يمـلـعـلا ثـحبـلا و يـلاعـلا ميـلـعتـلا ةرازو
BADJI MOKHTAR
-
ANNABA UNIVERSITY
UNIVERSITÉ BADJI MOKHTAR
ANNABA
ةـعـماـج
يـجاـب
راتخـم
ةـباـنـع
Faculté des Sciences
Année : 2013/0214
Département de Mathématiques
THÈSE
Présentée en vue de l’obtention du diplôme de
DOCTORAT EN MODÉLISATION MATHÉMATIQUES
M.C. U.M.K BISKRA
Mr. A. NECIR
Spécialité
CALCUL STOCHASTIQUE
Présentée par
BENSEGHIR RYM
DIRECTEUR DE THÈSE : Prof. Azzedine BENCHETTAH U.B.M. ANNABA
CO-ENCADREUR : Prof. Hisao FUJITA YASHIMA U. Turin (Italie)
Devant le jury
PRÉSIDENT: Haiour Mohamed Prof. U.B.M. ANNABA
EXAMINATEURS: Brahim MEZERDI Prof. U. Biskra
Mohamed Zine AISSAOUI MCA. U. Guelma
PROCESSUS STOCHASTIQUES RECIPROQUES,
APPLICATION AU CONTROLE STOCHASTIQUE,
EQUATION STOCHASTIQUE D’UN GAZ VISQUEUX
i
À
Mes
Parents
“ À mes parents, Qui ont Eu Foi En Moi "
À
M
r.
B
enchettah
ii
Thèse de doctorat 2013.
Rym Benseghir, Université Badji Mokhtar.
Remerciements
M
es premiers remerciements vont, comme il se doit, à Mr le Professeur Azzedine Benchettah qui a dirigé cette thèse. C’est très difficile en quelques lignes de remercier mon directeur de thèse. Tout d’abord, je le remercie de m’avoir permis de le suivre dans cette aventure de la Recherche en Mathéma-tiques où j’ai pu apprécier tant son dynamisme que sa rigueur scientifique. Je tiens ensuite à lui exprimer mes plus vifs remerciements pour tous les précieux conseils qu’il m’a donnés en orientant et en guidant mon travail. Outre sa compétence, la patience et la confiance qu’il m’a accordées, tra-vailler sous sa direction fût pour moi un grand plaisir. Par son exceptionel enthousiasme et par sa constante disponibilité (sa porte toujours ouverte me permettant de le déranger à chaque instant), il m’a consacré beaucoup de son temps précieux et m’a prodigué ses encouragements qui ont rendu ce travail possible. La naissance de cette thèse lui doit tout et je tiens à lui exprimer toute ma profonde reconnaissance. Je voudrais profiter de cette occasion pour le saluer parce qu’il m’a ouvert les yeux sur ce que sont les mathématiques à une époque où je me destinais à un autre domaine.Je voudrais remercier le professeur Hisao Fujita Yashima mon co-encadreur. C’est un honneur pour moi de travailler avec lui et je ne peux qu’admirer son talent. Je lui suis infiniment reconnaissante parce qu’il a partagé ses idées avec moi. Il a dédié beaucoup de temps à mon travail en étant toujours très disponible.
Ma reconnaissance va au Professeur Mohamed Haiour pour avoir accepté d’être le président de jury de cette thèse. Je le remercie très sincèrement pour l’attention qu’il a porté à ce travail.
Je remercie le Professeur Mohamed Zine Aissaoui, non seulement parce qu’il a accepté de faire partie de mon jury, mais aussi de m’avoir acceuilli au laboratoire de mathématique de l’université 8 mai 1945 de Guelma.
iii
Le Professeur Brahim Mezerdi a accepté de faire partie de mon jury. C’est un grand honneur pour moi de le remercier.
Je remercie chaleureusement le Professeur Hacène Boutabia rapporteur de cette thèse de son intérêt qui a été encourageant.
Un remerciement tout particulier à Mr. Nadji Rahmania, professeur à l’université de Lille 1 et Mr. Paul Raynaud de Fitte, professeur à l’université de Rouen pour leur encouragement et l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail. Mes remerciements vont à tous les collègues du Laboratoire LANOS, du Laboratoire de mathématique de l’université de Guelma et du Laboratoire de mathématique de l’université de Turin, qui ont, de près ou de loin, contribué à la réalisation de ce travail et pour leur acceuil.
Je voudrai remercier mes parents pour leur soutien et leur encourage-ment.
Je tiens enfin à exprimer mes remerciements à tous les miens qui m’ont soutenu par leur amour et leur confiance. À mes amis qui trouveront ici toute ma reconnaissance pour leurs aides et encouragements à terminer cette thèse, plus particulièrement Safia Slimani et Zeyneb Bouderbala.
iv
Résumé
L’équation stochastique d’un gaz visqueux barotropique en une dimen-sion est considérée. L’application de la formule d’Ito à une fonctionnelle convenablement choisie nous permet d’obtenir l’estimation de l’énergie qui ne nous permet pas pour le moment de démontrer l’existence d’une me-sure invariante pour notre système. Pour cette raison, nous avons étudié un système d’équations approchées faites par une discrétisation qui peut cor-respondre à un schéma de différences finies pour lequel nous démontrons l’existence d’une mesure invariante. La démonstration se base sur des résul-tats de Khas’minskii ainsi que la construction de la solution des équations différentielles stochastiques. Aussi, nous généralisons ce résultat au cas pé-riodique en appliquant également le théorème de Khas’minskii.
v
Abstract
We considere the stochastic equation system corresponding to the des-cription of the motion of a barotropic viscous gas in one-dimensional. We obtain an estimate of the energy applying the Ito formula. This estimate does not allows us to demonstrate the existence of an invariant measure. There-fore, we consider the discretized equations. The existence of an invariant measure for this discretised problem in the stationary case is established. Also, we generalize this result in the periodic case ; proving the existence of a periodic measure for this problem. The proof is based on the application the Khas’minskii’s theorem.
صخلم
ربتعن ةلداعم ةيئاوشع نم زاغلا ا لل جز تاذ دعب دحاو . نم اننكمي لا هنكل ةقاطلل ريدقت اندجو ,وتيا ةغيص قيبطتب تابثإ دوجو انلمعتسا ضرغلا اذهل .تباث سايق تلاداعملا ةيبيرقتلا .تلاداعملا هذهل تباث سايق دجوي هنا انيب و تابثلا هنا لاوا انيب ,كلذ ي دجو لح هذهل ديحو تلاداعملا لامعتسا اننكمي هنمو ةيرظن ''يكسنمساه '' سايق دوجو تابثا لجا نم نلا ميمعت نم اضيا انكمت .تباث ةجيت لا يف اهيلع لصحتملا ةلاح ةيرودلا انلمعتسا ثيح ةخسن ةلدعم لايلق نم ةيرظن '' ''يكسنمساه .يرود سايق دوجو تابثلإTable des matières
1 Rappel sur les équations stochastiques et la mesure
inva-riante 7
1.1 Equations stochastiques dans Rn . . . . 7
1.1.1 Notions générales . . . 7
1.1.2 Formule d’Ito . . . 8
1.1.3 Existence et unicité de la solution . . . 9
1.2 Equations stochastiques dans un espace de Hilbert . . . 10
1.2.1 Notions générales . . . 10
1.2.2 Formule d’Ito . . . 11
1.2.3 Existence et unicité de la solution . . . 12
1.3 Mesure invariante pour les équations stochastiques dans Rn . 14 1.3.1 Définition de la mesure invariante . . . 14
1.3.2 Existence d’une mesure invariante . . . 14
1.3.3 Unicité de la mesure invariante . . . 17
1.4 Mesure invariante pour une équation stochastique dans un espace de Hilbert . . . 18
1.4.1 Définition d’une mesure invariante pour un semi-groupe de Markov . . . 18
1.4.2 Existence d’une mesure invariante pour un semi-groupe de Markov . . . 19
1.4.3 Mesure invariante pour une équation stochastique dans un espace de Hilbert . . . 21
2 Equation stochastique du mouvement d’un gaz visqueux 23 2.1 Equation déterministe du mouvement d’un gaz visqueux . . 23 2.1.1 Système d’équations général . . . 23 2.1.2 Modèle d’un gaz barotropique . . . 24 2.1.3 Equation du mouvement d’un gaz en une dimension
spatiale en coordonnées eulériennes . . . 26 2.1.4 Equation du mouvement d’un gaz en une dimension
spatiale en coordonnées lagrangiennes . . . 27 2.2 Equations stochastiques en une variable spatiale en
coordon-nées eulériennes et lagrangiennes . . . 29 2.3 Existence et unicité de la solution . . . 32 2.4 Estimation de l’énergie . . . 34 2.5 Quelques tentatives sur le comportement asymptotique . . . 39
3 Equation stochastique du mouvement d’un gaz visqueux dans
un domaine discrétsé 43
3.1 Domaine discrétisé du mouvement d’un gaz visqueux . . . . 43 3.2 Formulation des équations et préliminaires . . . 45 3.3 Existence et unicité de la solution avec une donnée initiale . 47 3.4 Existence d’une mesure invariante . . . 54
4 Solution périodique 59
4.1 Définition de la solution périodique . . . 59 4.2 Théorème de Khas’minskii pour l’existence de la solution
pé-riodique . . . 62 4.3 Position du problème et résultat principal pour l’équation
d’un gaz visqueux barotropique . . . 69 4.4 Démonstration de l’existence d’une mesure périodique . . . . 70
5 Remarques finales 73
5.1 Question de la convergence de mesures invariantes . . . 73 5.2 Perspectives . . . 75
Introduction
D
epuis quelques années, la question liée à la mesure invariante est devenue un des thèmes centraux de la recherche sur les équations stochastiques et a fait l’objet de nombreux travaux. Plusieurs auteurs se sont intéressés à son existence et à son unicité dans des contextes plus ou moins variés. Sans être exhaustif, nous pouvons citer quelques travaux qui ont marqué la recherche dans ce domaine à savoir Da Prato et Zabczyk [13], Da Prato [12] et Prévot et Röckner [33]. L’équation de Navier Stokes stochastique, quant à elle, a inspiré plusieurs auteurs. Citons par exemple ceux de Cruzeiro [9], Albeverio et Cruzeiro [2], Flandoli [16] et Flandoli et Gozzi [17] qui ont pris en compte plusieurs types de perturbations stochastiques pour démontrer l’existence et l’unicité de la mesure invariante. Aussi, Rudnicki [34] a démontré l’exis-tence et l’unicité de la mesure invariante pour le modèle proie-prédateur, en précisant les conditions sur les coefficients de l’équation pour l’existence de la mesure invariante et l’extension de son support. Citons enfin l’article de Choijnowska-Michalik et Goldys [8] qui donnent les conditions d’existence et d’unicité de la mesure invariante pour les équations stochastiques semi linéaires.Dans ce travail, nous nous intéressons à l’existence d’une mesure invariante pour l’équation stochastique d’un gaz visqueux barotropique en coordonnées lagrangiennes en une dimension où la perturbation stochastique a l’expres-sion d’un mouvement brownien à valeurs dans un espace de Hilbert. L’exis-tence et l’unicité de la solution de ce problème avec une condition initiale ont été démontrées par Fujita Yashima et Tornatore [35].
