Exploration de la méthode adjointe pour le contrôle
de l’erreur en mécanique des fluides numérique
Mémoire
Alexandre Carrier
Maîtrise en génie mécanique
Maître ès sciences (M.Sc.)
Québec, Canada
Exploration de la méthode adjointe pour le contrôle
de l’erreur en mécanique des fluides numérique
Mémoire
Alexandre Carrier
Sous la direction de :
III
R
ÉSUMÉDans ce mémoire, une approche de calcul de sensibilité utilisée dans le domaine de l’optimisation, appelée la méthode adjointe, est explorée pour estimer et contrôler efficacement l'erreur en mécanique des fluides numérique (MFN). Les développements effectués ont été greffés à Fluent, un logiciel commercial.
L'erreur est calculée en effectuant le produit scalaire du vecteur d’erreur de troncature liée à chaque équation de bilan et du vecteur des variables adjointes. Ces dernières sont intrinsèquement liées à une fonctionnelle sélectionnée par l'utilisateur (le rendement, la traînée, les pertes, etc.). En adaptant le maillage avec cette estimation d’erreur, l’adaptation devient très orientée vers le but spécifique de la simulation.
Les résultats obtenus montrent que la méthode adjointe permet d’identifier les régions sensibles de la simulation. En adaptant la taille, l’étirement et l’orientation des cellules du maillage en conséquence, il est alors possible d'améliorer la précision numérique ou encore de limiter la taille de maillage requise pour une précision donnée.
Quoique se limitant aux cas 2-D stationnaires, les résultats obtenus laissent entrevoir que les maillages adaptés représentent une amélioration substantielle comparativement aux maillages structurés utilisés actuellement. À terme, l’intégration des techniques d’adaptation dans les processus de simulation pourrait fortement influencer les façons de faire de l’Institut de Recherche d’Hydro-Québec (IREQ) ainsi que du Laboratoire de Machines Hydrauliques (LAMH) de l’Université Laval.
IV
T
ABLE DES MATIÈRESRésumé ... iii
Table des matières ... iv
Liste des tableaux ... vi
Table des figures... vii
Remerciements ... ix
1 Introduction ... 1
1.1 Contexte ... 1
1.2 Méthode adjointe ... 5
1.3 Objectifs et structure du mémoire ... 6
2 Calcul de la dynamique des fluides ... 9
2.1 Équations générales ... 9
2.2 Turbulence ... 10
2.2.1 Équation du mouvement moyen – RANS, URANS, LES, DES ... 11
2.2.2 Modèle de turbulence ... 13
2.2.3 Couche limite ... 15
2.3 Méthodes numériques ... 16
2.3.1 Différences finies et concepts fondamentaux – exemple ... 16
2.3.2 Volumes finis appliqués aux équations RANS ... 20
3 Optimisation ... 25
3.1 Calcul des dérivées ... 27
3.2 Algorithmes d’optimisation ... 28
3.3 Analyse de sensibilité ... 29
3.3.1 Approche directe ... 31
3.3.2 Approche adjointe ... 33
3.4 Exemple et utilisation concrète ... 34
4 Estimation de l’erreur ... 45
4.1 Erreur basée sur le Hessien ... 45
4.2 Estimation des ordres tronqués par ré-évaluation des résidus ... 49
4.2.1 Analyse ponctuelle des résidus ... 49
V
4.3 Pondération des résidus par l’adjoint ... 54
5 Adaptation du maillage ... 59
5.1 Adaptation isotrope ... 60
5.2 Adaptation anisotrope ... 62
5.2.1 Géométrie continue ... 62
5.2.2 Métrique ... 63
5.2.3 Méthodologie d’adaptation de maillage ... 66
6 Résultats ... 71
6.1 NACA 0012, validation ... 71
6.2 NACA 0012, limites ... 79
6.3 Distributeur de turbine hydraulique ... 85
7 Conclusion ... 92
Bibliographie ... 96
Annexe A – Équations paramétriques de la géométrie du distributeur ... 99
Annexe B – Développements des équations générales ... 101
B.1 Conservation de la masse ... 103
B.2 Conservation de la quantitée de mouvement linéaire ... 104
B.3 Conservation de la quantité de mouvement angulaire ... 105
B.4 Loi de comportement ... 107
B.5 Conservation de l’énergie ... 109
B.5 Hypothèses et fermeture des équations continues ... 112
B.5.1 Équation de Poisson ... 115
B.5.2 Formulation «pseudotransient»... 116
Annexe C – Informations supplémentaires ... 117
C.1 Analyse de stabilité ... 117
VI
L
ISTE DES TABLEAUXTableau 1 : Comparaison de la précision des trois méthodes d’estimation d’erreur sur un maillage de 40k nœuds. ... 56 Tableau 2 : Résultats d’adaptation de maillage (profil NACA0012, 𝜶 = 𝟏𝟎°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). ... 56 Tableau 3 : Composition de la traînée totale (profil NACA0012, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). ... 74
VII
T
ABLE DES FIGURESFigure 1: Pertes de pression totale dans des simulations d’écoulement dans différentes composantes d’une turbine hydraulique en fonction de la taille moyenne de la discrétisation spatiale, tirée de [1]. En
haut à gauche: l’amenée; en haut à droite : le distributeur; en bas: l’aspirateur. ... 2
Figure 2: Comparaison de la viscosité effective (échelle logarithmique) entre les méthodes URANS et DES (profil NACA0012, 𝜶 = 𝟏𝟖°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). ... 13
Figure 3: Molécule de calcul du schéma amont appliqué à l’équation d’onde. ... 18
Figure 4: Résolution de l’équation d’onde 1-D avec un schéma amont (upwind) pour différents nombres de Courant au temps t=4s (Δx=0.05). ... 19
Figure 5: Résolution de l’équation d’onde 1-D avec un schéma Amont pour différents nombres de Courant (Δx=0.001). ... 20
Figure 6: Nomenclature d'un maillage 2-D. ... 21
Figure 7: Principe des algorithmes locaux. ... 25
Figure 8: Représentation graphique de sin(x)/x. ... 27
Figure 9: Comparaison de deux algorithmes d'optimisation. ... 29
Figure 10: Profil au temps 𝒕 = 𝟎𝒔 et 𝟐𝒔 calculé versus profil final désiré (C=0.98). ... 30
Figure 11: Molécule de calcul du schéma amont appliqué à l’équation d’onde adjointe (3.19). ... 38
Figure 12: Résumé du processus d’optimisation. ... 39
Figure 13: Contours illustrant le résultat de l’équation d’onde dans l’espace et dans le temps (C=0.98). 40 Figure 14: Contours illustrant le résultat de l’équation d’onde adjointe dans l’espace et dans le temps (C=0.98). ... 41
Figure 15: Comparaison de la convergence de deux algorithmes d’optimisation. ... 42
Figure 16: Résultat de l’optimisation de la vague au temps 0 et 2s (C=0.98). ... 42
Figure 17: Comparaison entre la formulation continue et discrète des équations adjointes. ... 44
Figure 18: Interpolations linéaire et quadratique d’une variable d’état. ... 47
Figure 19: Triangle d’intégration. ... 48
Figure 20: Maillage adapté avec une estimation d’erreur de troncature par différences finies (profil NACA0012, 𝜶 = 𝟏𝟎°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). ... 50
Figure 21: Grille fine implicite. ... 51
Figure 22: Maillage adapté avec les résidus calculés sur un maillage raffiné implicitement (profil NACA0012, 𝜶 = 𝟏𝟎°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). ... 52
Figure 23 : Erreur agissant sur la traînée calculée selon la méthode grille fine avec adjoint pour 4 itérations différentes, A) couche limite, B) aile et C) champ lointain (profil NACA0012, 𝜶 = 𝟏𝟎°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴, 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒆 = 𝟏𝒎). ... 58
Figure 24 : Adaptation isotrope par nœuds flottants sur un maillage en «C». ... 60
Figure 25 : Illustration de découpe d’une cellule avec nœuds flottants utilisée par Fluent. ... 61
Figure 26 : Caractérisation d’un triangle grâce à une ellipse. ... 64
Figure 27 : Procédure de simulation avec contrôle de la qualité de la discrétisation spatiale. ... 70
Figure 28 : Validation du calcul de la traînée issue d’une adaptation de maillage basée sur l’erreur de la fonctionnelle de traînée avec 𝜶 = 𝟎° et 𝜶 = 𝟏𝟎°. ... 72
Figure 29 : Processus d’adaptation (profil NACA0012, 𝜶 = 𝟏𝟎°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). ... 73
VIII
Figure 31 : Maillage final de la méthode adjointe de référence, différents agrandissements (profil
NACA0012, 𝜶 = 𝟏𝟎°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). ... 77
Figure 32 : Maillage final de la méthode adjointe de référence, aile et bord de fuite (profil NACA0012, 𝜶 = 𝟎°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). ... 78
Figure 33 : Différence absolue de la vitesse entre la 5e et 20e itération du processus d’adaptation utilisant l’approche adjointe de référence (profil NACA0012, 𝜶 = 𝟎°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). ... 79
Figure 34 : Signal temporel du coefficient de portance (profil NACA0012, 𝜶 = 𝟏𝟖°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴)... 81
Figure 35 : Validation de calculs de la portance autour du décrochage (profil NACA0012, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). .... 81
Figure 36 : Maillage adapté avec le calcul adjoint et contours de vitesse (profil NACA0012, URANS, 𝜶 = 𝟐𝟎°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). ... 83
Figure 37 : Comparaison entre le champ logarithmique de vorticité calculé en URANS et en DES (profil NACA0012, 𝜶 = 𝟏𝟖°, 𝑹𝒆 = 𝟔𝑴). ... 84
Figure 38 : Maillage adapté d’un passage du distributeur, vue complète (copies circonférentielles du passage simulé). ... 87
Figure 39 : Comparaison des pertes de charge dans un distributeur entre les différents processus d’adaptation et un raffinement uniforme classique. ... 88
Figure 40 : Maillages issus des différentes techniques avec isoplèthes de vitesse. ... 89
Figure 41 : Différence logarithmique de la vitesse entre différents maillages (distributeur). ... 91
IX
R
EMERCIEMENTSÀ mes débuts comme étudiant en ingénierie, lorsque j’avais peu voire pas de connaissance en mécanique des fluides, j’ai entendu parler de la CFD. Ça m’a immédiatement fasciné de savoir qu’il était possible d’anticiper le comportement de la nature à l’aide de calculs numériques. J’avais la passion, mais c’est seulement grâce à Mme Claire Deschênes, ma directrice de recherche, que j’ai eu la chance d’être initié à la CFD lors d’un stage d’été. Mes apprentissages, je les ai faits en travaillant avec la formidable équipe d’étudiants du Laboratoire de Machines Hydrauliques (LAMH) de l’Université Laval. Parmi eux, Sébastien Houde m’a présenté aux gens de l’Institut de Recherche d’Hydro-Québec (IREQ). Grâce à lui, j’ai eu la chance de côtoyer pendant deux stages une équipe de chercheurs hors-normes. J’ai alors participé à des projets actuels et concrets et j’ai utilisé ce qui se fait de mieux en termes d’outils numériques commerciaux. En dehors du travail, merci à Federico Torriano et tous les autres chercheurs-athlètes pour votre soutien moral!
