Correction Equations différentielles 4ème Sc Expérimentales

(1)

Correction

Correction E

E

Equations différentielles

quations différentielles

quations différentielles 4444

èmeèmeèmeème

_{Sc Expérimentales}

Exercice 1

1) − 2 = 0 ⇔ = 2 donc = avec ∈ ℝ.

2) 4 + 3 = 0 ⇔ = − donc = avec ∈ ℝ.

3) 2 + + 3 = 0 on pose = ′ ⇔ 2 + − 3 = 0 ⇔ = − −

donc = − avec ∈ ℝ. donc = − 3

donc = − 3 donc = −2 − 3! + " avec ∈ ℝ et " ∈ ℝ.

4) 2 + 3 + 1 = 0 ⇔ = − − donc = − avec ∈ ℝ. Donc = −

5) + + 2 = 0 on pose = ′ ⇔ + + 2 = 0 ⇔ = − − 2

donc = + 2 avec ∈ ℝ donc ′ = + 2 avec ∈ ℝ donc = − + 2! + " avec ∈ ℝ et " ∈ ℝ.

6) 4 + 9 = 0 ⇔ +% = 0 ⇔ + & ' = 0

donc = ( sin & !' + * cos & !' avec ( ∈ ℝ et * ∈ ℝ.

Exercice 2

1) On a ,-′. ∶ − = 0 ⇔ ,-′. ∶ = donc = ; ∈ ℝ.

2) On 0 est dérivable sur ℝ et ! ∈ ℝ ;0′,!. = 2(! + * ; 0 est solution de ,-. ⇔ 0 ,!. − 0,!. = −! + 3

donc 2(! + * − (! − *! − " = −! + 3 donc −(! + ,2( − *.! + * − " = −! + 3 par identification on a : 1 −( = −1 2( − * = 0 * − " = 3 2 donc 1 ( = 1 * = 2 " = −12 donc 0,!. = ! + 2! − 1

3) La fonction 3 est solution de ,-. ⇔ 3 ,!. − 3,!. = −! + 3 ⇔ 3 ,!. − 3,!. = 0 ,!. − 0,!. ⇔

3 ,!. − 0 ,!. − 3,!. + 0,!. = 0 ⇔ ,3 ,!. − 0 ,!.. − ,3,!. − 0,!.. = 0 ⇔ ,3 − 0. est solution de ,-′..

4) On a ,3 − 0. est solution de ,-′. donc 3,!. − 0,!. = avec ∈ ℝ donc les solutions de ,-. sont les fonctions 3 tel que 3,!. = 0,!. + avec ∈ ℝ donc 3,!. = ! + 2! − 1 + ; ∈ ℝ.

Exercice 3

1) On 0 est dérivable sur ℝ et ∀! ∈ ℝ ; 0′,!. = 2(! + *

On a 0 est solution de ,-. ⇔ 0 ,!. − 0,!. = −,! − 1. ⇔ 2(! + * − (! − *! − " = −,! − 1. ⇔ −(! + ,2( − *.! + * − " = −! + 2! − 1 par identification on a : 1 −( = −1 2( − * = 2 * − " = −12 donc 1 ( = 1 * = 0 " = 12 donc 0,!. = ! + 1

(2)

2) On a − = 0 ⇔ = donc = ; ∈ ℝ.

3) La fonction 3 est solution de ,-. ⇔ 3 ,!. − 3,!. = −,! − 1. ⇔ 3 ,!. − 3,!. = 0 ,!. − 0,!.

⇔ 3 ,!. − 0 ,!. − 3,!. + 0,!. = 0 ⇔ ,3 ,!. − 0 ,!.. − ,3,!. − 0,!.. = 0 ⇔ ,3 − 0. est solution de ,-5..

4) On a ,3 − 0. est solution de ,-₅. ⇔ 3,!. − 0,!. = ; ∈ ℝ donc les solutions de ,-. sont les fonctions 3 tel que 3,!. = 0,!. + avec ∈ ℝ donc 3,!. = ! + 1 + ; ∈ ℝ.

