La methode de tir pour des problemes de
programmation lineaire bicriteres
par
Anis Kadri
memoire presente au departement de Mathematiques en vue de I'obtention du grade de maitre es sciences (M.Sc.)
FACULTE DES SCIENCES UNIVERSITE DE SHERBROOKE
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Le 9 septembre 2011
le jury a accepte le memoire de Monsieur Anis Kadri dans sa version finale.
Membres du jury
Professeur Francois Dubeau Directeur de recherche Departement de mathematiques
Professeur Jean-Pierre Dussault Membre
Departement d'informatique
Professeur Jean-Marc Belley President rapporteur Departement de mathematiques
Sommaire
Ce travail consiste a etudier les problemes de programmation lineaires bicritere. En raison de la nature de ces problemes, il existe un ensemble de solutions optimales et non pas une unique solution au probleme, ce qui pose la question de la maniere de visualiser et d'analyser cet ensemble de solutions. Nous avons utilise les bases de l'optimisation multicritere et la methode de la somme ponderee et nous avons developpe une methode de resolution : la methode de tir utilisant la methode de simplexe a un critere. Tous ces outils nous ont permis d'identifier et de visualiser l'ensemble des solutions : la surface de Pareto.
Remerciements
Je tiens premierement a remercier mon directeur de recherche, Professeur Prangois Dubeau pour m'avoir encadre et oriente durant ma maitrise et pour la confiance qu'il m'a accordee.
Je remercie egalement Hichem Ayadi pour l'aide pratique et les conseils de travail. Mes remerciements s'adressent aussi a Rariia Benrhaiem pour l'aide et le soutien qu'elle m'a accordes tout au long de ce memoire.
Pour finir, j'axlresse un remerciement particulier pour toute ma famille qui m'a apporte un soutien considerable : mon pere, ma mere, ma soeur Islem, mes freres Saber, Sami, Amine et Taher.
Table des matieres
Sommaire i
Remerciements ii
Table des matieres iii
Liste des tableaux . v
Liste des figures vi
Introduction 1
1 Un exemple dans K2 3
1.1 Introduction 3
1.2 Exemples 3
1.2.1 Cas du probleme borne 3
1.2.2 Cas du probleme non borne 10
2 Programme lineaire multicritere 16
2.1 Introduction . 16
2.2 Probleme de programmation lineaire multicritere . 16
2.3 Comparaison des solutions realisables 18
2.3.1 Comparaison des vecteurs 18
2.3.2 Dominance dans I'espace des criteres i . 18
Table des matieres iv
2.3.3 Efficacite dans I'espace des decisions 19
2.4 Caracterisation des ensembles de Pareto S et £c 20
2.5 Ponderation des objectifs 21
2.6 Connexite de l'ensemble Sc 25
3 Probleme bicritere : methode de tir 31
3.1 Introduction 31
3.2 Le probleme bicritere 31
3.3 Condition d'optimalite du probleme (P\) 36
3.4 Algorithme 40
3.5 Exemples ' . 41
3.5.1 Exemple 1 42
3.5.2 Exemple 2 . . .- . . . 43
4 Exemples numeriques : problemes de melange 45
4.1 Introduction 45
4.2 Probleme de diete animale 46
4.2.1 Le probleme 46
4.2.2 Modele classique de formulation d'une diete animale ... 46
4.2.3 Modelisation des rejets d'azote 47
4.2.4 Modele a deux criteres 48
4.2.5 Donnees typiques 49
4.2.6 Resultats 51
4.3 Probleme de metallurgie • • • 53
4.3.1 Le probleme 53
4.3.2 Probleme de base : Description et formulation 54 4.3.3 Probleme d'ajout a une quantite fixee de premelange 61
4.3.4 Resultats theoriques 67
Liste des tableaux
1.1 Resultats 9
1.2 Resultats 14
4.1 Liste des ingredients disponibles 50
4.2 Resultats 52
4.3 Specifications minimales et maximales en % du poids dans le melange. 58
4.4 Caracteristiques des materiaux disponibles 59
4.5 Contraintes de type 2 61
4.6 Solution optimale du melange 61
4.7 Specifications du premelange en % du poids 64
4.8 Contraintes de type 2 65
4.9 Sornmets efficaces dans I'espace des criteres K2 65
4.10 Solutions optimales dans I'espace des decisions K8. . . 66
4.11 Relations entre les ensembles realisables S et 5° 67
Liste des figures
1.1 Ensemble realisable S dans I'espace des decisions 5 1.2 Ensemble realisable Sc = CS dans I'espace des criteres. 6
1.3 Ensemble de Pareto £ '7
1.4 Ensemble de Pareto £c = CE. . 8
1.5 Ensemble realisable S dans I'espace des decisions 11 1.6 Ensemble realisable Sc = CS dans I'espace des criteres 12
1.7 Ensemble de Pareto £ 13
1.8 Ensemble de Pareto £c = C£. 14
3.1 Ensemble de Pareto £c 43
3.2 Ensemble de Pareto £c 44
4.1 Coefficients techniques du modele 51
4.2 Courbes de Pareto : rejet d'azote vs cout de la diete 53
4.3 Specifications couplees. 56
4.4 Specifications couplees de chrome et de carbone 60 4.5 Courbes de Pareto : Courbe de Pareto £" dans I'espace des criteres R2. 66
Introduction
L'optimisation lineaire a une grande importance, elle s'applique a des problemes varies issus de l'economie, de 1'ingenierie, de la physique, etc. Dans de nombreuses situations, un seul critere ne suffit pas. En effet, beaucoup d'applications integrent plusieurs criteres de decision simultanement et souvent ces criteres sont contradic-toires. Nous utilisons alors l'analyse multicritere qui permet de trouver une solution tenant compte de plusieurs compromis lorsqu'on desire optimiser plus d'un aspect d'un probleme a la fois. Contrairement a l'optimisation monobjectif, la solution d'un probleme multicritere n'est pas une solution unique, mais un ensemble de solutions representant les differents compromis possibles. Cet ensemble est connu sous le nom de surface de Pareto.
A la fin du 19ieme siecle, l'economiste Vilfredo Paxeto [16] formule le concept d'op-timum de Paxeto. Ce concept constitue les origines de la recherche sur l'optimisation multicritere. Dans la plupart des cas, l'optimum de Pareto n'est pas constitue d'une seule solution mais d'un ensemble de solutions appelees solutions efficaces ou non dominees au sens de Pareto. Plusieurs techniques ont ete developpees pour visualiser et analyser la surface de Pareto. Une premiere approche transforme les problemes multiobjectifs en une succession de problemes monobjectifs [3,10,18], comme par exemple la methode de decomposition des faces [20] et la methode de generation des rayons extremes [12]. Une autre approche utilise la ponderation lineaire des objec-tifs [1,4,11,13,17,19,23]. D'autres approches utilisent des methodes probabilistes [15]. II existe aussi des approches qui resolvent les problemes a plus que deux objectifs [21].
