HAL Id: hal-01527445
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01527445
Submitted on 24 May 2017
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Investissement et taux d’intérêt : un modèle
stochastique d’analyse conjoncturelle
Max Pinhas
To cite this version:
Max Pinhas. Investissement et taux d’intérêt : un modèle stochastique d’analyse conjoncturelle.
[Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques ( IME). 1978, 9 p., bibliographie.
�hal-01527445�
EQUIPE DE RECHERCHE ASSOCIEE AU C.N.R.S.
DOCUMENT DE TRAVAIL
INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES
UNIVERSITE DE DIJON
FACULTE DE SCIENCE ECON OMIQUE ET DE GESTION 4, BOULEVARD GABRIEL - 21000 DIJON
Investissement et Taux d'intérêt
Un modèle stochastique d'analyse conjoncturelle.
Max PINHAS
Octobre 1978
r
33
Ce document de Travail n° 33 est dû à Monsieur Max Pinhas,
Maître de Conférences de Mathématiques à l'Université des Sciences
Sociales de Toulouse.
N°1 Michel PREVOT: Theorème du point fixe. Une étude topologique générale(juin 1974)
Daniel LEBLANC^ L'introduction des consommations intermédiaires dans le
modèle de LEFEBER (juin 1974)
N°3 Colette BOUNON: Spatial Equilibrium of the Sector in Quasi-Perfect Compétition
(september 1974)
N°4 Claude PONSARD: L'imprécision et son traitemebt en analyse économique
(septembre 1974)
N°5 Claude PONSARD: Economie urbaine et espaces métriques (septembre 1974)
N°6 Michel PREVOT: Convexité (mars 1975)
N°7 Claude PONSARD: Contribution à une théorie des espaces économiques imprécis
(avril 1975)
N"8 Aimé VOGT: Analyse factorielle en composantes principales d'un caractère
de dimension - n (juin 1975)
N°9 Jacques THISSE et Jacky PERREUR: Relation between the Point of Maximum
Profit and the Point of Minimum Total Transportation Cost:
A Restatement (juillet 1975)
M°10 Bernard FUSTIER: L'attraction des points de vente dans des espaces précis
et imprécis (juillet 1975)
N°ll Regis DELOCHE: Théorie des sous-ensembles flous et classification en
analyse économique spatiale (juillet 1975)
N"l? Gérard LASSIBILLE et Catherine PARRON: Analyse multicritère dans un contexte
imprécis (juillet 1975)
N°13 Claude PONSARD: On the Axiomatisation of Fuzzy Subsets Theory (july 1975)
N°14 Michel PREVOT: Probability Calculation and Fuzzy Subsets Theory (August 1975)
N ’
15 Claude PONSARD: Hiérarchie des places centrales et graphes
flous
(avril 1976)
N°16 Jean-Pierre AURAY et Gérard DURU: Introduction à la théorie des espaces
inultiflous (avril 1976)
N° 17 Roland LANTNER, Bernard PETITJEAN, Marie-Claude PICHERY: Jeu de simulation
du circuit économique (Août 1976)
N°18 Claude PONSARD: Esquisse de simulation d'une économie régionale: l'apport
de la théorie des systèmes flous (septembre 1976)
N°19 Marie-Claudo PICHERY: Les systèmes complets de fonctions de demande (avril 1977
N°70 Gérard LASSIBILLE et Alain MINGAT: L'estiamtion de modèles à variable
dépendante dichotomique. La selection universitaire et la
reussite en première année d'économie (avril 1977)
N°?l Claude PONSARD: La région en analyse spatiale (mai 1977)
N ’
2? Dan RALESCU: Abstract Models for Systems Identification (juin 1977)
N°23 Jean MARCHAL et François POULON: Multiplicateur, graphes et chai nés de
' Markov (décembre 1977)
N°24 Pietro BALESTRA: Déterminant and Inverse of a Sum of Matrices with Applica
tions in Economies and Statistics (avril 1978)
N°25 Bernard FUSTIER: Etude empirique sur la notion de région homogène (avril 1978)
N°26 Claude PONSARD: On the Imprécision of Consumer1s Spatial Preferences
(avril 1978)
N°27 Roland LANTNER: L'apport de la théorie des graphes aux représentations de
l'espace économique (avril 1978)
N°28 Emmanuel JOLLES: La théorie des sous-ensembles flous au service de la
décision: deux exemples d'application.(mai 1978)
N°29 Michel PREVOT: Algorithme pour la résolution des systèmes flous (mai 1978)
N°30 Bernard FUSTIER: Contribution à l'analyse spatiale de l'attraction
imprécise (juin 1978)
N°31 TRAN QUI Phuoc: Régionalisation de l'économie française par une méthode de
taxinomie numérique floue (juin 1978)
N° 32 Louis de MESNARD : |_a Dominance régionale et son imprécision,traitement
dans le type général de structure.