L’application de la formule d’Ito en dimension infinie à une fonctionnelle convenablement choisie nous permet d’analyser le comportement de la solu-tion de ce problème à savoir l’estimasolu-tion de l’énergie. Mais cette estimasolu-tion ne nous permet pas pour le moment de démontrer l’existence d’une mesure invariante pour notre problème. Pour cette raison, nous allons étudier les équations discrétisées avec la régularisation de la densité. Ainsi, nous avons réussi à démontrer qu’il existe une mesure invariante et une mesure pério-dique pour ce système approché.
Le plan de travail est le suivant.
Dans le premier chapitre, nous rappelons la notion des équations différen-tielles stochastiques et la mesure invariante. Nous commençons par définir les équations stochastiques dans Rn et dans un espace de Hilbert en rappelant
les théorèmes de l’existence et l’unicité de la solution. Ensuite, nous introdui-sons la définition des mesures invariantes dans Rn en rappelant le théorème
de Khas’minskii [22] pour l’existence d’une mesure invariante. Ainsi, nous rappelons la notion des mesures invariantes pour les semi-groupes de Markov sur un espace de Hilbert en énonçant le théorème de Krylov-Bogoliubov qui nous permet de démontrer l’existence d’une mesure invariante relativement à un processus de Markov sur un espace de Hilbert.
Dans le deuxième chapitre, nous introduisons les équations du mouvement d’un gaz visqueux. Nous rappelons d’abord les équations déterministes en introduisant le modèle d’un gaz barotropique en coordonnées eulériennes et lagrangiennes. Ensuite, nous rappelons les équations stochastiques en une variable spatiale en coordonnées eulériennes et lagrangiennes. Ainsi, nous énnonçons le théorème de l’existence et l’unicité de la solution et nous étu-dions le comportement de la solution à savoir l’obtention d’une estimation de l’énergie pour l’équation stochastique d’un gaz visqueux barotropique. L’application de la formule d’Ito à une fonctionnelle convenablement choisie nous a permis d’obtenir cette estimation qui devrait nous être utile pour démontrer l’existence d’une mesure invariante mais malheureusement, pour des raisons techniques, nous est difficile à exploiter. Enfin, nous étudions quelques tentatives sur le comportement asymptotique.
Le troisième chapitre consiste à l’étude d’un problème approché concer-nant l’existence d’une mesure invariante pour l’équation stochastique d’un gaz visqueux barotropique en coordonnées lagrangiennes en une dimension faites par une discrétisation du domaine et une régularisation de la densité. Cette discrétisation peut correspondre à un schéma de différences finies du système. Nous avons d’abord obtenu, d’après les résultats généraux sur les EDS, l’existence et l’unicité de la solution avec des données initiales. En-suite, en s’inspirant du théorème de Khas’minskii [22], un choix convenable de la fonction de Khas’minskii nous permet de vérifier les hypothèses du théorème de sorte que l’on obtient l’existence d’une mesure invariante.
Ainsi, dans le quatrième chapitre, nous généralisons le résultat obtenu dans le chapitre 3 en étudiant le cas périodique. Nous rappelons le théorème de Kha’sminskii pour démontrer l’existence d’une solution périodique. Ensuite, nous étudions le cas périodique pour l’équation de gaz visqueux barotropique en une dimension dans un domaine discrétisé. Nous avons également réussi à démontrer l’existence d’une mesure périodique en appliquant le théorème de Khas’minskii.
Enfin, dans le cinquième chapitre, nous introduisons le problème de conver-gence des mesures invariantes et nous terminons par donner des perspectives
de notre travail ; en effet nous comptons examiner la possibilité de donner l’interprétation à l’éventuelle limite de la suite des mesures invariantes du système discrétisé, i.e., dans quel sens on pourra dire que cette limite est une mesure invariante pour le système continu.
Chapitre
1
Rappel sur les
équa-tions stochastiques et
la mesure invariante
Thèse de do ctorat 2013.1.1
Equations stochastiques dans R
n1.1.1
Notions générales
L
es notions générales et les théorèmes fondamentaux de la théorie des probabilités que nous allons utiliser dans cette thèse sont donnés dans plu-sieurs ouvrages comme [4], [18], [20], [21] et d’autres. Pour ne pas alourdir l’exposé, nous allons les citer explicitement seulement lorsque nous désirons le souligner, en renvoyant généralement à eux, sans les citer chaque fois, la définition des notions essentielles et leurs propriétés fondamentales.Nous considérons un espace probabilisé filtré (Ω, F , Ft, P) et un mouvement
brownien W (t), t ≥ 0, à valeurs dans Rm, adapté à (Ω, F , Ft, P) (plusieurs
auteurs utilisent la dénomination “processus de Wiener” au lieu de “mou-vement brownien”, mais dans cette thèse nous utilisons la dénomination “mouvement brownien”, ce qui n’implique évidemment aucun changement de contenu). Pour la commodité de la présentation, en adoptant les nota-tions de [18], nous posons, pour 1 ≤ p < ∞,
LpW[0, T ] =nf nonanticipatives : Ph Z T
0
MWp [0, T ] =nf ∈ LpW[0, T ] : Eh Z T
0
|f (t)|pdti < ∞o.
Comme il est bien connu, on définit d’abord l’intégrale stochastique d’Ito Z t
0
f (t0)dW (t0)
pour les fonctions f ∈ M2
W[0, T ], qui jouit des propriétés fondamentales des
intégrales stochastiques (pour les détails, voir par exemple [18]).
Dans cette thèse, nous considérons les équations stochastiques pour un pro-cessus stochastique inconnu ξ(t) (0 ≤ t ≤ T ) à valeurs dans Rn ayant la
forme ξ(t) = ξ(0) + Z t 0 b(s, ξ(s))ds + Z t 0 σ(s, ξ(s))dW (s), (1.1) où b(t, x) = (b1(t, x), · · · , bn(t, x)), σ(t, x) = (σij(t, x))i=1,··· ,n j=1,··· ,m sont mesu-rables en (t, x) ∈ [0, T ] × Rn. Dans (1.1)Rt
0b(s, ξ(s))ds est l’intégrale dans le
sens usuel, tandis queR0tσ(s, ξ(s))dW (s) est l’intégrale stochastique d’Ito. Il est clair que, pour que l’égalité (1.1) soit bien définie, ces intégrales doivent être bien définies et donc on exige normalement que b(t, ξ(t)) ∈ L1
W[0, T ] et
σ(t, ξ(t)) ∈ L2
W[0, T ].
Or, bien que l’équation stochastique, pour qu’elle soit bien définie, doive avoir la forme intégrale comme dans (1.1), aujourd’hui la convention de son écriture “différentielle”
dξ(t) = b(t, ξ(t))dt + σ(t, ξ(t))dW (t), (1.2)
ξ(0) = ξ0, (1.3)
est très répandue. Pour cette raison, dans la suite nous utiliserons librement la forme “intégrale” du type (1.1) et la forme “différentielle” du type (1.2) de l’équation stochastique.
1.1.2
Formule d’Ito
L’égalité dite formule d’Ito est un des outils les plus fréquemment utilisés pour l’étude des équations stochastiques et nous allons nous aussi l’utiliser à plusieurs reprises dans la suite. Pour cette raison il nous semble utile de la citer ici. Nous la citons dans la forme formulée pour un processus stochastique ayant la forme
ξ(t) = ξ(0) + Z t 0 b(t0)dt0+ Z t 0 σ(t0)dW (t0), (1.4)
où b = (b1, · · · , bn) ∈ L1W[0, T ] et σ = (σij)i =1,··· ,n j=1,··· ,m
∈ L2
W[0, T ].
Théorème 1.1.1 Soit ξ(t) = (ξ1(t), · · · , ξn(t)) un processus stochastique
ayant la forme (1.4). Si u(t, x) est une fonction continue dans [0, ∞[×Rn
admettant aussi les dérivées continues ∂u ∂t, ∂u ∂xi , ∂ 2u ∂xi∂xj , i, j = 1, · · · , n, alors on a u(t, ξ(t)) = u(t0, ξ(t0)) + Z t t0 " ∂u ∂t(t 0 , ξ(t0)) + n X i=1 ∂u ∂xi (t0, ξ(t0))bi(t0) +1 2 m X k=1 n X i,j=1 ∂2u ∂xi∂xj (t0, ξ(t0))σik(t0)σjk(t0) # dt0 (1.5) + Z t t0 m X k=1 n X i=1 ∂u ∂xi (t0, ξ(t0))σik(t0))dWk(t0).
Pour la démonstration du théorème, voir par exemple [18].