Introduction 2 Dans notre travail, nous utilisons la methode de la somme ponderee qui nous permet de ramener le probleme multicritere a un probleme monocritere sous forme d'une agregation lineaire des objectifs, chacun pouvant avoir un poids representant son importance. En modifiant les parametres de poids, cette methode permet de retrouver I'ensemble de solutions optimales au sens de Pareto. L'interet de cette ap proche reside dans le fait qu'elle permet l'utilisation de techniques d'optimisation monocritere pour suggerer des solutions aux problemes multiobjectifs.
Notre travail se divise en quatre chapitres. Le premier chapitre est .une illustra tion du probleme de programmation lineaire a l'aide d'un exemple dans K2. Nous
determinojis I'ensemble des solutions correspondant a ce probleme en utilisant les concepts de dominance et de cone de croissance. Le deuxieme chapitre est fortement inspire de [21]. II propose une presentation generale de l'optimisation multiobjectif. Nous introduisons les concepts fondamentaux tels que la dominance, l'efficacite, la ponderation des objectifs, etc. Nous caracterisons aussi les ensembles de Pareto et nous montrons la connexite de ces ensembles. Par la suite un chapitre sera consacre a la methode proposee dans ce memoire pour retrouver I'ensemble de solutions op timales. Nous nous concentrons sur le probleme lineaire bicritere et nous presentons une methode de tir pour construire I'ensemble de Pareto. Cette methode utilise la ponderation des objectifs et la methode du simplexe a un critere. Le dernier chapitre sert a illustrer les resultats a l'aide de deux problemes relies a des applications reelles de problemes de melange.
Chapitre 1
Un exemple dans R
2
1.1 Introduction
Dans ce chapitre nous illustrons le probleme de programmation lineaire bicritere a l'aide d'un exemple simple dans K2. On introduira intuitivement les concepts de
dominance et de cone de croissance. On determinera I'ensemble de Pareto corres-pondant a ce probleme et on notera que les points de cet ensemble sont egalement solutions d'un probleme monocritere ou les deux objectifs du probleme bicritere sont ponderes (combinaison convexe).
1.2 Exemples
1.2.1 Cas du probleme borne
Considerons le probleme bicritere suivant :
Chapitre 1 : Un exemple dans R2 4 sujet a
(P)<
Max Z\ = Xi + 6x2 Max 22 = 2xi — 4x2 Xi < 20 X2 ^ 15 Xi — 2X2 ^ 11 2xi — x2 < 34 2xi + X2 < 48 Xi +, X2 < 29 Xi + 2x2 ^ 40 Xi -I- 3X2 < 52 Xi + 6x2 < 91 X!,X2 > 0 On posera (1 0 \ ( 2 0 ) 0 1 1 5 ' 1 -2 11 2 -1 34 2 1 , b = 48 1 1 29 1 2 40 1 3 52 i,l 6 j \?1) de plus Ci = (1,6), oi = (2, —4) et.Chapitre 1 Un exemple dans R2 5
L'ensemble des solutions realisables du probleme (P) dans I'espace des decisions est
S = {x € R2 | Ax < b et x > 0} .
L'image de S dans I'espace des criteres est Sc = CS.
Les representations graphiques des ensembles S et de Sc de ce probleme, tous les
deux dans R2, sont donnees aux Figures 1.1 et 1.2. Pour notre probleme, S et Sc
sont bornes.
Chapitre 1 : Un exemple dans R2 6 A z2 100 -10 -20 -30 -40 -50 -60
FIGURE 1.2 - Ensemble realisable Sc = CS dans I'espace des criteres.
Le cone des directions de croissance dans I'espace des decisions des deux criteres est donne par
D * = { y € R2 | C y > 0} U {0}.
Ici l'inegalite y > 0 poiir y G R2 signifie yi > 0 et 2/2 > 0 avec au moins un y< > 0
(une definition plus complete est donnee au chapitre 2). Done, si x G 5 et qu'il existe un x € S, x ^ x tel que x — x € D- on pourra augmenter les deux criteres ou bien augmenter un des deux criteres sans diminuer l'autre.
L'ensemble de Pareto £ est un sous ensemble de points de S pour lesquels il est impossible d'aineliorer les deux criteres a la fois ou bien ameliorer un des deux
Chapitre 1 : Un exemple dans R2
criteres sans diminuer l'autre. De fagon equivalente
7
x G £ si et seulement si pour tout x G S \ {x} on a x — x $ D-.
L'ensemble de Pareto £ dans I'espace des decisions est indique en trait gras a la Figure 1.3.
FIGURE 1.3 - Ensemble de Pareto £.
Dans I'espace des criteres, le cone des directions de croissance n'est pas autre chose que R2 — [0,+oo)2 = Df. L'ensemble de Pareto dans I'espace des criteres
Chapitre 1 : Un exemple dans R2 8
est l'image de l'ensemble de Pareto £ par la transformation x •—> Cx, c'est-a-dire
£c = C£, Cet ensemble dans I'espace des criteres est illustre en trait gras a la Figure
1.4. A Z 30 • 100 -10 -20 -30 -40 -50 -60
FIGURE 1.4 - Ensemble de Pareto £c = C £ .
On note que les points sur £ sont les solutions optimales d'un probleme mono critere dont la fonction objectif est une combinaison convexe des fonctions objectife
Z\ et 22
z \ ( x ) — (1 — X ) z i ( x ) + X z 2 { t ) avec A 6(0,1)
Chapitre 1 : Un exemple dans R2 9
tout x 6 £ il existe un ou des A tels que x est solution optimal de { M a x z \ ( x ) sujet a x £ S. On a
£ = M
argmax2A(®)-A€(0,1) X€SDans notre exemple on peut facilement calculer les A correspondant aux points de £, nous obtenons les valeurs suivantes :
{ X l , X2) ( z i , z2) (A, A) (13,13) (91,-26) (0,3/13) [(13,13), (16,12)] [(91,-26),(88,-16)] 3/13 (16,12) (88,-16 ) (13/3,1/13) [(16,12), (18,11)] [(88,-16),(84,-8)] 1/13 (18,11) (84,-8) (1/3,5/11) [(18,11), (19,10)] [(84,-8),(79,-2)] 5/11 (19,10) (79,-2) (5/11,11/21) [(19,10), (20,8)] [(79,-2),(68,8)] 11/21 (20,8) (68,8) (11/21,6/10) [(20,8),(20,6)] [(68,8),(56,16)] 6/10 (20,6) (56,16) (6/10,13/19) [(20,6), (19,4)] [(56,16),(43,22)] 13/19 (19,4) (43,22) (13/19,1) TABLEAU 1.1 - Resultats
Chapitre 1 : Un exemple dans R2 10
1.2.2 Cas du probleme non borne
Dans cet exemple nous traitons le cas d'un probleme bicritere non borne (le domaine realisable S est non borne) et nous visualisons la surface de Pareto dans ce cas. Le probleme non borne que nous considerons s'ecrit sous la forme suivante :
Max zi = Xi + 6x2 Max Z2 = 2a: j — 4x2 sujet a < xi. < 20 XI — 2X2 ^11 2xi — X2 ^ 34 XX,X2>0
Les figures 1.5 et 1.6 sont les representations graphiques des ensembles S et de
Chapitre 1 : Un exemple dans R2
Chapitre 1 : Un exemple dans R2 12
-10
-20
-30
FIGURE 1.6 - Ensemble realisable Sc = CS dans I'espace des criteres.
