Optimisation de forme par méthode Level Set pour les équations intégrales de l'électromagnétisme. Application à la conception d'antennes

(1)

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à la conception d’antennes

Sophie Coquan

To cite this version:

Sophie Coquan. Optimisation de forme par méthode Level Set pour les équations intégrales de

l’électromagnétisme. Application à la conception d’antennes. Analyse numérique [math.NA].

Uni-versité Paris Diderot (Paris 7), 2016. Français. �tel-01421480�

(2)

SORBONNE PARIS CITE

ÉCOLE DOCTORALE DE SCIENCES MATHÉMATIQUES

DE PARIS CENTRE

Laboratoire Ja ques-Louis Lions - CNRS UMR 7598

THÈSE DE DOCTORAT

Dis ipline: Mathématiques Appliquées

Présentée par

Sophie COQUAN

OPTIMISATION DE FORME PAR MÉTHODE LEVEL SET

POUR LES ÉQUATIONS INTÉGRALES DE

L'ÉLECTROMAGNÉTISME

APPLICATION À LA CONCEPTION D'ANTENNES

Sous la dire tionde François JOUVE

Rapporteurs :

M. Habib AMMARI ETHZüri h

M. Abderrahmane BENDALI INSA de Toulouse

Soutenue publiquementle 28 septembre 2016 devant lejury omposé de :

M.Grégoire ALLAIRE É olePolyte hnique Examinateur

M.Habib AMMARI ETHZüri h Rapporteur

M.Abderrahmane BENDALI INSAdeToulouse Rapporteur

MmeAnne-Sophie BONNET-BEN DHIA CNRS-ENSTAParite h Examinatri e

M.François JOUVE UniversitéParisDiderot Dire teur

M.Jean-Paul MARTINAUD THALESSystèmesAéroportés Examinateur

(3)

(4)

(5)

(6)

Mespremiersremer iementsvontàmondire teur,FrançoisJouve,poursa

disponibi-lité,ses onseils avisés,sapatien e à touteépreuveetson optimismesans faille(surtout

lorsque e dernier mefaisaitdéfaut).

Je suis très honorée que Habib Ammari ait a epté de rapporter ette thèse, et je

leremer ie vivement pour l'intérêt qu'il a porté àmon travail.Je remer ie sin èrement

Abderrahmane Bendalipour avoir pris le temps de lirema thèse ave tant d'attention,

maiségalementpourm'avoirintroduitaumondedes équationsintégralesetde

l'éle tro-magnétisme,il y aquatre ans de ela, à Toulouse.

Je suis également très re onnaissante envers Grégoire Allaire, Anne-Sophie

Bonnet-Ben Dhia, Jean-Paul Martinaud et Jean-Claude Nédele d'avoir a epté de faire partie

de mon jury.

J'aieula han e,durant estroisannées,debéné ierdusuivirégulieretdes onseils

de Jean-Claude Nédele . Je le remer ie haleureusement pour tout e qu'il m'a appris,

surlesmathématiquesmaisaussisurlesmathémati iens!Mer iégalementàCharles

Da-pogny et Pas al Frey pour m'avoir si gentiment permis d'utiliser leurs ex ellents odes

de manipulationde maillage;dans le as ontraire, j'y serai sûrement en ore.

Ausein de ThalesSystèmesAéroportés, j'aieu leprivilègede fairepartiede l'équipe

Modélisation/Simulationde Jean-PaulMartinaud. Jetiens àleremer ierde m'avoir

a - eptéeet si bienintégréedans sa petite équipe, etbien évidemment pour le temps qu'il

m'a onsa ré et tous les onseils, toujours pertinents et jamais misen défaut, qu'il m'a

donnés. Cettethèse n'auraitjamaisvu lejoursans l'aide de SamuelNosal; un immense

mer iàtoiSam,pourm'avoirsibienguidéd'abordpendantmonstagepuis pendantma

thèse,pourton soutienindéfe tible,danslesbons moments ommedanslesmoinsbons,

ta onan eenverset ontretout,tonaide,tes onseils,tagentillesseettabonnehumeur

permanente.Jetiensàremer ierégalementGillesSalinpourm'avoirsibienguidéedans

lesméandres du Fortran et des Éléments Finis; ses ompéten es en informatique et en

lms muets des années 50sont inégalables.

Mes remer iements s'adressent également à l'ensemble des membres du plateau IM

pour leura ueiletleur gentillesse; mer iparti ulièrementàBenjamin, Bernard,

Chris-tian, Grégoire,Guillaume,Jean-François, Laurent, Stefan, aux deux Thierry (lefrisé et

le un peu moins frisé), et Xavier pour tous es moments de onvivialité. Et puisqu'on

parle de onvivialité, je dois bien sûr remer ier la ne équipe de YES pour tous es

joyeuxmoments,àElan ourt,Paris, Bordeaux,Hengelo,Cannes etj'enpasse. J'yaifait

de nombreuses et très belles ren ontres; je ne pourrais malheureusement pas tous les

iteri imais je feraiune mentionspé iale àAlex, Anne-Laure, Caroline,Emilie, Fanny,

Fran k, GuillaumeB., Marlène, Rémy etWilliam.

Ces années de thèse n'auraient pas été les mêmes sans la ompagnie haleureuse de

euxquiontétéprésentsàmes tés(quasi)quotidiennement.C'estpourquoijesouhaite

(7)

mo-(désolée Maud, je sens que tu vas m'en vouloir), aussi me ontenterais-je de les iter.

Mer i,don ,àAdrien,Anna,Arturo,Aser,Christophe,Clément,David,Guillaume,Huy,

Jiatu, Lori k, Mar -Antoine, Maud, Ni olas, Noufel,Oriane, Pierre, Thomas(l'an ien),

Thomas(lemoinsan ien) etVu-Lan;sans oublier lespetits nouveaux, Cme, Mi-Song,

Rémy, XiaoLi etYann. Bon ourageà eux!

Jeremer ieégalementlagrandeetjoyeusefamilledesfémininesdeSuresnes/ASTAS,

pour tous es moments de bonheur, sur le terrain et en dehors. Vous êtes in royables,

vous avez hangémaviede laplusbelledes manières,etl'aventurene faitque

ommen- er.

Ungrandmer iàmes amis,quiontsibiensumefaire(tropsouvent?)dé ompresser.

Mer i parti ulièrement àmes amarades de laville rose, eux restés toulousainset eux

devenusparisiens(et eux partisplus loin) etaux albigeois,toujours làmalgréletemps

quipasse. Je ne peux pas tous les iter, j'espère qu'ils mepardonneront.

Enn, je tiens à remer ier l'ensemblede mafamillepour leur présen e aux ours de

es 26dernières années, parti ulièrementmes frères ets÷urs, Nathalie,Guilhemet

Ma-rionetleurs petites familles.Pourterminer, je remer iemes parents; lalistedes raisons

esttrop longueetlesmots nesontpas assezfortspourexprimertout equeje leurdois,

(8)

Cettethèseviseàmettreen pla eune méthodede al ulautomatiquede formeoptimale

pour les antennes, par modi ation de la forme des motifs métalliques onstituant les

élémentsrayonnants d'une antenne.

La première partie propose un état de l'art des deux prin ipales thématiques de ette

thèse.Le hapitre1 présente lasimulationéle tromagnétique des antennes, baséesur la

méthode des équations intégrales et résolue par éléments nis de frontière. Le hapitre

2présente l'algorithme d'optimisationde formeutilisé, qui ouple une analyse de

sensi-bilitéave laméthode Level Set pour l'évolution de la géométrie.

La deuxième partie s'intéresse à l'appli ation de et algorithme d'optimisation au

pro-blème qui a motivé ette thèse, à savoir le al ul de la forme optimale d'un motif

mé-tallique sur un élémentrayonnant. Le al ul des hamps éle triques etmagnétiques est

ee tué par la méthode des équations intégrales, qui renvoie notamment l'observable à

minimiser : le oe ient de réexion de l'antenne. Les hapitres 3 et 4 présentent les

aspe ts théoriques de e travail,dans ledomaine ontinu etle domainedis ret

respe ti-vement.

