TPE : Approximants de Padé
Jana Zaherddine, Miora Rajaonarivelo
Dirigé par Matthieu Fradelizi
UPEM - Licence 3 - Mathématiques
Année universitaire 2017-2018
Table des matières
0.1 Position du problème . . . 2 0.2 Un peu d'histoire . . . 3 0.3 Dé nition . . . 3 0.4 Buts . . . 4 0.5 Domaines d'utilisation . . . 41 Méthodes de calcul des approximants de Padé 5 1.1 Calcul Analytique . . . 6
1.2 Polynômes Orthogonaux . . . 9
1.3 Fractions continues . . . 12
2 Table de Padé, Structure de blocs et quelques propriétés im-portantes 14 2.1 Table de Padé . . . 14
2.2 Existence et unicité de l'approximant de Padé . . . 16
2.3 Structure de blocs . . . 18
2.4 Cas des fonctions paires . . . 20
3 Convergence de l'approximant de Padé 22 3.1 Convergence par les exemples . . . 22
Introduction
0.1 Position du problème
Soit f une fonction de classe C∞au voisinage de zéro, on dit qu'elle admet
un développement limité à l'ordre n s'il existe un polynôme P de degré au plus n tel que f(x) − P (x) = o(xn). Le polynôme P est parfois appelé polynôme
de Taylor de f à l'ordre n. Il fournit une approximation locale de f. On peut regarder expérimentalement la qualité de l'approximation de f par son poly-nôme de Taylor. Dans le cas des fonctions usuelles (cos(x), sin(x), tan(x), ln(1 + x), exp(x),√1 + x), on constate que l'approximation semble de plus en plus ne lorsque le degré augmente, mais parfois sur un domaine limité. C'est en sub-stance la notion de fonction développable en série entière (cf graphe ci dessous où l'on constate que pour la fonction f(x) = ln(1 + x), le polynôme de Taylor donne une bonne approximation sur ]-1,1]).
Si l'on désire généraliser la notion de développement limité, il semble légitime de remplacer le polynôme P par une fraction rationnelle f. On dé nit ainsi la notion d'approximant de Padé.
0.2 Un peu d'histoire
Bien qu'il ne soit pas leur inventeur, ces approximants ont reçu le nom de Henri Eugène Padé mathématicien français (1863-1953) qui fut le premier à les étudier de façon systématique dans sa thèse soutenue le 21 juin 1892.
Les approximants de Padé ont été obtenus de deux manières diérentes par deux éminents mathématiciens de 18ème siècle. Le premier Johan Heinrich Lambert (1728-1777) qui les a introduits en 1758 et le second Joseph Louis Lagrange (1736-1813).
Beaucoup d'autres mathématiciens se sont intéressés aux approximants de Padé et aux sujets liés aux fractions continues et aux polynômes orthogonaux qui ont été également un ingrédient principal dans la construction des approximants de Padé.
0.3 Dé nition
Dé nition 1. Soient f une fonction développable en série entière sur un inter-valle ]-R,R[ avec R>0 et p,q deux entiers naturels. On dit que la fontion f admet une approximation de Padé d'ordre (p,q) s'il existe deux polynômes non nuls P et Qpremiers entre eux et un réel r ∈ ]0,R] tels que :
deg(P ) = p, deg(Q) = q, Q(0) = 1 f (x) −P (x)Q(x) = O(xp+q+1)sur ]-r,r[. On le note [p/q]f ou [p/q].
Si p=q, l'approximant est dit diagonal.
Remarque. On dit que deux polynômes non tous deux nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
0.4 Buts
1. Généraliser la notion du développement limité.
2. Accélérer la convergence. Il s'agit de construire une fraction rationnelle dont le développement en série de Taylor au voisinage de l'origine coincide avec celui d'une fonction donnée jusqu'à l'ordre maximum.
3. Convergence au delà du disque de convergence de la série entière.
0.5 Domaines d'utilisation
Les approximants de Padé ont permis de résoudre de nombreux problèmes de physique (physique théorique) et de la mécanique de uides.
