Application de la théorie diachronique au paradoxe des jumeaux : intégration d'un amplificateur optique à base de semiconducteur à un guide d'onde effilé

APPLICATION

DE LA

THÉORIE

DIACHRONIQUE

AU

PARADOXE DES

JUMEAUX.

INTÉGRATION D

’

UN

AMPLIFICATEUR

OPTIQUE

À

BASE

DE

SEMICONDUCTEUR

À UN

GUIDE

D’ONDE EFFILÉ.

Mémoire présenté

à la Faculté des études supérieures de l’Université Laval dans le cadre du programme de maîtrise en génie électrique

pour l’obtention du grade de maître ès sciences(M.Sc.)

FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL

QUÉBEC

DÉCEMBRE 2004

RÉSUMÉ

Ce travaille de maîtrise comporte deux sujets distincts. Le premier porte sur une nouvelle solution au paradoxe des jumeaux d’Einstein. Plusieurs personnes ont tenté de trouver des solutions à ce paradoxe mais sans grand succès. Dans ce mémoire nous vous présenterons une nouvelle solution basée sur l’approche diachronique développé par Mr Michel Duguay dans son document intitulé Diachronie représentation of spacetime applied to problems in spécial relativity and in quantum optics. Tout d’abords nous ferons un rappel de ce qu’est la relativité restreinte, ensuite nous présenterons l’origine du paradoxe des jumeaux et quelques solutions proposées par d’éminents physiciens. Enfin il serait question des notions diachroniques et de la méthodologie à suivre afin de bien résoudre ce paradoxe. Au niveau pédagogique, nous présenterons des animations en flash et java qui permettront de mieux assimiler ces notions diachroniques.

Le second sujet porte sur l’intégration à des circuits de lasers semiconducteurs, des amplificateurs optiques à base de semiconducteur. Le circuit de laser semiconducteur utilisé dans ce mémoire n’est autre qu’un guide d’onde effilé précédemment étudié par Mr Baribeau dans le cadre de la compensation de la dispersion chromatique. Nous utiliserons le même principe de base qui est la conversion adiabatique de mode dans un guide d’onde plan comprenant une paroi d’épaisseur variable pour pouvoir amplifier notre signal à l’aide de puit quantique. En premier lieu nous ferons des calculs et

simulations nous permettant d’analyser la propagation d’un signal à l’intérieur d’un guide ensuite nous étudierons l’influence de l’intégration de puit quantique à ce guide d’onde.

REMERCIMENTS

J’aimerais tout d’abords remercier le professeur Michel A. Duguay pour avoir diriger mes travaux. Malgré le fait que j’ai fait mon baccalauréat en Génie informatique, il n’a pas hésité à me confier en plus d’un projet relié au domaine de physique, un autre projet sur l’optique guidée, histoire de mettre en pratique certaines notions d’optiques apprises au cours de ma maîtrise.

Un gros merci à tous les étudiants, et stagiaires et professionnels du COPL qui ont contribué à mon projet. En particulier : Etienne Grondin, Geoffroy Deltel, Imen Arfaoui, François Baribeau et Matthieu Nannini.

Finalement un grand merci à toute ma famille aussi bien ici qu’au Bénin qui ont eu confiance en moi et m’ont supporté aussi bien financièrement que moralement. Un dernier gros merci en particulier à Marie-Ève Daviau qui m’a beaucoup aidé dans la conception de mes affiches de présentation et qui a toujours été là pour moi peu importe les différentes phases que je traversais.

TABLES

DES MATIÈRES

RÉSUMÉ...ii

REMERCIMENTS...iii

LISTEDES FIGURES... vi

PARTIE 1... 1

APPLICATION DE LA THÉORIE DIACHRONIQUE AU PARADOXE DES JUMEAUX... 1

INTRODUCTION... 2

CHAPITRE 1... 8

INTRODUCTION A LA RELATIVITÉ...8

1.1 Les différentes sortes de relativité... 8

1.2 Notion de référentiel...9

1.3 Les postulats de la relativité restreinte... 11

1.4 Les phénomènes physiques découverts grâce à la relativité restreinte...13

CHAPITRE 2 INTRODUCTION AU PARADOXE DES JUMEAUX...17

2.1 L’origine du paradoxe des jumeaux...17

2.2 Exemples de différentes interprétations proposées pour solutionner ce paradoxe...18

CHAPITRE 3...27

REPRÉSENTATION DIACHRONIQUE DE L’ESPACE TEMPS APPLIQUÉE AU PARADOXE DES JUMEAUX...27

3.1 Aperçu de la représentation diachronique... 27

3.2 Les postulats de la représentation diachronique...28

3.3 Description des systèmes de coordonnées...29

3.4 Quelques formules utiles pour résoudre le paradoxe des jumeaux... 33

CONCLUSION...54

PARTIE 2...56

INTÉGRATION D’UN AMPLIFICATEUR OPTIQUE ÀBASE DE SEMICONDUCTEUR À UN GUIDE D’ONDE EFFILÉ... 56

INTRODUCTION...57

CHAPITRE 1...61

GUIDED’ONDE EFFILÉ : PRINCIPES, STRUCTURES, PROPAGATIONET CONVERSIONDE MODE...61

1.1 Principes de base d’un guide ARROW...62

1.1.1 Réflexion à angle rasant... 62

1.1.2 Effet d ’antirésonance dans les parois... 63

1.2 Description d’un guide d’onde effilée...64

1.3 Propagation d’un faisceau dans le guide effilé... 70

CHAPITRE 2...78

INTÉGRATIOND’UN AMPLIFICATEUR OPTIQUE AUGUIDE D’ONDE EFFILÉ...78

2.1 SOA : principes de base et fonctionnement...79

2.2 Les puits quantiques et leurs intégrations à notre design...81

CONCLUSION...92

RÉFÉRENCES...94

ANNEXE...97

PRÉSENTATIONDES ANIMATIONS RÉALISÉES SURLA THÉORIE DIACHRONIQUE...100

Partie1

Figure 0.1 : Interféromètre de Michelson et Morley... 5 Figure 1.1 : Scénario décrivant la présence de différents référentiels [MoreauOl]...10 Figure 1.2 : Vous, en train d’observer votre grand-mère sur un tapis visant un objet (sur le

tapis aussi) fixe par rapport à elle avec un laser. [Moreau02]...11 Figure 1.3 : Vos observations au niveau des notions de relativité. [Moreau02]... 12 Figure 2.1 : Relevés temporels des horloges des 2 jumeaux en fonction d’évènements

précis leur arrivant au cours du voyage dans le système S. [Robertson]... 19 Figure 2.2 (a) : Signaux émis par Alice et reçus par Bob resté sur Terre. [Kacser]...22 Figure 2.2 (b) : Signaux émis par Bob et reçus par Alice le voyageur. [Kacser]... 23 Figure 2.3 : La superposition des figures 2.2(a) et 2.2(b) montre comment chaque jumeau

Alice et Bob peut survivre au déplacement de l’autre. Les lignes pointillées

représentent des signaux en extra. [Kacser]... 24 Figure 2.4 : Le paradoxe des jumeaux montré du point de vue de Bob (celui sur Terre) en (a), et en (b) le point de vue d’Alice en voyage. [Kacser]...25 Figure 3.1 : Vue d’ensemble des 2 systèmes S et S’ au repos le long de l’axe z (tz)... 30 Figure 3.2 : Diagramme de Minkowski... 32 Figure 3.3 : Vue en 2 dimensions depuis S du système de vaisseaux S’ se déplaçant à

0.6c et mesures de temps en ce moment précis ou le vaisseau mère (FlagShip) est supposé être de façon synchronique à -1 année de la Terre en approche...34 Figure 3.4 : Stations et vaisseaux temporels vus depuis la Terre. Les vaisseaux se

déplacent à 0.6 c vers la droite... 36 Figure 3.5 : Stations et vaisseaux temporels vus depuis le vaisseau mère (Flagship).

