Le codage des états à l'aide des recouvrements de codage /

~ \ ;:---;-,'~;-" -.---, li" t\\.. ~",' _~ ... ~~ .. '1'-.... _ _ _ _ _ _ 'I_~\ m ,,'Ha t in •• u

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1

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DEPARTMENT

OF~LEÇTRICAL

ENGINEERING

,A ~

Jean-Paul Paquet.

Ph. D.

\

!

•

\ 1

SHORT T,ITLE

! 1

LES RECOUVREM!NTS DE 'CODAGE ET LE

CO~GE

DES

ETATS ~~ .'

(

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1

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"-/If (1 • "

LE CODAGE DES ETATS

c,

A L'AIDE DES

RECOUVREMENTS DE

CODAGE

'PAR

JEAN-P~UL-PAQUET

B.Sc.A. , M.Sc.A., U. LAVAL

\

.THESE

PRES$NTEE

~1

A LA FACULTE DES ETyDES GRADUEES

, COt-\ME

EXIGENCEP1\RTIELLE

POUR L'OBTENTION'

DU GRADE D~'

oqCTOR OF PHILOSOPHY

r \

\

(1; J

DEPARTEMENT, DE GENIE ELECTR10tm

UNIVERSITE MeGILL

\

.

MONTREAL, QUE BEC

\ " \

-"'~ ~

--_

... -... / .. JEAN-PAUl PAQUET /r977

l

J [lIB; aIS ;l

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f

\

J ! '

Deux m6thodos nouvelles de codage des

~tàt~

dos machinès

$~­

quantie1les synchrones utilisant dos basculas de type D sont pro·

POS~Qs. Cas doux mGthodes ont en\c01'llmun la d~termina.tion (1'un

co-"

.

dago des

~tats

sous la

fo~,

d'un

recouvrèmon~

do

l'en~emblo

dos

6tats intarl'\GS do la machinè appo16 recouvremont de cod.!\<jtl.t _

'

La premiare mêthode est applioable aux" machines qui possêdent

/

des recouvrements ferm6s identiques l un recouvrement do codage.

ILA

deuxiame'

m~thode

fait appel aux pairas

d'~tats

dont les

f'co~es

sont l distance

~nitê

et est 9&nêralement applicable'

~.

tou-te la olasse

ae

machines 'dêfinie au d'but. '

Le graphe des implica1ions et

le

graphe des voisins

~ont

res-pectivement, utilis6s'pour faciliter la

96n~ration

dos

recouvre-ments

ferm4s~et

l'identification des recouvrements de

coda~e.'

1

Tel

q~é

.

dêmontrê 1 l'aide de plusie rs exemples, les deux mê-

_ .

thodes

propos~.QS

prises conjoint

-sa comparent fa.vorablement

aux meilleures' m§thodes connues de.codage

~es ~tats.

\

1

1

. \ _;'

1

)

,

.

\

1, (, 1 l'

.

,

, ,( (

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(.f

. '/ '!'wo

new me

t ti~l

machinas us

form of

a

cover

led an assignme

_.

.

-The tirst

1

!

1 1 1 /

!

..

,

• . 1

.

1

ods of 5tftte assignment

fo~

/synchronous

'saquen-ng

P

't~pe

Flip-Flops.

~re

i

'~POS~d~'

The

b~o

mo-on the search for ft sta

,ssignment

~n

tho

n the,

sot

of,internal

~t

s of the machine

cftl-~

t

cover.

~ f I l

ethod' is

appl~cable

to

t

lot machines

~hat

ha.ve

,identical

~o

an

ar9i'~nm ~ ",co~ri',

'1

The sepon 'mothod dads with pairs

IOfi

atate~

that, are

assi-gned unit, dist nce codes and 1s general

y ~pplic.ble

tio the

com-, "

plete class of machines defined At the

eginning~

l '

!

~'

1

1-Th-e impli

~ion q,r~~

and the adj

1

ne graphl are respecti valy

used to simplify the gen.ration

~f

the pr served,! covers. and

t~.e

identificatio of the assignment cover

.

"

As

shown w1 th numerous examples

f

he

i

two

rn~thodJ cGlli~red

toqethe~

comprre favorably with the b st known

~thoJs

of state

assiqnm~nt.

'

-

l' . 1 ~ !' 1

l

,;:..

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1

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1

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1

'lit f fi

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(.

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i _<iP ,

,

/

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1

1 1 ,1 i 1

1

-, .' / 1

Mos premiors rem'ercie'lI),onts lont 1/ l' 6qard

dOS'

autori t6s

d~

'Universit'

d~Ou6boc

a

Chicoutimi;qp m'ont permis

d'entropren~

re et do/monel'

~

termo

mGS

6tudes en; vua

de l'obtènti~n

d'un

di-plame do doctorat.

\ . .

A

mon directeur

de

thêse le pro/f sseur Miguol

A.

Marin

qui! a

. - l '

-

multipl~6

ses encouravements tout

a~

long de mon s6jour

l

MaGill

1 1

je

d'siro exprimer ma reconnaissancè Se. judicieux consoils et

. sa grande disponibilit6 malqr6 sea

h

mbreus~s

occupations ,m'ont

- " 1

ft' une source constante d'inspirat

on~

.

A la

leotrique

dire~tion et aux~profess

, ra du

d~partement de G61lie

E-de McGill, E-de mime qu'a x employ6s E-de soutien.

j'expri-; ' {

r

me· ici ma gratitude.

\ia

collaboration et les en

₇

(>uraqemtmts du docteur H.J.

,Har-rison de la

Qo~aqnie

IBM

a

Hun,';'sville,. Ala.bama et du profeèseur

P.S. Noe du

Tex~s A'~

University m'ont At6 tris prêcieux. Je les

èn remerçie profondfment.

.

Merci enfin A tous

ceux

4Ui,

de

p1:'~a

bu'

a

rendre mbn $4jour l Modill des· pluS

r \

1

.

1 . / (

l ,\

...

\

.

ou de loin, ont

oon~ri­

enrichissant.

pp

1

\ / ",

,

..

',v

\

\ \ 1 1 l, •

.

/ \

..

, o , ' SOMMAI RE" • , , ,. , " " " " , 1\ ., , . . . " , . ,. " . . . .

t, , .. ' ..

11 " .. , , 11 , 11 , , , , ., ,. . . . 11 : .. i ' '\ '

ABSTRACT ••••• , ••••

~ ,

....

,."

....

"

..

"."" .. ,

...

, . " " ... " " , , , .

REMERCIEMENTS •••••

.. ,. l1 " \ ' . .. .. 11 Il , .. " .. .. -, .. , " , " .. ~ .. ~ " , , .. .. , .. , , .. 11 , 11 , t ..

"rABtE DES Mi\TIgRE

, • , " . . . , " 11 11 , .. " . . . . " ., " , " .. " .. 11 " .. ' 1 ' , " " " .. " , , il , ..

LISTE DES

ILLlJSTf~IONS

. . . : . . . ' •• , ... .

INTRODUCTION ... , ••• , •• , ... ' .•••••••••••••••••••. Cti~PITRE

1-•.