En Mathématiques, ils sont utiles dans le calcul des fonctions spéciales, dans certains problèmes de la théorie des nombres, dans la construction des opéra-teurs pour le calcul de l'exponentielle d'une matrice et dans l'accélération de la convergence en analyse numérique.
Chapitre 1
Méthodes de calcul des
approximants de Padé
Remarque. Une matrice de Hankel de taille 5 est de la forme : a b c d e b c d e f c d e f g d e f g h e f g h i
et dans le système (S1) on note Hm
k le déterminant de la matrice : cm cm+1 . . . cm+k−1 cm+1 cm+2 . . . cm+k ... cm+k−1 cm+k . . . cm+2k−2
1.1 Calcul Analytique
Supposons que l'on ait une série formelle représentant une fonction f de classe C∞ au voisinage de l'origine telle que :
f (z) =P∞ i=0ciz i , avec c i réels On a donc : [p/q] = a0+a1z+...+apzp b0+b1z+...+bqzq
Ce qui veut dire :
f (z) −Pp
i=0aizi/P q
i=0bizi= O(zp+q+1), (z → 0)
Les coe cients ai et bj sont tels que ap et bq non nuls.
Pour les obtenir on procède comme suit :
On multiplie les deux membres de l'équation précédente par le dénominateur, ce qui donne :
(b0+ b1z + . . . + bqzq)(c0+ c1z + . . .) = a0+ a1z + . . . + apzp+ O(zp+q+1)
En identi ant les coe cients des zp+1, zp+2,. . . , zp+q, on obtient q équations
où les inconnus sont : b0, b1,. . . , bq. On obtient :
bqcp−q+1+ bq−1cp−q+2+ . . . + b0cp+1= 0
bqcp−q+2+ bq−1cp−q+3+ . . . + b0cp+2= 0
...
bqcp+ bq−1cp+1+ . . . + b0cp+q= 0
avec la convention que ci= 0, si i < 0.
(S1) cp−q+1 cp−q+2 . . . cp cp−q+2 cp−q+3 . . . cp+1 ... cp cp+1 . . . cp+q−1 bq bq−1 ... b1 = − cp+1 cp+2 ... cp+q
où apparait la matrice de Hankel.
Et, le système obtenu en identi ant les coe cients de 1, z, z2, . . . , zp :
(S2) c0 0 . . . 0 c1 c0 0 . . . 0 c2 c1 c0 0 . . . 0 ... cp . . . cp−q b0 b1 b2 ... bq = a0 a1 a2 ... ap
Ainsi, les relations des deux systèmes précédents déterminent normalement le numérateur et le dénominateur de l'approximant de Padé. On a construit un Padé [p/q] qui coincide avec la fonction en question donnée simplement par son développement en série. Il s'agit pour le moment de voir comment sont construits les approximants de Padé, les problèmes d'existence, de convergence seront traités plus loin...
Puisque les coe cients d'une fraction rationnelle ne sont dé nis qu'à un facteur multiplicatif près, nous poserons b0= 1. Le système (S1) nous fournit les bique
l'on injecte dans le système (S2) pour avoir les ai.
a0= c0
a1= c1+ b1c0
a2= c2+ b1c1+ b2c0
ap= cp+P min(p,q) i=1 bicp−i
Exemple1. Soit f(z) = ln(1 + z) et calculons son approximant de Padé avec p=3 et q=3. ln(1 + z) = z −z22 +z33−z4 4 + z5 5 − z6 6 + . . . [3/3]f = PQ33 =a0+a1z+a2z 2+a 3z3 1+b1z+b2z2+b3z3 + O(z 7)
En identi ant les termes de degrés 1 à 3 de a0+ a1z + a2z2+ a3z3 et
(z −z22 +z33 −z4 4 + . . .)(1 + b1z + b2z 2+ b 3z3) On obtient aisément : a0= 0, a1= 1, a2= 1, a3= 1160 b0= 1, b1=32, b2= 35, b3= 201 D'où [3/3]f = z+z2+11 60 1+3 2z+ 3 5z2+ 1 20z3
1.2 Polynômes Orthogonaux
Soit (cn) une suite de nombres complexes. On considère la forme linéaire c
sur l'espace vectoriel E des polynômes à valeurs dans C dé nie par : c(xi) = c i,
i = 0, 1, . . .