Exercice 4

1) On a ,-’. ∶ + 2 = 0 ⇔ ,-’. ∶ = −2 donc = ; ∈ ℝ.

2) On a 0 est dérivable sur ℝ et ∀! ∈ ℝ ; 0′,!. = −( sin ! + * cos !

On a 0 est une solution de l’équation ,-. ⇔ 0 ,!. + 20,!. = 5 cos !

⇔ −( sin ! + * cos ! + 2,( cos ! + * sin !. = 5 cos ! ⇔ −( sin ! + * cos ! + 2( cos ! + 2* sin ! = 5 cos ! ⇔ ,−( + 2*. sin ! + ,* + 2(. cos ! = 5 cos !

par identification on a : 8−( + 2* = 0

* + 2( = 5 2 donc 8( = 2* * + 4* = 52 donc 8( = 2* = 12

donc 0,!. = 2 cos ! + sin !

3) La fonction 3 est solution de ,-. ⇔ 3 ,!. + 23,!. = 5 cos ! ⇔ 3 ,!. + 23,!. = 0 ,!. + 20,!.

⇔ 3 ,!. − 0 ,!. + 23,!. − 20,!. = 0 ⇔ ,3 ,!. − 0 ,!.. + 2,3,!. − 0,!.. = 0 ⇔ ,3 − 0. est solution de ,-′..

4) On a ,3 − 0. est solution de ,-′. donc 3,!. − 0,!. = avec ∈ ℝ donc les solutions de ,-. sont les fonctions 3 tel que 3,!. = 0,!. + avec ∈ ℝ

donc 3,!. = 2 cos ! + sin ! + ; ∈ ℝ.

Exercice 5

1) On a + = ! ⇔ = − donc = avec ∈ ℝ.

2) On a 0 est dérivable sur ℝ et ∀! ∈ ℝ ; 0 ,!. = (

on a 0 est solution de ,-. ⇔ 0 ,!. + 0,!. = ! ⇔ ( + (! + * = ! ⇔ (! + ( + * = ! par identification on a : 8( = 1

( + * = 02 donc 8( = 1 ( = −*2 donc 8( = 1 * = −12 0,!. = ! − 1

3) a) La fonction 3 est solution de ,-. ⇔ 3 ,!. + 3,!. = ! ⇔ 3 ,!. + 3,!. = 0 ,!. + 0,!.

⇔ 3 ,!. − 0 ,!. + 3,!. − 0,!. = 0 ⇔,3 ,!. − 0 ,!.. + ,3,!. − 0,!.. = 0 ⇔ ,3 − 0. est solution

de ,-₅..

b) On a ,3 − 0. est solution de ,-₅. ⇔ 3,!. − 0,!. = ; ∈ ℝ

⇔ 3,!. = ! − 1 + ; ∈ ℝ.

Or 9_: passe par ; donc 3,0. = 0 donc −1 + = 0 donc = 1 donc 3,!. = ! − 1 +

4) On a 3 est une solution de ,-. ⇔ 3′,!. + 3,!. = ! donc 3,!. = ! − 3′,!.

(3)

< 3,!. 5 =! = < ,! − 3′,!.. =!5 = < !5 =! − < 3′,!.5 =! = > 1 2 ! ?5− @3,!.A5 = 1 2 × 4 − 3,2. + 3,0. = 2 − ,2 − 1 + . = 1 − Exercice 6 1) On a + ln 2 = ln 2 ⇔ = − ln 2 + ln 2 ⇔ = DE − DE DE ⇔ = DE + 1 ⇔ = F DE _{G + 1 ⇔ = &} DE _{' + 1 ⇔ = & ' + 1 ∈ ℝ.} On a + I = 0 ⇔ = ( sin,I!. + * cos,I!. ; ,( , *. ∈ ℝ

2) a) La courbe de la figure 1 est celle d’une fonction trigonométrique donc 0,!. = ( sin,I!. + * cos,I!.

et par conséquent 3,!. = & ' + 1.

b) La courbe de 0 passe par le point ,0 , 1. et admet en 0 une tangente de pente 1 Or 0 est dérivable sur ℝ et 0′,!. = (I cos,I!. − *I sin,I!..

donc K0,0. = 1

0′,0. = 12 donc K( sin,0!. + * cos,0!. = 1 (I cos,0!. − *I sin,0!. = 12 donc 8* = 1 (I = 12 donc L( =_{* = 1}M2

donc 0,!. =

Msin,I!. + cos,I!.