C’est à ce moment que j’ai rencontré Jonathan Nicolle, mon codirecteur, un chercheur d’une grande intelligence, mais surtout un individu attentionné. Je voulais faire ma maîtrise en CFD, mais c’est lui qui m’a orienté vers la méthode adjointe. Nous étions deux néophytes sur le sujet et, encore maintenant, il nous en reste énormément à apprendre, mais je suis très fier de ce que nous avons accompli.
Je tiens à remercier tous ceux qui ont pris la peine de s’intéresser à mon travail et qui y ont grandement participé grâce à leurs commentaires, merci à Anne-Marie Giroux, Paul Labée, Yvan Maciel, Jean-Deteix, bien sûr mes directeurs et bien d’autres.
Pour les moyens, merci à M. Christian Semler de Simutech Montréal de m’avoir facilité l’accès aux logiciels commerciaux de la suite ANSYS. Il est difficile s’attaquer à un sujet spécifique en CFD sans avoir accès à des bases solides. Merci aussi aux organismes subventionnaires du CRSNG et du FQRNT pour les bourses et à Hydro-Québec qui investit beaucoup d’argent dans les universités afin de favoriser l’innovation et la formation de chercheur dans des domaines clés. Un dernier mot pour Josée Picard-Arsenault, je tiens à te remercier pour ta patience et ton amour à distance.
1
1 I
NTRODUCTIONCette section définit d’abord brièvement ce qu’est la mécanique des fluides numérique (MFN ou CFD selon son sigle anglophone plus répandu, Computational Fluid Dynamics) et les défis qui l’accompagnent. Dans la deuxième partie, les avancées majeures des dernières années concernant la méthode adjointe sont présentées. Finalement, l’objectif du mémoire est défini. Ce dernier vise à rendre plus fiables et efficaces les simulations CFD grâce à la méthode adjointe.
1.1 CONTEXTE
Dans le secteur hydroélectrique, les simulations numériques constituent aujourd’hui le principal outil d’analyse et de conception des turbines, tant pour les nouvelles machines que pour les machines existantes. La CFD est un outil informatique permettant de prévoir l’écoulement d’un fluide autour ou dans une géométrie. Par exemple, elle est utilisée pour estimer le rendement hydraulique et les forces appliquées à la structure sans la nécessité de débourser des sommes importantes dans la fabrication de modèles réduits. Ce dernier point s’applique surtout en conception. Pour Hydro-Québec, les bénéfices sont différents, puisque ces simulations peuvent aider à la gestion de leurs parcs hydroélectriques afin d’augmenter leur profitabilité et de diminuer les maintenances dues à une utilisation inadéquate des turbines. Or, la CFD est un processus fastidieux qui nécessite une connaissance approfondie de la dynamique des fluides et de nombreux calculs avant d’obtenir des résultats fiables et accessibles. Une des principales sources d’erreur provient de la discrétisation spatiale du domaine de calcul. Cette étape, coûteuse en temps pour le numéricien, se traduit concrètement par la création d’un maillage décrivant l’espace simulé. En considérant que les requis en matière de précision sont souvent difficiles à obtenir dans ce type d’applications industrielles complexes, il est impératif de contrôler l’erreur de troncature liée à la discrétisation (souvent appelée erreur de discrétisation). Certaines approches sont utilisées depuis longtemps pour vérifier l’indépendance entre la solution et le maillage et ainsi pouvoir s’assurer que l’erreur de discrétisation est faible. Toutefois, ces dernières semblent difficilement applicables dans des situations complexes.
2
Ce projet de maîtrise a été réalisé dans le cadre d’un partenariat entre le Laboratoire de Machines Hydrauliques (LAMH) de l’Université Laval et Hydro-Québec. Le but principal du partenaire industriel est la mise en place d’une plateforme d’essai virtuelle de qualité. De cette manière, Hydro-Québec peut prendre des décisions éclairées concernant son parc de turbines. Le fait qu’Hydro-Québec soit un monopole public teinte également le rapport qu’elle entretient avec la recherche. En d’autres mots, les échanges en recherche y sont facilités du fait qu’Hydro-Québec n’a pas de compétiteur. Cette position favorise la diffusion des problèmes et non seulement des résultats positifs en recherche comme ceux liés à la précision des simulations. Magnan et coll. [1] ont publié un article soulignant ce problème. La Figure 1 présente quelques-uns de leurs résultats en fonction de la densité du maillage.
Figure 1: Pertes de pression totale dans des simulations d’écoulement dans différentes composantes d’une turbine hydraulique en fonction de la taille moyenne de la discrétisation
spatiale, tirée de [1]. En haut à gauche: l’amenée; en haut à droite : le distributeur; en bas: l’aspirateur.
3
L’approche illustrée ci-dessus est utilisée couramment afin de vérifier l’indépendance de la solution du maillage [2][3]. Elle consiste à effectuer trois simulations issues de raffinements successifs. La taille moyenne (ℎ) est obtenue à l’aide de la racine cubique du volume moyen. Les courbes se lisent de droite à gauche et la valeur recherchée, aussi appelée fonctionnelle ou quantité d’ingénierie, converge vers la gauche. Si les résultats des simulations tendent vers une valeur, une précision relative à la valeur extrapolée peut être estimée. Dans cet exemple, les pertes en pression totale représentent la fonctionnelle à l’étude. De manière générale, la vérification du maillage, lorsqu’il y en a une, se limite à cette procédure. À la Figure 1, il est généralement possible de prendre trois points et de dire que la discrétisation est vérifiée. Toutefois, en considérant d’autres topologies de maillage, la situation est alarmante. Pour le distributeur, l’extrapolation mène à deux valeurs différentes dépendant du logiciel utilisé. Pour l’aspirateur, bien que certains points tendent vers une valeur constante, d’autres ne présentent pas le comportement asymptotique attendu. Le portrait d’ensemble ne permet pas d’avoir confiance dans les résultats.
Théoriquement, il serait possible de raffiner encore et encore. On s’attendrait subséquemment à un gain notable en précision. Toutefois, les simulations sont tridimensionnelles, donc pour chaque réduction de moitié de la taille de chaque côté des volumes le nombre de points de calcul est multiplié par 8. Même avec la puissance informatique actuelle et la parallélisation, un calcul peut prendre des jours, des semaines, voire des mois. Le prix d’un raffinement systématique est souvent jugé trop élevé pour être justifié.
Lorsque les résultats numériques obtenus ne sont pas représentatifs de ce qui est observé expérimentalement, il est fréquent de voir des auteurs se tourner vers des modèles numériques de plus en plus complexes. Dans certains cas, c’est plutôt l’erreur de discrétisation qui est trop importante. Dans ces cas, il aurait donc fallu analyser a priori la discrétisation en utilisant des modèles plus simples. Par exemple, les méthodes ayant une dimension temporelle sont souvent nécessaires dans les aspirateurs de turbines hydrauliques lorsque de forts phénomènes instationnaires s’y produisent. Cependant, il ne faut pas y recourir dans tous les cas. D’ailleurs, il faut noter que ces méthodes plus complexes sont tout autant, sinon plus, sujettes à l’erreur de discrétisation. On repousse alors la principale cause de défaillance des simulations, rendant sa
4
correction encore plus laborieuse. La citation suivante, légèrement modifiée (entre crochets), montre que ce penchant hâtif vers les modèles complexes n’est pas nouveau.
«The discretization error does not disappear just because one uses a [complex] turbulence model!» , Roache (1990) [4]
C’est souvent dans un souci pragmatique que ces auteurs cherchent une solution par une autre voie qu’en raffinant davantage leur maillage. Au-delà d’un certain stade, les calculs complexes qu’ils veulent effectuer sont tout simplement trop coûteux. Dans ces circonstances, il leur est impossible de diviser successivement la taille de leur maillage jusqu’à être totalement certain de pouvoir négliger l’effet de l’erreur de discrétisation. Aucune solution pratique ne s’offre à eux. Ultimement, une optimisation du maillage visant à réduire le coût de calcul tout en limitant l’erreur de discrétisation serait la solution. Toutefois, pour cela, il serait nécessaire d’évaluer localement la taille et l’orientation optimales des cellules du maillage. Une telle méthode n’existe pas actuellement sur le marché.