CONCEPTS

GENERAUX

<6'

1.'1. G~n6rll1i t6s ••••• , ••• , ~ •• , • ,l. , • • • • • • • • • • : • • • • • • • " ••• ' ••

1.:2 ta n'\aehinê s~uentiollG ... ' •••••••••••

1.3

Le Pf~l~me du

codage

~es ~tats intarnes.' •••••••••••

1. 4 'Hypoth~ses

de

base, ••••• \ ••• , •••••• ~ •• l • ••••••••••• ti'

1.5 ~appol sur

les

partitions

et

~es

recouvramdnts •••••• ,

·1.6

M'thodes

do podago

des 'tata ••••••••••••••••••••••••

1.6.1 L'approche dG Dolott'a et Mc~Cluskev ••••••••••••• ~

1.6. 2 L'approche de Ha::,tmanie ... , •••• ,', ' ••••••••

1.6.:3 Remarques g'n~rales •••••••••• " •••••••• ', •••• -••••

1.7

Aperçu des nouvelles m~thodes propos6es ••••• ; •••••••

CHAPITRE 2:

~E~ERATIo®

DES

RECOUVREMENTS

FERMES

\\"

\

. /

2, l G~1\.ê§rali~~s .... \. , .. " ... " " ... " ... , .... , .. ~ ... " .. " " .. " " " , ... "

2. 2\

.R~c~~vrements,

partiels :fermls ••• ' ... , •

~

•••••• ' ••••••

2 ~ f:G~n~r& tion des recouvrements ferm(§s •• ,.,. ~ ... , •••••

2.3.1

2.3.2

2.3.3

2.3.4

2. 4:'" Une Introduction ... .' ••• -... " ., ... . \ - 1 La omêth~de de 8o~th. "_' ••••• ~_. " ... • ',' .. , ••••••• La mêthode de BoOth amllior6e ••••• " ••••••••••••

' . /,J, ' . '

Autre mêthode ••• " •• v'~ . . . , • • • , . . . .

application du'graphe des ip'plications ••••••••••

\ \ " \ \" ii iii " iv

v

viii l 4 , 4 6

"

9

11

17

17

19

21 21 { 24 \ '~.

24

28 28 30 32 33 34

---· ...

=~~"=<:~·:--_---~-_l

.... ·.".

.fi < ,

'II

!

l\

"

!

/

1"

.\

1

J-

_\

CHAPI'TM 2. (Iuité)

2.5 Exemple d'application ••••••••••.•••••••••

~.'.'

••••• ' •••

2.6

,R6sum~

du ehapitrè· •••

I ... ·.,.,." ... ,· ... : ..

~

... .

\ l '

CHAPITRE 3. LA METHODS 1 OES nECOUVREMEN'rS FERMES '

3. 1

G~n~rali t~1 _.

...

_l' ~

... .

~

3.2 La recouvroment de COd.9G ••••••••••••

! ..

~

... .

/ .

3.3 Reoouvrement',de codage di.joints ••••• , ••••

~

••••

~

•••

3.4 Rocouv~oments

fermêa et reëouvrernents

_{• ' 0} da

codago •••••

3.5 Identification

~es

re?ouvrements do codag •••••••••••

3.5.1 G'nfS'ra1i t'a ••••• '\ ...

' •••

3.5.2

LGS

rocouvremonts ,de codage da la forme

$~

... '

3.5.3 Les recouvrement. de

~odaga

do la formé

~r-k

l -< k <

n-l., ... ",,, ... , ... ..

. ~ n-l

3.5.4

LèS

rocouvromenta de codage do la fortl'lê

IV

_r

•• ',"

l.t) R4sum6 du.

Chagitrtl et conclusions •••••••••••••••••••

CHAPITRE '4. tA METHonE DES PAI~ES

\.

\ ,

~.1 G6n'~.lit's

•••••••••••••••••••••••••• \ ••••••••••••••

4.2

Paires naturelles et paires

indu~tes

••••••••••••••••

.... 2.1

Les paires naturelles ..

~

•••• , , ...

1 .... ~' .' ," •• , ... ' ....

+ • '" ~

4.2 .. 2 Lès paires induites", ... , ... ).\ •••

'0' • , ••• 1

fj,'?! ~ ' } " - ,

,4. 3

Po1ds intr±ns_ques et poids induits"" ... , ... ".

':o ... _{1 •}

La mêthode des paires ... \: , ... ' ••• , •• , •• ,

4.4.1

Introduction".,,,. \' • , •

~

• , , •••• " ... .

4.4.2 procêdure de d'termination àes paires •••• ",:."

4. S Ms"""

du

t:h~

tr<i 'et

Observationr ••••• •••• •• ···.: •••

ClI,1\PlfRE 5, RESULTATS ~XPER.lMENTAUX . . • 0

: ,.,/ 5 ,l

G'nêraM t's. " , , .. " ... , ••••••• , , " ••••••• '. , ••• , ••• ';. •••• ,

5.2

Choix des maohines

s~quentielles 't~diêes

•••• " •••••

7 •

-. S -.-. 3 M6t~od$ 4~" re~o~v~ement!

fermês ...

~

... , • " , • , ,

S. 3, l

Rês,~:.tà.~~."., ~,"'''''''''''''''''''''''''' '." .'.,. ~ ••••• ,

5 • 3 • 2 Obs«tva.

tiens ... , , ... , •

\ . , :.

5.3.3 M'canisation de la m'thode des recouvrements

, 1

\

..

. ,

, '

fe~mus,

... ''\ ' ••••• , , • , • , .. \' •• , , .. ', , ... , •

\ d • .

Ii!. _

1 ""H'" \ 87 ' 87 88 '90 91 93 93 94

lOS

. 107 107 108 108 112

113

\ Q

v

:."

\

, \

\

\

CHAPITRE 5 (sui ta)

_,U

ff

_{_}

S. 4 MGthodo dèS p~iro~ ... " ... ,~" ... "" ... "".""

S .. 4 •

l RI. u1

t.a

t ... " ....

~

: ...• " ...

~

: . " .. " •. " . , ... " .' .••.•..•

5.4.2 5.4.3

Observations ... t .. t • • • ' • • it " • • " • • / " " . . . " •

J ..

,.t ." • t " M~canisation ~

de la mlthQdè do.

pair.s, •••

~ ~

•••• ".

CHAPITRE 6 CONCLUSION

114 114 117 118

6'01 RI.um6 et di.cussion' dos r4sultats ..••. •

,;,.t" ...

12'0

6.2 Suqqoations pour recherche futurQ •.. . ' .• , ... ".".".' 123

BIBLIOGAAPHIE •• '." , . . . " " ."" ••••• "" " .• " .... " •• -... ".. l~S " • / "AN~E XE.. " • " • • , , " • • " .. • " .. .. " • • • ~ • • " " • " • .. • " • • • .. • • • .. • • • • • " • • •• " • 129

1

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1 l l •• IIU

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-t '''" _'\ \

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t' f'· ... ' _ ... " . M _ , ' . . .

.

" J / \

LISTE DES ILLUSTRATIONS

,

,.

Fiqure

li

1.1

un

codage

tyl?ique d •• 'tat~ (p-S, ,n~) ... , ... ..

1.2

or9ani9ra~vdè'

m6thod •• nouvelle,

propoa4 •••••• ,,

- [

2.1

Tabl.au de. 6tata d.

M

_{2"." •• " " " " " " " " " . "}

T~bl

•• u

d4l'

Itat. de

.M

₃

-â.

l' _.mple 2,2,\" .... ,',.,,'

Grap~. d ••

impli?ation. pour

.l~. l'e~ftPl. 2,2."

Tableau

de. 'tata

de N", d~ l'auMpl. ,2',3., .. , . " . " .

Graph •• d •• implication.

p~ur ~1,2,4

d.

1 • exemple 2. 3, , , •• , .. , , .. , ~, .. , ? ' , , , , .. , .... , , " , • • , • , , • , ,

Tabl.~u

d •• implication, pour

~1,2,4

de

,

, 1 • exep le 2, 3, ... , , , ... ',' .... , ... , .. , ... , .:' , , .. \.. ••• " .. ..

Tableau

dea 'tata de MS., .. " . " , . , .. , ... , ... ,.,' ... .

Graph •• des implications de MS (4 'tata l la fois),

Graphes de. implications de MS (3

'tata-l la ,fois),

Graphes des ,implications de

~s

(2 'tata l la

,fO!S) ,

3.1

Un

codage typique dea

~t~ta (~t

n-3) •• ,., •••••••

3,2

'l'able de

cod~ge

pour Yl de l'exemple

3.1" ... " ,-, \

-3.3

Tables

~e,codaqe

_{pour Yr et l. de l'exemple}

3~

••••

3 .. 5 3 .. 6

3.7

3,8'

3.9

3,10

3.11'

'l'ables de

,eodaq~.

pour Yl

et

Y2 de

l'e'xemple/~.-3, ....