Latroisièmepartie expliquelamise en ÷uvrenumériquedes résultatsétablis

théorique-mentdanslapartie2.Le hapitre5dé ritlabou leglobaledel'algorithmed'optimisation

de forme. Les résultats obtenus par et algorithme sont présentés dans le hapitre 6 :

ilss'appuient sur plusieurs élémentsrayonnants dontlaformede lamétallisation évolue

an d'optimiser le oe ient de réexion ainsi que d'autres ritères dérivés.

Abstra t

This thesis aims at establishing a method whi h omputes automati ally the optimal

design of an antenna, by modifying the shape of metalli patterns onstituting the

ra-diatingelements of anantenna.

In the rst part is proposed a state of the art of the two main topi s of this thesis.

Theele tromagneti simulationofantennasbasedonthe integralequationsmethodand

solved by the boundary elements method ispresented in Chapter 1.Chapter 2presents

theutilizedshapeoptimizationalgorithm,whi h ombines asensitivity analysisand the

Level Set method for tra king the evolution of the geometry.

These ondpartdealswiththeappli ationofthisoptimizationalgorithmtotheproblem

that motivated this thesis, namely omputing the optimal shape of a metalli pattern

on a radiating element. The ele tri and magneti elds omputation is performed by

the integral equation method whi h returns, among others, the observable tominimize:

the ree tion oe ient. Chapters 3 and 4 present the theoreti al aspe ts of this work,

inthe ontinuous domain and the dis retedomain respe tively.

Inpart3isexplainedthe numeri alimplementationofthe theoreti alresultsestablished

inpart2. Chapter 5addresses the globalloopofthe shapeoptimization algorithm.The

numeri alresults obtained by this algorithmare set out in hapter6: they are based on

several radiatingelementswhose shapeof the metallizationevolves inorder tooptimize

(9)

(10)

Introdu tion 13

I État de l'art 25

1 Équations intégrales de frontière en éle tromagnétisme 27

1 Méthode des équations intégrales . . . 28

1.1 Équations de Maxwell . . . 28

1.1.1 Équationsde Maxwell harmoniques . . . 28

1.1.2 Formulationà un seul hamp . . . 29

1.1.3 Conditions de radiation . . . 29

1.2 Rayonnement d'une sour e dans l'espa elibre . . . 30

1.2.1 Solutionélémentaire de l'équationd'Helmholtz . . 30

1.2.2 Solutiondes équations de Maxwell . . . 30

1.3 Quelquesélémentsd'analyse . . . 31

1.3.1 Formuledes sauts . . . 31

1.3.2 Notions de géométrie diérentielle . . . 32

1.3.3 Espa es fon tionnels . . . 35

1.3.4 Notes sur lesnoyauxsinguliers . . . 37

1.4 Représentation intégralede lasolution . . . 39

1.4.1 Problèmeaux limites . . . 39

1.4.2 Formulede représentation . . . 40

1.4.3 Formulede tra e . . . 41

1.4.4 Équationsintégrales . . . 42

2 Résolutionnumérique . . . 43

2.1 Formulationvariationnelle . . . 43

2.2 Méthode des élémentsnis de frontière . . . 44

2.2.1 Approximationvariationnelle . . . 44

2.2.2 Éléments sur la mise en ÷uvre numérique . . . 47

2.2.3 Commentairessur larésolution . . . 47

3 Quelquesinformations on ernant lesantennes . . . 47

3.1 Cara téristiques générales des antennes . . . 48

3.1.1 Prin ipe de fon tionnement . . . 48

3.1.2 Réexion ettransmission . . . 48

3.2 Modes guidés . . . 49

3.2.1 Lesguides d'onde . . . 49

3.2.2 Modes et fréquen es de oupure . . . 50

3.2.3 Réexion ettransmission dans lesguides d'onde . . 52

(11)

2 Optimisation de forme par méthode Level Set 55

1 Méthode Level Set . . . 56

1.1 Méthodes pour le suivid'interfa e . . . 56

1.1.1 Tour d'horizon des méthodes existantes . . . 56

1.1.2 Introdu tion àla méthode Level Set . . . 57

1.2 Présentation de laméthode Level Set . . . 58

1.2.1 Dénitionimpli ite d'un domaine . . . 58

1.2.2 Des riptionde l'évolution de lafrontière . . . 59

1.3 Quelquesaspe ts numériques . . . 61

1.3.1 Résolutionde l'équation d'Hamilton-Ja obi . . . . 61

1.3.2 Initialisationde la fon tion Level Set . . . 62

2 Optimisationde forme . . . 62

2.1 Dénition d'un problèmed'optimisation de forme . . . 63

2.1.1 Unpeu d'histoire . . . 63

2.1.2 Unerapide vue d'ensemble des diérentes méthodes 64 2.2 Analyse de sensibilitépar laméthode d'Hadamard . . . 64

2.2.1 Méthode de variationde frontière . . . 65

2.2.2 Diérentiationpar rapport àla forme. . . 66

2.2.3 Algorithmegénériqued'optimisation de forme . . . 69

3 Optimisationde forme par méthode Level Set . . . 70

3.1 Algorithmed'optimisation . . . 70

3.2 Remarques. . . 70

II Optimisation de forme pour l'éle tromagnétisme 73 3 Le problème d'optimisation de forme 75 1 Contexte etprésentation du problème . . . 77

1.1 Tour d'horizon des problèmes existants en éle tromagnétisme 77 1.2 Contexte industriel . . . 78

2 Formulationdu problème d'optimisation . . . 80

2.1 Quelquesinformations préalables . . . 80

2.1.1 Notationsutilisées . . . 80

2.1.2 Sur lestypes d'interfa e . . . 80

2.1.3 Parti ularités du problème . . . 81

2.2 É rituredu problème en termes de ourants surfa iques . . . 81

2.2.1 Fon tionobje tif . . . 81

2.2.2 Équationsintégrales . . . 82

2.3 Analyse de sensibilité . . . 83

2.4 Dérivée de forme etproblème adjoint . . . 84

2.4.1 Unepremière expression de ladérivée de forme . . 84

2.4.2 Introdu tion du problème adjoint . . . 85

2.4.3 Unedeuxième expression de ladérivée de forme . . 86

3 Cal uldes opérateurs intégraux transportés . . . 89

3.1 Dérivée des termes de base . . . 89

3.1.1 Noyaude Green . . . 89

3.1.2 Gradientdu noyau de Green. . . 89

3.1.3 Élément de surfa e . . . 90

3.1.4 Normaleunitaire . . . 92

(12)

3.2.1 Gradienttangentiel . . . 94

3.2.2 Divergen e surfa ique . . . 95

3.3 Dérivée des opérateurs intégraux . . . 95

3.3.1 Opérateurde simple ou he . . . 95

3.3.2 Opérateur

K

i

. . . 96

3.3.3 Opérateur

L

i

. . . 97

4 Adaptation à laméthode Level Set . . . 98

4.1 Parti ularisationde ladéformation . . . 98

4.1.1 Simpli ationdes opérateurs dérivés . . . 98

4.1.2 Unetroisième expression de la dérivée de forme . . 99

4.2 Reformulationpour laméthode Level Set . . . 100

4.2.1 Terme

A

i

. . . 100 4.2.2 Terme

B

i

. . . 101 4.2.3 Terme

C

i

. . . 103 4.2.4 Terme

D

i

. . . 103 4.2.5 Terme

E

i

. . . 104 4.2.6 Terme

F

i

. . . 106 4.2.7 Terme

H

i

. . . 106

4.3 Unequatrième etdernière expression de ladérivée de forme 107 4 Dis rétisation par éléments nis de frontière 111 1 Résolutiondu problème adjoint . . . 112