-
1
-L'objectif vise par la présente étude consiste à prévoir dans quelle mesure la valeur du taux d'intérêt pratiqué sur le marché des capitaux influence la décision d ’investir d'un agent économique.
Nous avons inscrit notre modèle dans le contexte suivant :
* le décideur a La faculté de répartir son avoir initial et en ^ cl montant
consacré à l'unique activité productrice à sa disposition,
et. prêt consenti au taux (continu) x, ; . Ces deux opérations
ont pour horizon commun & ;
* la valeur (en francs constants) de l'unité d'investissement évolue pendant la
période [o,&] selon un schémadifférentie1 stochastique fondé sur deux paramètres
p et cr* , connus du décideur au moment de son choix; p a la signification d'un
taux moyen de rentabilité et o Z traduit le degré d'incertitude attaché à la
perspective aléatoire ;
* le comportement de l'agent économique est de type bernoullien et de plus sa fonc
tion d'utilité exprime une aversion relative constante (/l*"/|v) à l ’égard du risque.
Outre la simplicité des résultats obtenus et l'évidence de leur interprétation économique nous pensons que militent en faveur de ce modèle d'autres arguments :
4k l'estimation des paramétres est aisée,
* à cause du degré de liberté { A- /|v) l'hypothèse de comportement peut convenir
à une gamme assez vaste d'agents (de nature micro ou macro-économique),
* la souplesse de la formulation mathématique autorise certaines extensions (par exemple, la prise en compte de l'inflation).
1 - L'équation différentielle stochastique d'évolution
Nous supposons acceptable de décrire l'évolution de la valeur de
l'investissement sur
[••*3
au moyen de l'équation :dLX = p X
à X
4- <r X AVJp
t
G" COrv^-O/»^^
,
W
a t t v v 6 > U / y v X - L v w l L ,*(°) » X e > O .
Nous notons en particulier que dans cette représentation le poids du terme aléatoire est directement lié à la valeur de X .
Définissons Y et o< par Y - Lo<j X <jt o( = p __ ÎL .
D'après la formule de Ito (1) :
d Y s & d t + cr d W . Par conséquent Y s Y 0 + o< k + cr V/(t)
et donc
X
sX Q
ca.'b + o* Wtt)j .2 - L'estimation des paramètres de l'équation différentielle
Désignons de manière provisoire (c’est à dire seulement dans ce par a
graphe) par £o , un intervalle de temps pendant lequel l'évolution de
X
a été observée. Nous pouvons alors lui associer les estimateurs suivants : a) Le paramètre <x
La v.cl. _Lo-Cé admet pour moyenne et variance
res-* ^ X o
pectivement <X et 1 . C'est donc un estimateur sans biais de ex ,
*
*
qui converge en moyenne quadratique lorsque fi — ► oo .
b) Le paramètre cr1
Considérons d'abord la v. a.
R
= crrruxx,V/
(t) ^ pouret conditionnée par W (o) = s O . O n montre (2) que la densité de probabilité
de
R
est :f ^
/
2 ^
\
' - 7 I -
'
*°
3
-(la v. o. S = W/r\ crW(,t) ^ soumise au mcmc conditionnement possède une densité
analogue : remplacer par -a , pour -4 < o) .
Ainsi la maximisation de la vraisemblance par rapport à cr
conduit-elle à la v a .