1.1.3
Existence et unicité de la solution
En ce qui concerne l’existence et l’unicité de la solution de l’équation (1.1) (ou du problème (1.2)-(1.3)), le théorème fondamental est celui d’existence et d’unicité de la solution sous la condition que les coefficients sont lipschitziens. Nous le citons dans la forme suivante.
Théorème 1.1.2 Supposons que b(t, x) = (b1(t, x), · · · , bn(t, x)) et σ(t, x) =
(σij(t, x))i=1,··· ,n
j=1,··· ,m sont mesurables en (t, x) ∈ [0, T ] × R
n et vérifient les
in-égalités
|b(t, x) − b(t, x)| ≤ K1|x − x|, |σ(t, x) − σ(t, x)| ≤ K1|x − x|,
|b(t, x)| ≤ K2(1 + |x|), |σ(t, x)| ≤ K2(1 + |x|)
pour tout t ∈ [0, T ], x,x ∈ Rn, où K
1 et K2 sont deux constantes. Soit ξ0 une
variable aléatoire à valeurs dans Rn telle que E|ξ0|2 < ∞ et indépendante de
la tribu F (W (t), 0 ≤ t ≤ T ) engendrée par les trajectoires du mouvement brownien W (t), 0 ≤ t ≤ T , à valeurs dans Rm. Alors, il existe une solution
ξ(t) et une seule de l’équation (1.1) (c’est-à-dire, du problème (1.2)-(1.3)) dans MW2 [0, T ].
Notons que l’unicité de la solution est comprise au sens des trajectoires, c’est à dire, si ξ1(t), ξ2(t) sont deux solutions de l’équation (1.1) (ou du problème
(1.2)-(1.3)), alors on a
P({ξ1(t) = ξ2(t) pour tout t ∈ [0, T ]}) = 1.
Pour la démonstration du théorème 1.1.2, voir par exemple [18].
De différentes formes de généralisation de ce théorème sont possibles et connues et elles sont utilisées par divers auteurs dans diverses situations concernant les équations différentielles stochastiques. En effet, dans la suite nous montrerons nous aussi une forme particulière de cette généralisation pour résoudre notre problème.
1.2
Equations stochastiques dans un espace de
Hilbert
1.2.1
Notions générales
Dans la section précédente nous avons considéré les équations stochas-tiques (1.1) (ou (1.2)-(1.3)) pour un processus stochastique à valeurs dans Rn. Une des généralisations naturelles de ces équations est une équation stochastique dans un espace de Hilbert. En outre, comme le système d’équa-tions de Navier-Stokes stochastiques (système d’équad’équa-tions de Navier-Stokes perturbé par une perturbation stochastique) ou l’équation de Burgers sto-chastique (équation de Burgers perturbée par une perturbation stosto-chastique) font partie de cette catégorie et que nous devons faire la comparaison entre la version discrétisée (donc dans un espace de dimension finie) et la version continue (donc dans un espace de dimension infinie) du système d’équations du mouvement d’un gaz avec une perturbation stochastique, nous sommes intéressés à donner une description générale des équations stochastiques dans un espace de Hilbert.
Soit H un espace de Hilbert réel séparable. Nous considérons l’équation
ξ(t) = ξ0+ Z t 0 b(s, ξ(s))ds + Z t 0 σ(s, ξ(s))dW (s), (1.6)
ou, dans l’écriture “différentielle” conventionnelle,
ξ(0) = ξ0, (1.8)
pour un processus stochastique inconnu ξ(t) défini sur l’espace probabilisé (Ω, F , P) à valeurs dans H. Dans (1.6) (ou (1.7)), W (t) est un mouvement brownien à valeurs dans H.
Ici, nous considérons le mouvement brownien W (t) ayant la forme
W (t) =
∞
X
k=1
λkekWk(t), (1.9)
où λk, k = 1, 2, · · · , sont des nombres réels positifs, {ek}∞k=1 est une base
orthonormale de H et Wk(t), t ∈ [0, T ], k = 1, 2, · · · sont des mouvements browniens canoniques à valeurs réelles indépendants définis sur l’espace pro-babilisé (Ω, F , P). En vertu du théorème de la représentation d’une variable aléatoire gaussienne dans un espace de Hilbert (voir [13], [33]), l’hypothèse que le mouvement brownien W (t) a la forme (1.9) ne restreint pratiquement pas la généralité. Pour l’approfondissement sur le mouvement brownien dans un espace de Hilbert, on peut consulter [13] et [33].
Dans (1.6), l’intégrale R0tb(s, ξ(s))ds doit être considérée au sens de Boch-ner, tandis que le terme R0tσ(s, ξ(s))dW (s) est l’intégrale stochastique dans l’espace de Hilbert H. Cette dernière a été introduite premièrement par Ku-nita [27] et a été étudiée par divers auteurs (voir [30], [32], etc...). Pour l’étude des équations stochastiques dans un espace de Hilbert, une présenta-tion plus récente des définiprésenta-tions et des propriétés de l’intégrale de Bochner et de l’intégrale stochastique en dimension infinie est décrite dans [13] et [33].
1.2.2
Formule d’Ito
Il existe différentes manières de définir la formule d’Ito en dimension infinie. Dans la présente thèse nous allons utiliser celle donnée par Pardoux [32]. Soient E un espace de Banach, H et K deux espaces de Hilbert séparables et Φ : E × H → K une application admettant les dérivées (au sens de Fréchet)
Φ1,0 = ∂Φ(e,h) ∂e , Φ 0,1 = ∂Φ(e,h) ∂h et Φ 0,2 = ∂2Φ(e,h) ∂h2 = ∂h∂( ∂Φ(e,h) ∂h ) en tout point
(e, h) ∈ E × H. Notons que
Φ1,0(e, h) ∈ L(E, K),
Φ0,1(e, h) ∈ L(H, K), Φ0,2(e, h) ∈ L(L1(H0, H); K),
où L(X, Y ) est l’espace des opérateurs linéaires continus de X dans Y , tandis que L1(X, Y ) est l’espace des opérateurs nucléaires de X dans Y (voir [33]).
Nous désignons également par M2
loc(X) l’espace de toutes les martingales à
valeurs dans X continues et de carré localement intégrables.
Théorème 1.2.1 On suppose que Φ : E × H → K vérifient les conditions : (i) Φ, Φ1,0, Φ0,1 et Φ0,2 sont bornées sur les bornés de E × H,
(ii) Φ, Φ1,0 et Φ0,1 sont continues de E × H dans K, L(E, K) et L(H, K) respectivement,
(iii) pour tout k0 ∈ K0, Q ∈ L(H0, H), l’application
(e, h) → (k0, Φ0,2(e, h)Q)
est continue de E × H dans R.
Soient Vt un processus adapté, continu et à variations bornées à valeurs dans
E et Mt∈ M2loc(H). On a alors la relation
Φ(Vt, Mt) = Φ(V0, M0) + Z t 0 Φ1,0(Vs, Ms)dVs (1.10) + Z t 0 Φ0,1(Vs, Ms)dMs+ 1 2 Z t 0 Φ0,2(Vs, Ms)dhhM iis,
où hhM iis est le processus à valeurs dans L1(H0, H), continu et à variations
bornées sur tout intervalle compact de R+ (voir [32], théorème 2.8). Nous renvoyons la démonstration de ce théorème à [32].
1.2.3
Existence et unicité de la solution
Nous trouvons plusieurs types de définition de la solution d’une équation stochastique dans un espace de Hilbert ou plus généralement dans un espace de Banach (solution forte, solution mild et solution faible) et de différents types de théorème d’existence et d’unicité de la solution d’une équation stochatique. Ici, nous nous limitons à considérer les équations linéaires et à citer un théorème donné dans [13] ; ce théorème est souvent utilisé comme outil fondamental de l’étude d’une équation stochastique dans un espace de Hilbert.
Considérons un espace de Hilbert réel séparable H et l’équation linéaire
ξ(0) = ξ0, (1.12)
où A est un opérateur linéaire défini sur D(A) ⊂ H à valeurs dans H et B est un opérateur linéaire défini sur un espace de Hilbert U à valeurs dans H, tandis que f est un processus stochastique à valeurs dans H.
On suppose que le problème de Cauchy déterministe
u0(t) = Au(t), u(0) = x ∈ H
est bien posé (voir [13], Appendix A). En outre on suppose les conditions suivantes :
(1) A engendre un semi-groupe continu S(·) dans H, (2) B ∈ L(U, H),
(3) f est un processus prévisible (pour la définition, voir [13]), (4) ξ0 est F0-mesurable,
(5) on a
Z t
0
T r[S(r)BQB∗S∗(r)]dr < +∞,
où T r désigne la trace définie par
T rA = X
k∈N\{0}
hAek, ekiH
({ek}∞k=1 : une base orthonormale de H) et Q est l’opérateur qui défini le
mouvement brownien W (voir [33]).
Sous ces conditions on a le théorème suivant.
Théorème 1.2.2 Sous les hypothèses (1)-(5), l’équation (1.11) avec la condi-tion (1.12) admet une solucondi-tion faible, donnée par
ξ(t) = S(t)ξ0+ Z t 0 S(t − s)f (s)ds + Z t 0 S(t − s)BdW (s), t ∈ [0, T ]. (1.13)
1.3
Mesure invariante pour les équations
sto-chastiques dans R
n1.3.1
Définition de la mesure invariante
Considérons l’équation stochastique
dξ(t) = b(ξ(t))dt + σ(ξ(t))dW (1.14) pour un processus stochastique inconnu ξ(t) à valeurs dans Rn; dans (1.14)
b(·) et σ(·) sont des fonctions définies sur Rnà valeurs dans Rnet dans Rn×m respectivement (ici nous désignons par Rn×m l’espace des matrices n × m), tandis que W = W (t) est le mouvement brownien dans Rm. Si une mesure
de probabilité µ définie sur Rn jouit de la propriété suivante : si une variable aléatoire ξ0 à valeurs dans Rn a la mesure de probabilité µ et si la solution
ξ(t) de l’équation (1.14) avec la condition initiale ξ(0) = ξ0a la même mesure
de probabilité µ sur Rn, c’est-à-dire, pour tout t ≥ 0, on a µ(ξ(t) ∈ B) = µ({ξ0 ∈ B}) ∀B ∈ B(Rn),
alors il est légitime d’appeler µ mesure invariante pour l’équation (1.14). Comme nous allons utiliser le théorème de Khas’minskii pour l’existence d’une mesure invariante, nous formulons la définition d’une mesure inva-riante selon la terminologie de Khas’minskii (voir [22]).
