Calcul financier et actuariel

PREMIERE PARTIE

CALCUL FINANCIER

CHAPITRE 1

ALGEBRE FINANCIERE

Sommaire 0. Rappels

1. Intérêt simple et intérêt composé 2. Taux d’intérêt mensuel et instantané 3. Suites d’annuités constantes

4. Suites d’annuités variables 5. Opérations de prêt

1. Algèbre financière

0. Rappels

- Exponentielle et logarithme - Progression arithmétique - Progression géométrique 1. Intérêt simple et intérêt composé 2. Taux d’intérêt mensuel et instantané 3. Suites d’annuités constantes

4. Suites d’annuités variables 5. Opérations de prêt

Exponentielle et logarithme

Définitions ) 1 , 0 ( log : ) 0 ( : 0 0 ≠ > → > → + + a x x a a x a x a a R R R R

= fonctions réciproques l’une de l’autre :

x a x ax x a = a = log ) ( log Propriété : x m x x x x

x _{) log log log(} m_{) log}

log( ₁ ⋅ ₂ = ₁ + ₂ = Changements de base : n n n e _      + = ∞ → 1 1 lim a x x e ax x a _a ln ln log ln ₌ = Dérivées a x x a a a x x e e a x x x x ln 1 ) (log ln ) ( 1 ) (ln ) ( = ′ = ′ = ′ = ′

Progression arithmétique

Définition : suite t₁,_{K ,}t_{n K} telle que

r t t

k > _k = _k +

∀ 0, ₊₁

où r est la raison de la progression. Propriétés n t t t t S r n t t n n n n 2 ) 1 ( 1 1 1 + = + + = − + = K Dém. r n t r t r t r t t_n = _n−1 + = _n−2 + 2 = _n−3 + 3 = _K = ₁ + ( −1)

[

]

) ( 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 1 2 3 1 2 1 1 2 1 3 2 1 n n n n n n n n n n t t n t t t t t t t t t t t t t t t t S + ⋅ = + + + + + + + + = + + + + = + + + + = − − − − K K K car t₂ + t_n−1 = (t₁ + r) + (t_n − r) = t₁ + t_n

Progression géométrique

Définition : suite t₁,_{K ,}t_{n K} telle que

q t t

k > _k = _k ⋅

∀ 0, ₊₁

où q (> 0) est la raison de la progression. Propriétés ) 1 ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 2 / 1 1 1 1 ≠ − − = − − = + + = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = + − q q q t q t t t t S t t t t P q t t n n n n n n n n n n K K Dém. (3ème propriété) n n n t t t t S = ₁ + ₂ +_K+ ₋₁ + 1 3 2 1 2 1 + − + + + + = + + + + = ⋅ n n n n n t t t t q t q t q t q t q S K K n n n q t t t t q S (1− ) = ₁ − ₊₁ = ₁ − ₁

Série géométrique : somme (infinie) des termes d’une PG où 1 − = n n q t Propriété : Si q < 1, on a q q q q S_n n − = + + + + + = 1 1 1 2 _{K K}

1. Algèbre financière

0. Rappels

1. Intérêt simple et intérêt composé - Intérêt

- Intérêt simple - Intérêt composé

- Principe d’équivalence

2. Taux d’intérêt mensuel et instantané 3. Suites d’annuités constantes

4. Suites d’annuités variables 5. Opérations de prêt

Intérêt

Intérêt = loyer du capital

Taux d’intérêt = intérêt produit par un montant de 1 UM au

terme d’1 période (année) : i

C0 Ct

0 t temps

C0 = valeur actuelle (actualisée) Ct = valeur acquise (capitalisée)

Intérêt simple

(courte durée)

Intérêt simple = proportionnel au montant et à la durée : It = C0 i t

Valeur acquise : Ct = C0 + C0 i t = C0(1 + it)

Valeur actuelle : it C_t C + = 1 0 t C0 Ct Unité de i ?