Chapitre 1 : Un exemple dans R2 13
FIGURE 1.7 - Ensemble de Paxeto £. L'ensemble de Pareto £c
donne a la Figure 1.8.
Chapitre 1 : Un exemple dans R2 14
-10
-20
-30
FIGURE 1.8 - Ensemble de Pareto £c = C S .
Pour notre exemple, nous obtenons les valeurs suivantes :
(ZL,X2) ( Z I , Z 2 ) (A, A) (20,6)+M0,l) (56,16)+M1, -2/3) 6/10 (20,6) (56,16) (6/10,13/19) [(20,6), (19,4)] [(56,16), (43,22)] 13/19 (19,4) (43,22) (13/19,1) TABLEAU 1.2 - Resultats
Nous remarquons que-pour A € (13/19,1), le point (19,4) est un point efficace. Pour A = 13/19, tous les points de l'arete [(20,6), (19,4)] sont des solutions optimales done cet arete est efficace. Pour A € (6/10,13/19), le point (20,6) est efficace. Et
Chapitre 1 : Un exemple dans R2 15
pour A = 6/10, tous les points du rayon non borne (demi droite) (20,6) + n{0,1) (le rayon issu de du point (20,6) et de direction (0,1)) sont optimaux, done ce rayon est efficace. Les valeurs de A G (0,6/10) ne peuvent pas etre prise car pour ces valeurs le probleme z\(x) est non borne.
Chapitre 2
Programme lineaire multicritere
2.1 Introduction
II n'est pas rare que dans un probleme reel d'optimisation on soit amene a maxi-miser (ou minimaxi-miser) plus d'une fonction objectif. Souvent ces fonctions objectifs sont contradictoires et ne peuvent etre optimisees simultanement. On introduit un ordre sur les solutions realisables et on considere l'ensemble de solutions optimales dite nondominees, c'est l'ensemble de Pareto.
Dans ce chapitre nous decrivons une fagon de comparer des vecteurs de R" et plus specifiquement de comparer les solutions realisables d'un probleme de programmation lineaire multicritere. Nous introduisons aussi l'ensemble de Pareto dans I'espace des decisions et dans I'espace des criteres. Nous caracterisons cet ensemble et montrons en particulier que c'est un ensemble connexe, propriete qui sera utilisee au chapitre 3 pour valider une methode de tir pour un probleme bicritere. Le contenu de ce chapitre est tire de [21].
2.2 Probleme de programmation lineaire multi
critere
Mathematiquement, un programme lineaire multicritere se pose sous la forme : 16
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere 17
(PLM) <
sujet a
Max z\ = c\x Max z-i — c-ix Max Zk = CfcX
Ax = b x > 0
ou A est une (m,n)-matrice, x est une (n,l)-matrice (ou n-vecteur colonne), b est une (m,l)-matrice (ou ra-vecteur colonne) et les q (I = 1,... ,k) sont des (l,n)-matrices
( o u d e s n - v e c t e u r s l i g n e s ) . O n e c r i t e g a l e m e n t b € Rm, x € Mn e t cj € Rn (I = 1 , . . . , k ) .
Dans ce contexte on pose z = {zx, z<i,..., Zk)T € Rfc, la (/c,l)-matrice (ou le A;-vecteur
colonne) des criteres et on definit la (fc,n)-matrice C par
C =
(c , \ C2
\Ck /
On appelle Rn I'espace des decisions. Le sous-ensemble S de Rn defini par
S = {x E Rn| Ar = b et x > 0}.
est l'ensemble des solutions realisables du probleme (PLM). Egalement, on appelle Rfc "I'espace des criteres et
Sc = C5 = {z € R* f 3 x g S et -2 = Car} C R*
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere
2.3 Comparaison des solutions realisables
18
2.3.1 Comparaison des vecteurs
Soient x = (xi,... ,xn) et y = ( y i , . . . , yn) cleux vecteurs de Rn. On ecrira
x — y si et seulement si x< = ( i = 1,..., n),
x ^ y si et seulement si il existe au moins un i G {1,... ,n} tel que au ^ t/j,
x ^ y x < y x < y si et seulement si si et seulement si si et seulement si X i ^ V i ( i = 1 , . . . , n ) , x ^ y e t x ^ y , Xi<Vi (i = 1 , . • • ,n).
De fagon semblable, on definit les relations x ^ y, x ^ y et x > y et on a
X ^ y si et seulement si y ^ x , x ^ y si et seulement si y ^ x, x > y si et seulement si y < x .
Exemple 1. Comparaison de vecteurs de M4
X y Relation (2,5,-2,0) (2,4,-2,0) (2,4,-2,0) (2,4,-1,0) (2,4,-1,0) (3,5,-1,1) x ^ y x < y x < y
2.3.2 Dominance dans I'espace des criteres
Etant donne deux vecteurs Z\ et z<i € Rfc, on dit que domine faiblement Z\
si et seulement si ^ z^,. On dit que Z2 domine fortement zx si et seulement si Z\ < z-i.
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere 19 Vecteurs Relations Z l = ( - 1 , 3 , 4 ) Z2 = ( 2 , 4 , 6 ) z3 = ( 2 , 2 , 5 ) z4 = ( 3 , 2, 5) z5 = ( 8 , 3 , - 1 ) z6 = ( 8 , 3 , 0) Z i < Z2 zz < Z2, z3 < z4 z 5 < Z6
Dans I'espace des criteres de (PLM), on dit que z G Sc est non domine si et
seulement si il n'existe pas un autre z G Sc tel q(ue z ^ z, c'est-a-dire tel que z
domine faiblement z.
2.3.3 Efficacite dans I'espace des decisions
Dans I'espace des decisions du (PLM), on dit qu'une solution realisable x G <5 est efflcace si et seulement si il n'existe pas une autre solution realisable x G S telle que
z = Cx domine z — Cx dans Sc. Dans le cas contraire on dit que x est non efflcace
ou est inefficace. L'ensemble des points efficaces de S s'appelle l'ensemble efficace, ou l'ensemble de Pareto dans I'espace des decisions, que nous noterons par S. Nous avons ainsi
£ = { x G S | $ x G 5 tel que C x < C x } .
L'image de £ dans I'espace des criteres, notee £c, est definie par
£c = { z € Sc | $ z G Sc tel que z ^ z } .
Cet ensemble correspond aux points non domines dans Sc et est appele ensemble de
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere 20
2.4 Caracterisation des ensembles de Pareto
S
et
So
Pour comparer les solutions realisables, nous introduisons le cone polaire semi-positif pointe associe a (PLM). Ce cone est defini par
C* = { y e Wl\ C y > 0 } .
Ce cone peut etre vide. Introduisons aussi le cone semi-positif associe a (PLM) donne
par
c - = c - u {o e Rn}.
Notons que C - ^ 0 car il contient toujours 0 G Mn.