Même situation que la figure 3.4 mais vue selon S’... 37 Figure 3.6 : Un vaisseau se déplaçant à une vitesse synchronique vz (en année-lumière

/année) passe à côté de la station A et ensuite de B. Le vaisseau est

diachroniquement observé depuis la Terre bougeant à une vitesse diachronique vd,z. [Duguay]...37 Figure 3.7 : Point de vue de Bob et de nous au moment ou Alice arrive en face de Sirius

...40 Figure 3.8 : Point de vue de Bob et de nous sur Terre quand Alice rejoint Bob... 41 Figure 3.9 : Diagramme de Minkowsky décrivant Alice voyant le départ de Bob à son

arrivée à Sirius... 44 Figure 3.10 : Observations depuis Greenwich quand Bob décide de partir... 45 Figure 3.11 : Observations de la Terre depuis Greenwich quand Alice arrive a Sirius.... 47 Figure 3.12 : Observations de la Terre depuis Greenwich quand Bob rattrape Alice à

Figure 3.13 : Distance D (8.6 look-year) Sirius-Terre perçue par Alice... 49

Figure 3.14 : Observations d’Alice quand Sirius passe devant elle, que Bob s’est éloigné d’elle et qu’il est maintenant au point du demi-tour... 50

Figure 3.15 : Observations d’Alice quand Bob rattrape Alice...52

Partie 2 Figure 1.1 : Spectre d’atténuation d’une fibre optique monomode à faible perte à base de Silice...58

Figure 1.2 : Spectre de dispersion d’une fibre optique monomode à base de Silice... 58

Figure 1.3 : Coefficients de réflexion en fonction de l’angle d’incidence pour une surface air silice... 62

Figure 1.4 : intensité réfléchie /ren fonction du déphasage d... 63

Figure 1.5 : Schéma de principe de notre guide d’onde effilé... 65

Figure 1.6 : Domaine de définition en longueur d’onde de différents lasers semiconducteurs couverts par différents matériaux. Les lasers semiconducteurs émettant à Â >3 fonctionnent en général à basse température... 66

Figure 1.7 : Band Gap de l’lni.xGaxAsyPi_y lattice-matced to InP obtenu par des mesures effectuées par photoluminescence en fonction d’une fraction y de As. La ligne pleine représente l’approximation du tracé des données en point tandis que la ligne en pointillée montre une interpolation après l’utilisation de valeurs binaires [Nahory]... 67

Figure 1.8 : Indice de réfraction en fonction de la longueur d’onde pour 4 différentes proportions y de As de l’Inj.xGaxAsyP]_y. Les différents symboles font référence à des mesures faites sur différents échantillons. Les lignes en pointillées ont été obtenues en utilisant les plans d’interpolation de la référence [Afromowitz]... 68

Figure 1.9 : Indice de réfraction en fonction de lambda pour la silice dopée au germanium (SiO2_Ge)... 69

Figure 1.10 : Indice de réfraction en fonction de lambda pour la fraction y = 0.276 de 1 Ini-xGaxAsyPi.y... 70

Figure 1.11 : Vue en coupe de la structure étudiée du guide d’onde effilé...71

Figure 1.12 : Profil d’indice du guide d’onde effilé... 71

Figure 1.13 : Mode Tej4 au début et à la fin du taper ascendant... 73

Figure 1.14 : Propagation et conversion du Teu dans le ‘taper’ ascendant... 74

Figure 1.15 : Propagation et conversion du Te h dans le ‘taper’ descendant... 74

Figure 1.16 : Diagramme de puissance propagée dans le SiO2_Ge (1,Power) et dans le InGaAsP (2,Power)...75

Figure 2.1 : Diagramme schématique d’un SOA... 79

Figure 2.2 : Processus d’émission spontanée et stimulé dans un système à deux niveaux. ...80

Figure 2.3 : Puits quantiques.(a) Illustration schématique de la structure d’un puit quantique à base de GaAs pris en étau par deux couches de AlGaAs. (b) La bande de conduction dans le GaAs est confinée dans la direction x à une petite distance d permettant ainsi d’avoir la quantification de l’énergie. [Kasap]... 82

Figure 2.4 : Gain matériel en fonction de la longueur d’onde pour un puit quantique de 6nm à base de InGaAsP(Q1.08) et de Ino.53Gao.47As...82 Figure 2.5 : Intégration d’un puit quantique au taper... 83 Figure 2.6 : Déplacement de la région active le long de l’épaisseur maximale de

l’InGaAsP... 84 Figure 2.7 : Propagation du mode Tel 4 dans le taper amplifié...85 Figure 2.8 : Déplacement de la région active le long de la zone de conversion

adiabatique...86 Figure 2.9 : Puissance contenue dans les deux couches lors de la 1ère phase de la

propagation en fonction de lambda...87 Figure 2.10 : Puissance à la fin du guide amplifié en fonction de longueur d’onde... 88 Figure 2.11 : a) Spectres en amplitude du mode Teu converti dans la gaine à différentes

longueurs d’ondes, b) Propagation de Te 14 à différentes longueurs d’ondes lors de la 1 ère phase de conversion...90

APPLICATION

DE LA

THÉORIE DIACHRONIQUE

INTRODUCTION

Dans la première moitié du 20eme siècle, on pouvait affirmer que les travaux d’Einstein n’étaient compréhensibles que par quelques centaines d’initiés dans le monde, car le seul mot relativité semblait être synonyme d’abstraction intellectuelle difficilement accessible.

Mais de nos jours, ce n’est vraiment plus le cas car un nombre considérable de personnes s’y intéressent de plus en plus. En effet, depuis une trentaine d’années, les "prédictions" d’Einstein se vérifient avec une extraordinaire exactitude en raison du progrès de l’astrophysique et de la cosmologie. Par contre, les solutions proposées à ce jour pour certains paradoxes trouvés lors de la sortie de cette théorie restent encore floues.

Dans ce présent mémoire, nous proposons une nouvelle solution pour l’un de ces fameux paradoxes à savoir le paradoxe des jumeaux. Mais avant d’aller plus loin, nous présenterons un bref historique sur l’origine de la relativité restreinte.

Historique

de

la

relativité

restreinte

La relativité des mouvements était déjà connue depuis l’époque de Galilée (1638). Galilée se demanda si l’on pouvait déduire l'existence du mouvement à partir des sens. Voici comment répondre à cette question : imaginez que vous soyez à bord d'un bateau (a) au milieu de la mer calme sans aucun point visuel pour vous situer. Un autre bateau (b) vous dépasse . Il vous sera impossible de dire si c'est votre bateau qui est en mouvement ou si c'est l'autre, car votre bateau vous semblera immobile. Cette

constatation amena Galilée à énoncer la notion de référentiel. Selon le principe de la relativité qui découle de la notion de référentiel, les phénomènes physiques sont les même sur un bateau en mouvement que sur un bateau ancré.

Dans le référentiel A, le bateau B avance, alors que dans le référentiel B, le bateau A recule. Dans le référentiel terrestre, les deux bateaux avancent tous les deux, mais le B avance plus vite. Les deux bateaux sont donc en mouvement relatif l'un par rapport à l'autre.

Pour en revenir à la Terre, en aucun cas, selon les données sensorielles, on ne peut décider si c'est la Terre qui tourne autour du soleil immobile, ou l'inverse. Nous pouvons seulement affirmer que les deux sont en mouvement relatif l'un par rapport à l'autre.

Le raisonnement qui précède est bien connu d’Einstein. La loi de la relativité du mouvement est une loi ancienne. Cependant, à l’époque de Galilée, on ne pouvait pas encore mesurer la vitesse de la lumière. Elle fut mesurée pour la première fois avec une précision valable en 1676, grâce à l’analyse du mouvement des lunes de Jupiter par Olaf Rôhmen. C’est ce principe de relativité des mouvements (et des vitesses) associé à des connaissances approfondies sur la lumière qui guidèrent les travaux d’Einstein.

Vers les années 1700, Newton poussa plus loin la physique classique dont Galilée avait jeté la base. En effet, de ce principe de Galilée découlera toutes les découvertes de Newton. Ce dernier, né l'année de la mort de Galilée, s'appuya sur les travaux de son prédécesseur pour instaurer ce qui est appelé la physique classique. Cette physique classique se base sur l'universalité du temps et convient donc à notre vie quotidienne lorsque l'on ne se rend pas compte de la déformation du temps selon la vitesse. Elle est perceptible seulement lorsque de très grandes vitesses sont en jeu, proches de la vitesse de la lumière (c=300000 km/s).

Un exemple de l’application de cette physique classique est la composition des vitesses. Cette loi montre que les vitesses s’additionnent.

Revenons à présent sur quelques études réalisées sur la lumière. En 1875, James Clerck Maxwell énonça la théorie de l’électromagnétisme. Rappelons que cette théorie unifie l’électricité et le magnétisme, décrivant la lumière comme une onde électromagnétique. C’est la loi de la propagation de la lumière.