La courbe de 3 passe par le point ,0 , 3. donc 3,0. = 3 donc & '5+ 1 = 3 donc + 1 = 3 donc = 2 donc 3,!. = 2 & ' + 1. 3) On 3 est solution de ,-. ⇔ 3 ,!. + ,ln 2.3,!. = ln 2 ⇔ 3,!. = 1 −:N, . DE O = < |3,!.| 5 =! = < 3,!.5 =! "(Q ∀! ∈ ℝ 3,!. > 0 = < 1 −3 ,!._{ln 2} 5 =! = < =!5 − 1 ln 2 < 3 ,!.₅ =! = @!A51 −ln 2 @3,!.A1 5 = 1 −ln 2 ,3,1. − 3,0..1 = 1 −_{ln 2 ,2 − 3. = 1 +}1 _{ln 2 ST}1 Exercice 7 1) On a + = 0 ⇔ = ( sin ! + * cos ! ,( , *. ∈ ℝ 2) a) On a 3 ,!. + 3 &M− !' = 0

On a 0,!. = cos ! donc 0 ,!. = − sin ! et 0 &M− !' = cos &M− !' = sin !

On a donc 0 ,!. + 0 &M− !' = − sin ! + sin ! = 0 donc la fonction 0 est un élément de -. b) On a 3 un élément de - ⇔ 3 ,!. + 3 &M− !' = 0 ⇔ 3 ,!. = −3 &M− !'

on a 3 est deux fois dérivable sur ℝ ⇒ 3 ,!. = − `3 &M− !'a ⇒ 3 ,!. = − &M− !' 3 &M− !' ⇒ 3 ,!. = 3′ &M− !'.

(4)

c) On a 3 un élément de - ⇔ 3 ,!. = −3 &M− !' alors 3 &M− !' = −3 `M− &M− !'a = −3,!. or 3 ,!. = 3′ &M− !' alors 3 ,!. = −3,!. alors 3 ,!. + 3,!. = 0

alors 3 est une solution de l’équation différentielle : + = 0.

d) Alors l’ensemble - est l’ensemble des fonctions 3 tel que : 3,!. = ( sin ! + * cos ! ,( , *. ∈ ℝ Exercice 8

1) On a 9 + I = 0 ⇔ + &M' = 0

donc = ( sin &M!' + * cos &M!' ; ,( , *. ∈ ℝ .

2) On a 3 est solution de ,-. ⇔ 3,!. = ( sin &M!' + * cos &M!'

et f est dérivable sur ℝ donc 3′,!. = (Mcos &M!' − *Msin &M!'.

On a LTF1 , −√2G ∈ 9:

3 ,1. = 0 2 donc c

( sin &M' + * cos &M' = −√2

(Mcos &M' − *Msin &M' = 02 donc c

( ×√ + * × = −√2 ( ×M× − * ×M×√ = 02 donc K(√3 + * = −2√2 ( − *√3 = 0 2 donc K3* + * = −2√2 ( = *√3 2 donc c * = −√ ( = −√d2

donc 3,!. = −√dsin &M!' −√ cos &M!'

3) On a 3,!. = −√dsin &M!' −√ cos &M!' = √2 e−√ sin &M!' − cos &M!'f

= √2 e− sin & M' sin &M!' + cos & M' cos &M!'f = √2 ecos & M' cos &M!' − sin & M' sin &M!'f = √2 cos &M! + M' = √2 cos eM,! + 2.f