Tables

de

eo~aqe

'pour y

l et,

y 2 de l '

exemp~

•. ,3 .... , , , ,0

Table.'9'n&rale.

de

ooda9.

~our

codages,'

1 r

. ,

di.jO~pts (n-4)" .. , .... , .. , ... , ... "."."'",,,,,,,,,,,,,,,,,

Table. gln'rales

d~

c04age pour

coda~e.

\

disjOints (n-5), .... " .... , .. , .;': ... , ... ,

.1: ... , ... ", ....

3.4 ... ,." •• , 3.4 ... , ... ,

TaDleau"dea

~tat.

de\

M6'~e l'.~mpl.

Table

di

C?~qe

pour

y r

de

l~ .~lnPle

Tableru des

tran~'~ tiO~8 'de, l '~_mpl.

Table-de

codage pour

Y~ d~

1'_xemple

3 .. 4 ... " ...

~,

\. 1 ! /

/

1 \

-Pap ? /40 \.:4t ' ~ 43 4

44

48

50

54

56

58 58 59 60 61 62

64

..

Mt, ,.' O' / Il'

1

•

• ~/,';) ~ --;J • \'~~~} , I ( " ~ ; : ' ,f' .Ir ,~ ' - :"":1 l~ . " J "\ ~ li > ' .. r • .l 1 ,~I " .i,', 1,~~ ;t-\":'·v\. ' 't'· n r , ... r " ili.W • • • lIdljfli ~~""11'.1. .. l!" /

.,'

/ " " .' ,t ,t' J " ,,' ,t' /' / / ,t' " c •

F19Ure

/

3.~2 G~he

dél voilin.

pour

~!

('q.

3~lS)""

•• , •••••• ,

l •

3.13

C1~.'ê' ~è ~r

en lOhotion

de

p." •• """" •• """

3. Gr~phe d •• voisina

pour

~l

d@

l'.~mplê 3.S.".~ •• ,.

( .. 15 T@lé dé codac;té pour

,i

de

l' èxotl\\')lé 3,' 5" .. "

~

"

~.

'"

3,1~

GrAphe

~ê.

voi.in.-

pour

~2

do

l'exemple

3.6 •• ",.,.

1'3 ..

1'

'J;Iablè.

a.

'cOdage pour

~;''d.

l'exempl.e 3.6'",\"'",,

3.18

Gr~ph.

dei

voi.in.

pour

'3

de

1.

'exemple

3.1"

'oH" '"

3~

19

Tablee

dG c:odagê

pour;

~~

cl.,.,

l.

'exemple 3.

~'"''

\ •• , • \ .,

3 .. 20 "qraphe

~..

voi_ln. po'ur Xl de

l.' .x.~le 3.

a, " .••• "

~

3.21 ,'l'able do coda.te pour Y4

~è

l'.x.mpl •.

l.a ••••• , •••• ,

3 .. 22

Gra~~é dêa~vo18inl pour X2 de l'exemple 3 .. 9,.", •••

3.23 'l'abl.e dé

c~~a9G

pout: YS

de

l'exemple

3.9", " , . , ••

3 .. 24 'l'able de

codaV8

pour YS

~e

l'example

3.10,.,~

••••••

4.1

Tabléau

~e8 'tat.

dé Ml dé

l'e~~ple

4.1.,." ••••••

4.2 Diaqra~ dé~ 't~tl

de Ml de

l'~Xèmplé 4.1~ ... . 4.3

Tableau partl.,l de.

pairê~ indu!

te. pour

Ml

4 .. 5

4.6

4 .. 7

4.8

4.9' 4..10 4. ll: de la. fiqure 4 •. 1 ... , ••.•••• " " . , •• ,." ... , ••••

~ablea~ parti.~ dè~t~a.n\iti~na ~our

Ml de .

la fiqurè ... 1. • • • '/: '

l' , · · , · · · · , , · .. · .. , · · , "

~

· · · · .. · · · ..

,Tableau

d~.'Gtat8 ~e

_{M2 de ;'êxèmplê 4,3., •••••• , .•}

\

.

Tableau de pointa . pour M₂ de l'

èxemple 4.3 ... " ••

COtitl

c6mparatifa

our

M~ de l 'éxe~lè ~ \ 3. ".'" .. "

Tableau

de pOlnta e (poids indui tS'-'aé\llel\\ènt)

pour ~2 de

l'ex

ple

4.3 ••••

:.~.,',

.• " ...

P •• , ... .

Tableau ,de8

Itata

de M3 de l'exemple

4." .. " .. " .. , .... .

Tableau àe

pointagG

pour

N,3

d~ l,'exê~le

":4, ... .

Graphe

pattiel

des /voisina

porr

,i

de . .

l'exemple 4. 4.. ~ , ... " ... " ••• " •••••• , " .... , ,

Table.

de

eodagepour

M.

_{3 de}

l'exemple

4 .. 4 ••• , ••••••

Tabl.aux de. Itata pour la mlthode dèS

\

:\-.. f J..Jt " \' J"",I'"

recouvre"Nn

\,oS

ermes. , • .... • " • • ... '\' .. , • ... , ",' • .. •

r ,. ,

Tableau d •• raaultata pour la mlthode des

l ' f _Jt

reCOUVAll\en

ta, eX'lmIs ... " ••• , .... , •••• , ... " , " • , .. , '\ '

\ ' , \ • 1

.

/ Pagé ~S 10 73 '7 ~

74

t75 75 76 ,79 -80 82

a3

85

89

89

1"

90 91 9(; 97 gg ~Ol 102

fo3

104 104 109 , 1

110

Il

..i;..~.j _{K"T"""'~ • . . . . dl . . 1 1} . _• r ... " • II, • • I . . . . ~ . . . ~ _ _ . . : - -_ _ _ _ -!...-'"""' ... _ ... _ 1 ... ---•

..

• 1 ,h

..

' \ \ ."'> t' l ' Fig'ure' \ • .. ,0 .," 0 ~

S.l .Table de codage pour

M"., ...

~,

...

~

... '.' .. ,

".:~

....

-'-s.4~

s...S

5 .. 6

5.7

-. , (

Bloc-diagramme pour ,la mêcanisation:

ge"'la..-mêthode des' recouvrements 'fermês ... ~· ... . '~ ... .

.... , "

Tableaux des êtats pour la m.êthode des p'aire~ .1 ... ..

Tablè.au des' rêsul.tats pour la mêthode

d~ ~a~res

... '

r Page 111 0 114 " 11S; 1~6 '.

Bloc-diagramme

P~.t

la mê,canisation

dE<

i; '. .'

rnt'!thode des paires, ... ,' ... ,... . ,117

; J $ f

(

.

l ' " "r,

l.

1 ·r

l

1

/

~

.'

r, _.Q, 1 . 1 •

{

. ,

/'

1 •• l '

Iii

/

1 'l' J

\

\

~[

,

!

1 "

.

l'

\

. "

.

, ,

\

, , "

.. \ \ " ,

\

, ~ ,.'r- A?! ~, } ',' '~ .' i 1 fi IN'l;RODUCTION f, ~

~ep~is environ une vingtâine d'années, un ef'fort

important'/-) a -êtê

d~ployê

vers

~

la ?Îrecljerche de

rn~thodes d~

COda?e des êtatf'

-qui permettront d'obtenir des coüts ~lnimum de rêalisation, en'

" 1 )

üermes de diodes ou entrêes de porte, pour la p~rtie combinatoi-,

re des machines sêquentielles synch~ones. Les .principaux

rêsul--

, '

tats obtenus à ce jour sont~ contenus dans 1e~' rêfêrences 1 à 14

de ,la bibliographie à la fin de cet ouvrage.,

_.