Nous savons déjà que depuis le 17eme siècle, la lumière se propage à la vitesse d’ approximativement 300 000 km/s dans le vide. Mais le vide, c’est quoi ? Pour Newton, l’espace absolu est supposé être imprégné d’un fluide omniprésent, P éther, support et milieu de propagation de toutes les ondes électromagnétiques . L’introduction de l’éther devait briser cette « démocratie » des référentiels en introduisant un référentiel très particulier, celui de l’éther, le seul dans lequel les équations de Maxwell devaient s’appliquer. Si la vitesse de la lumière est définie dans le référentiel de l’éther et si elle obéit à la loi de composition des vitesses, on doit pouvoir mesurer une variation de cette vitesse pour des mouvements assez rapides par rapport à l’éther.

Le mouvement de la Terre sur son orbite autour du soleil est suffisamment rapide pour que la variation soit mesurable dans une expérience d’interférométrie optique sensible. C’est alors qu’entre 1881 et 1894 , deux savants , Albert Michelson et Edward Morley conçurent une expérience dans ce but. Dans cette expérience illustrée a la figure 0.1, une source de lumière monochromatique envoyait un faisceau sur un miroir semi- argenté. Les deux rayons résultants parcouraient alors la même distance dans les directions perpendiculaires avant d'être réunis au niveau d'un télescope. La superposition de ces deux faisceaux formait des franges d'interférence, alternance de bandes sombres et de bandes claires. Si la Terre avait une vitesse relative par rapport à l'éther, les deux rayons lumineux ne devaient pas avoir la même vitesse (loi de composition des vitesses). A l'aide du télescope, on devait donc constater un déplacement des franges significatif, dû à cette différence de vitesses. Or il n'en était rien.

miroir

Figure 0.1 : Interféromètre de Michelson et Morley

L’une des conclusions les plus courageuses de cette expérience tirée par Albert Einstein, est que l’éther n’existe pas et que la vitesse de la lumière reste toujoursla même peu importe si l’observateur ou la source de lumière est en mouvement ou pas . La lumière refusait de se plier au règles de la mécanique classique et en particulier à la loi d’addition des vitesses. D’après cette loi, la vitesse de la lumière aurait dû être différente dans deux systèmes inertiels reliés entre eux par la transformation de Galilée. “ On semblait donc, écrit Einstein, ne pas pouvoir échapper au dilemme suivant : renoncer soit au principe de relativité soit à la loi simple de propagation de la lumière dans le vide. ” [Berthon, p.33]. Au début du 20ieme siècle, nombreux étaient les chercheurs qui essayaient de résoudre cette contradiction.En 1904, Hendrik Lorentz publia des équations pour transformer les coordonnées d’un référentiel en mouvement à un référentiel au repos. Les équations préservaient la forme des équations de Maxwell et par suite la vitesse de la lumière.

En 1905, Einstein reprit les équations de Lorentz. Mais il donna à sa théorie une base plus générale qui permit de comprendre fondamentalement pourquoi la contraction des longueurs et l'augmentation de masse apparaissaient à grande vitesse (relativement à un observateur au repos). Il sortit ainsi sa théorie de relativité restreinte basée sur 2 postulats

très importants qui concilia le principe de relativité et la loi de propagation de la lumière. Ainsi, de cette nouvelle théorie découlèrent plusieurs expériences dont celle de la déformation du temps développée par Paul Langevin en 1911. Toutefois, cette expérience révéla des contradictions au sein de la relativité restreinte d’Einstein. C’est ainsi qu’on surnomma cette expérience « le paradoxe des jumeaux » ou « les jumeaux de Langevin ». Ce paradoxe a fait l’objet de nombreux articles depuis 1911 jusqu'à nos jours qui ont tenté de nous donner tant bien que mal des solutions plausibles à ce paradoxe. Mais ces solutions restent encore floues aux yeux de plusieurs personnes.

Objectif

et

plan

du mémoire

L’objectif principal de ce mémoire est de présenter une nouvelle solution plus visuelle et animée au paradoxe des jumeaux. Cette nouvelle solution est basée sur une nouvelle approche à la relativité restreinte développée par Mr Michel Duguay, professeur à l’Université Laval au département de Génie électrique qui est l’approche diachronique.

Ce document est développé en trois chapitres :

Le chapitre 1 contient les notions de la relativité restreinte très utiles pour la compréhension de ce mémoire. Nous commencerons tout d’abord par énumérer les différents types de relativité qui existent et par introduire les lecteurs aux notions de référentiels. Il sera ensuite question de la relativité restreinte et des formules de Lorentz.

Le chapitre 2 vise à vous familiariser avec les notions de paradoxe des jumeaux. Nous vous présenterons aussi les différentes solutions proposées à ce paradoxe par d’éminents physiciens.

Le chapitre 3, quant à lui, propose une toute nouvelle solution plus imagée, animée et très facile à comprendre. Tout d’abord nous vous introduirons aux notions diachroniques, nous vous présenterons ensuite les formules importantes utilisées dans la nouvelle solution et enfin nous vous expliquerons cette nouvelle solution à base de plusieurs exemples.

Un CD contenant les versions animées flash et java de cette solution s’ajoute finalement en annexe à cet ouvrage.

CHAPITRE

1

INTRODUCTION

A

LA

RELATIVITÉ

Ce chapitre est une initiation aux principes de la relativité.

Il s’agira tout d’abords de définir chacune des sortes de relativité et de présenter les auteurs à la base de ces théories. Ensuite nous parlerons de notions de référentiel et des postulats de la relativité restreinte avec exemples à l’appui. Enfin il sera question des différents phénomènes physiques qu’introduit la relativité restreinte.

1.1

Les

différentes

sortes

de

relativité

On distingue en fait souvent trois "relativités différentes" :

Galilée avait compris que la notion de mouvement dépendait du point de vue, donc de l'observateur : c'est la relativité galiléenne. Pour un observateur dans une voiture, la terre bouge sous la voiture, et la voiture est immobile. Pourtant, on a envie de dire, quand on est resté sur le sol, que c'est la voiture qui bouge. La notion de mouvement est donc

relative : elle dépend du point de vue (on parlera de référentiel). Par contre, d'après Galilée, le temps se déroule de la même manière pour tous les observateurs: il est absolu.

La première découverte d’Einstein, qu'il a exprimée dans la relativité restreinte, a été que le temps en fait n'était pas absolu, mais qu'il était lui aussi relatif : tous les observateurs ne le voyaient en fait pas se dérouler à la même vitesse selon qu’ils étaient dans une voiture ou sur le sol. C'est une situation particulièrement bien illustrée par ce

qu'on appelle le paradoxedes jumeaux. Vous imaginez combien cela a pu révolutionner notre perception du monde ! C'est là que le terme de relativité a pris de plus en plus de sens : le nombre de choses relatives à un observateur devenait vraiment important (le mouvement, mais aussi le temps, les forces, etc...).

Enfin, dans sa théorie de la relativité générale, Einstein va encore plus loin. Il s’inspire d'une chose toute simple : que des objets de poids différents, lâchés en même temps, tombent à la même vitesse (si on oublie le frottement de l'air). Il en déduit une nouvelle théorie de la gravitation, et prévoit des effets étonnants, comme la déviation de la lumière, qui pourtant n'a pas de masse, par la gravitation, ou encore que le temps passe moins vite sur terre que dans l'espace.

Vous allez voir que pour comprendre ces théories, il faut savoir changer de point de vue : c'est le grand jeu de la relativité. En fait, même si tous les observateurs ne sont pas en accord sur tout (puisqu'il est des choses relatives), ils sont en accord sur ce qui se passe. Ils ont juste des interprétations différentes.

Et pour commencer, intéressons-nous aux référentiels.

1.2

Notion de

référentiel

Pour les besoins de notre exposé, je vais prendre deux assistantes : Delphine et Sophie. J'ai aussi besoin d'un tapis roulant, droit, comme on en trouve parfois dans les aéroports , qui avance à 2 km/h. Delphine se place sur le sol, Sophie se place sur le tapis roulant. Nous allons maintenant vous faire intervenir. Vous montez sur le tapis roulant et vous vous mettez à marcher dessus. On demande alors à Delphine et à Sophie à quelle vitesse vous allez.