On a vu en 3ème ghi,j + k. = ghi j ghi k − ilm j ilm k

n. 3 = _{−1 − ,−2. < 3,!. =! = < 3,!. =! = < √2 cos e}1 I_{3 ,! + 2.f =!} = √2 < cos eI_{3 ,! + 2.f =! = √2 o}_I1 3sin e I 3 ,! + 2.fp = √2 ×3I &sinI3 − sin 0' = √2 ×_{I ×}3 √3_{2 =}3√6_2I Exercice 9 1) a) On a ℎ,0. = 2 et on a 0,0. = ℎ,0. − 0 5 = 2 b) On a ℎ solution de ,-. ⇔ ℎ′,!. + ℎ,!. = On a 0′,!. = ℎ′,!. − + ! On a 0 ,!. + 0,!. = ℎ ,!. − + ! + ℎ,!. − ! = ℎ ,!. + ℎ,!. − = − = 0 donc 0 est une solution sur ℝ de l’équation ′ + = 0.

(5)

c) On a ′+ = 0 ⇔ ′ = − ⇔ = ; ∈ ℝ.

Or 0 est une solution de l’équation ′ + = 0 donc 0,!. = avec ∈ ℝ On a 0,0. = 2 donc 5 = 2 donc = 2 donc 0,!. = 2

On a 0,!. = ℎ,!. − ! donc ℎ,!. = 0,!. + ! = 2 + ! = ,! + 2.

2) a) On a s,!. = − &! + 5! + '

La fonction ! ↦ −2! est dérivable sur ℝ donc ! ↦ est dérivable sur ℝ la fonction ! ↦ ! + 5! + donc ! ↦ − &! + 5! + ' est dérivable sur ℝ donc ! ↦ − &! + 5! + ' est dérivable sur ℝ donc s est dérivable sur ℝ.

∀! ∈ ℝ ; s′,!. = − e,2! + 5. − 2 &! + 5! + 'f

= − ,2! + 5 − 2! − 10! − 13. = − ,−2! − 8! − 8. = ,! + 4! + 4.

v = π < 3 ,x.5 dx = π < @,! + 2.5 A dx = π < ,! + 4! + 4.5 dx = π < s′,!.5 dx = I@s,!.A5 _{= I@s,0. − s,−2.A = I >−}1

2 × `132 a +12 × `4 − 10 +132 a ? = I x−134 + 4 y = I_{4 , − 13. Sz} Exercice 10 1) a) On a = − ! − 1 donc = − − ! Or est solution de ,-. ⇔ − − + 1 = 0 ⇔ ′ = + − 1 ⇔ = + − 1 − − ! = − ! − 1 =

donc vérifie l’équation différentielle ,- . : = . b) On = donc = avec ∈ ℝ

2) On a = − ! − 1 et = donc − ! − 1 = donc = + ! + 1 pour ! = 0 et = 0 on a 0 = 5+ 0 × 5+ 1 donc 0 = + 1 donc = −1

donc = − + ! + 1 = ,! − 1. + 1 = 3,!.

donc la fonction 3 définie sur ℝ par : 3,!. = ,! − 1. + 1 est la solution de ,-. qui vérifie 3,0. = 0.

3) a) lim

→ ~3,!. = lim→ ~,! − 1. + 1 = lim→ ~!• 5

− €5 + 1 = 1

donc ∆: = 1 est une asymptote horizontale à ,9. au voisinage de −∞. b) ∀! ∈ ℝ on a 3,!. − 1 = ,! − 1. + 1 − 1 = ,! − 1. donc 3,!. − 1 prend le singe de ! − 1 sur ℝ

(6)

! −∞ 1 +∞ 3,!. − 1 − 0 +

Position relative ,9. au dessous ,9. au dessus de ,9. et ∆ de ∆ de ∆ Intersection ,1, 1. c) lim →ƒ~3,!. = lim→ƒ~,! − 1.„…†…‡ ƒ~ € ƒ~ + 1 = +∞ lim →ƒ~ 3,!. ! = lim→ƒ~ ,! − 1. + 1 ! = lim→ƒ~ ! − 1 ! „†‡ × €ƒ~+ˆ1_! 5 = +∞

donc ,9. admet une branche parabolique de direction ,; , ‰Š . au voisinage de +∞.

4) a) On 3 est solution de ,-. donc 3 ,!. − 3,!. − + 1 = 0 donc 3,!. − 1 = 3 ,!. − .

