Une méthode intéressante pour faire des prévisions : le lissage exponentiel

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Une méthode intéressante pour faire des prévisions : le

lissage exponentiel

Francois Bonnieux

To cite this version:

Francois Bonnieux. Une méthode intéressante pour faire des prévisions : le lissage exponentiel. 1966, 26 p. �hal-01600748�

"UNE MtTHOVE INTERESSANTE POUR FAIRE VESPREVISIONS :

LE LISSAGE EXPONENTIEL"

§1 - I!~ODUCTION 1 - Prob1è.'ne 2 - Giénéra.1ités

§2 .• LI\. THEORIE DU LISSAGE EXPONENTIEL

1 .... P1"'inc ires et formules genéraux 1-1 Notations

1-2 Hypothèse de base

1-3

Cal~ul

des coefficients at

p

1-4 D§marrage des prévisions

2 - Application à des modèles particuliers

2-1 Modèle constant 2-2 Modèle linéaire 2-3 Modèle polynomiale 2-4 Modèle trigonométri~ue

j - Influence des différents paramètres dans le lissage cxponent iel

3-1 Influence du coefficient de lissage a= 1 -

a

3-2 I~i~uence de la fonction d'ajustement

§3 - LES MODALITES D'APPLICATION DU LISSAGE EXPONENTIEL : LE LISSAGE PAR ~HELON ET LES PROCEDURES DE DEMARRAGE

l - Le lissage par échelon 1-1 Problème

1-2 Calcul de la tendance par regroupement

1-3 Calcul des variations saisonnières par regroupement

2 - Procédures de démarrage 2-1 Problème

2-2 Amorçage général des prévisions

2-3 Calcul des prévisions pour de nouvelles références

••• •

l - PROBL~1E

Dans toute entreprise, l'élaboration de prèvisions répétée, à intervalles réguliers joue un rôle essentiel. De telles prévisions dépendent, dans une proportion plus ou moins grande, de l'extrapolatiol dans le fUtur des valeurs constatées dans le passé, c'est-à-dire que II base de la prévision sera toujours l'analyse chronologique, les résultl de cette analyse ètant éventuellement modifiés par d'autres considérat: et ceci d'autant plus que la prévision s'effectue à plus long terme.

2 - GENERALITES

L'analyse chronologique d'un phènomène ne peut s'effectuer que par référence à un modèle préalablement choisi. On doit considérer que la valeur de l'informatipn est une variable alèatoire, précisée en culier par sa moyenne sur des périodes déterminées.

Une fois choisi un modèle, les prévisions doivent se déduiJ des caractéristiques de ce dernier par un simple calcul. Les caractéri, tiques doivent ~tre recalculées en permanence, car chaque période appo: une nouvelle information dont il faut tenir compte. Cependant, il ne de pas ~tre nécessaire pour celà de procéder chaque fois à une analyse ch: gique complète. La lourdeur d'un tel procédé le rendrait inintéressant et il est infiniment préférable d'utiliser un calcul itératif pour le~

les éléments de prévision à l'instant t + l se déduisent uniquement :

des éléments de prévision à l'instant t .

de la nouvelle information parvenue entre l'instant

t

l'instant t+l.

si les méthodes utilisées le plus souvent ont le mérite d'être simples, on est frappé par leur grossièreté. Ceci est d'autant plus grave qu'on prend· des décisions importantes à partir des résultat qui s'en déduisent. La plupart du temps le modèle est d'ailleurs masqUE

En génêra1, on se contente d'un prolongement graphique, soit en rempla-çant une courbe irrégul5 ère par une courbe plus simple, soit encore en remplaçant une courbe présentant de fortes oscillations par deux cour-bes : l'une joignant les minimums relatifs, l'autre les maximums relate

Les deux méthodes les plus utilisées sont

1) celle des moyennes échelonnées 2) celle des moyennes mobiles.