1.1 Dé ompositiondans la base des modes . . . 112

1.2 Formulationvariationnelle du problème adjoint . . . 113

1.3 Résolutionnumérique. . . 114

2 É rituredans la base des éléments nis de frontière . . . 115

2.1 Rappelsdes formules de dis rétisation . . . 115

2.1.1 Cal uld'intégrales sur le maillage . . . 115

2.1.2 Formulede quadrature de Gauss . . . 116

2.1.3 Interpolation des in onnues sur lemaillage . . . 116

2.2 Reformulationdes termes hypersinguliers . . . 117

2.2.1 Classi ationdes termes . . . 118

2.2.2 Terme

f

1 i

Γ, j, p

(y)

. . . 118

2.3 Bilan: formulation dis rètede lavitesse . . . 119

3 Gestiondes singularités. . . 120

3.1 Intégrales singulières . . . 121

3.2 Alternan e des formules de Gauss . . . 122

III Mise en ÷uvre numérique et résultats 125 5 Algorithme numérique 127 1 Résolutionde l'équation d'Hamilton-Ja obi. . . 128

1.1 Rappeldu ontexte . . . 128

1.1.1 Dérivée de forme etvitesse d'adve tion . . . 128

1.1.2 Prin ipe de la résolution numérique . . . 129

1.2 Cal ulde lavitesse numérique . . . 130

1.2.1 Passage du maillage àla grille . . . 130

1.2.2 Cal ulde lanormale àla frontière . . . 131

(13)

1.3 Initialisationde la fon tion Level Set . . . 132

1.3.1 Idée générale . . . 132

1.3.2 Cal ulde ladistan e signéeappro hée . . . 133

1.4 Bilan: résolution de l'équation . . . 137

2 Évolution de la géométrie . . . 137 2.1 Remaillage. . . 137 2.2 Zone de relaxation . . . 138 3 Algorithmed'optimisation . . . 139 3.1 S héma global . . . 139 3.2 Critèrede onvergen e . . . 140 6 Résultats numériques 143 1 Présentation des as-test . . . 144

1.1 Guide d'onde . . . 145 1.1.1 Présentation générale. . . 145 1.1.2 Diérentes initialiations . . . 146 1.2 Double-pat h . . . 147 1.2.1 Présentation générale. . . 147 1.2.2 Diérentes initialiations . . . 148

2 Minimisationdu module du oe ient de réexion. . . 149

2.1 Guide d'onde- Premier résultat . . . 149

2.1.1 Coup d'÷il sur lavitesse . . . 150

2.1.2 Résultatsde l'algorithme. . . 150

2.1.3 Validitéde lasolution . . . 151

2.2 Double-pat h- Premier résultat . . . 154

2.2.1 Résultatsde l'algorithme. . . 154 2.2.2 Validitéde lasolution . . . 156 2.3 Inuen e de l'initialisation . . . 156 2.3.1 Guide d'onde . . . 156 2.3.2 Double-pat h . . . 158 2.3.3 Synthèse. . . 160

2.4 Inuen e des paramètres du maillage . . . 161

2.4.1 Taillede la grille . . . 161

2.4.2 Maillagede lazone de relaxation . . . 162

3 Optimisationmulti-fréquen es . . . 163

3.1 Fon tion oût . . . 163

3.2 Double-pat h- résultats . . . 164

3.3 Analyse . . . 165

4 Coe ientde réexion ible: module . . . 166

4.1 Cal ulde ladérivée de forme . . . 167

4.2 Guide d'onde- Résultats . . . 167

4.3 Analyse . . . 168

5 Coe ientde réexion ible: amplitude et phase . . . 168

5.1 Cal ulde ladérivée de forme . . . 169

5.2 Résultats . . . 170

5.2.1 Guide d'onde- Re tangle dé entré . . . 170

5.2.2 Guide d'onde- Cer le entré . . . 172

5.2.3 Bilan . . . 173

(14)

Durant les dernières dé ennies, la simulation numérique a pris une pla e de plus en

plus importantedans le monde industriel, jusqu'à devenir un outil indispensable. Dans

lepassé, lepro essusde designindustrielpassaitné essairement parlafabri ationd'une

maquette sur laquelle on ee tuait des mesures, à la suite desquelles on dénissait les

mesures orre tives à appliquer avant de fabriquer une nouvelle maquette, et ainsi de

suite jusqu'àsatisfa tiondes spé i ations etfabri ation du premierprototype.

L'apparitiondelasimulationnumériqueabouleversé epro essus:leprototypeest

rem-pla é par une maquette virtuelle, la mesure est rempla ée par des al uls numériques,

et les mesures orre tives sont ainsi appliquées dire tement au modèle numérique, et

ainsi de suite, en ore une fois, jusqu'à satisfa tion des spé i ations. Une fois ledesign

orrespondant à es spé i ations al ulé,on peut onstruire le prototype nal.

Legainen termede oûtetde tempsde fabri ationestimmense. L'augmentation

onti-nue de la puissan e des ordinateurs, ouplée au développement de méthodes d'analyse

mathématiqueavan ées ont permis d'améliorer grandement les al uls. Aujourd'hui, on

est apable d'ee tuer en quelques heures des simulations qui, il y a quelques années à

peine,auraientpris dessiè les;etd'aboutiràdesdesignsquin'auraientpas étéimaginés

avant l'apparition de lasimulation numérique.

Ces nouvelles méthodes d'analyse où le design est gé par l'utilisateur sont bien

an réesdanslepaysageindustriel.L'heureest désormaisaudéveloppementde méthodes

pourlasynthèsedudesign:le odede al ulalapossibilitédemodierlesparamètresde

on eption.En eet, la omplexi ation des ontraintes industrielles rend la on eption

plus déli ate : l'utilisation d'une heuristique parfois intuitive, même ouplée à

d'ex el-lentsmoyensdemodélisationetdesimulation,nesutparfoispasàproposerunproduit

onformeà toutes les exigen es. Les mesures orre tives à appliquer sont alors di iles

àdénir, etle designnal di ile à imaginer.

Dès lors, on voit apparaître l'intérêt pour une nouvelle lasse de méthodes numériques

qui, s'appuyant sur les méthodes de simulation déjà existantes, ont pour but le al ul

du design optimal, 'est-à-dire réalisant toutes les exigen es. Si un algorithme est

a-pablede al uler une géométrieoptimalenon intuitivepour un ingénieur, oude réaliser

des analyses de toléran e automatiques sur un grand nombre de paramètres, alors on

a en ore augmenté l'e a ité du re ours à la simulation en automatisant la dénition

desmesures orre tiveseten al ulant,sansintervention humaine,undesignsatisfaisant

(15)

Obje tif de la thèse

Les travaux ee tués dans ette thèse s'ins rivent dans la problématiquede

on ep-tion optimaleprésentée i-dessus.

Plus spe iquement, on s'intéresse à la on eption d'antennes, telles que l'on peut en

trouver dans les radars : l'antenne est alors l'interfa e entre l'espa e libre où ir ulent

lesondeséle tromagnétiquesetlesystèmeradarquitraitelesinformationsreçues.

L'an-tenne jouantun rle primordialdans les performan es du système radar, sa on eption

est soumise à de nombreuses ontraintes en terme de performan es mais également de

poids, de taille, de bande de fréquen e, et .

En ore plus spé iquement, on s'intéresse i i aux propriétés d'émission d'une antenne

réseau, 'est-à-dire omposée d'un ertain nombre de modules élémentaires appelés

élé-mentsrayonnants quisontalimentésparunensemblededispositifséle troniquesagissant

sur les ara téristiques (forme, polarisation,dire tion...) de l'onde formée. Le

fon tion-nementd'une antenne sera détaillé au hapitre 1.

