THÈSE
Pour l'obtention du grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS UFR des sciences fondamentales et appliquées
XLIM-SIC
(Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)
École doctorale : Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques - S2IM (Poitiers) Secteur de recherche : Traitement du signal et des images
Présentée par :
Mohamed Malek
Extension de l'analyse multi-résolution aux images couleurs par transformées sur graphes
Directeur(s) de Thèse : Philippe Carré, David Helbert
Soutenue le 10 décembre 2015 devant le jury Jury :
Président Frédéric Morin-Nicolier Professeur, Université de Reims Rapporteur Frédéric Morin-Nicolier Professeur, Université de Reims
Rapporteur Grégoire Mercier Professeur, STICC, Institut Télécom-Bretagne, Brest Membre Philippe Carré Professeur, XLIM, Université de Poitiers
Membre David Helbert Maître de conférences, Université de Poitiers
Membre David Alleysson Chargé de recherche, CNRS, Université Mendés-France, Grenoble
Pour citer cette thèse :
Mohamed Malek. Extension de l'analyse multi-résolution aux images couleurs par transformées sur graphes [En ligne]. Thèse Traitement du signal et des images. Poitiers : Université de Poitiers, 2015. Disponible sur Internet <http://theses.univ-poitiers.fr>
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✶✳✶ ●é♥ér❛❧✐tés s✉r ❧✬❛♥❛❧②s❡ ❞❡s s✐❣♥❛✉①
❈♦♥s✐❞ér♦♥s ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s s✐❣♥❛✉① à é♥❡r❣✐❡ ✜♥✐❡ f ∈ L2(R) ✿ Z x∈R |f (x)|2dx <∞. ✭✶✳✶✮ ❙♦✐t En ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❝♦♠♣♦sé ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s φt(x) ❛✈❡❝ t ∈ R✳ En ❢♦r♠❡ ✉♥❡ ❜❛s❡ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s ♣♦✉r ❧✬❡s♣❛❝❡ L2 s✐ t♦✉t❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ f(x) ∈ L2(R) s✬❡①♣r✐♠❡ ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ t❡❧ q✉❡ ✿ f(x) = Z t∈R αtφt(x)dt. ✭✶✳✷✮ ❉❛♥s ❝❡ ❝❛s✱ αt ❡st ♦❜t❡♥✉ ♣❛r ❧❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ f(x) s✉r φt ✿ αt=< f, φt >= Z x∈R f(x)φ∗t(x)dx. ✭✶✳✸✮ ▲❛ ♥♦r♠❡ ❞❡ f ❡st ❞é✜♥✐❡ ♣❛r ✿ ||f || =p< f, f >. ✭✶✳✹✮ ▲❛ ❜❛s❡ En ❡st ❞✐t❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧❡ s❡✉❧❡♠❡♥t ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s φt s♦♥t ♦rt❤♦❣♦♥❛❧❡s ❡t ❧❡✉r ♥♦r♠❡ ❡st é❣❛❧❡ à ✶✳ < φt1, φt2 >= δ(t1 − t2). ✭✶✳✺✮✶✳✶✳✶ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❞❡ ❋♦✉r✐❡r
❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞✬✉♥❡ ❜❛s❡ ❢♦r♠é❡ ♣❛r ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s eitx✱ ❧❛ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞✬✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ f(x) ❝♦rr❡s♣♦♥❞ à ❧❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❞❡ ❋♦✉r✐❡r✳ ■❧ s✬❛❣✐t ❞❡ r❡♣rés❡♥t❡r ✉♥ s✐❣♥❛❧ ❞❛♥s ❧❡ ✶✻❞♦♠❛✐♥❡ ❢réq✉❡♥t✐❡❧✱ ❡❧❧❡ ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ✿ Fe(t) =< f, eit>= Z +∞ −∞ f(x)e−itxdx. ✭✶✳✻✮ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ✐♥✈❡rs❡ s✬é❝r✐t ❝♦♠♠❡ s✉✐t ✿ f(x) = 1 2π Z +∞ −∞ Fe(t)eitxdt. ✭✶✳✼✮ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❞❡ ❋♦✉r✐❡r ❞✐s❝rèt❡ ❡t s❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ✐♥✈❡rs❡ s♦♥t ❞é✜♥✐❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡✲ ♠❡♥t ♣❛r ✿ Fe(k) = N−1 X n=0 f(n)e−2iπkNn, ✭✶✳✽✮ f(n) = 1 N N−1 X k=0 Fe(k)e2iπn k N. ✭✶✳✾✮ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❞❡ ❋♦✉r✐❡r ❡st ✉♥ ♦✉t✐❧ ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ ✉t✐❧✐sé ❞❛♥s ✉♥ ❧❛r❣❡ s♣❡❝tr❡ ❞✬❛♣✲ ♣❧✐❝❛t✐♦♥s✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ ❧❛ ❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡ ❞❡ t♦✉t ❧❡ s✉♣♣♦rt t❡♠♣♦r❡❧❧❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ à ❛♥❛❧②s❡r ❡st ✐♥❞✐s♣❡♥s❛❜❧❡ ♣♦✉r ❞ét❡r♠✐♥❡r ❡✣❝❛❝❡♠❡♥t ❧❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢réq✉❡♥t✐❡❧s✳ ❉❡ ❝❡ ❢❛✐t✱ ♣♦✉r ❛♥❛❧②s❡r ❞❡s s✐❣♥❛✉① ❞♦♥t ❧❛ ❢réq✉❡♥❝❡ é✈♦❧✉❡ ❛✉ ❝♦✉rs ❞✉ t❡♠♣s✱ ✐❧ ❢❛✉t ✉t✐❧✐s❡r ✉♥❡ tr❛♥s❢♦r♠é❡ q✉✐ ❞é❝r✐t à ❧❛ ❢♦✐s ❧❡ s♣❡❝tr❡ ❢réq✉❡♥t✐❡❧ ❡t ❧✬✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❡♠♣♦r❡❧❧❡✳
✶✳✶✳✷ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❡♥ ♦♥❞❡❧❡tt❡s
▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❡♥ ♦♥❞❡❧❡tt❡s ❬▼❡②✾✵❪❬▼❛❧✵✵❪ ❬❉❛✉✾✷❪❡st ✉♥❡ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞✉ s✐❣♥❛❧ ❛②❛♥t ❧❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✐té ❞❡ ❢♦✉r♥✐r ❧❡s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥s s✉r ❧✬é✈♦❧✉t✐♦♥ s♣❡❝tr❛❧❡ ❛✉ ❝♦✉rs ❞✉ t❡♠♣s✳ ❙♦✐t f ✉♥ s✐❣♥❛❧ ❞é✜♥✐ ❞❛♥s L2(R)✱ ♥♦✉s r❛♣♣❡❧♦♥s ❧✬❡①♣r❡ss✐♦♥ ❞❡ ❧❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❡♥ ♦♥❞❡❧❡tt❡s ❞❛♥s ❧❡ ❞♦♠❛✐♥❡ ❝♦♥t✐♥✉ ✿ Wf(s, a) = Z +∞ −∞ 1 sf(x)ψ ∗(x− a s )dx, ✭✶✳✶✵✮ ▲❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❡ ❝❡tt❡ tr❛♥s❢♦r♠é❡ s♦♥t ❝❛❧❝✉❧és ♣❛r ❧❛ ❝♦♠♣❛r❛✐s♦♥ ❛✈❡❝ ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ♥❛t✉r❡ ♦s❝✐❧❧❛t♦✐r❡ ❡t ❞❡ ♠♦②❡♥♥❡ ♥✉❧❧❡ ❛♣♣❡❧é❡ ♦♥❞❡❧❡tt❡ ♠èr❡✱ ❡❧❧❡ ❡st ♥♦té❡ ψ(x)✱ ❝❡tt❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❛ss✉r❡ ✉♥❡ ❧♦❝❛❧✐s❛t✐♦♥ à ❧❛ ❢♦✐s t❡♠♣♦r❡❧❧❡ ❡t ❢réq✉❡♥t✐❡❧❧❡ ♣❛r ❧❡ ❜✐❛✐s ❞❡ ❞❡✉① ♦♣ér❛t✐♦♥s ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡s ✿ ❧❛ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ❡♥ t❡♠♣s a✱ ❡t ❧❛ ❞✐❧❛t❛t✐♦♥ ❡♥ é❝❤❡❧❧❡ s✳ ❈❡tt❡ ✶✼tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❡st ✐♥✈❡rs✐❜❧❡ s✐ ❧❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❞✬❛❞♠✐ss✐❜✐❧✐té ❡st ✈ér✐✜é❡ ✿ Z |T F (ψ)(t)|2 t dt <+∞. ✭✶✳✶✶✮ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❡♥ ♦♥❞❡❧❡tt❡s ❞✐s❝rèt❡ ♣❡✉t s❡ ❢❛✐r❡ à ❧✬❛✐❞❡ ❞✬✉♥ ❜❛♥❝ ❞❡ ✜❧tr❡s ❬❱❛✐✽✼❪ ❬●❙✾✻❪✱ ❧✬✐❞é❡ ❡st ❞✬❡①♣r✐♠❡r ❧❛ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❡♥ t❡r♠❡ ❞✬♦♣ér❛t✐♦♥s ✐ss✉❡s ❞✉ s✐❣♥❛❧✳ ❙✳ ▼❛❧❧❛t ❛ ♣r♦♣♦sé ✉♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ r❛♣✐❞❡ ❬▼❛❧✽✾❪ ❞♦♥t ❧❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞✬♦♥❞❡❧❡tt❡s s❡ rés✉♠❡ à ✉♥❡ ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥ s✉✐✈✐❡ ❞✬✉♥❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ ❞❡ ❞é❝✐♠❛t✐♦♥✳ ❊♥ ré♣é✲ t❛♥t ❝❡tt❡ ♦♣ér❛t✐♦♥✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ♦❜t❡♥✐r ✉♥ s✐❣♥❛❧ à ❜❛ss❡ rés♦❧✉t✐♦♥ ❡t ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ s✐❣♥❛✉① q✉✐ r❡♣rés❡♥t❡♥t ❧❡s ❞ét❛✐❧s✳ ▲❛ s②♥t❤ès❡ ♣❡✉t s❡ ❢❛✐r❡ à ♣❛rt✐r ❞❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞✬♦♥✲ ❞❡❧❡tt❡s ❡♥ ❡✛❡❝t✉❛♥t ✉♥❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ ❞❡ s✉r✲é❝❤❛♥t✐❧❧♦♥♥❛❣❡ s✉✐✈✐❡ ♣❛r ✉♥❡ ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥✳ ❯♥ ❡①❡♠♣❧❡ ❞❡ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✲r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❡st ✐❧❧✉stré ♣❛r ❧❛ ✜❣✉r❡ ✶✳✶✳ ❋✐❣✉r❡ ✶✳✶ ✕ ❇❛♥❝ ❞❡ ✜❧tr❡s
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▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❡♥ ♦♥❞❡❧❡tt❡s ❝❧❛ss✐q✉❡ ♣❡r♠❡t ✉♥❡ ❜♦♥♥❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ❞❡s ❞✐s❝♦♥t✐✲ ♥✉✐tés ♣♦♥❝t✉❡❧❧❡s ❞✬✉♥ s✐❣♥❛❧ ✶❉✱ ❧♦rsq✉❡ ❝❡s ❞✐s❝♦♥t✐♥✉✐tés s♦♥t r❡♣rés❡♥té❡s s♦✉s ❢♦r♠❡ ❞❡ r✉♣t✉r❡s ✭❝♦♥t♦✉rs ❞❛♥s ✉♥❡ ✐♠❛❣❡✮✱ ❧✬❛♥❛❧②s❡ ♥✬❡st ♣❛s t♦✉t❡❢♦✐s ♦♣t✐♠❛❧❡ ❝❛r ❝❡s r✉♣✲ t✉r❡s ♥❡ s♦♥t ♣❛s ✐❞❡♥t✐✜é❡s ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ♥❡tt❡ ❡t ❣❧♦❜❛❧❡✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❝❡tt❡ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ♥✬❡st ♣❛s ❜✐❡♥ ❞é✜♥✐❡ ♣♦✉r tr❛✐t❡r s♣é❝✐✜q✉❡♠❡♥t ❞❡s ✐♠❛❣❡s ❝♦✉❧❡✉rs✳ P♦✉r ré♣♦♥❞r❡ à ❝❡s ❜❡✲ s♦✐♥s ♥♦✉s ♥♦✉s ✐♥tér❡ss♦♥s ❛❧♦rs à ❞❡s r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥s ♣❡r♠❡tt❛♥t ❧❛ ♣r✐s❡ ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ❧❡s ❛s♣❡❝ts ♣❤②s✐q✉❡s ❞❡ ❧✬✐♠❛❣❡✳ ✶✽✶✳✷✳✶ ▲❛ ♣r✐s❡ ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ❞❡ ❧❛ ❣é♦♠étr✐❡
❈❡tt❡ ♣❛rt✐❡ ♣rés❡♥t❡ ❧❡s ❛♣♣r♦❝❤❡s t❡♥t❛♥t ❞❡ ♣r❡♥❞r❡ ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ❧✬❛s♣❡❝t ❣é♦♠étr✐q✉❡ q✉✐ ❡st ✉♥❡ s♣é❝✐✜❝✐té ✐♠♣♦rt❛♥t❡ ❞❡ ❧✬✐♠❛❣❡✳ ❉❡ ❝❡ ❢❛✐t✱ ❧✬✉t✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s tr❛♥s❢♦r♠é❡s ❳✲ ❧❡t ❡st ♣♦ss✐❜❧❡✱ ❡❧❧❡s s❡ ❞é✜♥✐ss❡♥t ❡♥ ❣é♥ér❛❧ ❛✉ tr❛✈❡rs ❞✬✉♥❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❞✬✉♥❡ ❜❛s❡ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞✬❛♥❛❧②s❡ ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t❡ ❞❡ ❧✬✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ à tr❛✐t❡r✱ ❢♦♥❝t✐♦♥ t❡♥t❛♥t ❞❡ ♣r❡♥❞r❡ ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ❧❛ ❣é♦♠étr✐❡✳ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❡♥ ❜❛♥❞❡❧❡tt❡s ❛ été ♣r♦♣♦sé❡ ♣❛r ▲❡ P❡♥♥❡❝ ❡t ▼❛❧❧❛t ❬▲P✵✷❪✱ ❡❧❧❡ ♣❡r♠❡t ❞✬❛ss♦❝✐❡r ✉♥❡ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❡♥ ♦♥❞❡❧❡tt❡s ❛✈❡❝ ✉♥❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❣é♦♠étr✐❡✳ ❊♥ ♣r❡♠✐❡r ❧✐❡✉✱ ❝❡tt❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ s❡ ❢❛✐t ♣❛r ❧✬✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ❞❡s ❝♦✉r❜❡s ♣❛r❛♠étr✐q✉❡s✱ ♣✉✐s ✉♥❡ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❡♥ ♦♥❞❡❧❡tt❡s ❡st ❛♣♣❧✐q✉é❡ ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡ ❝❡s ❝♦✉r❜❡s✳ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❘✐❞❣❡❧❡t ❬❈❛♥✾✽❪ ❛ été ✐♥tr♦❞✉✐t❡ ❡t ❞é✈❡❧♦♣♣é❡ ♣❛r ❊✳ ❈❛♥❞ès✳ ❊❧❧❡ ❡st ❝♦♥st❛♥t❡ ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡s ❧✐❣♥❡s x1sin θ + x2cos θ < ∞✳ ❊❧❧❡ ❡st ❞é✜♥✐❡ ♣♦✉r ❧✬é❝❤❡❧❧❡ s✱ ❧❛ ♣♦s✐t✐♦♥ b ∈ R ❡t ❧✬♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ θ ∈ [0 2π]✳ ❊❧❧❡ ♣❡r♠❡t ❞❡ r❡♣rés❡♥t❡r ❞❡ ❢❛ç♦♥ ❛❞❛♣té❡ ❧❡s r✉♣t✉r❡s r❡❝t✐❧✐❣♥❡s ❞❛♥s ✉♥❡ ✐♠❛❣❡✳ ◆♦t♦♥s q✉✬✉♥ ♦✉t✐❧ ♥✉♠ér✐q✉❡ ❜❛sé à ❧❛ ❢♦✐s s✉r ❧❡s ♣r♦♣r✐étés ❞❡ ❧❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❘✐❞❣❡❧❡t ❡t ❧❛ ❣é♦♠étr✐❡ ❞✐s❝rèt❡ ❛ été ré❛❧✐sé ❛✉ s❡✐♥ ❞✉ ❧❛❜♦r❛t♦✐r❡ ❳❧✐♠ ❬❈❆✵✹❪❬❍❈❆✵✻❪✳ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❝✉r✈❡❧❡t ❬❈❉✾✾❪ ❬❉❉✵✵❪ ❡st ✉♥❡ r❡♣ré✲ s❡♥t❛t✐♦♥ ♠✉❧t✐✲é❝❤❡❧❧❡ ♥♦♥ ❛❞❛♣t❛t✐✈❡✳ ■❧ s✬❛❣✐t ❞✬✉t✐❧✐s❡r ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞❡ ❜❛s❡ ❧♦❝❛❧✐sé❡s ❞❛♥s ❞✐✛ér❡♥t❡s ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥s✳ ❈♦♥tr❛✐r❡♠❡♥t à ❞✬❛✉tr❡s ❛♣♣r♦❝❤❡s ❞✐r❡❝t✐♦♥♥❡❧❧❡s✱ ❧❛ ❧♦✲ ❝❛❧✐s❛t✐♦♥ s❡ ❢❛✐t ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ❞é♣❡♥❞❛♥t❡ ❞❡ ❧✬é❝❤❡❧❧❡✳ ▲❡s ❝✉r✈❡❧❡ts ❢♦✉r♥✐ss❡♥t ❞❡s ❜❛s❡s ❛♣♣r♦♣r✐é❡s ♣♦✉r r❡♣rés❡♥t❡r ❞❡s ✐♠❛❣❡s ❧✐ss❡s ❡t ❞❛♥s ❝❡ ❝❛s ♣❡r♠❡tt❡♥t ✉♥❡ r❡♣rés❡♥✲ t❛t✐♦♥ ♣❧✉s é♣❛rs❡ q✉❡ ❧❡s ❛✉tr❡s tr❛♥s❢♦r♠é❡s ❡♥ ♦♥❞❡❧❡tt❡s✳ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❝♦✉♥t♦✉r❧❡t ❬❉❱✵✺❪ ✉t✐❧✐s❡ ✉♥ ❞♦✉❜❧❡ ❜❛♥❝ ❞❡ ✜❧tr❡s ♣❡r♠❡tt❛♥t ❞✬❛♥❛❧②s❡r ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡s ❝♦♥t♦✉rs ❧✐ss❡s ❞❛♥s ✉♥❡ ✐♠❛❣❡✳ ❉❛♥s ✉♥ ♣r❡♠✐❡r t❡♠♣s✱ ✉♥❡ ♣②r❛♠✐❞❡ ▲❛♣❧❛❝✐❡♥♥❡ ❬❇❆✽✼❪ ❡st ❛♣♣❧✐q✉é❡ ♣♦✉r ✐❞❡♥t✐✜❡r ❧❡s ❞✐s❝♦♥t✐♥✉✐tés✱ ♣✉✐s ✉♥ ❜❛♥❝ ❞❡ ✜❧tr❡s ❞✐r❡❝t✐♦♥♥❡❧ ❡st ✉t✐❧✐sé ♣♦✉r ❛♥❛✲ ❧②s❡r ❧❡s str✉❝t✉r❡s ❧✐♥é❛✐r❡s à ♣❛rt✐r ❞❡ ❝❡s ❞✐s❝♦♥t✐♥✉✐tés✳ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❇❡❛♠❧❡t ❛ été ✐♥tr♦❞✉✐t❡ ✐♥✐t✐❛❧❡♠❡♥t ♣❛r ❉♦♥♦❤♦ ❡t ❍✉♦ ❬❉❍✵✶❪✳ ❙♦♥ ♣r✐♥❝✐♣❡ ❡st ❜❛sé s✉r ❧✬❡①tr❛❝t✐♦♥ ❞❡s s❡❣♠❡♥ts ❞❡ ❧✐❣♥❡s ❞❛♥s ✉♥❡ ✐♠❛❣❡ à ❞✐✛ér❡♥t❡s é❝❤❡❧❧❡s✳ ❈❡❧❛ r❡q✉✐❡rt ❧❛ ♠✐s❡ ❡♥ ♣❧❛❝❡ ❞✬✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❞❡ ❣r❛♣❤❡ ❡t ❞❡ ♣②r❛♠✐❞❡ ♣♦✉r st♦❝❦❡r ❧❡s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥s ❧✐é❡s à ❧✬♦r✐❡♥t❛✲ t✐♦♥ ❞❡s ❧✐❣♥❡s✳ ❉❛♥s ❝❡ ❝♦♥t❡①t❡✱ ❞✬❛✉tr❡ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ❡♥ ♦♥❞❡❧❡tt❡s ♣❧✉s ❛❞❛♣t❛t✐✈❡s ♦♥t été ❞é✈❡❧♦♣♣é❡s ❞♦♥t ❧❡ ♣r✐♥❝✐♣❡ ❝♦♥s✐st❡ ❝❡tt❡ ❢♦✐s ❝✐ à ❝♦♥str✉✐r❡ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞✬❛♥❛❧②s❡ q✉✐ s✬❛❞❛♣t❡♥t à ❧❛ ❣é♦♠étr✐❡ ❞❡ ❧✬✐♠❛❣❡✳ ❈❡ t②♣❡ ❞❡ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ♦✛r❡ ♣❧✉s ❞❡ ❧✐❜❡rté ❡t ♣❧✉s ❞❡ ♣ré❝✐s✐♦♥ ❞❛♥s ❧❛ ❞ét❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ❞❡s r✉♣t✉r❡s✳ ◆♦✉s ♣♦✉✈♦♥s t♦✉t❡❢♦✐s r❡♠❛rq✉❡r q✉❡ ❝❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s tr❛♥s❢♦r♠é❡s ♣r❡♥♥❡♥t ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ❧❛ ❣é♦♠étr✐❡ ❢♦r❝é♠❡♥t s✉r ✉♥❡ ❣r✐❧❧❡ ✶✾❞✐s❝rèt❡✳ ◆♦✉s ✈❡rr♦♥s q✉❡ ❧✬❛♣♣r♦❝❤❡ ♣❛r ❣r❛♣❤❡ ♣❡r♠❡t ❞❡ s❡ ❧✐❜ér❡r ❞❡ ❝❡tt❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡✳ ❆♣rès ❛✈♦✐r ❢❛✐t ❧❡ ♣♦✐♥t s✉r ❧❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ♠❛♥✐èr❡s ❞❡ ❝♦❞❡r ❧❛ ❣é♦♠étr✐❡ ❞❡ ❧✬✐♠❛❣❡ ❞❛♥s ✉♥❡ tr❛♥s❢♦r♠é❡ ♥♦✉s ♣r♦♣♦s♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❞✬❛❜♦r❞❡r ❧❡s ♣♦ss✐❜✐❧✐tés ❞❡ ❝♦❞❡r ❧✬✐♥✲ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝♦✉❧❡✉r✳
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