Contrôle adaptif d'un calcinateur de bioxyde de titane utilisant la méthode de Clarke et Gawthorp.

,

,-. /

CO~ROLE ADAPTIF D 'UN CALCINATEUR DE BIOXYDE DE TITANE UTILISANT lA 11ETHODE DE ClAR~ ET GA WTHROP

-'

.'0.

Sylvain C,ndron B.Sc.A. (t<lontréal)

..

Master of Engineering [1' p' Génie Electrique Un ivers i t~ McGill Août

1981

'1

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•

OONTROLE ADAPTIF D'UN CALCINATEUR DE BIOXYDE DE TITA:1E ,UTILISANT LA METHODE DE ClARKE ET GAWTHROP

par

Sylvain Gendron B.Sc.!... (Montréal)

Une thèse soumise

à

tla Faculté des Etudes Supérieures et de la Recherëhe co~me condition

"

~

:partielle à Itobtention du diplôme de maîtrise

...

.1

Remerciements

.'

Je tiens d' abord à remercier le Dr. P. R, Bélanger pour l'orientation du projet, pour ses conseils e!= pour le temps qu'il utilisa pour l'essai du régulateur à l'usine.

Je veux aussi remercier les gens de. Tioxide Lçd (Sorel);

,-particulièrement M. J. D. Allard et :-Ule Monique Talbot pour nous avoir facilité l'accès à'leur usine et pour leur réc,eptivité faèe à nos suggest i09:~'

Mes remerciements ~ont également à M. René Clouti~r et à ses

"

.

gens pour les sérvices de calculs mis à notre disposition.

Je veux finalement remercier les ~uipes qui ont opéré le

~

i i

calcinateur pour l'excellente collaboration qu'ils nous ont, offerte.

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1 / '

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..

RESUME

•

Dans le but d'économiser une part ie: du carburant 'Iltilisé pour la combustion à l'intérieur d'un calcinateur

de bioxyde de titane, un algorithme de éont:rôle automatique par ordina teur de la qualité du produit est élaboré. Cet algorithme doit permettre d'éviter de trop longues périodes de sur-calcination du produit.

.,.

L'algorithme incorpore un contrôleur adaptif du type

.dérivé par Clarke et Gawthrop. Ce programme est 'testé à l'usine

"

,

et les résultats obtenus permettent d'établir quelles mOdi,fica-tions doivent. être effectuées au programme initial afin de réa-liser l'objectif de contrôle.

,

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!

- \

•

,\ i ABSTRACT ~ 1 ₁ \', l ' 1 Il '.

,morde'i"o ,ave

~tion

of the fuel u,ed for the

combustion in a titanium dioxide kiln, a computerized control algorithm i5 elaborated. The algorithm is intended ta elimi-nate long over-calcination periods.

The algorithm incorporates an adaptive controller like

1.

the one derived by Clarke and Gawthrop. This prograrn is tested ,at the plant and the results obtained yield the sufficient in-formation ta establish what modifications must be doné to the original program in arder ta realize the control, objective.

,

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T~-\BLtS DES l1ATIÈRES Introduction

...

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...

,

.. ..

Définition du problèo.e

...

,

... ..

'Le régulateur .. , . . . " 1> . . . " ,. .. , . . . . # . . . " , . . . r .. ..

.

...

1 Simulations . . . 1>."', . . . $" • • • .. .. " . . . ~ . . . Ir 13

24

Résul tats expérimentaux •• .. , . . . , . . . " . . . 0 . . . " 0 .. .. .•• 36 ~

Analyse _ des pertU"!:bati ons . . . r . . .

>.

a> . . . ,. . . . .. 46

Cone lus ions .. , .... tI .... 67 'Bibliographie ~ ••• H . . "" • • • •

..

... ..

72

Appendices •••• " ••••••

.

... ..

/

, " , ; v f "

.,'

INTRODUCTION

Le but de la thèsè était de réaliser un contrôleur capable de régu-lariser la sortie d'un calcinateur de bioxyde de titane (Ti0

2). Le con-trôle du calcinateur est présentement effectué milnue llement et on croit qu'un contrôle automatique permettrai t, à long terme, d'économiser ,une

partie du carburant alimentant la chambre de combustion. Des études antérieures, effectuées par Dumont et Bélanger

/2,3,41

ont montré que la

dynamique du procédé pouvait être considérée comme un sys,tème à entrée unique/sortle unique où celles-c;i sont reliées par un modèle ARMA (Auto Regressive ~Ioving Average). Ceci simplifie le design du contrôleur. Les paramètres du système' sont inconnus et sont susceptibles de varier

1

à long terme. Le contrôleur devait donc lnclure un algorithme d' iden-'

"

-t ifica tian. Dans certaines catégories de pigment de Ti0

2, le procédé peut possiblement avoit des zéros à l'extérieur du cercle unitaire. Une troisième contrainte de design est que l'amplitude des variations de la commande ne doivent pas dépasser un certain niveau.

Un algoritlune de êontrôle approprié qui tient compte de ces' trois dernières contraintes est la méthode dérivée par Clarke et

Gawthro~

/#1.

'"

Cette méthode a pour autre avantage la simplicité des calculs. De plus, Cette méthode permet d' identifieLdirectement les paramètres du

régula-teur.

-'

Le bioxy.de de titane ~T!i02) est une substance qui, sous, sa f'c:>rme,

l

,

Il, " (

\

-,

2'

utile (appelée rutile) est utilisé comme agent de blanchiment dan;l , les peintures, les plastiques, te papier, les textiles et auttes. Tou"" tefois, la for;me utile de bioxyde dè titane ni est pas celle qui est la

l,

"plus repandue dans la nature. Le TTlatériel brut de

Ti.o2

est un composé qui vient principalement: sous forme cristalli}le appelée anatase. Ce

.

,

,/.' tlt-'

dernier est transformé à travers une série de processus qui compr€!Une'rit le broyage d matériel} la réaction ~vec des additifs chimiques, et êvi-'

u

demment la c cination du matériel. Lé matériel résultant est une autre ,'forme cristal ine du Ti0₂ composée en majeure partie de. rutile.

Pour êt e acceptable, le pourcentage de rutile du produit fini

doit se situe à l'intérieur d'une zone correspondant à certaines speci-,fications (v

'"

fig. 1.1). ù \ pourcentage de

rutile

.

,

___ } zone acceptable' -temps-, . é~olution du pourcêntage de

rutile

en fonction du temps fig. 1.1

. 4.. .

Le contro1eur doit agir afin de minimiser les écarts du pourcentage de rutile a'utour d' un' point de consigne. Le point de consigne

es"t~15résen-tement très élevé parce que le contrôle s'avère plus facile lorsque la consigne est élevée. Il résulte, toutefois, du contrôle manuel de longues

..

"

périodes de surcalcination. Un contrôle automatique permettrait d' abaisser '", le point de consigne et ainsi réaliser à long terme des économies sur le

carburant tout en conservant le pourcentage de rutile à l'intérieur de la

.

,

, 1

(

..

ZCilne acceptable. '

~a calcination est produite à l' inté,rieur d'un long four rotatif (voir 'fig. 1.2). La chaleur est générée à la chambre de combustion"siltuée

~.

une extrémité du cdlc:Lnateur' par la combustion de gaz

natur~

d' hÛile. ,.

La chaleur est transmise à l'intérieur du ca]cinateur par des couralM::'S

/r

---d 1 air primaires et secondaires.

