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Un nouveau modèle pour la construction de réseau de télécommunication à coût minimum

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Texte intégral

(1)

Laboratoire d'Analyse et Modélisation de Systèmes pour

l'Aide à la Décision

CNRS UMR 7024

CAHIER DU LAMSADE

171

Juin 2000

Un nouveau modèle pour la construction de réseau

de télécommunication à coût minimum

M. Demange, C. Murat, V. Th. Paschos, S. Toulouse

(2)

Abstra t ii

Résumé ii

1 Introdu tion 1

2 Constru tion de réseauà oût(s) minimal(aux) 1

2.1 Di ultésd'unerésolution onjointe ouglobale . . . 1

2.1.1 Préliminaires:quelquesnotionsdetélé ommuni ation . . . 1

2.1.2 Di ultés: intégritéetforte nonlinéarité . . . 2

2.1.2.1 Part delafon tionobje tif . . . 2

2.1.2.2 Part desvariablesdedé ision. . . 2

2.1.2.3 Restri tions. . . 3

2.2 Pourquois'attaquerauproblèmeglobal?. . . 3

2.3 Comment ontourner esdi ultés . . . 3

2.3.1 Séparationdesproblèmes . . . 3

2.3.2 Delatransmissionàla ommutation . . . 3

2.3.3 Tailleduproblèmedemultiotrelatifauxfais eaux . . . 3

3 Modèle mathématique, adre général 4 3.1 Hypothèses . . . 4

3.1.1 Les oûts . . . 4

3.1.2 Ledimensionnement . . . 4

3.1.3 Les ontraintes . . . 4

3.1.4 Larépartitiondestra s. . . 4

3.2 Leproblèmeoriginal . . . 4

3.3 Leprin ipederésolution . . . 5

3.3.1 Leréseaudesfais eaux . . . 5

3.3.2 Rédu tionduproblème . . . 5

3.3.3 Leproblèmedemultiot. . . 6

3.3.4 Résolutionglobale . . . 6

4 Algorithmeproposé 6 4.1 UnpeudesensibilitédansunmondeNP-dur . . . 6

4.2 Sensiblementenmargedumodèle:lasolutioninitiale . . . 7

4.3 Explorationpasàpas . . . 7

4.3.1 L'idée . . . 7

4.3.2 Détaild'un y le . . . 7

4.3.2.1 Premièrestratégie . . . 8

4.3.2.2 Se ondestratégie. . . 8

4.3.2.3 Évaluation . . . 8

4.3.3 Gestionglobaledel'exploration . . . 8

5 Points ritiques 8 5.1 Di ultésparamétriques. . . 10

5.2 Réalitésnonprisesen ompte . . . 10

5.2.1 Dispersiondutra . . . 10

5.2.2 Dimensionnementfaussé . . . 10

5.3 Complexitéentailleduproblème . . . 10

5.3.1 Quandfais eauxetarêtes oïn ident . . . 10

5.3.2 Tailleduproblèmedemultiotrelatifauarêtes . . . 11

(3)

A new model for the design of a minimum- ost tele ommuni ation network

Abstra t

We proposeamodelfor theproblem ofdesigningtele ommuni ationnetworks simulta-neouslyde iding about apa ities and routings, two versions separately treated until now. On e the main riti al points of the problem at hand exposed, a mathemati al model is des ribed andan algorithmbasedupon thismodelis spe iedforits solution. Finally,we dis ussseveraldi ultiesrisingfrom themathemati almodel proposed.

Keywords: tele ommuni ationnetwork, ost-minimization,mathemati almodel, optimi-zation.

Un nouveau modèle pour la onstru tion de réseau de télé ommuni ation à oût minimum

2

Résumé

Nousproposonsdans etarti leunmodèlepourla onstru tionderéseaude télé ommu-ni ationquidé ide onjointementdes apa itésetdesroutages,deuxproblèmesgénéralement traitésséparément.Aprèsavoirdansunpremiertempsmisenexerguelespointsderésistan e duproblèmeposé,nousexposeronsdansunedeuxièmepartieunmodèlemathématiquepour sarésolution.Nousproposonsensuiteunemiseen÷uvrealgorithmiquede e modèle,enn uneexplorationdesdi ultés nouvellesoupersistantes.

Mots- lé: réseau de télé ommuni ation, minimisation des oûts, modèle mathématique, optimisation.

1

WorksupportedbyaBOUYGUESTELECOM ontra t.

(4)

Cet arti le est le fruit d'une ollaboration entre le laboratoire LAMSADE et Bouygues Té-lé om ayant pour objet la résolution des problèmes liés à l'inter onnexion de leur réseau de téléphoniemobileet duréseauFran eTélé om. LeprojetàétéinitiéparleDépartementde Re- her heetDéveloppement deBouyguesTélé ompourrépondreauxbesoinsspé iquesidentiés par sesentités opérationnelles.