La première consiste à partager en classe les résultats chronologiques, puis à remplacer chaque classe par Sa moyenne, enfin à

prolonger tant bien que mal. La seconde est un peu moins mauvaise, en effet il y a recoupement de chaque calcul sur le précédent. Par exempl< si on fait des groupements par 4, on calculera :

,

,

....

~.

Ayant pris n éléments dans chaque ca1cuJ., chaque moyenne reprend toujours n-1 éléments de la moyenne précédente. On améliore lE procédé encore en faisant des moyennes mobiles de moyennes mobiles. On peut introduire enc ore quelques astuc es mais c'est tout.

La méthode du lissage exponentiel répond parfaitement aux nécessités que nous avons mises en lumière. Elle utilise toute l'inforrr tion dont on dispose en aboutissant à des calculs itératifs bien adapté aUX ordinateurs. Elle présente une grande souplesse d'adaptation qui et: fait la méthode de prévision répétitive la plus efficace.

/ § 2 - LA THEORIE DU LISSAGE EXPONENTIEL /

l - PRINCIPES ET FORMULES GENERAUX

1-1 Notat ions

On considère un phénomène et on désigne par x

t la valeur d, l'information dont on dispose à l'instant t et par

--sç;-

la valeur de la prévision faite à l'instant t pour l'instant t + 0 (0 étant de signe quelconque).

1-2 Hypothèse de base

On calcule ----._{xt ,0 par la formule} le E p=l t a p fp (0)

Les fonctions f sont déterminées une fois pour toutes par

. , ~ .p. . . . t t

le cho~x du modele de prev~s~on. Au contra~re. les coeff~c~en s a p sont recalculés en permanence en tenant compte des nouvelles réalisatic du phénomène et en ajustant au mieux sur le passé connu les prévisions calculées par la formule (1).

1-3 Calcul des coefficients at

p

o

_{n ca cule les}l _coeff~c~ents. . _{at en rendant minimum la somme} pondérée des carrés des ecar s

~

t entrerea 16a 20ns

~

l'

i·

et prévisions sur le pa, On est donc amené à déterminer les at qui minimisent :

p

[Ft

r

T-l sj 2 T-l sj t Q = E

(-xt.:i" -

_{xt .)}

₌ E _{a f}

H)

_{- x .} j=o ,-J -J _{j=o P P t-J} /

où T est le nombre de valeurs de l'information connues à l'instant t

a

est une constante caractéristique du phénomène et du modèle de lis-sage choisi inférieure à un.

a

est d'autant plus petite que le passé s'efface plus rapidement, c'est-à-dire que les réalisations conservent pendant moins longtemps leur valeur d'information pour l'avenir. Ainsi dans Qles coefficients de pondération décroissent en progression géo-métrique en remontant dans le passé pour dOlliler plus d'importance au passé proche qu'au passé plus lointain.

Le minimum de Q est atteint lorsque

c'est-à""dire élQ t éla . .~ = 0 T-l E j=o t a p fp (-j)-xt-J. =

Lorsque T + w on a toujours k équations linéaires à

k inconnues, supposons alors que le système de solutions existe pour te

T et converge.

Dans la ième éauation, le coefficient de at est égal à_{- p}

.'f

a

j

f. (-j) f

H)

i l est indépendant de t ; donc linéaires des réalisations x

t -J.

. . t

les coeff~c~entsa. sont des

~

dont les coefficients sont

fonctions indépendani de t. On écrit : a~

=

r

~ j=o i x HJ t-j

Lorsque T est grand, on applique les mêmes formules ; s'il est faible, il faudra étudier des procédures transitoires.