Définition 1.3.1 Un processus stochastique ξ(t) = ξ(t, ω), −∞ < t < +∞, à valeurs dans Rn est dit stationnaire si, pour chaque suite finie de nombres
{t1, · · · , tk}, la distribution des variables aléatoires ξ(t1+ h), · · · , ξ(tk+ h)
est indépendante de h.
La solution stationnaire de l’équation (1.14), toujours selon la terminologie de [22], est le processus stochastique ξ(t) qui vérifie (1.14) presque surement. La mesure invariante pour l’équation (1.14) est la mesure de probabilité induite par les variables aléatoires ξ(t) (t ∈ R) quand ξ(t) est la solution stationnaire de l’équation (1.14).
1.3.2
Existence d’une mesure invariante
Considérons l’équation stochastique (1.14). Le théorème fondamental pour l’existence d’une mesure invariante pour une équation stochastique du type (1.14) est celui de Khas’minskii ([22], Chap. III, théorème 5.1), que nous citons ci-dessous.
Théorème 1.3.2 On suppose qu’il existe un x0 ∈ Rn tel que l’équation
(1.14) avec la condition initiale ξ(0) = x0 admet une solution ξ(t) définie
sur tout l’intervalle [0, ∞[, et que, pour tout R > 0, il existe une constante KR telle que
|b(x) − b(y)| + |σ(x) − σ(y)| ≤ KR|x − y|, si |x| ≤ R, |y| ≤ R, (1.15)
|b(x)| + |σ(x)| ≤ KR(1 + |x|), si |x| ≤ R. (1.16)
Supposons qu’il existe une fonction V ∈ C2(Rn) telle que
V (x) ≥ 0, pour tout x ∈ Rn, (1.17) sup |x|>R LV (x) → −∞, pour R → +∞, (1.18) où L = n X i=1 bi ∂ ∂xi +1 2 n X i,j=1 m X k=1 σikσjk ∂2 ∂xi∂xj . (1.19)
Alors la solution de l’équation (1.14) est un processus de Markov station-naire.
Notons qu’un processus stochastique ξ(t), t ≥ 0, défini dans l’espace pro-babilisé (Ω, F , P) à valeurs dans l’espace mesurable (Rn, B) est appelé pro-cessus de Markov s’il vérifie la propriété de Markov, i.e., pour tout A ∈ B, 0 ≤ s < t,
P{ξ(t) ∈ A|Ns} = P{ξ(t) ∈ A|ξ(s)}, p.s.,
où Ns est la σ−algèbre engendrée par les évenement ayant la forme
{ξ(u) ∈ A}, u ≤ s, A ∈ B.
Comme les raisonnements de la démonstration du théorème 1.3.2 vont jouer un rôle important dans l’étude de nos problèmes (Chapitre 3 et 4), nous reproduisons ci-dessous la démonstration illustrée dans [22].
Pour la démonstration du théorème 1.3.2, nous avons besoin du lemme sui-vant.
Lemme 1.3.1 Soient ξ(u) un processus satisfaisant l’équation (1.14) sur [s, T ], V ∈ C2(Rn), U un domaine borné dans Rn, τ
U = inf{u : ξ(u) /∈ U }
et
Supposons que P{ξ(s) ∈ U } = 1, (1.21) alors on a E(V (ξ(τU(t))) − V (ξ(s))) = E Z τU(t) s LV (ξ(u))du.
Pour la démonstraton, voir [22].
Démonstration du théorème 1.3.2 Notons ξy(t), t ≥ 0, la solution ξ(t) de l’équation (1.14) avec la condition ξ(0) = y.
Supposons que y ∈ Uq où Uq = {x ∈ Rn : |x| < q}. Comme V ∈ C2(Rn),
d’après le lemme 1.3.1, on a
E(V (ξy(τq(t))) − V (y)) = E
Z τq(t)
0
LV (ξy(u))du, (1.22)
où τq = inf{u : ξ(u) /∈ Uq}.
Posons
AR = − sup |x|>R
LV (x),
alors la condition (1.18) nous donne
LV (ξy(u)) ≤ −χ{|ξy(u)|>R}(ω)AR+ sup
y∈Rn
LV (y), (1.23)
où χB est la fonction indicatrice de B ⊂ Ω.
En intégrant χ{|ξy(u)|>R}(ω)AR de 0 à τq(t) et en appliquant l’espérance
ma-thématique, on peut déduire de l’inégalité (1.23) que
ARE
Z τq(t)
0
χ{|ξy(u)|>R}(ω)du ≤ −E
Z τq(t) 0 LV (ξy(u))du (1.24) + sup y∈RnLV (y)E Z τq(t) 0 du.
Substituons (1.22) dans l’inégalité (1.24), alors on obtient
ARE
Z τq(t)
0
χ{|ξy(u)|>R}(ω)du ≤ −E(V (ξy(τq(t)))) + V (y) (1.25)
+ sup
y∈RnLV (y)E
Z τq(t)
0
D’après la condition (1.17), on peut trouver deux constantes c1 et c2 telles que ARE Z τq(t) 0 χ{|ξy(u)|>R}(ω)du ≤ c1t + c2. (1.26)
Puisque ξy(t) est défini pour tout t ≥ 0, on a τ
q → t quand q → ∞ et donc
en passant à la limite dans (1.26), on obtient
1 t Z t 0 P (y, u, UR)du < c3 AR . (1.27)
En tenant compte de (1.18), ceci nous permet d’utiliser une version du théo-rème 2.1 du chapitre III de [22] où l’on utilise uniquement la suffisance et en considérant dans (1.27) la lim au lieu de la lim inf. D’où l’existence d’un processus de Markov stationnaire pour l’équation (1.14). 2
1.3.3
Unicité de la mesure invariante
En ce qui concerne l’unicité de la mesure invariante et la convergence de la solution vers elle, on connaît divers résultats. Ces résultats, en général, exigent des conditions plus restrictives que le théorème d’existence. La com-plexité de notre équation (3.6)-(3.7) (voir plus bas le chapitre 3) ne nous permet pas de démontrer facilement que ces conditions soient vérifiées pour notre équation. En effet, nous avons fais des tentatives qui ne nous ont pas permis pour le moment de démontrer l’unicité. Pour cette raison, en ren-voyant à une étude future cette question de l’unicité, dans la présente étude nous nous contentons de l’existence d’une mesure invariante.
Nous pouvons démontrer que l’équation (1.14) dans Rn, dans laquelle σ(t, ξ(t))
est une matrice diagonale n × n dont les éléments diagonaux sont tous stric-tement positifs et b(ξ(t)) est de classe C∞(Rn) et telle que
hb(x), xi ≤ C1− C2|x|2, C1 ≥ 0 et C2 > 0,
admet une mesure invariante une et une seule et toutes les solutions de l’équation convergent vers la mesure invariante.
1.4
Mesure invariante pour une équation
sto-chastique dans un espace de Hilbert
1.4.1
Définition d’une mesure invariante pour un
semi-groupe de Markov
Même si notre résultat principal ne concerne pas directement les mesures in-variantes pour une équation stochastique dans un espace de Hilbert, comme nous le verrons dans le chapitre 2, notre problème est lié d’une manière na-turelle à une équation stochastique dans un espace de Hilbert (ou dans un espace de Banach) et à la question d’une mesure invariante pour cette équa-tion. Il nous sera donc fort utile de rappeler la notion de mesure invariante pour une équation stochastique dans un espace de Hilbert et des résultats concernant ce problème.
En réalité, comme nous le verrons dans le chapitre 2, l’équation stochastique du mouvement d’un gaz visqueux qui nous intéresse ne peut être considérée simplement comme équation stochastique à valeurs dans un espace de Hil-bert, ce qui nous empêche d’appliquer directement la théorie des mesures invariantes pour les équations stochastiques dans un espace de Hilbert. Tou-tefois, parmi les équations stochastiques dans un espace de dimension in-finie, à notre connaissance, seulement les équations stochastiques dans un espace de Hilbert a eu une étude suffisamment développée pour les mesures invariantes. Nous allons donc rappeler d’abord la définition de la mesure invariante d’un semi-groupe de Markov (qui sera appliquée à la solution des équations stochastiques dans un espace de Hilbert), définition formulée dans [10] (voir aussi [8], [13]).
Dans [12], [33], on trouve une version mieux formulée de la mesure invariante dans un espace de Hilbert, que nous allons suivre. Rappelons que la définition donnée dans [12], [33], de la mesure invariante dans un espace de Hilbert est formulée comme celle d’un semi-groupe.
Désignons par L(U, V) l’espace des opérateurs linéaires et bornés d’un es-pace de Banach U dans un eses-pace de Banach V et par Cb(H) = Cb(H, R)
l’espace des applications d’un espace de Banach H dans R uniformément continues et bornées muni de la norme kϕk0 = supx∈H|ϕ(x)|. Nous posons
L(U) = L(U, U). Désignons en outre par Bb(H) = Bb(H, R) l’espace de
toutes les applications boréliennes de H dans R et par P(H) l’espace de toutes les mesures de probabilité définies sur l’espace mesurable (H, B(H)). Ce symbolisme nous permet de formuler une définition de semi-groupe
d’opé-rateurs dans un espace de Banach H (dans la suite nous considérerons seule-ment le cas où H est un espace de Hilbert, mais la définition suivante du semi-groupe peut être formulée sans difficulté pour le cas où H est un espace de Banach).