~

, '

"

\ La venue rêcente des, ROM:' (Read Only Memory) e't PROM (Pro-. _,

~

1"

°grammable Read Only Memory)/a certainement ₁ à ce point de vue

simplifiê ,la rêalisation ~s machines s~quentiel'les en gênêral,

~ 1 \

mais lor_que la vitesse d(;opêration est un facteur important,

~

~-les mac?~nes sêquentielles à bascules sont encore très souvent

.. 1: ~ ..,

un meil.leur choj,x .. Il suffit de penser par exemple aux circuits

: J

de contrôle pour l~s systèmes utilisant des ROM ou des PROM qui

doivent n€ceSsairement, être plus fap~des que ceux-ci. C'est

pour-\ quoi le pro~lème du ~Ddage des êtats revêt encor~ aujourd'hui

u-ne 9rande ~mportance et il en ,sera vraisemblablement a~ns~ pour

\

.les prochaines d~cennies. ,.. .' /

Malgr€ qu'un certain nombre de mêthodes de codage des êtats 1\

ont êtê propos€es par le passê, les, raisons qui ~otivent la

re-cherche de nouvelles mêthodes sont. multiples. Du point' de vue

th€or~que, la relation entre le' coüt \,,-de rêalisation et le

coda-ge des êtats d'une'machine sêquentielle est à toutes fins

pra-tiques inconnue sauf pte9t-être pour:' quelques cas parfi·culiers.

Il Y a donc avantage à oursui vre ~ êtude . thêorique/du oodage des

êtats. Du point de VV~ pratique, aucune des mêthodes proposêes à

ce jour n1est

vraim~h{

à la portêe du concepteur

d~

circuits

sê-/

•

l

....

\

()

•

\

,.

\

.

,

...

'~:-' \

.

..

(

2

\

1

quent.iels pour des raisons variant entre le domaine restreint d'application, la complexitê d'exêcutièn de l'algorithme ou

l'ab-sence de programmes dt ordinateur q~i p'ermettraient l' ~tude des

machines

s~quentielles

dont le

nOmbre!dt~tats

internes dêpasse

5 ou 6. Ceci est particulièrement vrai des m~thodes propos~es '

pour les machines sêquentielles rêalis~es avec des bascules de

\

type D.

Dans ce texte, nous proposons d~ux mêthodes or~9inal~s de

co-dage des ~tats Pa0ur les machines sêquentielles synchrones

ut'ili-sant des bascules de type D. Ces deux m~thodes ont en commun la

repr~sentation d'un codage des états par un recouvrement des

~-* ,

tats internes de la machine sêquentielle appelê recouvrement de

codage. 1

La première méthode dite

mê~ode

des recouvrements fermés

, r

est une ,méthode basée sur les prppriétés ,algébriques de la, ma-,

" 1 "

chine séquentielle. Elle ~'est applicablè qu'aux machines

s~-q~entielles

qui

possè~ent

un ceftain type de recouvrement;

fer-més de l'ènsembl.e des êtats int,~rnes' de la machine.

l

1

La deuxième méthode dite mêthode des paires fait appel à la

notion de paires d'états dont

~es

codes sont à distance' unité.

Elle est applicable

~

toute m,chine

~équentielle

sauf que la

pre-o mière méthode conduit p,âlrfois! à des coUts de rêalisation

infé-" ! )

rieurs lorsqu'elle est applicable.

Ces deux méthodes nécessitent l'étude des propriétés des re-couvrement fermés et des rec,Quvrements de codage. Nous avons

ten-l ' •

té de rendre l'eÀ~os~ le plus pratique possible sans pour autant

négliger la rigueur

nécessa~re

pour la dêmonstration des

théorè-mes.

Seule~

les proprtétés jdes recouvrements fermés et de

coda-ge directement reliéis à c~s deux méthodes ont été reten~es.

Dans les chapi e-rés qui suivront, .les théorèmes pour l~squèls

la démonstration n'est pas faite sont démontrés dans les

réfé-rences rnentionnles dans le texte. Quant au~ autres ils

représen-1

1

tent des théorèmes originaux ou prouvés de façon originale.

',1

!

\

;'

-

_.;-" -... f j

l

!

!

1 1

,

1

₁

1

1 \ \

1

\ 1 1 1

1

!

, 1 1 ( P in J.

J-"

3 \

~---Le premier chapitre contient les concep,ts fondamentaux

re-liês au codage des êtats des ma~hines s~quentielles, les hypo- \ .

th~ses de base qui seront valides tout au long de cet exposê, un

rappel sur les partitions et les recouvrements, un rêsum~ des

principa1ès mêthodes

co~nues

de cc>dage des êtats et

fina~ement,

un bref aperçu des deux mêthodes qui seront proposêes plus loin. Le deuxi~rne chapitre e~t consacrê A la gênêration des

recou-vrements fermês des machines sêquentiel~es. Le graphe des

impli-1

~t

utilisê comme moyen de rêduire le

n~'mhre

d·' essais

r pour obtenir tous les recouvrernent~ ferm~s de la

ma-entielle.

!!

Le're ouvrement de codage est introduit au chapitre 3 et la

m~thode es recouvrements fer~s'y est êgalement développSe.

, ,

\ '

"'\

naturell

dête~mi

hode des paires fait l'objet du chapitre 4. ,Les paires

in~ites

sont définies et leur utilisation pour

li.

du recouvrement de codage est êtudiêe. .

Le inqui~me chapitre" contient les rêsult{its expêrimentaux _,

,

obtenus A partir des mêthodes des chapitres 3 et 4.

En

g~ise

de conclusion, le chapitre 6 contient

un~

résumê et une di cussion des rêsultats bbtenus 'au chapitre S. On y

trou-vera ~ alement des suggestions pour recherche future. \

\

l

(

\ _,

\

/ / {~ ,"

1

/ \

\ ~ __ , ~,J~ ______________ ~~ ______ _ i _, \ /

.e

1

\

CHAPITRE l 1 \ CONCEPTS GENE~UX 1.1 GENERALITES

v

Ce chapitre contient

l~

concepts de base du codage des

~­

tats de même qu'un certain nombre de r~sultats de l'a19~bre des

partitions et des recou~rements qui seront utilis~s dans les

chapitres ~ Ivenir. On y trouvera ~galement un bref aperçu des

mêthodes les ,plus connues-de codage des

~tats

et œe

~elles

pro-V'

posêes dans èe texte.

\

La thêorie exposêe dans ce chapitre et les démonstrations pertinentes sont contenues dans les réfêrences 15, 25, 26, 27,

28, ~9, 30, 32, 33 et 37 de la bibliographie. \

Les auteurs français ne sont pas tous d'accord sur la ter-_,

minologie, relative aux circuits de commutation en g~n~ral et

aux machines s~quentielles en particulier. Nous avons choisi

celle qui nous apparaissait la plus çonsistente.

1.2 LA MACHINE SEQUENTIELLE

Ùne machine sêquentielle M possêdant p êtats internes, q

é-\ tats d'entrêe et w êtats de sortie est un' 5-uple

1

M - <S,I,6,0,0>

.

oQ: S-{Sl,S2,S3""'Sp}' l'ensemble des êtats internes de M, ~ I-{i

l ,i 2,i3 , ••• ,iq }, \'ensemble des.êta~s d'entrêe de M

, '!

/ ,. " ~ ~ 1. ri

1

,

~

'1

i

~ 1 1 1

"

C r,,-, \~ ....

1

1 _,

.

:: 1

\

1

5

\

ô:SxI + S, la fonction de transition,

0 - {Ol,02,o3""'Ow}' l'ensemble des êtats de s~rtie de M,

n:SxI + O,la fonction de sortie de M (machine de Mealy) ,

n:s

+ 0, la fonction de sortie de M (machine de Moore).

o

Les fonct\ons de transition

(ô'6

et de sortie (0) sont, de

façon gênêrale, dêfinies par le tableau des êtats ou

p~le

gra-phe de la machine sêquentielle. On peut aussi d~finir M A

l'ai-"

'

de d'~qurtions d'~tats. Pour ce faire, nous définissons:

X - {Xl,X2'X3""'X~}, l'ensemble des variables d'entrêe,

Z - {Zl,Z2'Z3, ••• ,Zr)' l'ensemble dès variables de sortie.