Intérêt composé

(longue durée)

Intérêt composé = capitalisation des intérêts année après

année : ) 1 ( 1 C i C_t+ = _t ⋅ + Valeur acquise : t t C i C i C i C C i C i C C i C C ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 0 3 0 2 3 2 0 1 2 0 1 + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = L

NB : utilisé même pour t non entier (et quelle que soit la durée), donc, ligne brisée → courbe « douce »

Valeur actuelle : t t t t _{C i} i C C = ⋅ + − + = (1 ) ) 1 ( 0 t Ct C0

Principe d’équivalence

Remarque préliminaire

On peut généraliser la notion de valeur acquise : la valeur acquise en T (pour le taux d’intérêt i) d’un montant C payé en t est égale à C _⋅(1+i)T−t

Deux systèmes de payements

      ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∝ ′       ∝ m m n n S S S t t t S S S S t t t S K K K K 2 1 2 1 2 1 2 1

sont équivalents pour i à l’instant T si égalité des valeurs acquises en T :

∑

∑

= ′ − = − + ′ = + m k t T k n j t T j k j S i i S 1 1 ) 1 ( ) 1 (

Principe d’équivalence : cette notion est indépendante de

l’époque T de capitalisation. Dém.

∑

∑

∑

∑

= ′ − = ′ − − = − − = − + ′ = + ′ + = + + = + m k t T k m k t T k T T n j t T j T T n j t T j k k j j i S i S i i S i i S 1 ~ 1 ~ 1 ~ 1 ~ ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

1. Algèbre financière

0. Rappels

1. Intérêt simple et intérêt composé 2. Taux d’intérêt mensuel et instantané

- Taux mensuel équivalent - Taux instantané équivalent 3. Suites d’annuités constantes 4. Suites d’annuités variables 5. Opérations de prêt

Taux mensuel équivalent

Capitalisation mensuelle au taux (mensuel) im

Valeur acquise après s mois : C s m i ) 1

(

0 ⋅ +

im équivalent au taux annuel ia si, après t années,

12 12 0 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( m a t m t a t i i i C i C C + = + + ⋅ = + ⋅ = NB : - notation fréquente : _     ≠ = !!! 12 12 ) 12 ( _a m i j i

Taux instantané équivalent

(ou exponentiel ou continu)

Capitalisation par n-ème d’année, au taux équivalent α_n n

Taux instantané : _n n α α ∞ → = lim α α α ⋅ = ′ ⋅ = −       + ⋅ = + + t t n t t n t n t n t C C C n C C n C C 1 1 1 1

(

)

t t t t t t t e C i C C i i C i i C i C C α α ⋅ = + ⋅ = + = + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = ′ + ⋅ = ′ 0 0 0 0 ) 1 ( ) 1 ln( ) 1 ln( ) 1 ln( ) 1 ( ) 1 (

1. Algèbre financière

0. Rappels

1. Intérêt simple et intérêt composé 2. Taux d’intérêt mensuel et instantané 3. Suites d’annuités constantes

- Définition

- Annuités ordinaires : valeur actuelle - Annuités ordinaires : valeur acquise - Aspects numériques

- Annuités anticipatives - Annuités différées

- Annuités anticipatives et différées - Résumé

- Perpétuités

- Annuités ordinaires fractionnées - Annuités fractionnées : résumé 4. Suites d’annuités variables

Définition

Suite d’annuités = payements échelonnés, d’époques

équidistantes, qui peuvent être

a. variables ou constantes (de montant 1) b. annuelles, mensuelles, …

c. temporaires (n annuités) ou perpétuelles d. immédiates ou différées

e. anticipatives ou à terme échu

Modalités soulignées : « annuités ordinaires »

… 1 1 1 1 0 1 2 … n – 1 n t Notations : = 1+ = 1 = (1+ i)−1 u v i u t t t t C u C C v C = ₀ ⋅ ₀ = ⋅

Annuités ordinaires : valeur actuelle

= somme des valeurs actuelles (en t = 0) des différentes annuités (notation : a_n )

Valeur actuelle de la t-ème annuité : 1⋅vt

i v u u v v v v v v a n n n n − =      × − − = + + + = + 1 1 1 2 K

N.B. : Pour une perpétuité, on a

i n

1 = a

Annuités ordinaires : valeur acquise

= somme des valeurs acquises (en t = n) des différentes annuités (notation : s_n )