Définition 1.4.1 On appelle semi-groupe de Markov (homogène) toute ap-plication P : [0, +∞) → L(Bb(H)) vérifiant les relations
(i) P0 = Id et PtPs= Pt+s pour tout s, t ≥ 0 ( Id désigne l’application
identique),
(ii) pour tout t ≥ 0 et pour tout x ∈ H, il existe une mesure de probabilité πt(x, ·) ∈ P(H) telle que
Ptϕ(x) =
Z
H
ϕ(y)πt(x, dy), ∀ϕ ∈ Bb(H),
(iii) pour tout ϕ ∈ Cb(H) ( resp. Bb(H) ) et x ∈ H, l’application t → Ptϕ(x)
est continue (resp. mesurable).
Soit (Pt)t≥0 un semi-groupe de Markov sur H (dans le sens de la définition
1.4.1). Maintenant on définit la mesure invariante.
Définition 1.4.2 On appelle mesure invariante pour le semi-groupe de Markov (Pt)t≥0 toute mesure de probabilité µ ∈ P(H) vérifiant la relation
Z H (Ptϕ)(x)µ(dx) = Z H ϕ(x)µ(dx), ∀ϕ ∈ Bb(H), t ≥ 0. (1.28)
1.4.2
Existence d’une mesure invariante pour un
semi-groupe de Markov
Pour démontrer l’existence d’une mesure invariante pour un semi-groupe markovien d’opérateurs, le théorème de Krylov-Bogoliubov, joint au théo-rème de Prokhorov, joue le rôle fondamental. Rappelons d’abord le théothéo-rème de Prokhorov.
Théorème 1.4.3 Soit Λ un sous-ensemble de P(H). Si, quelque soit ε > 0, il existe un ensemble compact Kε de H tel que
alors il existe une suite {µj}∞j=1 d’éléments de Λ et une mesure de probabilité µ ∈ P(H) telles que lim j→∞ Z H ϕ(x)µj(dx) = Z H ϕ(x)µ(dx) ∀ϕ ∈ Cb(H). (1.30)
Les ensembles vérifiant la condition (1.29) sont souvent dits “tight ” dans la litérature, tandis que l’ensemble de mesures de probabilités admettant une sous-suite {µj}∞j=1 vérifiant (1.30) peut être dit relativement faiblement
compact.
Pour la démonstration du théorème de Prokhorov, on peut consulter par exemple [12], [20].
Nous citons maintenant le théorème de Krylov-Bogoliubov. Ce théorème a été démontré premièrement dans [26], mais ici pour la commodité de la présentation, nous le citons dans la version donnée dans [12].
Théorème 1.4.4 Supposons que pour certain x0 ∈ H, il existe Fx0(ϕ) défini
par
Fx0(ϕ) := lim
t→+∞Ptϕ(x0), (1.31)
pour tout ϕ ∈ Cb(H). Alors, Fx0 est une fonctionnelle définie sur Cb(H) à
valeurs dans R telle que
Fx0(χH) = 1,
où χH est la fonction indicatrice de H, notée également dans la littérature
par 1, qui est la fonction définie sur H identiquement égale à 1. De plus, Fx0 est invariante pour Pt dans le sens
Fx0(Ptϕ) = Fx0(ϕ), (1.32)
pour tout ϕ ∈ Cb(H) et t ≥ 0.
Pour la démonstration de ce théorème, voir [12].
Comme en pratique, la condition (1.31) est difficile à obtenir, nous allons énoncer une autre version du théorème de Krylov-Bogoliubov, qui assure également l’existence d’une mesure invariante avec des hypothèses faciles à vérifier.
Théorème 1.4.5 Soit Pt un semi groupe de Markov vérifiant la propriété
de Feller. Supposons que pour certain x0 ∈ H, l’ensemble (µT)T >0 défini par
µT(E) = 1 T Z T 0 πt(x0, E)dt, E ∈ B(H), T > 0 (1.33)
vérifie l’hypothèse du Théorème 1.4.3. Alors il existe une mesure invariante pour Pt.
Pour la démonstration de ce théorème, voir [12].
1.4.3
Mesure invariante pour une équation stochastique
dans un espace de Hilbert
La solution d’une équation différentielle stochastique peut être exprimée à l’aide d’un semi-groupe markovien. Par exemple, il y a les travaux de Da Prato [10] sur l’équation de Burgers qui s’écrit sous la forme
dX = (D2 ξX − X +12Dξ(X 2))dt +√CdW, ξ ∈ [0, 2π], t ≥ 0,
X(t, ξ) est périodique en ξ de période 2π, t ≥ 0,
X(0, ξ) = x(ξ), x ∈ H, ξ ∈ [0, 2π],
(1.34) où H est l’espace de Hilbert de toutes les fonctions mesurables et périodiques de période 2π telles que
Z 2π 0
|x(ξ)|2dξ < ∞,
muni du produit scalaire
hx, yi2 =
Z 2π 0
x(ξ)y(ξ)dξ, x, y ∈ H.
Ici, C ∈ L+1(H) := L1(H) ∩ L+(H), où L1(H) est l’espace de Banach de tous
les opérateurs de classe trace dans H, i.e., L1(H) est muni de la norme
kT k1 = T r
√
T T∗, T ∈ L
1(H)
Rappelons qu’un opérateur linéaire Q ∈ L+(H) est de classe trace si, et seulement si, il existe un système orthonormal complet {ek} dans H et une
suite de nombres positifs {λk} tels que
Qek = λkek, k ∈ N et T rQ := ∞
X
k=1
λk < +∞
et W est un mouvement brownien cylindrique ( voir [33]), défini dans l’espace probabilisé (Ω, F , P) à valeurs dans H.
Pour cette équation, l’existence et l’unicité d’une solution mild ont été dé-montré ainsi que l’existence et l’unicité de la mesure invariante. Pour plus de détails, voir par exemple [10].
Citons aussi l’équation de Navier-Stokes stochastique donnée par dv = (∆ξv − v + Dξv · v)dt + ∇pdt + √ CdVt dans [0, ∞[ ×O, ∇ · v = 0 dans [0, ∞) × O,
v(·, x) est périodique de période 2π, v(0, ·) = v0 dans O,
où O = [0, 2π] × [0, 2π], ξ = (ξ1, ξ2) est le point générique dans R2.
Ici, v = (v1, v2) et p désignent respectivement la vitesse et la pression du
fluide et C est un opérateur linéaire, symétrique de classe trace et de trace finie dans (L2
])2 = L2] × L2] (produit cartésien) et L2] est l’espace de toutes
les fonctions réelles définies sur O mesurables, de carré intégrables et pério-diques de période 2π et Vt est un mouvement brownien cylindrique défini
dans l’espace probabilisé (Ω, F , P) à valeurs dans (L2 ])2.
Dans [16], l’existence et l’unicité de la solution et l’existence d’une mesure invariante de l’équation de Navier-Stokes ont été démontré en utilisant l’ap-proximation de Galerkin. Pour plus de détails, voir [10].
Chapitre
2
Equation stochastique
du
mouvement
d’un
gaz visqueux
Thèse de do ctorat 2013.2.1
Equation déterministe du mouvement d’un
gaz visqueux
2.1.1
Système d’équations général
L
es équations qui décrivent le mouvement d’un gaz visqueux se trouvent dans plusieurs ouvrages, dont [28]. Elles sont établies par les lois de la conser-vation de la masse, de la conserconser-vation de la quantité de mouvement et de la conservation de l’énergie. En suivant essentiellement la formulation de [28], nous considérons le système d’équations∂t% + ∇ · (%v) = 0, (2.1) %∂tvj+ % 3 X k=1 vk ∂ ∂xk vj + R1 ∂ ∂xj (%T ) = (2.2) = 3 X k=1 ∂ ∂xk (η( ∂ ∂xk vj+ ∂ ∂xj vk− 2 3δjk∇ · v)) + ∂ ∂xj (ζ∇ · v) + %fj, j = 1, 2, 3. %cv(∂tT + v · ∇T ) + R1%T ∇ · v = (2.3)
= κ∆v + η 3 X j,k=1 (∂vj ∂xk +∂vk ∂xj −2 3δj,k∇ · v) ∂vj ∂xk + ζ(∇ · v)2,
où % désigne la densité, v = (v1, v2, v3) la vitesse, T la température, f la force
extérieure (par l’unité de masse), tandis que η est le coefficient de viscosité d’écoulement, ζ le coefficient de viscosité volumique, cv la chaleur spécifique,
κ le coefficient de la conductibilité thermique et R1 = Rµ avec la constante
universelle des gaz R et la masse molaire du gaz µ. L’équation (2.1) exprime la loi de la conservation de la masse, (2.2) celle de la quantité de mouvement et (2.3) celle de l’énergie. Ici, la pression p est donnée par
p = R1%T, (2.4)
qui est la loi constructive de la pression du gaz idéal. Nous précisons en outre que l’équation (2.3) est la version en fonction de la tempérarure T de l’équation de la conservation de l’énergie, qui est, dans le livre [28], ex-primée en fonction de l’énergie interne. Nous pouvons considérer le système d’équations (2.1)-(2.3) (avec (2.4)) comme système d’équations fondamental du mouvement d’un gaz.
2.1.2
Modèle d’un gaz barotropique
Le système d’équations (2.1), (2.2), (2.3) est assez complexe. Pour cela, on considère souvent un système un peu simplifié en adoptant une approxima-tion qui considère la température comme foncapproxima-tion de la densité. Cela peut réduire la pression à une fonction seulement de la densité, de sorte que le système ne contiendra pas explicitement la fonction inconnue T représen-tant la température. Le gaz dont le mouvement est décrit par un système d’équations de ce type est appelé gaz barotropique.
