L64 [V2-VàC] – Aires

9

Aires

64

Leçon

n°

Niveau Collège - Terminale S (Intégrale et aire) Prérequis quadrilatère, fonctions

Références [60], [164], [165], [166], [167], [168]

64.1

Comparer les aires

64.1.1 Egalité d’aires

Définition 64.1 On dit que deux figures ont la même aire si en découpant l’une d’entre elle, on peut recomposer l’autre.

Exemple 64.2 La figure F1et F2ont la même aire car si on découpe le triangle AE00D00de la figure

F2et qu’on le place sur l’arrête[DE] de sorte que [DE] et [D00E00] coïncide, on retrouve la figure F1.

F1 A B C F2 A B D E D00 E00 F1 F2 A B C 

64.1.2 Transformer l’aire d’une figure en celle d’un rectangle

Proposition 64.3 On peut toujours découper un polygone en un rectangle de même aire.

Exemple 64.4 Dans le parallélogramme ABCE, on a découpé le triangle AEO qu’on a collé sur le

segment CB. On obtient ainsi le rectangle OECT .

A B C E O P B C E O P T 

Proposition 64.5 — Découpage de Dudeney (1902). On peut découper un triangle équilatéral en quatre morceaux pour qu’il puisse former un rectangle.

Dv

On va expliciter la construction de Dudeney. On se donne un triangle ABC équilatéral de côté 2. On note E et D les milieux de[AC] et de [AB]. On construit I sur [BC] tel que EI4 _{= 3. Pour}

cela,

— On construit M le symétrique de A par rapport à(BC). Ainsi AM = 2√3.

— On construit le cercle(C2) de centre M passant par B, donc de rayon 2. On note P

l’inter-section de la droite(AM) et du cercle (C2), P se trouvant à l’extérieur du triangle ABC.

— On note Q le milieu de[AP ] et on construit (C1) le cercle de centre Q passant par A ((C1)

a pour rayon1 +√3).

— On note O l’intersection du cercle(C1) et de la parallèle à (BC) passant par M. On a alors

OM = 2√3.4

— Soit N le milieu de[OM] alors MN est la longueur EI cherchée.

On note F le projeté orthogonal de D sur [EI] et G le point de [EI] tel que EG = IF . H est l’antécédent sur[BC] de G par projection orthogonale sur (EI).

On donne une suite d’instructions à faire sur Geogebra pour réaliser la construction précé-dente : A = (0,0) B = (2,0) Cercle[A,2] Cercle[B,2] C = Intersection[c,d,1] Polygone[A,B,C] D = MilieuCentre[A,B] E = MilieuCentre[A,C] # Construction du point I M = Symétrie[A,a] C_2 = Cercle[M,2] Droite[A,M] P = Intersection[e,C_2,2] Q = MilieuCentre[A,P] C_3 = Cercle[Q,A] Droite[M,a] O = Intersection[C_3,f,1] N = MilieuCentre[O,M] Segment[M,N] Cercle(E,g) I = Intersection(a,h)

# Fin de la construction du point I Segment[E,I] Perpendiculaire[D,h] F = Intersection[i,h] Segment[I,F] Cercle(E,j) G = Intersection[h,p] Perpendiculaire[G,h]

64.1 Comparer les aires 11 H = Intersection[a,l] Segment[G,H] Segment[D,F] A B C E D M P Q O N I F G H 64.1.3 Inégalité

Définition 64.6 On dit que deux figures n’ont pas la même aire si en essayant de découper une des figures pour la reconstituer en l’autre figure, les deux surfaces ne sont pas superposablesa_.

a. c’est-à-dire qu’une des deux surfaces « dépassent » l’autre

 Exemple 64.7 Dans la figure ci-dessous, les deux figures n’ont pas la même aire car si on les

superpose, la surface d’une des deux figures dépassent l’autre.

A B

C

E F

G H

A B C F G H  64.1.4 Les multiples

Définition 64.8 Soit A1 (resp. A2) l’aire de deux polygones P1 (resp. P2). On dit que les deux aires

sont multiples l’un de l’autre s’il existe k ∈ N tel que A1= kA2.

Exemple 64.9 La figure ci-dessous nous montre deux figures dont les aires sont multiples.

A B C E F G  64.1.5 Les partages

Définition 64.10 Soit un polygone P et A son aire. On dit qu’on partage le polygone P en des polygones(P1, . . . , Pn) avec aires (A1, . . . , An) si pour tout 1 ≤ i ≤ n, Pi ⊂ P (les polygones Pi

sont dans le polygone P ) et il existe0 < ki <1, tels que Ai = kiAetPni=1ki = 1.