Dé nition 2. On dit que la famille de polynômes Pk forme une famille de
polynômes orthogonaux par rapport à c (ou à (cn)) si ∀n > 0, Pnest exactement
de degré n et si : c(xiP
n(x)) = 0 pour tout i = 0, . . . , n − 1 avec Pn(x) =
Pn i=0Pkxi ie c0 c1 . . . cn ... cn−1 . . . c2n−1 cn . . . c2n p0 ... ... pn = - 0 ... ... α avec α ∈ R
Relation de récurrence à trois termes
Propriété 1. Pk+1(x) = (Ak+1x + Bk+1)Pk(x) − Ck+1Pk−1(x), k = 0, 1, ...avec P−1(x) = 0, P0(x) = 1 et Ak+1= c((Pk+1) 2) c(xPkPk+1), Bk+1= − c((Pk+1)2)c(x(Pk)2) c(xPkPk+1)c((Pk)2), Ck+1= c((Pk+1)2)c(xPk−1Pk) c(xPkPk+1)c((Pk−1)2)
Démonstration. Par division euclidienne, on obtient : Pk+1 = QPk+ R avec
deg(R) < k, deg(Q) = 1.Q = Ak+1x + Bk+1. Montrons que c(xj R) = 0∀j 6 k − 2,on a c(xj(P k+1− QPk)) = −c(xiQPk) = 0. Donc, Ak+1= c(xPkPk+1) c(P2 k+1)
De même pour obtenir Bk+1on multiplie par Pket on obtient : 0 = Ak+1c(xPk2)+
La récurrence ne permet pas sous cette forme d'obtenir les Pi car les
co -cients dépendent du polynôme à calculer. Par contre, dès qu'une condition de normalisation est imposée, les coe cients sont déterminés. Dans le cas où les Pi
sont unitaires, la relation de récurrence devient :
Propriété 2. Pk+1(x) = (x + αk+1)Pk(x) + βk+1Pk−1(x) avec P−1= 0, P0= 1 et : βk+1= − c(x kP k) c(xk−1P k−1), αk+1= c(x kP k−1) c(xk−1Pk−1)− c(xk+1P k) c(xkPk)
Propriété 3. Les polynômes Qk véri ent la même relation de récurrence que
les polynômes Pk mais avec les initialisations :
Q−1(x) = −1, Q0(x) = 0, C1= A1c(P0(x))
Méthode s'appuyant sur les polynômes orthogonaux
D'après le système (S1), on remarque que les coe cients 1 ,b1, b2, b3, ..., bq
apparaissent comme les coe cients renversés du polynôme Sq (Sq(x) = b0xq+
b1xq−1+ ... + bq avec b0= 1) de degré q unitaire et orthogonal par rapport à la
fonctionnelle c de moments (cp−q+1, cp−q+2, ..., cp+q−1, cp+q). Q est le polynôme
réciproque de S c'est à dire Q(x) = xqS(1/x). Le numérateur de l'approximant
véri e quant à lui le système linéaire suivant :
(S3) c0 c1 . . . cp−1 cp 0 c0 . . . cp−2 cp−1 0 0 . . . 0 . . . ... 0 0 . . . 0 c0 b0 b1 b2 ... bq = ap ap−1 ap−2 ... a0
Padé basée sur les polynômes orthogonaux.
Pour résoudre le système (S1) et obtenir les dénominateurs, il su t de renver-ser les coe cients des polynômes orthogonaux obtenus par la récurrence à trois termes. En calculant les associés des polynômes orthogonaux puis en les renver-sant, on trouve les numérateurs. Les approximants de Padé obtenus sont alors de la forme [k/(k + 1)]f.