L'utilisation de maillages non structurés pour les simulations CFD permet une plus grande liberté dans l'adaptation de la discrétisation des mailles pour améliorer la fidélité de la simulation. De nombreux auteurs ont tenté d'adapter la discrétisation des maillages autour des phénomènes impliquant de fortes variations des variables d’état [5][6]. Des estimateurs d’erreur basés sur l’erreur de troncature et d’interpolation ont été utilisés. Ces méthodes adaptatives concentrent la résolution sur les phénomènes causant de grande variation de vitesse, et non autour où l’écoulement amont qui les affecte. Par exemple, les décollements sont souvent dépendants de l’écoulement environnant où les gradients peuvent être beaucoup plus faibles. Ainsi, de très faibles erreurs d’interpolation peuvent alors causer de grandes différences. La minimisation stricte de l’erreur de troncature ou d’interpolation ne garantit pas un bon résultat. Une pondération de l’importance des erreurs de troncature est donc nécessaire.
Heureusement, une nouvelle approche de calcul des sensibilités, de plus en plus utilisée dans le domaine de l’optimisation géométrique, semble être applicable au problème de l’erreur de discrétisation. Cette dernière se nomme la méthode adjointe.
5 1.2 MÉTHODE ADJOINTE
La méthode adjointe n’est pas une nouveauté. Quoique son utilisation commence seulement à apparaître en mécanique des fluides numérique au niveau des logiciels commerciaux, elle est depuis longtemps utilisée en théorie de la commande optimale. Jacques-Louis Lions (1928-2001), mathématicien français et premier président de l’Institut National de Recherche en Informatique et en Automatisation (INRIA), fut une pierre angulaire dans ce domaine avec son livre Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des EDP [7]. Ce n’est donc pas une surprise que l’INRIA contribue encore aujourd’hui énormément au développement et à l’application de la méthode adjointe. En dynamique des fluides, c’est Olivier Pironneau, professeur émérite de l'Université Pierre et Marie Curie au Laboratoire Jacques-Louis Lions, qui a appliqué la méthode pour la première fois [8]. Une partie du crédit est aussi accordé à Antony Jameson, sommité dans le domaine du contrôle, qui appliqua la méthode à l’optimisation géométrique [9]. La forte valeur ajoutée de cette application de la méthode est réalisée en aéronautique.
La méthode générale fait naître plusieurs autres types d’applications, peut-être plus difficilement vulgarisables que l’optimisation géométrique, en raison de leur effet indirect sur le résultat recherché. Toutefois, elles sont toutes aussi importantes dans le processus de simulation. En ce qui concerne l’estimation d’erreur et l’adaptation de maillage avec la méthode adjointe, plusieurs étudiants du MIT sous la direction du professeur David L. Darmofal ont contribué au développement de cette application. Entre autres, David Anthony Venditti [10] a, dans sa thèse, comparé l’adaptation issue du Hessien du nombre de Mach et l’adaptation issue de l’estimation d’erreur que procure la méthode adjointe sur des cas 2-D. Ses résultats d’adaptation sur des maillages non structurés sont très prometteurs. Ils ont d’ailleurs mené à plusieurs autres études incluant entre autres des adaptations tridimensionnelles et l’application au modèle RANS, Fidkowski et Darmorfal en font un bon résumé [11].
Arnaud Barthet, doctorant dans le cadre d’une collaboration entre l’Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse et Airbus, a réussi à corriger sa fonctionnelle avec une estimation d’erreur basée sur la méthode adjointe dans le cas de calculs utilisant les équations RANS et des maillages structurés [12]. Ce type de maillage est souvent utilisé afin de bien calculer la couche limite. Sa
6
correction pointe généralement vers la solution espérée, mais ne permet pas nécessairement de converger plus vite vers cette dernière. Dans son cas, la «bonne solution» est obtenue par un maillage extrêmement fin, ce qui implique un coût de calcul prohibitif. L’adaptation de maillage représente une solution qui permettrait de converger vers cette «bonne solution» rapidement et économiquement. L’adaptation isotrope par ajout de points de calcul produit des résultats adéquats, mais demeure trop coûteuse. Une adaptation anisotrope a aussi été tentée sur des maillages structurés, mais cette dernière n’est pas maîtrisée et aucun résultat tangible n’en ressort. Le «potentiel formidable» d’une telle méthode est toutefois évident.
Djaffar Ait-Ali-Yahia et coll. ont expliqué à l’aide de plusieurs exemples pourquoi les maillages structurés ne sont pas adéquats dans des processus d’adaptation anisotrope [12].
L’INRIA a aussi beaucoup participé à ce champ d’études en mettant en place des méthodes d’adaptation isotropes et anisotropes sur maillages non structurés sans inclure la méthode adjointe [13][14].
En résumé, pour les équations RANS, une estimation d’erreur sur la fonctionnelle peut être calculée. Toutefois, ces estimations d’erreur et ces adaptations de maillages ne sont pas présentes dans les logiciels commerciaux ni largement documentées dans un contexte d’écoulement interne où les couches limites ont un effet considérable. Différents auteurs [15] soulignent la piètre performance des maillages de tétraèdres dans la couche limite. Il serait utile de vérifier si cette remarque concernant les maillages non structurés est correcte ou si elle dépend plutôt de la manière de construire ces maillages.
1.3 OBJECTIFS ET STRUCTURE DU MÉMOIRE
Dans la mise en place d’un laboratoire virtuel basé sur des modèles numériques, il faut que les modèles
1- aient été validés, 2- aient été vérifiés et que
7
Des procédures standards existent pour l’ensemble de ces points [2]. Cependant, les méthodes présentées pour effectuer les points 2 et 3 ne sont pas toujours applicables. Le coût informatique devient rapidement trop élevé et les résultats obtenus sont souvent peu concluants. Ce dernier point est particulièrement vrai pour des modèles RANS d’écoulements incompressibles internes à haut nombre de Reynolds. L’objectif de ce mémoire est d’utiliser les propriétés de la méthode adjointe afin de développer des outils répondant efficacement aux besoins de vérification et de quantification et de contrôle de l’erreur de discrétisation. Plus précisément, une méthodologie permettant d’identifier et de contrôler efficacement l’erreur de discrétisation sera construite. Cet élément constitue le cœur du travail.
Toutefois, cela ne se fera pas en livrant un produit fini, mais bien des connaissances générales permettant de comprendre et d’utiliser adéquatement une telle méthode. Plusieurs hypothèses liées aux caractéristiques de l’écoulement sont à la base des méthodes de calcul en CFD. Normalement, les modèles de résolution utilisés ont déjà été validés. Il est donc possible de savoir pour quels types spécifiques d’écoulements ils performent bien ou non. Toutefois, dans des situations complexes, certaines caractéristiques de l’écoulement sont, a priori, inconnues. Les équations RANS, qui sont les plus utilisées dans les simulations de turbomachines, comportent des hypothèses qui peuvent produire d’importantes sources d’erreurs de modélisation. Quelques-unes seront présentées, notamment celles liées à l’instationnarité et à la turbulence, mais ne feront pas l’objet d’une étude approfondie. Les objectifs spécifiques de cette maîtrise seront :
1) comprendre et décrire les notions d’optimisation qui introduisent la méthode adjointe et les différents types d’erreurs en CFD (modélisation, discrétisation),
2) développer et valider une méthode d’adaptation basée sur les variables adjointes afin de contrôler efficacement l’erreur de discrétisation,
3) comparer l’efficacité de la méthode adjointe avec la méthode de raffinement systématique fréquemment utilisée pour les turbines hydrauliques.
Les sections 2.1 et 2.2 présentent les équations utilisées dans ce travail et la manière dont la turbulence est traitée. Ensuite, la section 2.3 définit ce qu’est l’erreur de discrétisation, aussi
8
appelée erreur de troncature, et explique pour quelle raison cette dernière est difficile à évaluer. Quelques notions de base en optimisation sont présentées en début de chapitre 3 afin d’introduire la méthode adjointe décrite à la section 3.3.2 et de comprendre un exemple d’application simple en 3.4. À ce stade, tous les outils nécessaires seront acquis et ils seront utilisés au chapitre 4 par différentes méthodes de représentation de l’erreur de discrétisation. Quelques résultats d’adaptation y sont présentés afin d’évaluer leur performance respective. Les mécanismes d’adaptation de maillage sont détaillés au chapitre 5. Finalement, au chapitre 6, la méthode développée permettant de contrôler l’erreur de discrétisation est validée avec quelques mesures expérimentales. Ses limites sont exposées et sa performance est comparée à celle d’un raffinement systématique effectué sur un maillage structuré.
9
2 C
ALCUL DE LA DYNAMIQUE DES FLUIDES 2.1 ÉQUATIONS GÉNÉRALESPour bien réaliser le sens physique et les limitations des différentes équations décrivant la dynamique des fluides, il importe de connaître les hypothèses qui leur sont propres. Ces notions sont cruciales afin poser les hypothèses appropriées dans les simulations et ainsi obtenir le meilleur compromis entre le temps de calcul et la précision souhaitée liée à l’erreur de modélisation. La première hypothèse posée est celle du «continuum». Il est supposé que les variables d’état (pression, vitesse, etc.) sont continues dans l’espace et dans le temps. De cette manière, la physique classique peut être décrite grâce à des fonctions mathématiques continues et dérivables. Bien sûr, en ingénierie, il existe rarement de solutions analytiques aux équations continues. Pour résoudre, plusieurs calculs complexes ont recours à la discrétisation. La discrétisation peut être vue comme une approximation qui est à une source d’erreur que l’ingénieur doit évaluer : l’erreur de
discrétisation.