Pour construire un modèle d’un gaz barotropique, nous partons de quelques considérations sur l’équation (2.3). Comme la diffusion de la chaleur due au flux de la chaleur −κ∇T est, dans les gaz, assez lente et la contribution à l’augmentation de la température due au frottement interne du gaz est elle aussi petite par rapport aux autres termes, cela nous permet de considérer l’équation approchée
%cv(∂tT + v · ∇T ) + R1%T ∇ · v = 0. (2.5)
gaz le rapport donné par ϑ(t, x) = T (t, x) 1 γ %(t, x)γ−1γ (2.6) avec γ = cv+R1
cv reste invariant. Plus précisement, on a le lemme suivant.
Lemme 2.1.1 Si v, % et T vérifient les équations (2.1) et (2.5) dans le domaine Ω pour t0 ≤ t ≤ t1 et si la trajectoire
{ x ∈ R3| x = x(t, x
0), t0 ≤ t ≤ t1}, x(t, x0) = x0+
Z t
t0
v(t0, x(t0, x0))dt0
reste dans le domaine Ω, alors pour ϑ(t, x) donné par (2.6) on a
ϑ(t, x(t, x0)) = ϑ(t0, x0), ∀t ∈ [t0, t1]. (2.7)
Pour la démonstration, voir [1].
D’après ce lemme, on remarque que ϑ reste constante sur la trajectoire de chaque partie du gaz et on a
T (t, x) = ϑγ%(t, x)γ−1.
Si la valeur de ϑ est constante dans tout le domaine Ω, alors on peut poser
T (t, x) = ϑγ%(t, x)γ−1, (2.8)
où ϑ est une constante positive. Si on substitue la relation (2.8) dans (2.4), on obtient
p = R1ϑγ%%γ−1 = h%γ, (2.9)
où h = R1ϑγ.
Maintenant, si on substitue (2.9) dans (2.2), on a
%∂tvj + % 3 X k=1 vk ∂ ∂xk vj+ h ∂ ∂xj %γ = (2.10) = 3 X k=1 ∂ ∂xk (η( ∂ ∂xk vj+ ∂ ∂xj vk− 2 3δjk∇ · v)) + ∂ ∂xj (ζ∇ · v) + %fj, j = 1, 2, 3.
En outre, si nous considérons η et ζ comme constants, l’équation (2.10) se réduit à
%∂tv + %(v · ∇)v + h∇%γ = η∆v +
η
3 + ζ∇(∇ · v) + %f. (2.11) On remarque que le système d’équations (2.1), (2.11) est considérablement plus simple par rapport au système d’équations (2.1), (2.2), (2.3) et que la température T ne figure plus comme quantité indépendante dans le système. Ces circonstances ont certainement favorisé la réalisation de nombreux tra-vaux mathématiques concernant le système d’équations (2.1), (2.11) (voir [31], vol. 2, et les travaux cités dans ce livre). On peut trouver une descrip-tion bien faite du modèle d’un gaz barotropique dans l’Introducdescrip-tion de [31]. Pour cette sous-section nous avons utilisé également [1].
2.1.3
Equation du mouvement d’un gaz en une
dimen-sion spatiale en coordonnées eulériennes
Si on réduit le système d’équations (2.1), (2.2) et (2.3) à une seule dimension spatiale et si on considère constants les coefficients de viscosité, il s’écrit dans la forme ∂t% + ∂x(%v) = 0, (2.12) %(∂tv + v∂xv) = µ∂x2v − R1∂x(%T ) + %f, (2.13) %cv(∂tT + v∂xT ) + R1%T ∂xv = κ∂x2T + µ(∂xv)2, (2.14) où µ = 4 3η + ζ.
On peut envisager le système d’équations (2.12)-(2.14) par exemple dans le domaine D = ]0, 1[ , c’est-à-dire
0 < x < 1,
avec les conditions aux limites
v = 0, ∂xT = 0 pour x = 0, x = 1, (2.15)
et les conditions initiales
%(0, x) = %0(x), v(0, x) = v0(x), T (0, x) = T0(x), pour x ∈ [0, 1].
Or, si nous considérons le modèle (2.1), (2.11) d’un gaz barotropique et si on le réduit à une dimension spatiale, on a
∂t% + ∂x(%v) = 0, (2.17)
%(∂tv + v∂xv) = µ∂x2v − h∂x%γ+ %f. (2.18)
Le système d’équations (2.17)-(2.18) peut être envisagé par exemple dans le domaine D = ]0, 1[ avec les conditions aux limites
v = 0 pour x = 0, x = 1, (2.19)
et les conditions initiales
%(0, x) = %0(x), v(0, x) = v0(x) pour x ∈ [0, 1]. (2.20)
2.1.4
Equation du mouvement d’un gaz en une
dimen-sion spatiale en coordonnées lagrangiennes
Comme il est bien connu, lorsqu’il s’agit d’une équation du mouvement d’un gaz en une dimension spatiale, l’utilisation des coordonnées dites lagra-giennes peut être utile. Les coordonnées lagranlagra-giennes (t, x0) normalement
utilisées dans la mécanique des milieux continus utilisent la position initiale x0 comme coordonnée spatiale, de sorte que les coordonnées lagrangiennes
(t, x0) sont liées aux coordonnées eulériennes (t, x) par les relations
dx(x0; t)
dt = v(t, x(x0; t)) (2.21)
avec les conditions initiales
x(x0; 0) = x0. (2.22)
Ces relations nous conduiront à la transformation des équations (2.12)-(2.14) en ∂t% + %2 %0 ∂x0v = 0, (2.23) ∂tv + R1 1 %0 ∂x0(%T ) = µ 1 %0 ∂x0( % %0 ∂x0v) + f, (2.24) cv∂tT + R1 % %0 T ∂x0v = κ 1 %0 ∂x0( % %0 ∂x0T ) + µ % %2(∂x0v) 2 (2.25)
(pour les détails de cette transformation, voir [3], [1]).
Pour le mouvement d’un gaz en une dimension spatiale (dans un intervalle borné) on peut utiliser un autre système de coordonnées, qui est souvent plus commode. Il s’agit des coordonnées (t, ξ) dites coordonnées lagrangiennes massiques, qui sont définies par les relations
ξ = ξ(x0) =
Z x0
0
%0(x0)dx0, t = t. (2.26)
On remarque que la variable ξ = ξ(x0) représente la masse du gaz contenu
dans l’intervalle [0, x0] à l’instant t = 0. On a les relations
dξ(x0) dx0 = %0(x0), ∂ ∂x0 = dξ(x0) dx0 ∂ ∂ξ = %0(x0) ∂ ∂ξ.
Ces relations nous permettent de transformer le système d’équations (2.23)-(2.25) en un système d’équations exprimées dans les coordonnées (t, ξ) dans la forme
∂t% + %2∂ξv = 0, (2.27)
∂tv + R1∂ξ(%T ) = µ∂ξ(%∂ξv) + f, (2.28)
cv∂tT + R1%T ∂ξv = κ∂ξ(%∂ξT ) + µ%(∂ξv)2. (2.29)
Pour les détails des coordonnées lagrangiennes massiques et pour la trans-formation de (2.23)-(2.25) en (2.27)-(2.29), voir [3].
Comme dans le cas des équations en coordonnées eulériennes, on peut en-visager le système d’équations (2.27)-(2.29) par exemple dans le domaine D = ]0, 1[ avec les conditions aux limites
v = 0, ∂ξT = 0 pour ξ = 0, ξ = 1, (2.30)
et les conditions initiales
%(0, ξ) = %0(ξ), v(0, ξ) = v0(ξ), T (0, ξ) = T0(ξ), pour ξ ∈ [0, 1].
(2.31) Formellement le choix du domaine D = ]0, 1[ rassemble à celui du cas des équations en coordonnées eulériennes. Mais dans les coordonnées lagran-giennes massiques le choix du domaine D = ]0, 1[ signifie que la masse to-tale normalisée du gaz est égale à 1, tandis que l’ampleur du domaine spatial (physique) est donnée par
Z 1
0
1 %(t, ξ)dξ.
L’existence et l’unicité de la solution dans tout l’intervalle de temps du problème (2.27)-(2.31) ont été démontrées par Kazhikhov et Shelukhin dans [24].
Si nous considérons le modèle barotropique, en utlisant les coordonnées la-grangiennes massiques, nous pouvons transformer les équations (2.17)-(2.18) en
∂t% + %2∂ξv = 0, (2.32)
∂tv + h∂ξ%γ = µ∂ξ(%∂ξv) + f. (2.33)
Le système d’équations (2.32)-(2.33) peut être envisagé par exemple dans le domaine D = ]0, 1[ avec les conditions aux limites
v = 0 pour ξ = 0, ξ = 1, (2.34)
et les conditions initiales
%(0, ξ) = %0(ξ), v(0, ξ) = v0(ξ) pour ξ ∈ [0, 1]. (2.35)
L’existence et l’unicité de la solution globale du problème (2.32)-(2.35) ont été démontrées par Kazhikhov dans [23] (sur d’autres propriétés de ces équa-tions ont été étudiées dans [25] ; l’auteur de la présente thèse tient à exprimer sa gratitude au prof. H. Fujita Yashima pour avoir traduit les parties des articles en russe qui nous intéressent).