Exemple 64.11 Soit ABCD le rectangle de la figure ci-dessous. On dit que(P1, . . . , P7) partage le

rectangle. A B C D E F G H I J P1 P2 P3 P4 P₅ P6 P7 

64.2 Mesurer une aire 13

64.2

Mesurer une aire

64.2.1 Principe

Définition 64.12 — Aire d’une surface. L’aire d’une surface est la mesure de sa surface, dans une unité d’aire donnée.

Définition 64.13 Mesurer une aire d’un polygone, c’est compter le nombre de carré unité (on préci-sera l’unité plus tard) qui sont inscrit dans ce polygone.

64.2.2 Méthode

Définition 64.14 On se donne un polygone et un carré unité. Pour calculer l’aire de ce polygone, il faut le partager avec autant de carré unité que l’on peut (quitte à ce que la surface de ce carré dépasse la figure).

Définition 64.15 On se donne un polygone et un carré unité. Pour calculer l’aire de ce polygone, on peut le découper pour en faire un rectangle et ensuite compter le nombre de carré unité inscrit dans le rectangle.

Exemple 64.16 L’aire du triangle ABC de la figure ci-dessous est 6 car en le découpant, on peut

former un rectangle qui contient6 carré unité DEF G.

A B C D E F G 

64.3

Calculer une aire

64.3.1 Aire d’un rectangle

Définition 64.17 — Aire d’un rectangle. _{Un rectangle de longueur L et de largueur l a pour aire L ×l.}

Dv

•Démonstration —Soit un rectangle de longueur L et de largueur l. Sur la longueur, on peut inscrit L carré unité et sur la largueur, l carré unité. Donc, le nombre de carrés unité qu’on peut inscrire dans le rectangle est Ll et ainsi, l’aire du rectangle est Ll. •

A B C D 8 4 2 

64.3.2 Aire d’un triangle rectangle

Définition 64.19 L’aire d’un triangle rectangle de base b et de hauteur h estb×h 2 .

Dv

•Démonstration —Un triangle rectangle de base b et de hauteur h (b > h) est un rectangle de longueur b et de largueur h qu’on a coupé en deux (l’hypoténuse du triangle rectangle correspond à une des diagonales du rectangle). Donc, comme l’aire du rectangle est b × h,

l’aire du triangle rectangle est 1₂(b × h). •

Exemple 64.20 L’aire d’un triangle rectangle de base4 et de hauteur 2 est :

A= 1 2(4 × 2) = 4. A B C D 4 4 2 

64.3.3 Aire des polygones

On montre dans l’exemple suivant comment transformer certains polygones en rectangle pour pouvoir calculer leur aire.

Exemples 64.21 1. L’aire d’un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa

hauteur. Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections orthogonales de C et D sur (AB). Le rectangle F ECD a même aire que le parallélogramme, car les triangles ADF et

BCE sont isométriques. D’où

64.3 Calculer une aire 15

2. La surface d’un trapèze a pour mesure le produit de la moyenne des bases par sa hauteur. Si

b= AB, b0 = CD et h = HE alors

Aire(ABCD) = b+ b_{2 ×}0 h.

Soit ABCD un trapèze de grande base[AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB) et I et J les milieux des côtés[BC] et [AD]. D’après la propriété de Thalès, IJ est égal à la moyenne des bases. Soient E et F les projections orthogonales de J et I sur(AB) ainsi que G et H les projections orthogonales de I et J sur (CD). Le rectangle EF GH a même aire que le trapèze ABCD car les triangles rectangles IGC et IF B sont isométriques, de même que les triangles JHD et JEA.



64.3.4 Unités

Définition 64.22 L’unité légale de mesure d’aire est le mètre carré (m2). R 64.23

1. Si les longueurs du polygone sont en cm alors l’aire du polygone s’exprime en cm2. 2. On peut exprimer aussi l’aire en ares et hectares (ce sont les mesures agraires). On a ainsi :

1 are = 1 dam2_{= 100 m}2_.

Proposition 64.24— Conversion d’unités d’aires. Passer d’une unité supérieure d’aire, c’est multiplier par 100 l’unité d’aire utilisée.

Pour changer d’unités d’aire, on a alors besoin du tableau de conversions des unités d’aires :

Exemple 64.25

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 5 2 0

0 0 4 0 3 Ainsi,

520 ares = 520 dam2_{= 5,2 hm}2 _{= 5,2 hectares.}

0,0403 m2 _{= 4,03 dm}2 _{= 403 cm}2_.



64.3.5 Aire d’un cercle (ou de disque)

Définition 64.26 Le nombre π est défini comme le rapport entre la circonférence du cercle et son diamètre.