Lors de la maîtrise, je me suis efforcé de parcourir la démarche qui a mené aux équations que j’utilise en insistant sur les hypothèses posées. Quoique cela fût nécessaire à l’accomplissement de mon travail, on tient pour acquis que le lecteur est à l’aise avec ces notions. Par conséquent, elles sont seulement présentées en annexe B. Deux équations sont cruciales, l’équation de conservation de la masse (écrite sous forme indicielle),
𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝑣𝑖 𝜕𝜌 𝜕𝑥𝑖 + 𝜌 𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑥𝑖 = 0 (2.1) où 𝜌 : densité, 𝑣 : vitesse du fluide, et les équations de Navier-Stokes,
𝜌 (𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑡 + 𝑣𝑗 𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑥𝑗) = 𝜌𝑔𝑖− 𝜕𝑝 𝜕𝑥𝑖+ 𝜇 3 𝜕 𝜕𝑥𝑖( 𝜕𝑣𝑘 𝜕𝑥𝑘) + 𝜇 𝜕2𝑣 𝑖 𝜕𝑥𝑗2 (2.2) où 𝜇 : viscosité dynamique,
10 2.2 TURBULENCE
La difficulté de résoudre un problème en fluide est souvent liée à la turbulence. C’est un phénomène représenté par la non-linéarité du terme d’advection (𝑣𝑗𝜕𝑣𝜕𝑥𝑖
𝑗) de l’équation (2.2). Elle implique des
structures complexes difficilement calculables dans l’écoulement et son intensité est estimée grâce au nombre de Reynold [17],
𝑅𝑒 =𝜌𝑈𝐿
𝜇 , (2.3)
où 𝑈 : vitesse caractéristique, 𝐿 : longueur caractéristique.
L’intensité de ces structures est généralement mesurée sous forme d’énergie cinétique turbulente. Lewis Richardson (1922) suggère l’idée d’une cascade d’énergie vers les plus petites échelles qui, ultimement, dissipent l’énergie en chaleur. En 1941, Kolmogorov développe une loi statistique qui décrit le comportement de la turbulence homogène isotrope. Ainsi, les petites échelles de la turbulence, isotropes ou presque, peuvent être bien modélisées contrairement aux grandes structures anisotropes qui interagissent avec l’écoulement moyen. Par conséquent, lorsque de grandes structures anisotropes sont présentes au cœur d’un écoulement où le nombre de Reynolds est élevé, il est très difficile de résoudre l’écoulement précisément en raison du coût de calcul que cela implique.
Cette section présente l’interconnexion du calcul et de la modélisation. Le calcul est la résolution des équations de bilan comme présenté jusqu’ici tandis que la modélisation est l’utilisation de lois et de corrélations empiriques. Sans modélisation de la turbulence, le calcul effectué se nomme DNS (Direct Numerical Simulation). Dans ce cas, les domaines spatial et temporel à l’étude doivent être discrétisés de manière à ce qu’ils tiennent compte de la plus petite échelle spatiale et temporelle de la turbulence. Malgré les avancées en calcul de haute performance, cette technique est encore confinée au cadre de la recherche académique puisque le coût de calcul demeure prohibitif lorsque le nombre de Reynolds augmente. L’alternative est de modéliser la turbulence se produisant en dessous d’une certaine échelle spatiale où une isotropie relative peut être considérée. Différentes méthodes classiques de modélisation sont présentées dans cette section.
11
2.2.1 Équation du mouvement moyen – RANS, URANS, LES, DES
Le but de cette partie est de décrire comment interagissent les fluctuations et les valeurs moyennes de vitesse dans l’écoulement. L’ingénieur s’intéresse souvent aux quantités moyennes. Une formulation mathématique permettant de les calculer tout en limitant les coûts de calcul est donc naturelle à adopter.
Les hypothèses d’incompressibilité et de stationnarité allègent le prochain développement. Les équations de continuité et de Navier-Stokes (équations (2.1) et (2.2)) simplifiées avec l’hypothèse d’incompressibilité et de stationnarité sont les suivantes :
𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑥𝑖 = 0, (2.4) 𝜌𝑣𝑗𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑥𝑗 = 𝜌𝑔𝑖− 𝜕𝑝 𝜕𝑥𝑖+ 𝜇 𝜕2𝑣 𝑖 𝜕𝑥𝑗2. (2.5)
D’abord, on réécrit les équations en décomposant les variables en partie moyenne et fluctuante (moyenne de Reynolds [17], d’où Reynolds Average Navier-Stokes (RANS)). Selon les hypothèses posées à la dernière section, il y a seulement deux variables : la vitesse et la pression. La décomposition utilisée pour la vitesse est
𝑣𝑖 = 𝑉𝑖 + 𝑣𝑖′, (2.6)
où 𝑣𝑖 : valeurs instantanées des composantes de vitesse,
𝑉𝑖: valeur moyenne dans l’espace (𝑉𝑖 =Ω1∫ 𝑣Ω 𝑖𝑑Ω = 〈𝑣𝑖〉) ,
𝑣i′ : valeurs fluctuantes de la vitesse.
Pour la suite, la notation 〈 〉, va être adoptée pour la moyenne. Le même type de décomposition est effectué pour la pression. Ensuite, pour développer les équations du mouvement moyen, il faut décomposer les variables d’état dans les équations (2.4) et (2.5) et moyenner les équations. Plusieurs termes dont la moyenne est nulle disparaissent et les équations suivantes sont obtenues :
∂𝑉𝑖 ∂𝑥𝑖 = 0, (2.7) 𝑉𝑖∂𝑉𝑗 ∂𝑥𝑖+ ⟨𝑣𝑖′ ∂𝑣𝑗′ ∂𝑥𝑖⟩ = 𝑔𝑗− 1 ρ ∂𝑃 ∂𝑥𝑗 + ν ∂2𝑉 𝑗 ∂𝑥𝑖2. (2.8)
12
En écrivant différemment le deuxième terme de la dernière équation avec l’aide de l’incompressibilité, on obtient, ⟨𝑣𝑖′∂𝑣𝑗′ ∂𝑥𝑖⟩ = ⟨ ∂(𝑣𝑖′𝑣𝑗′) ∂𝑥𝑖 ⟩ − ⟨𝑣𝑗′ ∂𝑣𝑖′ ∂𝑥𝑖 ⏟ =0 ⟩ =∂⟨𝑣𝑖′𝑣𝑗′⟩ ∂𝑥𝑖 . (2.9) Ce nouveau terme agit comme une contrainte 𝜏𝑖𝑗 dans l’équation du mouvement moyen,
ρ𝑉𝑖 ∂𝑉𝑗 ∂𝑥𝑖 = ρ𝑔𝑗− ∂𝑃 ∂𝑥𝑗 + ∂ ∂𝑥𝑖(μ ∂𝑉𝑗 ∂𝑥𝑖− ρ⟨𝑣𝑖′𝑣𝑗′⟩), (2.10)
où ρ⟨𝑣𝑖′𝑣𝑗′⟩ : tenseur de Reynolds (symétrique).
Ces équations du mouvement moyen (Steady-RANS) s’appliquent à un écoulement stationnaire. C’est ces équations qui seront utilisées majoritairement dans ce mémoire. Une version non stationnaire de ces équations est aussi disponible : Unsteady-RANS (URANS). Toutefois, même si cette méthode capte une partie des caractéristiques instationnaires de l’écoulement, le moyennage utilisé lors de la décomposition ne permet pas toujours de bien capter les instationnarités issues de la turbulence. Par exemple, les tourbillons de Von Karman en aval d’un cylindre à un nombre de Reynolds de ~100 seraient bien représentés, tandis les tourbillons présents autour d’une couche limite partiellement décollée à haut nombre de Reynolds ne le seraient généralement pas (voir Figure 2).