Donc, en pratique, pour faire un calcul sur ordinateur, on calcul itératif qui évite ainsi de garder en mémoire toute du phénomène.

de voir que

Bien que le calcul effectif

t ~ t-l

a. ne depend que des a

~ p soit laborieux, il (l..;p",k), de x t est facile et xt_l,l utilisera Ul l'historiquE

1-4

Démarrage des prévisions

si l'on démarre au temps t

o' alors que l'historique s'est depuis le temps l, on dispose de t informations et on calcU:

o

constitué t

les a 0 en résolvant (2) avec T

=

P to et t = to

Une manière plus simple mais moins rigoureuse d'amorcer lef prévisions consiste ~ prendre les k premières informations et à calcul, les

a~

de façon à ce que les k prévisions

--sç:;;-, .... ,

xk,l:k coinc.idel avec les k informations ~ ••••• Xl

Le calcul étant ainsi amorcé,

à

partit de l'époque k, on fait fonctionner "à blanc" le système de prévisions jusqu'~ l'instant i On se trouve alors prêt pour le calcul des prévisions à l'instant t l'

0+

si l'on considère cet amorçage comme trop grossier, on peut recommence] une deuxiàme itération "à blanc" à partir de l'instant l jusqu'il l' insi t

o' en prenant cette fois comme valeur pour les

a~

les valeurs trouvée! pour les ato

~

l'issue de la première itération.

2 - APPLICATION A DES MODELES PARTICULIERS

2-1 Modèle "constant"

Ce modèle correspond à l'e~uation

x:---

= a

t,0 t

à cha~ue instant t les prévisions pour chacune des periodes ultérieure

sont identi~ues entre elles. La fonction d'ajustement est une constant

~ue l'on modifie avec t.

On écrit l'é~uation (2) ~ sj

_'"

sj a t _j=oE = E xt . j=o -J

CG ~ui donne il l'instant t-l

~

sj '" j

a

t_l _j'-oE = _j=oE S "'t-j-l

d'où en comparant ces deux é~uations

'"_E

j=o

~

21-1 Age moyen de l'infor=tion Affectons ê. chaque information x

t-J. un âge J à la date t à

laquelle s'élaborent les prévisions. On a :

at . = sat . l + (l-sl x_t .

-J -J- -J

d'ort

J

••.•• +8

Ce qui signifie que l'information d'âge j intervient dans avec le poids (l-sl S j. On défini; alors l'âge moyen de l'information par: 00 (l-sl sj

.E

j J=o _S

-00 (l-slsj

.E

_{l - S} J=o

On remarque que si S= 0,9 cet âge moyen vaut 9 périodes al· que dans une méthode des moyennes mobiles sur 12 périodes en trouve 5,' Calculons le nombre 11 de périodes correspondant à la moitié de l'inf· mation totale contenue dans a

t ; 11 est solution de : 11-1 sj l (1 _{-sl .E} = J=o 2 1- Sll =

...L

2 11 = log 2 6 <11 <7 S 0,9

Pour une méthode des moyennes mobiles sur 12 périodes on trouve N '" 6 •

.2-2 110dèle linéaire

Ce modèle correspond

a

l'équation

t + a

e

2

Les prévisions faites à un instant donné croissent réguliè: ment quand on passe d'une période à la suivante.

Calculons aî et at . t-l

2 en fonct20n de al et de x.

Les équations (1) et (2) s'écrivent

_ t t Xt,_j '" al _{- a 2 j} ( 4)

'f

j=o 00 .E J=o t t . ) al - a J - x . '" 0 2 t-J ( tal - at . ) 2 J - Xt _j = 0

"

On écrit le système ( 4) sous la forme (4') en remarquant q

00 sj l .E = l -S J=o 00 .sJ a 00 sj a l S .E _{= Sarr- .E = Sas (1 -S) = (1 _S)2} J=o J J=o 00 .2 sJ a 00 jsj a ( S ) _ S(:J, +S ) .E _{J = Sas .E - S - (1 _S)2 3} J=O J=O - as

- éL -

S) et en posant (1 -S) .E00 sj x t .