D

éc

o

m

p

o

si

ti

o

n

-A

m

p

li

fi

ca

ti

o

n

-fi

lt

ra

g

e

R

és

ea

u

d

e

p

o

la

ri

sa

ti

o

n

Sources

Ligne de transmission

Éléments rayonnants

P

S

P

S

P

S

P

A

P

A

P

A

P

R

P

R

P

R

Antenne

Figure1 S hémasimpliéde latransmissiond'unsignal d'unesour eàl'espa elibre

viaune antenne réseau

Dans ette thèse, nous allons nous intéresser à la forme de es éléments rayonnants

unitaires, et en parti ulier aux éléments rayonnants de type pat h. Ce type d'élément

rayonnant,quelque soit sagéométrie, possède toujoursà sasurfa e une zone métallisée,

appelée pat h métallique, quiva réerle ouplage entre l'ondedans leguide, quipermet

latransmissionde ettedernière àl'antenne,etl'espa elibre.Nousallons her her,dans

es travaux, àoptimiser laformede e pat hmétallique.

Pour lesbesoinsde lathèse,onselimiteraau as d'unélément rayonnantpris en espa e

libre, et non pas en réseau ni, an de simplierles é ritures mathématiques.

L'exten-sion au as des réseaux n'est pas traitée i i, mais ne pose pas de problème théorique

(16)

Figure 2 Exemple d'élément rayonnant ave un substrat diéle trique (en vert)

par-tiellementmétallisé(en rouge)

La forme de ette métallisation va dire tement inuer sur les ara téristiques du

hamp éle tromagnétiquerayonné, e qui nous amèneà laquestion prin ipalelorsde la

dénition d'un problème d'optimisation:quel est le ritère quel'on veut réaliser?

Lors de l'émission de l'onde, l'antenne va transmettre une ertaine quantité d'énergie

dans l'espa e libre. Cette quantité dépend des paramètres géométriques et physiques :

designgéométrique,matériaux,fréquen e,polarisation,...Enfon tionde esparamètres,

une partiede ette énergieest toujours réé hievers l'alimentationde l'antenne.

Dans la bande de fréquen e de fon tionnement de l'antenne, minimiser ette quantité

d'énergieréé hierevientàaugmenterlaportéede l'antenneouàdiminuerlapuissan e

né essaire à son fon tionnement. Cela revient don aussi à améliorer les performan es

du radar.

Ainsi,nous allons dans nos travaux her her à minimiserla quantité d'énergie réé hie

dans l'antenne. Il ne s'agit pas de la seule quantité intéressante à minimiser,mais nous

nousy restreindronsande testerlafaisabilitéde nos méthodes, l'optimisationd'autres

ritèresne posant pas de di ultés théoriques ou pratiques supplémentaires.

Organisation de e mémoire

Cemanus ritsediviseen six hapitres,regroupésdanstrois parties.Nousprésentons

i ibrièvement le ontenu de ha unde es hapitres, de manièretrès formelle.

Partie I : État de l'art

Chapitre 1 : Équations intégrales de frontière en

éle tromagné-tisme

Le premier hapitre, bibliographique, présente le problème de la dira tion d'une

ondeéle tromagnétique par un obsta le.

(17)

hamp éle tromagnétique

(E, H)

dans un milieu isotrope de

R

, de permittivité

diéle -trique

ε

et de perméabilité magnétique

µ

. Leséquations de Maxwell sous forme

harmo-nique s'é rivent :

(

∇ × E − iωµ

0 H

= 0

∇ × H + iωε

0 E

= 0

Enréé rivant es équations,onse ramèneà une équation d'Helmholtz, donton onnaît

lasolution élémentaire

g

.Cela nous amène à ladénition du noyau de Green, qui nous

sera utile par lasuite :

G(x, y) = g(x − y) =

e

ik|x−y|

4π|x − y|

∀ x, y ∈ R

3

Enutilisantlasolutionélémentaire de l'équationd'Helmholtz,onpeut é rire lasolution

des équationsde Maxwell dans levide.

An de résoudre le problème de la dira tion d'une onde par un obsta le, on

intro-duit la formuledes sauts, qui, parti ularisée pour lerotationnel d'un hamp de ve teur

A

,s'é rit :

∇ × {A} = {∇ × A} + s

A

_{× n}

où

s

est la distribution de simple ou he.

Onintroduitensuiteun ertainnombre d'outilsde géométriediérentielle quinous

per-mettentde dénirles opérateurs gradient tangentiel

∇

Γ

etdivergen e surfa ique div

Γ

.

Nousintroduisons égalementles espa es fon tionnels

H(

rot

, Γ)

et

H

−

1 ₂

div

(Γ)

qui serviront

de adreà etteétude,ainsiquequelquesinformationssurlavaleurprin ipaledeCau hy

et la partie nie d'Hadamard qui nous permettront de dénir les intégrales singulières

ethypersingulières quiinterviendront dans leséquations.

Nousarrivonsensuiteaupointleplusimportantdu hapitre:lareprésentation intégrale

de la solution du problème de dira tion d'une onde par un objet. Celle- iest obtenue

à partir de la solution des équations de Maxwell dans

R

3

et la formule des sauts, et

s'appliqueaux in onnues quesont les ourants éle triques et magnétiques

(j, m)

dénis

ommelestra es tangentielles des hamps sur la surfa e

Γ

de l'objet :







j

_{= n × H}

m

_{= E × n}

Laformule de représentation intégrales'é rit alors,

∀ x ∈ R

3 _{\ Γ}

:







E(x) = E

in

(x) + Lj

(x) − Km

(x)

H

(x) = H

in

(x) + Kj

(x) +

ε

µ

Lm

(x)

oùlesopérateurs intégraux

L

et

K

s'expriment de la manièresuivante :











LX

(x) =

i

ωε

∇

Z

Γ

G(x, y)∇

Γ

· X(y)dΓ(y) + iωµ

Z

Γ

G(x, y)X(y)dΓ(y)

_{x ∈ R}

3 _{\ Γ}

KX

(x) =

Z

Γ

∇

x

G(x, y) × X(y)dΓ(y)

x ∈ R

3 \ Γ

(18)

En dénissant les tra es

L

et

K

sur

Γ

de es opérateurs, on peut é rire les équations

intégralesappelées EFIE etMFIE

∀ x ∈ Γ

:

1

2 E

±

T

(x) = E

in

T

(x) + Lj

(x) − Km

(x)

1

2 H

±

T

(x) = H

in

T

(x) + Kj

(x) +

ε

µ

Lm

(x)

On présenteensuitela méthode de résolution numérique de es équationsintégralesque

nousutiliserons, laméthode des éléments nis de frontière. Ellesebase sur leséléments

nis de Raviart-Thomas, dont les fon tions de base s'é rivent, pour un élément

K

du

maillage:

∀l = 1, .., 3,

B

l,K

(x) =

1 2|K|

r

(x) − r

l−1

pour

x ∈ K

où

r

(x)

est le rayon ve teur du point

x

. Les ourants surfa iques s'é rivent alors dans

ette base :

j

_|

K

= λ

1,K

B

1,K

+ λ

2,K

B

2,K

+ λ

3,K

B

3,K

oùlesdegrés de liberté globaux

λ

l,K

sont lesux sortants de

K

àtravers haque arête:

λ

l,K

=

Z

K

′

l

j

_{· ν}

l

ds

Enn, nous terminons le hapitre par quelques informations générales on ernant les

antennes, dont lesprin ipales ont déjaété introduitesdans les obje tifs de lathèse.

Nousintroduisons également quelques ara téristiques des guides d'onde, en parti ulier

lestrois atégories de modes de propagation de l'onde :les modes TE, TMet TEM.

Enn,nousprésentonsbrièvementle odede al ulindustrielAntennaDesign,quirésout

les équations de Maxwell sous forme intégrale par la méthode des éléments nis de

frontière,et quenous utiliserons danslessimulationsnumériquesprésentées au hapitre

6.

Chapitre 2 : Optimisation de forme par méthode Level Set

Ce deuxième hapitre, également bibliographique, présente la méthode

d'optimisa-tion de formeque nous utiliserons dans ette thèse : laméthode Level Set.

