Dérivée bornée, inégalité de Taylor-Lagrange

(1)

Dérivée bornée

Samuel Rochetin

Samedi 5 mai 2018

Exercice. Soit f une fonction de classe C2

sur R telle que f et f00 soient bornées.

1. Montrer que si f est positive, alors f0 est bornée. 2. Montrer que f0 est bornée sans supposer f positive. Solution. Notons M0:= sup

R

|f | et M2:= sup R

|f00_|.

1. L’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée en a = x et b = x + h donne : ∀(x, h) ∈ R2_{, |f (x + h) − f (x) − hf}0_{(x)| ≤ sup}

I

|f00|h

2

2 , avec I = [x, x + h] ou I = [x + h, x] en fonction du signe de h. Par définition de M2, nous avons sup

I

|f00| ≤ M2 donc la positivité de

h2

2 et la transitivité de la relation d’ordre donnent :

|f (x + h) − f (x) − hf0(x)| ≤ M2 2 h

2_.

Par propriété de la valeur absolue, il vient :

f (x + h) − f (x) − hf0(x) ≤ |f (x + h) − f (x) − hf0(x)|. La transitivité de la relation d’ordre donne :

f (x + h) − f (x) − hf0(x) ≤ M2 2 h

2 _{⇐⇒ f (x + h) ≤} M2

2 h

2_{+ f}0_{(x)h + f (x).}

Par hypothèse, 0 ≤ f (x + h) donc il vient : ∀(x, h) ∈ R2_{, 0 ≤} M2

2 h

2_{+ f}0_{(x)h + f (x).}

Pour x fixé, nous reconnaissons une fonction trinôme du second degré en h positive sur R donc de discriminant négatif.

∆ ≤ 0 ⇐⇒ f0(x)2− 2M2f (x) ≤ 0 ⇐⇒ |f0(x)| ≤

p

2M2f (x).

Par définition de M0 et croissance de la fonction racine carrée sur R+, il

vient :

∀x ∈ R, |f0_{(x)| ≤}√_2M 0M2.

(2)

2. Le cas général se traite différemment. Partons de : ∀h ∈ R, |f(x + h) − f(x) − hf0(x)| ≤ M2

2 h

2_.

|f (x + h) − f (x) − hf0(x)| = |hf0(x) − (f (x + h) − f (x))|. La deuxième inégalité triangulaire donne :

||hf0_{(x)| − |f (x + h) − f (x)|| ≤ |hf}0_{(x) − (f (x + h) − f (x))|.}

|hf0(x)| − |f (x + h) − f (x)| ≤ ||hf0(x)| − |f (x + h) − f (x)||. La transitivité de la relation d’ordre donne :

|hf0(x)| − |f (x + h) − f (x)| ≤ M2 2 h 2_. Ainsi : |hf0(x)| ≤ M2 2 h 2_{+ |f (x + h) − f (x)|.}

L’inégalité triangulaire et la définition de M0donnent :

|f (x + h) − f (x)| ≤ |f (x + h)| + |f (x)| ≤ 2M0.

Puisque |hf0(x)| = |h| × |f0(x)|, en divisant par |h| > 0, il vient : ∀(x, h) ∈ R × R∗, |f0(x)| ≤ M2

2 |h| + 2M0

|h| . Si M0= 0, alors f est la fonction nulle donc f0 est bornée.

Si M2= 0, alors f0 est constante donc bornée.

Sinon, une simple étude montre que la fonction R∗ → R∗ +, h 7→

M2

2 |h| + 2M0

|h| atteint son minimum global 2 √ M0M2 en h = ±2 r M0 M2 . Ainsi, si M0M26= 0, alors ∀x ∈ R, |f0(x)| ≤ 2 √ M0M2. 2