'"

St J=O -J (4')

{al

+ St + a2t _l-SS ai -S(l +S) t ? 00 .sj S (l-S) _{a 2 = (1 -S)--' .EJ=o} x_t . J -J

t

on remplace al par sa valeur dans la. deuxième équation (1 -S) 3 .E00

J=o Xt-J.

et pour l'instant t-l on a

(5' )

on remarque alors que 00 jSJ 00 j SJ 00 (j+I)S j+l .E x t . = j h xt . = . E x . l J=o -J -J J=o t-J-00 jsj+l 00 jsj 00 jsj .E X t_j_l =S .E Xt _j_l = Sj~l X t_j_l J=o J=o 00 sj+l 00 SJ St . E x . = .E x t . -xt = l-S - xt J=o t-J-l J=o -J

Ces trois lignes donnent la relation

jsj 00 j sj

s

00 _t

( 6) .E x

t . = Sj~l Xt_j_l + l-S - x

J=O -J t

On combine enfin les équations (5) et (5') en tenant compte de la relation

(6)

en conclusion la prévision s'écrit en posant S"l- Ci:

(- - +l-a 0)

Ci

avec St " (1 -a) St_l +OO<:t

t . t-l

a 2 " (l-a) a 2 + Ci(St - St_l)

Sous cette forme à partir de valeurs initiales So et a~ le calcul de prévisions se fait très simplement de proche en proche.

t

On interprête St comme une moyenne pondérée des réalisations x

t et a2 comme une moyenne de l'élément de tendance représenté par la différenc St - St_l On date t- l-a • Ci prévision x_t 0'

•

note que tout se passe comme si St

. , . . . 1- Ci

pU1SqU 11 faut lUl aJouter

-Cl correspondait à la t a 2 pour retrouver L t Quant a

2 est nul on retrouve rapidement les résultats du m dèle constant. 2-3 Modèle Polynomiale à l'équation t a·₁ Ce mod~le correspond n .E 1=0

----

x_t 0_- =

•

comme dans le modèle précédent il est possible de calculer

h h l . . t .

proc e en proc e es coefflClents ai' Sl on pose:

t )i 00

S.=(l-S .E

1 J=O

(j+l) (j+2) .... (j+i-l) Qj

(j-l) ~ X_{t _j}

alors les a~ sont des fonctions linéaires des S~

Dans le cas '. i = 2 on obtient ou t _{st 3 st} t al

=

3 _{l 2} + S3 t Cl

E6

_{5Cl )} st _ 2 (5 - 4c.) st + (4-3Ci) a 2

=

2 ( l'"'\l ) 2 l 2 t ,,2

~t

_{_ 2 st +}

s~

a 3

=

(l..cl ) 2 l 2 2-4 Modèle trigonométrique

Ce modèle correspond ~ l'équation --- t

r

r.:-

t .

n.

El t

xt,El= ao + i=l l-'=:i S~n 2 ~

T

+ ai

il permet en prenant n asez grand un ajustement à une fonction périod: que de période T avec la précision que l'on désire. Il est donc bien ac aux séries chronologiques présentant des variations saisonnières. En p: tique on se limite au cas n<2, car autrement le modèle deviendrait tr' sensible et prendrait en compte des variations aléatoires non signifie, tives et les reproduirait dans les prévisions sous forme de variations

.

.,

sa~sonn~eres.

Lorsque le phénomène comporte, en plus des variations sais. nières, une tendance, on pourra utiliser le modèle suivant:

n E t t

.L

l (a. + b.El

~= l l

Un tel modèle étant peu maniable, on lui en préfère des mo rigoureux mais plus simples (voir le paragraphe 3).

3 - INFLUENCE DES DIFFERENTS PARAMEIRES DANS LE LISSAGE EXPONENTIEL

3-1 Influence du coefficient de lissage œ= l -

e

Cette influence se fait sentir chaque fois qu'il y a : pertùrbation, c'est-a-dire écart accidentel d'une réalisation pa rapport à la prévision correspondante.

changement de loi, c'est-a-dire écart systématique à partir d'ur certain moment entre réalisations et prévisions.

Nous exanlinerons cette influence dans ces deux cas pour le modèle constant, les résultats restant qualitativement valables quelqë soit le modèle.