Exemple2. Prenons une fraction de la forme f(x) = p(x) x6−1, avec
p(x) = 1 + 2x + x2− 2x3+ x4− 2x5+ x6
Du développement de Taylor de f on extrait les moments de la fonctionnelle associée.
f (x) = −1 − 2x − x2+ 2x3− x4+ 2x5− 2x6− 2x7− x8+ 2x9+ o(x10)
Les moments sont donc donnés par c = -1,-2,-1,2,-1,2,-2,-2,-1,2,.... En appli-quant la récurrence à trois termes, on obtient les polynômes orthogonaux par rapport à c, •P0(x) = 1, P−1(x) = 0 •P1(x) = (x + α1)P0(x) + β1P−1(x) = x + α1, avec α1= c(x0p −1) c(x−1p −1)− c(x1P 0) c(x0P0)= − c(x1P 0) c(x0P0)= − c1 c0 = − −2 −1 = −2 donc P1(x) = x − 2 •P2(x) = (x + α2)P1(x) + β2P0(x) = (x + α2)(x − 2) + β2, avec β2= − c(x1P 1) c(x0P0) = − 3 −1 = 3, et α2= c(x 1P 0) c(x0P 0)− c(x2P1) c(x1P 1) = c1 c0 − 4 3 = 2 − 4 3 = 2 3, donc P2(x) = xP1(x) +23P1(x) + 3 = x(x − 2) +23(x − 2) + 3 = x2− 2x +2 3x − 4 3+ 3 = x2−4 3x + 5 3
•de même, on calcule : P3(x) = x3+54x2+34,
P4(x) = x4+218x3+14x + 6732x2+5332,
•et avec la même récurrence initialisé diéremment on trouve les associés, Q0(x) = 0, Q1(x) = −1, Q2(x) = −x −23, Q3(x) = −x2−134x − 7 2, Q4(x) = −x3−378x2−26732x −8116,
Il ne reste plus qu'à renverser les coe cients des polynômes pour pouvoir former un approximant de Padé [n/(n+1)], par exemple,
x2P
2(1/x) = 53x2−43x + 1,
xQ1(1/x) = −23x − 1
et donc : [1/2]f = 5x−2x−32−4x+3
Il est clair que l'approximant de Padé parvient à extraire plus d'informa-tions de la série formelle. Tronquer une série est une opération beaucoup plus réductrice qu'il n'y parait.
1.3 Fractions continues
Lorsque l'on cherche un approximant de Padé d'une fonction f, on ne dis-pose pas nécessairement du développement de Taylor de la fonction. Prenons le cas où f est une fonction rationnelle. Le développement de Taylor peut alors s'obtenir par division suivant les puissances croissantes de la variable. Cette divi-sion peut cependant servir de manière détournée à construire un développement en fraction continue dont les convergents sont eux-mêmes des approximants de Padé.
Dé nition 3. Une C-fraction est une fraction continue de la forme f (x) = a0+ a1x
α1
1+ a2xα2
1+a3x1+...α3
où ai ∈ C et αi ∈ N. La C-fraction tronquée à l'ordre k dé nit le convergent
d'ordre k.
Lorsque αi= 1 pour tout i, les C-fractions sont dites régulières.
Exemple3. exp(z) = 1 + z 1+ z
−2+ z −3+2+...z
Ce développement en fraction continue algébrique s'obtient à l'aide de logiciels de calcul formel.
Chapitre 2
Table de Padé, Structure de
blocs et quelques propriétés
importantes
2.1 Table de Padé
H. Padé a eu l'idée d'a cher les approximants dans une table à double entrée connue maintenant sous le nom de table de Padé.
q p 0 1 2 3 4 0 [0/0] [1/0] [2/0] [3/0] [4/0] 1 [0/1] [1/1] [2/1] [3/1] . . . 2 [0/2] [1/2] [2/2] . . . . 3 [0/3] [1/3] . . . . 4 [0/4] . . . .
Tab.1-La table de Padé
Remarque. La première ligne de cette table est formée par les sommes par-tielles de la série f.
