session principale 2012
Une correction possible proposée par Kooli Mohamed Hechmi
Exercice 1
1) On a , , ˄ est une base directe et ˄ est orthogonal à et à et ˄ = × × sin donc la réponse correcte est b
2) On a ˄ = donc ˄ . = × . = × = × × = × × 4 =
donc la réponse correcte est b
3) Le point n’apparient pas au plan d’équation = 1 Le point n’apparient pas au plan d’équation + 2 − 1 = 0
donc la réponse correcte est c
4) −1 1 0 ! −1 0 2 ! ˄ 2 −2 1 ! " # ∶ 2 − 2 + + % = 0 ∈ " # 2 + % = 0 % = −2 " # ∶ 2 − 2 + − 2 = 0 % , " # =|−2| √9 = 2 3
donc la réponse correcte est b
Exercice 2
1) a)+ = √3 , 2 -√ , b) On a: + 2./01⇔ 3 4 2) a) On a 5 67 76 55 6 On a 55 |5| 1 b)-87 67 9 87 67 -87 67 9 8 8 On a 87 67 est un réel ⇔ :;7:<:=>:< est un réel donc sont alignés. c) On ∈ " # ∩ " @# 3) On a : 5 cos C ,D,E C et 2√3 3 1 ,9 2 -cosG , sinG9 2./01 3 4 , 2 ≡GI2JKL 67 76 67 76 67 67 67 67 1 donc 1 alors ∈ " # 9 "67 #8878M>N N>M 78 7"67 # 87 67 donc 87 67
est un réel donc @ et @ sont colinéaires donc ,
et
5
√ OP7 7√ OP √ 7 OP7√ OP √ 7 O7√ O 3 2, 2,√3 √3 1 2√3 3 5 2√3 , 2 2√3 5 2√3 est un réel.sont colinéaires donc , et @
OP 7√ 7P OP 7√ 7P √3
I)
1) Soit l’événement : « un tunisien ait un sang du groupe » R( ) = 0,46 2) a) Soit l’événement : « un seul parmi les quatre ait un sang du groupe » R( ) = TR( ) 1 − R( ) = 4 × 0,46 × (0,54) = 0,289
b) Soit l’événement V : « trouver les quatre groupes sanguins chez ses donneurs » R(V) = 4! 0,31 × 0,18 × 0,05 × 0,46 = 0,031
II)
1) Soit l’événement X : « un tunisien est un donneur universel » R(X) = 0,46 × 0,09 = 0,0414
2) a) Les E donneurs sont identiques et indépendants et n’ayant que deux possibilités soit être un donneur universel ou ne pas l’être donc Y suit une loi binomiale de paramètres E et R = R(X) = 0,0414
On a Y(Ω) = {0 , 1 , 2 , … , E} ; d’où la loi de probabilité de Y ∀ _ ∈ Y(Ω) ; R(Y = _) = `a R(X) a(1 − R(X))`7a
b)X(Y) = ER = E × 0,0414
c) Le nombre moyen des tunisiens parmi 5000 est X(Y) = 5000 × 0,0414 = 207
Exercice 4
1) On a (E) : c + (0,115) = 0 ⇔ c = −(0,115) donc = _.7(d, F)e avec _ ∈ @f
2) a) La fonction g est une solution de (E) donc g(h) = _.7(d, F)e avec _ ∈ @f à l’instant h = 0 la substance présente dans le sang est 1,4 ij donc g(0) = 1,4 par suite _ = 1,4 donc g(h) = 1,4.7(d, F)e avec h ≥ 0
b) On a g est dérivable sur I0 , +∞I et pour tout h ∈ I0 , +∞I gc(e) = −1,4 × 0,115.7(d, F)e = −0,161 × .7(d, F)e < 0
0 ∞ nc" # 1,4 n( ) 0 c) g(h) = 0,7 ⇔ 1,4.7(d, F)e = 0,7 ⇔ .7(d, F)e = 0,5 ⇔ −(0,115)h = ln 0,5 donc h = pq d,F 7d, F ≈ 6
3) A l’instant h = 0 le médecin injecte 1,4 ij de la substance en question, d’après 2) c) et après 6 ℎ de l’injection il ne reste de cette substance que 0,7 ij donc pour garder la quantité de cette substance dans le sang comprise entre 1,4 ij et 0,7 ij, le médecin prescrit une première injection d’une quantité de 1,4 ij puis une quantité de 0,7 ij chaque 6 ℎ.
Exercice 5
1) a) 0 t ∞ n" # 0 b) n"t# 0 ⇔ uvOu pq wOw "uO #v 0 ⇔ t t ln α + α = 0 ⇔ ln α = −(α + 1) 2# 2# 2# 2# limz→O|j" # = limz→O|
}E + 1 + 1 = limz→O| + 1 ln + 1 = +∞ lim z→O| j" #= }E + 1 + 1 = lim z→O| + 1 ln +1= 0
1 + 1• " 1) " 1) = ( + 1)+ ln + 1= + }E " 1) = −n( )
b) On a pour tout ∈ It , +∞I jc( ) = −€(z)
z alors jc( ) est du signe de – n( )
sur It , +∞I d’où le tableau de variation de j t +∞ jc( ) 0 + j( ) +∞ j(t) 4) a) j(t) = t ln tt + 1 + 1 ‚ƒ ln α = −(α + 1) %‚E„ j"t# t"α 1)t + 1 + 1 = 1 − t b) Pour construire le point de la courbe … d’abscisse t on trace la droite d’équation
= t puis on met la pointe sèche du compas sur le point (t , 0) et la mine sur le point (1 , 0) on fait alors une trace sur la droite d’équation = t au dessus de l’axe des
abscisses on obtient alors le point (t , 1 − t) de la courbe …
c) Voir figure 5) a) † n( )% = † + }E " 1) u u % † j c" #% u On pose ‡4" # ˆc" # jc" #L ⇒ ‡ 4 c" # 1 ˆ( ) = j( )L † n" #% I j" #Ku † j" #% u u I j" #Ku † j" #%u
b) † |n" # j" #| % † |j" # n" #| % † "j" # n" ## % u u u † j" #% † n" #% † j" # % u u u Š I j" #Ku † j" #%u ‹ † j" # % u I j" #Ku † j" # %u j"1) − tj(t) = 1 − t(1 − t) = t − t + 1 4 c) Œ• t ŒŽ