'"

Le produit à être calciné est introduit à l' aut re extrémité. du

cal-,

cinateur et descend lentement vers la décharge en trfversant les différentes phases de cuisson. A la sortie du calcinateur, le produit est intr:oduit: dans une zone de refrojdissernent qui amène la température du produi(t: cifi

, -

i

lOOO?C à 2000C environ. Gn échantillon e,sl alors collecté et applrté <lU

laboratoire de contrôle afin d',y êtré- mesuré. Le pourcentage de rutile est mesuré à l'aide d'un àppareil à rayons X. Utilisdnt <::es m~sures,

l'opérateur dédde quel changement doit être effectué sur la température

,

de la zone de cuisson. La zone de cuisson est la zone où le produit de ri0₂ s'est pratiquement débarassé de toute son eau et où le processus c,himique de rutilisation corrnnence à se manHester. La tempéilature de cette zone est crucü\le pour la reacti'on.

La décision de l'opérateur est guidée par son expérience. En

opé-ration 'normale, ce processus mesur'e-correction est effec tué à toutes les J)

heure s. La f.igure .1.,2 mon tre les ,variables pert i nentes ainsi que les fonctions de transfert utiles,

.-.

" / _U _~ ____ ,,_.~ __ _ / / ' "

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,.

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(t)

= , ('! , ;»IoE-_ _ _ Opérateur '

T

(t-.l)ftT~t)

"---~-(}"---.I

: ... <0.-+-- d mT , ' +

.---Régulateur

PI

fig. 1.2 Chambre de T ' Combustiçm

"

« _{, ,} Calcinateur d m

'4

\ \

Afin de servir les diverses applications du pigment d Ti0

2,

pl~-sieurs catégories de pigment sont produitlo!5. Ces catégor'es diffèrent

l'une de l'autre par leurs propriétés chimiques, la texture du pigment etc. •. Le matériel "dont le Dr. Bélanger

III

a identif ié la dynamique est appelé grade CR: Cet te catégorie de matériel est normalement très

diffici~e à, contrôler parce que la qualité du matériel est très affectée

'par une surcalcinatiofl du produit. Un algorith~e de contrôle a été éla-boré par nous. afin de contrôler cette catégorie de matériel. Cet algo-rithme est base 'Sur ïe~ résultats de 1.' identification.

/

' " ( " ,~ i' \ . ' "

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j ,

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.

,

.41'"

,.

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"

.

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5

De plus, des.tentatives préeédentes de contrôle d'un calcinateur

~ffectués paT'D~mont et Bélanger /2/ ont mont~é que la performance de

ré-"

gùlation devait être améliorée de,façon remarquable s~ l'échantiilonnage et le .contrôle sont effectués sur une base de temps d'une demi-heure. Il:

fut donc décidé d' utilise~ une telle base de temps pour l'essai en usine ~t.

!iii>

du régula t eur •

t

Le régulateur fut monté sous forme de programme FORTRAN sur un

min~ordinateur IBM et mis à 4'essai pendant 75 heures consécutives. Patce que le grade CR n'était pas en production au moment de l'essai, le programme fut testé sur ~nè catégorie de matéri~l plus facile à contrôler: le HD6.

Le chapit~e deux du présen~ rappqrt introAuit les principales con-traintes de design e~ expliq~e le choix de l'arrangement des divers élé-ments de l'algorithme de contrôle. Le chapitre trois met en évidence les équations mathématiques du ~~gulateur et il est montré comment le système en boucle fermée peut être stabilisé. Quelques résultats de la simulation de l'algorithme de contrôle ~ont ensuite présentés au chapitre quatre.

Le chapitre cinq présente les résultats de l'essai de 75 heures à l'usine de Sot::el. " Une analyse a posteriori de~ possibilités de contrôle et des bruits impliqués dans le système est effectuée au

chapi~e

six. Finalement au chàpitre sept, des conclusions sont tirées et des

modifica-û- tions à l'algorithme de contrôle sont suggérées •

•

1 1 1 - 1 1

.

'

)

...

r

fi

CHAPITRÉ rI ,DEFINITION Du' PROBLEME

IJ

Dans le présent chapitre, nous mentionnons des études antérieures du contrôle d'un calcinateur de TiO

Z' Les contraintes de design propre • notre calcinateur s~nt ensuite soulIgnées et l~ configuration de contr81e

est ensuite élaborée.

Comme nous le disions précédemment, le.calcinateur est un long cy-lindre en rotation ,qui reçoit 1e~matériel humide à l'extrêm~té supérieure

A"'-atPrejette une poudre blanche calcinée à sa décharge. Entre ces deux instants, plùsieurs phénomènes (la plupart chimiques) intervienne~t à l'i~-térieur du c~lcinateur et affectent plus ou moins directement la valeur

..

)

du p~urcentage de rutile mesuré à la sortie. On peut trouver dans Dumo~t

et Bélanger /2-4/ une étude sur le comportement en régime permanent du cal-cinateur • Mathématiquement parlant, le calcal-cinateur est un système réparti,

<,

non linéaire, brulté et dont les paramètres varient avec le temps de façon stochastique. Toujours d~ns Dumont et Bélanger, un modèle dynamique est élaboré autour de la solution en régime permanent, permettant de relier, à travers une représentation dans l'espace d'état, la quantité de rutile

r

CRu) à trois variables de commande: le débit de gaz (F

c) ainsi que les débits d'air primaire (A ) et secondaire (A ) qui propagent la,chaleur à

p s

travers le calcinateur. Ce modèle intègre aussi l'effet des perturbations intrinsèques du processus: soit la quantité de matiriel introduit dans le calcinateur (Q ), l'humtditê du matériel à l'entrée (Qh) et les variations

.. P

.pans l'énergie d'activation de la réaction de rutilisation.

6

\ /

\

(

) J

(

(,

, 7

Un résultat important de cette analyse est que la sortie Rest

princi-u

.~

"

~

paIement commandee par le debit de gaz (F.), R et F

c v c sont alors reliés

par un modèle discrétisé de type ARMA ,avec '~etard: ~

"

(2.1) yet)

+

aly(t-l)

+

+

a y(t-n) = b u (t-k)

+

_{bl u (t-k-l)}

+ ...

bu (t-k-n) n o n

\

+

e(t)

+

&.i.e(t-l)

+ ... +

en

e(t-n)

La variabl~ y(t) est, ici, la quantité de rutile mesurée à chaque étape. La variable u(t) est la commande effectuée sur le débit de gaz et finale-ment e(t) résume l'effet de toutes les perturbations à traver~ le procédé.

Si la quantité mesurée est donnée en pourcentage, cette mesure est non linéaire puisqu'elle sature à 100%. Toutefois l'appareil à rayons X qui mesure les échantillons ne donne pas directement le pourcentage de rutile à l'intérieur de ses écnantillons. Il donne plutôt un chiffre,

un "nombre de comptes" qui est relié au pourcentage de rutile par une courbe de calibration (fig. 2.1). 70

90

100

5

4

:3

nombre de ,. comptes 2 1 pourcentage de rutile fig. 2.1 ....

/

.

,,'

"

«(

.8

•

Si on utilise directem~nt le nombre de comptes comme la sortie.

#' •

y(t)"cette mesure est linéaire autour du point d'opération. _,

Tel qu'indiqué sur la figure 1.2, la température de la zone de

_ , f

cuisson est mesurée à l'aide d'une sonde radiamatique. Cette mesure

•

est comparée à la valeur de consigne et l'erreur résultante alimente un régulateur PI qui ajuste automatiquement le débit de gaz nourrissant la chambre de combustion (voir fig. 2.2). Il existe donc une relation liné-aire dynamique entre le débit de g~z et la température de consigne. On peut donc introduire cette relation linéaire à l'intérieur de (2.1) et corr~

sidérer la commdnde comme étant la température de consigne.