L'ensemble des vecteurs de Rn qui domine un point x G S et qui est different de
x est alors defini par
. ^ f 0 si C* = 0,
Si x + y G D(x) ^ 0, on a alors C ( x + y ) = C x + C y > C x puisque C y ^ 0. On definit egalement l'ensemble D(x) = {x} © C - = { x + y \ y E C - } qui contient toujours x . On a alors le resultat suivant.
Theoreme 1. Soit x G S. Les trois enonces suivants sont equivalents :
(i) x e € ;
(ii) D(x) n 5 = 0 ; (Hi) D ( x ) n S = { x } .
Demonstration.
(ii) O (iii) est evident.
(i) => (ii) Supposons x G £ et montrons que D(x)DS — 0. Si D(x)C\S ^ 0 alors prenons x = x + y G D ( x ) n S . On a que x G S et C x = C x + C y > C x et ainsi x $ S .
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere 21
(ii) <= (i) Supposons x £ £ avec x € 5. II existe un x G S tel que z — C x domine z — Cx, c'est-a-dire Cx > Cx. Alors C(x — x) >0 et y = x — x G C-, d'ou
x G D(x). Ainsi x G D(x) O S . •
On peut ainsi ecrire l'ensemble de Pareto comme suit
• £ = { x 6 Rn | D(x) C\S = { x } } .
Lorsque C - = 0 pour tout x G S on a que D(x)DS = 0 et D(x) n S = {£}, ainsi
£ = S .
DefinissOns egalement l'ensemble Dc{z) = { z } 0 avec = [0,+oo)fc.
L'image de £ dans I'espace des criteres est donnee par
£c = { z e Rkj Dc(z) n5c = {z}}.
On montre alors que £c est l'image par C de £.
Theoreme 2. £c = C £
Demonstration. Montrons que £c C C £ . Si z G £c alors il existe x G S tel que
Cx = z c'est-a-dire z, G CS et il n'existe pas de x G S tel que Cx ^ Cx. Ainsi x G £ et z G C £ . Ainsi £c c C £ .
Montrons que C £ C £c- Si z G C £ alors il existe x G £ tel que z = C x . Mais alors s i z G Sc t e l q u e z = C x o i l n e p e u t p a s a v o i r C x < C x q u i e s t E q u i v a l e n t a z < z . Done si z G C£ alors z G £c. Ainsi C£ C £c. M
2.5 Ponderation des objectifs
Nous nous concentrons sur la methode de ponderation des difFerents criteres pour resoudre le probleme de la construction de £c.
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere 22 Posons
A = { A G Rfc | A > 0 et XTe = 1} .
Nous allons etudier les problemes de la forme
{
Max z \ = A TC xsujet a
x e S .
Nous avons un premier resultat.
Theoreme 3. Soit A € A et z\(x) = A Tz = A TC x . Soit x G S , s i x € argmax z\(x),
alors x est efficace.
Demonstration. Si x G S n'est pas efficace il existe x G S tel que C x ^ C x . Puisque A G A on aura alors ATCx < ATCx ce qui contredit l'optimalite de x pour
•
Ce theoreme entraine que UAGA argmax z\(x) C £ . Pour obtenir l'egalite des deux
xes
ensembles, on doit tenir compte d'une condition dite de nullite.
Definition 1. On dit que les couts C\,C2, Ck satisfont a la condition de nullite s'il existe X € A tel que ATC — 0.
Dans la suite, on supposera que les couts ne satisfont pas a la condition de nullite. Pour arriver a notre resultat, on utilisera un theoreme d'alternative bien connu. Th6orfeme 4. (Tucker [14]) Soient L, M et N respectivement des (rwi,n), (7713, n)
et (mi, n)-matrices avec L ^ 0. Alors une et seulement une des deux situations suivantes est verifiee :
(1) U existe x G Rn tel que Lx ^ 0, Mx ^ 0 et Nx = 0,
ou bien
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere 23
{
LTy2 + MTj/3 -I- NTyA = 0,y2 > 0 , y3 ^ 0.
Theoreme 5. Soit x € S et D — diag(djj) une (n,n)-matrice diagonale telle que 1 si Xj = 0,
0 si Xj £ 0
de telle sorte que Dx — 0. Alors, x € £ si et seulement si le systeme d j j — <
C u ^ 0, Du ^ 0, Au = 0 n'a pas de solution.
Demonstration. (=>•) Si u € Rn est une solution au systeme, soit x = x + au. II
existe una >0 tel que pour tout a £ [0, a] on a x = x + au 6 S. En effet x = x + au a pour composante Xj + aUj et est tel que Uj ^ 0 si Xj = 0, Uj G R si Xj > 0 (car
x £ S). Dans ce cas on prend
a = mm | j tel que Uj < o| >0.
Alors pour 0 ^ a <aona Ax — Ax + aAu — b + a 0 = b et Cx = Cx + aCu > Cx
et x n'est pas efficace.
(<*=) Supposons le systeme inconsistent. Soit x € S et prenons u = x — x. Ainsi
Au — Ax — Ax = b — b = 0 et
(Du)j = (Dx — Dx)j =• <
Xj si Xj = 0,
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere 24 d'ou Du ^ 0. On ne peut pas avoir Cu ^ 0. Comme Cu = Cx — Cx, Cx ne domine
pas Cx et x est efficace. •
Theoreme 6. Soit x E 5 et D = diag(djj) fe/ie definie au Theoreme 5. Alors
x e £ si et seulement si il existe 7T E Rfc, y3 E Rn, e£ y4 G Km tels que
( + DTy3 + ATy4 = 0
w > 0 , y3 ^ 0.
Demonstration. En utilisant le Theoreme 4, pn trouve qu'une et seulement une des deux situations suivantes est verifiee :
(1) il existe x, G Rn tel que Cx ^ 0,' Dx ^ 0 et Ax = 0
ou bien
(2) il existe it E Mfc, y3 G Rn et y4 G Rm tels que
f 7r + DTy3 + >lTy4 = 0
y 7r > 0 , y3 ^ 0.
I
Pax le Theoreme 5, la premiere situation est non verifiee et le resultat suit. •
Remarque 7. II existe A > 0 tel que ATC = 0 si et seulement si {y E Rn | C y ^ 0} —
0. Done dire que C-^0 est equivalent a demander qu'il n'existe pas A G A avec A = { A G R* | A > 0 et XT1 = l}
tel que ATC = 0. Cette remarque est un cas particulier du Theoreme 4 avec C = L,
M = N = 0 et m$ = m4 = 0.
Th6oreme 8. Soitx E S . S i x E £ il existe alors un A G A tel quex E argmaxz\(x)
a?€S ou z\(x) — ATCx.
Chapitre 2.: Programme lineaire multicritere 25
y3 G Mn et y4 G Rm tels que
f C^ir + DTy3 + ATy4 = 0
I
7r > 0 , y3 ^ 0.Utilisons a — wTl > 0 et A = ^7r de telle sorte que A G A, nous avons
I {CfrX)a + DTy3 + ATy4 = 0
\ A > 0 , y3Z 0 .
