Étude théorique et expérimentale de l'écoulement et du transfert de chaleur des nanofluides

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UMI

PHf UNlVERSntDB

m SHERBROOKE

FACULTE DE GENIE Departement De Genie Mecanique

ETUDE THEORIQUE ET EXPERIMENT ALE DE

L'ECOULEMENT ET DU TRANSFERT DE CHALEUR DES NANOFLUIDES

These de doctorat (Ph.D) Speciality : genie mecanique Composition du jury:

Yves VAN HOENACKER Nicolas GALANIS

Cong TAM NGUYEN Yves MERCADIER Hakim NESREDDINE

Ridha BEN MANSOUR

Sherbrooke (Quebec), Canada Decembre 2008

1*1

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A mes parents pour leurs supports continus et amour infini A tous les membres de mafamille pour leur grande affection

REMERCIEMENTS

Je tiens tout d'abord a exprimer ici ma plus profonde reconnaissance a mes directeurs de these; Nicolas GALANIS, professeur au departement de genie mecanique et titulaire de la Chaire CRSNG en efficacite energetique industrielle, Universite de Sherbrooke et Cong Tarn NGUYEN, professeur a 1'Universite de Moncton pour leurs patiences, leurs conseils precieux et eclaires et leurs participations a revaluation du rapport final.

Je remercie aussi:

a Le professeur Yves MERCADIER de l'Universite de Sherbrooke pour avoir accepte de participer au jury d'examen de ma these et d'agir en qualite de rapporteur.

s Mr. Hakim NESREDDINE, chercheur a PInstitut de Recherche d'Hydro-Quebec-L.T.E a Shawinigan pour l'interet porte a mon travail en acceptant de participer au jury de soutenance.

s Mr. Jamel ORFI, professeur a la Faculte des Sciences de Monastir et Mr. Andre LANEVILLE, professeurs au departement de genie mecanique de l'Universite de Sherbrooke pour leurs commentaires constructifs.

B Mes amis et collegues du groupe thermo-fluide de l'Universite de Sherbrooke, Thermaus, pour leurs encouragements et leurs supports.

Ce travail a ete rendu possible grace aux soutiens financiers accordes par le Conseil de Recherches en Sciences Naturelles et en Genie du Canada, la Chaire CRSNG en efficacite energetique industrielle, l'Universite de Sherbrooke et l'Universite de Moncton. Je tiens egalement a remercier toutes les personnes qui ont contribue d'une maniere ou d'une autre a la realisation de ce travail.

RESUME

Le prpjet de doctorat concerne l'etude theorique (analytique et numerique) et experimentale de l'ecoulement et du transfert de chaleur conjugue des nanofluides dans un tuyau incline soumis a un flux de chaleur uniforme. Un dispositif experimental a ete concu et construit. II a permis de mesurer differentes variables d'interet telles que la temperature et le debit massique et d'analyser le transfert de chaleur parietal en fonction de la concentration volumique, du taux de chauffage et du debit d'alimentation. Par ailleurs, l'etude theorique est composee d'une part de la presentation d'une solution analytique originale et generate de la convection mixte developpee dans un tube circulaire chauffee uniformement et en presence d'une source thermique et d'une dissipation visqueuse; d'autre part, d'une analyse numerique du probleme tridimensionnel elliptique du probleme. Un modele numerique developpe et valide a l'aide des resultats experimentaux, a permis d'effectuer une analyse parametrique exhaustive sur l'effet de la presence des nanoparticules dans le fluide sur le developpement des champs thermique et hydrodynamique ainsi que sur le coefficient de transfert de chaleur et de perte de pression. Des correlations generates exprimant les coefficients de frottement et du transfert de chaleur en fonction de divers parametres caracteristiques ont ete proposees. En outre, les solutions theoriques ont servi de base a une etude sur les irreversibilites thermodynamiques rencontrees dans ce type de probleme.

ABSTRACT

Nanofluids are considered to offer important advantages over conventional heat transfer fluids. However, at this early stage of their development, their thermophysical properties are not known precisely. As a result, the assessment of their true potential is difficult. A first study was conducted and concerned the effects of uncertainties in physical properties on laminar and turbulent convection heat transfer with nanofluids. On the third hand, an exact analytical solution has been derived for the fully-developed mixed convection using a nanofluid in a vertical tube with uniform heat flux at the wall, uniform internal volumetric heat source and viscous dissipation. Explicit expressions have been obtained for the temperature and velocity profiles as well as for the axial pressure gradient. They were satisfactorily validated for the case of forced convection with both heat source and dissipation, and also for cases of mixed convection with heat source and with or without dissipation. The explicit solution has been used to study the effect of viscous dissipation and the particle fraction on thermal and velocity fields. This analytical solution has been also used in order to identify the sources of the irreversible losses encountered in such flows.

Furthermore, an experimental investigation was carried out to study a laminar mixed convection flow and heat transfer of AhC^-water nanofluid inside inclined tubes submitted to a uniform wall heat flux at their outer surface. Measured data were collected for different the governing parameters such as the Reynolds number the Grashof number and particle volume concentration. Results have shown that the experimental heat transfer coefficient remains nearly constant with an increase of particle volume concentration from 0 to 4%. In contrast, numerical results have shown that the presence of nanoparticles slightly intensifies the secondary flow due to buoyancy, in particular in the developing region. It also increases the average Nusselt number and decreases slightly the product ReCf with respect to those of water.

TABLE DES MATERES

II-3. C ARACTERISTIQUES DES NANOFLUIDES 10

I I - 3 . 1 . METHODES DE PRODUCTION ET PREPARATION DES NANOFLUIDES 11

I I - 3 . 2 . LES PROPRIETES DES NANOFLUIDES 12

H-4. TRAVAUX RELATIFS AUX ECOULEMENTS CONFINES DES NANOFLUIDES 12

I I - 4 . 1 . L E S TRAVAUX THEORIQUES 13 I I - 4 . 2 . LES TRAVAUX EXPERIMENTAUX 16

II-5. CONSIDERATION PARTICULIERE 19 H-6. CONCLUSION ETOBJECTIFS 20 CHAPITRE III

FORMULATION THEORIQUE DU PROBLEME 22

IH-1. INTRODUCTION 22 IH-2. DEFINITION DU PROBLEME 22

IH-3. HYPOTHESES 24 III-4. LES EQUATIONS GENERALES DE CONSERVATION 26

III-4.1 EQUATION GENERALE DE CONSERVATION DE MASSE 2 6 III-4.2 EQUATIONS GENERALES DE CONSERVATION DE QUANTITE DE MOUVEMENT 2 6

III-4.3 EQUATIONS GENERALES DE CONSERVATION DEL'ENERGIE 2 7

III-4.4 GENERATION D'ENTROPIE 27 III-4.5 CONDITIONS AUX LMITES 28

III-4.6. PROPRIETES THERMOPHYSIQUES DES NANOFLUIDES 2 8

HI-5. METHODE NUMERIQUE 30

III-5.2. ALGORITHME DE CALCUL 3 2 III-5.3.CONTROLEET ACCELERATION DU PROCESSUS DE RESOLUTION 3 2

III-6. CHOIX DU MAILLAGE 34

III-6.1. SCHEMA DUMAILLAGE 34

III-6.2. TEST DESENSIBILITEDU MAILLAGE 34

III-7. VALIDATION DU MODELE 38

I I I - 7 . 1 . DEVELOPPEMENT HYDRODYNAMIQUE 38 III-7.2. DEVELOPPEMENT THERMIQUE (PROBLEME DE GRAETZ) 4 0

III-7.3. DEVELOPPEMENT THERMIQUE ET HYDRODYNAMIQUE (CONDUIT ISOTHERME) 4 0 III-7.4. DEVELOPPEMENT THERMIQUE ETHYDRODYNAMIQUE (FLUX UNIFORME) 4 2