Définition 64.27 _{L’aire du disque de rayon R est π × R}2.

O P

L’aire du cercle de rayon3 cm est 9π cm2

64.4

Intégrale et aire

Le plan est rapporté à un repère orthogonal(O, #»ı, #»), non nécessairement orthonormal.

Définition 64.28 — Aire sous la courbe. Soit une fonction f, continue et positive sur un intervalle [a , b] et C sa courbe représentative. L’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a , b] est l’aire du do-maine plan D limité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations x = a et x = b. On noteRb

af(x) dx cette aire et on lit l’intégrale (ou somme) de a à b de f.

R 64.29

1. Le domaine D peut aussi être considéré comme l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x, y) telles que a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x).

64.4 Intégrale et aire 17

2. L’aire du domaine D est exprimée en unité d’aire ; une unité d’aire étant l’aire du rectangle construit à partir des vecteurs unités.

a _b

Exemples 64.30 1. R₀1xdx = 1₂ car l’aire sous la courbe C représentative de f définie par

f(x) = x sur l’intervalle [0 , 1] est l’aire d’un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés de

l’angle droit ont pour mesure1. 2. R₀1√1 − x2_{dx =} π

4 car l’aire sous la courbe C représentative de f définie par f(x) =

√1 − x2_{sur l’intervalle[0, 1] est l’aire d’un quart de cercle de rayon 1.}



(a)R₀1xdx (b)R₀1√1 − x2_dx

FIGURE64.1 – Figure pour l’exemple

Propriété 64.31 Soit une fonction f continue, positive et croissante sur un intervalle[a , b] et C sa courbe représentative. L’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a , b] est égale à la limite commune des deux suites adjacentes(un) et (vn) définie par :

un= b_{− a} n n X k=0 f  a+ kb− a n  et vn= b_{− a} n n X k=1 f  a+ kb− a n  où n ∈ N∗_.

Pour tout entier n non nul, on divise l’intervalle[a, b] en n intervalles de même longueurb−a

n . un

correspond à l’aire des rectangles sous la courbe. vncorrespond à l’aire des rectangles au-dessus de

la courbe. Pour tout n, on a

un≤

Z b a

f(x) dx ≤ vn.

Lorsque n augment, l’écart entre l’aire des deux séries de rectangles et l’aire sous la courbe C diminue. R 64.32

FIGURE64.2 – Représentation des suites unet vn

2. Si la fonction f est continue, positive et décroissante sur l’intervalle[a, b], on peut construire les deux suites de la même façon, mais c’est alors vnqui correspond à l’aire des rectangles sous la courbe.

Propriété 64.33— Relation de Chasles. Soit une fonction f, continue et positive sur l’intervalle[a , b] et C sa courbe représentative. Pour tout nombre c appartenant à l’intervalle [a , b] :

Z b a f(x) dx = Z c a f(x) dx + Z b c f(x) dx.

On découpe l’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a , b] en aires sous la courbe sur les intervalles [a , c] et [c , b].

a c _b

FIGURE64.3 – Relation de Chasles

Exemple 64.34 Soit la fonction f dont la courbe représentative est donnée en figure64.4. Alors :

Z 2 −1f(x) = dx = Z 1 −1f(x) dx + Z 2 1 f(x) dx = 3

64.4 Intégrale et aire 19

FIGURE64.4 – Représentation graphique de f pour l’exemple

Définition 64.35 — Valeur moyenne. Soit une fonction f, continue et positive sur un intervalle[a , b]. On appelle valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle[a , b] le nombre réel

1

b_{− a}

Z b a

f(x) dx.

La valeur moyenne de la fonction f correspond à la valeur qu’il faut donner à une fonction constante g sur l’intervalle[a , b] pour que l’aire sous la courbe représentative de g soit égale à l’aire sous la courbe représentative de f. L’aire du domaine hachuré est égale à l’aire du rectangle coloré.

a _b

FIGURE64.5 – Valeur moyenne

Définition 64.36 Soit une fonction f continue et négative sur l’intervalle[a , b] et C sa courbe repré-sentative. Le nombreRb

af(x) dx est égal à l’opposé de l’aire du domaine D limité par la courbe C,

l’axe des abscisses et les droites d’équations x= a et x = b.

Propriété 64.37 Soit une fonction f, continue et négative sur l’intervalle[a , b] et C sa courbe repré-sentative. L’aire du domaine D limité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations

x= a et x = b est égale à Z b a −f(x) dx = − Z b a f(x) dx. Dv

• Démonstration de la propriété 64.37 — _C−f, la courbe représentative de la fonction

−f, est symétrique par rapport à l’axe des abscisses de Cf, courbe représentative de f.