Figure 1.1 : Scénario décrivant la présence de différents référentiels.

D'après Sophie, qui est sur le tapis, vous marchez à 3 km/h. D'après Delphine par contre, vous marchez à 5 km/h. Elles ne sont pas en accord.

Sophie est sur le tapis. Or, vous marchez sur le tapis, donc vous vous déplacez à 3 km/h par rapport à Sophie, c'est votre vitesse normale de marche.

Delphine est sur le sol. Elle vous voit marcher, mais pour elle, le tapis vous aide à avancer plus vite. Par rapport à elle, vous allez à 5 km/h.

Sophie et Delphine ont donc toutes les deux parfaitement raison. On ne peut pas donner votre vitesse sans dire par rapport à qui ou à quoi on la définit. Tout est donc une question de point de vue. Lorsqu'on parle de vitesse, on devrait donc toujours dire de quel point de vue on considère les choses. Un point de vue est appelé référentiel.

Dans notre histoire, Sophie et Delphine n'avaient pas le même point de vue. L’une mesurait les vitesses par rapport au sol. On dit dans ce cas qu'elle se plaçait dans le référentiel lié au sol ou le référentiel du sol. L'autre, mesurait les vitesses par rapport au tapis. On dit qu'elle mesurait les vitesses dans le référentiel du tapis.

C'est finalement une remarque assez simple : la notion de vitesse dépend de l'observateur, c'est-à-dire du référentiel. On dit alors que la notion de vitesse est relative. Comme la vitesse dépend de l'observateur, l'idée de mouvement aussi : si vous vous arrêtez de marcher, pour Sophie, vous serez immobile, mais Delphine s'éloignera dans la direction opposée à vous ! Pour Delphine, Sophie et vous serez en mouvement dans la même

Votre grand-mère tire. La lumière du laser se rue vers l'obstacle, et l'atteint. Vous avez vu exactement la même chose que votre grand-mère, mais vous n'avez pas vu la même longueur de trajet. Pour votre grand-mère, la lumière a simplement parcouru la distance qui la séparait de l'obstacle. Pour vous par contre, elle a parcouru plus que ça, puisque l'obstacle, placé sur un tapis roulant, a avancé entre le moment où la lumière est sortie du laser, et le moment où elle a touché l'obstacle.

En noir, la situation au moment où votre grand- mère commence à tirer. En rouge, la situation au moment où le rayon de lumière (en pointillés rouges) vient heurter l'obstacle. On voit clairement que celui-ci a avancé depuis le

moment où votre grand- mère a tiré.

Figure 1.3 : Vos observations au niveau des notions de relativité.

Or, vous savez que la lumière est allée à la même vitesse pour vous deux. Comme les distances étaient différentes, cela signifie en fait que vous ne serez pas en accord non plus sur le temps que la lumière a mis pour faire le trajet ! Pour vous, la lumière a mis plus de temps, puisque la distance était plus grande ! Autrement dit, vous avez vu les choses sur le tapis se dérouler plus lentement que votre grand-mère ne les voyait. Vous avez vu votre grand-mère bouger au ralenti ! Le fait que la vitesse de la lumière soit la même pour tous, implique que le temps n 'est pas absolu : tout le monde n'est pas en accord sur la vitesse à laquelle le temps s'écoule. Les enseignements de la relativité restreinte sont donc que :

grand-mère, vous aurez l'impression qu'elle vous salue bien lentement quand vous vous éloignez d’elle. Le temps a l'air de s'écouler pour elle plus lentement que pour vous. Rassurez vous, elle n'a pas non plus trouvé votre sourire très rapide : elle vous voit vous éloigner à la même vitesse que vous la voyez s'éloigner de vous. Donc il se passe exactement la même chose pour elle. Elle trouve que vous bougez lentement !

Cela signifie aussi que les vitesses ne s'additionnent pas linéairement : imaginons un tapis roulant relativiste, allant aux 3/4 de la vitesse de la lumière. Sur ce tapis, votre grand mère court au marché - elle est très pressée, et va elle aussi aux 3/4 de la vitesse de la lumière. Si on additionnait les vitesses linéairement, votre grand-mère vous semblerait aller à une fois et demi la vitesse de la lumière, par rapport au sol. Il n'en est rien. Vous la verrez quand même évoluer à une vitesse certes proche de celle de la lumière, mais tout de même inférieure. En fait, rien n’est censé pouvoir dépasser la vitesse de la lumière, et ce, quel que soit le référentiel considéré.

Les distances non plus ne sont pas absolues ! En vous éloignant de la maison de votre grand-mère tout à l'heure, il lui a semblé que vous étiez plus aplati que la dernière fois. En fait, à bien y réfléchir, tout le paysage lui semblait contracter dans la direction dans laquelle vous alliez. De même, vous aviez cru qu’elle avait aussi encore ‘maigri’. On dit qu'il y a contraction des longueurs dans le sens du déplacement. Bref, comme on le dit souvent tout est relatif !

Cette théorie de la relativité a ainsi fait surgir des phénomènes entièrement nouveaux dont les plus importants sont présentés dans les paragraphes qui suivent.

1.4 Les

phénomènes

physiques

découverts

grâce

à la relativité

restreinte

Les phénomènes de dilatation du temps et de contraction des longueurs sont les conséquences les plus spectaculaires de la transformation de Lorentz qui a été déduite par Einstein dans son article de 1905. Cette transformation se trouve alors rattachée aux hypothèses fondamentales de la Relativité et non l’inverse. Mais qu’est-ce que sont vraiment les transformations de Lorentz [Berthon, p40-46] ?

Ce sont des équations mathématiques que nous permettant de passer d’un référentiel S à un autre S’ en mouvement par rapport à S. Einstein les utilisait car elles génèrent des propriétés de translation d’un référentiel à un autre quand la vitesse de la lumière est stipulée constante dans les deux systèmes. Il n’est pas inutile de rappeler les conditions dans lesquelles on se place généralement : les évènements origines coïncident; les systèmes S et S’ ont leurs axes d’espaces x, y, z et x’, y’, z’ parallèles et leur vitesse relative vest dirigée suivant l’axe z. Pour que les lois de la nature (y compris la loi de la propagation de la lumière) aient la même forme dans tous système d’axes en translation rectiligne uniforme par rapport a un repère fixe, il faut utiliser les relations de la transformation de Lorentz des coordonnées d’un événement :

X =A*

v = y

y = facteur de dilatation

Tableau 1.1 : Equations de Lorentz

Grâce a la transformation de Lorentz et la relativité restreinte, Einstein déduit les formules [Kacser, p.47-55] [Miller, p.222-227] [Berthon, p.43] suivantes:

Composition des vitesses : Soit V la vitesse d’un objet par rapport à A et V* la vitesse de A par rapport à B. qui est au repos. La vitesse v’ ’ de cet objet par rapport à B sera

V +V

(1.1)

Dilatation des temps: soit Tle temps propre nécessaire à l’horloge mobile pour accomplir son voyage et t le temps écoulé (indiqué par l’horloge immobile) entre le départ et l’arrivée de l’horloge mobile ( après un aller-retour). Ces deux temps sont reliés par :

(1.2)

Une autre des formules importantes déduites par Einstein est celui de la contraction des longueurs par un facteur y.

Alors après tout ce qui vient d’être dit, qui a raison? Votre intuition ou Einstein?

Même si vous faites très attention la prochaine fois que vous partez de chez votre grand- mère, vous n'aurez aucune chance de la voir bouger plus lentement (ou à moins qu’elle n’est lu ça aussi et qu'elle vous fasse une farce). Car avec votre petite voiture du vingtième siècle, vous atteignez péniblement les deux centaines de kilomètres à l'heure, alors que pour commencer à sentir les effets relativistes comme on les appelle, il faudrait que vous alliez à un minimum de plusieurs milliers de kilomètres par seconde. Quand on sait que l'engin le plus rapide construit par l'homme (une sonde spatiale) a aujourd'hui une vitesse d’une dizaine de km par seconde par rapport à la terre et sort à peine du système solaire, on voit qu’on n’y est pas encore. La théorie relativiste prévoit d'ailleurs que pour des vitesses très petites par rapport à la vitesse de la lumière, on retrouve la relativité de Galilée, et que le temps ne change alors presque pas d'un référentiel à l'autre, les vitesses s'additionnent et tout le monde est en accord sur les distances.