IH-8. CONCLUSION 43 CHAPITREIV

ETUDE NUMERIQUE DE LA CONVECTION MIXTE DES NANOFLUIDES 44

IV-1. INTRODUCTION 44 IV-2. RESULATS ET DISCUSSIONS 44

I V - 2 . 1 . DEVELOPPEMENT DES CHAMPS HYDRODYNAMIQUE ET THERMIQUE 4 5

IV-2.2. ETUDE PARAMETRIQUE 61

IV-3. CONCLUSION 83 CHAPITRE V

DESCRIPTION DU MONTAGE ET METHODOLOGIE EXPERIMENTALE 84

V-l. INTRODUCTION 84 V-2. DESCRIPTION DU MONTAGE 84

V-2.1 LA SECTION D'ESSAI 85

V-2.2. CARACTERISTIQUES DES THERMOCOUPLES 88

V - 2 . 3 . SYSTEMED' ACQUISITION DES DONNEES 8 9

V-3. ETALONNAGE ET INCERTIDUDES EXPERIMENTALES 92

V-3.1 THERMISTOR 92 V-3.2 THERMOCOUPLES 92 V-3.3CALIBRAGEDUSYSTEMEDECHAUFFAGE 9 2

V-4. METHODOLGIE ET PROCEDURES EXPERIMENT ALES 94

V-4.1. PREPARATION DUNANOFLUIDE 94

V-4.2. PROCEDURES EXPERIMENTALES 94

V - 4 . 3 METHODOLOGIE DE CALCUL 95

V-5. TESTS PRELIMINAIRES ET VALIDATION 96

V - 5 . 1 . C A S D E LA CONVECTION FORCEE EN DEVELOPPEMENT THERMIQUE 96

V - 5 . 2 . CAS DE LA CONVECTION MDCTE AVEC L'EAU 9 7

V.6-ETUDE PARAMETRIQUE 100

V - 6 . 1 . EFFET DE LA CONCENTRATION DES PARTICULES SUR LE DEVELOPPEMENT DU CHAMP DE TEMPERATURE .... 100

V - 6 . 2 . EFFET DU CHAUFFAGE SUR LE DEVELOPPEMENT DU CHAMP DE TEMPERATURE 103 V - 6 . 3 . EFFET DU DEBIT MASSIQUE SUR LE DEVELOPPEMENT DU CHAMP DE TEMPERATURE 105

V - 6 . 4 EFFET DE L'INCLINAISON SUR LE CHAMP DE TEMPERATURE 107

V-7. ETUDE PARAMETRIQUE RELATIVE A L'ECOULEMENT DEVELOPPE 110

V - 7 . 1 . EFFET DECPET DU NOMBRE DE REYNOLDS SUR LE TRANSFERT THERMIQUE 1 1 0 V - 7 . 2 . EFFET DE <P ET DU NOMBRE DE GRASHOF SUR LE TRANSFERT THERMIQUE 1 12

V - 7 . 3 L E S CORRELATIONS PROPOSEES POUR NUO„ 1 1 4

CONCLUSION 115

V-8. COMPARAISON EXPERIMENTAL - NUMERIQUE 117

V - 8 . 1 . COMPARAISON DE PROFIL DE TEMPERATURE ET DE COEFFICIENT DE TRANSFERT DE CHALEUR POUR UN

ECOULEMENT EN DEVELOPPEMENT 117 V - 8 . 2 . LA COMPARAISON DES RESULTATS OBTENUS POUR LE COEFFICIENT DE TRANSFERT DE CHALEUR

ASYMPTOTIQUE 121 V - 8 . 3 . LA COMPARAISON DES RESULTATS OBTENUS POUR LE NOMBRE DE NUSSELT ASYMPTOTIQUE 123

V-9. CONCLUSION 128 CHAPITRE VI

SOLUTION ANALYTIQUE DE L'ECOULEMENT COMPLETEMENT DEVELOPPE ET SECOND

PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 129

VI.l. INTRODUCTION 129 VI-2. DEFINITION DU PROBLEME 130

VI-3 FORMULATION MATHEMATIQUE DU PROBLEME 130

SOURCE DE CHALEUR 134 VI-3.2. SOLUTION POUR LE CAS DE CONVECTION MIXTE SANS DISSIPATION VISQUEUSE ET AVEC SOURCE DE CHALEUR

VOLUMETRIQUE 135 VI-3.3. SOLUTION POUR LE CAS DE CONVECTION MIXTE AVEC DISSIPATION VISQUEUSE ET SOURCE DE CHALEUR

VOLUMETRIQUE 137

VI-4. VALIDATION DU MODELE ANALYTIQUE 140

VI-4.1. COMPARAISON AVEC DES SOLUTIONS EXACTES POUR LE CAS D'UN ECOULEMENT FORCE (CAS I) 140 VI-4.2 COMPARAISON AVEC DES SOLUTIONS EXACTES POUR LE CAS D'UN ECOULEMENT EN CONVECTION MIXTE

SANS DISSIPATION VISQUEUSE (CAS II) 143 VI-4.3. COMPARAISON AVEC DES SOLUTIONS APPROCHEES POUR LE CAS D'UN ECOULEMENT EN CONVECTION MIXTE

AVEC DISSIPATION VISQUEUSE (CAS III) 145

VI-5. RESULTATS ET DISCUSSIONS 148 VI-6. ETUDE DE LA PRODUCTION D'ENTROPIE 152

VI-6-1. EXPRESSIONS DUTAUXDE GENERATION D'ENTROPIE 152

V I - 6 . 2 . RESULTATS ET DISCUSSION 155

VI-7. COMPARAISON NUMERIQUE ANALYTIQUE 164

VI-8. CONCLUSION 167 CHAPITRE VII

CONCLUSION GENERALE 168

ANNEXE A 171 REFERENCES 182

LISTE DES FIGURES

Figure 3.1: Configuration geometrique du probleme etudie 23 Figure 3.2 : Validation du developpement hydrodynamique 39 Figure 3.3 : Validation du developpement simultane thermique et hydrodynamique 41

(conduit isotherme)

Figure 3.4 : Comparaisons avec les resultats de plusieurs travaux (nombre de 42 Nusselt)

Figure 4.1 : Distribution du flux de chaleur interfacial normalise (qi/qO) 47 Figure 4.2 : Evolution circonferentielle du flux de chaleur interfacial 47 Figure 4. 3 : Evolution axiale de l'ecoulement secondaire pour 9 = 0% et (p = 7% 51

Figure 4.4 : Developpement du champ thermique pour 9 = 0%( ) et (p = 7% 53 ( )

Figure 4.5: Developpement axial des temperatures moyennes de 1'interface 56 solide-fluide (9W) et de melange (9m)

Figure 4.6 : Profils de temperature sur le diametre vertical 56 Figure 4.7 : Evolution de la vitesse axiale du centre du tuyau 58 Figure 4.8 : Evolution radiale du profil de vitesse axiale le long du diametre 58

vertical ((j)=0, <j)=7t)

Figure 4.9 : Evolution axiale du coefficient de convection moyen 60 Figure 4.10 : Evolution axiale du nombre de Nusselt moyen 61 Figure 4.11 : Evolution axiale du coefficient de friction 61 Figure 4.12 : Effet de l'inclinaison sur la distribution circonferentielle du flux de 63

chaleur interfacial normalise a differentes positions axiales.

Figure 4.13 : Effet de l'inclinaison sur la structure de l'ecoulement secondaire 66 Figure 4.14 : Effet de l'inclinaison sur les isothermes (Z= 20 et 9 =7%) 68 Figure 4.15 : Effet de l'inclinaison sur les profils de la vitesse axiale le long du 70

diametre (|)= 0, 71 (Z= 20 et 9 =7%)

Figure 4.16 : Effet de l'inclinaison sur les profils de la vitesse axiale le long du 70 diametre <j)=0, K (Z= 20 et 9 =7%)

Figure 4.17 : Effet de l'inclinaison sur les profils de vitesse axiale du centre du 71 tuyau ((p=0, <p=7%)

Figure 4.18 : Effet de l'inclinaison sur le nombre de Nusselt moyen ((p=0%, (p 73 =7%)

Figure 4.19 : Effet de l'inclinaison sur le coefficient de friction moyen (cp=0%, cp 73 =7%)

Figure 4.20: Effet du nombre de Grashof sur la structure de l'ecoulement 75 secondaire(Z= 20, <p =7% et a =0°)

Figure 4.21 : Effet du nombre de Grashof sur le champ thermique (Z= 20, (p =7% et 75 a=0°)

Figure 4.22 : Effet du nombre de Grashof sur les profils de la temperature le long 77 dudiametre 0=0, 7U (q> =7%, a =0°)

Figure 4.23 : Effet du nombre de Grashof sur les profils de la vitesse axiale le long 77 du diametre 0 = 0, n (Z= 20 , (p =7% et a =0°)

Figure 4.24 : Effet du nombre de Grashof sur le nombre de Nusselt moyen (cp=0%, 79 (p =7%)

Figure 4.25 : Effet du nombre de Grashof sur le coefficient de friction 79 Figure 4.26: Influence du nombre de Grashof et de fraction volumique sur le 81

nombre de Nusselt asymptotique (Re=100, a=0°)

Figure 4.27: Influence du nombre de Grashof et de fraction volumique sur le 81 coefficient de friction asymptotique (Re=100, a=0°)

Figure 5.1 : Schema descriptif du montage experimental 87 Figure 5.2 : Une coupe transversale de la section d'essai (A-A) 87

Figure 5.3: Zone de test et support inclinable 89 Figure 5.4 : Schema du systeme d'acquisition 91 Figure 5.5 : Calibrage du systeme de chauffage 94 Figure 5.6 : Evolution axiale des temperatures parietale et du melange 98