Valeur acquise de la t-ème annuité : 1⋅un−t = unvt

i u i v u a u v v v u s n n n n n n n n 1 1 ) ( 2 − = − = = + + + = _K

Aspects numériques

Eléments d’un problème d’annuités - montant de l’annuité

- valeur acquise/actuelle - durée

- taux d’intérêt

Durée : en exposant Æ logarithme Taux d’intérêt

- tables financières

- approximations successives

- méthodes itératives (Newton-Raphson) - outils tableur (valeur cible – solveur)

Annuités anticipatives

1 1 1 ₁

0 1 2 … n – 1 n t

Valeur actuelle (en t = 0)

n n n n n a u i v u u u v v v v a ⋅ = − =      × − − = + + + = − 1 1 1 1 1 K &&

Valeur acquise (en t = n) : même raisonnement

n

n u s

Annuités différées

1 1 1 1 0 d d+1 d+2 … d+n t

Valeur actuelle (en t = 0) – Notation : _d a _n

n d n k k d n d a v v a ⋅ = =

∑

= + 1

Annuités anticipatives et différées

1 1 1 1

0 d d+1 d+2 … d+n t

Valeur actuelle (en t = 0) – Notation : _{d a&& n}

n d n k k d n d a v v a ⋅ = = − − = +

∑

1 1 0 &&

Résumé

terme échu anticipative

immédiate a _iv n n − =1 i u s n n 1 − = n n u a a_&& = ⋅ n n u s s_&& = ⋅ différée (d) d _n n d a = v ⋅a n n d s = s n d n d a = v ⋅a −1 && n n d s&& =u⋅s × u × vd (pour a !)

Perpétuités

Définition : nombre d’annuités infini (n → ∞) Valable pour les valeurs actuelles seulement

i i v a n n n 1 1 lim − = = ∞ → De la même manière, i v a i v a i u a d n d d n d n 1 − = = = && &&

Annuités ordinaires fractionnées

Définition : le montant annuel 1 est payé par m versements de montant 1/m par année

Valeur actuelle (notation (m)

n a ) ) ( 1 ) ( ) 1 ( 1 1 1 ) ( 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 ) ( m j v m m j i m m m j m m j m m m j m m j m m j m m m j m a n n nm nm nm k k m n − = + − ⋅ = −       +       + − ⋅ =       + −       + −       + ⋅ =       + = − − − − − − = −

∑

Valeur acquise (notation (m)

n s ) : même raisonnement ) ( 1 ) ( m j u s n m n − =

Annuités fractionnées : résumé

terme échu anticipative

immédiate a( ) 1_j(mv₎ n m n − = ) ( 1 ) ( m j u s n m n − = ) ( 1 ) ( m n m m n u a a_&& = ⋅ ) ( 1 ) ( m n m m n u s s_&& = ⋅ différée (d) ( ) (m) n d m n d a = v ⋅a ) ( ) ( m n m n d s = s ) ( 1 ) ( m n m d m n d a&& = v ⋅u ⋅a ) ( 1 ) ( m n m m n d s&& =u ⋅s × u1/m × vd (pour a !)

1.

Algèbre financière

0. Rappels

1. Intérêt simple et intérêt composé 2. Taux d’intérêt mensuel et instantané 3. Suites d’annuités constantes

4. Suites d’annuités variables - Deux cas

- Annuités arithmétiques - Annuités géométriques 5. Opérations de prêt

Deux cas

N.B. : ici, terme échu

a) Montants en progression arithmétique

r n r r, 1 2 , , 1 ( 1) 1 , 1 + + _K + − Notations : Ia_n Is_n

b) Montants en progression géométrique

1 2_{, ,} , , 1 q q _K qn− Notations : Ga_n Gs_n

Annuités arithmétiques

r n r r, 1 2 , , 1 ( 1) 1 , 1 + + _K + − Valeur actuelle rS a v n v v v r a v k r v v r k Ia n n n n k k n k k n k k n + = − + + + + + = − + = − + =