Donc, dans la vie de tous les jours, continuons de considérer que les vitesses s'additionnent, que le temps est universel, et que c'est pas parce que vous voyagez

beaucoup que vous allez gagner du temps sur ceux qui restent immobiles. Vous n’arriverez jamais à constater d’effets relativistes.

Pour continuer dans l'inhabituel, laissez-moi vous parler du paradoxe des jumeaux dans le chapitre 2.

CHAPITRE

2

INTRODUCTION

AU

PARADOXE DES JUMEAUX

D’après la théorie de la relativité restreinte, deux observateurs différents, s’ils sont en mouvement uniforme, auront les même droits (même niveau de crédibilité) en ce qui concerne l’observation d’un événement précis par rapport à leur système de référence. Ceci a entraîné alors beaucoup de paradoxes dont le plus fameux était le paradoxe des jumeaux aussi appelé les jumeaux de Langevin.

Une première partie sera consacrée à la description du paradoxe des jumeaux. Dans la deuxième partie la plus importante, nous présenterons diverses solutions proposées pour résoudre ce paradoxe par d’éminents physiciens au cours du dernier siècle.

2.1

L

’origine

du

paradoxe des

jumeaux

Prenons deux jumeaux : Bob et Alice. Alice est assise dans un vaisseau spatial et s’éloigne de Bob (qui demeure sur Terre) à une vitesse v proche de la vitesse de la lumière. Après un certain temps, Alice fait un demi tour et revient sur Terre. La chose extraordinaire est que les deux remarquent que Bob est définitivement plus vieux que Alice. Comment cela est-il possible si d’après la relativité restreinte, chaque jumeau devrait voir l’autre faire l’expérience des phénomènes de dilatation du temps et de contraction des distances de façon systématique? En un mot, chaque jumeau devrait avoir le même âge, d’où l’existence du paradoxe.

2.2

Exemples de

différentes

interprétations

proposées

pour

solutionner

ce paradoxe

Plusieurs personnes ont tenté de trouver une solution à ce fameux paradoxe des jumeaux. C’est ainsi qu’on obtient de nombreuses interprétations de paradoxe dont quelques unes vous seront d’ailleurs présentées au cours des lignes qui suivent.

Comme l’a dit Ronald C. Lasky, professeur à Dartmouth au College’s Thayer School of Engineering dans la publication de H. Robertson dans le journal SCIENTIFIC AMERICAN du 17 Mars 2003 (voir Annexe), beaucoup de livres depuis 1905 ont abordé ce sujet, mais peu d’entre eux ont réussi à le résoudre. En effet, quand on parle du paradoxe, il est abordé très rapidement, en disant tout simplement que c’est celui qui subit l’accélération qui est le plus jeune. La réponse est juste, mais les explications amènent à de mauvaises interprétations qui laissent croire que c’est l’accélération qui est la cause de tout.

Dans la relativité vue de manière traditionnelle, l’observateur est défini par un ensemble d’horloges et d’instruments avec mémoire qui enregistrent les données. Plus tard une personne parcourt à tour de rôle les mémoires pour en récolter les informations. Cependant, l’information récoltée à ce moment là devient du passé lors de son analyse. On ne permet pas à l’observateur d’interpréter les données qu’il voit de ses propres yeux. Pour résoudre alors ce paradoxe, Ronald C.Lasky oubliera l’accélération, et utilisera des observateurs équipés de télescopes assez puissants pour recueillir les informations. Voici sa solution du paradoxe :

Supposons qu’on aie 2 jumeaux ayant comme surnoms, ‘Alice’(traveler ) et

‘Bob’(homebody). Alice décide d’aller vers une étoile située à 6 années-lumière de la Terre dans un vaisseau voyageant à une vitesse de 0.6c. En utilisant les équations de contraction de longueurs, la distance de 6 années-lumière pour Bob équivaut à 4.8 années- lumière pour Alice. Ainsi, pour Alice, le voyage va durer seulement 8 ans -

4.8/0.6 contrairement à Bob pour qui cela durera lOans = 6/0.6. Supposons qu’ils soient équipés de puissants télescopes leur permettant de se voir. La figure 2.1 nous donne un aperçu du déroulement du voyage sous forme d’événement précis arrivant dans le temps.

The Twin Paradox

l'tvk

Ofrætveci Hjrngtioctf Cbck

Figure2.1 :Relevés temporels des horloges des 2 jumeaux en fonction d’évènements précis leur arrivant au cours du voyage dans le système S.

Les jumeaux ont mis leur horloge à zéro lors du départ d’Alice (event 1). Quand cette dernière atteint l’étoile (event 2) son horloge lit 8 ans. Par contre, quand Bob voit sa soeur atteindre l’étoile, il est 16 ans à son horloge parce que selon les calculs de Bob, il faudrait 10 ans au vaisseau pour atteindre l’étoile et 6 ans (durée de voyage de la lumière transportant l’information) pour qu’il puisse le voir à travers son télescope. Pour Bob, l’horloge d’Alice semblerait aller à V2 fois (8/16) la vitesse de la sienne.

En atteignant l’étoile, Alice lit 8 ans à son horloge, mais elle voit l’horloge de Bob comme si c’était il y a 6 ans (durée de temps pour que la lumière quittant la Terre puisse

la rejoindre) soit 10-6 = 4 ans. Ainsi Alice voit aussi que l’horloge deBob vaàVi fois

(4/8) la vitesse du sien.

Au retour, Bob voit l’horloge d’Alice passer de 8 ans à 16 ans en 4 ans du moment que lors de leur retrouvaille, son horloge à lui mesure 20 ans (event 3) alors que la sienne mesurait 16 ans. Par contre, Alice voit celle du casanier passer de 4 ans à 20 ans (avancée de 16 ans en 8 ans). Elle voit elle aussi l’horloge de son frère avancer 2 fois plus vite que la sienne. Cependant, les deux observateurs sont en accord sur le fait qu’à la fin du voyage, l’horloge du voyageur affiche 16 ans et celle du casanier 20 ans. Ainsi, Alice est 4 ans plus jeune. L’asymétrie dans le paradoxe est que Alice quitte le référentiel de la Terre et revient, alors que Bob n’a jamais quitté la Terre.

Une autre explication plus plausible à ce paradoxe se fait facilement avec l’effet Doppler et la relativité restreinte. En quoi consiste l’effet Doppler [Kacser, p.85-91] ? C’est le changement de fréquence apparent d’un phénomène vibratoire dû au mouvement relatif de la source et de l’observateur. En effet, la fréquence d’un son, quand elle est perçue par un auditeur fixe varie selon que la source s’approche ou s’éloigne, devenant plus aiguë dans le premier cas ou plus grave dans le second cas. En extrapolant cela à la lumière on obtient l’effet Doppler qui suit. Soit fo la fréquence de lumière perçue par un observateur, fs la fréquence de la lumière émise par une source et V la vitesse relative

d’approche de la source émettrice. Ces 2 fréquences sont reliées par

(2.1)

Voici un exemple [Kacser, p.92-100] d’explication de ce paradoxe par effet Doppler proposé par Claude KACSER dans son livre "Introduction to the spécial theory of relativity’.

Considérons les jumeaux Aliceet Bob. Supposons qu’au cours de cette expérience de voyage aller-retour, chaque jumeau s’envoie des signaux lumineux à une fréquence de

transmission constante de fs pulse/année.Chacun détermine sa propre fréquence de transmission en fonction de sa propre horloge. Les signaux dans chaque cas sont reçus par l’autre jumeau, qui peut ainsi comparer les fréquences reçues avec ses propres fréquences de transmission. Supposons que la vitesse relative des jumeaux est V = 0.8c, que l’accélération se fait de façon instantanée et qu’il faut (selon le voyageur Alice) 6 ans aller et 6 ans retour pour le voyageur Alice pour effectuer tout le trajet. De plus, on suppose une fréquence de transmission de 1 pulse/année.

Fréquence des signaux émis par Alice telle que reçue par Bob:

fo__

Z1"0-8

fs ~V

1 + 0.8

= — puise / année

(2.2) et

fo__ fï+ÔJ

fs ~

V 1-0.8

= 3 puise! année

Cela veut dire que dans ces premières 6 années, Alice émet 1 puise tous les 3 ans vers Bob, et pendant les 6 autres années, Alice émet 3 puises tous les 1 ans. Ce qui donne le graphique suivant :

Figure 2.2 (a) : Signaux émis par Alice et reçus par Bob resté sur Terre. [Kacser]

Ainsi Alice émet 12 impulsions en 12 ans et Bob reçoit 12 puises en 20 ans.