De plus, nous représentons l'~tat interne i aux temps t et t+l

par S. et S: respectivement. De mê~e Z. et

Z:

reprêsentent la

~ 1 J J

,jième variable de sortie aux temps t et t~l respectivement. Nous

\ avons alors:

(1.1) (Mealy) (1. 2 )

1

_{(1. 3)}

Il serait possible dè-" rêaliser la machine s~quentielle "M

en utilisant p éléments de mémoire, i.e. un pour chacune des

p ~quations de (1.1). Il n'y a cependant aucun avantage

appa-rent

_.

A

procéder ainsi puisqu'il est possible d'obtenir des

rêa-lisations de M en utilisant un minimum de

\

(1. 4)

/

!

1

êl~ments de mémoire (ail

rx

signifie le plus petit entier plus \

grand ou égal A x).

Avant d'aller plus loin pans la

~éduction

du nombre

d'élê-ments de mém6ire n~cessaireslour r~a!iser M, nous devons ch~i­

sir un mod~le pour M. Klir e Marin,g ont propos~ les trois

classes

,suivan~es

pour les machines

s~quentielles:

• indique le numéro de la réfêrence dans la bibliographie

'1'

•• ""i\IIIIbw:_Il'I ... II.IIIIJIU _ _ ... IJII!'1 ... ,""",. _ _ _ _ _ _ _ _

-=-...:-. _____ . ____ .

_j

\

\

1

\

6

a) les rnod~les

A

nombre fini d'~tats, d'ordre

k,

(k~l),

b) les

mod~les

l mémoire finie ;/

c) les mod~les combin~s d'ordre k, (k~l).

Dans cette êtude," nous traiterons uni~uemftnt aes modè~es

à

nom-bre fini d'êtats, d'ordre 1. De plus, nous sUPPQse~ons que le

nombre minimum d'éléments de mémoire (donné par l'équati?n 1.4)

seront utilisés pour la ~aI~sation de M.

1.3 LE PROBLEME DU CODAGE DES ETATS INTERNES

\ La

r~duction

de p ! n

élé~ents

de mémoire (voir section

pr~cédente) pour la réalisation d'une machine sêquentielle M

" ~

~ entraîne un choix de n variables binaires 'il' Y 2" •• : ,,"in pour

re-présenter les p états ~nternes de M. Comme nouF le verrons plus

loin, ce choix n'est pas ~nique et les réalisdtions obtenues

A

partir de choix différents entraînent généralement des conts (en

terme

re

composants combinatoires) fort vari~s. Le problème du

ji

'cçdage des états internes d'une machine séquentielle M se rêsu- '

me donc au choix de n variables binaire,s (qu'on appelle

varJa-bles internes) de façod

A

ce que ehaque êtat interne soit rep~é- ~

"

-sentê par une combinaison unique de ces n va~iables et que' le

cont de rêalisation dt M soit minimal. Nous définirons

prochai-1 nement le cont de rêalisation et le critère d'optimalitê d'ùne

façon préc~s'e.

1 •

Soit'Y l'ensemble des variables ~nternes de M. Nous avons

alors: !

'i - {yl'Y

_{2' ...}

_{,'in }}

Un:éo,dage Yk des états internes est une injection

';; yk:S ..

Y~

n

de l'ensemble S des êtat~ internes dans Y₂ on

n - " -

-Y

2 - {Yl,Yl Jx{y2,Y2}X ••••• x{yn,Yn }

1

De façon analogue,. on peut écrire:

(L 5) (1.6) '/ (1.7)

. 1

1

j

/ ~bi

.

• • WI 1. '"'''''''IMIaL'''''

o

.

,

\

•

)

/

₁

o

7 ,-~

.

, ,~ "

puisque S et B~ contiennent respectivement p et 2n êlêments,

il

J

a '

\

\

_ A (p) - (1. 8)

façons diffêrentes de codifier p ê/tats à l'aide de n var~ables

. internes.

1

On utilise généralement un tablea~,de codage de p rangées

et de n colonnes po~r spécifier un codage des ~tats internes. 'Un

exemple dl _{un tel tableau est donnê à la figure l.la). Dans ce}

texte nous uti~liserons de prêfêre'nce la table de codage

illus-trêe à la figure l.lb) pour le cQdage des.êtats d'fini à la

fi-gure 1. la) • En plus de fournir, Iles co~es pour chacun des êtats,

celle-ci perm~~ d'obtenir tr~s rapidement les états internes

dont les cod~~ sont à distance unitê. ~ette propriêtê sera avan-,

tageusement exp;oitêe dans les prochains chapitres. Le lecteur

aura notê la similitude entre la table de codage et la table de

Ka~naugh pour les fonctions de n variàbles.

Etat

,

2 3 4 5 Y₃ 0 0

,

,

,

\ \

Y2

YI 0 0

,

,

( q

1 0 0 , 1 ₀ a) tableau de codage l / 3 4 , 2 '5 , _\ ! . L-'Yl----1 b) table de codage Figure 1.1 Un codage typique des êtats (p-S, n-3).

\

1

1

,>-... , .. ______ ._~ .. ooIt"_ ... _._IiC ____ ._, _____ .. __ ~ ... ___ ~" _{\ .}

()

( ""-S .! .... ~, ~

Nous avons mentionné prêcédemment qU'il existe A(p) façons

diffêrente,s de ..

~~ifier

p états ( l '

aid~

de n variables

inter-nes, .• , Au point. de vue coQ.;' de réalisation. les codages obtenus

,~ " 't,' t ,

par' la permutation des colonnes dans le tableau de codage sont

équivalents. Puisqu'il yan! façons différentes de permuter les _.,

colonnes, i.lj. n' y a en réali t6 que

1

""(P)-~-

n!

(1. 9)

, . n

n! (2 -p)!

codage des ~tats différents.

Harrison1_{!,a ~rouvê que le coat de réalisation n'est pas}

af-):,

fecté par la complémentation des colonnes' du" tableau de codage

~.forsque les bascules de type T (Trigger), S-R (Se,t-Reset) et

, J-K sont. utilisêes. Etant donn~ qu'il Y a 2n façons diffêren,tes

de complémenter les n colonnes du tableau de codage, seulement

\ n _ " (2 -1)! >n n! {2 -p)! (1.10 ) J,: )j

codages des étaos sont v~ritableme~~.~iff~rents _, pour

ces,bascu-'les. Harrison a également .prouvé que) de façon génêrtlle, la çorn-plêmentation des colonnes du tableaû de codage influence le coût' de réalisation avec les bascules de type D (Delay).

La notion de colonnè codifiable (codable column) telle que

définie par'Dolotta

~t

MCCluskey8 est à la

bas~

de _,

Plusi~urs

mê-thodes de codage des états. Nous en donnons ici une définition

moins ~estrictive. /

- Oêfinition 1.1

'----Une colonne cod1fiable pour une machine séquentielle de p

~-t~~s internes est une colonne de zére- et de un·: a) de longueur p r

b) contenant au plus 2 n-1 zéro,

c) contenant au plus 2 n-l un,

'oll 1 2n- l + l ~ P ~ 2'n. A

i

,

---...

aa.·.a,;g·s4C.'m·;tl&4i-·i~;i'llllll~~~~~~---- ... -.: -_._~ fIii:~~~"""" : ~ '~>'. t.~.,

..

. .

~

1 " .... ___ ' _ _ ._i<IIII_·~ ... ~ ... ...--. ______ -~~ __ ' .. ~

(JI

1

1

\

\ _j "

.

₉

Cette~d~flnition diff~re

de celle/de Dolotta et Mc cluskeJ en

ce que' le premier chiffre de la colonne codifiable peut aussi ê-\

tre un 1. Coryséquemment, il existe deux fo~s plus de colonnes

codifiables pour une machine de p états internes que mentionné

dans Dolatta et Mc Glusk ey8. Cette modification est rendue

né-cessaire dû au fai~'que la complémentation des colonnes du

ta-bleau de codûge a~fecte gên~rale~ent le coÜt de réalisation

a-, ,. ~ 1..,.

vec les basculea de type D.