Figure 5.7 : Evolution axiale des temperatures parietales et du melange 100

Figure 5.8 : Evolution axiale du nombre de Nusselt 100 Figure 5.9 : Evolution axiale des temperatures a la paroi (Tw) et du melange (Tm) 103

Figure 5.10: Evolution axiale des temperatures a la paroi (Tw) et du melange (Tm) 103

Figure 5.11: Evolution axiale des temperatures a la paroi (Tw) et du melange (Tm) 105

Figure 5.12 : Evolution axiale de coefficient de transfert convectif pour differentes 105 puissances de chauffage

Figure 5.13 : Evolution axiale des temperatures a la paroi (Tw) et du melange (Tm) 107

Figure 5.14 : Evolution axiale du coefficient de transfert convectif pour differents 107 debits massiques

Figure 5.15 : Evolution axiale des temperatures a la paroi (Tw) et du melange (Tm). 110

Figure 5.16 : Evolution axiale des temperatures a la paroi (Tw) et du melange (Tm) . 110

Figure 5.17 : Influence de <p et Re sur Nuoo pour le cas d'un tube horizontal 112 Figure 5.18 : Influence de cp et Re sur Nuoo pour le cas d'un tube vertical 112 Figure 5.19 : Influence de (p et Gr sur Nuoo pour le cas d'un tube horizontal 114 Figure 5.20: Influence de cp et Gr sur Nuoo pour le cas d'un tube vertical 114 Figure 5.21 : Comparaison de Nuoo obtenus experimentalement avec la correlation 117

proposee pour un tube horizontal.

Figure 5.22: Comparaison de Nuoo obtenus experimentalement avec de la 117 correlation proposee pour un tube vertical.

Figure 5.23 : Evolution axiale des temperatures mesurees pour P=392 W, m'=3.2 120 g/s et (p =4%

Figure 5.24 : Evolution axiale de coefficient de transfert de chaleur pour P=392 W, 121 m'=3.2g/set(p=4%

Figure 5.25 : Variation de nombre de Nusselt asymptotique pour un tube horizontal 126 Figure 5.26 : Variation de nombre de Nusselt asymptotique pour un tube vertical 127

Figure 6.1 : Validation du modele et de la solution analytique dans le cas d'un 141 ecoulement en convection forcee (Pe=7000, Qs=l, Br*=l)

Figure 6.2 : Validation du modele et de la solution analytique dans le cas d'un 144 ecoulement en convection mixte (Pe=7000, Qs=l, Br*=l)

Figure 6.3 : Profils de vitesse dans le cas d'un ecoulement en convection mixte 151 (Pe=70, Qs=0)

Figure 6.4: Profils de temperature dans le cas d'un ecoulement en convection 151 mixte(Pe=70, Qs=0)

Figure 6.5 : Developpement axial du profil de temperature 157 Figure 6.6 : Developpement axial du profil de vitesse 157 Figure 6.7: Developpement axial du taux de generation d'entropie du a

conduction thermique

Figure 6.8 : Developpement axial du taux de generation d'entropie du a la friction

Figure 6.9 : Developpement axial des taux integraux de generation d'entropie dus a la conduction et la friction

Figure 6.10: Comparaison des profils de temperature pour un ecoulement completement developpe en presence de la convection mixte

Figure 6.11 : Comparaison des profils de vitesse pour un ecoulement completement developpe en presence de la convection mixte

Figure 6.12 : Comparaison des profils de taux de generation d'entropie du a la conduction pour un ecoulement completement developpe en presence de la convection mixte

Figure 6.13 : Comparaison des profils de taux de generation d'entropie du a la friction pour un ecoulement completement developpe en presence de la convection mixte 160 161 162 166 166 167 168

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 3.1 : Effet de maillage dans les plans tangentiel et radial sur la vitesse ^ normalisee pour le cas d'un ecoulement force

Tableau 3.2 : Effet de maillage sur la vitesse au centre du tube pour le cas d'un .,-ecoulement force

Tableau 3.3 : Effet de maillage dans les plans tangentiel et radial sur le nombre de ~7

Nusselt pour le cas d'un ecoulement force

Tableau 3.4 : Validation du developpement thermique 4 n

Tableau 3.5 : Nombre de Nusselt asymptotique moyen relatif a differents travaux 4

-Tableau 4.1 : Variation axiale de (6max-9min) en fonction de cp ^^

Tableau 4.2 : Variation axiale de (9max-9min) et 1'emplacement 0min en fonction de ™

a pour cp =7%

Tableau 4.3 : Variation du Nu en fonction de q> et de Re ^

Tableau 4.4 : Variation du ReCf en fonction de (p et de Re go

Tableau 5.1: Dimensions de la zone test o«

Tableau 5.2 : Thermocouples et accessoires utilises ₈₈

Tableau 5.4: Systeme d'acquisition de donnees 92

Tableau 5.5: Incertitude sur les valeurs mesurees 95

Tableau 5.6 : Variation axiale (Tw-Tm) et h en fonction de l'inclinaison pour 109

P= 301 W, m'=1.8 g/s et (p =4%.

Tableau 5.7 : Comparaison des resultats obtenus pour le coefficient du transfert de 123 chaleur asymptotique (a= 0°)

Tableau 5.8 : Comparaison des resultats obtenus pour le coefficient du transfert de 124 chaleur asymptotique (oc= 90°)

Tableau 6.1: Gradient de pression et nombre de Nusselt dans le cas d'un 142 ecoulement force

Tableau 6.2 : Gradient de pression et nombre de Nusselt dans le cas d'un 145 ecoulement mixte en absence de source de chaleur et de dissipation

visqueuse (Br* = Qs = 0)

Tableau 6.3 : Vitesse, temperature et nombre de Nusselt dans un ecoulement en , , _ convection mixte sans source de chaleur (Qs =0)

Tableau 6.4 : Effets de la dissipation visqueuse sur la convection mixte (Pe =70, , ™ Qs=0, Gr*/Re =100)

Tableau 6.5 : Effets de nombre de Grashof sur le taux global de generation 164 d'entropie

NOMENCLATURE

A Gradient axial de temperature, K.m"1

Br Nombre de Brinkman, (=\i Uo2./kqw )

Br* Nombre de Brinkman modifie (eq. 6.16 )

Cp Chaleur specifique du fluide a pression constante U.kg

Cf Coefficient de friction

D Diametre interieur du tube m

g Acceleration de gravite m.s"2

Gr Nombre de Grashof, (=p2gPqwD4/kix2)

Gr* Nombre de Grashof modifie (eq. 6.16)

h Coefficient d'echange parietal W.m"2

k Conductivite thermique de fluide W.m"1

m' Debit massique g.s"1

Nu Nombre deNusselt

P Pression adimensionnelle (=P*/(p U02))

p Pression Pa

Pe Nombre de Peclet (=Re.Pr)

Pr Nombre de Prandtl (=ij,Cp/k)

P* Pression modifiee (eq 6.5) Pa

Q Source de chaleur volumique W/m3

Source de chaleur (eqs 6.44, 6.45 et 6.46) W

iv-\

-1

qw Flux de chaleur parietal W.m"2

R Coordonnee radiale adimensionnelle (=r/D)

r Rayon m

Ra Nombre de Rayleigh, (= RePr)

Re Nombre de Reynolds, (=pDU0 /(i)

Sg Taux de generation d'entropie locale W.m'^K

sg Taux de generation d'entropie adimensionnee

ST Taux global de generation d'entropie adimensionne (eqs 6.44, 6.45 et 6.46)

-T -Temperature K

Vz Vitesse axiale adimensionnelle (=vz/U0) m.s"1

U0 Vitesse moyenne

vr ,vz et V0 Vitesse radiale, axiale et circonferentielle, m.s

z Coordonnee axiale m

Z Coordonnee axiale adimensionnelle, (=z/D)

Z+ Coordonnee axiale adimensionnelle, (=z/DRe.Pr)

Symboles grecs

a Angle de Pinclinaisondu tube °

(3 Coefficient d'expansion thermique K '

<)) coordonnee angulaire °

(p concentration volumique des nanofluide

(X Viscosite de fluide Pa.s

0* Temperature adimensionnelle, (= k(T-Tw)/AD)

p Masse volumique du fluide, kg.m

<I> dissipation visqueuse

ty coordonnee angulaire ° Indices et exposants

e se refere a 1'entree

eff se refere a l'effectif

el. se refere a l'electrique

ext. se refere a I'exterieur

fb se refere au fluide de base

m se refere au melange

nf se refere au nanofluide

p se refere a la particule

perte se refere a la perte

o se refere a la condition de reference

s se refere a la sortie

CHAPITRE I

INTRODUCTION GENERALE

Depuis plusieurs decennies, les echanges de chaleur par convection mixte font l'objet de nombreuses etudes experimentales et theoriques. L'interet de ce genre d'etudes est motive par les raisons principales suivantes:

a Les innombrables applications industrielles et processus naturels faisant intervenir ces echanges; a titre d'exemple, on cite : les echangeurs de chaleur dans les centrales thermiques, l'industrie agroalimentaire ou chimique ou les assemblages electroniques, les capteurs solaires. Ainsi, il est important de bien quantifier les echanges thermiques entre une paroi chauffee et un fluide en ecoulement ou entre deux fluides en vue d'une meilleure conception et exploitation de ces systemes en particulier dans un contexte ou l'efficacite et l'economie d'energie deviennent des criteres a respecter.

a Le developpement rapide et l'amelioration sans cesse des outils d'analyse aussi bien numerique qu'experimentale rendent plus faciles la solution et 1'analyse de plusieurs problemes complexes. A titre d'exemple, la resolution numerique des equations de transport fortement non lineaires et complexes a permis de faire des progres importants dans la caracterisation de la turbulence, la transition et les instabilites hydrodynamiques.

s Le progres scientifique et technologique observe ces deux dernieres decennies dans divers domaines comme la nanotechnologie et la bioingenierie a oriente la recherche et le developpement vers des nouvelles pistes; par exemple, la fabrication et la caracterisation des nouveaux melanges caloporteurs, comme les nanofluides, qui offrent des bonnes performances thermiques, l'analyse de l'ecoulement et du transfert thermique dans des micro-canaux ou dans des veines...