Exemple 4. Considérons à présent la fonction exponentielle en résolvant les systèmes, on obtient la table :
q p 0 1 2 3 4 0 1 1 + z 1 + z +z2 2 1 + z + z2 2 + z3 6 1 + z + z2 2 + z3 6 + z4 24 1 1−z1 2+z2−z 6+4z+z6−2z2 24+18z+6z24−6z2+z3 . . . 2 2 2−2z+z2 6+2z 6−4z+z2 12+6z+z2 12−6z+z2 . . . . 3 6 6−6z+3z2−z3 24+6z 24−18z+6z2−z3 . . . . 4 24 4−24z+12z2−4z3+z4 . . . .
q p 0 1 2 3 4 0 0.46 → 1.33 ↓ 2.52 3.96 5.61 1 -∞ 2.26 → 4.45↓ 6.53 . . . 2 1.33 3.96 6.52→ . . . ↓ . . . 3 2.26 5.71 . . . → . . . ↓ 4 3.96 . . . .
Tab. 2-Valeurs des approximants de Padé pour z = 1
On peut remarquer dans l'angle inférieur droit de la table que les approximants diagonaux [p/p] et paradiagonaux [p±1/p] accélèrent le mieux la convergence de la série, en eet ceci n'est pas propre à la fonction exponentielle mais se généralise largement en pratique.
Dé nition 4. On dit que la table de Padé est normale si : ∀p, q Hp−q+1
n 6= 0
2.2 Existence et unicité de l'approximant de Padé
Propriété 4. Si une fonction f est développable en série entière au voisinage de 0 admet une approximation de Padé P
Q d'ordre (p, q), alors, les polynômes P
et Q sont uniquement déterminés. Démonstration. Soient P1
Q1 et
P2
Q2 deux approximants de Padé d'ordre (p, q) de
f. Avec : Q1(x)f (x) − P1(x) = xp+q+1O1(x)
et Q2(x)f (x) − P2(x) = xp+q+1O2(x)
au voisinage de 0, les fonctions O1 et O2 étant développables en série entière en
Q1(x)P2(x) − Q2(x)P1(x) = xp+q+1O3(x)et avec Q1P2− Q2P1∈ Rp+q[X], on
déduit que Q1P2− Q2P1 = 0, ce qui équivaut à P1 = P2, et Q1 = Q2 du fait
que les polynômes P1 et Q1 sont premiers entre eux ainsi que P2 et Q2, avec
Q1(0) = Q2(0) = 1.
Théorème 1. Une condition nécéssaire et su sante pour que [p/q] existe (et donc unique) est que :
Hp−q+1 q 6= 0.
Démonstration. D'après le système (S1),on a deux cas : soit le déterminant de la matrice de Hankel présente est nul et donc l'approximant de Padé n'existe pas ou on en a une in nité ce qui est impossible d'après Prop4. Soit le déterminant est non nul et donc l'approximant existe.
Exemple5. Soit f(x) = sin(x), calculons H2,2 :
H2,2(sin) = c1 c2 c3 c4 = 1 0 0 −16
qui est inversible donc : 1 0 0 −16 −1 = 1 0 0 −6
Donc le padé [2/2] du sinus existe, b2 b1 = − 1 0 0 −6 c3 c4 = − 1 0 0 −6 −1 6 0 = 1 6 0 Puis, c0 0 0 c1 c0 0 c2 c1 c0 b0 b1 b2 = a0 a1 a2 = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 6 = 0 1 0
. Le Padé [2/2] est donc : x 1+x2
6
On peut véri er que : sin(x) − x 1+x2
6
2.3 Structure de blocs
Les approximants de Padé identiques ne peuvent apparaitre que sous la forme de blocs carrés dans la table. Ils ne peuvent pas apparaitre dans des blocs de forme diérente. C'est la structure en blocs de la table de Padé. C'est aussi le cas de l'exemple suivant :
f (z) = 1−z12 = 1 + z2+ z4+ z6+ . . . q p 0 1 2 3 . . . 0 1 1 1 + z2 1 + z2 . . . 1 1 1 1 + z2 1 + z2 . . . 2 1 1−z2 1 1−z2 1 1−z2 1 1−z2 . . . 3 1 1−z2 1 1−z2 1 1−z2 1 1−z2 . . . ... ... ... ... ... ...