Après avoir ee tué un rapide tour d'horizon des méthodes de suivi d'interfa e

exis-tantes, on se on entre sur elle qui nous intéresse parti ulièrement, la méthode Level

Set. Elle se base sur la représentation impli ite d'un domaine

Ω ∈ R

d

à l'aide d'une

fon tionauxiliaire

φ : R

d

→ R

appelée fon tion Level Set :







φ(x) < 0

si

x ∈ Ω

φ(x) = 0

si

x ∈ Γ = ∂Ω

φ(x) > 0

si

x ∈

c

_Ω

Cettefon tionvanouspermettrededé rirel'évolutiondelafrontière

Γ

de

Ω

au oursdu

temps,puisque ettefrontièreestdéterminée,à haqueinstant

t

, ommeétantl'ensemble

des points pour lesquels la fon tionLevel Set

φ

est nulle.

(19)

ve teurs dirigé suivant la normale à

Γ

di tant le mouvement de la frontière, on trouve

que l'évolution de la frontière est régie par une équation d'Hamilton-Ja obi dont la

solutionest la fon tion Level Set orrespondante :

∀(x, t) ∈ R

d

× [0, T ],

∂φ

∂t

(t, x) + v(t, x)|∇φ(t, x)| = 0

Cetteéquationest résoluesur unegrille artésiennepar un s hémaauxdiéren es nies

d'ordre 2. Cette résolution né essite l'initialisationde la fon tion Level Set

φ

, que l'on

va her her àêtre leplus pro he possible de la fon tiondistan e signée.

Nous présentons ensuite le problème d'optimisation de forme, qui se dénit omme la

re her hede laformeoptimaled'undomaine

Ω

parmiunensembledeformesadmissibles

etqui minimiseun ritère appeléfon tion oût.

An de al uler les variations de la fon tion oût par rapport à la forme, nous devons

dénir un adre pour les perturbations de la forme. La méthode que nous utilisons est

laméthode de variationde frontière d'Hadamard qui permet d'ee tuer une analyse de

sensibilitéde la fon tion oût

J

lorsque l'on perturbe la frontière de

Ω

.

On introduit pour ela un hamp de ve teur

θ

eton onsidère les déforméesde

Ω

par le

hamp

θ

:

Ω

θ

=

n

x + θ(x), x ∈ Ω

o

Ce adre nous permet d'introduite la notionde diérentiation par rapport audomaine.

On dénit la dérivée de forme de

J

par rapport à

Ω

omme la dérivée de Fré het en

θ = 0

de lafon tion

θ 7→ J (I + θ)(Ω)

etonaledéveloppement asymptotiquesuivant:

J I + θ)(Ω)

= J(Ω) + J

′

(Ω)(θ) + o(θ)

ave

lim

θ→0

|o(θ)|

kθk

= 0

Nous présentons ensuite quelques formules et propriétés utiles sur les dérivées

d'inté-grales, ainsi que les notions de dérivées lagrangiennes et eulériennes et d'état adjoint.

Ces notions vont nous permettre d'énon er la proposition donnant la dérivée de forme

d'uneintégraledont l'intégrandeest unefon tiondépendantdu domaine, solutiond'une

équationaux dérivées partielles.

Lespropriétés des dérivées d'intégrales nous apprennent que la dérivée de formene

dé-pend que de la omposante normale de la déformationdu domaine. Au nal, la dérivée

de formepeut s'é rirede lamanière suivante :

J

′

(Ω)(θ) =

Z

Γ

v

Ω

(θ · n)ds

oùle hamp s alaire

v

Ω

,que l'on sait al uler, dépend de l'état etde l'étatadjoint.

Cette expression nous donne une dire tion de des ente naturelle :

θ = −v

Ω

n

puisque

pour

t

un pas de des ente susamment petit, on peut é rire :

J(Ω

θ

) = J(Ω) − t

Z

Γ

v

_Ω

2 ds + o(t) < J(Ω)

Lafon tion oût est bien dé roissante pour ette dire tion.

(20)

méthodeLevelSet,onobtientunalgorithmee a e d'optimisationdeformequipermet

une évolution de frontière libre. À haque itération

k

du pro essus, on al ule la

dire -tion de des ente

θ

k

par la méthode d'Hadamard et on utilise sa omposante normale

v

Ω

k

= θ

_k

· n

pour résoudre l'équation d'Hamilton-Ja obi:







∂φ

∂t

− v

Ω

k

|∇φ| = 0

φ(t = 0, .) = φ

k

Partie II : Optimisation de forme pour

l'éle tromagné-tisme

Chapitre 3 : Le problème d'optimisation de forme

Le hapitre 3 présente la réponse proposée au problème présenté au début de ette

introdu tion,à savoirl'appli ationde laméthode d'optimisationde formepar LevelSet

auproblème de dira tion éle tromagnétique résolupar équationsintégrales.

Dansun premiertemps,onrappellele ontexteetlaproblématique.Lepat hmétallique

dont nous souhaitons optimiserla formeest s hématisé sur la gure suivante :

γ

Γ

M,1

Γ

M,2

Γ

e

Figure3S hémaglobald'unpat hmétalliquesurunélémentrayonnantoùlasurfa e

ha hurée est notée

Γ

M

= Γ

M,1

∪ Γ

M,2

et lafrontière du pat h

γ = Γ

M,1

∩ Γ

M,2

Lafon tionLevelSet asso iéeà e problème estdon déniede lamanièresuivante:







φ(x) < 0

si

x ∈ Γ

M,1

φ(x) = 0

si

x ∈ γ

φ(x) > 0

si

x ∈ Γ

M,2

On rappelleque la fon tion oût à minimiserest i ila quantité d'énergie réé hie dans

l'antenne. Ellepeut également s'é rire omme leux du ve teur de Poynting du hamp

dira téà travers une se tion du guide d'onde, soit :

J(Γ) =

1

2 ℜ

Z

Γ

e

E

di

× H

di

· ν dσ

=

1

2 ℜ

Z

Γ

e

m

_{· ν × j}

dσ

(21)

On appliqueensuitela méthode d'analysede sensibilitéprésentée au hapitre pré édent

à la fon tion oût, et don aux grandeurs physiques qui y interviennent. On note les

dérivées de forme de la manièresuivante:

j(Γ

θ

_{, x + θ(x)) = j(Γ, x) + j}

(1)

_{(θ, x) + o(θ)}

m(Γ

θ

_{, x + θ(x)) = m(Γ, x) + m}

(1)

_{(θ, x) + o(θ)}

Ladérivée de formede lafon tion oût s'é rit don , dans un premiertemps :

J

′

(Γ)(θ) =

1

2 ℜ

Z

Γ

e

m

(1)

_{(θ) · ν × j}

+ j

(1)

_{(θ) · m × ν}

dσ

L'introdu tiond'unproblèmeadjoint,etsasolution,appeléeétatadjointetnotée

(p, q)

,

nous permet lareformulationde ette dérivée de forme, quidevient :

J

′

(Γ)(θ) =

1

2 ℜ

2 X

i=1

Z

Γ

i

L

(1)

_i

(θ)

j

i

− K

i

(1)

(θ)

m

i

· p

i

dσ

+

Z

Γ

i

− K

i

(1)

(θ)

j

i

−

_µ

ε

i

L

(1)

i

(θ)

m

i

· q

i

dσ

!

où

i

est l'indi e des diérents domaines diéle triques omposant l'antenne et

L

(1)

i

(θ)

et

K

i

(1)

(θ)

sont les dérivées des opérateurs intégraux intervenant dans les équations

inté-grales.

Le al ul de es opérateurs intégraux est ensuite ee tué, en dérivant tous leurs termes

onstitutifs(notamment lesopérateurs diérentiels) et en appliquant lesrègles de

déri-vationd'intégrales.Ces al ulsaboutissentàune troisièmeexpression pourladérivée de

formede la fon tion oût.

Enn, nous reformulons les expressions des opérateurs intégraux an d'obtenir une

dé-rivée de forme ayant la stru ture souhaitée pour y appliquer la méthode Level Set, à

savoir :

J

′

(Γ)(θ) =

Z

Γ

M

V

_{(y) · θ(y)dσ(y)}

Une fois es al uls ee tués, on obtient bien une dernière expression de la dérivée de

formequel'on pourra exploiter:

J

′

(Γ)(θ) =

Z

Γ

M

1

2 ℜ

_X

2 i=1

r

i

Γ, j, m, p, q

(y)

_{· θ(y) dσ(y)}

oùletermedansl'intégrande,lui-même onstituéd'unesommed'intégralessurlatotalité

de la surfa e,sera présenté dans lapropositionnale du hapitre.