Ces interets ont mene plusieurs groupes de recherche a developper des nouvelles approches afin d'ameliorer l'echange thermique par convection. La premiere option consiste a apporter des modifications geometriques dans la conduite, par exemple en inserant

des obstacles de dimensions donnees [Hung et coll., 1997], en provoquant des elongations et contractions transversales successives d'un element de fluide au cours de son mouvement longitudinal le long d'un tube [Harion et coll., 2007] ou en installant des ailettes sur la circonference de la conduite [Ouzzane, 2000]. En general ces solutions, presentent 1'inconvenient de generer des pertes de charges supplementaires, de provoquer des zones de circulations ou le transfert de chaleur est faible et d'augmenter le cout de fabrication.

Une autre option consiste a modifier la nature du fluide caloporteur (fluides avec capsules a changement de phase, coulis de glace, nanofluides). Les nanofluides qui font l'objet du present travail sont des melanges solide-fluide dont la phase continue est generalement un liquide et celle dispersee contient des particules metalliques de taille nanometriques (< 40 nm). Certains resultats experimentaux s'accordent sur 1'amelioration des echanges thermiques par rapport aux fluides conventionnels. Ainsi, l'etude experimentale de Ding et coll. (2005) a montre que 1'addition des faibles concentrations des nanoparticules entraine une augmentation du coefficient d'echange convectif par rapport au cas du fluide monophasique de l'ordre 350%. Malheureusement, la revue bibliographique montre une dispersion entre les valeurs mesurees de certains proprietes thermiques (viscosite, conductivite et coefficient de transfert de chaleur) et celles predites theoriquement [Wang et Mujumdar, 2007].

II faut done intensifier les travaux de recherche et developpement afin d'ouvrir cette technologie (nanofluide) a une eventuelle application plus large. C'est dans ce cadre que s'inscrit ce projet de these.

La premiere partie de la presente these est consacree a une revue detaillee de la litterature relative a la convection mixte des nanofluides (chapitre II). Au chapitre III, on s'est interesse a la formulation generate du probleme complet. Un modele numerique permettant de solutionner 1'ensemble des equations gouvernant l'ecoulement des nanofluides a ete developpe et fait ainsi l'objet du chapitre IV. Les equations qui modelisent le probleme, les hypotheses appropriees et des conditions aux limites sont presentees en detail. La validation du modele et le choix des parametres numeriques constituent la derniere partie de ce chapitre. II suit au chapitre V, une realisation d'un montage experimental dans le but d'analyser le transfert de chaleur parietal des nanofluides et de valider les resultats obtenus numeriquement.

En outre, on a presente une solution analytique originate et generate de la convection mixte developpee dans un tube circulaire chauffe uniformement (chapitre VI). Ces etudes experimentale et theorique permettent de realiser une analyse parametrique exhaustive sur l'effet de la presence des nanoparticules dans le fluide sur les developpements des champs thermique et hydrodynamique. Finalement, une analyse d'optimisation de l'ecoulement et du transfert thermique dans un tube, basee sur le second principe de la thermodynamique a ete presentee a la fin du chapitre VI.

CHAPITRE II

REVUE BIBLIOGRAPHIQUE

I I I . INTRODUCTION

Les ecoulements confines avec transfert de chaleur suscitent l'interet des chercheurs et industriels a cause 1'omnipresence de ces phenomenes dans divers installations industrielles et processus naturels. Dans ce chapitre, on presente une revue des principales etudes anterieures sur ce sujet. Dans un premier temps, l'accent est mis sur les travaux experimentaux et numeriques relatifs a la convection mixte dans des ecoulements confines de fluides conventionnels dans des conduites chauffees. Dans un second temps, on s'interesse aux travaux consacres aux proprietes thermophysiques des nanofluides et aux ecoulements utilisant les nanofluides.

II 2. TRAVAUX RELATIFS AUX PROBLEMES DE CONVECTION

CONFINEE

On distingue deux modes de convection, la convection forcee et la convection naturelle (libre). La distinction est basee sur la nature de la force qui provoque le mouvement du fluide : pour le premier mode, l'ecoulement est engendre par la presence d'un gradient de pression (force d'inertie) cree par un moyen mecanique exterieur (pompe, ventilateur,...) alors que pour le deuxieme, le deplacement est induit par un gradient de densite (force d'Archimede) induit par une distribution non uniforme de la temperature dans le fluide. Habituellement, ces deux modes de transfert de chaleur coexistent dans plusieurs applications d'interet pratique. Afin de comprendre 1'interaction entre la convection naturelle et la convection forcee, on definit le parametre sans dimension Gr/Re" avec Gr, le nombre de Grashof qui caracterise la force de gravite, Re nombre de Reynolds qui represente la force d'inertie au sein du fluide et l'exposant n depend de la configuration de l'ecoulement et des conditions aux limites thermiques. Ainsi, le parametre Gr/Re" donne une mesure de 1'importance relative de la

convection naturelle par rapport a celle forcee. Par exemple pour le cas d'un ecoulement fluide ascendant pres d'une plaque immobile verticale ou dans un tube chauffe a une temperature constante, la convection naturelle est le mode principal de transfer! pour Gr/Re2

largement superieur 1 (Gr/Re2 » 1); Autrement dit Gr/Re2> 10 alors que pour Gr/Re2

largement inferieur a 1 (Gr/Re2 < 0.1, la convection forcee est le mode dominant dans le

transfer! de chaleur.

Le probleme de convection forcee laminaire interne a ete largement etudie depuis longtemps moyennant plusieurs hypotheses simplificatrices pour le cas de configurations simples et regulieres (des conduites a section circulaire, des canaux a plaques paralleles, ...) ou de configurations plus complexes (conduites a section triangulaires, conduites avec ailettes) [Shah et London, 1978 et Kakac et coll., 1987].

Sous l'effet du gradient de temperature, la densite du fluide varie a l'interieur de la conduite. Cette variation engendre un ecoulement secondaire qui se traduit par une distorsion des profils de vitesse et une nette modification du champ thermique. Les equations gouvernant 1'ecoulement du fluide et le transfer! thermique deviennent couplees et complexes. Plusieurs auteurs [Hallman, 1956; Iqbal et Stachiewicz, 1966 et Barletta et di Schio, 2001] ont essaye de resoudre ce probleme analytiquement en utilisant des series de puissances infinies ayant des coefficients definis a partir des parametres caracteristiques du probleme (nombre de Reynolds, nombre de Rayleigh, nombre de Prandtl).

Hallman (1956) a etudie analytiquement le probleme de convection mixte developpee dans un tube vertical avec flux de chaleur thermique a la paroi et en presence d'une source volumetrique uniforme dans l'ecoulement. II a neglige le terme de dissipation d'energie du a la viscosite. II a propose une solution analytique des equations differentielles qui modelisent les profils de temperatures et de vitesses en terme de fonctions de Bessel. Cette solution est valable pour les deux directions d'ecoulement; ascendante ou descendante.

Iqbal et Stachiewicz (1966), ont repris le meme probleme et en tenant compte de la dissipation visqueuse. Pour la resolution le systeme d'equations gouvernantes ils ont adopte trois methodes differentes: la methode de serie de puissances infinies, la methode de Galerkin, et la

methode integrate de Runge-Kutta. Leurs resultats ont montre que la dissipation visqueuse diminue le transfer! de chaleur parietal (nombre de Nusselt) et augmente la vitesse axiale au centre de tube. Malheureusement, ces auteurs ont presente uniquement les valeurs de temperatures et de vitesses au centre du tube.