La on eption de réseaux de télé ommuni ation soulève deux types de problème: tout d'a-bord,quelréseau onstruirepoursatisfaireunedemandedetra donnée (problèmede onstru -tiond'unréseauréalisableàmoindre oût);ensuite, ommenta heminerlesdiérentstra sdans le réseau existant (problème de routage ou de multiot à oût minimum). Ces deux questions, bien évidemment interdépendantes, orrespondent à deux types de sou is nan iers: les oûts de onstru tion des lignes d'une part, dont on ne peut préjuger de la forme, et les oûts de passage du tra sur une ligne d'autre part, généralement onsidérés omme fon tionslinéaires (éventuellement parmor eaux) dutra .Ces deuxproblèmessont onnus pour leurdi ultéde résolution: ils ont étédémontrés,dansleurformulation générale, NP-di iles.La omplexité de esdeux sous-problèmeset de leurrelation au seindu problèmeglobal laisse augurer duniveau dedi ultéde elui- i.Notonsquela onstru tionderéseauxposedeplusdesexigen esenterme de robustesse et de sé urité, aspe ts qui ne sont pas pris en onsidération dans le adre de e travail.Leseul ritère onsidérédans etteétudepouroptimiserleréseauà onstruire seradon le oût,oupluttune sommede oûtsdenatures totalement diérentes. Nousauronsainsipour seul type de ontraintes elui de la ohéren e entre des apa ités, des tra s et des demandes. Il n'existe à notre onnaissan e au un algorithme dé idant simultanément des apa ités et des routages surle type de réseau quenous allons onsidérer. Ontrouve, sousd'autres hypothèses, quelques travaux similaires, itons par exemple Dahl et Stoer [2 ℄; mais la plupart des études proposéesdans edomaine netraitentqu'unproblèmeàlafois.Pourunétatdel'art,sereporter àKennington [6 ℄,Minoux [7℄ou en ore Ahuja et al. [1 ℄.

2 Constru tion de réseau à oût(s) minimal(aux)

Nousallonsau oursde ettese tiontenterd'é lair ir lestroispointssuivants: toutd'abord lanaturedeladi ultéd'unerésolutionglobale,puislalégitimitéd'unetellerésolutionendépit de es di ultés, enn la manière par laquelle nousproposons de ontourner (partiellement du moins) es di ultés.

2.1 Di ultés d'une résolution onjointe ou globale

2.1.1 Préliminaires: quelques notions de télé ommuni ation

Un réseau de télé ommuni ation est onstitué de n÷uds et de liensentre esn÷uds.Il peut être naturellement représenté par un graphe dont les sommets sont es n÷uds et les arêtes es liens. Lienset n÷uds permettentd'a heminerles demandesde tra qui s'expriment entredeux n÷uds.Leproblèmeposérevientdon àdé iderquelles apa itésinstallersurquelslienset quels hemins emprunter pour ladistribution dutra .

Comme diérentes te hnologies peuvent être onsidérées onjointement, nous travaillerons en réalité surun multigraphe, bienque, par abus de langage,nousparlerons de graphe. Il n'y a don pas seulement une arête entre deux sommets, maisautant que de te hnologies envisagées pour relier es deux sommets. La pluralité des types d'équipement onsidérés parti ipe ainsi à la omplexité en taille du problème en multipliant par autant que de te hnologies le nombre d'arêtes dugraphe.

(5)

permettentd'aiguillerletra ,tandisquelesautres,appeléspointsdetransmission,se ontentent delaisserpasserletra .Lesdemandesdetra sefonttoujoursd'un ommutateurversunautre. Quant auxliens, ils sont onsidérés entre n÷uds detout type et de toutete hnologie possible.

Le tra est onstituédesappelsqui ir ulent surlesliens.Untra estémisparun ommu-tateuretreçuparunautre.Onpeut voirleréseaudetélé ommuni ation omme unensemblede anauxentredes ommutateurs:untra envoyésurun analnepourraenêtredérouté,quelque point de transmission qu'il ren ontre sur son hemin. Ces anaux, nous les appelons fais eaux et les dénissons omme une apa ité de transmission orientée joignant deux ommutateurs et quitraverseen hemind'éventuelspointsde transmission.Unfais eaupermetainsid'amenerdu tra de son ommutateur initial à son ommutateur terminal par un hemin spé ique. Pour exemple, entre deux ommutateurs A et B, on peut avoir entre autre un fais eau pour le tra- de A vers B dit sortant et un fais eau pour le tra de B vers A dit entrant. Un fais eau supportant simultanément lesdeux sensde tra (entrant et sortant) estditmixte.

Pour aller d'un point à un autre, le tra devra emprunter une su ession de fais eaux: 'est e que l'on appelle un hemin. Une même demande de tra pourra ainsiêtre envoyée sur diérents hemins.

Nous verrons plus tardque 'estla présen ede pointsde transmission et dansune moindre mesure l'hypothèse de non mixitédes onstituants desliens (induisant laséparation des tra s sortant et entrant)qui rendent né essairel'introdu tion de lanotionde fais eau.