À la prochaine section, on verra que les modèles de turbulence agissent souvent en augmentant virtuellement la viscosité. Les équations URANS ont été développées pour calculer l’écoulement moyen et modéliser pratiquement toute la turbulence. Les variables turbulentes ne sont donc pas adaptées en conséquence lorsqu’on raffine assez le maillage pour calculer une partie des structures turbulentes. D’autres modèles permettent de résoudre partiellement les structures turbulentes. La plus classique se nomme Large Eddy Simulation (LES). Comme son nom l’indique, elle ne résout que les plus grandes structures turbulentes, non pas en utilisant une moyenne de Reynolds, mais bien en utilisant un filtre spatial basé sur la taille du maillage. Les plus petites structures sont pour leur part représentées par le modèle de turbulence. Un mélange entre le LES et le RANS est souvent utilisé, la méthode s’appelle Detached Eddy Simulation (DES). La Figure 2 présente un aperçu des
13 GLIIpUHQFHVHQWUHGHVUpVXOWDWV85$16HW'(6/DGHVFULSWLRQGHFHVVLPXODWLRQVVHWURXYHGDQVOD SDUWLHGHVUpVXOWDWV VHFWLRQ 2QYRLWTXHODPpWKRGH'(6SHUPHWGHPLHX[UpVRXGUHOHVJUDQGHV VWUXFWXUHVWXUEXOHQWHV )LJXUH &RPSDUDLVRQGHODYLVFRVLWpHIIHFWLYH pFKHOOHORJDULWKPLTXH HQWUHOHVPpWKRGHV 85$16HW'(6 SURILO1$&$ࢻ ൌ ૡιǡ ࡾࢋ ൌ ࡹ $YHFOHPRGqOH85$16ODYLVFRVLWpWXUEXOHQWHHVWSOXVpOHYpH /HVVWUXFWXUHVWXUEXOHQWHVVRQW GLVVLSpHV HW PRGpOLVpHV ,O V¶DJLW G¶XQ FRPSURPLV VRXYHQW WUqV UDLVRQQDEOH GH PRGpOLVHU FHV VWUXFWXUHV DX OLHX GH OHV FDOFXOHU j IRUW FRW 6RXYHQW OHV GHX[ PRGqOHV SHUPHWWHQW GH FDOFXOHU FRUUHFWHPHQWOHVJUDQGHXUVJOREDOHVFRPPHODSRUWDQFHHWODWUDvQpH 3DUFRQWUHOHVK\SRWKqVHV5$16SHXYHQWFDXVHUXQHHUUHXUGHPRGpOLVDWLRQQRQQpJOLJHDEOHHW LQGpSHQGDQWHGHO¶HUUHXUGHGLVFUpWLVDWLRQORUVTX¶HOOHVQHVRQWSDVYDODEOHV &RPPHOHEXWG¶LQWURGXLUHOH'(6jFHVWDGHHVWVHXOHPHQWGHVRXOLJQHUOHVOLPLWHVGX5$16OD GHVFULSWLRQGHVDSSURFKHVSHUPHWWDQWGHVpSDUHUODUpVROXWLRQHWODPRGpOLVDWLRQGHODWXUEXOHQFHVH OLPLWHUDjODWKpRULHGpMjSUpVHQWpH3DUGpILQLWLRQODPpWKRGHG¶DGDSWDWLRQGHPDLOODJHTXLVHUD GpYHORSSpHSOXVORLQHVWSURSUHDX[pTXDWLRQV5$16XQLTXHPHQW 0RGqOHGHWXUEXOHQFH /HV DSSURFKHVGpFULWHVjOD VHFWLRQ 5$1685$16'(6HWF SHUPHWWHQWG¶REWHQLUGHV pTXDWLRQV SUDWLTXHV GX SRLQW GH YXH GH OD UpVROXWLRQ QXPpULTXH 7RXWHIRLV FHV PpWKRGHV IRQW
14
apparaître les tensions de Reynolds et ces dernières sont des inconnues supplémentaires. Une multitude d’hypothèses de fermeture a été formulée. En d’autres mots, le système d’équations est fermé grâce à une loi de comportement du tenseur de Reynolds que l’on juge adéquate pour le type d’écoulement à l’étude. Ces modèles ont chacun leurs caractéristiques propres : précision différente selon la nature de l’écoulement, temps de calcul, etc. Comme la modélisation de la turbulence est une vraie boîte de pandore, on se limite ici à la description des modèles de premier ordre à deux équations. Dans ce type de modèle, les tensions de Reynolds sont directement liées au taux de déformation moyen par l’hypothèse de Boussinesq. La démarche est comparable à celle du tenseur des contraintes. On sépare la valeur moyenne de la trace du tenseur et on lie le reste au taux de déformation moyen en considérant que le tenseur de Reynolds est symétrique comme celui des contraintes. On assume aussi un comportement isotrope des structures modélisées, ce qui donne,
−⟨𝑣𝑖′𝑣𝑗′⟩ = − ⟨𝑣𝑚′𝑣𝑚′⟩ 3 δ𝑖𝑗 + ν𝑡( ∂𝑉𝑗 ∂𝑥𝑖 + ∂𝑉𝑖 ∂𝑥𝑗), −⟨𝑣𝑖′𝑣𝑗′⟩ = −2 3𝑘δ𝑖𝑗 + 2ν𝑡𝑆𝑖𝑗, (2.11) où ν𝑡 : Viscosité cinématique turbulente,
𝑘 : Énergie cinétique turbulente (⟨𝑣𝑖′𝑣𝑖′⟩/2),
𝑆𝑖𝑗: Tenseur du taux de déformation moyen.
Toutefois, les tensions de Reynolds ne sont pas une fonction linéaire du gradient de vitesse, donc 𝑘 et ν𝑡 sont deux nouvelles variables inconnues qui varient fortement dans l’écoulement. On peut
utiliser le principe de conservation d’une quantité pour construire une équation de transport pour ces inconnues. Des corrélations empiriques sont utilisées afin de caractériser leur évolution en fonction de l’écoulement calculé. Par exemple, dans ce mémoire, le modèle 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 de 2003 [18] est utilisé. Une manière simple d’écrire l’équation du mouvement pour les modèles à deux équations est d’utiliser une pression et une viscosité corrigée (viscosité effective) :
𝜌𝑉𝑖 𝜕𝑉𝑗 𝜕𝑥𝑖 = 𝜌𝑔𝑗− 𝜕𝑃 𝜕𝑥𝑗+ 𝜕 𝜕𝑥𝑖(𝜇 𝜕𝑉𝑗 𝜕𝑥𝑖+ [− 2 3𝜌𝑘𝛿𝑖𝑗+ 𝜇𝑡( 𝜕𝑉𝑗 𝜕𝑥𝑖+ 𝜕𝑉𝑖 𝜕𝑥𝑗)]) 𝜌𝑉𝑖 𝜕𝑉𝑗 𝜕𝑥𝑖 = 𝜌𝑔𝑗− 𝜕𝑃 𝜕𝑥𝑗− 𝛿𝑖𝑗 𝜕 𝜕𝑥𝑖( 2 3𝜌𝑘) + (𝜇 + 𝜇𝑡) 𝜕2𝑉 𝑗 𝜕𝑥𝑖2 + 𝜇𝑡 𝜕 𝜕𝑥𝑗( 𝜕𝑉𝑖 𝜕𝑥⏟𝑖 =0 ) (2.12)
15 𝜌𝑉𝑖𝜕𝑉𝑗 𝜕𝑥𝑖 = 𝜌𝑔𝑗− 𝜕 (𝑃 +23 𝜌𝑘) 𝜕𝑥𝑗 + (𝜇 + 𝜇𝑡) ∂2𝑉 𝑗 ∂𝑥𝑖2 𝜌𝑉𝑖𝜕𝑉𝑗 𝜕𝑥𝑖− 𝜌𝑔𝑗 + 𝜕𝑃∗ 𝜕𝑥𝑗 − 𝜇𝑒𝑓𝑓 ∂2𝑉 𝑗 ∂𝑥𝑖2 = 0 ,
où ρ⟨𝑣𝑖′𝑣𝑗′⟩ : tenseur de Reynolds (symétrique).
L’équation de mouvement sous cette forme sera utilisée pour le calcul de l’erreur puisque les simulations effectuées comprennent l’hypothèse d’incompressibilité, de stationnarité et un modèle de turbulence de fermeture du premier ordre à deux équations (𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇).
2.2.3 Couche limite
Compte tenu de la condition de non-glissement à la paroi, une grande asymétrie existe au niveau des gradients de vitesse à la paroi. Les variations de vitesse dans la direction normale à la paroi sont très grandes. L’hypothèse de «continuum», qui est à la base de l’approche de calcul utilisée, implique que les volumes de contrôle utilisés soient assez petits pour y calculer des fonctions respectant avec précision les lois fondamentales de la physique. Autrement, une erreur de troncature importante serait produite dans une zone sensible de l’écoulement. Toutefois, cela alourdit de manière non négligeable le calcul. Par conséquent, il peut être avantageux de bien modéliser la couche limite autrement qu’en raffinant le maillage. On a souvent recours à des lois de parois basées sur des corrélations expérimentales [19]. Ces corrélations sont des fonctions empiriques liant deux variables adimensionnelles : la distance adimensionnelle à la paroi 𝑦+ et la
vitesse adimensionnelle 𝑢+. Les quantités adimensionnelles sont définies de la manière suivante:
𝑦+ =𝑢∗𝑦 𝜈 , 𝑢+ = 𝑢 𝑢∗, 𝑢∗ = √ 𝜏𝑤 𝜌 , (2.13) où 𝜈 : Viscosité cinématique,
𝑢∗ : Vitesse de frottement,
𝑦 : Distance à la paroi,
𝜏𝑤: Contrainte de cisaillement à la paroi.
Ces dernières dépendent de l’écoulement et doivent être calculées. Souvent, la valeur de 𝑦+ est
16
La création d’un maillage adéquat est un processus qui n’est pas direct, quelques itérations peuvent être nécessaires afin d’obtenir une transition à une distance optimale de la paroi.
Il faut toutefois rester conscient que la plupart des corrélations empiriques ne sont valides que dans certains types d’écoulements puisqu’elles font abstraction plusieurs caractéristiques de l’écoulement tel que de l’effet du gradient de pression. Dans certain cas, il est nécessaire de résoudre jusqu’à de faible 𝑦+ pour bien représenter l’écoulement.
2.3 MÉTHODES NUMÉRIQUES
Il existe plusieurs manières de résoudre des équations aux dérivées partielles par exemple les différences finies, les volumes finis et les éléments finis. Au sein de ces trois méthodes, on retrouve aussi une multitude de schémas de discrétisation spatiaux et temporels. Cette section aborde les concepts de base des méthodes numériques de la manière la plus simple possible grâce à des exemples utilisant les différences finies. Ces exemples seront repris au chapitre 3 afin d’expliquer la méthode adjointe. Ensuite, puisque ce mémoire concerne les volumes finis, une brève présentation de cette méthode est aussi présente.