Chapitre 4 : Dis rétisation par éléments nis de frontière

Le hapitre 4 présente l'appli ation numérique des résultats théoriques présentés au

hapitre3.

(22)

adjoint.Notons qu'il s'agit de la seule étapede al ul qui soitintrusive, 'est-à-dire qui

né essite de modier le ode de al ul AntennaDesign.

Ons'appuiepour elasurlaformeparti ulièredes hampsetdes ourantsdansunguide

d'onde, à savoir leur dé omposition dans labase des modes.

Si on note

β

m

i, ∀ m

i

= 1, ..., n

m

les oe ients de la dé omposition du hamp in ident

dans ette base,

α

m

i

m

r

, ∀ m

i

= 1, ..., n

m

, ∀ m

r

= 1, ..., n

m

les omposantes de la

ma-tri e S des oe ients de réexion et de transmission entre le mode

m

i

et le mode

m

r

et

E

m

i

, H

m

i∀ m

i

= 1, ..., n

m

es modes, alors les hamps admettent la dé omposition

suivante :

∀ x ∈ Γ

e

, E(x) =

n

m

X

m

i

n

m

X

m

r

β

m

i

α

m

i

m

r

E

m

r

(x)

et

H(x) =

n

m

X

m

i

n

m

X

m

r

β

m

i

α

m

i

m

r

H

m

r

(x)

Grâ eà ettedé omposition,onpeutréé rirelese ondmembreduproblèmedire t,noté

b

D

,sur lase tion

Γ

e

du guide omme une somme de se onds membres par mode :

b

D

1 Γ

e

=

n

m

X

m

i

β

m

i

b

m

i

etde même pour lese ond membre du problème adjoint :

b

A

=

n

m

X

m

i

n

m

X

m

r

β

m

i

α

m

i

m

r

b

m

r

D'unpoint de vue matri iel, si on onsidère une propagation monomodale, ela revient

toutsimplement àrésoudre lesystème

A

J U] =

B B1

Γ

e

età re onstruirele ve teur état adjoint de la manièresuivante:

P = β α U

Le al ul des termes onstitutifs de la dérivée de formese fait a posteriori, à partir des

in onnues al ulées numériquement sur le maillage,à partir de trois formules

indispen-sables:

•

ladé omposition des intégrales sur le maillage:

∀ y ∈ Γ,

Z

Γ

f (x, y)dσ(x) =

X

K∈Γ

h

Z

K

f (x, y)dσ

K

(x)

•

laformule de quadrature de Gauss :

∀ y ∈ Γ, ∀ K ∈ Γ

h

,

Z

K

f (x, y)dσ

K

(x) ≈ |K|

N

G

X

s=1

ω

s

f |

K

(x

s

, y)

où

N

G

est lenombre de pointsde Gauss onsidérés,

x

s

leurs oordonnéeset

ω

s

lespoids

quiy sont asso iés;

•

la formule d'interpolation des in onnues en tout point du maillage, à partir des

fon tionsde base etdes degrésde liberté :

j

_|

K

(x) =

3 X

l=1

(23)

Aprèsreformulationd'untermehypersingulier,onadon ànotredispositionune

expres-sion dis rétisée de ladérivée de formede lafon tion oût. Lestermes qui la onstituent

étant pour la plupart singuliers, on dénit une stratégie qui nous permet d'appro her

es intégrales singulières :

•

Pour le terme d'auto-inuen e (intégrale double sur lemême élément), onee tue

une approximation de es intégralesen annulant lapartie singulière;

•

OnalternelesformulesdeGauss,etdon les oordonnéesdespointsdeGauss.Ainsi,

onminimise l'inuen e des intégrales singulières sur le al ul de la dérivée de forme de

lafon tion oût.

Partie III : Mise en ÷uvre numérique et résultats

Chapitre 5 : Algorithme numérique

Le hapitre 5présentela mise en ÷uvre numériquede la méthode d'optimisation et

l'algorithmeutilisé.

On ommen e par rappeler le ontexte, àsavoirque l'on aen notre possessionune

déri-vée de formedu type

J

′

(Γ)(θ) =

Z

Γ

M

V

_{(y) · θ(y)dσ(y)}

etque l'on doit résoudre l'équation d'Hamilton-Ja obiave omme termede vitesse

v(y) = −V(y) · n(y) ∀ y ∈ Γ

M

Cetteéquationserarésoluesurunegrille artésiennexe, equivané essiterdespassages

su essifsdumaillage(oùsont al ulésles ourants)àlagrille(oùsera al uléelavitesse).

Ce passage sera ee tué par lo alisation de haque point de la grilledans les éléments

du maillage.

Lanormaleàlafrontière

Γ

M

estquant àelle al uléeàpartirde lafon tion LevelSet, à

l'aided'un s hémanumériquedetypediéren esnies,etlavitesse naleestrégularisée

par une méthode basée sur l'opérateurLapla ien.

Unedesdi ultés numériquesquisepose est ellede l'initialisationde lafon tionLevel

Set. Commeexpliqué dans le hapitre 2,on va her her àse rappro her leplus possible

de la fon tiondistan e signée,en al ulantle plus pré isemment possible ladistan e de

haque point de lagrilleauxarêtes du maillage délimitantlepat hmétallique.Pour un

pat h métalliquere tangulaire,on obtient l'initialisationsuivante:

Maillageinitial Level-Set après initialisation

(24)

Nous présentons ensuite la stratégie utilisée pour faire évoluer, aul des itérations,

lagéométrie du pat h. Cettestratégie repose sur deux étapes prin ipales :

le remaillage de

Γ

M

suivant la nouvelle fon tion Level Set al ulée après

résolu-tionde l'équationd'Hamilton-Ja obipar interpolationde ettenouvelleLevelSet

sur l'an ienmaillage,dé oupage de l'an ienmaillage etgénération d'un nouveau

maillage;

lemaintien de la onformitéde e nouveau maillageave lereste du maillagepar

remaillaged'une zone tampon entre les deux, appelée zone de relaxation.

Enn, nous présentons s hématiquement l'algorithme d'optimisation qui a été

implé-menté et qui prend en ompte les étapes d'initialisation, de al ul de la vitesse, de

résolutionde l'équation d'Hamilton-Ja obi,de remaillageetde al ul dire t.Nous

reve-nons également sur le hoix de ritère d'arrêt ee tué, qui est un ritère de stagnation

de la solution.

Chapitre 6 : Résultats numériques

Le hapitre 6 présente les résultats numériques obtenus lorsde l'appli ation de

l'al-gorithmeàquelques as-tests.

Dansun premiertemps, nous présentons les deux as-tests onsidérés :

un guided'onde re tangulaire,dont l'embou hure est partiellementmétallisée,

un élément rayonnant onstitué de deux blo s diélé triques partiellement

métal-lisés.

Pour ha un de es as-tests, on onsidèrera plusieursgéométries initialespour le pat h

métalliqueà optimiser.

Onétudieensuitelesrésultatsobtenusparl'algorithme.Nous iteronsi iun exemplede

résultatobtenu, elui de l'optimisationdu oe ientde réexionpour leguide d'onde:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 itération o e ien t de transmission (dB)

(25)

Nous revenons également sur l'inuen e de la géométrie initiale du pat h

métal-lique, qui s'avère très importante puisque beau oup de géométries ont des oe ients

de réexion similaires,et l'algorithme, de type gradient, ne peut onverger que vers un

minimum lo al.

Nousétudions égalementl'inuen ede ertainsparamètresnumériques, tels quelataille

de la grille artésienne et laqualité du maillage de la zone de relaxation.

