Théorème de Thalès
Samuel Rochetin
Dimanche 15 décembre 2019
Résumé
La démonstration écrite la plus ancienne connue de ce théorème est donnée par Euclide. C’est celle que nous proposons ici.
Théorème. Soient ABC un triangle et M, N deux points tels que M ∈ [AB], N ∈ [AC], (M N ) k (BC). AM AB = AN AC = M N BC
Démonstration. Les triangles BCN et BCM ont la base [BC] en commun et leurs hauteurs respectives relativement à cette base ont même longueur doncABCN=ABCM.
Les aires complémentaires àAABCsont donc égales :AABN =AACM.
Donc AAM N AABN
=AAM N AACM
.
Or, dans les triangles AM N et ABN , la hauteur issue de N est iden-tique donc AAM N AABN = AM AB. On obtient de même AAM N AACM =AN AC. D’où AM AB = AN AC.
La parallèle à (AC) passant par M coupe [BC] en I.
En appliquant le résultat précédent aux triangles BM I et BAC, on a BM
BA = BI BC.
Or, M N CI est un parallélogramme donc IC = M N . Les alignements de points donnent donc AB − AM
AB = BC − M N BC , d’où AM AB = M N BC .