Maintenant, observons les signaux reçus par Alice. Bob voit que le voyage d’Alice a duré au total 20 ans. Comme il envoie 1 impulsion par année (fs), on aura au total 20 impulsions envoyées par Bob et reçues par Alice. On obtient alors le graphique qui suit :

Figure 2.2 (b) : Signaux émis par Bob et reçus par Alice le voyageur. [Kacser]

En résumé, Alice reçoit 2 impulsions chacune séparée par 3 ans à l’aller et au retour 18 impulsions séparées par 1/3 année. Au total, on aura 20 impulsions émises en 20 ans pour Bob et reçues en 12 ans pour Alice. Ces deux temps sont reliés comme prévu par le facteur / — 5/3.

Maintenant essayons de voir ce qui arrive quand on observe ces graphiques du point de vue de d’Alice. Avant cela, superposons la figure 2.2(a) et 2.2(b) comme on le voit dans la figure 2.3 . Dans cette figure, les évènements sur le trajet de Bob sont représentés par les années définies sur le trajet de Bob, c.a.d., 6 à équivaut l’événement qui arrive à Bob 6ans(Bob) après le départ en P, alors qu’en ce qui concerne Alice les évènements et années sont en prime.

P

Figure 2.3 : La superposition des figures 2.2(a) et 2.2(b) montre comment chaque jumeau Alice et Bob peut survivre au déplacement de l’autre. Les lignes pointillées représentent des signaux en

extra. [Kacser]

Du point de vue de Bob figure 2.2(a), en utilisant la “ méthode radar ”[Kascer, p.94], Bob peut analyser tout le déplacement de Alice et s’apercevoir ainsi qu’Alice se sépare de lui à v = 0.8c pendant 10 ans d’une distance de 8 années-lumière à l’aller et le rejoint à la même vitesse 10 ans plus tard.

(o) speedof 0.8c Alice speed of 0.8c — 2f Üght yéors —

Figure 2.4: Le paradoxe des jumeaux montré du point de vue de Bob (celui sur Terre) en (a), et en (b) le point de vue d’Alice en voyage. [Kacser]

Quand Alice essaie d’interpréter le déplacement de Bob de son point vue, elle s’aperçoit que ce déplacement se fait plutôt en 3 étapes (figure 2.2 (b) ) et non en 2 étapes comme du point de vue de Bob. Il n’y a pas du tout de symétrie entre ce que Alice et Bob « voient» de la façon synchronique. Alice interprète très bien les heures lues par Bob entre P et 2 et 18 et R car celles-ci sont reliées aux siennes par y = 5/3. Mais par contre, entre 2 et 18 , elle ne trouve pas d’explication car malgré que Alice et Bob soient au repos selon Alice, Alice dit que l’horloge de Bob va 3 fois plus vite qu’elle devrait le faire normalement.

En conclusion, Alice peut déterminer le déplacement de Bob de différentes manières. Si elle continue à interpréter ces données en prenant pour acquis qu’il est lui au repos, elle arrivera à des résultats inconsistants. La seule hypothèse qui rendra les résultats consistants est de supposer qu’en réalité, c’est Alice qui subit vraiment l’accélération.

Une chose que tous ces auteurs ont en commun est qu’ils admettent qu’il n’y a pas de symétrie entre les évènements vécus par chaque jumeau en ce qui concerne le scénario aller-retour de l’un d’entre eux. Mais qu’arrivera t-il si on peut réussir à créer un scénario 2, par exemple, qui pourrait recréer la similarité recherchée dans le premier scénario? Pourra-t-on résoudre ce paradoxe? Oui est la réponse si nous regardons un peu ce en quoi consiste le point de vue diachronique de ce paradoxe. Ce dernier à l’avantage de permettre à toute personne d’avoir une meilleure visualisation de ce paradoxe, ce qu’aucune personne n’a réussi à faire de façon plausible.

CHAPITRE

3

REPRÉSENTATION

DIACHRONIQUE DE L’ESPACE

TEMPS

APPLIQUÉE AU PARADOXE

DES

JUMEAUX

Contrairement à tout ce qui nous a été présenté jusqu'à nos jours, la représentation diachronique offre une facilité de compréhension et de visualisation du paradoxe des jumeaux. Selon Mr Michel Duguay professeur à 1 Université Laval au département de génie électrique, l’une des clés fondamentales de la bonne compréhension de la vue diachronique est d’avoir foi en ce qu’on voit et de considérer l’évènement vu comme un évènement qui arrive présentement et non comme un évènement qui a déjà eu lieu et qui nous parvient aujourd’hui. Tout au long de ce chapitre, nous vous présenterons un bref

aperçu de ce qu’est la théorie diachronique, nous vous donnerons les outils nécessaires à la résolution du paradoxe des jumeaux et enfin nous vous présenterons les solutions trouvées à ce paradoxe.

3.1

Aperçu

de la

représentation

diachronique

Le mot diachronique, emprunté de la linguistique, utilisé ici dans son étymologie grecque veut dire « à travers le temps ». Quand nous observons depuis Greenwich en Angleterre, par exemple, un évènement comme l’impact d’une météorite sur la planète Mars, deux temps distincts lui sont assignés. Ces deux temps sont possibles et ont été présentés par Einstein dans son document de 1905 [ Einstein] :

1. le temps diachronique te, Mars/météonte que l’on lit sur l’horloge centrale au temps d’observation à Greenwich, et

2. le temps synchronique, c.a.d le temps local tMars/météorite de l’horloge sur Mars qui a été auparavant synchronisé au temps de Greenwich selon la méthode de Pointcaré [Poincaré, Sarkar] et Einstein [Einstein] .

Dans son article de 1905, Einstein a d’abord considéré utiliser en premier le temps diachronique, mais il le délaissa en faveur du temps synchronique. La représentation diachronique quant à elle, prend en compte les deux temps, tout en incluant le ici

maintenant, le point ici maintenant de l’observateur, comme l’élément central de la

réalité physique, ce qui a été jugé impossible par Einstein. En effet, à la suite d’une entrevue avec Einstein au sujet du maintenant, le philosophe Rudolf Camap a fait les

déclarations suivante : “ Einstein a dit que l’expérience du Maintenant signifie quelque chose de spécial pour l’homme, quelque chose d’essentiellement différent du passé et du présent, mais que cette importante différence ne peut survenir en physique ”[Camap] . C’est ainsi que les auteurs Taylor et Wheeler pour supporter les affirmations d’Einstein ont défini dans leur livre “Spacetime physics” l’observateur comme suit : “ The word observer is a shorthand way of speaking about the whole collection of recording clocks associated with one free-float frame. No one real observer could easily do what \ve ask of the idéal observer in our analysis of relativity. So it is best to think of the observer as a person who goes around reading out the memories of ail recording clocks under his control.... We do not permit the observer to report on widely separated events that he himself view s by eye. ” [Tay_wheel, p.39]

Cette analyse ne convient pas du tout à Mr Duguay. En effet, quand cet observateur traditionnel synchronique revient avec les données pour en faire l’analyse, l’ensemble des données fait partir du passé et le maintenanttraditionnel s’est envolé.

3.2

Les

postulats

de

la

représentation

diachronique

Comme on l’a vu précédemment, la théorie d’Einstein est basée sur 2 postulats. Mais depuis 1983, le BIPM [Cramer] (Bureau International des Poids et Mesures) a redéfini le

mètre en terme de vitesse de la lumière comme étant exactement e = 299 792 458 m/s. Une conséquence immédiate de cette redéfinition est que la vitesse de la lumière ne peut plus être mesurée. Alors comment peut-on déduire que c est la même si elle ne peut pas être mesurée? Ceci impose alors un changement au niveau du 2eme postulat d’Einstein. L’approche diachronique est fondée sur les postulats suivants :

1. Les lois de la physique sont les même aussi bien pour un système S d’observateurs stationnaires que pour un système S’ d’observateurs en mouvement se déplaçant à une vitesse v relativement à S.

2. La mise à jour de l’histoire de l’univers observé « ici maintenant » est la même dans le système S stationnaire que dans celui S’ en mouvement.

3. Le photon est un lien instantané “ flashé ” à travers le temps entre l’émetteur et le récepteur. En d’autres termes, la vitesse diachronique de la lumière en réception est infinie.