On a bien CFX ^ 0 pax la condition de nullite. Ainsi, pax le Theoreme 4, le systeme
C (ATC)x ^ 0
< Dx ^ 0
[ Ax = 0
est inconsistent. Mais pour tout x & S on a D{x — x) ^ 0 et A(x — x) — Ax — Ax = 6 — 6 = 0. On ne peut done pas done avoir ATC(x — x) > 0, d'ou XTCx ^ ATCx car
XTC(x — x) est un scalaire. Done on a x G argmax z\(x) ou z\(x) = ATCx. • X(zS
2.6 Connexite de l'ensemble
E
cNous presentons dans cette section quelques definitions et resultats qui vont etre utiles pour montrer la connexite de l'ensemble de Paxeto S et son image dans I'espace des criteres Sc.
Theoreme 9. Si S a un point efficace, alors au moins un point extreme de S est
efficace.
Demonstration. Par le Theoreme 8, si x G S est efficace alors x est une solution optimale de z\(x). Mais, s'il existe une solution optimale pour un probleme de pro-grammation lineaire, alors il existe une solution optimale qui est un point extreme. •
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere 26 Definition 2. Etant donnee A une (m,n)-matrice de rang m, si B est une (m,m)-sous-matrice de A de rang m, on dit que B est une base de A et on partitionne A = [B, N]. Etant donnee cette partition de A, on partitionne de fagon correspondant la matrice des couts C = [Cb,C^\. La matrice des couts reduits des colonnes hors base est alors W = CU — CbB~XN.
Definition 3. On dit que B est une base efficace si et seulement si B est une base
optimale d'un probleme (PLM)X ou A 6 A.
Puisque la ligne des couts reduits du problemt (PLM)X est donnee par ATW, on
dit que la base B est efficace si et seulement si le systeme
f XTW ^ 0
\ A > 0
est consistent.
Theoreme 10. Soit x G S un point extreme associe a la base efficace B, alors x est
efficace.
Demonstration. Puisqu'il existe A G A pour lequel B est une base optimale du probleme (PLM)A , par le Theoreme 4 on conclut que x est efficace. •
Theoreme 11. Soit x G S un point extreme efficace. Alors, il existe une base efficace
B associe a x.
Demonstration. Puisque x est un point extreme efficace, par le Theoreme 8, il existe A G A tel que x maximise le probleme (PLM)A. Alors, puisque x est un point
extreme il existe une base optimale associee a x qui sera une base efficace. • Par consequent, en trouvant toutes les bases efficaces par les Theoremes 10 et 11, on peut deduire tous les points extremes efficaces.
Definition 4. On dit que deux bases B et B sont adjacentes si et seulement si on
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere 27 Definition 5. Soit B une base efficace. Alors, on dit que Xj est une variable hors
base efficace a I'egard de B si et seulement si il existe X £ A tel que : f XTW S 0
\ XTw* = 0 \
ou vji est la jeme colonne de W.
Definition 6. Soient B une base efficace et Xj une variable entrante hors base. Alors,
tout pivot realisable de B (y compris tous les elements avec un pivot negatif dont la v a r i a b l e d e b a s e a s s o c i e e e s t d e g e n e r e e ) e s t u n p i v o t e f f i c a c e a I ' e g a r d d e B e t X j .
Theoreme 12. Soit B une base efficace. Alors, tout pivot efficace de B donne une
base efficace adjacente
B.-Demonstration. Soit • Xj une variable entrante associee au pivot efficace de B. Alors, il existe A € A tel que :
( XtWB^ 0
ATU?B — 0.
Puisque les couts reduits ne changent pas lors du pivotement dans la base d'une variable hors base dont sa valeur est egal a zero, nous avons done
f >?Wb ^ 0 ATK = 0 .
Ainsi, B est une base efficace adjacente. •
Theorfeme 13. Soient B et B deux bases efficaces adjacentes telles que I'on peut
obtenir I'une a partir de I'autre par I'intermediaire d'un pivot efficace. Soient x et x deux points extremes associees d B et B, respectivement. Alors, I'arete 7(5, x) est efficace c'est-a-dire *y(x,x) c S.
Demonstration. Ce resultat decoule du fait que nous pivotons dans la base une variable hors base dont le cout reduit du (PLM)A est egal a zero. •
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere 28 Theoreme 14. Soit Xj une variable hors base a I'egard de la base efficace B. Soit
W la matrice des couts reduits associee a B. Alors, tous les pivots realisables (meme ceux avec les elements pivots negatifs) qui peuvent etre faits par la colonne d'entree Xj sont des pivots efficaces si et seulement si le soxts-probleme
MaxeTv sujet a —Wy + uP 8 + I v = 0 O^ye Rn-m O g . a e R 0 ^ V € Rfc
a zero comme valewr optimale de la fonction objectif.
Demonstration. A partir de la Definition 5, Xj est une variable hors base efficace a I'egard de la base B si et seulement si le systeme
MinOTA sujet a WTX ^ 0 (w*)T\ = 0 IX ^ e A > 0
a zero comme valeur optimale de la fonction objectif.'Comme les deux premieres contraintes sont equivalentes a
f — wTx z
o
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere
nous avons le dual
29 Max eTv sujet a —Wy +1iPS + I v + I t = 0 0 ^ y e Rn_m O ^ S e R 0 ^ v , t e Rk.
Le vecteur d'ecart t n'est pas necessaire parce que s'il existe t, > 0, nous pouvons augmenter la valeur de la fonction objectif en posant U = 0. •
Definition 7. Soient B et B deux bases efficaces. Si I'une peut itre obtenue a, partir
de I'autre en effectuant seulement des pivots efficaces, B et B sont appeles des bases connexes.
Theoreme 15. Toutes les bases efficaces sont connexes.
Demonstration. II suffit de montrer que deux bases arbitrages efficaces B et B sont connexes. Soient A, A 6 A deux vecteurs de ponderations pour lesquels B et B sont optimales respectivement pour (PLM)A et (PLM)A. Supposons que B est la base
de depart, considerons le probleme de programmation lineaire parametrique dont la fonction objectif est
(A+)TC = \TC + $ { \TC - XTC) ou $€[0,1].
Apres avoir effectue une serie de pivots de programmation parametrique, nous arrivons a la base B qui est optimale pour (PLM)A. Les pivots sont efficaces car
A+ = $A + (1 — $)A 6 A pour tout $ G [0,1] . Si B = B, on a done le resultat. Si
B ^ B, puisque B et I? sont a la fois des bases optimales pour (PLM)A, nous savons
que B peut etre obtenu 4 partir de B en effectuant seulement des pivots optimaux.
Chapitre 2 : Programme lineaire multicritere 30 Theoreme 16. Soit y-(x,v) une arete efficace non bornee de S. Alors, x est un point
extreme efficace et x est associe d une base efficace B.
Demonstration. Parce que S est contenue dans l'orthant non negatif, 1'arete non borne /x(x, v) contient un point extreme et ce point extreme est x. Puisque /x(x, v) est efficace, x est efficace. Par le Theoreme 11, il existe une base efficace B associee a x. •
Theoreme 17. En appliquant le test du sous-probleme du Theoreme 14 et
pivo-tant entre toutes les bases, nous sommes done en mesure d'identifier tous les points extremes et toutes les aretes efficaces non bornees de S.