2.3.1 Différences finies et concepts fondamentaux – exemple
Pour démontrer les différents concepts de base simplement, la résolution de l’équation d’onde sera effectuée en 1-D à titre d’exemple. L’équation d’onde ou équation d’advection linéaire est l'équation générale qui décrit la propagation d'une onde (une vague). Elle s’écrit de la manière suivante :
𝜕ℎ 𝜕𝑡 + 𝑢
𝜕ℎ
𝜕𝑥= 0 ou ℎ𝑡+ 𝑢ℎ𝑥 = 0, (2.14)
où ℎ : Hauteur de la vague [m],
𝑢 : Vitesse de propagation de la vague (constante) [m/s], 𝑡 : Temps [s],
𝑥 : Position [m].
Afin d’illustrer ce cas, une condition initiale ainsi que les conditions aux limites suivantes ont été posées,
17
ℎ0(𝑥) = ℎ(0, 𝑥) =1 + tanh[10(𝑥 − 0.5)]2 −1 + tanh[100(𝑥 − 1.5)]
2 , −2 ≤ 𝑥 ≤ 8,
ℎ(𝑡, −2) = 0, ℎ(𝑡, 8) = 0. (2.15)
Ensuite, l’équation d’onde peut être réécrite en remplaçant les dérivées en utilisant des séries de Taylor et en négligeant les plus petits termes. Un schéma de différence arrière est construit, mais on peut utiliser d’autres agencements de valeurs offrant différents ordres de consistance et critères de stabilité. Les indices supérieurs 𝑛 font référence à la discrétisation temporelle et les indices inférieurs 𝑗 font référence à la discrétisation spatiale. Dans cet exemple, l’erreur de troncature s’obtient en analysant l’effet combiné des erreurs de troncature en espace et en temps causées par les ordres tronqués,
ℎ𝑗𝑛 − ℎ 𝑗𝑛−1 ∆𝑡 + 𝑢 ℎ𝑗𝑛−1− ℎ 𝑗−1𝑛−1 ∆𝑥 = − ℎ𝑡𝑡(𝑡, 𝑥) 2 Δ𝑡 − 𝑢ℎ𝑥𝑥(𝑡, 𝑥) 2 Δ𝑥 − ⋯ ⏟ 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑞𝑢é𝑠 (𝑂(Δ𝑡,Δ𝑥)) . (2.16) Pour savoir s’il est acceptable de tronquer les termes d’ordres supérieurs, on fait tendre Δ𝑡 et Δ𝑥 vers 0. Si les ordres supérieurs tendent aussi vers zéro, on dit que le schéma est consistant. Un schéma doit être consistant sans quoi il ne pourra converger. Le schéma de différence arrière est un schéma d’ordre 1 en temps et dans l’espace (𝑂(Δ𝑡, Δ𝑥)), c’est-à-dire que son erreur de troncature tend vers zéro à la même vitesse que Δ𝑡 et Δ𝑥 tendent vers 0. Un schéma d’ordre 2 (Δ𝑡2et Δ𝑥2) produirait beaucoup moins d’erreur de troncature. L’erreur de troncature produit de
la diffusion dans la solution. Quand l’erreur de troncature provient des termes d’ordres pairs, on observe surtout de la dissipation. Tandis que lorsqu’ils sont impairs, on observe surtout de la dispersion.
Pour l’équation d’onde, il est possible d’obtenir un schéma ne produisant aucune dissipation. En dérivant l’équation dans le temps et dans l’espace, on peut simplifier et annuler tous les termes tronqués. La démarche est faite pour les termes d’ordres supérieurs seulement, mais elle s’applique similairement sur tous les termes tronqués.
18 ݄௧ ݑ݄௫ ൌ Ͳ ݄௧௧ ݑ݄௧௫ ൌ Ͳǡ ݄௧௫ ݑ݄௫௫ ൌ Ͳ ݄௧௧ ݑሺെݑ݄௫௫ሻ ൌ Ͳ ݄௧௧ ൌ ݑଶ݄௫௫ ݎ݀ݎ݁ݏݐݎ݊ݍݑ±ݏ ՜ െݑ݄௫௫ ʹ ሺȟݐ െ ȟݔሻ െ ڮ (2.17)
'RQF VL RQ GLVFUpWLVH QRWUH SUREOqPH GH PDQLqUH j FH TXH ݑο௧
ο௫ ൌ ͳ DORUV QRWUH VROXWLRQ QH
FRQWLHQGUDDXFXQHGLIIXVLRQ$YHFOHVFRQGLWLRQVDX[OLPLWHVHWODFRQGLWLRQLQLWLDOHRQV¶DSHUoRLW TX¶LOQ¶\DTX¶XQHVHXOHYDOHXULQFRQQXH )LJXUH 0ROpFXOHGHFDOFXOGXVFKpPDDPRQWDSSOLTXpjO¶pTXDWLRQG¶RQGH $LQVLRQSHXWFDOFXOHUVXUWRXWOHGRPDLQHFRQVLGpUpHQGpSODoDQWODPROpFXOHGHFDOFXOGHOD)LJXUH DGpTXDWHPHQWGDQVOHGRPDLQHHWHQXWLOLVDQWO¶pTXDWLRQVXLYDQWH ݄ ൌ ݄ିଵെ ݑοݐ οݔ൫݄ ିଵെ ݄ ିଵିଵ൯Ǥ (2.18) 8QHDXWUHFDUDFWpULVWLTXHLPSRUWDQWHG¶XQVFKpPDHVWODVWDELOLWp/DVWDELOLWpF¶HVWODPDQLqUHGRQW pYROXHO¶HUUHXUGDQVOHFDOFXO(OOHGpSHQGGHODGLVFUpWLVDWLRQ'DQVOHFDVGHQRWUHVFKpPDLOHVW SRVVLEOHGHWURXYHU YRLUDQQH[H&$QDO\VHGHVWDELOLWp TXHOHFDOFXOHVWVWDEOHV¶LOUHVSHFWHOD FRQGLWLRQVXLYDQWH Ͳ ܥ ͳǡ (2.19) R ܥ QRPEUHGH&RXUDQWቀܥ ൌ ݑο௧ ο௫ቁ οݐ οݔ ݄ ݄ିଵ ݄ିଵିଵ
19
Avec ce résultat, il est possible de remarquer une caractéristique importante des équations différentielles : la directionnalité du transfert de l’information. Pour constater cela, il faut remarquer que si la vitesse de propagation de la vague est négative, le schéma est nécessairement instable. Physiquement, avec la structure de la molécule de calcul, on peut comprendre que l’information d’arrivée de la vague doit provenir de la vague elle-même et non d’où il ne se passe rien. Dans le cas observé, puisque le schéma de différence arrière utilise l’information en amont de la vague, il peut être qualifié de schéma amont. Un parallèle peut être fait entre l’équation d’onde et le terme d’advection non linéaire des équations de Navier-Stokes 𝑣𝑗𝜕𝑣𝜕𝑥𝑖
𝑗 . Le sens du transfert de
l’information dépendra alors dans certains cas de la variable vitesse.
Pour clarifier tous ces derniers points visuellement, les résultats des équations (2.14) et (2.15) sont calculés pour différents nombres de Courant. Une solution analytique peut être obtenue avec la méthode des caractéristiques (voir [20] pour informations supplémentaires) :
ℎ(𝑥, 𝑡) = ℎ0(𝑥 − 𝑢𝑡). (2.20)
Figure 4: Résolution de l’équation d’onde 1-D avec un schéma amont (upwind) pour différents nombres de Courant au temps t=4s (Δx=0.05).
Les résultats de la Figure 4 soutiennent bien les points de théorie mentionnés précédemment :
Aucune diffusion/erreur de troncature n’est produite lorsque le nombre de Courant est égal à 1 (𝐶 = 1) en raison de l’annulation des termes tronqués de ce problème (2.17).
20
De la dissipation est causée par les termes tronqués lorsque le nombre de Courant est inférieur à l’unité (𝐶 = 0.8 < 1).
Le calcul diverge lorsque le nombre de Courant ne respecte pas la condition de stabilité (𝐶 = 1.2 > 1). Il est à noter ici que cette condition est propre à ce schéma explicite. Des schémas implicites comme ceux qui seront utilisés plus tard sont par contre stables même si 𝐶 ≫ 1.
Pour la suite, le point le plus important à se souvenir est que l’erreur de troncature est fonction de la taille de la discrétisation (Δx et ∆t). Donc, peu importe la méthode de résolution et le schéma utilisés, si la discrétisation tend vers la continuité (Δx et ∆t → 0), la réponse obtenue tendra elle aussi vers la solution continue de l’équation représentée comme à la Figure 5. Bien sûr, le dernier constat implique que le schéma utilisé soit stable et consistent.
Figure 5: Résolution de l’équation d’onde 1-D avec un schéma Amont pour différents nombres de Courant (Δx=0.001).
Dans cet exemple, la discrétisation est uniforme, mais ce n’est pas obligatoire. Puisque l’erreur causée par les termes tronqués (voir équation (2.16)) est pondérée par des dérivées des variables d’états (ℎ𝑥𝑥, ℎ𝑡𝑡, ℎ𝑥𝑥𝑥, 𝑒𝑡𝑐), il est avantageux de discrétiser le domaine en tenant compte de cela.