T

c Régulateur

PI

Chambre de

L----loo~-:;;.;C ombus tian ~---.r---="

fig.2.2

.Toutefois, "la mesure de température est constanunent perturbée par

f

différentes sources de bruit que l'on somme sous l'appelation d mT. transmission de la commande à la sortie est alors affectée.

Avant d'établir tout algorithme de,contrôle, il s'impose d'avoir une idée du pr?cessus à contrôler. Une estimation de la dynamique du calcinateur doit d'abord être effectuée.

tique d'estimer la dynamique reliant,tes

Il est plus commode, en pra-variations de la variable de

(,

commande aux variations de la variable de sortie. Une étude effectuée , ... \ • 1 ~

"

,

, o 1

,

"

n:,

(

.

9

par Bélanger /1/ donnait les résultats d'une identification des paramètres d'un modèle AR}~ reliant les variations de -température (~u) aux ~ariations

dù nombre de comptes (6y). #

"

6y(t)

=

y(t) y(t-l) (2.2)

6u(t) =' u(t) u(r-,l)

(2.3) A(q-l) 6y(t)

==

B(g-l) ~u(t-k)

+

C (q-l) e(t)

"

où

-.

A Cg -1)

₌

1

+

alg -1 + +a _ng -n BCq -1)

₌

_{b + b q~l +}

...

+ b q-n

0 \ n

et q -1 est l'opérateur de reta'rd -lx Ct) q

=

x(t-l)

L'estimation des paramètres fut effectuée en utilisant la méthode (

dite "maximum likel~hood" /1/. Il 'existe toutefois une certaine incerti-tude sur ces estimé'tl',entre autre, sur -les estimés des paramètres du

poly--1

nôme B(q ) ce qui rend imposs~ble la détermination des zéros de la fonc-tian de transfert. L'algorithme de contrôle devrait donc tenir compte que les paramètres du système sont inconnus et qu'en plus il est fort pos-sible que les paramètres varient. I l est donc important que le contrôle insprpore un algorithme d'identification des paramètres q\li soit capable de s'adapter aux changemen~s intern~s du système. L'objectif du contrôle est de minimiser lGs écarts du'~ourcentage de rutile d'une certaine va-leur de consigne. Ceci a pour effet premier d'éviter de trop longues périodes de surcalcination et de diminuer ainsi la consommation d'énergie.

r

J '

)

10 En plus, il faut éviter de trop grandes variation~ de la commande pour des raisons d'ordre pratique. On aura donc comme objectif de contrôle la mini~isation d'une fonction de coût quadratiq~e composée de la variance de la sortie et de la variance de l'entrée.

Comme la position des zéros de la fonction de transfert est

incer-,1

,

taine, il faut faire attention que le système en boucle fermée ne soi~'pas

instable. Par exemple, le régulateur i variance minimum

d~ Astr~m /~/

devient instable pour les

proce~sus

à' phase non minimum. tne méthode at-trayante pour notre problème est le régulateur suggéré par~arke et

Gaw-

"-throp /5/. Cette méthode a entre autres avantages 'la simPlici~dans les calculs. Aussi les paramètres identif~és son~ directement ceux

d~égu-'-,

lateur. De plus, un choix adéquat de la pondération de la variance de""

"-l'entrée dans la fonction de coût permet, en même temps, de limiter les variations de l'entrée et aussi ~'assurer la stabilité du système en bou-cIe fermée.

On pourrait appliquer ce régulateur directement au système repré-senté par l'équation (2'.3), toutefois la minimisation de la variance de

~y autour de zéro ne nous assure pas du tout d'une limite sur la variance de y. On pourrait alors directement appliquer le régulateur entre y et -r~

~u. mais l'introduction d'un pâle à z

=

l (à cause de l" égration)

ris-.;

que de causer des problèmes de stabilité (voir ch~pitre

Une solution squs-optimale doit être considérée. Celle~ci consis-terait tout simplement à mettre le régulateur entre ~y et ~u, minimiser

1

J , \ )

)

T

11 la variance de I::ly tout en s'assurant que le système' résul tan't est stable

(la méthode de Clarke et Gawthrop permet de réaliser cecL quels que soient

.

les zéros du système en b~ucle ouverte). Sur ce nouveau système, on n'au- ~ rait qu'à poser une autre boucle de feedback de type conventione1 qui a- ~

'. 1 _{girait sur la sortie directe y. Cette deuxième boucle aurait comme}

fonc-~ tion de maintenir la valeur moyenne du nombre de comptes aussi près que ₁

possible de la valeur de consigne. Le système de contrôle aurait la con-

..

figuration suivante:

-~'6W

_'~

6Y

₁ y~

6'~~K

1 _ ... Filtre Calcinateur

--1 • ~.7 l --z - l '

+

'l'

1 1 _{boucle de} 1 1 contrôle 1 1 L _-

- - - -

-

-

- -1 1 adaptif 1 1 ... r 1 Filtre 1 1 I-

_-

_-

I - bouclê secondaire

-fig.

2.3

t

Le régulateur de contrôle adaptif est calculé ,de ,façon à assure~

la stabilité du système interne. La stabilité du système externe est

rég1é~ par les méthodes classiques de contrôle.

Cette'app~oche nécessite l'intro4uction du nouveau signal d'erreur

4u(t) de façon à maintenir la valeur moyenne de la sortie au nivèau de la consigne. Le régulateur auto-adaptif-calcu1e les deux filtres de la figure 2.3 de telle façon qu'ils minimisent une fonction de coût

quadra-12

.

tique

(J)

'incluant l'effet du signal d'erreur 6.w.(t). Ces filtres dei"':' vent solutionner le problème d'optimisation s'uivant:

min J

=

E {(.6y(t) ~ k) ,

Il en résulte que la dérivée de la sortie est très peu correlée alors que la sortie est, jusqu'à un certain n~veau, carrelée. Comme l'ont montré les ,résultats expétimentaux, .... cette situation sou's-optimale est

tou-1

1 tefois très acceptable que le but prem1er du contrôle n'est pas

d'amélio-rer la qualité du produit mais plutôt de diminuer les dépenses d'énergie. La compagnie est très satisfaite, actuellement, de la qualité de son produit.,1"1

~

\

'.

, "

'

..

(

('

\ ,

" CHAPITRE III - LE REGULATEUR

Dans le présent chapitre, n~~s mettons en évidence les équations p,topre à notre algorithme de contrôle. Pour une explication plus détail-lée de la méthode de Clarke et Gawthrop il ~aut-consulter 15/.

Comme nous l'avons écrit précédemment, la stratégie globale de con-tr6le comprend deux boucle~ distincte~: la premiêre agissant sur la dé-rivée de la sortie pour limiter autant que possible les' variations

alé-atoi~es du processus, la deuxième boucle servant à maintenir la valeur

\

moyenne de rutile à la valeur de consigne. N~us allons ici décrire les équations concernant ces~deux boucles ainsi que les équations relatives à l'identification et au traquage des paramètres du sYs~ème. Nous dis-cutons aussi du choix des paramètre~ de contrôle comme les gain~et le facteur d "oubli.

La boucle interne de contrôle

, La boucle int~rne dé régulation utilise un algorithme récurrent de minimisation d'une fonction quadratique tel que dérivée par Clarke et Gawthrop 15/. Le problème de base s'énonce comme suit: étant donné • une équation dynamique entrée/sortie de forme ARMA' ave(retard

(éq~­

tion -3.2), trouver les filtres entre ~Y et /),U et entre /),W et 6u qui minimisent la fonction de coût suivante: _,

(3.1)

..