2.2
Equations stochastiques en une variable
spa-tiale en coordonnées eulériennes et
lagran-giennes
Dans la section précédente, nous avons vu la formulation déterministe du mouvement d’un gaz visqueux en une dimension spatiale en coordonnées eu-lériennes et en coordonnées lagrangiennes massiques. Si nous supposons que le mouvement du gaz est soumis à une perturbation aléatoire, il est natu-rel de proposer une équation stochastique formulée en ajoutant à l’équation déterministe une perturbation stochastique. Il y a naturellement diverses for-mulations d’une équation stochastique du mouvement d’un gaz visqueux. Si nous nous limitons aux gaz visqueux barotropiques, la première formulation naturelle serait obtenue en ajoutant à (2.18) une perturation stochastique dH ou en ajoutant à (2.33) une perturbation stochastique dG ; il nous faut
rappeler que l’équation (2.18) est exprimée dans les coordonnées eulériennes, tandis que l’équation (2.33) est exprimée dans les coordonnées lagrangiennes. En ajoutant simplement à (2.18) une perturbation stochastique dH, on a le système stochastique
%dv = [−%v∂xv + µ∂x2v − h∂x%γ]dt + %dH, (2.36)
∂t% = −∂x(%v). (2.37)
Nous considérons les équations (2.36)-(2.37) par exemple dans le domaine
0 ≤ x ≤ 1
avec les conditions
v(0) = v(1) = 0. (2.38)
Dans (2.36), H = H(t) est un processus stochastique que nous devons préci-ser. Mais avant de le préciser, nous allons faire des remarques générales sur la relation avec l’équation en coordonnées lagrangiennes.
D’une manière analogue, si on ajoute à (2.33) le terme d’une perturbation stochastique dG, on a le système d’équations
dv = [µ∂ξ(%∂ξv) − h∂ξ%γ]dt + dG, (2.39)
∂t% = −%2∂ξv. (2.40)
Nous considérons le système (2.39)-(2.40) par exemple dans le domaine
0 ≤ ξ ≤ 1
avec les conditions
v(0) = v(1) = 0. (2.41)
Il nous faut rappeler que le processus stochastique H = H(t) dans (2.36) doit être défini sur les coordonnées eulériennes 0 ≤ x ≤ 1, tandis que le pro-cessus stochastique G = G(t) dans (2.39) doit être défini sur les coordonnées lagrangiennes 0 ≤ ξ ≤ 1. C’est-à-dire, H = H(t) est une perturbation définie sur les positions spatiales x, tandis que G = G(t) est une perturbation défi-nie sur les points matériels, qui sont représentés par les coordonnées ξ. Donc, si on traduit l’équation (2.36) en l’expression en coordonnées lagrangiennes massiques, on aura
où x = x(ξ, t) = x0(ξ) + Z t 0 v(x(ξ, s), s)ds, x0(ξ) = ξ0−1(ξ), ξ0(x) = Z x 0 %0(y)dy.
D’autre part, si on traduit l’équation (2.39) en l’expression en coordonnées eulériennes, on aura %dv = [−%v∂xv + µ∂x2v − h∂x%γ]dt + %d(G ◦ ξ), (2.43) où ξ = ξ(x, t) = Z x 0 %(y, t)dy.
En résumant, les équations déterministes (2.18) et (2.33) sont équivalentes, mais les équations stochastiques (2.36) et (2.39) ne sont pas équivalentes ; l’équation (2.36) est équivalente à l’équation (2.42) et l’équation (2.39) est équivalente à (2.43). Comme les équations (2.36) et (2.39) ne sont pas équi-valentes, nous devons préciser quelle des deux équations nous considérons dans nos raisonnements. Ainsi, dans la présente thèse nous concentrons notre attention sur le système d’équations (2.39)-(2.40) avec la condition (2.41). Nous devons maintenant précisier le processus stochastique G(t). Ainsi, nous allons utiliser le mouvement brownien G(t) = W (t) à valeurs dans l’espace L2(0, 1) ayant la forme W (t) = +∞ X k=1 λkek(ξ)W(k)(t),
où λk, k = 1, 2, ··· sont des nombres réels positifs, {ek}∞k=1est une base
ortho-normale dans L2(0, 1) et W(k)(t), k = 1, 2, · · · , sont des mouvements
brow-niens à valeurs réelles indépendants définis sur l’espace probabilisé (Ω, F , P) (voir section 2 du chapitre 1).
Cette caractérisation de ce mouvement brownien dans un espace de Hilbert nous est utile pour des raisons techniques. Rappelons que, comme l’espace L2(0, 1) est un espace séparable, il existe une base orthonormale dénombrable
de L2(0, 1).
2.3
Existence et unicité de la solution
Dans [35] les auteurs ont démontré l’existence et l’unicité de la solution du système d’équations (2.39)-(2.40) (avec G(t) = W (t)) avec les conditions aux limites (2.41) et les conditions initiales. Pour la commodité de la citation, nous réécrivons ici le système d’équations
dv = [µ∂ξ(%∂ξv) − h∂ξ%γ]dt + dW, (2.44)
∂t% = −%2∂ξv, (2.45)
les conditions aux limites
v(0) = v(1) = 0 (2.46)
et les conditions initiales
v t=0 = v0, %
t=0= %0. (2.47)
Pour énoncer le théorème de l’existence et l’unicité de la solution, nous avons besoin de préciser que le mouvement brownien W (t) que l’on considère a la forme W (t) = ∞ X k=1 λkek(ξ)W(k)(t), (2.48)
où W(k)(t), k = 1, 2, · · · , sont des mouvements browniens à valeurs réelles indépendants et adaptés à un espace filtré (Ω, F , Ft, P) et
ek(ξ) =
√
2 sin kπξ, k = 1, 2, · · · . (2.49)
Nous remarquons que, comme d dξek(ξ) = √ 2kπ cos kπξ, d 2 dξ2ek(ξ) = − √ 2k2π2sin kπξ,
pour une fonction
ϕ(ξ) = ∞ X k=1 hϕ, ekiek(ξ) on a d dξϕ(·) 2 L2(0,1) = π 2 ∞ X k=1 k2hϕ, eki2, d2 dξ2ϕ(·) 2 L2(0,1)= π 4 ∞ X k=1 k4hϕ, eki2.
Ça veut dire que la condition (2.50) que l’on impose dans le théorème 2.3.1 (voir ci-dessous) signifie que le mouvement brownien W (t) donné par (2.48) avec (2.49) est un processus stochastique à valeurs dans H1
0(0, 1) ∩ H2(0, 1) ; on a en particulier EkW (t)k2H2(0,1) = Ct, C = π4 ∞ X k=1 k4λ2k.
Théorème 2.3.1 Soit donné T > 0. Soient v0 ∈ L2(Ω; H10(0, 1)) et σ0 ∈
L2(Ω; H1(0, 1)). Si W (t) est un mouvement brownien ayant la forme (2.48)
et si on a ∞
X
k=1
k4λ2k < ∞, (2.50)
alors il existe un unique couple (v, σ) de variable aléatoire v à valeurs dans L∞(0, T ; H1
0(0, 1)) ∩ L2(0, T ; H2(0, 1)) et de variable aléatoire σ à valeurs
dans L∞(0, T ; H1(0, 1)) tel que, si on pose % = eσ, (v, %) vérifie dans l’inter-valle de temps [0, T ] les équations (2.44)-(2.45) et les conditions (2.46)-(2.47) P-presque surement.
C’est la version adaptée à notre notation du théorème 2.3.1 de [35].
En renvoyant les détails de la démonstration à [35], nous rappelons ici les idées principales des auteurs : on construit d’abord la solution locale déter-ministe pour chaque ω ∈ Ω, ce qui n’est pas difficile grâce à la condition W (ω, ·) ∈ C(0, T ; H10(0, 1) ∩ H2(0, 1)) ; ensuite on traduit les solutions lo-cales déterministes en une version probabiliste comme solution stochastique dans un intervalle stochastique [0, τ ] avec un temps d’arrêt τ > 0 presque surement ; puis en définissant la famille de temps d’arrêt
τR(ω) = inf{ t > 0 | kv(ω; t)kL2(0,1)+ kW (ω; t)kL2(0,1) > R }
et en utilisant des estimations de la solution, on démontre que, quelque soit ε > 0, il existe un R > 0 tel que
P({ ω ∈ Ω | τR(ω) < T }) < ε,
d’où on déduira le théorème 2.3.1.
Il nous sera utile de rappeler que les estimations de la solution (v, %) utilisées dans cette démonstration se sont obtenues par une élaboration considérable et constituent la partie principale du travail de [35] du point de vue tech-nique.
2.4
Estimation de l’énergie
L’égalité de l’énergie que l’on peut établir pour la solution du problème (2.44)-(2.47) nous donne le bilan précis de l’énergie entre celle qui entre par la perturbation stochastique et celle qui sort par la dissipation due à la viscosité ainsi que celle accumulée dans la pression. L’égalité de l’énergie dans son expression quantitative est donnée dans la proposition suivante.
Proposition 2.4.1 Si (v, %) est une solution du problème (2.44)-(2.47) et si v0 ∈ L2(0, 1) et %0γ−1 ∈ L1(0, 1), alors on a 1 2E hZ 1 0 v2dξi+ h γ − 1E hZ 1 0 %γ−1dξi+ µEh Z t 0 Z 1 0 %(∂ξv)2dξds i (2.51) = 1 2E hZ 1 0 (v0)2dξ i + h γ − 1E hZ 1 0 (%0)γ−1dξ i + t 2 ∞ X k=1 λ2k.
Pour démontrer la proposition 2.4.1, nous commençons par le lemme suivant.
Lemme 2.4.1 Si (v, %) est une solution du problème (2.44)-(2.47), alors on a Z 1 0 v2 2dξ + h γ − 1 Z 1 0 %(γ−1)dξ − Z 1 0 v2 0 2dξ + h γ − 1 Z 1 0 %(γ−1)0 dξ = (2.52) = −µ Z t 0 Z 1 0 %(∂ξv)2dξds + Z t 0 hv, dWsi + t 2 ∞ X k=1 λ2k presque surement.
Démonstration On définit la fonctionnelle ϕ par
ϕ(t) = Z 1 0 v2 2 dξ + h γ − 1 Z 1 0 %(γ−1)dξ (2.53) et pose v = u + W.