Recemment, Barletta et di Schio (2001) ont realise une etude analytique sur l'ecoulement laminaire et stationnaire dans un tube cylindrique vertical et soumis a des conditions aux limites de premiere espece (UWF). Les effets de flottabilites ainsi que la dissipation sont integres dans la formulation mathematique du probleme. La resolution des equations de conservation de chaleur et de quantite de mouvement a ete effectuee grace a la methode de perturbation. Cette methode consiste a perturber la solution analytique du probleme de la convection forcee pure. En outre, ils ont suppose que l'effet des forces gravitationnelles ou de la dissipation visqueuse de l'energie ne represente que des petites perturbations sur l'ecoulement principal. Les resultats presenters comprennent les profils de vitesse axiale, de temperature, le nombre de Nusselt et le coefficient de frottement pour differentes combinaisons de nombre de Rayleigh et de Brinkman. Ces auteurs sont arrives aux memes conclusions que les auteurs precedents [Iqbal et Stachiewicz, 1966] concernant l'effet de la dissipation visqueuse.

II est interessant de noter que la majorite des solutions analytiques du probleme de convection mixte dans des conduites internes sont bidimensionnelle et axisymetrique a cause des hypotheses simplificatrices. De plus, elles sont limitees a de faibles valeurs des nombres caracteristiques de l'ecoulement (nombre de Rayleigh et de Brinkman) et aux cas des ecoulements entierement developpes ou les champs hydrodynamiques et thermiques sont evalues dans les zones les plus eloignees de l'entree. Cependant, ces solutions sont tres importantes pour la comprehension du comportement hydrodynamique et thermique de l'ecoulement. Par ailleurs, ces etudes presentent les interets principaux suivants:

1 Ces solutions sont generalement simples a mettre en ceuvre et presentent des solutions asymptotiques exactes aux problemes poses. Les methodes numeriques permettent en effet de calculer avec precision les champs hydrodynamiques et thermiques dans tout l'ecoulement en particulier dans la zone pleinement developpee ou les variations des

principales grandeurs caracteristiques s'attenuent (par exemple, la diffusion axiale est tres faible dans cette zone). En plus, cette derniere zone presente une importance capitale dans l'ecoulement car elle s'etend sur la majorite de la longueur du tube. Ainsi, les solutions analytiques permettent de comprendre et d'interpreter les resultats issus de la modelisation numerique dans la zone d'ecoulement developpe.

1 Ces solutions peuvent servir souvent comme outil de validation du code numerique. Avant d'entamer des simulations compliquees de l'ecoulement en convection mixte, il est indispensable de confronter systematiquement les resultats issus d'un code numerique aux resultats trouves analytiquement pour certains problemes de base (Poiseuille, Hagen, Couette, Gratez).

Outre les etudes analytiques presentees, ci-dessus, Collins (1971, 1980) a etudie numeriquement l'ecoulement interne, en regime permanent, dans une conduite circulaire verticale. II a suppose que le probleme est en developpement simultane de temperature et de vitesse. II a considere le cas ou les proprietes physiques du fluide (viscosite, densite) varient quadratiquement avec la temperature, l'ecoulement est ascendant et descendant, ainsi que le cas ou le tube est chauffe ou refroidi. II a remarque que pour un ecoulement descendant dans un tube chauffe, la transition peut se manifester rapidement apres l'apparition d'une vitesse axiale negative pres de la paroi.

Bernier et Baliga (1992) ont etudie experimentalement le probleme d'ecoulement a l'interieur d'un tube vertical chauffe uniformement. lis ont observe des zones de circulation induites par le chauffage sur une section centrale pour des nombres adimensionnels caracteristiques particuliers (Re=90; Gr=3.3 105; Pr =6.5). Pour confirmer ces observations, les auteurs ont

mene une etude numerique utilisant l'approche de volumes de controle.

La situation devient plus complexe lorsqu'on considere l'ecoulement en convection mixte dans une conduite horizontale ou inclinee. En effet, la force de gravite suivant le deux plans (la direction d'ecoulement et le plan normal a l'axe de conduite) induit des tourbillons helicoidaux qui caracterisent l'ecoulement secondaire.

Plusieurs etudes experimentales [Petukhov et Polyakov, 1966, 1967; Rustum et Soliman, 1988; Bergles et Simonds, 1971 et Yousef et Tarasuk, 1981] ont permis d'observer que le fluide chaud monte le long de la paroi et descend vers le bas en traversant la region centrale de la conduite, ce qui entraine la naissance et le developpement des tourbillons secondaires a 1'interieur du tuyau.

Petukohv et Polyakov (1966) ont mene une etude experimentale sur la convection mixte a 1'interieur d'une conduite horizontale soumise a un flux de chaleur uniforme. Le diametre interieur est de 18.84 mm, l'epaisseur est de 0.36 mm et la longueur de chauffage est de 99 fois le diametre interieur. Une section de calmage isotherme est ajoutee avant le debut de la zone de chauffage. Ces auteurs ont effectue des mesures completes de la distribution axiale et circonferentielle des coefficients de transfert thermique. Lews resultats ont montre que sous l'effet de la force d'Archimede, la temperature parietale varie considerablement sur le perimetre, elle peut etre plus faible que celle du melange dans sa partie inferieure. Petukohv et Polyakov ont propose la correlation suivante:

NuM = Nucf (1 + ^ ) 4 B ,0.045 fD _ C „ I A 3 / 7 + H B = 5 x l 03( Z+r pour T < 1.7xl0-3 avec< > (2.1) IB = 1.8xl04 + 55 ( Z+r '7 pour T > 1.7xl0"31

Avec NuCf est le nombre de Nusselt correspond au cas de convection forcee pure, Z* est le

coordonnee axiale adimensionnelle (Z+=z/(D.Re.Pr). Les auteurs ont rapporte que la precision

de 1'approximation est de 5%.

Un an plus tard, les memes auteurs ont repris le meme probleme dans un tube vertical en acier inoxydable du diametre interieur de 49.66 mm, d'epaisseur de 0.4 mm et de longueur de chauffage 80 fois le diametre hydraulique. Une nouvelle correlation a ete suggeree :

Ra n27 fB = 1.35(Z+r1+78(Z+) pour Z+<7xl0"2]

Nuo o=Nuc f(l + ^ ^ )0 2 7a v e c \ F \ (2.2)

B [ B = 60 pour Z+ > 7xl0~2 J

Rustum et Soliman (1988) ont etudie experimentalement l'ecoulement en convection mixte dans un tube horizontal avec ou sans ailettes longitudinales. Leurs resultats ont montre qu'un accroissement de nombre de Rayleigh entraine une augmentation du coefficient de transfert de chaleur et une diminution de la longueur de developpement thermique. En plus, ils ont remarque que pour un nombre de Rayleigh eleve, le nombre de Nusselt local passe par un minimum avant d'augmenter legerement et atteindre sa valeur asymptotique dans la region developpee. Rustum et Soliman ont attribue ce comportement a un changement des proprietes du fluide du au chauffage. Pour un tube lisse, ils ont propose une correlation exprimant la dependance du coefficient d'echange thermique asymptotique au nombre de Rayleigh:

Ra

N u „ = N u0( l + — ^ )0'2 5 (2.3)

8x10

Les etudes theoriques relatives au developpement simultane de l'ecoulement sont peu nombreuses a cause de son caractere tridimensionnel et de la forte non-linearite du terme d'inertie thermique.

Nguyen (1988) a conduit une etude numerique et experimentale dans un tube incline soumis a un flux de chaleur uniforme et constant. II a montre qu'une augmentation du nombre de Rayleigh ou du flux de chaleur a la paroi engendre un accroissement de l'intensite de l'ecoulement secondaire et du nombre de Nusselt asymptotique. Quant a l'effet de l'orientation du tube, ses resultats ont revele que l'importance de la convection naturelle diminue avec 1'augmentation de l'inclinaison.

Orfi (1995) a developpe un modele numerique base sur une formulation tridimensionnelle parabolique de la convection mixte dans un tube incline. Le developpement simultane des champs hydrodynamique et thermique a ete analyse systematiquement. Les resultats ont montre l'effet de l'inclinaison de la conduite, du nombre de Grashof et du nombre de Prandtl sur les caracteristiques de l'ecoulement secondaire associe a la convection naturelle et les coefficients de transfert de chaleur et de friction. Le phenomene de bifurcation a ete observe et analyse.

Nesreddine (1997) a mene une etude numerique basee sur la formulation elliptique de la convection mixte d'un gaz dont les proprietes sont variables dans une conduite circulaire verticale. La condition thermique considered est celle d'une zone de chauffage uniforme sur la partie centrale du tube precedee et suivie par une zone adiabatique. L'auteur s'est interesse en particulier a 1'analyse des effets de la diffusion axiale, des proprietes thermo physiques du fluide et 1'apparition des zones de renversements sur la structure des champs thermique et hydrodynamique et les coefficients de transfert de chaleur et de frottement. II a presente des cartes en fonction des nombres de Peclet et de Grashof, permettant de distinguer les zones de renversement de l'ecoulement.

