 9 – 1 4 4.

[ 1 9] N. Mi d o u x, M é c a ni q u e et R h é ol o gi e d e s Fl ui d e s e n G é ni e C hi mi q u e, 3è m e_{tir a g e,} 1 9 9 3, p. 3 8 0.

[ 2 0] M. S elf, J. F. Ri p k e n, St e a d y- St at e C a vit y St u di e s i n a Fr e e-J et W at er T u n n el, St A nt h o n y F all s H y dr. L a b., 1 9 5 5, R e p. 4 7, J ul y.

[ 2 1] F. H e y m e s, A. B o n y- D a n dri e u x, N. L e c y s y n, R. S pi n elli, G. D u s s err e, Et u d e d e l a Di s p er si o n At m o s p h éri q u e d’ u n P oll u a nt l or s d e l a D e str u cti o n d’ u n St o c k a g e, R a p p ort Fi n al, C o n v e nti o n A R MI N E S N◦_{4 0 8 2 7, 2 0 0 6, 8 7 p.}

[ 2 2] R. S err a d eill, Eff et s C oll at ér a u x — E s s ai s 2 0 0 3, T 2 0 0 4- 0 0 0 1 9/ C E G/ N, 2 0 0 3, p. 4 6. [ 2 3] N. L e c y s y n, A. D a n dri e u x, F. H e y m e s, L. A pri n, P. Sl a n g e n, L. M u ni er, C. L e G al-li c, G. D u s s err e, B alal-li sti c i m p a ct o n a n i n d u stri al t a n k: st u d y a n d m o d elal-li n g of c o n s e q u e n c e s, J o ur n al of H a z ar d o u s M at eri al s 1 7 2 ( D e c e m b er ( 2 – 3)) ( 2 0 0 9) 5 8 7 – 5 9 4.

[ 2 4] D. V ar a s, J. L ó p e z- P u e nt e, R. Z a er a, E x p eri m e nt al a n al y si s of fl ui d- fill e d al u-mi ni u m t u b e s s u bj e ct e d t o hi g h- v el o cit y i m p a ct, I nt er n ati o n al J o ur n al of I m p a ct E n gi n e eri n g 3 6 ( 2 0 0 9) 8 1 – 9 1.