13'

1 j

i

!

r

, _,

1

/ '

\ }

,

14

,

" La sortie 6y et l'entrée 6u sont

re~

à l'intérieur du calcina-teur par l'équation dynamique suivante:

\ (3.2)

A(q-1)t'! y(t) =: B(q-l) A

u(t-k)

+- c(q-l)

e(t)

A(q-l) l

+

a l

q-l

₊

₊

_anq-n -1 q-n

+

b l q

+ ...

+

bn -n

+

c q n

La séquence e(t) est un bruit blanc de moyenne zéro et de variance c· 2 La méthode consiste à l'instant t de prédire la valeur de 6y à

l'fns-e

tant t+k et d'alors choisir la commande 6u qui minimise l'équation 3.1.' Le prédicteur de 6y(t+k) est calculé pour minimiser la variance de l'erreur

.

.

de prédiction. Un tel prédicteur basé sur la connalssance du processus jusqu'à l'instant t est décrit par /5/:

(3.3) où F(q-l) = 1-+ -1

+

f k_l -(k+1) fI q +

...

q et G(q-l) _go

₊

_{gl q} -1

_{+ ...}

₊

_{gp-l q} -(n-1) "

et sont obtenu à partir de:

La vér~table valeur de rutile est reliée au prédicteur par:

\ \

" ' - -

.

\

l'

1.5

0.4)

6y(t) == 6y(t) + E (t) , où " E (t)

Utilisant ce prédicteur dans 3.1 et minimisan~ par rapport à la commande, tlu(t).

on

ootient:

..

"

(3.5) y(t+k) - l:!.w (t)

+

~l,u(t) == 0 où À ='o/b

On note que si la 'tonction de coût avait été:

c'est-à-dire un' contrôle à vàriance minimale. on aurait obtenu comme

stra-.

.

"

,

tégie optimale de poser l:!.y(t+k) à zéro. Par 1 'équati~m (3.3), on aU,rait obtenu:

où l:!.y(t)

CeFte dernière expression représente le régulateur à variance mini-mum de Astr~m /6/. Toutefois, si le système en boucle ouv~rte est à phase non minimum, ce régulateur ne peut être utilisé tel quel parce que B(q-;) a des racines' instables •• La méthode employée par Astrtlm et Wittenmark /11/ consiste à faire une factorisation spectrale du po1:ynôme B(q-l) où l'on

"

16

du cercle unitaire. La méthode de C~arke ,et Gawthrop procède

dif,férem-,0 ment.

On introduit les variables suivantes: t,

a) 0(t+k)

=

6y(t+k) - tJ.w (t)' +ÀtJ.u(t) b)

o

(t+k)

=

tJ.y(t+k) - tJ.w (t)' +ÀtJ.u(t)

c)

o

(t+k)

=

0~

+

€ (t+k)

Utilisant l~ prédicteur (3.3), on peut exprimer la stratégie,de contrôle ainsi:

1

(3.7)

~(q-1)

0(t+k)'

~

G(q-l) tJ.y(t) C(q-1)

~w

(t) + [ B'(q -1) F (q -1)

+

I.e (q -1) 16u(t)--1 = G(q ) tJ.y(t) + R(q -1) t:.w (t) + D(q -1)

t:.

u (t)

=

0

..

(1;~ C(q-l) Cette stratégie n'est réalisable que dans le cas où a toutes ses racines ~ l'intérieur du cercle unitaire. Cette,~ypothase n'es6 pas très restrictive (voir le théorème de ~actorisation ~pectrale Astr8m /6/). Pour simplifier l'écriture, op réécrit (3.7) sous forme

_,1

vectorielle:

(3.8)

, \.

" If

,

h n d o d n+k-l

•

----~

"

18

La procédure de contrôle est donc la suivante: AGchaque étape, 6y(t) est mesuré, on forme, 0(t) à partir de l,'éqüation (3.6.a) et avec

~ le plus récent estimé des paranètres ~n

T

-• X 9

=

0 t

-c~lcule ~u{t) pour avoir:

.~

1

Alors la boucle -interne dé régulation a l'aspect suivant:

6w(t)

----~ -j) H C A

-k

q ~

:--r---3"'""J" (

t ) A fig.

3.1

- .,.JIt

Maintenant, on obtient que la, fonction de transfert globale de

/).W (t) à ~y(t) est donnée par:

(3.9) (B(qr-l)

+

.\A(q-l» /).y(t)

=

q-kB(q-l) /)."w (t)

+

(B(q-l)F(q-l)

+

ÀC(q-l) e(t)

Ainsi selon l'équation (3.9), lé système en boucle fermée aura pour pôles les racines de l'équation

t>. j

1

", Q ( > , : \ . 1 • 6

19

(3.10) 4 ' B(q-l)

+

ÀA(q-l) = 0

Par exemple, p,?ur >..

=

0 (c.a.d. conq:ôle à variànce min1UJale).

•

. -1

les pôles> du système sont les"racines, du polynôme B(q ). A mesure

. -1

'qu'on augmente Àf)les pôles du système tendent vers les racines de A(q ).

, -1

Ain$i, même s:l. les racines de B(q ) sont à l'extérieur du cercle unitaire, ,,.le système peut toujours être stabilisé par une valeur positive appropdée

de

À~

A

co~ition,

biEm sûr,

qult~

les racines de A(q -1) soiedt stables

,

.

,"

fig.

;.2

"En d'àutres te:r;mes, pour À

==

0,' le contrôle SI occupe uniquement

de la ,vat:iance de la sortie et alor:,s la variance de l'entrée peut être très ~rande. Pour' À très grand, la variance de 11 entrée devient petite à un point tel que la sortie devient insensible à de si petites

correc-tions. Dans le cas où'B(q-l) a des racines à l'extérieur du cercle uni-taire, À = 0 donne un système en boucle fermée instable et i l n'y a pas

- 1 ~ .. " ;

J

1 !

~

l

()

\ , " -" { 20

de limite 'sur la vàriance d'e & (t)"

, '

"Les ',simulations ont données que des valeurs ç1e À, autour de 0.05 causent des variations' d' amp1 itu,de :raisonnable à l'entrée (voir chapi-"

"

.

. tre 4).

•

, . -1 -1 -1

Lorsque le processus (c'est-à-dire A'(q ), B(q ), C(q ) est

, ,

COIJ.nu parfait.emen't" le vecteur de paramètres ~, qui effectue 1

'opéra-, ment calculé -à

•

(3.8) .

sont incoqJlus, on peut procéder de

\.

les' éléments du vecteur Q •

direc te .. les

par'amè-, '

Si C(q-1) = 1, on aurait selon les équations 0.6-é) et (3.8):

.

A chaquè ~tape, la variable ~(t+k) peut ~-être géné,rée par l'équation ,(3. 6-a) • Comme € (t+k) n'est pas carrelé avec XT

t , les estimés aux moindres carrés de ~ ne sont pas biaisés. Ces estimés peuvent être obtenus de fa-çon bien connu~s /7,8,9;12/:

A ~

a) ! t

=

~t-l ( "'(t) -

_r

_-t-k-t-l

x

T

ê )

b) pet) = P(t-l) - P(t-1) !t_k(l

+

!t_k)-l X

t_k P(t-l)/r

où pet)

=

E{(~

_ Q)

(~_

Q)'t}

•

" \ -\ l , ,

.

,(

'1..

-1

TqutefoisoC(q ), et la véri table équation est:

(3.l3)

Les estimés de 9 obtenus grâce aux relations (3.12) sont donc

e

bi~éS,

mais la stratégle de contrôle étant de fixer 0<t+k) à zéro, rl~' système représenté par 1 r équatiqn (3.13) tend asymptotiquement vers

21

"

celui représenté par l'équation '(3.11) rendant ainsi les estimés asymp-totiquement non biaises.