2.1.2 Di ultés: intégrité et forte non linéarité 2.1.2.1 Part de la fon tion obje tif

Les oûtsd'équipements entélé ommuni ation présentent deuxin onvénients majeurs: leur irrégularité (dans le sens où ils ne présentent au une bonne propriété parti ulière) et leur di-versité (du fait de la oexisten e de diverses te hnologies). Les expressions mathématiques de es oûts sont don , non seulement, souvent ingrates( on aves, anes par mor eaux,fon tions d'un ensemble de liens), maisen plus fortement hétérogènes, notamment en e qui on erne les é hellesde variation.

Nousne formulons pasd'hypothèsesurlaforme des oûts d'équipement, pour deuxraisons: toutd'abord,ilfautprendreen omptelemanqued'uniformitéde es oûtsdufaitdel'utilisation onjointe de plusieurs te hnologies; ensuite, omme nous le présentons i-après, es oûts ne onstituent pasmalgréleurirrégularité ladi ulté majeured'une résolution globale.

2.1.2.2 Part des variables de dé ision

On appelle loi de dimensionnement la fon tion qui permet de déterminer la apa ité d'un fais eauà partir desquantitésde tra s qui letraversent.

Il faut, dansleproblème posé, dé ider de apa ités de lienset de quantités de tra sur des hemins: e sont nos variables de dé ision. Le tra s'exprime en erlang (nombre de se ondes de tra par se onde), la apa itéen MIC.Un MICest un ensemblede 32 ir uits dont 2 sont réservéspour l'envoide ertains signaux: ilreste don 30 ir uits destinés àl'a heminement du tra . La loi d'erlang traduit le fait qu'on ne peut router ave su ès 30 appels sur un MIC, du fait d'un ertain taux d'é he (appels non aboutis). Nous onsidérerons qu'un MIC permet d'a heminer simultanément un nombre onstant d'appels (alors qu'en réalité ela dépend de la apa itétotaledufais eau,laloid'erlangn'étantpaslinéaire).Defait,lenombredeMIC né es-sairesàla ir ulationd'un tra surunfais eauseraunepartie entièrede etra (pré isément lapartie entière supérieure d'unefon tion linéaire dutra ). Unmême lien pouvant être utilisé par diérentsfais eaux, sa apa ité estpartagée en les apa ités desfais eaux quiletraversent.

(6)

larelation entre nosdeuxtypesde variablesde dé ision manque singulièrement delinéarité. 2.1.2.3 Restri tions

Notons que deux hypothèses simpli atri es ont été formulées: l'appartenan e à R des va-riablesde tra et la onstan edutauxde laloidedimensionnement.Cettese onde hypothèse, bienplusquelapremière,estàlafoisné essaireàl'é ritured'un modèleraisonnableet malheu-reusement préjudi iable àlavalidité desrésultats.

2.2 Pourquoi s'attaquer au problème global?

Tout simplement par e que 'est le problème qui nous a été posé, et e du fait du adre tout parti ulier dans lequel se situait notre intervention: l'inter onnexion. Il s'agissait ee ti-vement, non pas de onstruire tout un réseau, mais de ra order elui de Bouygues Tele om à elui de Fran e Télé om. Les ores de ra ordement de e dernier opérateur rendaient entral l'arbitrage entre les oûts de passage du tra et les oûts d'équipement: on ne peut dès lors traiter séparément routage et onstru tion de liens.

2.3 Comment ontourner es di ultés 2.3.1 Séparation des problèmes

Nousavonsvupré édemment ommentladépendan enonlinéairedesesvariablesdedé ision rendaitdi ilelarésolutionduproblèmeglobal.Or,lesproblèmesdemultiotontétélargement étudiés, et bien qu'ils demeurent di iles à traiter sous leur formulation générale, ertaines familles de multiots sont aujourd'hui résolus e a ement; 'est notamment vrai dans le as de ontraintes et de oûts linéaire [3℄.Aussinousproposons-nous d'extraire duproblème global un problème de routage et de travailler sur un réseau à apa ités gées. La stratégie que nous proposons onsiste don , partant d'un réseau réalisable ( onstru tion heuristique spé ique au problème), à minimiser alternativement les deux types de oût en déterminant sur un réseau donnéunroutageoptimum,puisen hangeantlo alementdes apa itésaprèsétudedesensibilité sur e routage.

2.3.2 De la transmission à la ommutation

Pour extraire un problème de multiot fa ilement résolvable, il nous faut une expression linéaire des ontraintes de apa ité pour les tra s: ela ne peut se faire qu'en onsidérant les apa ités desfais eauxet non desliens.Ainsi, onne travailleraplus surleréseau desliensmais sur eluidesfais eaux, hangeantd'ensembledevariablesdedé isionpourle hoixdes apa ités. On se retrouve ainsi ave un multigraphe dont les sommets sont les seuls ommutateurs et les arêtes les fais eaux: les points de transmission n'apparaissent plus. Cette transformation a un oût: elui del'augmentation de lataille duproblèmedepar lamultipli ation dunombre deses variablesde dé ision.