Demonstration. Ce resultat suit du Theoreme 15 (toutes les bases efficaces sont connexes) et du Theoreme 16 (chaque arete .efficace peut etre identifie a partir des
bases efficaces). •
Definition 8. Deux points extremes efficaces de S sont connexes par arete s'ils
peuvent etre relies par une suite d'aretes efficaces de S.
Theoreme 18. Tous les points extremes efficaces de S sont connexe par aretes. Demonstration. II suffit de montrer que deux points extremes efficaces arbitraires
x et x de S qui sont associees respectivement a B et B sont connexes par aretes.
D'apres le Theoreme 15, 1'arete 7(x, x) est efficace et, par le Theoreme 18, les deux
bases B et B sont connexes. On a done le resultat. •
De ces resultats on obtient que l'ensemble de Pareto £ est connexe. Comme
£c = C£, £c est l'image d'un connexe par une fonction continue, l'ensemble £c est
Chapitre 3
Probleme bicrit&re : methode de
tir
3.1 Introduction
Nous montrons que pour le cas bicritere, la surface da Pareto £c est une ligne
polygonale. Nous developpons alors une methode de tir afin de construire cette ligne polygonale.
3.2 Le probleme bicritere
Un probleme bicritere dans Rn s'ecrit sous la forme :
(PLBC) < Max z\ = Cix Max z2 = c2x sujet a Ax = b x > 0
ou A est une (m, n)-matrice, b est une (m, l)-matrice (ou un m-vecteur colonne), les cj (I = 1,2) sont deux (l,n)-matrices (ou des n-vecteurs lignes) et x est une
Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode. de tir
(n, l)-matrice (ou un n-vecteur colonne). Posons
une (2, ra)-matrice.
L'ensemble des solutions realisables est
S = {x G Rn | Ax = b et x > 0}.
On suppose que c\ et c2 sont lineairement independants, ainsi
(1 — A, A)C ^ 0 pour tout A G (0,1). II suit que Ci et c-i ne satisfont pas a la condition de nullite.
Le probleme obtenu par ponderation des objectifs est alors :
{
Max z\(x) = [(1 — A)cj 4- Ac2]x sujet a x G S. On sait que £ = M argmax z\(x) Ae(o,i) x€S et que £c = C £ .Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir 33 Pour chaque A G (0,1), l'ensemble
Fx = argmaxzA(x)
x€ S
est une facette de S (point, arete,...) orthogonale a (1 — A, A)C. De plus, dans notre cas Fx est non vide et bornee (compacte). C'est egalement l'enveloppe convexe des points extremes de S qui sont des points optimaux. L'image CFx de Fx par l'ap-plication de Rn dans R2 definie par x i—> Cx est une facette de R2 : un point ou
un segment. Cette image ne peut pas etre un polygene car elle ne contient que des points non-domines (des points de £c). De plus l'image CFx est l'enveloppe convexe
d'iniages des points extremes. Ainsi, si l'image est un segment, chaque extremite du segment est l'image d'un point extreme de F\.
Puisque
£o= |J
CF
>
A€(0,1)
et qu'il y a un nombre fini de facettes associees a S , £c sera l'union d'un nombre fini
de points ou segments. De plus £c est connexe (et compact).
Theoreme 19. £c est une ligne polygonale.
Demonstration. Si deux segments distincts, images de deux facettes, se touchent, on a les configurations possibles suivantes :
Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir 34 l'enveloppe convexe de ces extremites est dans Sc- En consequences il y a des points
sur les segments qui sont domines par d'autres points, ce qui est impossible car les points des segments sont dans l'ensemble de Pareto £c. De la meme fagon il ne peut
y avoir plus de deux segments se joingnant a leurs extremites car sinon on aura une configuration de la forme
ce qui est impossible pour la meme raison que precedemment. •
Theoreme 20. Pour chaque segment de la ligne polygonale Sc il existe un unique
A € [0,1] tel que (1 — A, A) soit perpendiculaire au segment. Demonstration.
Prenons iine facette Fx tel que CF\ soit au moins un sous-segment du segment. Alors, il existe deux points distincts du segment Cx\ et Cx2 € CFx avec Cx\ ^ Cx2.
•Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir 35 Mais (1 — A, A)Cxx = (1 — A, \)Cxi d'ou (1 — A, A)C(xi — x2) = 0 et (1 — A, A) est
orthogonal a Cx\—Cx2 c'est-a-dire au segment entier. Si deux autres points distincts sont les images de deux points de F\> pour un autre A' ^ A, alors (1 — A', A') est aussi orthogonal au segment. Alors (1 — A', A') et (1 — A, A) sont proportionnels et done
identiques car A, A' € (0,1). •
Corollaire 1. Chaque segment est l'image d'une seule facette. •
Pour chaque vecteur A € (0,1), on pose (1 — A, A) = p(cos6, sinO) avec
p = \/((l — ^)2 + ^2) et 0 € [0,7r/2].
La seule configuration possible pour deux segments consecutifs de £c est :
et done Xtj+i > \t~ij. Posons
(1 — Ai,j+i) = Pi,i+i(cosditi+i, sind^i+i)
(1 - Ai_i,i, Ai_i,i) = pi_i,i(cos0I_1)I, sin9i-ij)
on alors
0 < 0I-1,1 < DITI+1 < 7T/2.
Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir 36 Qi-i et Qi (I = 1,...,L) auquel il est associe un Aj_i,j. Ainsi £c est completement
decrit par la suite des segments
{([Qi-i,Qi] , ^i-i,0}f=i
3.3 Condition d'optimalite du probleme
(P\)
En partitionnant la matrice A du probleme (PLBC) en deux sous matrices B et N, A = [B,N], ou B est une matrice inversible, on ecrit
xb = B_1[6 — Nxn]
et
zx{x) = (1—A, A)CBS-1[6—ATO:IV]+(L—A, \)CnXn = (1—A, A)CBJB-16+(1-A, X^Cm-CbB^N^. La solution de base (xB = B~lb > 0,Xn = 0) est optimale lorsque
(1 - A, A)[Cjv - CbB^N] < 0 ce qui est equivalent a
(1 — A)Cuv + \C2N — 0
ou (
( C\N = C\N — C\bB 1iV
\ C2JV = &2N ~ OibB~XN.
On obtient ainsi un systeme de n — m inegalites A(CIJV C2N) > c1N.
Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir 37
On definit A et A en utilisant
X = max I * tel <lue - c2Ni > oj et A = max{0, .V}
A' = min {~g1N^2^ | i tel que c1Ni - c2Ni < o| et A = min { l , A'} .
Ainsi tant que A € [A, A], la solution de base demeure optimale et
(xb = B~xb > Q,xn = 0) 6
argmaxzA(z)-xes
Oil a done montre le resultat suivant :
Th6orfeme 21. A chaque solution de base realisable optimale pour z\ on peut hi
associer un intervalle [A, A] contenant A et cette solution de base est optimale pour tout A G [A, A].
Theoreme 22. Chaque extremite des segments de £c est l'image d'au moins une
solution de base realisable de S.