3-1-1 Influence d'une perturbation Supposons que jusqu'â

soit restée constantede sorte que

l'instant t , la o

,

.--l on aü Xi; • -J 0, valeur de l'informa

=

x . j>O. t_o-J reprend la valeur x t • o Par contre a l'instant t

o + l on a xt +1 o

= x

t + l, ensuite l'informati o

Déterminons pour tout 0

0

₌

l

---

₌

₌

(l-a) + a

₌

(l-œ) x t +œ(xt + 1) xt +1,1 at +1 at _{xt +1} 0 0 0 0 0 0

=

x t + œ. 0

---o

_{= 2 xt +2 l} = o ' = _{(1 -œ) a t + l + œXt +2} o 0 = (l-œ)X t +œ (l-œ) o en génêral pour 0 ;>2 on a :

---

x + œ(1-œ) 0-1 t + ,1 = xt 0 0

Dans les prévisions à partir de l'instant t + 2 , la pertu

o

bat ion est donc égale à

l lissage exponenti modèle constant a= , (1 -,,) 0-1

Comrae ( )l-a <l, la per ur a wn " l -at b t · ( ) 0-1 decroü tres r,/ • , dement CJ.uand augmente. Comparons avec la perturbation obtenue dans la méthode des moyennes mobiles sur 12 périodes ; pendant les 12 première périodes, la perturbation est constante et égale à

l~

' ensuite elle e nulle : Perturbation en

%

2 lissage exponenti modèle constant a= 3 moyennes mobiles 12 périodes

Influence d'une perturba troduite à l'instant 0 s' prévisions faites à l'in

0-1. 20

15

10 20 30 ₁ \ l 1 1 1 1 1 \ \ \

1:1~_2_

L

__

>->-~----+

->--.--+---~

0 5

On remarCJ.uera par ailleurs CJ.ue, pour une valeur donnée de pas trop grande, l'influence d'une perturbation est d'autant plus faib CJ.ue CL est plus faible :

Perturbation

î

en

%

1 20 10 0= l 0= 2 0= 3

Influence d'une perturb produite à l'instant 0 la prévision faite à l'

1,2,

3 en fonction du c c ient dé lissage.

o

'----·-;I--~-__tl---~-~If_--__i)>_ Ci 0,10 0,20 0,30

En définitive, nous voyons que pour une fonction de lissa! donnée, un ceefficient Œ faible permet d'obtenir une faible sensibilD

aux erreurs donc une bonne stabilité.

3-1-2 Influence d'un changement de loi Supposons que les réalisations égales à x

t jusqu'à l'ins1 t

o soient égales à xt + 1. On calcule ~ 0

o 0 ' 0

=

l

_x

t +1,1 = x_t + Π0 0 0

=

2

-

= (x t ) (1 ..a.)0 xt +0 l ₊₁

-o ' 0 se rapprocl 'lue Œ est prévision plus vite une valeur donnée de 0, la

valeur des vent es x

t_o+ l d'autant Donc pour nouvelle grand. Perturbation en

%

de la 100 0

=

l

---

0 = 2 0 = 3 ). Π50

o

_0,10 si Clfaible 0,20 donne une Influence d'un ment brutal à : o sur la prévil fait e à l ' instl 2, 3 en foncti, 0,30 coefficient de

bonne stabilité au modèle, cela ne p' pas de réagir assez rapidement aux changements de loi. Il y a donc un promis à trouver, et la valeur optimale de ~ sera celle qui minimise: écarts prévisions réalisations.

Souvent, pour simplifier, on minimisera non pas la somme' carrés des écarts mais la somme des écarts absolus.

3-2 Influence de la fonction d'ajustement

Le choix de la fonction d'ajustement correspond en somme a choix du modèle. Un tel choix ne peut pas se déduire de la seule hist, ri que connue. En effet, une tendance ou des variations saisonnières qu apparaîtraient sur un historique assez court, ne pourraient être en ré, lité qu'aléatoires. Aussi, n'est-ce que l'insuffisance de l'historique qui permet de considérer comme significatifs des éléments qui ne sont nécessairement stables sur une période assez longue.