‹. O = < |3,!. − 1| 5 =! = < ,1 − 3,!..5 =! car ∀! ∈ @0 , 1A on a 3,!. − 1 < 0 = < F −3 ,!.G 5 =! = <5 =! − < 3 ,!.5 =! = @ A5− @3,!.A5 = − 1 − ,3,1. − 3,0.. = − 1 − 1 = − 2 uA. Exercice 11 1) On a − 2 = 0 ⇔ = 2 donc = avec ∈ ℝ. 2) On a ℎ,!. = 2! + 1 et ∀! ∈ ℝ ℎ′,!. = 2, + 2! . = 2 + 4! On a ∀! ∈ ℝ ℎ ,!. − 2ℎ,!. = 2 + 4! − 2,2! + 1 . = 2 + 4! − 4! − 2 = 2 − 2 = 2, − 1.

donc ℎ est une solution de ,-..

3) a) On a 3 est une solution de ,-. ⇔ 3 ,!. − 23,!. = 2, − 1. ⇔ 3 ,!. − 23,!. = ℎ ,!. − 2ℎ,!.

⇔ 3 ,!. − ℎ ,!. − 23,!. + 2ℎ,!. = 0 ⇔ F 3 ,!. − ℎ ,!.G − 2F3,!. − ℎ,!.G = 0 ⇔ ,3 − ℎ. est une solution de ,-′..

b) On a ,3 − ℎ. est une solution de ,-′. donc 3,!. − ℎ,!. = avec ∈ ℝ donc 3,!. = ℎ,!. + avec ∈ ℝ donc 3,!. = 2! + 1 + avec ∈ ℝ

4) a) On a 0 la solution de ,-. qui s’annule en 0 donc 0,!. = 2! + + 1 + avec ∈ ℝ

or 0,0. = 0 donc = −1 donc 0,!. = 2! − + 1 donc 0,!. = ,2! − 1. + 1 b) 0 & ' = &2 × − 1' + 1 = 1

On a ∀! ∈ ℝ ; 0,!. − 1 = ,2! − 1. on a ! ≤ ⇒ 2! ≤ 1 ⇒ 2! − 1 ≤ 0 ⇒ ,2! − 1. ≤ 0 donc pour tout ! ≤ on a : 0,!. ≤ 1.

5) On a 0 est solution de ,-. donc 0′,!. − 20,!. = 2, − 1. donc 0,!. =ŽN, .− + 1

(7)

O = < |0,!. − 1| 5 =! = < ,1 − 0,!..5 =! = < •1 − x 0 ,!. 2 − + 1y• 5 =! = < x− 0 ,!. 2 + y 5 =! = −1_{2 < 0 ,!.} 5 =! + <5 =! = − 1 2 @0,!.A5+ >1₂ ?₅ = −1_{2 `0 `}1_{2a − 0,0.a +}1_{2 , − 1.} = −1_{2 + 2 −}1_{2 = 2 − 1 ST} Exercice 12 1) On a + 3 = 0 ⇔ = −3 donc = avec ∈ ℝ.

2) On a 0,!. = 3 cos ! + sin ! et ∀! ∈ ℝ 0′,!. = −3 sin ! + cos !

On a 0 ,!. + 30,!. = −3 sin ! + cos ! + 3,3 cos ! + sin !. = 10 cos ! donc 0 est une solution de,-..

3) On a 3 est une solution de ,-. ⇔ 3 ,!. + 33,!. = 10 cos ! ⇔ 3 ,!. + 33,!. = 0 ,!. + 30,!.

⇔ 3 ,!. − 0 ,!. + 33,!. − 30,!. = 0 ⇔ F3 ,!. − 0 ,!.G + 3F3,!. − 0,!.G = 0 ⇔ ,3 − 0. est une solution de ,-5..

4) On a ,3 − 0. est une solution de ,-₅. ⇔ 3,!. − 0,!. = ; ∈ ℝ ⇔ 3,!. = 0,!. +

⇔ 3,!. = 3 cos ! + sin ! + or 3,0. = 4 donc 3 cos 0 + sin 0 + ×5 = 4 donc 3 + = 4 donc = 1 donc 3,!. = 3 cos ! + sin ! + .