Le paramètre

r

de l'équation (3.l2-a) constitue le facteur d'oubli.' En effet le système d'équation (3.12) trouve les estimés de

G

qui mini-misent la fonction de coût suivante Ill/:

où

o

<

r

~ 1

, '

Pour

r

= l, la fonction accorde autant d'importance à tous les,écarts

€ (t) . Lorsque

r ;;;::

l , une plus grande importance est accordée aux données

/

les plus récentes. Cet art ifiee permet à l'algorithme d'identification de traquer les dhangements dans la valeur des paramè tres internes' du système. Plus

r

est petit, plus le traquage des paramètres s'effectue rapidement. Toutef'ois, si

r

est trop petit. le système devient instable. Une valeur raisonnable de

r

se situe entre 0.95 et 0.98. Une façon répandue de pro-céder consiste, lorsqu'on suspecte un changement important de la valeur

,

.'

'

l '

22

des paramètres, à abaisser beaucoup la valeur de

r

(jusqu'à 0.8, par exeo-pIe) pour quelques échantillons, laissant la matrice de covariance P (t)

s'agrandir rapidement: puis ramener

r

à une valeur plus proche de 1. Tou-tefois, si on désire avoir un algorithme vraiment autonome, on préfère fixer

r

à une valeur définit ive. Pour en savoir plus long sur ia converl

-1

gence de l'algorithme d'identification, consulter Ljung

113/.

La boucle externe de contrôle

La boucle externe de contrôle agit directement sur la mesure de rutile et s'occupe de maintenir cette mesure le plus près possible de la valeur de consigne tel qu'illustré à la figure 3.):

Consigne Calcinateu et boucle interne {i>

y(t)

t---o--~ ('\, t.i

v

fig.

3.3

L"écart entre y(t) et la consigne (que l'on appelle yd) est1ampli-fié et vient conditionner le signal 6lù Ct). Cette régulation est donc

~,

propor tionnelle à l'intégrale de l'erreur y (t) - yd, celle-ci agissant sur la dérivée de

ia

connnande.

à la sortie est donnée par:

"

"

(3.14)

La fonc,tion de transfert de la consigne

J

Cl

23

Dans le cas de contrôle à variance minimale (À = 0) et dans le cas

-1

où B(q ) a tous ses pôles à l'intérieur du cercle unitaire, la fonction de transfert simplifiée à: (3.15) Sy yd (q -1 ) :"k q

K

-k q K

)

De l'estimation de la dynamique du système /1/, le retard jugé le plus adéquat' (et qui a été con(irmé plus tard par une identification a posteriori du processus) est ~gal à 2. Les pôles de l'équation (3.15)

tÎ)

sont tous à l'intérieur du cercle unitaire pour Kt: (0,1). On choisit donc la valeur de K à l'intérieur de ces deux valeurs. Des simulations de l' al-gorithme de contrôle sont maintenant effectuées.

/ / 1 \ , /

/

D' l ' 6 (

.'

"

/

1 ~ ,

.

;

.

.

\l CHAPITRE IV SIMULATIONS

Dans le présent chapi tre sont çontenus les résultats de simulation

•

du programme de contrôle. En fin de chapitre, une méthode simple est proposée afin de calculer automatiquement la valeur du paramèt~e À, la

"

valeur de la variance de 6u étant fixéè: Une simulation de- cette mé-thode est illustrée.

Pour les besoins de simulation, nous avons utilisé les résultats d'une expérience d'identification du processus

Ill.

De ces résultats, - \

une équation dynamique fut construite reliant ~u(t) à 6y(t) plus un bruit

2

blanc gaussien e(t) de moyenne zéro et de variance Ge pour une période d'échantillonnage d'une demi-heure. L'équation résultante représente un système du troisième ordre avec un retard égal à 2 étapes. Ce système .est à phase non minimum et sa configurat/on pôle/zéro est indiquée sur la

~ figure 4.1. ." 0.8 G

_'"

-7, _-2 0.8 fig. 4.1

Le bruit blanc gaussien est généré en additionIlant 'une do'uzaine de variables aléatoires à répartition uniforme de moyenne zéro et de variance

·

) :Ç} ,

~, '

25

égale à 1/12. L'écart-type du bruit gaussien obtenu est fixé à 0.45.

L'équation de la' dynamique du calcinateur, l'algorithme de contrôle ainsi que 'le programme d'identification sont montés sur ordinateur sous la forme de programmes FORTRAN.

Le programme d'identification quations (3,12) utilise pour la P, la factorisation UDUT /9/.

l:.;!l o

pour ésoudre le couple d' é-on de la m trice de covariance

\

\

U est une matrice de dimension (3n k

+

1) x (3n

+

k

+

1) trian-gulalre inférieure et dont les éléments e la diagonale sont égaux à 1. D est une matnce diagonale. Cette faç n d'opérer la mise à jour deola matrlce de covariance est décrite dans Sierrnan /9/. Par cette

factori-1

satlon, 11 est gar~ntl que la matrice ~ est définie scmi positive. Cette méthode a donc la propriété d'être num1!r iquement stable et, de plus, elle

1

nécesslte approxlmativement le' même nombre d'opérations que la méthode

1

1

directe. Tous ces programmes sont reprpduits dans l'appendice A.

1

,

Par la méthode de Jury /.1°/, on calcule théoriquement que la valeur" de À doit être prus grande que 0.03 afin que le système en boucle fe:mée so:i,:t stable. Nous choisissons les )faleurs de gain de feedback entre les

ji" bornes donn,ées précédemment.

,

,

.,

26

La valeur initiale de la matrice P, qui est donnée ini t:i,.alement par J.es éléments de la diagonale de D, est fixée à 100.

-D

=

100 l ' ,

_J:

matrice identit€

On rappelle quai/cette valeur doit être très grande à t ='0 afin de ne pas biaiser les estimés des paramètres

/11/.

La valeur

ini~

des estimés est fix€e à z€ro sauf d que est ini tialisé à 0.4. Cette

o

~valeur est, en réalité, choisie arbitrairement mais i l faut qu'elle soit suffisammen t différente de zéro parce que 'â est le paramètre associé à

o

"

t.U(t),' Finalement, la consigne quant au nombre d'e comptes est fixé à 4.1.

Lacfigure 4.2 présente les résultats d'une simulation typique. Dans ce cas, seule la boucle interne de régulations c .à.d. le rêgulateur adaptif es,t en action. On 'remarque que la variable de contrôle 0(t+k) donnée par

I!>

l'équation (3.7) et par la figure 4.l-d converge effectivement vers zéro et donc -que cette boucle a atteint sa performance optimale. Toutefois, comme la boucle secondaire de contrôle (gain de feedback égal

â

zéro) la valeur totale du nombre de comptes y(t) est laissée à la merci de toute perturbation.

\

C'est ici ,que le signal t.w (t) intervient. Ce signal d'erreur sup-

(

plée cette partie de la commande qui assure que la valeur moyenne de comptes est égale à la valeur de consigne.

Conservant le même À. et le même facteur d'oubli, la simulation est répétée mais cette fois en incluant la boucle de feedback secondaire' avec

". \ o 20

, L'lu(t)

o.

I~

-20~.1 ~.,,,IJII i 1 , 1

t

1

h

_t

\ ! 1

, i

1 1

!

l-a

2 ' Ay(t) 0 -2 0 10

y(t)

4.1

O.

0

2

. -;p "

_o

l '

-2', \

'0 -.-...-.--...