Il est souvent utile' de choisir u~ code fixe pour le premier

état interne (Sl) , d'une machine séquentielle M. Pour cette

rai-son, nous définissons le codage de base. _,

-Définition 1. 2

Un codage de base est un codage des états par lequel le pre-₁

mier état interne (Sl) de 'M est assigné le code formé de n zéro.

On notera que les colonnes codifiables définies par Dolot~a

et Mc Cluskey

gén~rent automatiqu~medt

des codages de base. On

notera également qu'avec les bascules de type T,

R-S

et J-K, il

(

est suffisant de considérer que les codages de base. En ce qui

concerne les bascule~ du type D, nous verrons plus loin que les

" \"

codages de base sGrlt u~ilisés -pour l'identification des

recou-vremen;s de codage.

1.4. HYPOTHESES DE BASE

Plusieurs raisons ont motivé notre choix du crit~re d'opti~

malité pour la réalisation des machin~s séquentiell~s. Nous avons

opté pour le cOÜt 2 niveaux ET-OU minimal (!fttre d~fini plus

bas) parce que: . _. ,

1) il permet une mesure réaliste de la ,complexité des

cir-t}J~1o

cuits combinatoires de la machine séquentielle,

,

-

.

_ 2) il permet la comparaison directe- des résultats obtenus

.

\

avec les différentes méthodes de codage des états. En effet, la

grande majorité des auteurs l~ont adopté comme crit~re

d'optima-lité,

1

.

\.

""""I!t,,-_"!l'_' _ .. ____ ... ii"t""" .... a ... '_' "",,'1000' .... _, _. _ _ _ _ ... .:-.._.a.':!~ .. _ _ _

-/ '. \ \ 10

1

, 3) les, conts 2 ni veaux ETOU et 2 ni veaux NETNET (NAND

-NAND) sont ~dentiques pour une fonction donnêe, comme l'ont

dê-montr~ t-larin et Melkanoff2O,.,

'En rêsumê, les hypoth~ses suivantes sont valides tout au

long de ~et ouvrage: ~,--'

' " ,

\ ~~

a) Les machines sêquentielles que nous étudierons sont du ty-.'~c'

pe synchrone.

...

;/ ~~

b) Les tables des êtats sont dêjA rêduites.

,

c) N~US utiliserons le nombre minimum d'~lêments de mêmoire,

i. e. n donnê par l,~'-.êquatio]1 1.4.

"-d) Les êlêments de mêmoire seront des bascules du type D l

sortie double, i.e. le complêment de la sortie est aussi dispo~

nible.

e) Les valeurs des entrêes et leurs complêments Sont

rlispo-f i '

nibles. ... j

f) Le codage des êtats d'entrée est fixe.

g) Les équations de sortie ne sont pas considérêes.

h) Les circuits combinatoires seront réalisês en utilisant deux niveaux ET-OU, pour fins de comparaison.

i) Le cont dU,circuit est dêfini comme êtant la somme des

en-tr~es ET-OU (diodes ou entrêes de -porte) nêcessaires pour

rêali

-ser les êquations d'entrée des bascules, sans to~tefois inclure

les signaux d'horl?ge (clock signals).

j) Toute sêquence q'~tats d'entrée est ~dmissible.

Certains auteurs, dont Story, Ha~rison et Reinhard~~,

dêfi-, ~ 1

hissent l'optimalité comme êtant le coat 2 niveaux ET-OU minimal pour rêaliser individuellement les équations d'entrêee des

bas-cule~. Il va de soi que le coOt ainsi\ obtenu peut ne pas être

êgal au cont qui est obtenu lorsque le~ ~uation's d'entrêe sont

, considêrées simultanément. Dans ce' rapport, les êquations

d'en-trêés des bascule~ sOnt considérées simultanêment,'i.e. les coûts"

repr~sen~ent les' coOts minimUm pour sorties multiples.

"

1

1

1 \ - - - -. . ____ . . __________ . . . &~C~d.4&.2 . . . . t~( . . . ~E~i.-.. --~ ... ----~---,·

\ \ 1

\

1 . .R ... ... ,.t "toi . - . . -_____ ~ 't .A~ ... ~_. _ _ .'" .. _ _ ~I 11

L 5 RAPPEL SUR LES .PARTITIONS ET LES RECOUVREMENTS

Les> parti tions et recouv~ements de l'ensemble S des êtats ~

internes jouent un rôle_ -extrêmement important dans la rêductio1i. . ,

de la table des ~tats et la d~composition des machines

sêquen-tielles. Les partitions sont utilisêes pour la r~ducti6n des ta- 1

' C l , "

bles des êtats compl~tement d~finies, pour la d~composition et

-pour le codage des êtats d'une eertaifie cl~sse de machines

sê-quentielles. De le,ur cotê, les recouvrement~ ____ ont êtê êgalement

utilisês pour la dêcomposition et pour la rêduction des tables des

~tats

incomplàtement dêfinies.'Tel, que mentionnê

antêrieure-ment, no~s êtudierons dans les prochaips chapitres

la'possibili-tê d'utiliser les recouvrements pour le codage des êtats.

Dêfini tion 1.3,

\

Une partition

n

d'un ensemble S _e e~t une famille de

sous-.~

ensembles de S deux à deux disjoints et tels que leur union soit

l'ensemble S lui-même'. Ces sous-ensembles de S s'appellent clas- ,

ses de.

n.

~,

Exemple: Soit'S - {1,2,3,4,S,6,7} urt ensemble. Alors,

n -

{(1,2,3),(4),(S,6j,.7)};

est une partition de S et (~,2,3)f (4) et (5,6,7) sont les

clas-ses de ll. }

Dêfini tion 1.4

Un recouvrement ~ d'un ensemble S est une famille de

sous-~' ,

ensembler de S tels que leur union soit l'ensemble S lui-même et

tels q~'aucun ~~:es sous-ensembles n~dsoit ~otalement contenu

dans un autre de ces sous-ensembles. Ces sous-ens~mbles de S

s'appellent classes de ~.

Exemple: Soit S - {l,

2',

3,4,5.6 ,7,8,9,10} un ensemble. Alors,

'" - {(l,2',3), (1,2,4,6,8,9), (3)4,S,10) ,(6,7,8)}

est un recouvrement de S et (1,2,3), (1,2,.,,6,8,9), (3,4,S,10)

et (6, 7,8) 'sont les classes de lP.

-' 'l,

\

'1 1 - - - __ -~ -~~

--~==~~--~---~,~

~~I'r , \ \ \ \ " , ' , \,._---~~

...

-" ~!tl. J •• , . TI Ut 1 • l'

o

"

.

" " / >' ;' \

/

\'Jt

12

~: A l'avenir nous utiliserons toujours les lettres grecqués

n

et IP pour reprêsen~er r~~p~cti vemènt June partition et un

re-couvrement,

Définition t 1.5 ,'" 1

.;

Etant donné' deux partitions TIl et n

2 de S (resp, deux

vrements lP

l et lP2 de S), on dit que

n

2 est plus grand que

galA

nl\(res~,

lP₂ plus/gran?'que pu égalllPl) 'noté

i l 1

Il,! ~

n

₂ (resp .. '1P₁ ~ lJ!2)

recou-OU

é-,si et sejlemer,it, ~i "chaque classe de

n

_{l (resp .. lP l ) est contenue!}

dans un~ classe de n₂ (resp. 1P₂) ..

Exemple: Soit: / - {(l,2), (3,4), (5,6), (7,a)} {(l,2,3,4), (S,6,7,8)}

!

1P 1 ,- '{ (1,2,3), (1,2,,6), (3,4,5,7)} 1P 2 - {(1,2,3,6), (l,3,4,S,')} On -vêrifie que: et Théoreme ,1.

i

, . , 1 ,

Le produit de deux partitions

n

_l et n₂ de 5, noté n_l l,·

"n

2,

_, est une partition na <le 5 telle que 5_i et 5_j sont dans u~~ ~­

me classe 'de n si et seulement si ,ils sont dans une

mê~

)'clas-, a

-

(\J'

se -de n_l et de n 2,

't

'

Exempl,~: Soit: v'" ~ ' , ' . 1 i

,n

l - {( 1 , 2 , 3 , 4), ( S , 6 ~

i',

8) }

,n;

-'{(l,2,S,6), (3,4,7,~~} ----~ , " .. Alors,~_ ' \ -', ' -

---\

n~:~, ni~~~<' (3,4), (5,6), (7,8) }

et on 'note que les classes de na sont obtenues 'par-'l

t,intersec-tion des' classes de TIl et de Il_{2 ,}

/

,

.