Ceci est très important, car on ne doit adopter un modèle plexe que si cette complexité reflète effectivement un caractère perma du phénomène considéré. Sinon le modèle conduit à l'ajustement sur les accidents de l'historique, et à reconduire ces accidents dans les prév

Il faut noter que le choix du coefficient de lissage et ce de la fonction réagissent l'un sur l'autre. Supposons que les valeurs l'information périodiques soient soumises à une tendance changeant de toutes les 12 périodes. Si les valeurs sont assez stables, on adoptera mQ&èle linéaire avec tendance et 0,20 < Cl < 0,30. Si par contre les v

sont assez dispersées, il est nécessaire de choisir Cl < 0,10 et de ren

à mettre en évidence une tendance en choisissant un modèle constant.

Un dernier élément est susceptible d'influer sur le choix modèle: c'est l'étendue de la prévision. Pour une prévision à moyen t

il peut être préférable de choisir un modèle constant en considérant u tendance constatée comme insuffisamment significative.

En conclusion, le choix du modèle s'opère en fonction: 1) de la structure de l'information: loi avec ou sans ten avec ou sans variations saisonnières.

2) de la stabilité de cette information du double point de des perturbations et des changements de loi.

Le critère de choix sera autant que possible celui qui con, duit au minimum des 'écarts entre prévisions et réalisations. Un histor que de 30 à 40 périodes sera suffisant en pratique pour déterminer que: combinaison de fonction et de coefficient de lissage conduit à ce min~

$3 - LES MODALITES D'APPLICATION DU LISSAGE EXPONENTIEL : LE LISSAGE PAR ECHELON ET LES PROCEDURES DE DEMARRAGB

l - LE LISSAGE PAR EC~~ON

1-1 Problème

Dans la plupart des calculs de prévision, on est amené à établir simultanément des prévisions pour un grand nombre de référence Considérons une référence donnée, après avoir éliminé si possible l'ir, fluence d'une tendance ou de variations saisonnières, elle prend des v aléatoires de mO;jrenne m et d'écart type s. On définit alors l' irrégular

",. ". s

de cette reference par le rapport-. m

On peut se demander alors si, compte tenu de cette irrégul le nombre d'informations Que l'on possède et Que l'on utilise effectiv ment est suffisant pour fare des prévisions, non seulement sur la moye mais également sur une tendance et des variations saisonnières. Il fau d'abord remarQuer Que l'on dispose assez rarement d'un historiQue très long et Que, de toute façon, l'infonnation se dévalorise avec l'âge. D la méthode du lissage exponentiel par exemple, si toutes les valeurs i viennent, les 24 dernières le font pour 95

%

lorSQue a = 0,20 •

Il résulte de cette limitation dans le nombre d'informatio utilisées Que, s'il est toujours possible de dégager correctement une moyenne par contre ceci est impossible en ce Qui concerne la tendance les variations saisonnières, pour peu Que l'irrégularité des référence soit sensible (~> 0,3). En effet, cette irrégularité conduit à des é,

m

aléatoires dans les résultats obtenus ~ui sont du même ordre de grande' Que les éléments que l'on cherche à mettre en évidence.

Donc, les difficultés de calculer correctement une tendanc et des variations saisonnières proviennent d'une trop grande variabili de l'historiQue. La solution consiste alors dans la réduction de cette variabilité. On pourrait la réaliser en utilisant un très grand nombre valeurs, mais même s'il existe un long historiQue, Une partie seulemen'

en est utilisable. Il est donc nécessaire de compenser l'étendue insuf fisante de l'histori~uedans le temps par l'utilisation simultanée d'ë nombre suffisant d' informations Ei~uivalentes.