Demonstration. On a montre que chaque extremite d'un segment est l'image d'un point extreme de S. Comme a chaque point extreme correspond une solution de base
realisable le resultat suit. •
Theoreme 23. A chaque extremite Q d'un segment on peut associer un intervalle [A, A] tel que si x E S et Cx — Q alors
x € F\ = aigmax. z\(x) pour tout A G [A, A]. xes
Demonstration. Supposons qu'il existe deux solutions de base optimales X\ et x2
telles que Cxi = Q ?= Cx2. On peut associer a un intervalle tel que (1 — A,-A)Cxi — maxz\(x)
Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir
pour tout A € [Aj, Aj]. Comme Cx \ — Q = Cx2 alors on a
38
(1-A,A)Cxi = (1 - A,A)CX2
t
pour tout A G [Aj, Aj] (i = 1,2) d'ou [Ai, Ax] = [A2, A2]. Si x G S et Cx = Q alors
et ainsi
pour tout A € [A, A].
(1 — A, A )Cx = (1 — A, A )Q — max z\(x)
xes
x E Fx — argmax2A(x) xes
Theoreme 24. Supposons qu'au sommet Qi on associe [Aj, Aj] pour 1 = 0,L, alors A i _ i = \ 1 - 1 j = A t p o u r t o u t I = 1 , L .
: l i - M
(1~-*1-L1> A-\U
Demonstration. Prenons xj_i telle que Cxi-i = Q1-1, x\ telle que Cxi — Qi et Xf,, = (1 — n)xi-1 + \ixi pour tout fi e [0,1]. Ainsi
Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir
pour tout n G [0,1], alors l'image Cx^ est le segment On a
(1 ~ ^1-1,1, ^i-i,i)Cxn (1 — Xi-.iti)Cxi-i = (1 — Xi~iti)Qi
Mais
(1 - Aj-i.j, X i -hi) C xt-i = maxzA(_u(x)
x€o ' done £i_i G Fai j,! et Aj_i(j € [A|_x, Aj_i]. Aussi on a
(1 — Xi-iiyXi-i^CXft —> (1 — Aj_i i , Aj_i,i)Cxi = (1 — Aj^i i, Xi-i,i)Qi Mais
(1 - Aj_I,I, Xi-U)Cxi = maXZAw t(x)
as€o
done xt G t et Aj_i^ G [A^ Aj]. On a montre que
{ X i - i , i G [Ai_i, A/_i]
€ [Aj,
AJ]-De la meme fagon, on montre que
{ A j , i + i G [ A j+ 1, A /+i ]
Xi,i+i G [Aj,Aj].
Done
[Aj-i,i, Aj^+i] C [Aj,Aj] =» (Aj, Aj) =£ 0. Si A G [Aj_I, Aj_i] n[Aj> Aj] 7^ 0, alors il existe scj_I telle que
Cxi-i = Qi-1 et (1 — A, A)Cxj_I = (1 — A, A)Qj_x = maxz*(x).
x(£S
Aussi il existe xi telle que
Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir 40 On a
(1 - A,AHCxt-i - C x i ) = 0 = (1 — A,A)(Qi—i - Q i ) done
(1 — A, A) est orthogonal au segment [Q/-i,Qj].
Alors par unicite du A associe a [Q/-i, Q(], on peut conclure que A = Aj-i,/. Done
A(_i = Aj et de meme A; = Ai+1. •
L
En conclusion, on a £c = (J [Qj_i, Qi] avec
i=i
{[Qi-i>Qj]) ^i-i,/}^=i oil 0 < Ao.i < .... < Aj-i.i < A^j+i < .... < < 1 * r \ i n ' I A o = 0 , Ai = A/_1 ) I p o u r / = l , . . . , L
et {Qi, Aj.A,]} o u t
\L = 1, Aj = AI>1+1 pour I = 0,...,L - 1.
3.4 Algorithme
Nous proposons dans cette section un algorithme qui s'appelle methode de tir. On a vu qu'a chaque sommet Qi (I = 0, ...L) de £c on associe [Aj, A/]. L'idee consiste
a determiner ces sommets et en deduire les intervalles [Aj, A;] pour lesquels Qi cor respond a l'optimum de (P\) pour tout A € [A/, A;]. Les valeurs A^ et Aj sont obtenus en utilisant les couts reduits de chacun des criteres et la condition d'optimalite.
Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir 41 Algorithm 1 METHODE DE TIR
ETAPE 0. Initialisation
- Liste des intervalles a explorer : V — {([0,1], A = 1)}. - Liste des intervalles deja explores : Q — 0.
ETAPE k = 1,2,3...
- Choisir et retirer de V l'intervalle le plus long, soit [A, A]. - Prendre A = |[A 4- A],
- Resoudre (P\) et calculer les A et A a partir des conditions d'optimalite.
. ,
^ f
(U,A], A = A-A) si A - ^ 0- Mettre dans la liste V : < / r— ~ _
\ ([A, A], A = A - A) si A ^ 0. - Mettre dans la liste Q : ([A, A], A = A — A).
- Terminer lorsque V = 0.
Cet algorithme a ete programme en MATLAB par Hichem Ayadi [2].
3.5 Exemples
Dans cette section nous utilisons la methode de tir sur les exemples de probleme de programmation .lineaire bicritere deja presentes dans le premier chapitre et donnons les resultats obtenus.
Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir 42
3.5.1 Exemple 1
Rappelons le premier probleme bicritere de la Section 1.2 : Max z\ = x\ + 6x2 Max Z2 = 2xi — 4^2 X\ < 20 x2 < 15 X \ — 2 X 2 ^ 1 1 2xi — X2 < 34 2xi +X2 < 48 X\ + x2 < 29 £1 •+• 2x2 ^ 40 Xi + 3X2 ^ 52 Xi + 6x2 ^ 9 1 xv,x2 > 0
En utilisant la methode de tir, nous obtenons les resultats suivants :
A A A -ZA Zl Z2 Xi X2 Etape de l'algorithme
0 0.2308 0.2272 64.4091 91 -26 13 13 3 0.2308 0.3333 0.2820 58.6667 88 -16 16 12 6 0.3333 0.4545 0.3426 52.4755
"84
-8 18 11 4 0.4545 0.5238 0.5000 38.5000 79 -2 19 10 1 0.5238 0.6000 0.5619 34.2857 68 8 20 8 7 0.6000 0.6842 0.6040 31.8396 56 16 20. 6 5 0.6842 1.0000 0.7619 27.0000 43 22 19 4 2 (PH sujet aChapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir 100 -10 -20 -30 -40 -50
FIGURE 3.1 - Ensemble de Pareto Ec.
3.5.2 Exemple
2
Rappelons le deuxieme probleme bicritere de la Section 1.2 : Max Z\ = X\ + 6x2
Max z-i = 2xi — 4x2 x\ < 20 X\ — 2X2 ^ 11 2XJ — X2 ^.34 X\, X2 > 0 sujet a <
Chapitre 3 : Probleme bicritere : methode de tir 44 A A A -ZA Zl *2 Xi *2 0.6000 0.6842 0.6421 30.3158 56 16 20 6 0.6842 1.0000 0.8000 26.2000 43 22 19 4 -10 -20 -30
FIGURE 3.2 - Ensemble de Pareto £c.