2.3.3 Taille du problème de multiot relatif aux fais eaux Disposant de n sommets dont n

ommutateurs et n t

points de transmission et d'un seul type de te hnologie pour réer les lignes, on suppose que tous les liens, fais eaux et hemins générables à partie de es sommetssont envisageables. Soit k le nombre maximum de sommets intermédiaires autorisé surun hemin; si m, p et q désignent les nombresde liens, fais eaux et

(7)

t t m =  n 2   n 2 p = n (n 1) k P i=0 A n t i  n 3+k q = n (n 1) k P i=0 A n 2 i  n 5+k

oùA désigne lenombre d'arrangements. Lataille duproblèmeest don augmentéed'un fa teur polynomialn

k+1 .

Si lalongueurdes heminsn'estpaslimitée,lenombre devariablesde apa itéssurlegraphe desfais eaux devient d'ordre exponentiel en O(n

n+3 ): p=n (n 1) n t X i=0 A nt i n 2 nn n =n n+3 : 3 Modèle mathématique, adre général

3.1 Hypothèses 3.1.1 Les oûts

Les oûts desdiérents équipements sont supposés fon tions roissantes des apa ités et les oûts deroutage fon tionslinéaires dutra surles hemins.

3.1.2 Le dimensionnement

La loi de dimensionnement d'un fais eau de apa ité exprimé en MIC en fon tion d'un tra tr exprimé en erlang est présumée être de la forme =d tre ave  onstant

3

. Cette hypothèse,arti ielle, nouspermettra d'exprimer unproblème linéaire de multiots.

3.1.3 Les ontraintes

Nous ne posons pasd'autre exigen e que elle de apa itéssusantes à l'a heminement des demandes.

3.1.4 La répartition des tra s

Dansunpremiertemps,au unerestri tionn'est émisequantaunombre de heminsàutiliser pour transiter les demandes de tra : une même demande de tra pourra être dispersée sur autantde heminsquel'onveut.Làen ore,l'hypothèseestarti ielle,maislatradu tionlinéaire delalimitationee tivedunombrede heminsimpliqueraitl'introdu tiondevariablesbivalentes etde nombreuses ontraintes. C'est ependantuneexigen eopérationnelleàprendreen ompte, aposteriorià défautd'avoir pu lefairea priori.

3.2 Le problèmeoriginal

Les notationsintroduites au paragraphe 2.3.3 seront utilisées au oursde ette se tion. On a en entrée r demandes à a heminer représentées par le ve teur

~

d. Notons respe tive-ment et ~ lafon tion de oût d'équipement des lienset leve teur de oûtde routage sur les hemins;désignonspar~ et~ylesve teursde apa itédesliensetdetra surles hemins; enn,

(8)

liens/ hemins.

Le problème mathématique de on eption de réseau(P) s'exprime alors sous laforme:

(P) 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : min ~ y;~ Z P = ( )+~ ~y s. . 8 > > < > > : C :~y  ~ d (1) (y)  ~ (2) ~ 2 N m (i) ~ y 2 R q (ii)

(1): ontraintes d'a heminement du tra

(2): ontraintes de apa ités tra s/liens (non linaires) 3.3 Le prin ipe de résolution

La résolution que nous proposons s'appuie sur le réseau des fais eaux: il faut don , dans un premier temps, exprimer le problème original en fon tion des variables de apa ités sur les fais eaux. Cette étape doit permettre l'émergen e d'un problème linéaire de multiot que l'on isolealors.Notrerésolution onsistantàrelierles hoixderoutageetde apa itésparuneanalyse desensibilité,onexprimeennauseind'unmême obje tifles oûtsd'équipementsetderoutage en fon tion desseulesvariablesde apa ités surles fais eaux.

3.3.1 Le réseau des fais eaux

Travaillant surleréseau desfais eauxet non elui desliens,ilnousfaut réé rireleproblème pré édentenexprimantles ontraintesliéesautra relativementauxfais eaux.Soit~xleve teur de apa itédesfais eauxetsoientrespe tivementAet Blesmatri esd'in iden eliens/fais eaux et fais eaux/ hemins, leproblème (Q)suivant est équivalent au problème(P):

(Q) 8 > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > : min ~ y;~x;~ Z Q = ( )+~ ~y s. . 8 > > > > > > < > > > > > > : C:~y  ~ d (1) B:~y  ~x (2:1) A:~x  ~ (2:2) ~ 2 N m (i) ~ x 2 N p (iii) ~ y 2 R q (ii)

(2:1): ontraintes de apa ité tra /fais eaux (2:2): ontraintes de apa ité fais eaux/liens 3.3.2 Rédu tion du problème

Réduisons à présent l'expression du problème (Q) en évinçant les variables de apa ité des liens:pourtoutesolutionoptimale(~y

 ;~x  ;~  )de(Q),lasolution(~y  ;~x  ;A:~x 

)estnonseulement réalisable mais aussi optimale de par la roissan e de . Ainsi, le problème suivant (R) est équivalent à (Q)du point de vuede l'optimalité:

(R) 8 > > > > > < > > > > > : min ~ y;~x Z R = ( A:~x)+~ ~y s. . 8 > > < > > : C:~y  ~ d (1) B:~y  ~x (2:1) ~ x 2 N p (iii) ~ y 2 R q (ii)

(9)

de apa itéssupérieures surles liensdu type~  ~  : (~y;~x;~ ) réalisable =) (A:~x~ et~  ~  ) =) A:~x ~  :

Une argumentation similairepermeten ore d'établir l'équivalen edesdeuxproblèmes en asde ontraintes de apa ités supérieuressur lessommets.