----

~ -

--15

30

₄₅

60

75

~~~~

•

15

}O

45

60

₇₅

"

p' ;

.

15

JO

45

60

fi

₇₅

15

JO

45,

60.

·'75:'

temps (heurès)'

.

, ;

•

PARAMETRES.DE CONTRaLE:

Pondira.

t

i

OTI

de

'~Jùr{DU}

=

B.0550

Gain de

feedba~~

=

0~BB0B

Facteur d'oubli

=

0.990e

---.-~

+ -

Cor'1r'1ünde'(

[JU(t)~.

,

C,.I(t' ..

,1 Co -

0

Pt"'

i

\i

i

e

cl

€

1

IJ S Ü

r

"1

e

~,

'

J I , , .J i - . , "(t-' ,

f -

SOt"·tle·

~ r .• .J ) • • ' t )

~

-

E~tiMi

de la

~arlable Phl~.

~ ~

Variance

de PhiCt)

=

(1

_• ,,;.Aiïc

~ 't ,.I..,J

""-fig.

'4.2

•

--"! N -.J,

"

,.

28

un "gain" K égal à 0.1. La figure 4.3 montre l'évolution des différentes variables importantes de la simulation. Cette fois, la valeur moyenne de comptes demeure autour de la valeur de cot}!3igne. L'estimé 0(t+k) est à

nouveau calculé à partir des véritables paramètres du système et on trouve

,

que la connnande semble efficace à maintenir cette ·variable à zéro

confor-mément à l'objectif de contrôle donné par l'équation, (3.6). Dans les deux cas, l'erreur de prédictlon sur 0(t+k) doit tendre vers € (t). La

variance de "'Ct) est calculée (basée sur les,cent derniers pdints) et ,

(

les résultats obtenus donnent gour 'les deux simulations précédeFltes une valeur autour de 0.24. Maintenant on rappelle que la variance ,de f (t)

, ,

est donniie par:

La variance de la séquence e(t) pour cette période étant 0.2 et fI

.

étant égal à q.147, la vàleur de 0.25 pour' la variance 'de 0(t) est donc tout à fait Jiat is'fa':Î sante .

La figure 4.4 montre l'évolution des paramètres du régulateur. On note que les paramètres ?ssociés à .6u(t) sont (11us facilement identifiés que les autres. Ceci est dû au fait que les variations cre ~u(t) sont d' un niveau bien plus élévé que le "'niveau de bruit: lors de la période

~

transi taire ce qui n'est pas le cas pour fly (t) et b. w( t) ~

Mentionnant la période transitoire, on doit faire remarquer que<

c

, \JI

/

15

JO

. 45

9

0 .

75,

"'frr~

15

30

45

60

75

15

30

1

45

60

₇₅

""

'"

15

JO .

45'

66

75

temps (heures)

'

-r

PARAMETR5S DE

CONTROLE~

•

,...J'

POTt1..1eration de Var·{OU}

=

8.8550

Gain de feedbück

=

0.1800

Facteur d"oubli

=

0.9980

+ -

Co

fol r'l Q fi

d e

( OU(t)

)

ù - [1er'

i

\lee

de

1ù

sür·tie~( D~(t)

)

t -

Sortie (

yct)

)

,

. x -

E.=;

t

l r'l e

cl

e

1

cl "cl t--

i

'1

b 1

~

Phi (

t )

lIü

r·ic.nc€

de

Phi ( t )

=

- 0.251?

fig.

4.3

.

,

\-N \Q ,~ ~. ~

•

.

*

o.

-0.5

0.25'

o.

paramètres d,e b,.y

(gi)'

15 "

)0

60

- ( , "

-.

,

1

75

parar>tèt:res cl e Cl u

(d. )

'1 .

.~~;t; ;~;;

1 . , Il

5.

0:.

-5.

0

+

*

X

O.25,~~---o

15

30

4.5

60

75

(

.

, -- ._--- - --- - --

.---

-

-

--

...

o

-30

paramètres de

lsw

- (h.)

~ .'

r:-v

',.

15

)0

. 45

60

'75

Estimé deS' p:=.rome "res " . L .. ~

.-fig.

4.4

"

/'

).er

p.1ratretre

(i-=

0)

~e -paramètre

,

,

(i=l)

Je

paramètre

(i::2)

- ' -.\

'\~, ,

·4e J??:ramètre

(i::3)

.4 ,

(i=-4)

5e, parametre " \ . ", '-\ .1 \

~ l ,

31

pour les graphiques 4.l-a et 4.2-a, les valeurs de 6u(t) au delà de

18

±

20°C ont été estompées. Mais en réali té, la période transitoire pro-duit des valeurs de Llu(t) au delà

d~

t

20°C. Ces écarts ne

~ont

pas 'du tout acceptables.

A ce problème, s'ajoute celui du choix de À qui en fait devrait

)

'être basé 'sur une connaissance au moins approxj ma tive du système à

con-~

1

trôler. Mais lorsqu'il existe de grandes incer titudes sur ce ·~rnier.r

~,

le choix de À n'est pas évident. De plus, À peut être sujet à changement

au cours d'une expérience ou lors d'un changement de grade.

Une solution est proposée' afin de résoudre ces problèmes. On se

• propose de réduire la variance de la sortie tout en prenant comme ç,ond'ainte

qu~ les variations de DuCt) ne doivent pas dépasser un cértain niveau.

1

_•

Pour ce faire, on donne dt abord u~e c:onsigne pour ]a variance de Llu(t). A chaque étape, la variance actuelle de [l,u(t) , est estimée avec les ph~~s ré~

centes mesures de ~u (t). Cet estimé est alors introduit dans un élément non linéaire du 'type ,suivant:

Sortie 1

o

Consigne de E

{6i(t)}

'lig.

4.5

/

1

l'

1

()

" o , o J;

-32

, La sortie de cet élément ,non linéaire al,;f.mente un filtre du pre-mier ordre dont la sortie est la valeur de la pondération de la variance de la commarl'de c. à.d. À. fi , Calcinatev'" ,

..

-

.

-f

0 Régulateur L

-adaptif

" , ~ l. 0 ~ ) Estimé

1

Filtre , '"--7

de

_~

_,c=

_~

L

~ Et6u2

J

-fig.

4 .. 6

Ainsi lorsque la' variance estimée de ~u(t) est plus grande que ,la consigne, À converge avec une certaîne constante de temps vers la valeur sécuritaire J.

=

1. Pour À.= 1 , la valeur de d (qui divise

o

l'équation du régulateur voir éq. (3.7) est telle que les variations de la commande sont très petites.

è

Si la variance de 6. u(t) diminue, la valeur de À est ramenée à des 1

valeurs ~ll\,s près de zéro. Une"simulation utilisant cette méthode a été

'.

, B

J'

,

.

t ""'" ~

(

, ,<> .'

...

' ,t

essayée et les résultats de cette &imulatidn sont donnés sur la figure 4.7. Pour cet essai, le filtre de À était un filtre du premier ordre avec un pôle à 0.5. La valeur du facteur d'oubli itait fixé à 0.95; un niveau suffisamment bas pour'laisser les ~aramètres _, du contrôleur _, s'adapter aux changements de À. Le graphique 4.7-b est ,l'enveloppe

gaussienne correspondant à la var:iance de t:.u(t) de consigne. La

fi-V---,

gure.4.8 montre l"évolution des paramèt~es du régulateur.