Dans le as du as-test élément rayonnant, il est intéressant de regarder les résultats

obtenus lorsque l'on veut optimiser la forme du pat h sur une bande de fréquen e. Les

résultatsobtenusi isonttrèssatisfaisants,puisquel'algorithme onvergeversune forme

optimalenous permettant d'élargirlabande de fontionnement.

Pour le as-test guide d'onde, on her he après ela à atteindre un oe ient de

ré-exion ible, plutt que de le minimiser.Dans un premier temps, onvise un oe ient

deréexionaumodulexé, equiserappro he beau oup delaminimisationdumodule.

Dansun se ondtemps,on her he àatteindreun oe ientde réexion omplexe,

'est-à-direquel'onveut ontrleràlafoisl'amplitudeetlaphasedu oe ient.Celané essite

uneadaptationde lafon tion oût quisetraduitparune modi ation del'état adjoint:

P

2 = β α − δ

U

(0.1)

où

U

estleve teursolution al ulé ommeprésentédansle hapitre4et

δ

estle oe ient

de réexion ible.

Dansles deux as, lesrésultats obtenussont égalementsatisfaisantset nouspermettent

d'atteindretrès pré isemmentle oe ientderéexion ible.Parexemple,pour leguide

d'onde, ave ontrle de l'amplitudeet de la phase :

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -80 -75 -80 -65 -60 -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 itération

α

−

δ

2 (d

B

)

Figure6 Courbede onvergen e : minimisationde l'é art à

δ = −0.6 + 0.4i

Nous on luonsle hapitreetpar-làmêmelathèseparunbilandu omportement

del'algorithmeetdes résultatsobtenus, ainsi queparun ertainnombre de perspe tives

(26)

(27)

(28)

Équations intégrales de frontière en

éle tromagnétisme

Contents

1 Méthode des équations intégrales . . . 28

1.1 Équations de Maxwell . . . 28

1.2 Rayonnement d'unesour e dansl'espa e libre . . . 30

1.3 Quelquesélémentsd'analyse. . . 31

1.4 Représentation intégrale delasolution . . . 39

2 Résolution numérique . . . 43

2.1 Formulationvariationnelle . . . 43

2.2 Méthode deséléments nisde frontière. . . 44

3 Quelques informations on ernant les antennes. . . 47

3.1 Cara téristiques générales desantennes. . . 48

3.2 Modesguidés . . . 49

3.3 AntennaDesign. . . 52

Introdu tion

Nousprésentonsdans e hapitreleproblèmedeladira tionéle tromagnétiqueque

noussouhaitonsrésoudre,ainsi queleprin ipede sarésolutionpar laméthodedes

équa-tions intégraleset lamise en ÷uvre numérique de ette dernière.

Dans un premier temps, nous rappelons les équations de base de l'éle tromagnétisme,

les équations de Maxwell, i i utilisées sous leur forme harmonique et asso iées à une

onditionde rayonnementàl'inni.Nousprésentonségalementlarésolutionexpli itede

es équations par l'intermédiairede lasolution élementaire de l'équation d'Helmholtz.

Nousintroduisonsensuitelesoutilsné essairesàlamiseenpla edeséquationsintégrales,

en parti ulier la formuledes sauts qui y joue un rle primordial,le adre fon tionnel et

quelques notionsde géométrie diérentielle qui sont né essaires.

Une fois posées les fondations, nous pouvons passer à la formulation du problème de

dira tiond'une ondepar unobjet.C'est etteexpression qui,àl'aidede laformuledes

(29)

une expression expli ite du hamp éle tromagnétique en fon tion de la solution

élémen-taireet de fon tionsdéniessur la frontière de l'objet dira tant,que sont lessauts des

tra esde emême hamp.Laformulede représentation intégralepermetde transformer

l'équationaux dérivées partiellesposée dans tout le domaine en une équation intégrale

poséesur lebord del'objetdira tant:ellepermetnonseulementde gagnerune

dimen-sion d'espa e maiségalement de passerd'un problème posé dans un domainenon borné

à un problème posé dans un domaine borné. Nous présentons également les équations

intégrales EFIE et MFIE, qui seront elles utilisées par la suite, ainsi que l'équation

intégralePMCHWT (pour Poggio-Miller-Chan-Harrington-Wu-Tsai)pour une interfa e

diéle trique.

Dans un se ond temps, nous présentons la méthode de résolution numérique qui est

utilisée pour l'approximation des équations intégrales : la méthode des Éléments Finis

de Frontière. Nous revenons d'abord sur l'é riture de la formulation variationnelle du

problème, puis expliquons brièvement le prin ipe de la méthode. Nous insistons sur la

prin ipale ara téristique de l'utilisation d'une méthode de résolution surfa ique, à

sa-voirlegainen termede nombred'in onnues, a ompagné ependantd'una roissement

notablede la omplexiténumérique.

Enn, nous terminons e hapitre par une présentation générale du fon tionnement

d'une antenne, en expliquant brièvement le prin ipe de fon tionnement et en

énumé-rant les grandeurs ara téristiquesles plus usitées.

Nous nous attardons ensuite sur un type de ligne de transmission très ourant dans

la stru ture d'une antenne : les guides d'ondes. En parti ulier, nous insistons sur les

guides d'onde re tangulaires et les lignes oaxiales, qui seront utilisés par la suite dans

nos travaux. La propagation des ondes éle tromagnétiques dans es stru tures, appelée

propagationguidée,possèdedes propriétés bien parti ulièresquenous évoquons etdont

la ompréhension nous sera utile par lasuite.

Nous on luons e hapitre par une brève présentation du ode de al ul Antenna

De-sign, développé en interne au sein de Thales Systèmes Aéroportés, sur lequel nous nous

appuyons lorsde nos travaux.

1 Méthode des équations intégrales

Dans ette se tion, nous nous basons prin ipalement sur les ouvrages de Nédele

([Ned01℄),Colton&Kress([CK92℄)etSauter&S hawb([SS11℄)ainsiquesurlesmanuels

d'Abboud & Terrasse ([AT07℄) et Bendali([Ben11℄).

1.1 Équations de Maxwell

1.1.1 Équations de Maxwell harmoniques

On onsidère une onde éle tromagnétique se propageant dans un milieu isotrope de

R

3

de permittivité diéle trique

ε

et de perméabilité magnétique

µ

. On suppose que le

milieu est homogène et possède les ara téristiques du vide, 'est-à-dire que

ε = ε

0

et

µ = µ

0

, où

ε

0

et

µ

0

sont respe tivement la permittivité et la perméabilité du vide.

(30)

H

satisfaisant leséquations de Maxwell :











∇ × E + µ

0 ∂H

∂t

= 0

∇ × H − ε

0 ∂E

∂t

= 0

(1.1)

On se pla e i i dans le régime harmonique : la dépendan e en temps est supposée être

sinusoïdale et les hamps éle trique et magnétique vibrent à la même pulsation

ω

. En

plongeant la solution dans le plan omplexe, nous onsidérons don un ouple solution

de la forme:

E(t, x) = ℜ E(x)e

−iωt

H(t, x) = ℜ H(x)e

−iωt

Notons quela onvention hoisie i iest en

e

−iωt

.

Enne onsidérant que lesondes harmoniques, onpeut s'aran hirde la dépendan e en

tempseté rireleséquationsde Maxwelldansledomainefréquentiel.On noteégalement

par

c =

1 √

_ε

0 µ

0

la vitesse de lalumière dans le vide etpar

k =

ω

c

= ω

√

_ε

0 µ

0

le nombre

d'ondedans le vide.