∑

∑

∑

= = = ] ) 1 ( 3 2 [ ) 1 ( ] ) 1 ( 1 [ 4 3 2 1 1 1 K 1 5 4 3 _{+ 2 + 3 + + ( −1)} + = _{v v v n v}n Sv _K 1 1 1 4 3 2 1 4 3 2 _{( 1)} ) 1 ( + + + + − = − + + + + + = − − + + + + = − n n n n n n n nv va nv v v v v v v n v v v v v S K K ) ( 1 1 n n n n n n n nv a i r a v nv va r a Ia − + = − − + = +

r n r r, 1 2 , , 1 ( 1) 1 , 1 + + _K + − Valeur acquise ) ( ) ( ) ( ] ) 1 ( 1 [ 1 n s i r s v nu a u i r a u nv a i r a u Ia u u r k Is n n n n n n n n n n n n n n n k k n n − + = − + =       _{+ −} = = − + =

∑

= −

Annuités géométriques

1 2_{, ,} , , 1 q q _K qn− Valeur actuelle q u qv qv qv v v q Ga n n n k k k n − − = − − = =

∑

= − ) ( 1 1 ) ( 1 1 1 Valeur acquise q u q u q u qv u Ga u u q Gs n n n n n n n k k n k n − − = − − = = =

∑

= − − ) ( 1 1 1

1.

Algèbre financière

0. Rappels

1. Intérêt simple et intérêt composé 2. Taux d’intérêt mensuel et instantané 3. Suites d’annuités constantes

4. Suites d’annuités variables 5. Opérations de prêt

- Principes

- Prêt remboursable au terme

- Prêt remboursable par amortissements constants - Prêt remboursable par annuités constantes

Principes

Capital (t = 0)

Emprunteur Prêteur

Amortissement du capital (échelonné) Intérêts (sur solde restant dû) Montants - capital prêté : 1 UM - amortissement du capital : A1, …, An - intérêts : I1, …, In Charge de remboursement : xt = At + It 1 1 ) ( 1 ) ( 1 1 − + ⋅ = + + − = = + + t t t t n SRD i I A A SRD A A K K N.B. : SRD0 = 1, SRDn = 0

Prêt remboursable au terme

Définition : A₁ = _K = A_n−1 = 0 A_n =1 Solde restant dû : SRD₁ =_K= SRD_n−1 =1 Intérêt : I₁ = K = I_n = i Charge de remboursement :    + = = = = ₋ i x i x x n n 1 1 1 K

Prêt remboursable par

amortissements constants

Définition : A₁ = K = A_n Amortissement : 1 (t 1, ,n) n A_t = = _K Solde restant dû : 1 (t 1, ,n) n t SRD_t = − = _K Intérêt : 1 1 (t 1, ,n) n t i I_{t } = _K      ₋ − ⋅ = Charge de remboursement : ) , , 1 ( 1 1 1 n t n t i n x_{t } = _K      ₋ − ⋅ + =

Prêt remboursable par annuités constantes

Définition : x₁ = K = x_n(= x) Amortissement : 1 1 − − + = + = A_t I_t A_t I_t x

[

] [

(

)

1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( A u A u A u A i A A A A A i A SRD SRD i A I I A A t t t t t t t t t t t t t t t ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ + = + + − − + + − ⋅ + = − ⋅ + = − + = − − − − − − − − − − − − − L K K

]

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ⋅ = − = − − = =

∑

∑

= − = n n n n t t n t t A s i u A u u A u A A ) , , 1 ( 1 n t s u A n t t = = K − Solde restant dû : n t t j j n t j j t s s u s A SRD = −

∑

= −

∑

= − = − = 1 1 1 1 1 1 1

Intérêt :         − ⋅ = − n t t s s i I 1 1 Charge de remboursement :

[

]

n n t n t n n t n t s u u u u s s s i s u x = − − − + =         − ⋅ + = − − − − ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 n n n a v v ₌ 1       × (indépendant de t !!!)