Recemment, Ouzzane (2000) a explore numeriquement le probleme de la convection mixte d'un ecoulement en developpement simultane dans une conduite inclinee avec un flux de chaleur non uniforme sur sa surface externe. II a etudie l'effet de la conduction parietale de la chaleur et la presence des ailettes rectangulaires disposees le long de la direction longitudinale sur le transfert thermique en convection mixte.

II 3. CARACTERISTIQUES DES NANOFLUIDES

Les nano-fluides sont produits en dispersant des particules metalliques de taille nanometrique dans des liquides tels que l'eau, l'efhylene glycol ou encore l'huile. L'idee principale est d'exploiter les capacites calorifiques des metaux sous forme solide. Ces metaux sont connus pour leur grande conductivite thermique par rapport avec celle des fluides traditionnels. Par exemple, la conductivite thermique du cuivre a la temperature ambiante est 700 fois plus grande que celle de l'eau et environ 3000 fois plus grande que celle des huiles de moteur. Depuis des decennies, des chercheurs ont essaye des melanges formes de microparticules de metaux et de fluides conventionnels. Mais 1'utilisation de ces melanges a cause plusieurs desavantages en raison des problemes d'erosion, de blocage des conduites, de sedimentation rapide, etc. ([Ahuja, 1982]).

avoir les memes problemes que ceux retrouves avec des microparticules [Eanstman et coll., 1997 etXuanet Li, 2003].

II-3.1. Methodes de production et preparation des nanofluides

De nombreuses techniques permettent de fabriquer des nanoparticules. A cette fin, plusieurs parametres doivent etre maitrises: la taille, la forme, la composition et le degre d'agglomeration des particules.

Pour fabriquer des structures a tailles nanometriques il existe classiquement deux grandes approches. D'un cote on diminue la taille des objets existants, c'est la demarche descendante ou «top-down». Cette approche vise a produire des nanoparticules a partir de fractionnements successifs d'un materiau microstructure. Les methodes de cette approche sont essentiellement fondees sur 1'application des sollicitations mecaniques importantes (chocs violents, fortes deformations). On peut egalement utiliser la demarche inverse i.e. on part des agregats constitues de quelques atomes ultrafins (de taille moins de quelques nanometre) et on construit des structures plus complexes, c'est l'approche montante «bottom-up». L'approche «top-down» permet d'obtenir des quantites importantes mais le controle de l'etat est plus delicat (dispersion de taille, defauts structuraux, phase hors equilibre). Par contre l'approche «bottom-up» parait plus riche en terme de controle de l'etat (taille, dispersion de taille, stabilite) [Wen and Ding, 2005]. En consequence, cette derniere approche est souvent utilisee en laboratoire pour la production des nanoparticules. Parmi les methodes qui sont basees sur cette derniere approche, on peut citer la condensation gazeuse [Eastman et coll., 2001] et la precipitation chimique dans un liquide [Zhu et coll., 2004]. La technique de condensation gazeuse consiste a evaporer un metal par chauffage puis a condenser la vapeur metallique afin d'obtenir des nanopoudres formees de particules nanometrique dispersees. Zhu et coll. (2004) ont utilise la precipitation chimique couplee a la methode de micro-onde, ils ont obtenus des nanoparticules de cuivre par reduction de CuC>4 5H20 avec NaF^PC^ dans 1'ethylene de

La synfhese des nanofluides est obtenue par la dispersion uniforme de particules dans un fluide. L'obtention de ce melange necessite generalement un traitement specifique afm de garantir une distribution homogene des particules, une limitation de croissance et une stabilisation des particules. Pour cette fin, generalement, on utilise les techniques suivantes : modifier le niveau de PH; ajouter des activateurs ou des dispersants exterieurs; appliquer des vibrateurs ultrasoniques. Cependant ces techniques presentent quelques inconvenients et restent insuffisantes pour garder les nanoparticules suspendues et stables pour une longue periode. Par exemple, dans une recente etude Nguyen et coll. (2007) ont observe un phenomene d'hysteresis sur des mesures de viscosite, ils ont conclu que l'ajout des activateurs semble affecter les proprietes rheologiques des nanofluides

II-3.2. Les proprietes des nanofluides

La connaissance des proprietes thermophysiques des nanofluides est essentielle pour determiner la performance thermique de ces fluides. A cette fin, Plusieurs travaux theoriques et experimentaux se sont interesses a etudier ces proprietes notamment la conductivite thermique et la viscosite. Dans le but d'alleger cette revue, une analyse exhaustive des travaux lies aux proprietes des nanofluides (viscosite, conductivite thermique, l'influence de differents facteurs) sera presentee dans l'annexe A.

II-4. TRAVAUX RELATIFS AUX ECOULEMENTS CONFINES DES

NANOFLUIDES

II existe relativement peu de travaux theoriques et experimentaux permettant de comprendre l'effet de la presence des nanoparticules sur le comportement hydrodynamique et thermique de l'ecoulement en particulier leur influence sur les coefficients d'echange thermique et de frottement pour les ecoulements confines [Lee et Choi, 1996; Eastman et coll., 1999; Xuan et Li, 2000; Pak et Cho, 1998; Xuan et Roetzel, 2000 et Khanafer et coll., 2003].

II-4.1. Les travaux theoriques

En ce qui concerne les simulations numeriques portant sur les caracteristiques des ecoulements et des transferts de chaleur, plusieurs approches sont avancees pour expliquer les mecanismes de transferts de quantite de mouvement et de chaleur pour les nanofluides. Parmi ces approches, on distingue : l'approche monophasique, l'approche biphasique et la methode de Boltzmann sur reseau « Lattice Boltzmann model».

La premiere approche consiste a considerer le melange compose de fluide de base et les nanoparticules suspendues comme un pseudo fluide homogene et d'une seule phase dont les proprietes sont les moyennes du melange obeissant aux lois d'un ecoulement monophasique. Cette methode est largement utilisee par plusieurs auteurs pour etudier le comportement hydrodynamique et thermique des ecoulements confines [lee et Choi, 1996; Khanafer et coll. 2003 et Maiga, 2005).

Maiga (2005) a utilise la methode de volume de controle pour etudier le comportement hydrodynamique et thermique en regime laminaire et turbulent d'un ecoulement en convection forcee dans un tube uniformement chauffe. Les resultats obtenus pour deux nanofluides (Etylene glycol- AI2O3 et eau- AI2O3) ont clairement montre que l'ajout des nano particules apporte une amelioration appreciable du transfert thermique parietal en particulier pour le regime laminaire. Par contre, l'auteur a remarque une augmentation du frottement parietal a cause de la presence des nanoparticules. Dans le cas de 1'ecoulement en regime laminaire, Maiga a propose des correlations basees sur les resultats numeriques pour predire le nombre de Nusselt moyen pour differentes conditions aux limites thermiques :

Pour un flux constant a la paroi: Nu = 0.086 (Reeff °55) Preff °5 (2.4)

Pour une temperature constante a la paroi: Nu = 0.28 (Reeff ) Preff (2.5)

Ces resultats s'appliquent pour un nombre de Reynolds compris entre 6.31 et 1000, un nombre de Prandtl variant de 6.78 a 11.61 et une fraction volumique variant de 1% et 10%.

Khanafer et coll. (2003) ont presents une etude numerique de la convection naturelle de nanofluide dans une cavite rectangulaire chauffee differentiellement. lis ont utilise l'approche Eulerienne monophasique pour le melange, en plus ils ont suppose que le nanofluide est Newtonien et incompressible et que toutes les proprietes thermophysiques sont constantes sauf la densite ou ils ont utilise 1'approximation de Boussinesq. Pour la conductivite thermique effective, ils ont utilise le modele de dispersion thermique (voir annexe A, les equations A. 17 et A18). Les equations gouvernantes sont discretisees en utilisant l'approche de volume de controle. Leurs resultats ont montre que la presence des particules solides a alteree les profils de temperature et de vitesse en comparant avec ceux pour le cas du fluide pur. En plus, les auteurs ont montre que 1'augmentation de la fraction volumique entraine une augmentation des mouvements aleatoires et irreguliers. Par consequent, l'echange d'energie dans le fluide augmente. Une correlation exprimant la dependance du coefficient d'echange thermique moyen (Nu) le long du mur chaud au nombre de Grashof et a la fraction volumique a ete proposee:

Nu = 0.5163 (0.4436 + cp10809) Gr03123 (2.6)

Cette correlation est valide pour un nombre de Grashof compris entre 103 et 105 et une

fraction volumique (p comprise entre 0 et 25 %.