3.3.3 Le problème de multiot

On extrait du problème global (R) le problème de multiot ou routage M(~x) asso ié à un ve teur ~x de apa ités surles fais eaux suivant:

(M(~x )) 8 > > > < > > > : min ~ y Z M(~x) = ~ ~y s. . 8 < : C :~y  ~ d (1) B:~y  ~x (2:1) ~ y 2 R q (ii)

M(~x)est pour toutve teur ~x un programmelinéaire en variablesréelles. 3.3.4 Résolution globale

Soit ~y 

lafon tion qui à une répartition donnée ~x des apa ités sur les fais eaux asso ieun routage optimal ~y



(~x ) de M(~x ); pour résoudre (R), notre appro he mène à la résolution du problème: () ( min ~x Z  = ~ ~y  (~x)+ (A:~x ) s. . ~x2N p (iii)

() est un problème de minimisation en variables entières doté d'une fon tion obje tif qui ne possède apriori au une bonne propriété. C'estnalement eproblème () quel'on her heraà résoudre.

4 Algorithme proposé

La modélisation qui nous a mené au programme () n'est qu'une étape de la résolution: nous n'avonsfait que déta her de (P) ses aspe ts fa iles, onnus, et mis en relation linéaire les variables de dé ision. L'algorithme général que nous proposons i i n'est qu'une mise en ÷uvre dire tede ettemodélisation.Notons toutefoisquelarésolutionduproblème()méritedefaire àson tourl'objetd'uneétudeapprofondie enfon tion despropriétés éventuelles du astraité.

Revenant au asgénéral,on sepla e surleréseau desfais eaux:une solutionSduproblème global est alors un ouple (~x;~y) où x~ désigne une solution en apa ités (le réseau) et ~y un routage réalisable sur e réseau. Le oût Z(S) d'une solution S sera don la somme des oûts de onstru tion du réseau et du oût d'un routage sur e réseau, soit Z(S) = (A:~x)+ ~y. Résoudreleproblèmeglobalparlarésolutionde() onsisteàdéterminerlameilleurerépartition des apa ités surles fais eaux ~x defaçon à minimiser l'obje tif Z



(~x )= (A:~x )+ ~y 

(~x): on ne travailleplusqu'ave dessolutions S dutype (~x;~y

 (~x)). 4.1 Un peu de sensibilité dans un monde NP-dur

Le hoix de résolution du problème () revient à onsidérer onjointement les variables de apa itéet de tra par lebiaisdel'étude desensibilité, pluspré isément des oûts duauxd'un routage optimum sur un réseau à apa ités gées. Partant d'un réseau initial ~x

0

(10)

détermine un routage optimal ~y (~x 0

); il regarde ensuite de quels fais eaux il pourrait être in-téressant d'augmenter la apa ité, et dans quelle mesure, en fon tion des oûts d'équipement engendrés et de l'éventuel gain généré en terme de oûts de routage ( oût dual asso ié à la ontrainte de apa itédufais eau). Si untel fais eauseprésente,le hangement de apa itéest opéré, menant à un nouveau réseau ~x

1

sur lequel un routage optimal ~y 

(~x 1

) est déterminé et ainside suite.

4.2 Sensiblement en marge du modèle: la solution initiale

Notre méthode derésolution faitévoluerlasolutionpar petitestou hessu essives,risquant ainsi de nousmener vers un optimum lo al voisin de la solution initiale: lasolution nale pro-posée par l'algorithme apparaît omme fortement dépendante de elle- i. Quels que soient le problème, samodélisation, larésolutionenvisagée,ilesttoujours dansledomaine de l'optimisa-tion en nombres entiers très important de partir d'unebonne solution, elle- i onditionnant la partie de l'ensembledespossiblesqui seraexplorée. Or, unaspe t positifde notre problèmeest qu'il est assez fa ile de onstruire un réseau réalisable: autant don y passerun peu de temps. Nous ne nous étendrons pas sur ette onstru tion ar elle ne onstitue pas le propos de et arti le,nous mentionnerons simplement deux points. Le premier reète unsou is d'équité de la prise en onsidération des diérents types de oûts: notre stratégie a onsisté à onstruire un hemin physique demande par demande en minimisant en priorité les oûts d'équipement. Le se ondreèteunevolontéde diversi ation:nousproposionsdiérentesoptionspourorienterla onstru tion de ette solutioninitiale versdesphysionomies typede réseau.