D’après la formule d’Ito (voir chapitre 1, section 1.2), on a
ϕ(t)−ϕ(0) = Z t 0 ∂ϕ ∂udu+ Z t 0 ∂ϕ ∂ρdρ+ Z t 0 ∂ϕ ∂Ws dWs+ 1 2 Z t 0 ∂2ϕ ∂2W s dWs2, (2.54)
où ∂ϕ∂u, ∂ϕ∂%, ∂W∂ϕ, ∂W∂2ϕ2 sont des dérivées de Fréchet. On rappelle que ∂ϕ ∂u(f ) = Z 1 0 vf dξ, ∂ϕ ∂%(f ) = h Z 1 0 %γ−2f dξ, ∂ϕ ∂W(f ) = Z 1 0 vf dξ, ∂ 2ϕ ∂W2(f )(g) = Z 1 0 f gdξ. Ainsi, d’après (2.44), (2.45) et (2.48), on a ∂ϕ ∂udu = Z 1 0 [µv∂ξ(%∂ξv) − hv∂ξ%γ]dξds, ∂ϕ ∂%d% = −h Z 1 0 %γ∂ξvdξds, ∂ϕ ∂WdW = hv, dWsi , ∂2ϕ ∂W2(dW, dW ) = ∞ X k=1 Z 1 0 λ2ke2kdxds = ∞ X k=1 λ2k.
En substituant ces relations dans (2.54), on obtient
ϕ(t) − ϕ(0) = Z t 0 Z 1 0 [µv∂ξ(%∂ξv) − hv∂ξ%γ]∂ξds − h Z 1 0 Z t 0 %γ∂ξvdξds+ (2.55) + Z t 0 hv, dWsi + t 2 ∞ X k=1 λ2k.
On remarque que, en vertu de (2.46), on a
Z 1 0 (−hv∂ξργ− hργ∂ξv)dξ = Z 1 0 (∂ξ(v%γ))dξ = 0,
ce qui nous permet de déduire (2.52) de (2.55) et de (2.53). 2
Démonstration de la proposition 2.4.1 En appliquant l’espérance mathématique à (2.52), on obtient (2.51).
2
Même si l’estimation de l’énergie de la solution du système d’équations en coordonnées eulériennes s’obtient d’une manière tout analogue (comme nous l’avons vu dans la section 2.4, l’équation stochastique en coordonnées eulériennes et celle en coordonnées lagrangiennes ne sont pas équivalentes et donc la traduction directe de l’égalité (2.51) en coordonnées eulériennes ne donne pas l’égalité de l’énergie pour l’équation stochastique en coordonnées eulériennes avec la perturbation en coordonnées eulériennes), nous pensons
qu’elle mérite d’être citée, car on peut obtenir directement d’elle une “bonne” estimation de ∂xv (voir le corollaire 2.4.3).
Rappelons le système d’équations
%dv = [−%v∂xv + µ∂x2v − h∂x%γ]dt + %dW, (2.56)
∂t% = −∂x(%v), (2.57)
les conditions aux limites
v(0) = v(1) = 0 (2.58)
et les conditions initiales
v|t=0= v0, %|t=0= %0, %0(x) > 0 ∀x ∈ [0, 1]. (2.59)
Pour W = W (t) qui figure dans (2.56) nous supposons que
W (t) =
∞
X
k=1
λkek(x)W(k)(t), (2.60)
où W(k)(t), k = 1, 2, · · · , sont des mouvements browniens à valeurs réelles
indépendants et adaptés à un espace filtré (Ω, F , Ft, P) et
ek(x) =
√
2 sin kπξ, k = 1, 2, · · · . (2.61)
La forme de (2.60) est formellement identique à (2.48) si on écrit x au lieu de ξ. Mais comme nous l’avons remarqué dans la section précédente, l’équa-tion en coordonnées lagrangiennes avec (2.48) et l’équal’équa-tion en coordonnées eulériennes avec (2.60) ne sont pas équivalentes.
Proposition 2.4.2 Soit (v, %) la solution du problème (2.56)-(2.59). Si √ %0v0 ∈ L2(0, 1), %0 ∈ Lγ(0, 1), alors on a E Z 1 0 %v 2 2 dx + h γ − 1 Z 1 0 %γdx + µE Z 1 0 k∂xvk 2 L2ds (2.62) = E Z 1 0 %0 v2 0 2dx + h γ − 1 Z 1 0 %0γdx +1 2E Z t 0 ∞ X k=1 λ2k Z 1 0 %e2kdxds.
Corollaire 2.4.3 Etant fixées les données initiales (v0, %0) telles que
√ %0v0 ∈
L2(0, 1), %
0 ∈ Lγ(0, 1), il existe une constante C telle que
1 TE Z T 0 k∂xvk 2 L2(0,1)dt ≤ C. (2.63)
Démonstration Une fois la proposition 2.4.2 étant démontrée, pour dé-montrer (2.63), il suffit de rappeler les relations
sup 0≤x≤1 e2k(x) = sup 0≤x≤1 (√2 sin(kπx))2 = 2, Z 1 0 %e2kdx ≤ sup 0≤x≤1 e2k(x) Z 1 0 %dx = 2. 2
Pour démontrer la proposition 2.4.2, nous commençons par établir l’égalité suivante. Lemme 2.4.2 On a Z 1 0 %v 2(t) 2 dx + 1 γ − 1h Z 1 0 %γ(t)dx − Z 1 0 %v 2(0) 2 dx + 1 γ − 1h Z 1 0 %γ(0)dx = (2.64) = −µ Z t 0 Z 1 0 (∂xv)2dxds + Z t 0 h%v, dWsi + 1 2 Z t 0 ∞ X k=1 λ2k Z 1 0 %e2kdxds presque surement.
Démonstration On considère la fonctionnelle ϕ1 = ϕ1(t) définie par
ϕ1 = Z 1 0 %v 2 2dx + 1 γ − 1h Z 1 0 %γdx. (2.65) Si on pose u = v − W, en appliquant la formule d’Ito à ϕ1, on a
ϕ1(t) − ϕ1(0) = Z t 0 ∂ϕ1 ∂u du + Z t 0 ∂ϕ1 ∂% d% + Z t 0 ∂ϕ1 ∂Ws dWs+ 1 2 Z t 0 ∂2ϕ 1 ∂2W s dWs2. (2.66)
Or, d’après (2.56) et (2.57), on a ∂ϕ1 ∂u du = Z 1 0 [−%v2∂xv + µv∂x2v − hv∂x%γ]dsdx, ∂ϕ1 ∂% d% = Z 1 0 [−v 3 2∂x%−% v2 2∂xv]dxds− γ γ − 1h Z 1 0 (v%γ−1∂x%+%γ−1%∂xv)dxds, ∂ϕ1 ∂WdW = h%v, dWsi , ∂2ϕ 1 ∂W2(dW, dW ) = Z 1 0 % ∞ X k=1 λ2ke2kdxds.
En substituant ces relations dans (2.66), on obtient
ϕ1(t) − ϕ1(0) = Z t 0 Z 1 0 [−%v2∂xv + µv∂x2v − hv∂x%γ]dxds+ (2.67) + Z t 0 Z 1 0 [−v 3 2 ∂x% − % v2 2 ∂xv − h γ γ − 1(v% γ−1∂ x% + %γ−1%∂xv)]dxds+ + Z t 0 h%v, dWsi + 1 2 Z t 0 Z 1 0 % ∞ X k=1 λ2ke2kdxds. Or, comme on a − Z 1 0 (%v2∂xv + v3 2∂x% + % v2 2∂xv)dx = − Z 1 0 ∂x[%v v2 2]dx = 0, Z 1 0 (vργ−1∂x% + %γ−1%∂xv + γ − 1 γ v∂x% γ )dx = Z 1 0 ∂x[v%γ] = 0
(ici on a utilisé les relations v(0) = v(1) = 0), en substituant ces relations dans l’égalité (2.67), on obtient l’égalité (2.64).
2
Démonstration de la proposition 2.4.2 L’égalité (2.64) étant éta-blie, on applique l’espérance mathématique à (2.64), de sorte que on obtient l’égalité (2.62).
2.5
Quelques tentatives sur le comportement
asymptotique
L’estimation de l’énergie obtenue dans la proposition 2.4.2 et son corollaire expriment un certain comportement asymptotique de la solution (v, %) des équations (2.39)-(2.40). Même si ces inégalités sont élégantes et intéressantes, elles seules ne nous ont pas permis de démontrer l’existence d’une mesure invariante.
A la recherche d’une éventuelle mesure invariante, même pour une équation approchée, nous avons fait plusieurs tentatives. Même si ces tentatives ne nous ont pas amenés à l’existence d’une mesure invariante, pour comprendre mieux la nature de la problématique dont nous nous occupons, nous pensons qu’il est utile de rappeler ici quelques tentatives que nous avons entreprises. A ce titre, nous présentons une caractérisation du comportement asympto-tique, caractérisation faite par une égalité du type “estimation de l’énergie”, de la solution du système d’équations obtenu en ajoutant un terme de “dif-fusion de la densité” au système (2.39)-(2.40) (une tentative analogue est documentée dans [5], mais ici nous présentons une tentative ultérieurement élaborarée avec un meilleur résultat). Plus précisement, nous ajoutons une diffusion de la densité
ε%∂ξ((%−(γ+1)+ %−γ+1)∂ξ%)
à l’équation (2.40) ; la forme particulière de ce terme de diffusion est due à des raisons techniques. Nous considérons donc le système d’équations
dv = (µ∂ξ(%∂ξv) − h(∂ξ%γ))dt + dW, γ > 1, (2.68)
∂t% = −%2∂ξv + ε%∂ξ((%−(γ+1)+ %−γ+1)∂ξ%), ε > 0, (2.69)
avec la condition
v|ξ=0,1= 0, t ∈ [0, T ]. (2.70)
Pour ce système d’équations on peut obtenir l’égalité suivante.
Proposition 2.5.1 Si (v, %) est une solution du système d’équations (2.68)-(2.69) avec les conditions aux limites (2.70) et les condtions initiales
v|t=0 = v0, %|t=0= %0 (2.71) avec v0 ∈ L2(0, 1), Z 1 0 (%0(ξ))γ−1dξ < ∞, %0(ξ) > 0 ∀ξ ∈ [0, 1],