5) On a + 3 = 10 cos ! on pose = ′ ⇔ + = 10 cos !

donc = 3 cos ! + sin ! + avec ∈ ℝ.

donc ′ = 3 cos ! + sin ! + ; ∈ ℝ donc = 3 sin ! − cos ! − + " ∈ ℝ et " ∈ ℝ

Exercice 13

1) On a − = 0 ⇔ = = ; ∈ ℝ or !₅ = 0 et ₅ = 1 donc =

2) a) On a 3,!. = 0,!. ⇔ 0,!. =:, .

‘’ donc 0,0. = ln 2 b) 3 ,!. = F 0,!.G = 0,!. + 0 ,!..

3) a) On a 3 est une solution de ,-. ⇔ 3 ,!. − 3,!. = ‘ ’ ƒ‘’ ⇔ 0,!. + 0 ,!. − 0,!. = ‘_ƒ‘ ’_’ ⇔ 0 ,!. = ‘ ’ ƒ‘’ ⇔ 0 ,!. = ‘ ’ ƒ‘’ b) On a 0′,!. = ‘’ ƒ‘’ ⇔ 0,!. = ln, + 1. + " ; " ∈ ℝ

or 0,0. = ln 2 donc ln, 5+ 1. + " = ln 2 donc ln 2 + " = ln 2 donc " = 0 donc 0,!. = ln, + 1.. On a 3,!. = 0,!. donc 3,!. = ln, + 1..

Exercice 14

1) a) On a ,-′. ∶ + 2 = 0 ⇔ ,-′. ∶ = −2 donc = ; ∈ ℝ b) On a ℎ,!. =% et ∀! ∈ ℝ ; ℎ′,!. = −9

on a ℎ ,!. + 2ℎ,!. = −9 + 2 ×% = −9 + 9 = 0 donc la fonction ℎ est solution de ,-′..

(8)

c) On a 0,!. = −3 et ∀! ∈ on a 0 ,!. 20,!. 9 6 donc la fonction 0 est solution de ,-..

2) a) On a 3,!. % 3

donc 3 ,!. 23,!. 0 ,!. r ,!. donc 3 est solution de ,-.. b) On a 3,!. % 3 c) ∀! ∈ ; 3 ,!. 23,!. 3 donc 3 ,!. est du signe de 1 , ! ∞ 3 ,!. 3,!. ∞ 3) a) “,! , . ∈ 9_:∩ ,; , ‰Š. ⇔ K3,!. ⇔ L 0 2 L! ln 0 2 donc • & “,! , . ∈ 9:∩ ,; , –Š. ⇔ 83,!._{! 0}2

donc — &0 , ' est le point d’intersection de

b) 3,1. %‘˜ 3 ≃ 0,15 4) ∀! ∈ ; 3 ,!. 23,!. 3 O < |f,x.| 5 dx < f,x.5 dx 1 2 < 3₅ 1_{2 @f,x.A}₅ 3_{2 >} 1₃ ? 5 1 2 @f,x &%‘˜ 3 % 3 1' ; 0′,!. 9 3 , .. 0,!. r,!. donc 3 ,!. 0 ,!. r ,!. , . 20,!. 2r,!. 0 ,!. 20,!. r ,! 3 & ' ⇔ 3 ,!. 3 23,!. 9 9 , 1 š 0 ⇒ š 1 ⇒ ln š 0 ⇒ 0 ∞ 0 3 ‘& ‘' 0 , . 0 2 ⇔ K3,!. 00 2 ⇔ L3 ₀& 2 _{& ln , 0' est le point d’intersection de 9}_:

2 ⇔ K! 0 _3,0.2 ⇔ L! 0 _{3 &} _1'2 ⇔ L!

’intersection de 9_: avec l’axe des ordonnées.