Lors de l'essai du régulateur à l'usine de Sorel, on adapta la valeur de 'À de façon ad hoc plutôt que de la manièré automatisée

dé-crite précéd~ent. Nous croyons toutefois. qu'une fois raffinée, la

JJ

"méthode d'automatisation de ~ peut s'avérer une solution simple

au(?pro-• 1>

blème de démarrage ..

,

Tous ces essais furent effectués pour di~férents modèles de calci-nateur. Les valeurs typiques d~s paramètr~s de contrôle furent conser-: vés pour l'essai à l'usine.

" ,

•

0 ' 1 ", .(,

,.

(j,

---..

-

\ , 1 .

...,,;

_•

' -(. \-20

î

20 . ~

:

.

.

i1U(~)·,O

_~

O'.~

,-~20

,

,

,

,

-20 .. ,

~

o

0

15

JO

45

60

75

"

50 . 1

~1

1

.var CAU)

f

J\

Ft

1 1 l , .".

..

.'" ... 0

d r i

Ç'I' -~c-~!" ~~ J -:!9

o

L\" 1 l " • ~ •

i

~.

..

1

> '

. .

) F 0

15

_{:30 / 4?} 60

₇₅

0

₁₅

_:30

₄₅

₆₀

₇₅

2' ,

PARAMETPES DF CONTROLE:

:0.

y(t)

0

_.l}Wl

rft

_IY

~ ~1tYWV

\KW\

ru

p~r'ij.

_(Vi

li!

1/ VuWtri.rf1tt

ll,~

r· { [)

U}- d

~ COTI

:=

i

~

fi

e

=

15.(1000

_4}

G.::Ù

fi

de

f e

e

d

l:"l

c k

=

0.0590

Facteur

d'oubll

=

O.95f1ü

+ -

COMMand~

(

DU(t) )

-2 1

_{,) -}

_E

_E

_{t 1}

_{r1 €}

_d

_{€ 1 1 (l}

_{r -{}

_[J

_li

}-0

15

30

45

60

75

:t: -

[Jet'l\~e~

de

la

:;')rtle

(C'VC.t)

)~

10

t

temps (heure)

~

- SortIe (

y(t)

)

~

> -

P0nder~tlon

de Var<DU}

1

y(t)

4.1.

~""'I....t'

••.

~

Vy- '.

~

"f _fig.

4.7

f' ,-'

'.

_..

, J

o

.

0

15

JO

45

60

₇₅

'i-•

"

\, l,

•

, ,

o

-1

15

0 -1 0 15

.

, . . . . !.--- - - _ .

..,-~---}O

paramètres_ de .6-y(

t)

5

(g. )

~

o

-5

45

60

₇₅ paramètres de Lu(t) 0

+

ttlo ,

'-X \

'"

JO

45

60

75 0 l " " : 15 paramètres ·.de hw(

t)

(h.) ,

_ 1.

JO

45

60

temps (heures) Estimé des ParaQètres _,

fig.

4.8

c{/

-- ,1er pa.:ral'lètre Ci:: - 0)'-2e paramètre (i::1) >.. Je paramètre (i=2) ~ _-,

4e

paramètre Ci::.)) -:: '.

--

-(i=4 )_,

-5e

paramètre

_-

-

.

--~... ,- -.,.~ .. .-... ' ~ -

_.

.. ~ ..-... ,....,..-

--

" ---"---~---

---~---~--. J5

75

,\,

l, , --'

1

CHAPITRE V RESÙLTATS EXPERlXENTAUX

,

Le programme de contrôle fut install~ sur l'ordinateur de l'usine et mis à L'essai pour une pêriode de 75 heures. L'ordinateur de l'usine est un mini ordinateur IB~ de type 34. On accède à celui-ci à partir d'un terminal situé un étage plus bas et à quelqu,es centaines de pieds du laboratoire de contr6le. Les données sont donc transmises à toutes les demi-heures, par téléphone à l'opérateur du terminal qui lntroduit

"

la mesure dans l'ordinateur et renvoie par têléphone la valeur de la com-mande calculée par l'ordinateur. Cette situation n'est év~dernrnent pas très pratique et on ne doit pas songer à utillser l'ordinateur de façon permanente tant qu'un terminal ne sera pas plu~ directement accessible

à partir du laboratoire de contrôle.

La valeur initiale des différents paramètres du programme sont

à peu près les mêmes que pour la simulation. L'estimé initial d(e d o (premier paramètre de 6 u (t) est fixé à 0.1. Le gain de feedback est initialement 0.5, la pondération de la commande CÀ) est 0.05 et le fac-teur d'oubli 0.99. Ces trois paramètres sont variês en cours d'essai afin de jauger la sensibilité de la régulation aux variations de c~p

pa-,;

ramètres.

L'estimation des paramètres pour lesquels la variance est demeurée importante 's'est montrée extrêmement sensible au facteur d'oubli. A t

=

24. le facteur d'oubli a été abaissé à 0.95. Il s'est alors produit de lar-ges variations dans la valeur des estimés (voir fig. 5.2). Le facteur

J6

(

r"\ d'oubli s'est promenée en tre 0.986 et 1. 0,' A t

=

110, sa valeur a été

abaissée à 0.98. A nouveau, les "estimés se sont mis à varier rapidement. Cette valeur a été conservée jusqu'à la fin,

La valeur de À est pratiquement demeurée la même pour t~ut l'essai. ~I Sa valeur n'a été fixée à zéro que pour limiter les variations de .6u(t) . Tant que le 'système n'a pas été trop perturbé, il n'est pas apparu que le gain de feedback (K) soit trop élevé, la majeure partie de 1& commande 'étant fourn1e par la bouc~e de contrôle interne. A un certain instant

l'alimentatio~ en matériel à calciner a été interrompue pendant quelques_ heures. Lne quinzaine d'heures plus tard, ceci est apparu comme une for,te perturbation à la sortie. ,A

i'ordinateur ne r~pondaient qu'aux

ce moment, les

~'ommandes calculé~r

écarts immédiats de ~a sortie. La sor-tie était donc alors principalement contrôlée par la boucle externe. Un gain de feedback de 0.1 aurait alors été plus approprié. A,t

=

122, K a été abaissé à 0.3, A t

=

125, K a été abiassé à 0.1. Le système s'e;t bien comporté par la suite.

La figure S.l donne les variables d'intérêt mesurées lors de

l'essai.-• - 1

Comme on voit sur la figure 5-la, les valeurs de ~u(t) étaient limitées à des multiples de

±

SoC. Ceci est dû à la pauvre sensibilité de l'àjustement de la température. L'effet de cette quantification est étudié dans le

chapitre suivant.

La figure 5.2 montre la variation des estimés des paramètres du ré-gulateur. La fitur~ 5.3 montre le calcul de la f~nction de covariance de

" \

i'

, ' \, "

$ JI.\

y(t)

- -50_

O. 1 ( ~ ~ ' 0 )

o

JO ,- 60 , 9 0

temps

(t

heure)

o -

SORTIE

yCt)

(noMbre

d€

C0Mpt€~)

+ --

[,'EPIlJE-E riE LH ::·OVFIE

['\1'"

t',

CI -, COHf'1H'He .. E

['.1.1 '.

t',

',dt2~r ~~ I~

el.::

1I.1~) 2.

I\y(t)

o.

. -2.

l

_,

~o., 1

:30

60

90_"

-temps

ct

heure) , , '

.6u(t)

,0.1

-29 ..

°

JO

-60 7 90

fig,

5.1

temps

(1-

heure)

.:: '1 " 120

150

~~ ~'

12O·

159

120'

150

v.>

co

5.

o.

,l :pa\:ramètrea. . de ll:l

(t)

(g. )