Toutes les fois ~u'il s'agira d'établir des prévisions POë de nombreuses références, on s'attachera à les rEipartir en groupes hon gènes par rapport à l'un des éléments ~ui nous intéressent (tendance ou variations saisonnières). Cet élément pourra être calculé correcten à l'échelon du groupe. En effet, si ~

=

0,5 pour cha~ue référence;

si l'on connaît 30 références dont le

caractéristi~uessont assez voisines pour que leurs tendances ou leurs variations saisonnières soient analogues,

on calculera fac ilement une tendance cOll1lllUne, car le rapport d' irrégul rité pour le groupe vaut

~ ~à5

•

Le regroupement en groupes homogènes ne pourra pas se fair par le seul examen des chiffres, mais en utilisant des considérations de bon sens. Par exemple, on pourra faire l'hypothèse que les variaii saisonnières sont les mêmes pour certaines références alors que cela n'apparaît pas dans les chiffres à cause d'irrégularités aléatoires.

1~2 Calcul de la tendance par regroupement

a étant fixEi, la formule de prévision pour la référence groupe d'écrit :

= Si +( l a 40)

t a

i d

prévision pour la réference

l'instant t + 0

i faites à l'instant t p

~l

"t moyenne lissée calculée pour la référence l

tendance calculée pour le groupe

si 1", i~ N on pose x

JI

i t = xt Sl _{= (1 -0:)} i i St_l + o:x_t t St = (1 -0:) St_l + O:"t b t = (1 -0:) bt_l + 0:(St- St_l)

1-3 Calcul des variations saisonnières par regroupement

Dans le lissage par échelon, l'utilisation des fonctions t gonométriques s'avère impraticable. Il est cependant possible de mettr en évidence les variations saisonnières avec une fonction de lissage c tante ou linéaire par liutilisation de coefficients saisonniers.

1-3-1 Calcul du coefficient saisonnier adapté à la méthode de la moyenne mobile

si l'on dispose d'un historique de 24 mois à l'instant t, peut calculer une tendance annuelle par le rapport de deyx moyennes mo biles qui sont indépendantes de tout comportement saisonnier.

Si l'on définit la tendance annuelle T comme un pourcentag d'augmentation, la valeur de T pour la période de 24 mois considéree est donnée par :

l + T

-2i

j=12 X_{t _j}

Une fois calculé cette valeur T, nous éliminerons de l'his' rique l'influence de la tendance en remplaçant les valeurs X

t_j par de; valeurs x

,

données par :

t-J.

,

_{= (1 +} . T )

x

t_-J. xt_-J. J 12

Cet :nistorique ainsi modifié permet de calculer des éleme: pour ladétermination des coefficients saisonniers.

Le coefficient s du mo~s n sera égal à la moyenne des

n

éléments calculés poür le mo~s n ; chaque élément est donné par une formule du type suivant :

x' n

f

i=-6 x' . n-~

si l'on dispose d'un historique de 24 mois, on pourra cal-culer un élément pour le moins n, un autre pour le mois n + 12, et le coefficient s sera la moyenne des deux.

n

Une fois calculé les 12 coefficients, on se ramène, par une règle de trois, à :

12

E s = 12

n=l n

1-3-2 Utilisation des coefficients saisonniers dans la mé-thode du lissage par échelon

&1 tenant compte des coefficients saisonniers, la

prévi-sion pOlIT la rÉférence l

-x-=

_t ,S du groupe s'écrit

...-x:-~ St ,S xt,S

~ prévision pour la référence i faite le mois t pour le mois t +()

,

s t

,s

~ ...1. JI. t ,S

coefficient saisonnier du mois t + S, connu au mo~s t pour l, groupe formé des références 1« i -<; ri.

prévision désaisonnalisée pour la référence i, faite le mois t pour le mois. t +() •

Cl 1er échelon ~~- - - - ----x.~ ~ x

=

t ,8

: Calcul de la prevision desaisonnalisee (-=l=----,Cl,,- + 8) bi t s~ _{est la} t Si ₌ t

moyenne lissée de la valeur dêsaisonnalisêe

i x

t

(1 -0:)

S~_l

+Cl---S;

b_ti est la tendance desaisonnalisee

+ Cl(St~ - S~ )

t-l

Le coefficient saisonnier d'un mois donne est calcule une

an. Au mois t, on met à jour le coefficient St_12 de la façon fois par suivante • On calcule .x t = N l: i=l i x t pour le ~roupe • la prevision ..,---y--x t,o desaisonnalisee pour N