'1 _, ! • 1

__ • • I • • • I_'_'_,.~U._"l_'~_~_

.. _,. ____ ,_

.. __________

~~

__

~~~~_~ /'~ , , , ' \ ,

.

Th~,or~me 1. 2 f ~ \ \ / 13 d, d . . ~

La somme e e~x partltlons_'~l e~ lT

2 de S, nottÇe ITl +

n

2,

est une partition IT_b de S telle que 5_i et Sj s~nt d~ns.une ~rne ~

classe de IT_b si et ~eUlemênt si i~'exist: une s~uence 1

î (5

i-5 1)' 5Cl2, 5a3, ... ,($ -S.)' &.

o ex ' , ~r J I " "

dans S telle q6e: " 9

a~ S exk, et S ak .... 1 sont dans une ~me

b) Sexk et Sflk .... l sont dans une ~me

pour

~out

.k compris entre 0 et n-l. 1

Exel'nplè: Soi't: classe de

n

l ou classe de

n

2, \ \

n

_l - {(1,2), ,(3,4), (5,6), (7,S)} Alors, r> ll2 ..:,t(l,3), (2,4), (5,7), (6,8)}<> '1 \ l " 1 \ \

n

_b -

n

l ....

n

2, - {(1,2,3,4), (5,6,7,8)} D~finition 1. 6 j

La plus petite partition d~enSemble S (plus

/,de classes) est notêe

_{r n}

(0) ~t ,la lus g~ande _(plus

, de classes) est notêe

n

(1) .. E ~es sont:, \

gl;'and nombre

peti t nombre

• l '

n

(0) - S IT(l) - {S}

o~ 4> dêsiqne l' ensemble vide~ '\q

O~fini tion 1. 7

r'> \.

Soit {o.} un ensemble quelcon~~ de sous-ensembles de

l'en-l. . ,:"

semble S .. J~'opêrateur 'Max appliqù~

l

{cr.} êlimine l.es 0'. qui

, , 1. 'J

sont tot~ment contenus dans ,un Ok' En ?lautres ~ermes, ,

c

. Max{oi} - {B kS /3O'_i-8 et O'_j 2. 8 .... O'j-B}

~<~ MaX{(l), (2,3), (l,2,3), (4,5),' (1,4,5)}'-{(l,~,3), (1,4_,S)} - - --~--- - - - , - - - - ---~--f' : '

l,

1

C-

,

.

Î i i i 1 _\

_.

"\

.

i

\

,

i '1

_.,

'1

_.,

,

1. t ?' }

.

,

1

.

, ,

.

.

_, \ , , 14 .) , j"

\

<9 t

/

.( ; > 1 . ,.

'"

• Thêorème 1:3 _~

Le produit de deux recouvrements

1J1i

_{et 1JJ 2 de S, noté} W1 .W-2'

. est un recouvrement 1JJ c d~"S obtenu ainsi: {(1,2,3,4), (2,3,5), (1,4,6)}

. frs,

Wc = 1JJ'l' ~2 .... {(l,.f), (l, 6), (2,4), (2,5), (3,4), ~ 3 1 5)"} i . '

~ t On no~era que leJprod~it de deux partitions et l~ produit

de d~ux recouvrement~ ne qiffèrent que par l'applIcation de

1'0-pêrateur Max dans le cas ,d~s recouvrements. /

l~t ! "

Th~orème 1.4

La somme de deux recouvrements $1 et 1JJ₂ ~ S, notée $1+~2'

est un recouvrement 1Pd de S~ la somme $1 +W2 'étant définie 'par:

1 l ' Exemple: Soit

tPl""'tP2 ,...

_Max·(''lti U

tP 2)

'= {(1,2,3), (1.,2,5,6), (2,3,4)} \ {Ù,2,6),' (2,4) t '(3,'5,6)} "Wl+W2':..,. {(1,2,3),

(lt~,S,6),! (2~3,4)~,

(3,5,6)} Définition 1.8

La borne inférieure (b. 1: .. ) (resp. supérieure" (h. s. ) de deux

pa~t~tions nI et n

2 de S est la plus grande partition TI3 de S

(r~~~\

plus petite partition n

4/de S)

t~lle

que:

, . fi3 \5 _~

n/ll

_{(resp. nI ~ ,IT}

4, , \ 'p" , ... -;J ""

.

JI \ ! et (resp. Il Z ~ Il4) 1

\

\ \ :' "

~.~'~I----~---. r ~.~'~I----~---. 1 - - ' " ' - - - ( - - -

--

~-- - ' ' (" f 1

l

~ ) j >{:.-/ (J'

\

•

\

\

Défini tion l~ 9 lS

:

\

La borne inférieure (resp. sup~rieur~) de deux recouvrements

$1 et $2 de S est le p'lus grand recouvrement 1/1

3

,

de S (resp. plus petit recouvrement 1/1 4 de S) tel que:

\

(resp. $f ~ $4) ( resp • $ p ~ $",) • théorème 1. 5 _;,J }

La

borne.-iJ?~érieUre

et

la

borne, supérie'ux::e de deux

parti-J' 1

tions

nI

et

n

_{l ;'}

(resp. deux recouvrements $1 et

"'2)

de

S

sont respectiveme~~ le produi~,et la somme de IT_l et IT₂ (resp.

"'1

et

"'2) L€\. b.L (IT 1

,n

2) IT l

-lJ

2 b.s. (ITl'~2) IT_l

+n

₂

\

b.i ("'1,1/12) """ 1/I₁ e lJJ₂ b. B .• ("'1,1/12) _$1+$2

1

,NOUs\donnons ici deux définitions équivalentes du treillis

(latti~e\. 0"

Défihi tion 1.

io'

\ <=-~ ..

1 • ..,

? Un treillis est .un ensemble ordonné dans lequel tout 'f>uple

(x,y) d'éléments ,admet ~e borne inférieure et une

bornefupéri-eure. /

!_

Défi~iftion

1.11 \,'

1 \

Un treillis T est un triplet

T = <l?,

e,

+>

on P est un ensemble non vidf

~'élément~

c "+n sont des opérations binaires internes

tullats suivants:

x,y,z e: P, (1) x·x -. x et x+x - x (idempotence) ! 1

/

du treillis et

n_"

et

satisfa~sant tes

pos-"

-/

1

\

[--,-

_,

..

'f \

C>

...

.

....

..

.----.--

_

... .,. ~-" ....

_-

. _ .. ---

--1

1

(2) x-y = y-x 1 1 1 ! 16 / (3) x-(y-z) et

~+~

= y+x (commutativité) \

(x-y)·z et x+(y+z) = (x+y)+z (associativité)

\ \ 1 (4) x·(x+y.) = x et x+{x'y) ( Théorème 1.6 = x (absorption) .\

Liensernble p~rtiellement ordonné de toutes les partitions

~de l'ensemble S est un treillis.

(~r~me

1. 7 _

L' ensemble partie/llernent ordonQ~ de ,tous les recouvrements

de l'ensemble S est

Un

treillis.

1 1

1

Définition 1.12 1

.( Un couple de

P~rititions

(!l,TI') d'une machine séquentielle

1 M = <S,I,0,6,n>

est une paire

ordon~ée

de, partitions de S telle que si Sj et Sk

sont dans une même ;classe de

II,

o(Sj,i_x) et ô(Sk,i

x) sont dans

une même classe de

III',

pour

to~~

ix dans 1 . . \

Définition 1 . 1 3 , .

Une partition

r

de S est appelée partition fermée pour ô

(ou partition aves propriété de substitution (p.p.s.) ou p~~ti­

tion substitutiVe)! si et seulement si

(II,II)

est un couple de

parti tions • 1

Définition 1.14

l

Un couple'de

ecou~rements (~,$')

d'une machine

séquentie1-. le

M>= <S,I,O,eS ,$1>

est une paire onnée de recouvrements de S telle que si S. et,

J ~ Sk sont dan~ une même classe de W, ô (S. , i ) et 0 (Sk' i ) sont

\ ~, J x x

-dans un~mê~ cIl sse de 1/1', pour tout ix dans 1.

,Définition 1.15 Un ~ecouvre (ou recouvremen

de S est appe1~ recouvrement fermé pour ô

.

fe~é) si et seulement si ($,$) est un couple

~ \ \ '. , r \

1

\

il 1 .~

1\

./

(

-r

de re ouvrements de M.

T éor me 1. 8

/

/ SL1s partitions fermées ,pour

const~tuent un treillis de M et

treil~is.

ThéorJme 1.9

, \

,17

éi d t'une machine séquentiellè M

TI(O) et TI(l) font partie de ce

Le1s recouvrements 'fermés (pour Cl) d'une machine!

séquentiel-1

le M cbnstituent un treillis de M.

\

1