2 R2
Far souci de symétrie et sans diminuer la qualité del'estimateur nous lui substituons la V a . f R 2 + S* 1 d ’espérance cr2 et de
,
i 1
J
variance * cr
Revenant au processus
X
nous constatons alors que l'estimateurretenu pour a* s'écrit : ,
XlF) X U)
î>,y
3 - Les fonctions d'utilité à aversion relative constante
pour
Les fonctions d'utilité a x , à aversion relative constante et définies
^ é.
R
, appartiennent comme on sait à l'une des trois catégories :1)
3)
■y
r
<oPour plus de commodité la fonction logarithmique sera désormais mention
née par la valeur nulle élu paramètre . Avec cette convention l'aversion relative
j
LLU
______-r, vaut toujours A - Xi .
• 0
4 - Taux de rentabilité équivalent
A tout choix d ’une fonction d ’utilité et d ’un horizon correspond le taux
de rentabilité équivalent J défini par :
*
E -u(X(ft)) =-4<0 e
)
il vient :
¡j = f - 0- r ) f 3
( r
**) •
Compte tenu de la formule £ [tvp, W ( £ ) j =, i ) . Ÿ A € R ,
Nous constatons que :
* ÿ est en fait indépendant de et de X o ,
* p s'interprète comme le taux de rentabilité équivalent associé à la fonction
^(
3
) =
3
>
cr1
4 mesure l ’affaiblissement du taux quand on substitue l ’utilité logarithmique
à 1 'utilité linéaire.
5 - Le partage optimal
L'agent économique est supposé répartir son avoir initial a en investis
sement et prêt de façon à maximiser l'espérance mathématique de l ’utilité à la date-ft.
Adoptant les simplifications d'écriture :
^ J =. eoc/p. ,
et nous plaçant dans le cas O < { \ t nous découvrons que le décideur aura pour
objectif d'atteindre le maximum de
= E [ ] ^ £ [ o , 1 } .
Comme les conditions suffisantes de dérivation sous le signe £ (3) sont présentement vérifiées, nous pouvons écrire :
=
e r [ Ü1" ' ()
*
= E
] f -‘ {
Ÿ s<o .
Par conséquent tj? est une fonction concave de "X . D'autre part un
calcul immédiat prouve que cj> (o) et cp (\ ) ont même signe respectivement que
p - X et p - - 1 . Finalement trois cas sont à distinguer pour
évaluer la valeur optimale \ ;
* ^ « p -
<rX
ï
o
* 1 \
--V j
Ces mêmes conclusions restent valables pour 'Jv ^ © .
/V
6 - Variation de A en fonction de x ( o < y. < 1 )
Seul le cas x €.] p - (1 - «r3, , p £ reste indécis :
- o <j=^ E ( ) = o .
Différencions cette dernière équation par rapport 5 \ et X ;
E (('[
v-1) 0 ]1''
î( )lj i >
+ = o .
r-Le coefficient de d'X est négatif. Quant à celui de cm* , après
division par -d e / ^ il s'écrit :
(/jv - -1J H.
[ 0 ] r
-r orY li&))^
— ^ ^
^
J
.Il est donc aussi négatif. Par suite "X décroît quand X augmente.
7 - Taux d'intérêt et incitation à investir
Les calculs précédents montrent que le montant investi s'élève exactement
au niveau cx0 pour les valeurs de X solutions de \ (¿) » — 1- .
et
Dans l'hypothèse où o < '(v < 4 o < a u < cl t nous pouvons affirmer d'après
le paragraphe 6. qu'une seule valeur jl0 du taux d'intéêt convient (la
monotoni-r4
cité de n'a pas été démontrée dans le cas y, ¿o').
L'approximation linéaire
Souvent dans les applications a. représente le niveau minimum à
atteindre et un ordre de grandeur concernant le plafond suffit. Alors l'emploi
(prudent) de l'interpolation linéaire simplifie considérablement les calculs et
l'interprétation économique. Plus précisément la condition À p - ~ ( A - /|v) <rl
s ' e x p r i m e a i s é m e n t à l ' a i d e de4 :
CL*
1
* — L incitation a* investir * ( p , <r J paramétrés conjoncturels