4.3 Exploration pas à pas 4.3.1 L'idée

Une foisleréseauinitial onstruit,larésolution onsisteàee tuer desaméliorationslo ales enmodiantseulementquelquesMICsurquelquesliensàlalumièredes oûtsduauxdonnéspar larésolution àl'optimum du multiot.Deux stratégiesde hangement lo al sontutilisées: l'une onsisteàajouterunpetitmontantde apa itésurunfais eau( elapermetdes'éloignerquelque peu de la solution ourante), tandis que l'autre ajoute et retire simultanément quelques MIC surun ouple de fais eaux ( 'estlà queles améliorations sont attendues). Cha une de esdeux stratégiesestappliquéeparséries,lapremièreservantàpréparerunterrainfavorableàlase onde (pour ause, notamment, de oûts par paliers). Notre méthode alterne ainsi des su essions d'ajouts et dessu essionsd'é hanges, quenousdénommerons y le.

4.3.2 Détail d'un y le

L'ajoutde MICn'apaspourvo ationd'améliorerdire tement lasolutionmaisplutt d'aug-menterlespossibilitésd'évolutionduréseau.Aussiallons-nousàl'intérieurde haque y lelimiter l'appli ation de ette stratégieàunnombremaximum P1d'itérations avantdepasseràlaphase d'é hange. De plus, haque ajout pla era un même nombre xe M1 de MIC sur un fais eau. Un fais eausurlequelun ajout aétéopérélors d'un y lequin'apasgénéré d'améliorationest dénitivement interdit pour l'ajout de apa ité.

C'est lors de la phase d'é hange que la physionomie du réseau pourra réellement évoluer. C'estpour elaquelase ondestratégie estappliquéetantquepossible.Chaqueé hange pla era surunfais eauetretirerasurunautreunmêmenombrexeM2deMIC.Un oupledefais eaux quidonnerait lieuaprèsé hange àunréseaunonréalisableseverraitinterditd'é hangependant laduréedu y le.

(11)

répéter e y le aussilongtemps queles autorisations de hangement lepermettent, ou jusqu'à saturationd'unparamètred'arrêt(nombremaximumd'itérations,tauxminimumd'amélioration, temps d'éxé ution imparti,::: ).Le déroulement de es y les, détaillé i-suit, estillustré dans lagure.

4.3.2.1 Premièrestratégie

TantqueP1n'estpasatteintetqu'ilrestedesfais eauxautoriséspourl'ajoutde apa ité,on o troieàunfais eauM1MICsupplémentaires.Lefais eau hoisiest eluiquiréaliseleminimum de Cm i +M1 i où Cm i

représente le oûtd'équipement asso ié àl'ajout deM1 MICsur le fais eau d'indi e i et 

i

le oût dual asso ié à la ontrainte relative à e fais eau, soit le gain marginal enterme de oûtde routage engendré par l'ajout d'un MICsurlefais eaud'indi e i. 4.3.2.2 Se onde stratégie

Tant que des ouples de fais eaux le permettent, on fait l'é hange de M2 MIC entre deux fais eaux. Le ouple de fais eaux hoisi est elui qui réalise le minimum de Cm

(i;j)

où Cm (i;j) représente le oût d'équipement asso ié aux opérations onjointes d'ajout de M2 MIC sur le fais eaud'indi eiet de retrait deM2MICsurlefais eaud'indi e j. Silasolution obtenue par et é hange n'est pas réalisable (pour les demandes de tra ), l'é hange de MIC sur le ouple hoisiserainterdit toutau oursdu y le.

4.3.2.3 Évaluation

En nde y leaugmentation/é hange,lasolutionestévaluée pour la omparerà ladernière meilleuresolutionretenue.Il fautpour e fairerendre minimalelasolution ourante en apa ité en évinçant tout MIC non utilisé par le routage optimal ourant avant de omparer le oût de la solution ainsi obtenue à elui de la dernière meilleure solution retenue: la nouvelle solution ourante sera la solution de moindre oût. Si le y le n'a pas généré d'amélioration, l'ajout de apa ité sur les fais eaux dont la apa ité avait été augmentée en première étape est alors dénitivement interdit.

4.3.3 Gestion globale de l'exploration

Le y led'évolution lo aleestrépététant quepossible ouplusexa tement tantqu'une amé-lioration est envisageable, e qui paraît di ile à appré ier àpriori. Lesparamètres M1 et M2 d'évolution lo ale sont xes mais on pourraitenvisager une gradation de l'amplitude des modi- ationsopéréessur leréseauen lesdiminuant progressivement (de forts hangementsen début d'exploration peuvent êtrepréférables pour espérerpouvoirsedémarquer d'unebonne situation initiale). Il esttoutefois déli at de proposer une stratégie ne i i, arle omportement d'un tel type d'algorithme estfortement dépendant des ara téristiqueste hniques duproblème posé. 5 Points ritiques

Nousdis utonsdans ettese tionàlafoisdesdi ultésopérationnellesren ontrées( omment allerplusloindans equenousavonsdéjàfait)etdesrésistan esdelanature( equenousn'avons passu résoudre).