Comme notre programme ne traite pas le cas non borne, nous ajoutons la contrainte
X2 < R- Si nous augmentons la valeur de R, pour A = 0.6 nous obtenons le rayon
Chapitre 4
Exemples numeriques : problemes
de melange
4.1 Introduction
Dans ce chapitre nous illustrons la methode developpee au chapitre precedent a l'aide de deux problemes relies a des applications reelles de problemes de melange. La premiere illustration est un probleme de diete pour pore ou les deux criteres tiennent compte du cout et des rejets d'azote de la diete, il a ete traite en [8]. La seconde illustration est un probleme de melange en metallurgie ou les deux criteres tiennent compte du cout et du poids du melange, il a ete traite en [7].
Signalons qu'un probleme de maximisation se ramene a un probleme de minimi sation par cette relation :
max zix) = —min ( - z ( x ) )
xes 16s v w/
Ceci implique, par la suite, que la surface de Pareto devient convexe dans le cas de minimisation (rappelons qu'elle est concave dans le cas de maximisation). Un
Chapitre 4 : Exemples numeriques : problemes de melange 46 probleme bicritere sous forme de minimisation s'ecrit sous la forme :
Min z\ = C\X
Min 22 = c-ix
Ax = b x > 0.
4.2 Probleme de diete animale ^
4.2.1 Le probleme
La concentration d'elevages de pores dans certaines regions geographiques a plu-, sieurs consequences environnementales. Un des problemes associes aux surplus d'ef-fluents provenant de 1'elevage porcin est leur teneur elevee en azote. L'azote excrete provient directement des fractions non digestibles et des apports excedentaires de nutriments de la diete. La diminution des rejets peut se faire par une amelioration de I'utiUsation metabolique de l'azote. Cette utilisation metabolique peut etre amelioree par l'augmentation de la qualite des proteines de la diete ce qui a des consequences inevitables sur le cout de la diete. On ajoute alors au module classique de diete une fonction objectif qui tient compte de rejets d'azote.
4.2.2 Modele classique de formulation d'une diete animale
Le probleme de diete a cout minimum a ete introduit en [22] et repris en [5,6,9]. Une diete animale est un melange d'ingredients nutritifs disponibles qui doit satisfaire a des besoins nutritionnels de subsistance et/ou de croissance. Associons une variable de decision a chacun des n ingredients disponibles de sorte que x = (xj)"^ soit le vecteur de decision de notre modele. La variable Xj represente la quantite (en kg) du jiimt ingredient dans une unite de poids (1kg) de la diete. La fonction objectif
du modele est le cout de la diete. On associe un cout a chacun des ingredients de sorte que c = (cj)"=1 soit le vecteur des couts, ou Cj represente le cout unitaire du
Chapitre 4 : Exemples numeriques : problemes de melange 47
jxbne ingr^dient ($/kg). Ainsi le cout d'une diete x = (xj)"=1 est z — cx = ]C"=i cixi
qu'il faut minimiser sur l'ensemble des dietes admissibles que nous noterons par S,
c'est-a-dire l'ensemble des dietes qui satisfont a toutes les contraintes du probleme. Le module classique de formulation d'une diete animale a moindre cout est alors
(P)
mm z — cx
sujet a
x G S = |x € Kn | Ax = b et x ^ o|.
Les contraintes imposent des limites aux quantites d'ingredients et de nutriments de la diete. En particulier on produit une unite de poids (1kg) de la diete, done X^=i Xj = 1. Certains ingredients, ou combinaisons d'ingredients, peuvent etre im poses dans la diete ce qui donnent des contraintes de type =, de type > ou de type <. Pour satisfaire les besoins en proteinies, on introduit les contraintes suivantes sur le groupe des l acides amines contenus dans les ingredients. On pose
n
J2a49Xj>V (i = 1,...,!/) (4.1)
i=i
ou aafj9 represente la quantite d'acide amine I digestible contenue dans une unite
d'ingredient j et b* est la quantite minimale requise d'acide amine I digestible. Fi-nalement, la diete doit satisfaire des besoins de phosphore digestible note b*h, d'ou
I>f X; £ % I4'2)
j=l
oil phf9 est la quantite de phosphore digestible contenue dans une unite d'ingredient
j.
4.2.3
Modelisation des rejets d'azote
Les rejets d'azote sont directement relics aux surplus de proteines (abides amines). Pour modeliser les rejets nous etablissons le contenu en proteines d'une diete et tenons
Chapitre 4 : Exemples numeriques : problemes de melange 48 compte de la partie de ce contenu qui est effectivement assimilee.
Le contenu en proteines d'une diete x = (x,)"=1 est prx = Y^=iPrixj' oh prj
est la quantity de proteines par unite d'ingredient j. II se decompose en deux par ties : une partie digestible et une partie non digestible. La partie non digestible est completement rejetee par 1'animal et forme une partie du rejet total. L'autre pax-tie du rejet total correspond a la quantite de proteines digestibles donnee en exces. Cette quantite digestible en exces est constitute des surplus des l acides amines de la diete. Pour chacune des l acides amines, ce surplus est donne pax la contrainte (4.1) du modele et vaut Y^= I aa-fj9xj ~ b* puisque fy* represente la quantite d'acide
amine de type I qui doit etre assimilee pour assurer la eroissance du pore. Le rejet de proteines rpr(a:) est alors donne par le contenu en proteines de la diete duquel on
retranche la quantite de proteines effectivement digeree donnee par ~ bpr ce
Ainsi, diminuer le rejet total rpr(x) revient a diminuer le contenu en proteines pTx
de la diete en maintenant fixes les besoins b^. en proteines.
4.2.4 Modele a deux criteres
Lorsque nous considerons le cout de la diete et les rejets d'azote, le probleme est : qui donne
rpr = PrX — 6^.. (4.3)
mm z\ — cx
mm z<2 = prx
Sous forme parametrique, ce probleme s'ecrit:
min^A = (1 — A)cx H- Xprx
(PA(c,Pr)) < sujet a
Chapitre 4 : Exemples numeriques : problemes de melange
avec 0 < A < 1.
49
4.2.5 Donnees typiques
Les ingredients et les variables du modele sont enumeres au Tableau 4.1. On retrouve a la Figure 4.1 le modele au complet avec les valeurs des coefficients tech niques et les prix des ingredients. D'apres la nature du probleme (les contraintes), l'ensemble S est borne.
Chapitre 4 : Exemples numeriques : problemes de melange
Type Ingredient Variable
Cereales avoine Xi
bl6 dur x2
maus x3
orge Xi
Tourteaux d'oleagineux tourteau de soya x5
tourteau de colza
Sons produits vegetaux remoulage de ble dur X7
• gluten feed de ble x*
Sous produits animaux farine de viande 50% X9
farine de plumes Xio
gras animal xn
Mineraux phosphate bicalcique Xl2
carbonate de calcium Xl3
chlorure de sodium Xu
Acides amines de synthese L-lysine Xl5
DL-methione xie
L-threoninie xi7
L-tryptophane Xl8 .
Premix quantite imposee 5g/kg X\9