⇔ 3,!. :N, . ‘˜ ’ < 3 ,!. 3 =! 1_{2 < 3 ,!.} 5 dx 3 2 <₅ @ x.A5 1_{2 @} A5 1_{2 @,f,1. f,0.. ,} ' ,6 18 14. uA . ,!. 2r,!. 3 9 9 , 1. ⇒ ! š 0 ⇒ ! • 0 ' 0 2 ⇔ L 0 0 2

avec l’axe des abscisses.

2 _L 02

< dx 1.A

(9)

Exercice 15

1) On a ,-₅. ∶ 3 = 0 ⇔ ,-₅. ∶ = 3 donc = ; ∈ ℝ

2) On a 0,!. = − ƒ et ∀! ∈ ℝ 0′,!. = −2 ƒ

On a 0 ,!. − 30,!. = −2 ƒ + 3 ƒ = ƒ donc 0 est une solution de ,-..

3) On a 3 est une solution de ,-. ⇔ 3 ,!. − 33,!. = ƒ ⇔ 3 ,!. − 33,!. = 0 ,!. − 30,!.

⇔ 3 ,!. − 0 ,!. − 33,!. + 30,!. = 0 ⇔ F3 ,!. − 0 ,!.G − F33,!. − 30,!.G = 0 ⇔ ,3 − 0. est une solution de ,-₅..

4) On a ,3 − 0. est une solution de ,-₅. ⇔ 3,!. − 0,!. = ; ∈ ℝ

⇔ 3,!. = 0,!. + ; ∈ ℝ ⇔ 3,!. = − ƒ + ; ∈ ℝ

5) a) On a 3,0. = 0 donc − ×5ƒ + ×5= 0 donc − + = 0 donc =

donc 3,!. = − ƒ + × donc 3,!. = − ƒ + ƒ

‹. O = < |3,!.|5 dx = < −3,!.5 dx = <5 ƒ ₋ ƒ _{=! = >}1

2 ƒ −13 ƒ ?

5

= 2 − 3 − 2 + 3 = 6 − 2 + 3 ST

(10)

Exercice 19

1) a) 0,0. = 53,0. = 0

0,!. = 3,!. donc 0 ,!. = 3,!. + 3 ,!. donc 0 ,0. = 5_{3,0. +} 5_{3 ,0. = 1}

b) La fonction 3 admet une dérivée seconde et la fonction ! ↦ est deux fois dérivable sur ℝ donc la

fonction 0 admet sur ℝ une dérivée seconde.

∀! ∈ ℝ 0 ,!. = F 3,!. + 3 ,!.G = 3,!. + 3 ,!. + 3 ,!. + 3 ,!. = 3,!. + 2 3 ,!. + 3 ,!. = 3 ,!. + 2 3 ,!. + 3,!. = 3 ,!. + 3 3 ,!. + 2 3,!. − 3 ,!. − 3,!. = &3 ,!. + 33 ,!. + 23,!.'„………†………‡ 5 − F 3 ,!. + 3,!.G = −F 3 ,!. + 3,!.G = −0′,!. donc ∀œ ∈ ℝ • ,œ. = −•′,œ. c) On a : ∀! ∈ ℝ et ∀ž ∈ @0 , !A ; 0 ,ž. = −0′,ž. donc < 0 ,ž. 5 =ž = < −0′,ž.5 =ž

donc @0′,ž.A₅ = @−0,ž.A₅ donc 0 ,!. − 0 ,0. = −0,!. + 0,1.

or d’après 1) a) 0,0. = 0 et 0 ,0. = 1 donc 0 ,!. − 1 = −0,!. donc 0 ,!. = 1 − 0,!. donc 0 est solution de l’équation différentielle : 0 ,!. = 1 − 0,!.

d) On a 0 ,!. = 1 − 0,!. donc 0 ,!. = −0,!. + 1 de la forme = ( + * donc = Ÿ −

Ÿ

donc 0,!. = + 1 or 0,0. = 0 donc 5+ 1 = 0 donc + 1 = 0 donc = −1

donc 0,!. = − + 1

2) On a : 0,!. = 3,!. donc 3,!. =Ž, .

‘’ donc 3,!. = ‘ ˜’_ƒ

‘’