(12)

S

i

= S

i-1

, Ω

i

= Ω

i-1

Λ

i

i=i+1

S

0

, Ω

0

Z(S) > Z(S

i-1

)

Si-1, Ω

i-1

S

Application de la stratégie 2 tant que possible

Epuration de la solution

Application de la stratégie 1 sur P1 itérations si possible

Z(S) < Z(S

i-1

)

S

i

= S, Ω

i

= Ω

i-1

i=i+1

Sf

S

0

: solution initiale

Si

: solution en fin d’itération i

Sf

: solution finale

i

: ensembles des faisceaux autorisés pour l’ajout de capacité en stratégie 1 pendant l’itération i

Λ

i

: ensembles des faisceaux dont la capacité est augmentée en stratégie 1 pendant itération i

Z : coût de la solution

Fig. 1 Exploration pas à pas:détail d'uneitération. 4.3.2

(13)

Les bons paramètres pour sortir de l'optimum physique lo al (i.e., d'une répartition des apa itésdesfais eaux lo alement bonne)touten restantraisonnable quantà l'explorationsont très di iles à ajuster. Des interrogations seposent notamment sur lanature des hangements (ajouts, retraits, é hanges), les paramètres de oût à prendre en ompte ( oûts d'équipements et/ouderoutage),ouen orelesparamètresquantitatifs(nombredeMICparfais eau,nombrede fais eaux, nombre de hangements su essifs d'un même type). Une grande di ulté est posée par la oexisten e de diérentes te hnologies qui donne lieu à une grande hétérogénéité des oûts (les dé alages d'é helles rendent fort déli ate la omparaison des oûts entre deux types d'équipement).Uneautre,essentielledansle adrede etterésolution,est elledelavalorisation relative des oûts d'équipement et de routage.

Il faut pour tout ela prendre le temps d'une réexion algorithmique et surtout elui de l'expérimentation.

5.2 Réalités non prises en ompte 5.2.1 Dispersion du tra

Nous pensons notamment à la limitation du nombre de hemins par demande, qui est une réalité en télé ommuni ation, maisque notre modèle n'intègre paspour ause de non linéarité. Au un problèmededépassement nes'est présenté lors destestsee tuésdansnotre adre d'ap-pli ation, mais rien ne nous permet d'en on lure un bon omportement naturel des routages: il sut pour s'en dissuaderd'imaginer une onguration ritique où ilresterait une demande à a heminerqu'il seraitpossiblede disperser,appelpar appel,surdiérents hemins.

5.2.2 Dimensionnement faussé

Une autre réalité forte est la non linéarité de la loi de dimensionnement: en supposant le ontraire,nousfaussonslajustesseetpire,lafaisabilitédessolutionsobtenues.Pourillustration, onsidérons 10 fais eaux de 1 MIC et 1 fais eau de 10 MIC: ave notre hypothèse, les deux solutionspermettentdetransiterlemêmenombre101= de ommuni ations,alorsqu'enréalité, selonlaloid'erlang, lapremière ongurationa hemine 200appels(20 parMIC) ontre270 (27 par MIC)pour lase onde! Nousnouspermettons ependant deposer ette hypothèse,pensant d'une part qu'il est dans l'intérêt é onomique de réer de grosses liaisons en général, sa hant d'autre part que la loi d'erlang (mesure ee tive du tra ) tend à s'aplanir quand la apa ité augmente.C'estmalgrétoutunproblèmeàprendreen onsidération,si en'estlorsdela réation (dis rimination de oûts),lors de l'évaluationde lasolution.

5.3 Complexité en taille du problème

L'objetde ette se tionest montrer par lebiaisde laprésentation d'un asparti ulier favo-rable ombienla omplexitédu asgénéral estgrande.

5.3.1 Quand fais eaux et arêtes oïn ident

Si l'utilisationdefais eauxmixtespermettantla ir ulation onjointe desdeuxsensdetra est permise, il n'est plus besoin de distinguer un fais eaupour haque sens de tra (le dimen-sionnement sefaitsurlasommedestra sentrant etsortant), equilimite l'augmentation dela tailleduproblème.Plusen ore,sitouslesn÷udssont des ommutateurs,alorsliensetfais eaux peuvent oïn ider.En e as,supposant queles oûtsderoutage puissents'exprimerenfon tion linéaire du tra sur les liens ( e qui est généralement le as), les tra s sur les liens rempla- eraient les tra s sur les hemins omme variables de dé ision pour le routage des demandes.