L’aire du domaine D est égale, par symétrie, à l’aire sous la courbe C−f. Cette aire est donc

Rb

a −f(x) dx. D’après la définition64.36, elle est aussi égale à −

Rb

D

a _b

•

Propriété 64.38 Soit une fonction f continue et négative sur l’intervalle[a , b]. La valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle[a , b] est égale à :

− 1 b− a Z b a −f(x) dx = 1 b− a Z b a f(x) dx.

 Exemple 64.39 Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 , 1] par f(x) = −x2. Sachant que

R1

0 x2dx = 13, la valeur moyenne de f sur l’intervalle[0, 1] est −13. 

Propriété 64.40 Soit f et g deux fonctions continues sur l’intervalle[a, b] telles que f > g. L’aire du domaine D limité par les deux courbes représentatives des fonctions f et g, et les droites d’équations

x= a et x = b est, en unités d’aire,

Z b

a f(x) dx −

Z b

a g(x) dx.

Dv

•Démonstration de la propriété64.40—On découpe l’intervalle[a , b] selon que les fonc-tions f et g sont toutes deux du même signe ou de signe contraire.

64.5 Compléments 21

a c

d b

Ainsi, dans la figure ci-dessus, l’aire entre les deux courbes est : — sur l’intervalle[a , c] : − Z c a −f(x) dx + Z b a −g(x) dx ; — sur l’intervalle[c , d] : Z b c f(x) dx + Z d c −g(x) dx ; — sur l’intervalle[d , b] : Z b d f(x) dx − Z b d g(x) dx.

En utilisant les propriétés précédentes, on obtient bien Z b a f(x) dx − Z b a g(x) dx

pour la valeur de l’aire du domaine D. •

64.5

Compléments

64.5.1 Partage de la médiane

Théorème 64.41 Soit ABC un triangle et (AI) la médiane issue de A. L’aire du triangle ABI est égale à l’aire du triangle ACI.

B

C A

I H

Dv

•Démonstration —] On considère les deux triangles ABI et ACI. On appelle H le projeté orthogonal du point A sur la droite(BC). Comme I est le milieu du segment [BC], on a

BI = CI. L’aire du triangle ABI est égale à BI×AH₂ . L’aire du triangle ACI est égale à

CI×AH

2 . Comme BI = CI, ces deux aires sont égales.a •

a. Une autre façon élémentaire de le démontrer est de remarquer que ces deux triangles sont les moitiés de deux parallélogrammes de côté commun(AI) et translatés l’un de l’autre.

64.5.2 Théorème du chevron

Théorème 64.42 Soit N un point intérieur au triangle ABC et A0_{le point d’intersection de la droite}

(AN) et du segment [BC]. Alors le rapport des aires des triangles ANB et de ANC est égal au rapport des distances BA0_{et CA}0_.

A

B

C N

A0

Pour démontrer le théorème64.42, on a besoin du lemme suivant :

Lemme 64.43 Si deux triangles ont un sommet commun A et des bases[BC] et [CC0_{] portés par}

une même droite, alors le rapport de leurs aires est égal au rapport des longueurs de leurs bases.

Dv

•Démonstration du lemme64.43—On doit étudier trois cas :

1. Si l’une des bases est un multiple entier de l’autre, on applique plusieurs fois le partage de la médiane.

2. Si les deux bases sont commensurables (c’est-à-dire sont multiples d’une même grandeur prise comme unité), on applique deux fois le premier cas.

3. Si les deux bases sont incommensurables, on obtient le résultat par passage à la limite (tout irrationnel peut être considéré comme la limite d’une suite de rationnels). Il y a ici un « saut » incontournable (le même celui que l’on fait quand on généralise la formule de l’aire d’un rectangle : aire = base × hauteur).

64.5 Compléments 23

• Démonstration du théorème du chevron —On applique le lemme64.43aux triangles

AA0_{Bet AA}0_{Cet ensuite, aux triangles ANB et ANC. •} 64.5.3 Formule de Pick

Théorème 64.44 Soit un polygone construit sur une grille de points équidistants (c’est-à-dire des points de coordonnées entières) tel que tous ses sommets soient des points de la grille. L’aire A de ce polygone est donnée par :

A= i + 1

2b− 1,

où i est le nombre de points intérieurs du polygone et b le nombre de points du bord du polygone.

Exemple 64.45 Dans la figure ci-dessous, nous avons i= 9 et b = 14. Ainsi, l’aire est

A= 9 + 14

2 −1 = 9 + 7 − 1 = 15.

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