Quand on essaie de décrire le paradoxe des jumeaux, on se réfère souvent aux systèmes en mouvement et stationnaire, mais en quoi consistent-ils, et comment sont-ils représentés?

3.3

Description

des systèmes

de coordonnées

Tout comme d’autres auteurs, nous adopterons un système de coordonnées constitué sur une échelle interstellaires. Ainsi, le système S est composé de stations spatiales disposées de façon équidistante et fixe par rapport au centre du système qui est la Terre. C’est de là que toutes les observations se feront. S’ est un système de coordonnées qui comprend des vaisseaux spatiaux qui sont stationnaires par rapport à leur centre qui sera représenté par le vaisseau amiral FlagShip. Le système S’ se déplace à une vitesse v par rapport à nous sur Terre.

Chacune des stations et chacun des vaisseaux est équipé de transmetteurs, de récepteurs, de téléviseurs et d’enregistreurs afin de gérer les information reçues. La figure 3.1 ci-

dessus nous montre le positionnement en une dimension (z et z’) de chaque station et vaisseau quand v = 0.6%de e.

Space Station

Nantes Gamma*(1+V) Alpha

-3 -2 -f EARTH ₁ 2 3 _{4 1}Centauri g___

_A

*

A

_A

•

w

Figure 3.1 :Vue d’ensemble des 2 systèmes S et S’ au repos le long de l’axe z (tz).

Lorsqu’on observe un objet stellaire comme l’étoile Sirius par exemple, les astronautes s’y réfèrent dans certains cas comme un objet à une distance de 8.6 années-lumière, dans d’autres cas, comme un objet situé à 8.6 années dans le passé relativement à nous sur Terre. C’est cette dernière notation qui sera adoptée pour nos 2 systèmes. Par contre, sur l’axe de cône du diagramme de Minkowski à la figure 3.2, les deux notions sont combinées en une. La planète Jupiter est considérée comme étant présente pour nous là- bas à une distance-vue (look-distance) de 1 look-hour (1 heure-vue). Ainsi, tous les vaisseaux et stations sont situés à une distance fixe dans le passé par rapport à leur origine respective. Les labels „ devant les chiffres des stations ou des vaisseaux veulent tout simplement définir leur directions (gauche ou droite) par rapport à leur centre. Les unités de mesure des distances-vues seront look-secondes (lk-s), look-hours (lk-h), etc...

Dans la vision diachronique de l’univers, tout ce qu’on observe de la Terre à l’aide de téléscopes est considéré comme faisant partir du maintenant diachronique. Les planètes et

les étoiles sont à une distance-vue le long du cône de lumière à un angle de 45 degré par rapport à l’axe radial sur un diagramme de Minkowski. Observons la Lune par exemple : la façon synchronique de la voir est de dire que c’est la Lune d’il y a 1.25 seconde qu’on observe. Mais diachroniquement parlant, on dirait qu’on observe la Lune tel qu’elle est maintenant et non tel qu’elle était il y a 1.25 seconde.

Ainsi, la représentation diachronique est basée sur ce que voit l’observateur maintenant de ses propres yeux. En analysant et en rapportant ce qu’il voit en temps réel, l’observateur à Greenwich par exemple voit maintenant tous les évènements ayant eu lieu dans son passé en regardant les émissions télévisées par des satellites situés à différents distances-vues. En plus simple, l’observateur terrestre à Greenwich peut observer le déroulement de l’histoire sur Terre en regardant les émissions de télévision retransmises par des stations spatiales à des distances-vues de 1, 2, 3, 4, etc., look-hours (ou look- years) de la Terre. A mesure que le temps s‘écoule, un événement historique terrestre s’éloigne de plus en plus sur un axe radial de distance-vue. On peut dire que l’observateur voit par exemple sur sa télé, ce qu’il avait envoyé avant comme message grâce aux retransmissions des satellites situés dans son passé en plus des commentaires qu’ils ont fait à la réception de ce message. Le maintenant alors reste toujours fixe et devient raisonnablement le centre d’observation de la réalité physique (ce qu’on voit réellement). Tout évènement retransmis vers la Terre par les satellites est vu comme s’éloignant graduellement de maintenant et s’enfonçant dans le passé. Ce qui nous amène au diagramme de Minkowski version diachronique a la figure 3.2. On voit a présent sur le graphique l’évolution d’une explosion qui a eu lieu sur Terre et qui descend graduellement dans notre passé a nous. Il nous faudra attendre 2 heures plus tard pour observer encore cette explosion en même temps que les astronautes sur Jupiter grâce a la station de Jupiter qui nous le retransmet instantanément (photon link) .

DISTANCE r (light-hours) EARTH 3 4

4---

I—►

<

▼

Figure 3.2 : Diagramme de Minkowski. (PA =Point of Action)

Une dernière étape à franchir avant la présentation des solutions diachroniques au paradoxe des jumeaux est la familiarisation avec les équations diachroniques. Nous n’aborderons pas ici le processus qui a permis l’obtention de ces formules. Pour plus d’information veuillez consulter le document intitulé : “Diachronie représentation of

spacetime applied to problems in spécial relativity and in quantum optics” de Mr Michel

3.4

Quelques formules

utiles

pour

résoudre

le

paradoxe des jumeaux

Le temps diachronique est très simple. Prenons un exemple dans le système S par exemple : pour un évènement arrivant proche de la station spatiale A, le temps local d’Einstein tA vu de façon diachronique est :

« temps local à Greenwich moins distance-vue entre Greenwich etla station spatial

A»

Dans le système S’ on aura : pour un événement arrivant à proximité du vaisseau B’, le temps local d’Einstein tB* vu diachroniquement depuis le vaisseau de passage à côté de Greenwich (et de Greenwich) est :

«temps à l’horloge du vaisseau en face de Greenwich moins distance-vue entre Greenwich et le point B’»

Le temps à l’horloge du vaisseau en face de Greenwich sera tout simplement alors y * tGreenwich.

La figure 3.3 nous donne un exemple de calcul du temps vus et de distances vues aussi bien pour les vaisseaux que pour les stations. En plus de cela on y voit comment est perçu le système S’ (lignes vertes et vaisseau rouge) par le système S (lignes blanches et étoiles blanches) en 2 dimensions. Le système S’évolue à 60% de la vitesse c. Le vaisseau mère se trouve normalement dans la vue synchronique à -1 année de la Terre et s’en approche. Par contre, nous sur Terre on le voit de façon diachronique à -2 années-vues. En ce qui coneme le calcul des distances vues en deux dimensions voiçi un exemple : prenons la station (-4,2) par exemple, il est situé à un intervalle cartésien de ■Jz2 + y2 = 4.472 années -vues par rapport à Greenwich. De la meme manière, le vaisseau 3’ se trouvant à (3’,2’) dans son système S’ a un intervalle cartésien de 2.828

Par contre pour résoudre le paradoxe des jumeaux, nous nous contenterons de rester dans une dimension à savoir z.

Figure 3.3:Vue en 2 dimensions depuis S du système de vaisseaux S’ se déplaçant à 0.6c et mesures de temps en ce moment précis ou le vaisseau mère (FlagShip) est supposé être de façon

synchronique à -1 année de la Terre en approche.

1 NOW HERE |||||||K tune - 2.828 years

_ _ 1 LOCAL SPACE GREENWICH TIME 15 -1.333 Years STATION CLOCK Greenwkh time -2 years

Dans le tableau 3.1, on vous présente les formules à utiliser quand on observe un vaisseau de façon diachronique.

Tableau3.1 : En observant un vaisseau spatial de façon diachronique Vaisseaux Vitesse Diachronique

<Vd)

Fréquence de battement d’horloge (ou cœur) observée « Effet Doppler »

S’approchant del’observateur

_V

bv

s’éloignant de l’observateur

_V

1+v _{Y (1-v)}

En ce qui concerne la conversion des distances d’un système à l’autre on obtient le tableau suivant :

Position fixe par rapport à leur référentiel des vaisseaux

S=>S' S’=>S

à gauche de l’origine du systèmed’observation ( - ) _{Y (1-v) Y (1+v)}

à droitedel’origine dusystèmed’observation ( + ) _{Y (1+v) Y (1-v)}

Tableau 3.2:Facteur d’échelle permettant de passer d’un système à l’autre le long de l’axe OZ

Voici un exemple d’utilisation du tableau 3.2 précédent :

Soit une étoile située à une distance fixe D à gauche de la Terre dans le système S : cette distance équivaut à une distance vue D * y(l-v) dans le système S’ ou à une distance

D * y(l+v) vue depuis le système S.