1. 10.

o.

.

'

39 ,

1 p:tramètres de

,6w(t)

(h. )

1.

'l'

\

, "

40

la dérivée 6y(t) "à partir des données accumulées jusqu'à trois ins-tants: avant la perturbation du "feed off", pE!ndant la perturbation et avec tou tes les données. Ce signal est d~meuré non correl,é tout le temps

,

de l'expérience ce qui laisse supposer que la boucle interne,s'est com-portée de façon optimale.

La covariance de la sortie est aussi calculée pour les mêmes con-ditions. Comm~ prévu, la sortie est correlée mais comme on peut voir, avant que la perturbation n'intervienne, seuls les, trois premieŒ termes de la fonction de covariance sont de niveau appréciable.

A partir des données réunies lots de l'essai, une estimation d'un modèle

AR~!A

reliant 6y(t) et 6u(t) a

~é

effectuée en utilisant la méthode

de "maximum like1·'ihood. Les résultats de cette identification sont don-nés dans le tableau 5-1. Différent~s structures ont été essayées. Des modèles du prem~çr, deuxième et troisième ordre ont été essayés. Dans chaque cas, les calculs ont été faits pour un retard de une et deux

éta-o

•

0

peso Les modèles pour un

~etard

égal à"âëùx montrent des résultats

-}~-;

(' périeurs.

En fait, les résultats obtenus pour un retard\égal à une étape

:1

accord~nt plus d'importance à b l retard égal à deùx étapes.

au 'à b '. , ' 0

.

,',

Confirma~t l'existence d'un

Pour k

=

2, les pôles et les zéros, de la fonction de transfert sont calculés et sont réunis dans le tableau 5.2. La figure 5.5 donne

,r

la réponse impulsionnelle de q _{-2 B(q -1)}

7

A(q -1) ainsi que C (q-l) / A (q -1),. <

..

2 •• 0 ~y(t) 0.0 -0.2 )

/

o

JO

Cavariance de f:.,

y(t)

estimé avec les données accumulées jusQu'à: fig.

5.3

.•.

60 t:;::: 100 . r , t= 150 g ; } ' 0

41

120 0.0

-0·5

o

10

0.5

0.0 ~ -0.5~

0

10

0;5

O~O

-0.5

0

10

"

délai

(t

heures)

:

, ,

5.

y(t)

o.

\ ' 0' )0

60

Covp.riance

dé,y(

t)

estimée avec les données aCêumulées jusqu'à: , " "

fig.

5.4

" t =100 t

=

125 t ~ 150

90

'0.2 0.0

•

120 150

o

10 0 •

.5

\ ' 0.0

o

10 0" •

.5.

,0.0

o

/

, l ' "

10

42

.oeç

C

.

,

, 1 ( ,

.

\ '

'.

n= 1 n= 2 '1=

3

n k

*

4)

/

.

Identifica tian a posteriori du système

k

-

l

K

=

2

. para:nètres

E{e

2

(t)}

pa.ramètres

E

~

e

2

(t))

h al ~Q. 7~76200 -0.9J.72JOO -D.o.o.1l29+ b 0 o..o.2J256o.

r'

0..0.74158 o..o.72eR-5 b 1 0..0.154520 -o..o.1lJ.4.640 ,

Cl

-0..7267800. -0..90.1960.0

.

al -0..973700.0

-0.85

*

a 2 -0.0.0.25221 -0.14

*

l ' If • b -0.o.o.2376J 0.0.365670. 0 b 1 0..0417808 0..0.66397 -0.0.124570. o..ü66l42 b 2 -o..o.2J889o. -o..o.o.8~872

Cl

-1.110250.') -0.992~0::J '7 ('2 ü.J13-':91o.OO 1 0.2770000 ,~ 1 1 1 u 1 al

-o.

905420:) -1.0858)00 ~ -03. 2 0..1)3490.0 o..116J2üO a

J

-0..205120.0. -0..0.155510 b _a -o..o.0483Yt

--

0..0363710 ₁

b

l

0..0414920. 0..06,5,524 -0.o.1001JO 0..65651 b 2 -0.0.140.0.30. -0.0089'+ JI b J -0..0.0.54270. 0..0056914

Cl

-1. 0.60.0.0.0.0. -1.2o.680co. ('2 0.561930.0. 0.5595200.

.

('3

-0.20.9720.0 -0.1011100. -\ ordre r e t a r d ' T~U

5.1

iij~~~l~més

ont été arrondis

~que

le systèmé résultant était

~

---

-

--44

Estimés des tJ01es et des zéros

(r.: :

2)

" zéros

-=-

_poles B~q -1}

C(g

-1

₂

U

Ordre

_A(q-l)

A(q-l)

.

~

0.622 0.902 _"

1

1 , 0',9+7

'"

.,

\ ' D.671 0.496 + j 0.175 0.496

-

j 0.175 ·2 "

-0.991 -0.141 -0.525 0.480 0.518 + j 0.171

0.363

_+-

j '0.280 0.518

-

j 0.171 0'. }6J

-

j 0.280

J

0.924-0.D51

₊

j 0.115

"

~ 0.051

-

j 0.115 TABlEAU 5.2 -'

(

J' 0 ""V-" 0) ... '1 : ,

"

(

45

Dl

remarque que'les résultats obt~nus pou. n

:=-

2 et n = 3' sont, quant

,

la t;éponse impulsiQnnel1e, très compatibles.

/'(, _B

_{g

_-1 2

~)

i 1 1 A(q-1)

A(q-l)

.~~

,,Î

"-10·

,

,

1

•

,

• 1 l '

1

8.9 8.8

_r-

, i '!.Il2 8.7

·

lU

_·

~

n,:

l 8.5 ,1;

a..

0 .\. ' al!l 8.3

_·

8.2

-8.1 B

"

IJ 111 (lJ (1 ~ _{1 la 2B} 1!.l!4 ₁ 1 _{1 1 1} B.Z3

-1\.. n -: 2 Il.ll2

~

-

"

-B.Ill Z 1 1 1 _-1 r Il II! 2S 8 111 2S 8. lU ₁ • .,' ~..,. alO n :

3

l'

r-8.S2

"

_JI

a 111 ~ '8 -1 1

,.

1. ' J 1 _{B 111 29}

•

l i 2S fig.

_5.5

..

4 . . .

(

)

...

(

)

CHAPITRE VI - 'ANALYSE DES PERTURBÀTIONS

ce chapitre, nous faisons une analyse a posteriori des

don-,

"

nées accumulées lors de l:experience à l'usine. Des faits importants sont soulignés quant aux possibilités de contrôle du calcin~teur. Une

~ \

analyse théorique des effets su~ la sortie des différentes sources de

1

bruit est effectuée. Entre autre, la contribution du bruit de mesure perçu par l'ordinateur est étudié.

Il existe à l'intérieur du procédé étudié deux très importantes sources de bruit qui affectent la val~ur du po~rcentage de rutile

mer

-surée. Premièrement, fIe processus chimique de calcination est direc-'tement dépendant de son énergie d'activation. Les variat-ions de cette

énergie d'activation peuvent être modelisées par un bruit blanc (d ) _{. e} dérivé d'un processus de type \-liener - Lévy /2,4/.

Deuxièment, la non uniformité du pourcentage de rutile à même l'amas de produit jini au moment de l'échantillonnage, ainsi que les

-

,

variations dans le temps écoulé entre deux mesures produisent une er>eur de mesure: le bruit de mesure cl

m Il en résulte un signal qui vient

di-recte~ent perturber la sortie. Ce signal est non carrelé et de moyenne

, '

zéro. De plus, la variance de ce signal est indépendante de la période d'échantillonnage. Une expérience qui consistait à mesurer dix échan-tillons pris à une minute d'intervalle nous ,permet d'estimer les propri-étés suivantes du bruit de mesure.

46