---x:--=

i~l

x_t

_,

~

ce même mois est

Le donne un nouvel élêment pour le calcul du coeff

cient St'

On "rééquilibre" les coefficients de telle sorte que

~

j=,.ll St .-J

=

12

Pour amorcer las calculs, il. est nécessaire de 6 poser de 'valeurs de départ pour les 12 coeffic ients mensl";ls', ,

2 - PROCEDURES DE DEMARRAGE 2-1 Problème

Dans la prati~ue il faut distinguer deux circonstances, l' ne se présentera ~u'une seule fois ~uand on établira pour la première fois des prévisions pour l'ensemble de références, l'autre se présente à cha~ue fois 'lue l'on introduira une nouvelle référence.

2-2 Amorçage général des prévisions

A la méthode rigoureuse des moindres carrés pondérés, on !

fère une procédure approximative, ~ui consiste à séparer et à calcule! les éléments constitutifs de la prévision (moyenne, tendance, coeffici saisonnier) dansJe cadre d'une méthode de moyenne mobile utilisée sur

l'histori~ue existant.

2-2-1 Il niy a pas de variations saisonnières

Si l'on dispose d'un hidtori~ue de n mois, (n pa~r, on dé gera une moyenne mobile Sn et une tendance b

n par

4

n

4

n/2 b = E x. E _x. n 2 _{n +} l ~ 2 i=l ~ n 2 n l l n n-l S + -a b

- -

E x. + b n a n n i =1 ~ 2 n

Les valeurs ainsi calculées de Sn et b

n servent pour le ca des prévisions au mois n + l, avec la formule le lissage par une fonct linéaireo

n peut être inférieure à 12 •

2-2-2 Il Y a une tendance et des variations saisonnières Il est nécessaire de disposer d'un hiBtori~ue d'au moins

mo~s. Nous avons vu comment calculer des coefficients saisonniers, une

moyenne et une tendance désaisonnalisées pour amorcer les calculs et a: cer des prévisions dès le 25ème mois.

2-2-3 Il Y a des variations saisonnières mais la tendance est à priori négligeable.

Un histori~ue de 12 valeurs suffirait pour aVOlr une éva-luation des coefficiznts saisonniers permettant d'amorcer les calculs.

Dans les trois cas ci-dessus, ce minimum de valeurs indi~u

comme nécessaire pour l'amorçage conduira bien entendu à des résultats significatifs, pour la tendance et les coefficients saisonniers, si le calculs sont effectués à la référence. Il sera indispensable d'utilise la méthode du lissage par échelon et de calculer tendance et coeffici saisonniers après regroupements, de façon à atteindre une stabilité su fisante.

2-3 Calcul des prévisions pour de nouvelles références

Il est souvent nécessaire d'établir des prévisions dès l ' i troduction d'une nouvelle référence, en fait dès ~ue l'on possède sa première valeur. Les premières prévisions seront forcément très imparf tes et pour les établir il s'agira d'utiliser un procédé simple, mais

~Ul puisse se raccorder progressivement et automati~uementà la méthod du lissage exponentiel, utilisée en régime permanent.

Dans le cas d'un lissage par échelon, les coefficients sai sonniers ainsi ~ue la tendance, sont calculés après regroupement de ré rences - La nouvelle référence s'insère dans un groupe existant, on co naît donc la tendance et les coefficients à lui appli~uer, il ne reste plus ~u'à calculer sa moyenne lissée.

Pour calculer la moyenne lissée on utilise dès ~ue la deux valeur est connue, le lissage exponentiel mais avec un coefficient de lissage dégressif d'un mois sur l'autre (ce ~ui revient à faire une mo mobile sur 2, puis 3 mois ••• ) jus~u'à ce ~u'on arrive à la valeur défi tive du coefficient de lissage en régime permanent.