Soit le système S’ se déplaçant à v =0.6c par rapport à S, les figures 3.4 et 3.5 nous donnent les points de vue de chaque système en ce qui concerne leur positionnement. Grâce a ces figures, nous pouvons observer aussi le phénomène de dilatation des distances dans le temps i.e. distances vues.

♦

4

» • «

----

►

:

:

4

—

k-4

—

Figure3.4 :Stations et vaisseaux temporels vus depuis la Terre. Les vaisseaux se déplacent à 0.6 c vers la droite.

Figure 3.5 : Stations et vaisseaux temporels vus depuis le vaisseau mère (Flagship). Même situation que la figure 3.4 mais vue selon S’.

L’approche diachronique mathématiquement parlant est équivalent à l’approche synchronique de Einstein. Elle rend la situation facile à visualiser et à calculer. Par contre il interprète la réalité de façon différente. En effet, imaginons que nous, à Greenwich, sommes entrain d’observer un vaisseau se déplaçant d’une étoile A vers une étoile B a une vitesse Vz par rapport à nous, voici ce qu’on voit :

D

Terre:

Observatoire de

Greenwich

Look-Time

distance

look-hours

Figure 3.6 : Un vaisseau se déplaçant à une vitesse synchronique vz (en année-lumière /année) passe à côté de la station A et ensuite de B. Le vaisseau est diachroniquement observé depuis la

Comme nous l’avons vu précédemment, deux temps et deux vitesses seront observés : • diachroniquement on aura:

tG Bflyby ■ temps observé depuis Greenwich lors du passage du vaisseau devant B tG Aflyby : temps observé depuis Greenwich lors du passage du vaisseau devant A Vd z : vitesse du vaisseau observé par nous à Greenwich

• synchroniquement on aura:

^Bflyby ' temPs local observé à l’étoile B lors du passage du vaisseau tAflyby : temps observé à l’étoile A lors du passage du vaisseau Vz : vitesse synchronique du vaisseau relativement à nous Les formules qui suivent nous montrent les relations entre ces 2 vitesses :

D

l-v

cos0

v

Z

=

3.5

Solution

symétrique

jumelle

paradoxe

Les solutions qui ont été proposées jusqu’à maintenant en ce qui concerne la théorie du paradoxe des jumeaux sont toutes asymétriques et semblables. Par contre, avec l’approche diachronique, nous présenterons présentera le plus naturellement possible une solution symétrique jumelle. Notre approche fait appel à deux scénarios impliquant les jumeaux fraternels Alice et Bob.

Scénario 1

Bob reste sur la Terre. Alice, quant à elle, se déplace vers Sirius situé à 8.6 années- lumière de Bob à une vitesse de VAiice = 0.99c. Elle fait un demi-tour à Sirius et rejoint Bob sachant qu 'elle communique avec Bob via une télévision. Qu 'est ce qu ’on observe ?

Solution :

Vitesse d’Alice :v = vAiiCe = 0.99c

Destination : Sirius = D = 8.6 années-lumière Durée du Demi-tour = 1 heure

y =-JL=-= 7.088812 (3.3)

Voici les prédictions de la vue synchronique : Au point de réunion, la vue synchronique prédit que le vieillissement sera égal à la durée totale du trajet aller-retour 2D/v divisé par le facteur de dilatation y :

aAite,R«»«r=2D/yv = 2.450867années (3.4)

Par contre, la méthode diachronique interpelle aussi bien nous sur Terre que Bob pour calculer le vieillissement d’Alice en l’observant constamment sur la Télé. En basant nos calculs sur l’effet Doppler, nous obtenons les résultats suivants :

Temps observé depuis la Terre nécessaire à Alice pour atteindre Sirius :

t_{Terre, Alice_Sirius} D ^d,éloignement

D(l+v)

= —---= 17.286 années

v (3.5)

Âgede Alice à Sirius :

Temps d’observation de Bob depuis Greenwich * fréquence de battement de cœur observée par Bob :

a = t _{Alice, Aller- Terre, Alice_Sirius} * F_{battement_coeur}

aAliœ.AUer= * 7(1'V) (36)

- D a Alice, Aller

W rAlice's flash Sirius D = 8.6 years Look-distance

O

* ? 1

Greenwich's

observations

step by step

Bob and we hâve aged byD(1+v)/v= ' 17.2868 years

Alice’ aging = D/yv = 1.2254336 years What is happening ? i— —— Greenwich Clock's Time ... I

S

D(1+v)/v

- Alice at the uturn point Sirius

v/(1+v)

17.28686

years

0.4974

7(1-V)

0.07088

>

Figure 3.7 : Point de vue de Bob et de nous au moment ou Alice arrive en face de Sirius

Temps observépar Bob pour le retour d’Alicesur Terre :

^Terre,Alice_retour

D

u Terre, Alice_retour = 31.70jours

(3.7)

V

Age acquis par Alice durantson retour sur Terre = Temps (retour) d’observation de Bob depuis Greenwich * fréquence de battement de cœur observée par Bob :

D(l-v)

»

/|+v

|

step

step

Bob and we hâve

aged further by

D(1-v)/v = 31.27 days

BOB'S TOTAL AGING

2D/v = 17.3737 years

ALICE'S TOTAt AGING

1.2254336 years

2D/;

2.450867 years

-Alice is back to

Earth.

2D/v

17.3737

years

v/(1-v)

99

y(1+v)

14

Figure 3.8: Point de vue de Bob et de nous sur Terre quand Alice rejoint Bob.

En résumé on aura :

Vieillissement total de Bob :

aBob,Totale =t

Terre,Ali ce_Sirius + tTerre, Alice_retour

Bob,Totale

2D 1TT7

— = 17.37 années

Vieillissement total d’Alice :

a Alice,Totale & Alice,aller Alice,retour

D’Alice,Totale 2D

/v = 2.450867 années

(3.10)

Comme l’avait prévu l’approche synchronique, Bob voit l’horloge d’Alice ralentir de y. Normalement, Alice devrait avoir le même point de vue que Bob mais ce n’est pas le cas dans le 1er scénario, car Alice n’expérimente pas les mêmes évènements que Bob parce qu’en faisant un demi-tour, elle change de système de coordonnées. C’est ainsi qu’un deuxième scénario a été créé pour que Alice puisse avoir les mêmes expériences que Bob. Le scénario 2 se présente comme suit :

Scénario 2

Alice de retour d’un court voyage de Jupiter passe à côté de la Terre à une vitesse v =

0.99c et se dirige vers Sirius. Mais elle ne s’arrête jamais et continue son chemin. C’est ainsi qu ’on obtient les mêmes conditions encourues par Bob au cours du scénario 1 : elle ne fait rien d’autre dans son référentiel à elle que d’observer Bob.

Par contre, sur Terre, Bob observe Alice le survoler et attend un certain temps avant de se mettre à sa poursuite. Il s’arrange pour que Alice puisse voir son départ (Flash des moteurs de Bob) juste au moment où elle passera à côté de Sirius. La vitesse de Bob après son départ est de 0.99c relativement à Alice. Qu’observe-t-on quand Bob rattrape Alice ?

Solution :

Notre point

de

vue

sur

Terre

Voici comment se présente la situation vue de la Terre juste avant le départ de Bob :

Départ de Bob (flash Lumineux) : • ^lumière ~ G

• Temps observé depuis la Terre nécessaire à lumière pour atteindre Sirius : t_{Terre, FlashB ob_Sirius} D

v_{d, éloignement_lumière} (3.11)

Temps observé depuislaTerre nécessaire à Alice pour atteindre Sirius :

'T erre, Alice_S irius

D ^d, éloignement Terre,AIice_Sirius D(l+v)

V

Temps d’attente de Bob :

Ce temps est tout simplement le temps nécessaire à Alice pour atteindre Sirius moins le temps nécessaire au flash lumineux représentant le départ de Bob pour se voir a Sirius

t

=D(1±

).2

uattente_Bob

D(l-v)

tattente.Bob = ~= 31.70 JOUIS

(3.13)

Tous les évènements survenus au cours de ce scénario 2 vu de la Terre s’illustrent très bien à la figure 3.9..