2.3.2 Volumes finis appliqués aux équations RANS
Les équations développées précédemment pour les différences finies agissent localement aux nœuds. Toutefois, entre les nœuds rien n’assure le respect des bilans. La méthode des volumes finis utilise plutôt une intégration sur toute la cellule illustrée à la Figure 6. En d’autres mots, elle résout
21 OHVpTXDWLRQVGHPDQLqUHjFHTX¶HOOHVVRLHQWUHVSHFWpHVHQPR\HQQHVXUODFHOOXOH/RFDOHPHQWHQ XQSRLQWGHO¶HVSDFHRQQHUHVSHFWHSDVQpFHVVDLUHPHQWOHVpTXDWLRQV(QG\QDPLTXHGHVIOXLGHV ODSOXSDUWGHVFRGHVFRPPHUFLDX[XWLOLVHQWFHWWHDSSURFKHLQWpJUDOH'DQVOHVGHX[FDVOHVWHUPHV G¶RUGUHVXSpULHXUVVRQWWURQTXpVHWXQHHUUHXUOLpHjODGLVFUpWLVDWLRQHVWSUpVHQWH Faces Noeuds Centroïde de la cellule Cellule )LJXUH 1RPHQFODWXUHGXQPDLOODJH' 0DWKpPDWLTXHPHQWSRXUREWHQLUGHVpTXDWLRQVDSSOLFDEOHVDX[YROXPHVILQLVOHVGpULYpHVGRLYHQW rWUHUHPSODFpHVSDUGHVLQWpJUDOHVVXUIDFLTXHVjO¶DLGHGXWKpRUqPHGHIOX[GLYHUJHQFH න ሬԦ ή ݀ܵ ௌ ൌ න ሬሬԦ ή ܸ݀ Ǥ (2.21) (Q G¶DXWUHV PRWV OD IRUPXODWLRQ LQWpJUDOH SHUPHW GH WUDQVIRUPHU OHV FDOFXOV GH GLYHUJHQFHV YROXPpWULTXHV HQ FDOFXO GH IOX[ DX[ IURQWLqUHV /HV pTXDWLRQV HW VRQW UppFULWHV FL GHVVRXV න߲ሺߩܷሻ ߲ݔ ܸ݀ ൌ න ݊ߩܷ݀ܣ ൌ Ͳǡ (2.22)
22 ∫ 𝜌𝑈𝑗 𝜕𝑈𝑖 𝜕𝑥𝑗𝑑𝑉 𝑉 = ∫ 𝜌𝑔𝑖𝑑𝑉 𝑉 − ∫ 𝜕𝑃 ∗ 𝜕𝑥𝑖 𝑑𝑉 𝑉 + ∫ 𝜇𝑒𝑓𝑓 𝜕2𝑈 𝑖 𝜕𝑥𝑗2 𝑑𝑉 𝑉 ∫𝜕(𝜌𝑈𝑗𝑈𝑖) 𝜕𝑥𝑗 𝑑𝑉 𝑉 = ∫ 𝜌𝑔𝑖𝑑𝑉 𝑉 − ∫ 𝜕(𝑃 ∗δ 𝑗𝑖) 𝜕𝑥𝑗 𝑑𝑉 𝑉 + ∫ 𝜇𝑒𝑓𝑓 𝜕 𝜕𝑥𝑗( 𝜕𝑈𝑖 𝜕𝑥𝑗) 𝑑𝑉 𝑉 ∫ 𝑛𝑗𝜌𝑈𝑗𝑈𝑖𝑑𝐴 𝐴 = ∫ 𝜌𝑔𝑖𝑑𝑉 𝑉 − ∫ 𝑛𝑗𝑃∗δ 𝑗𝑖𝑑𝐴 𝐴 + ∫ 𝜇𝑒𝑓𝑓𝑛𝑗𝜕𝑈𝑖 𝜕𝑥𝑗𝑑𝐴 𝐴 , (2.23) où 𝑛⃗ : vecteur normal à la face (= 𝑛𝑖),
𝑉: Volume de contrôle,
𝐴: Contour du volume de contrôle (surface fermée).
Finalement, pour utiliser la méthode des volumes finis, on peut voir qu’il est nécessaire de calculer quelques valeurs aux faces des cellules à partir de valeurs moyennes volumétriques. Des schémas de discrétisation spatiale sont alors utilisés. Il en existe différents types. L’hypothèse permettant de simplifier les intégrales en sommation est l’utilisation de fonctions linéaires dans les cellules. Lorsque discrétisées, les équations prennent ces formes :
∑ 𝑚̇𝑓 = 0 𝑛𝑏 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠
𝑓=1
,
(2.24) où 𝑚̇𝑓 : flux massique à travers une face de la cellule [kg/s] (= 𝜌𝑈⃗⃗ ∙ 𝑛⃗ 𝐴)𝑓 ,
( )𝑓: valeurs évaluées à la face 𝑓, ∑ (𝑈𝑖𝑚 ̇ + 𝑛𝑗𝑃∗δ𝑗𝑖𝐴 − 𝜇𝑒𝑓𝑓 𝜕𝑈𝑖 𝜕𝑥𝑗𝑛𝑗𝐴)𝑓 𝑛𝑏 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑓=1 + 𝑆 = 0, (2.25) où 𝑆 : Termes sources ou puits dans l’élément de volume (=∫ 𝜌𝑔𝑉 𝑖𝑑𝑉).
Les schémas de résolution sont utilisés différemment en volumes finis qu’en différences finies. Ils servent à calculer la valeur aux faces des cellules. Ensuite, la résolution subséquente pour obtenir une valeur moyenne actualisée sur la cellule est effectuée grâce à des équations similaires aux équations (2.24) et (2.25).
23
Les schémas utilisés pour les équations RANS sont plus difficilement représentables sous forme de molécules de calcul. Par exemple, la direction des schémas amont n’est plus connue. Dans l’équation (2.14), la vitesse de propagation d’onde était constante. Tandis que dans les équations RANS, cette vitesse est une variable du problème. Dans l’exemple de l’équation d’onde, le transfert de l’information était directionnel. Cela faisait en sorte qu’un schéma centré ou aval était instable. De manière générale, ce transfert directionnel est propre au type d’équation aux dérivées partielles analysées (hyperbolique, parabolique ou elliptique). Dans le cas des équations RANS, le caractère directionnel de l’information est plus complexe parce qu’il s’agit d’un système d’équations aux dérivées partielles quasi linéaire. Toutefois, le caractère directionnel du transfert de l’information existe encore à un certain point et agit sur la stabilité du schéma utilisé. L’équation suivante représente les schémas de manière générale,
𝜙𝑓= 𝑊(𝜙0+ ∇𝜙0∙ 𝑟0) + [1 − 𝑊](𝜙1 + ∇𝜙1∙ 𝑟1),
(2.26) où 𝜙0: variable de la cellule amont,
𝜙1 : variable de la cellule aval,
∇𝜙0: gradient évalué pour la variable de la cellule amont,
𝑟0: distance entre le centroïde de la cellule amont et le centroïde de la face 𝑓,
𝜙𝑓:valeur évaluée à la face 𝑓,
𝑊 : pondération ∈ [12, 1] .
Par exemple, un schéma de deuxième ordre centré (𝑊 =12) est considéré précis, puisque ses termes tronqués sont plus faibles que ceux d’un schéma de deuxième ordre amont (𝑊 = 1). Toutefois, des problèmes de convergence résultent souvent de l’utilisation du schéma centré. Le schéma MUSCL [21], disponible dans Fluent, est un compromis entre les deux derniers schémas, une pondération intermédiaire. Les gradients présents dans les schémas sont évalués grâce à la formule de flux-divergence (2.22) (voir les trois étapes de la section 4.1).
Il faut choisir les schémas selon nos besoins et la situation, souvent le schéma stable le plus précis (d’ordre de troncature le plus élevé) est choisi.
Le bagage théorique présenté jusqu’ici est suffisant pour comprendre les sources d’erreurs liées au schéma de discrétisation spatial et être en mesure d’évaluer et manipuler les résidus des
24
équations RANS. Ces derniers points seront importants afin de construire des estimateurs d’erreurs. Puisque les simulations en fluide requièrent des équations et des schémas beaucoup plus complexes que ceux de l’équation d’onde, évaluer l’erreur de troncature sera un défi conséquent et aucune équation explicite ne pourra être développée. Différentes estimations sont présentées au chapitre 4. Une de ces estimations utilise le vecteur adjoint issu des techniques d’optimisation. Il est dès lors pertinent de présenter ces concepts au prochain chapitre.
