Séries entières - Équa. di
ffs
Séries entières
Rayon de convergence
Il existe un réel R ∈ R+∪ {+∞} tel que
|z| < R =⇒ Xanznconverge absolument et |z| > R =⇒ Xanzndiverge grossièrement. Définitions d’Abel: R = supnρ >0
la suite (|an|ρ n) est majoréeo = supnρ >0 lim|an|ρ n= 0o .
Lorsque c’est possible, on applique le critère de d’Alembert à la suite un= anznpour calculer R. Théorèmes de comparaison. Lorsque an= O(bn), Rb6Ra; lorsque an∼bn, Rb= Ra.
La somme et le produit de deux séries entières possèdent un rayon de convergence au moins égal au minimum des deux rayons de convergence.
La dérivation formelle d’une série entière a même rayon de convergence que la série initiale.
Séries entières d’une variable réelle
La convergence d’une série entière est normale sur tout segment inclus de ] − R, R[ ; en conséquence de quoi la somme d’une série entière est de classeC∞sur ] − R, R[, et on peut dériver terme à terme.
Unicité du développement en série entière. Deux séries entières ont des sommes égales au voisinage de 0 ssi elles ont même coefficients.
Équations di
fférentielles linéaires
Équations scalaires du premier ordre
Les solutions de x0= u(t)x forment un espace vectoriel de dimension 1 : x(t) = λ eU(t)avec U0(t) = u(t).
Les solutions de x0= u(t)x + v(t) forment un espace affine de dimension 1 : x(t) = (V(t) + λ)eU(t)avec V0(t) = v(t) e−U(t). Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale (t0, x0) il existe une unique solution vérifiant x(t0) = x0.
Systèmes di
fférentiels
Les solutions dans Rnde X0= A(t)X forment un espace vectoriel de dimension n.
Les solutions de X0= A(t)X + B(t) forment un espace affine de dimension n : X(t) = Xpart(t) + eX(t) où eX est solution de
e
X0= A(t)eX.
Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale (t0, X0) il existe une unique solution vérifiant X(t0) = X0.
Équations scalaires du second ordre
Les solutions de x00= u(t)x0+ v(t)x forment un espace vectoriel de dimension 2.
Les solutions de x00= u(t)x0+v(t)x+w(t) forment un espace affine de dimension 2 : x(t) = xpart(t)+ex(t) avecex
00
= u(t)ex0+v(t)ex.
Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale (t0, x0, x 0
0) il existe une unique solution vérifiant x(t0) = x0et x 0
(t0) = x 0 0.
Wronskien
Si x1et x2sont deux solutions de l’équation homogène x 00
= u(t)x0+ v(t), leur wronskien est la quantité w = x01x2−x1x 0 2.
Alors w est solution de l’équation différentielle w0
= u(t)w et :
• si (x1, x2) est libre, w ne s’annule jamais ;