Sur la base de l'approche monophasique, Ben Mansour et coll. (2007) ont realise une etude analytique sur la performance thermohydraulique d'un nanofluide (eau-alumine) circulant dans un tube vertical et soumis a un flux de chaleur constant. Des relations analytiques des coefficients du transfert de chaleur et de perte de charge (puissance de pompage) sont proposees pour des regimes turbulent et laminaire. Pour evaluer les proprietes thermophysiques du nanofluide en particulier, la conductivite, la densite, la viscosite et la chaleur specifique, ils ont avance deux modeles differents trouves dans la litterature. Les resultats ont montre que la performance thermohydraulique depend fortement des modeles choisis pour l'estimation des proprietes thermophysiques du nanofluide.

Recemment, une deuxieme approche a fait l'objet de quelques nouveaux travaux [Xuan et Roetzel, 2000; Buongiorno, 2006 et Behzadmehr et coll., 2007]. II s'agit de l'approche

diphasique qui considere que le melange est forme de deux fluides distincts. Ainsi, les deux phases ont des proprietes et des vitesses differentes. Par consequent, la resolution des equations de bilans se fait en supposant que chaque phase est gouvernee par ses propres equations de conservation.

Afin de pouvoir quantifier le transfer! de chaleur avec les nanofluides, Xuan et Roetzel (2000) ont utilise les deux approches pour expliquer le mecanisme du transfert de chaleur dans les nanofluides. lis ont propose une forme generate du nombre de Nusselt effectif pour un ecoulement confine. Ce nombre depend de la conductivite thermique effective, de la capacite thermique du fluide de base et celle des particules, de la viscosite du melange, de la fraction volumique des particules suspendues, leurs dimensions et leur nature. Ces auteurs ont predit que le mecanisme de transfert des nanofluides peut etre presente suivant deux aspects. Premierement, les particules suspendues dans le melange augmentent le transfert de chaleur des nanofluides et deuxiemement les mouvements aleatoires des nanoparticules ultrafines accelerent l'echange thermique au sein du melange.

Buongiorno (2006) a developpe une analyse theorique (numerique) sur les phenomenes de transport convectif dans les nanofluides. II a considere differents mecanismes pouvant produire une vitesse relative entre les nanoparticules et le fluide de base comme l'inertie, la diffusion brownienne, la thermophorese et la diffusiophorese. II a par la suite analyse F importance de chacun de ces mecanismes et a conclut que seulement la diffusion Brownienne et la thermophorese peuvent provoquer une vitesse de glissement entre le fluide de base et les nanoparticules. En tenant compte de ces deux mecanismes, un modele analytique general de transferts de quantite de mouvement, de chaleur et de masse pour les nanofluides en ecoulement, a ete developpe. En outre, une analyse d'ordre de grandeur des termes de F equation d'energie, a montre que l'effet de la dispersion thermique des particules sur l'echange de chaleur est negligeable par rapport aux effets de conduction ou convection. Tres recemment, Behzadmehr et coll. (2007), ont presente une etude numerique sur la convection forcee d'un nanofluide (eau/Cu) dans un tube circulaire uniformement chauffe. lis ont utilise deux approches (modeles monophasique et diphasique) pour etudier l'effet de l'ajout des nanoparticules sur le comportement thermique et hydrodynamique de

l'ecoulement. En comparant les resultats issus des deux methodes, ils ont conclu que l'approche modele de melange decrit mieux le comportement hydraulique et thermique du nanofluide. II est important de mentionner que pour developper le modele du melange, les auteurs ont utilises des correlations empiriques appropriees au melange gaz-solide.

Une methode relativement recente se distingue de deux approches macroscopiques citees precedemment a ete utilisee par Xuan et coll. (2005). II s'agit de la methode de Boltzmann sur reseau «thermal Lattice Boltzmann». Xuan et coll. ont elabore des modeles pour l'interaction entre le fluide et les particules comme les forces aerodynamiques, de gravite, browniennes et les intermoleculaires. Les resultats numeriques ont montre que les mouvements aleatoires entrainent des perturbations importantes sur les profils de la temperature pres de la paroi du tube. Par consequent, le nombre de Nusselt resultant fluctue tout le long de l'axe principal d'ecoulement.

En conclusion, il est difficile d'etablir une approche theorique capable de predire avec precision les caracteristiques des ecoulements et des transferts de chaleur des nanofluides. Les approches trouvees dans la litterature presentent des resultats mettant en evidence la necessite de bien tenir compte de l'interaction fluide-nanoparticules et les mouvements browniens dans la modelisation des mecanismes de transfert de chaleur et de quantite de mouvement pour les nanofluides.

II-4.2. Les travaux experimentaux

Dans l'objectif de valider les modeles theoriques et analyser les phenomenes de transport convectif dans les nanofluides, plusieurs etudes experimentales ont ete menees en particulier pour la convection forcee confinee.

Xuan et Li (2002) se sont interesses a clarifier l'effet de la presence des nanoparticules de cuivre dans l'eau sur le comportement thermique du melange. Ils ont considere que l'ecoulement dans un tube est completement developpe. Ils ont observe que les particules suspendues ont un effet benefique sur le transfert thermique dans le nanofluide independamment du regime d'ecoulement. Cette amelioration du transfert de chaleur peut etre

causee par 1'intensification de la turbulence, la suppression de la couche limite, 1'augmentation de la conductivite thermique et de la capacite thermique. En se basant sur leurs resultats experimentaux, Xuan et Li (2002) ont developpe une correlation pour le nombre de Nusselt:

Nueff =C l(l + c29m'Pepmi)Re£P&4 (2.7)

umdn _ U„D _u„

Ou Pep = -2-L; Reeff = ^ ; Preff = ^L

ae f f Ueff ae f f

Avec Pep est le nombre de Peclet qui decrit l'effet de la convection et de la

micro-diffusion des particules en suspension, Reeff est le nombre de Reynolds de l'ecoulement et Preff

est le nombre de Prandtl du nanofluide. Dans tous ces parametres adimensionnels, um

represente la vitesse moyenne, dp le diametre moyen des particules, veff la viscosite

cinematique du nanofluide et c^ff la diffusivite thermique du melange qui est obtenue grace a la relation suivante:

*eff

a _ eff eff ^ 2 8")

eff (pCp)eff (l-(p)(pCp)fb + (P(pCp)p

Le cas C2=0 fait reference a une dispersion thermique nulle, ce qui correspondrait au cas d'un fluide pur.

L'equation (2.7) fait intervenir cinq coefficients empiriques ci, C2, mi, m2 et m3 qui dependent generalement du regime d'ecoulement. Par exemple pour un ecoulement laminaire des nanofluides dans un tube, le nombre de Nusselt effectif selon Xuan et Li (2002):

Nueff = 0.4328(1 +11.285(pa754Pe°218)Re^33Pre°ff (2.9)

Zeinali Heris et coll. (2006) ont mene une etude experimentale sur la convection mixte d'un nanofluide dans un tube horizontal soumis a une densite de flux de chaleur constante. Le regime de l'ecoulement est laminaire et le nombre de Reynolds ne depasse pas 2050. Les melanges utilises sont des particules de AI2O3 et de CuO suspendues dans l'eau pure avec des

fractions volumiques variant de 0 a 3 %. Les resultats experimentaux ont montre que le transfert de chaleur augmente avec le nombre de Peclet et avec la concentration volumique des nanoparticules. Moyennant une comparaison du coefficient d'echange thermique mesure et celui trouve dans la litterature (utilisant le modele monophasique), ces auteurs ont conclu que l'augmentation de coefficient d'echange des nanofluides n'est pas causee seulement par l'augmentation de la conductivity equivalente des nanofluides.

Contrairement aux travaux experimentaux precedents qui montrent que le coefficient d'echange augmente en general avec l'addition des nanoparticules, d'autres auteurs [Pak et Cho, 1998 ; Putra et coll, 2003 et Wen et Ding, 2006] ont observe un comportement oppose, Ceci dit que l'emploi des nanofluides entraine une degradation du transfert de chaleur en ecoulement convectif.

Pak et Cho (1998) ont aborde le cas de convection forcee dans un tube cylindrique horizontal soumis a une densite de flux de chaleur uniforme. Les particules solides utilisees ont des diametres moyens de 13 nm et 27 nm respectivement pour AI2O3 et TIO2. Leurs resultats experimentaux ont montre que pour une fraction volumique comprise entre 1% et 3%, le coefficient de frottement correspond bien aux correlations de Kays et Crawford (1993) pour des ecoulements turbulents des fluides monophasiques. De plus, ces resultats ont montre que le coefficient de transfert de chaleur pour une fraction volumique de 3% est inferieur de 12% a celui de l'eau pure sous les memes conditions de vitesse moyenne constante. lis ont propose une nouvelle correlation pour les ecoulements des nanofluides en regime turbulent:

Nueff =0.021 Re°f* Pr£ (2.10)

Putra et coll. (2003) ont traite le probleme de convection libre dans une conduite horizontale differentiellement chauffee et utilisant les nanofuildes oxyde de cuivre-eau et alumine-eau. lis ont montre que l'echange convectif de chaleur des nanofluides est deteriore d'une facon considerable et systematique en comparaison avec le cas de l'eau pure. Par exemple, pour un nombre de Rayleight de 5 xlO5 et une fraction de 4% une baisse de nombre de Nusselt de

Recemment, Ding et coll. (2005) ont fait une etude experimentale de l'ecoulement et du transfert thermique entre deux disques horizontaux. Comme nanoparticule, ils ont employe de l'oxyde de titane. Ils ont observe une degradation du transfert de chaleur en convection libre, en presence des nanoparticules.