Tab.3 -Approximants de Padé pour la fonction f(z) = 1 1−z2
Une propriété importante est celle qui relie les deux moitiés de la table de Padé. Pour cela, on considère la série réciproque g de la fonction f dé nie for-mellement par f(z)g(z) = 1.
Si l'on pose g(z) = P∞ i=0dizi
alors c0d0= 1
c0di+ c1di−1+ . . . + cid0= 0 ∀i > 1 Ce qui montre que g existe si et seulement
si c0= f (0) 6= 0
Dans ce cas, on la propriété suivante :
Propriété 5. Si f(0) 6= 0 alors ∀p, q > 0, [p/q]f(z)[q/p]g(z) = 1
Démonstration. On pose [p/q]f(z) = P (z) Q(z)
Alors : f(z)Q(z) − P (z) = O(zp+q+1)
En multipliant par g, on a donc : Q(z) − g(z)P (z) = O(zp+q+1)
Ce qui montre, d'après l'unicite des approximants de Padé, que :
Q(z)
P (z)= [q/p]g(z)
Propriété 6. 1. Soit g(z) = f(az), a 6= 0 alors [p/q]g(z) = [p/q]f(az)
2. Soit g(z) = f(zk), alors :
∀i, j tels que i + j 6 k − 1 on a : [pk + i/qk + j]g(z) = [p/q]f(zk)
3. Soit T (z) = Azk
R(z) où R est un polynôme de degré strictement positif tel
que f(0) 6= 0.
et soit g(z) = f(T (z)) tel que A 6= 0. Alors : ∀i, j tels que i + j 6 k − 1, on a :
[pk + i/qk + j]g(z) = [p/q]f(T (z))
Propriété 7. 1. Soit g(z) = zkf (z), alors :
[p + k/q]g(z) = zk[p/q]f(z).
2. Si f(0) = . . . = f(k−1)(0) = 0 et f(k)(0) 6= 0.
On pose : g(z) = z−kf (z). Alors :
[p/q]g(z) = z−k[p + k/q]f(z).
3. Soit R un polynôme de degré k. Si p > q + k, alors : [p/q]f +R(z) = [p/q]f(z) + R(z).
4. Soit g(z) = A+Bf (z)
C+Df (z), où A,B,C et D sont des constantes telles que
C + Df (0) 6= 0. Alors : [p/q]g(z) =
A+B[p/q]f(z)
C+D[p/q]f(z).
5. Soit g(z) = af(z), où a 6= 0. Alors, [p/q]g(z) = a[p/q]f(z).
Propriété 8. Soit f une fonction paire de classe C∞, on suppose que
l'approxi-mant [p/q]f existe et est unique, alors, l'approximant est paire.
Démonstration. Soit f paire et supposons que f(z)Q(z) − P (z) = zp+qε(z)
alors :
f (z)Q(−z) − P (−z) = zp+q(−1)p+qε(−z) = zp+qε
1(z) = O(zp+q).
Par unicité, on a P (−z) = P (z) et Q(−z) = Q(z).
2.4 Cas des fonctions paires
1.2 Cas des fonctions paires
Si f est paire et de classe C∞, on peut a rmer que c
2p+1 =f
(2p+1)(0)
(2p+1)! . Dans
ce cas, dans le déterminant de Hankel, un terme sur deux est nul. On peut éta-blir que si p et q sont impairs alors ce déterminant est nul.
En eet, supposons que p et q soient impairs. Le terme d'indice (i, j) du dé-terminant de Hankel est alors cp−q+i+j−1. L'indice cp−q+i+j−1 a la parité de
i + j − 1, d'où cp−q+i+j−1est nul si et seulement si i + j est pair.
Le déterminant de Hankel est donc le déterminant de la matrice suivante : 0 ? 0 . . . ? 0 ? . . . 0 ? 0 . . . ... ... ... ...