Les références mentionnées en début de chapitre

contien-nent plusieurs résultats additionnels relatifs aux partiti~,ns

et a~x recouvrements. Certains d'entre eux seront mentionnés au

bèsoin dans les chapitres à venir.

1.

~

METHODES DE CbDAGE DES ETATS

1

De façon .génér,ale, les méthodes de codage des états inter-~

1 ... "

,

~

nes d~s machines séquentielles pe\vent être gr~upées en deux ca- .'

tégories principales selon le chol.x de l' ap~roche. Nous donne- ~_

rons ici une brève description de ces deux approches soit celle

de Dolotta et Mc Cluskey6 et celle de Hartmanis1 en mentionnant

, J

également les principales améliorations apportées à leur

métho-de.

1

1.6.1 L'APPROCHE OB DOLOTTA ET MC CLUSKEY

La méthode de Dolottr ét Mc Cluskey a comme point de

d'é-. part les colonnes codifiablks réfinies à la section 1. 3. Une

Itla-trice .dite "maItla-trice de base" est formée! li l'aide des\ colonnes

codifi'ables. En faisant correspondre à chaque état de la machir

ne une rangée de la matric~ de base, une nouvelle matrice est

générée pour chacun des états d~entrée. C~aque colonne ainsi

ob-tenue'est identifiée ,par un poids (base 8) s~lGn la position des

o

et' des 1 dans la colonne. Un tableau de pointage est c~nstruit

poùr mettre, en évidence' le poids des colonnes gén~rées par "les , ' .

,colonnes codifiables pour chacun des états

d~ntr~e.

A partir de

ce tableau, ch~que co~nne codifiable est assignée un certain

nombre de points dépendant\de la similitude entre la colonne

co-( 1 J .1

1

_•

~

~ ~ t

l

~

j

~

(

J

J

" .~ >1 '~

---~~

, . 1

_

....

·~·_.~._,

______

~Z._.~n~'~h_&_

...

_I_=~.~=

___

A._.~

______ __

.._---1

"

1

,

'/

/

/ l' 18

,

difiable et les colonnes générée~. La colonne codifiable

possé-dant le pl'lls haut pointage est choisie pour ,r,eprésenter la ,pre-mière variable secondaire. Son influence sur le pointage des

au-tres colonnes codifiables est évaluée et celui-ci est modifié ~n

conséquence. Le choix des n-l ~utres colonnes codifiables

s'ef-fec~ue de façon analogue. en s'assurant que les n colonnes

codi-fiables ainsi choisies seront compati~les' i.e. qu'elles repré-'

r

senteront un codage des états par lequel chaque état interne

au-, '

:_Tf ~

ra son code propre.

Cette

méthod~

est vraisemblablement la prbmière à détermine;

le choix dlun codage des états d'une façon systématique donc programmable sur ordinateur. Elle est applicable aux machines séquentielles complètement, définies, quel que soit le type de

bascule utilisé. Cepen4a~t, des' coûts inférieurs de réalisation

sont,généralem1nt obtenus ave~ les méthodes dr codage des états

qui furent développées par la suite.

<4

Weiner et Smith 1 6 prouvèrent la non~~pt~malité de la

métho-,

"

de de Dolotta \ et Mc Cluskey et proPo~,jient que, celle-ci soi t, mo- \

difiée pour inclure dans la matrice de base les colonnes ob€e-nues par la complémentation des colonnes codifiables définies'

par ceux-ci. ~

TornglO a proposé un algorithme pour réduire le noIDbre de

\

choix de colonnes codifiables en définissant qes codages élé-mentaires.

Curtis I l , 1 2 a modifié la méthode de. Dolotta et Mc Cluskey

pour utilisation avec les bascules T, S-R et J-K.

Weiner.et Dolotta 21 et Tumbush et Brandéberry22 ont respec-,tivement étendu la méthode de Dolotta et ,Mc Cluskey/aux bascules

T (et combinaisons T "et D) et aux bascule JL!<. \

Harrison13 et Story, Harrison et Reinhardt' ont utilisé les

colonnes codifiables pour développer une méthode de codage qui, à quelques variantes prês, est applicable pour les bascules de

type tir T, R-S et J-.K. Une borne inférieure {Minimum N~er->\ est

\

" /

\

\

_~ ,

;'

!C

\

f f

l,

~ f

t

1

/ /

.

\ o 19 /

d~~ée pour'chacune des colonnes codifiables. Ces bornes sont

.

obtenues en ~valuant, pour chacune des colonnes codifiables, le

coût de réalisation minimum qùi_peut être obtenu. Pou~ chacun

des regroupements

possible~

de n colonnes qui conduiront à un

codage des

é~ats

valide, 'une nouv;lle borne inférieure (Miqimun

Number Sum) est calcul~e. Ces no~velles _~',), bornes sont placées par

.. j :;i ,

ordre non-décroissant. Le coût'rée~ de réalisation est calculé

, ,'\,

pour le cpdage d~s' états y l co,rrespondant à la première borne de

la liste. Si ce coût est égal à cette borne ou inférieur à la

prochaine borne dans ~a lis~e, _{Yl est} l~ c01age des états

re-cherché. Autrement, l~ proce'~sl~s recornmenc~ pour la deuxième

borne de-la liste et se pàursuit jusqu'à ce qu'un codage des é-:;

tats y. correspondant

'à

une borne B. indùi.se un coût réel égal

~ ~,

à B. ou inférieur

AB.

l' Lelodage des états ainsi' obtenu est

~ ~+. ,

ôptimal au~~ns défini par S ory, Harrison et Reinhard i.e. Iles

\ . " {lo

équatio?s d'entrées des bascules auront un coût individuel de réalisation minimal. Cette méthode nécessite l'utilisation d'un

ordinateur lorsque 'le nombre d'états internes est supérieur à

quatre. Dans le cas des bascules du type D, la mécanisation de

l'algorithme ne semble pas être à point, ce qui rend la méthode

difficilement utilisable.

Noe et Rhyne17 _{ont proposé une modification à ia méthode de}

Story, Harrison ~t Reinhard qui a pour Q~t de réduire le

nom-bre d'e~sais requis tout en conservant l~ même caractère

à'opti-malité.

"

1.6.2 L'APPROCHE'DE HARTMANIS

Cette approche différe considérablement de celle de Dolotta et Mc Clus_key en ce qu'elle est basée sur les propriétés'

alg~riques d~s machines séquentielles,

- 1 Dans un premier ar.ticle 1 Hartrnanis 1 démontre

c~nlment

\es

ma-• 1

chines séquentielles possédant~des partitions fermées

~on-trivi-ales (différentes de n(O) 'et ,de n-(l» peuvent être assignées,un

_.

,

-codage des états qui 'réduira l!interdépendance des vàriables se-o • 0

1 t , 'f -:~ a _ 3

..

!

)

l •

.

' . ~ .... , .