Leséquations de Maxwell harmoniques s'é rivent alors :

(

∇ × E − iωµ

0 H

= 0

∇ × H + iωε

0 E

= 0

(1.2)

1.1.2 Formulation à un seul hamp

On peut éliminer l'un des deux hamps

E

ou

H

du système (1.2) an d'obtenir un

système posé pour seulement l'un des deux hamps. En parti ulier,pour le hamp

E

:

(

∇ × ∇ × E − k

2 _E

_{= 0}

∇ · E

= 0

Le hamp

H

est alors donné par

H

=

1 iωµ

0 ∇ × E

Enremarquantque

(∆E)

j

= ∆E

j

, j = 1..3

, onobtientun systèmed'équations

d'Helm-holtzdé ouplées sur haque omposante du hamp

E

:

− ∆ + k

2 _)E

j

= 0, j = 1..3

1.1.3 Conditions de radiation

An de ara tériser lasolution des équationsde Maxwell harmoniques, onintroduit

une ondition supplémentaire, dite ondition de radiation de Silver-Müller :

lim

|x|→∞

_√

ǫ

0 E

−

√

µ

0 H

×

x

|x|

= 0

(1.3)

Cette ondition est né essaire pour assurer l'uni ité de la solution ([Ned01℄). Elle

per-met de séle tionner, parmi les deux solutions possibles, la seule solution physiquement

(31)

1.2 Rayonnement d'une sour e dans l'espa e libre

1.2.1 Solution élémentaire de l'équation d'Helmholtz

On appelle solutionélémentaire de l'équation d'Helmholtz la distribution

g

solution

de :

−(∆g + k

2 g) = δ

dans

D

′

_(R

3 ₎

Ainsi,lasolution de l'équation d'Helmholtz ave terme sour e

−(∆w + k

2 w) = T

dans

D

′

_(R

3 ₎

s'é rit

w = g ∗ T

. La solution élémentaire de l'équation d'Helmholtz en 3D et pour la

onvention harmonique hoisie est donnée par :

g(x) =

e

ik|x|

4π|x|

Parla suite, onappelera noyaude Greenla fon tion

G(x, y) = g(x − y)

:

G(x, y) =

e

ik|x−y|

4π|x − y|

(1.4)

1.2.2 Solution des équations de Maxwell

On her he une solutiondes équationsde Maxwellave termessour es :











∇ × E − iωµ

0 H

= −T

1 ∇ × H + iωε

0 E

=

T

2 lim

|x|→∞

√

_ǫ

0 E

−

√

µ

0 H

×

_|x|

x

=

0

(1.5)

Si on réé rit la formulation à un seul hamp en prenant en ompte les termes sour es,

onobtient :

− (∆ + k

2 _{)E = iωµ}

0

1 k

2 ∇∇ · T

2 + T

2 − ∇ × T

1

(1.6)

ave ette fois

H

=

1 iωµ

0 T

1 + ∇ × E

(1.7)

Alors,en utilisantlasolutionélémentairedel'équationd'Helmholtz

g

étudiée

pré édem-ment, lesystème de Maxwell(1.5)admet une et une seule solutiondonnée par :











E

= iωµ

0

1 k

2 ∇∇ · g ∗ T

2 + g ∗ T

2 − ∇ × g ∗ T

1 H

_{= ∇ × g ∗ T}

2 + iωε

0

1 k

2 ∇∇ · g ∗ T

1 + g ∗ T

1

(1.8)

Remarque 1.1. L'expression de

H

est obtenue à partirde (1.7)en utilisant lefaitque

−(∆ + k

2 _{) g ∗ T}

1

(32)

1.3 Quelques éléments d'analyse

1.3.1 Formule des sauts

On reprend les onventions et notations de [AT07℄. Dans toute la suite, on note

Ω

−

un domaine borné de

R

3

et

Γ

sa frontière. Son omplémentaire dans

R

3

est un ouvert

non-borné que l'on notera

Ω

+

.De plus, on note

n

la normaleunitaire à

Γ

orientée vers

l'extérieur.

Ω

−

Ω

+

n

Γ

Figure 1.1 Domaine intérieur

Ω

−

de frontière

Γ

etdomaine extérieur

Ω

+

Pour une fon tion

u

régulièredans

Ω

+

et

Ω

−

(et pouvantdon admettre une

dis on-tinuitéde première espè e àla traversée de

Γ

),nousnotons

u

+

sarestri tion à

Ω

+

et

u

−

sarestri tion à

Ω

−

:

{u} =

u

+

dans

Ω

+

u

−

dans

Ω

−

On dénitle saut de latra e de

u

à travers

Γ

omme:

[u] = u

+

_{− u}

−

Distribution de simple ou he

Soit

σ

une fon tion régulière dénie sur

Γ

. On appelledistribution de simple ou he de

densité

σ

sur

Γ

lamesure de Radon

s(σ) = σ(x)dΓ(x)

:

hs(σ), ϕi =

Z

Γ

σ(x)ϕ(x)dΓ(x) ∀ϕ ∈ D(R

3 ₎

(1.9)

C'est une distribution d'ordre 0 à support dans

Γ

. La dénition se généralise pour une

densité

σ

ve torielle:

hs(σ), ϕi =

Z

Γ

σ

_{(x)ϕ(x)dΓ(x) ∀ϕ ∈ D(R}

3 ₎

(1.10) Produit de onvolution On rappellequesi

f ∈ L

1 loc

(R

n

)

et

ϕ ∈ D(R

n

₎

, onpeut dénir

f ∗ ϕ

par

f ∗ ϕ

(x) =

Z

(33)

f ∗ ϕ

est dans

C

(R

)

.

Cettedénition se généralise à

D

′

_{∗ D}

: pour

T ∈ D

′

_(R

n

₎

et

ϕ ∈ D(R

n

₎

, onpose

T ∗ ϕ

(x) = hT, ϕ(x − ·)i

quiappartient à

C

∞

_(R

n

₎

. Par exemple, pour ladistribution de simple ou he, on a:

s(σ) ∗ ϕ

(x) =

Z

Γ

ϕ(x − y)σ(y)dΓ(y)

(1.11)

etde la même manièrepour une densité

σ

ve torielle:

s(σ) ∗ ϕ

(x) =

Z

Γ

ϕ(x − y)σ(y)dΓ(y)

(1.12)

Formule des sauts

On reprend les notations déniespré édemment. Soit

u

une fon tion régulièrepar

mor- eauxdans

R

3

quisubitunsautàtraversunesurfa e

Γ

régulièreorientée.Laformuledes

sauts donne la valeur d'une dérivée partielle de

u

au sens des distributions en fon tion

des dérivées partiellesde

u

+

dans

Ω

+

et

u

−

dans

Ω

−

etdu saut de

u

:

∂

∂x

i

{u} =

∂u

∂x

i

− s [u]n

i

∀ i = 1..3

(1.13)

On peut parti ulariser ette relation pour le rotationnel d'un hamp de ve teurs

A

régulierde part et d'autrede

Γ

:

∇ × {A} = {∇ × A} + s

A

_{× n}

(1.14)

1.3.2 Notions de géométrie diérentielle

Dans le adre des équations intégrales, nous sommes amenés à manipuler des

opé-rateurs et ve teurs dénis sur le bord

Γ

du domaine. Il est don né essaire de donner

une signi ation pré ise aux notions de régularité de la surfa e, ainsi que de présenter

lesoutils né essaires à ladénition des opérateurs diérentiels surfa iques.

Nousreprenons i iles onventions etnotations de Nédele dans [Ned01 ℄.

Cartes lo ales

On onsidère un re ouvrementdu domaine

Ω

−

par uneunion nied'ouverts

ω

i

, 0 ≤ i ≤

p

. On ditque la surfa e

Γ

est régulièresi

∀ i

, ilexiste un diéomorphisme

φ

i

qui envoie

l'ensemble

ω

i

sur la boule unité

Q

, de telle manièreque :

• Γ ∩ ω

i

est envoyée sur le plan

z = 0

de la boule unité

• ω

i

∩ Ω

−

est envoyée sur la région

z ≤ 0

• ω

i

∩ Ω

+

est envoyée sur la région

z ≥ 0

À e re ouvrement du domaine

Ω

−

on asso ie une partition de l'unité, 'est-à-dire un

ensemblede fon tionspositives

λ

i

∈ C

∞

_(ω

i

), i = 0, ..., p

, àsupport ompa t in lus dans

ω

i

telles que

p

X

i=0

(34)

Untelre ouvrement etlesdiéomorphismes orrespondantssont appelés un atlas etles