II-5. CONSIDERATION PARTICULIERE

Dans l'analyse d'un systeme energetique, le premier principe de la thermodynamique met en evidence seulement les pertes dues ou interactions avec 1'environnement a travers la frontiere du systeme. Le seul moyen d'optimisation releve par le premier principe de l'energie est de reduire les pertes en diminuant les quantites d'energies utilisables et transferees dans 1'environnement. Mais, a l'interieur d'un systeme, l'energie utilisable est detruite a cause des processus irreversibles tels que la friction, les transferts de chaleur et de masse. Seulement une analyse exergetique basee sur le second principe de la thermodynamique a l'avantage de tenir compte a la fois de la quantite et la qualite de l'interaction avec 1'environnement.

La formulation mathematique generate de l'equation de bilan d'entropie a ete developpee depuis longtemps [Hischfelder et coll., 1954]. En 1982, Bejan a apporte une grande contribution permettant la vulgarisation de cette analyse. En effet, il a etudie les differents phenomenes qui contribuent a la production d'entropie et a developpe les relations qui permettent de calculer le taux de generation d'entropie dans les systemes thermiques [Bejan, 1996]. Pour le cas de convection forcee, il a identifie deux sources d'irreversibilite au transfert de chaleur et la friction. Deux ans plus tard, Sahin a compare le taux de generation d'entropie pour un ecoulement laminaire dans des tuyaux isothermes de differentes geometries simples (circulaire, triangulaire, carree) et a determine la forme des conduites qui minimise cette quantite. Demiral (2000) et Mahmud et Fraser (2003) ont utilise directement les solutions analytiques connues des champs de temperatures et de vitesses en convection forcee completement developpe dans des conduites simples (Couette, Poiseille) pour presenter les profils de taux de generation d'entropie. Pour leur part, Mahmud et Fraser (2003) et Narusawa (2001) se sont interesses au probleme de generation d'entropie pour les ecoulements avec des transferts de chaleur.

Pour le cas des transferts simultanes de chaleur et de masse dans des ecoulements non reactifs, plusieurs auteurs ont examines les phenomenes irreversibles possibles a la production d'entropie [San et Coll, 1987, Boulama et coll., 2005]. Boulama et coll. 2005 ont presente une solution analytique exacte pour la convection mixte thermique et solutale completement developpee dans un canal inclinee et pour des conditions thermiques aux parois de premiere et deuxieme especes. Par la suite, ils ont determine le profil de taux de generation d'entropie incluant les sources d'irreversibilite possibles. Enfin, ils ont etudie 1'influence des conditions aux limites sur ces sources.

Saeung et coll. (2005) ont applique la methode constructale developpee par Bejan en 1996 aux ailettes internes d'un generateur cylindrique. Cette methode a ete utilisee pour optimiser l'ecart entre la temperature minimale et maximale en fonction des contraintes geometriques. Les resultats ont permis de demontrer 1'existence d'un optimum structural des ailettes.

II-6. CONCLUSION ET OBJECTIFS

En conclusion de cette revue de la litterature, il convient de retenir que :

a Les etudes menees sur les nanofluides sont recentes et au stade de developpement. La majorite des travaux experimentaux sont consacres a la mesure des proprietes de transport de ce nouveau fluide en particulier la conductivity thermique. Ces resultats experimentaux ont confirme l'effet de la presence de 1'addition des nanoparticules sur le comportement thermique.

B Contrairement a la convection forcee, on note un manque manifeste de donnees tant experimentales que theoriques sur les ecoulements en convection mixte. Par ailleurs, les conclusions de quelques travaux traitant ce sujet apparaissent contradictoires. D'autres etudes theoriques (numeriques et analytiques) et experimentales sont necessaires afin de comprendre les phenomenes physiques complexes intervenant dans les ecoulements des nanofluides et ameliorer la performance de systemes energetiques en vue de promouvoir des applications potentielles des nanofluides.

La presente etude se veut une contribution a 1'analyse theorique et experimentale des caracteristiques de la convection mixte laminaire d'un nanofluide dans une conduite circulaire inclinee et chauffee.

Les objectifs specifiques du present travail sont alors:

@ Modeliser et simuler, par voies analytique et numerique, la convection mixte permanente, laminaire et tridimensionnelle dans une conduite circulaire inclinee soumise sur sa surface externe a un flux thermique uniforme. Le fluide caloporteur est un nanofluide.

B Entreprendre une analyse du second principe de la thermodynamique en vue de

quantifier les diverses sources d'irreversibilites dans un tel ecoulement de nanofluide avec transfert thermique.

a Realiser une etude experimentale en vue de valider les modeles theoriques et analyser davantage le comportement des nanofluides en regime de convection mixte dans un tube

CHAPITRE III

FORMULATION THEORIQUE DU PROBLEME

III-l. INTRODUCTION

La revue bibliographique du chapitre precedent a permis de noter 1'existence de plusieurs modeles numeriques permettant de predire le developpement des champs de temperature et de vitesse des nanofluides dans des ecoulements confines. Pour ce probleme, la nature non-lineaire et couplee des equations gouvernantes est la cause de toute la complexite et des difficultes rencontrees lors de la resolution mathematique. D'ailleurs les methodes analytiques demeurent impuissantes et ne peuvent etre utilisees que dans les cas simples et en imposant des hypotheses simplificatrices. Ainsi, Le developpement d'un modele numerique fiable est une voie importante pour la solution du probleme considere.

L'objectif de ce chapitre est de presenter une formulation generate pour le probleme d'ecoulement et du transfert thermique utilisant des nanofluides dans un tuyau incline et en presence des forces de flottabilite. Les equations qui regissent le probleme, les hypotheses appropriees et des conditions aux limites sont presentees en detail. La validation du modele et le choix des parametres numeriques font la derniere partie du present chapitre.

III-2. DEFINITION DU PROBLEME

Le probleme considere dans cette etude consiste a etudier 1'aspect hydrodynamique et thermique d'un ecoulement monophase laminaire avec transfert thermique dans une conduite circulaire inclinee et uniformement chauffee sur la partie centrale de sa longueur. Deux sections adiabatiques ajoutees en amont et en aval servent a eviter toute interference entre les conditions limites imposees et etudier une eventuelle diffusion axiale trop importante. Le fluide caloporteur utilise dans les simulations est l'eau-alumine. Ce fluide entre dans la conduite avec une vitesse axiale parabolique et une temperature uniforme;

le tube est suppose suffisamment long afin d'obtenir un ecoulement completement developpe a la sortie (figure 3.1).

$ = 180°

Section adiabatique (L3)

Section chauffee (L2)

Section adiabatique (LI)

III-3. HYPOTHESES

La representation de tels phenomenes par des equations necessite l'adoption des quelques hypotheses simplificatrices qui se basent generalement sur des observations experimentales et des considerations theoriques.

Nous avons ainsi adopte les hypotheses suivantes afin de developper notre modele numerique :

1. L'ecoulement est permanent et en regime laminaire. 2. Le melange est considere homogene monophasique. 3. Le fluide est Newtonien et incompressible.

4. le transfert de masse entre les particules et le fluide est negligeable.

5. Toutes les proprietes thermophysiques sont constantes a 1'exception de la masse volumique dans l'expression de la force d'Archimede pour laquelle 1'approximation de Boussinesq est utilisee.

Dans cette etude, on s'interesse a un ecoulement lent a faible nombre de Reynolds (Re< 1000). L'hypothese d'un ecoulement laminaire et que les nanoparticules ne perturbent pas l'ecoulement est raisonnable et justifiable. Notons que plusieurs etudes experimentales ont confirme la validite d'une telle hypothese pour des fractions volumiques des nanoparticules relativement faibles (q> < 4%) [Xuan et Roetzel, 2000; Putra et coll., 2003 et Xuan et Li., 2000].

Notons aussi que la plupart des nanofluides utilises dans le transfert de chaleur sont actuellement composes de fines particules (<50 nm) a faibles fractions volumiques, <10%. En se basant sur une etude experimentale, Xuan et Roetzel (2000) ont propose de considerer le nanofluide comme etant un fluide homogene a une seule phase vu que les particules pourraient facilement etre fluidisees et rester en suspension durant longtemps. En plus, on