On constate que les q+1
2 colonnes de rang impair sont combinaisons linéaires de q−1 2 colonnes 0 1 0 ... ... 0 , 0 0 0 1 0 ...
où tous les coe cients sont nuls sauf un, d'indice de
ligne pair. On a donc q−1
2 + 1vecteurs dans un espace de dimension q−1
2 . Les
Chapitre 3
Convergence de l'approximant
de Padé
Il s'agit d'étudier la convergence d'une suite d'approximants de Padé [p/q] lorsque p ou/et q tend vers l'in ni et que z appartient à un certain domaine du plan complexe. Cette étude se fait selon la démarche suivante : tout d'abord on essaie de démontrer la convergence sur tout ensemble compact du plan complexe. Le cas échéant on se contentera de la convergence ponctuelle ou même d'une convergence moins exigente telle que la convergence en mesure par exemple.
3.1 Convergence par les exemples
On va essayer de voir à travers les exemples, d'où proviennent les di cultés liées à l'étude de la convergence.
Exemple6. Soit f(z) = ln(1 + z) = z −z2
2 + z3
3 + . . .
Pour z = 1, on a ln(2) = 0.69314718005599453 . . . k S2k(1) [k/k]f(1) 1 0.5 0.7 2 0.583 0.6933 3 0.616 0.9631152 4 0.634 0.69314733 5 0.645 0.6931471849 6 0.653 0.69314718068 7 0.658 0.693147180563 8 0.662 0.6931418056000 9 0.666 0.6931471805599485 10 0.668 0.6931471805599454
On remarque que l'approximant de Padé converge plus rapidement que la série vers ln(2).
k S2k(2) [k/k]f(2) 1 0 1.14 2 -1.333 1.101 3 -5.6 1.0988 4 -19.3 1.098625 5 ... 1.0986132 6 ... 1.098612335 7 ... 1.098612293 8 ... 1.0986122890 9 ... 1.098612288692 10 ... 1.0986122886698
L'exemple ci-dessus nous montre que les approximants de Padé peuvent être utilisés pour le prolongement analytique de certaines séries en dehors de leur disque de convergence.
Théorème 2. Soit f une fonction méromorphe sur C dans le disque |z| < R avec n pôles distincts z1, z2, . . . , zn tels que :
0 < |z1| 6 |z2| 6 . . . 6 |zn| 6 R.
Et soit αkla multiplicité du pôle zket L = P n
i=1αialors : f(z) = lim p→+∞[p/L],
uniformément sur tout sous-ensemble compact de D = {z : |z| 6 R, z 6= zk, k = 1, 2, . . . , n}
Exemple7. Considérons la fonction g(z) = sin(z) (3−z)2(z+2)
Cette fonction possède deux pôles : un en z1 = 3 et un autre en z2 = −2. On
peut voir que z1 est de multiplicité 2. Ainsi, la multiplicité totale des pôles est
3. De plus, la fonction est méromorphe sur C. Par le dernier théorème, on peut a rmer que : lim
p→+∞[p/3] = g(z),
3.2 Comparaison avec le développement de
Tay-lor
On remarque que la valeur absolue de l'erreur de l'approximant de Padé est toujours inférieure à celle du développement de Taylor. Donc, l'approximation de Padé se révèle plus e cace que le développement de Taylor.
Exemple 9. -La fonction exponentielle, son polynôme de Taylor et son [1/1] approximant de Padé.
La gure compare le graphe exacte de la fonction exponentielle à ceux de son polynôme de Taylor et son [1/1] approximant de Padé.
Exemple10. On calcule le Padé [4/4] de la fonction cosinus. [4/4] = 15.120−6900x15.120+660x22+313x+13x44
Conclusion
Bien qu'ils ne soient pas très connus, les approximants de Padé nous four-nissent une méthode plus e cace pour approximer les fonctions développables en série entière que celle du développement de Taylor.
Ils ont été utilisés dans de très nombreux domaines des Mathématiques tels l'al-gèbre, l'analyse mathématique et en particulier l'analyse numérique.
Cependant, les approximants de Padé à deux ou plusieurs variables restent en-core à être étudiés et approfondis. Les applications en analyse numérique et dans d'autres domaines des Mathématiques pures ou appliquées pourraient être nombreuses et fructueuses.
Les applications importantes ainsi que succès des approximants de Padé pous-sèrent les chercheurs à étudier des extensions et des généralisations de cette notion. La plus naturelle et qui les complète est celle des approximants de type-Padé.