25
2
37,0,6$7,212QSURILWHUDLFLGXFDUDFWqUHH[SORUDWRLUHGHFHPpPRLUHSRXULQWURGXLUHO¶XWLOLVDWLRQGHODPpWKRGH DGMRLQWH HQ WDQW TXH PpWKRGH G¶RSWLPLVDWLRQ 3RXU FRPSUHQGUH HW DSSUpFLHU OHV DYDQWDJHV GH OD PpWKRGH DGMRLQWH LO HVW QpFHVVDLUH G¶DERUGHU OHV PRWLYDWLRQV LQKpUHQWHV DX GRPDLQH GH O¶RSWLPLVDWLRQHWOHVPpWKRGHVTXLRQWSUpFpGpODPpWKRGHDGMRLQWH
/HEXWGHVPpWKRGHVG¶RSWLPLVDWLRQHVWGHPLQLPLVHURXPD[LPLVHUXQHIRQFWLRQQHOOHHQIDLVDQW YDULHU OHV SDUDPqWUHV GH GHVLJQ GX SUREOqPH 3DU H[HPSOH ORUV GH OD FRQFHSWLRQ G¶XQH WXUERPDFKLQH RQ GpVLUH JpQpUDOHPHQW PLQLPLVHU OHV FRQWUDLQWHV j OD VWUXFWXUH HW PD[LPLVHU OH UHQGHPHQWHQPRGLILDQWOHVSDUDPqWUHVFRPPHJpRPpWULHRXOHVFRQGLWLRQVGXIOXLGHjO¶HQWUpH,O H[LVWHGHX[JUDQGHVFODVVHVG¶DOJRULWKPHVG¶RSWLPLVDWLRQ
$OJRULWKPHVG¶RSWLPLVDWLRQJOREDX[ ,OVH[SORUHQWOHGRPDLQHGHVSDUDPqWUHVjO¶pWXGHGH PDQLqUHSUHVTXHDOpDWRLUH&HVPpWKRGHVVRQWVRXYHQWKHXULVWLTXHVF¶HVWjGLUHTXHFHVRQW GHV DOJRULWKPHV VWRFKDVWLTXHV TXL SURJUHVVHQW YHUV XQ RSWLPXP JOREDO H[ DOJRULWKPH JpQpWLTXH SULQFLSH GH 3DUHWR VLPSOH[H HWF ,OV VRQW WUqV FRWHX[ GDQV GHV VLWXDWLRQV FRPSOH[HVRLO\DEHDXFRXSGHSDUDPqWUHV
$OJRULWKPHVG¶RSWLPLVDWLRQORFDX[ ,OVSDUWHQWGHSDUDPqWUHVLQLWLDX[HWOHVIRQWYDULHUGH PDQLqUHjRSWLPLVHUODIRQFWLRQQHOOHHQXWLOLVDQWO¶LQIRUPDWLRQIRXUQLHSDUOHJUDGLHQW8Q SRLQWRSWLPDOHVWWURXYpORUVTXHOHVFRQGLWLRQVG¶RSWLPDOLWpVRQWVDWLVIDLWHV[22]
26
La méthode adjointe fait partie de la deuxième classe d’algorithmes, la suite du texte s’y limite donc. La Figure 7 illustre de manière simplifiée le principe de fonctionnement des algorithmes locaux. À l’aide du gradient, il est possible de déterminer de quelle façon les paramètres doivent être modifiés de manière à s’approcher d’un des minimums de la fonctionnelle.
Deux conditions sont nécessaires pour pouvoir dire qu’un des minimums de la fonction objective est atteint. Lorsque la fonction objective se situe sur un point critique, il est possible d’observer que sa dérivée est nulle. C’est la condition d'optimalité de 1er ordre,
∇𝑓 = 0. (3.1)
Toutefois, cela n’indique pas nécessairement la présence d’un minimum. Il est possible de se trouver sur un autre point critique : un maximum ou un point selle. Pour s’assurer que la fonction 𝑓 a atteint un minimum local, en plus de la condition (3.1), sa dérivée seconde doit être plus grande que zéro. C’est la condition d'optimalité de 2e ordre,
∇𝑓 = 0, ∇2𝑓 > 0.
(3.2) Numériquement, en avançant par incrément, on considère souvent seulement la condition de premier ordre. Il y a peu de risque de tomber exactement sur un point critique différent que celui recherché.
Avant d’aborder plus en profondeur les algorithmes d’optimisation, leur principale limitation peut déjà être identifiée: si le problème n’est pas concave, le résultat peut être un minimum relatif assez éloigné du minimum global.
Le chapitre 3 permet de comprendre la méthode adjointe, mais avant d’y arriver, il est nécessaire d’expliquer comment calculer numériquement la dérivée d’une fonctionnelle non contrainte (section 3.1) et de décrire les algorithmes qui utilisent cette donnée pour trouver le minimum de la fonctionnelle (section 3.2). Ensuite, les principes généraux des analyses de sensibilité directe et adjointe permettant de trouver le minimum d’une fonctionnelle contrainte par des équations de bilan sont présentés à la section 3.3. À la section 3.4, l’exemple de la vague est repris afin d’appliquer concrètement la méthode adjointe.
27 3.1 CALCUL DES DÉRIVÉES
Les algorithmes d’optimisation qui seront présentés à la suite de cette section requièrent une évaluation du gradient de la fonction objective. Prenons la fonction suivante :
𝑓(𝑥) =sin(𝑥)
𝑥 . (3.3)
Puisqu’il n’y a qu’un seul paramètre, le gradient de la fonction est simplement un scalaire (𝑑𝑓𝑑𝑥). La dérivée de cette fonction à 𝑥 = 2 est environ égale à −0.4354 .
Figure 8: Représentation graphique de sin(x)/x.
Bien sûr, il est possible de dériver analytiquement la fonction, 𝑓𝑥(𝑥) =
cos(𝑥)
𝑥 −
sin(𝑥)
𝑥2 . (3.4)
Toutefois, lorsque les fonctions sont très complexes, il n’est pas toujours possible de les dériver et chaque évaluation ponctuelle de la fonctionnelle peut demander beaucoup de temps de calcul. Une série de Taylor peut être utilisée pour évaluer numériquement les dérivées,
28 La différence avant (𝑂(𝜖)), 𝑓𝑥(𝑥) ≅ 𝑓(𝑥 + 𝜖) − 𝑓(𝑥) 𝜖 , et différence centrée (𝑂(𝜖2)), 𝑓𝑥(𝑥) ≅ 𝑓(𝑥 + 𝜖) − 𝑓(𝑥 − 𝜖) 2𝜖 , (3.5)
où 𝜖 : perturbation des paramètres.
Il existe aussi une méthode de perturbation complexe permettant de calculer les dérivées à la précision machine. Puisque cette méthode n’est pas utilisée dans ce mémoire quoiqu’intéressante, elle est présentée à l’annexe C.2.
3.2 ALGORITHMES D’OPTIMISATION
La prochaine étape consiste à utiliser le gradient de la fonctionnelle pour se déplacer vers le minimum. Certaines méthodes, telles que l’algorithme de Newton, nécessitent le calcul de la matrice des dérivées secondes de la fonctionnelle, mais elles ne seront pas abordées ici. Pour calculer cette matrice, appelée la matrice hessienne ou le Hessien (voir équation (4.1)), il est nécessaire d’évaluer la fonctionnelle beaucoup plus de fois que dans le cas de l’évaluation du gradient. Par conséquent, ces méthodes ne sont pas avantageuses lorsque l’évaluation de la fonctionnelle requiert un temps de calcul non négligeable.
La méthode la plus simple est l’algorithme du gradient, 𝑥𝑘+1= 𝑥𝑘− 𝜑𝑘∇𝑓(𝑥𝑘),
(3.6) où 𝜑𝑘: paramètre constant ou variable assurant la stabilité de l’algorithme
(possibilité de le calculer avec un algorithme de retour sur trace), 𝑘: numéro de l’itération.
Lorsque l’algorithme avance vers le minimum de la fonction, il est aussi possible d’utiliser l’historique des anciens points pour accélérer la convergence en estimant le Hessien. C’est l’idée des algorithmes dits de Quasi-Newton. Il en existe plusieurs types. L’exemple illustré à la Figure
29
9 compare l’algorithme du gradient (𝜑 = 1) et la version Davidon-Fletcher-Powell de l’algorithme de Quasi-Newton. Le but est de minimiser la fonctionnelle de l’équation (3.3).
Figure 9: Comparaison de deux algorithmes d'optimisation.
Le critère de convergence est atteint lorsque le gradient de la fonctionnelle est nul (disons < 10−5).
À ce point la courbure est positive, la condition d’optimalité de 2e ordre (équation (3.2)) est alors
remplie. Lorsqu’il n’est pas possible d’observer la fonction, il est pratique de confirmer que la solution est bien du type de point recherché. L’algorithme de Quasi-Newton prend 7 itérations et converge au troisième minimum tandis que celui du gradient en prend 45 avant de converger vers le minimum le plus proche (qui est global dans ce cas). Toutefois, même si l’algorithme de Quasi-Newton converge plus rapidement, la méthode peut être moins stable. En utilisant le Hessien, cette dernière méthode utilise l’hypothèse que la fonctionnelle peut être approximée par une fonction quadratique, ce qui n’est pas toujours le cas. C’est pour cette raison que la méthode ne converge pas au minimum le plus proche.
3.3 ANALYSE DE SENSIBILITÉ
Lorsque les variables de la fonctionnelle sont contraintes par d’autres équations, le calcul du gradient de la fonctionnelle n’est plus aussi simple à effectuer. Les variables deviennent alors
30
couplées et l’évaluation du gradient de la fonctionnelle doit en tenir compte. Pour illustrer cette situation, une fonctionnelle de contrôle sur le profil final du problème de l’équation d’onde définie aux équations (2.14) et (2.15) est optimisée. Dans ce problème, l’avancement d’une vague est calculé. La vague finale, qui ressemble à un tsunami, dépend uniquement du profil initial. En se référant à la Figure 10, posons que le but de l’optimisation est d’obtenir une vague finale disons plus adéquate pour le surf : profil final 𝐻(𝑥). On cherchera alors quelle devrait être la forme de la vague initiale 𝛼𝑗 = ℎ(𝑥, 𝑡 = 0) pour faire du surf.
Figure 10: Profil au temps 𝒕 = 𝟎𝒔 et 𝟐𝒔 calculé versus profil final désiré (C=0.98).
Il est possible de définir la fonctionnelle 𝐽 à minimiser et de définir le problème d’optimisation contraint par une équation de bilan (𝑅 est considéré comme le résidu de cette équation qui devrait tendre vers zéro) de la manière suivante :
