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diapo erhenfest

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

MODÈLE DE

DIFFUSION

(2)

Un peu d’histoire…

Un peu d’histoire…

Ce modèle doit son nom au couple de physiciens Tatiana et Paul Ehrenfest et à leurs travaux réalisés au début du XXème siècle.

Il fut proposé en 1907 afin de décrire en terme de physique statistique les échanges de chaleur entre deux systèmes portés initialement à une température différente.

L’étude de ce modèle nous permettra de voir que l’on peut naturellement s’attendre à atteindre un état d’équilibre alors que le comportement du modèle est réversible dans le temps (recherche du temps de retour à l’état initial).

(3)

On considère une enceinte séparée par une paroi en deux urnes A et B et contenant au total N boules numérotées de 1 à N. A l’instant initial, toutes les boules sont dans l’urne A.

A chaque instant, on choisit au hasard et de façon équiprobable un nombre compris entre 1 et N.

Ainsi, à chaque instant, une boule choisie au hasard change d’urne.

Modélisation

(4)

Simulation dans le cas où N=10

(5)

Un autre résultat pour N = 10

(6)

Simulation sur tableur avec N=1000 : on observe dans ce cas la stabilisation de la répartition des boules entre les deux urnes.

simulation N quelconque.xls

Illustration dans le cas de 10 000 tirages

Simulation pour une valeur de N plus grande

(7)

Modélisation dans le cas N=2

Les urnes peuvent se trouver dans les trois états

suivants :

(8)

On note pi,j la probabilité de passer de l’état i à l’état j.

Illustration à l’aide d’un graphe

Illustration à l’aide d’un graphe

On peut illustrer l’évolution dans le

temps de la

répartition des boules dans les urnes A et B par un graphe dont les sommets sont les états

E1, E2, E3.

1,1 2,2 3,3 1,3 3,1

0

p

=

p

=

p

=

p

=

p

=

(9)

Illustration à l’aide d’une matrice

Illustration à l’aide d’une matrice

Les nombres peuvent être présentés dans une matrice carrée T de dimension 3.

, i j p 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3

0 1 0

1

1

0

2

2

0 1 0

p

p

p

T

p

p

p

p

p

p

 

÷

÷ 

÷

=

=

÷ 

÷

÷ 

÷

 

(10)

Calcul des probabilités

Calcul des probabilités

 Soit Xn la variable aléatoire donnant le nombre de boules présentes dans l’urne B à l’instant n. La loi de probabilité de Xn est donnée par le vecteur ligne Mnle terme de Mn est la probabilité d’être dans l’état Ei à l’instant n.

1i

a

D’après la formule des probabilités totales,

( ) (( ) ( )) (( ) ( )) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1 1 2 n n n n n n n n n n n n n n n n X X X n n p X p X X p X X p X X p X p X p X p X p X p X p X p X + + + + + + + = = = = = = ∩ = + = ∩ = + = ∩ = = = × = + = × = + = × = = + × = + = =

(11)

avec 1

,

n n

n

M

+

M

T

∀ ∈

¥

=

×

(

)

(

)

(

)

(

0

1

2

)

n n n n

M

=

p X

=

p X

=

p X

=

(

)

0

1 0 0

M

=

puisque toutes les boules sont dans l’urne A à l’instant t=0.

(

n 1

1

)

(

n

0

)

(

n

2

)

p X

+

=

=

p X

=

+

p X

=

(

1

)

(

)

1 2 1 2 n n p X + = = p X = De même, et Si on note alors

où T est la matrice déjà évoquée :

0 1 0 1 1 0 2 2 0 1 0 T    ÷  ÷ =  ÷  ÷  

(12)

0

1,

n n

n

M

M

T

∀ ≥

=

×

n

T

M

n

Calcul de

Calcul de

M

M

nn

 Comme nous l’avons vu lors du premier exemple, on peut démontrer par récurrence que :

 Activité possible pour le calcul de puis de : 1. Montrer par récurrence que si n est pair, alors

et si n est impair, alors .

2

n

T

=

T

n

T

=

T

2. En déduire alors en distinguant les deux cas.

On montre ainsi qu’à tout instant impair, les urnes sont dans l’état E2 et qu’à tout instant pair, les urnes sont dans l’état E1 ou E3.

n

(13)
(14)
(15)

Un algorithme…

Algorithme de recherche de temps de retour à l’état initial, utilisable pour de « petites » valeurs de l’entier n.

(16)
(17)

Espérance du temps de retour

Remarques à la frontière du programme de Terminale et figurant dans le Document Ressource: pour un nombre

N de particules très grand, on conçoit aisément que le

retour à l’état initial sera extrêmement rare.

L’étude des chaînes de Markov montre que le retour à l’état initial est cependant quasi-certain.

L’espérance du temps de retour dans le cas de N particules est . Ainsi, pour un nombre de particules traité dans une situation macroscopique, le temps de retour est donc quasiment infini à notre échelle et non observable.

(18)

Etude de l’espérance du temps de retour dans le cas N=2

(19)

Espérance du temps de retour

Si on note T

n

la variable aléatoire qui associe le nombre

d’étapes pour revenir à l’état initial ou qui associe 0 si

on n’y revient pas en 2n étapes:

(

n

1)

(

n

3)

(

n

5) 0

p T

=

=

p T

=

=

p T

=

=

1

(

2)

2

n

p T

=

=

(

4)

1

2

2

n

p T

=

=

(

6)

1

3

2

n

p T

=

=

, 0

1,

(

n

2

1) 0

k

k n

p T

k

≤ ≤ −

=

+ =

1

, 0

,

(

2 )

2

n k

k

k n p T

k

≤ ≤

=

=

(20)

Espérance du temps de retour

A l’aide d’un travail sur le calcul de

sommes, on montre que :

Puis en faisant tendre n vers l’infini, on

obtient une espérance de temps de

retour moyen égal à 4 étapes.

( )

1

2

4

2

n n

n

E T

= −

+

( )

2

(

)

(

)

1 1 1 1

2

2

2

n n n n n n k k k k

k

E T

kp T

k

kp T

k

= = =

=

=

=

=

=

Figure

Illustration à l’aide d’un graphe
Illustration à l’aide d’une matrice

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