(14)

Soient respe tivement ~ 0 et ~ y 0

les ve teurs de oût et de tra par lien par demande, C et B les matri es d'in iden e demandes/tra s et liens/tra s, une nouvelle expression du problème original (P 0 ) pourraitêtre (P 0 ) 8 > > > > > > < > > > > > > : min ~ y 0 ;~ Z P 0 = (~ )+ ~ 0  ~ y 0 s. . 8 > > < > > : C': ~ y 0  ~ d (1) B': ~ y 0  ~ (2) ~ 2 N m (i) ~ y 2 R q (ii) (P 0

) est unprogramme linéaire ennombresentiersde taille raisonnable: ave ladisparition des variables de apa ité sur les fais eaux et l'expression du tra en fon tion desliens au lieu des hemins, le nombre de variables redevient polynomial en le nombre de sommets. Mais on peut en oreréduirel'expressionde(P

0

).SoientdimetDIM lesfon tionsdedimensionnementdénies omme suit dim: R !N tr7!d tre DIM : R m !N m ~ y 0 7!~ =DIM  ~ y 0  i =dim   B 0 : ~ y 0  i  i=1;:::;m (P 0

) seramène alors à unproblème deot lassique ( 0 ): ( 0 ) 8 > > > < > > > : min ~ y 0 Z  0 = ( ÆDIM)  ~ y 0  + ~ 0  ~ y 0 s. . ( C : ~ y 0  ~ d (1) ~ y 0 2 R m (ii) La di ulté de résolution de ( 0

) va essentiellement dépendre de la omposante ÆDIM de la fon tion de oût. Remarquons ependant que même sous es hospi es favorables, il s'agit de problèmestrèsdi ilesà résoudre.Citonspour illustrationlagrandesous-familledesproblèmes de multiotsà fon tionsde oûts enes aliers ( f.,[4 ℄ et [5℄).

5.3.2 Taille du problème de multiot relatif au arêtes Onnotetoujoursrespe tivementn, n

,m etr lesnombres desommets, ommutateurs, liens et demandes. Soitq

0

lenombre de variablesde tra s surles arêtes,on a: r = n (n 1)  n 2 m =  n 2   n 2 i.e.,q 0 rmn 4 (q 0

=rmsi haque demande peut traverser haque arête).

Le nombre de variables du problème de multiot exprimé relativement aux arêtes est don polynomialen O(n

4 ). 6 Con lusion

Diérentes questions sont ouvertes mais e qu'il nous faudrait avant tout, e sont des ex-périmentations. Nous ne pouvons en présenter a tuellement pour ause de ondentialité des données. De e fait, nous serions très intéresséspar desjeux de données réelles pertinentspour notremodèle.Nouspensons ependantque etravail,malgrélesrésistan esetlemanque d'expé-rimentations, présente ertainsintérêts, dont eluiessentiel defairejurispruden e enlamatière:

(15)

exion,et non pasune solution, lessolutions devant vraisemblablement êtrefortement liéesà la réalitépropre auproblèmetraité. Nosé ueils nousauront aumoinspermisd'ouvrir,àdiérents niveauxde spé i ité,desvoiesde réexionpour répondreauxbesoinsa tuelsen télé ommuni- ation.

L'avantage opérationnel de e travail pourrait être sa grande généralité qui lui profère un fort potentiel d'adaptabilité: il faut travailler vitedans un monde très évolutif, il n'y a pas de donnée en télé ommuni ation. Le modèle seul ore unevoiede résolution quellesquesoient les te hnologies (sous-entendu oûtsasso iés)utiliséeset l'alternan edesoptimisationsenterme de tra et de apa ités permet une ertaine souplesse dansletypede ontraintes à onsidérer.

Remarquonspour on lurequelaséparationréseauréalisable/routagen'estpasquelefaitde l'homme d'étude, maisaussi elui desopérationnels: ommutation et transmission sont traitées dans les entreprises de télé ommuni ation au sein d'entités bien distin tes. En proposant une résolution globale, nous avons don dressé le premier pont entre es deux aspe ts d'une même réalité.

Référen es

[1℄ R.K.Ahuja,T. Magnati,andJ.Orlin. Network Flows:Theory, Algorithms andAppli ation. Prenti e Hall, 1993.

[2℄ G. Dahl and M. Stoer. A utting plane algorithm for multi ommodity survivable network design problems. INFORMSJournal on Computing, 10(1), 1998.

[3℄ L.Fratta,M.Gerla,andL.Kleinro k. Theow-deviation method: anapproa hto store-and-forward ommuni ation networkdesign. Network, 3:97133,1973.

[4℄ V. Gabrel, A.Knippel,and M. Minoux. Exa tsolution of multi ommodity network optimi-zation problems with general step ost fun tions. OperationsResear h Letters,1999.

[5℄ V. Gabrel and M. Minoux. Lp relaxations better than onvexi ation for multi ommodity network optimization problems with stepin reasing ostfun tions. A ta Mathemati a Viet-nami a,22(1):123145,1997.

[6℄ J.L.Kennington.Asurveyoflinear ostmulti ommoditynetworkows.OperationsResear h, 26, 1978.

[7℄ M. Minoux. Network synthesis and optimum design network problems: Models, solution methods and appli ations. Networks, 19:313360, 1989.

Figure

Fig. 1  Exploration pas à pas : détail d'une itération. 4.3.2

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