ARTheque - STEF - ENS Cachan | Le pendule de Foucault

LE PENDULE DE FOUCAULT

Frédéric MARTHALER

École d'Ingénieurs, Bienne (Suisse), L.D.E.S. (Université de Genève)

MOTS-CLÉS: PHYSIQUE - PENDULE - FOUCAULT - CORIOLIS - GALILÉE-ROTATION DE LA TERRE

RÉSUMÉ: L'auteur a choisi de répéter la fameuse expérience de Foucault qui a voulu prouver, 250 ans après, l'affirmation de Galilée prononcée juste après son abjuration. Une description historique et mathématique, impliquant les forces de Coriolis, permettra de se replacer dans le contexte mécaniste du XIXe siècle. Grâceàune réplique du Pendule construiteàl'École d'Ingénieurs de Bienne sous la direction de l'auteur et installée à Chamonix pour la circonstance, démonstration a été faite que la Terre tourne... et dans le bon sens!

SUMMARY: The author hase chosen to repeat the famous experiment of Foucault, who wanted to prave 250 years after, what Galileo said, just after his abjuration. A historical and mathematical description implicating the Coriolis forces will permit the understanding of the movement in the context of the XIXth century. The replica of the Pendulum, reconstructed in the School of Engeneering in Bienne under the direction of the author and installed especially in Chamonix has demonstrated that the Earth tums... and this, in the right sens!

jean Bemard Léon Foucault 1819 - 1868

1. UNE EXPÉRIENCE DE PHYSIQUE À L'ORIGINE D'UNE ŒUVRE

LITTÉRAIRE

Umberto ECO, le célèbre auteur italien, décrit ainsi le pendule de Foucault dans son roman : "C'est alors que je vis le Pendule.

La sphère, mobile à l'extrémité d'un long fil fixé à la voûte du chœur, décrivait ses amples oscillations avec une isochrone majesté. Je savais - mais quiconque aurait dû s'en rendre compte sous le charme de cette paisible respiration - que la période était réglée par la relation entre la racine carrée

de la longueur dufil et du nombrenqui, irrationnel aux esprits sublunaires, par divine raison lie

nécessairement la circonférence au diamètre de tous les cercles possibles - si bien que le temps de l'errance de cette sphère d'un pôleàl'autre était l'effet d'une mystérieuse conspiration entre les plus intemporelles des mesures, l'unité du point de suspension, la dualité d'une dimension abstraite, la nature ternaire den,le tétragone secret de la racine, la perfection du cercle."

2. GALILÉE ET FOUCAULT

À 19 ans,en 1583, le jeune Galilée observe l'isochronisme du pendule constitué par un -lustre massif qui pend à une longue chaîne dans la cathédrale de Pise. Il eut l'idée plus tard d'appliquer ce mouvement pendulaireà la mesure du temps.

En1851,à32 ans, Foucault met àprofit le principe d'inertie de Galilée et applique dans ses recherches générales la méthode expérimentale que ce dernier avait enseigné aux savants de la Renaissance. Son but est de montrer directement, au moyen du pendule, la rotation de la Terre autour de son axe. Il réalise un premier pendule (5 kg, 5 ml, puis un second (19 kg), ensuite un autre au Panthéon(28kg,67ml, les trois la même année et, enfin, celui de l'Exposition universelle de 1855.

C'est ce dernier qui fonctionne encore actuellement à Paris, dans la chapelle du C.N.A.M. (ancienne Chapelle de Saint-Martin-des-Champs, du XIIe siècle). Son mouvement est entretenu automatiquement.

lifaut en passant mentionner quelques autres travaux du génial expérimentateur: la réalisation de daguerréotypes en microscopie et en biologie, la détermination de la vitesse de la lumière dansl'air

et dans l'eau, grâce à un miroir tournant, ses études sur les courants induits dans les masses métalliques, qui nous ont apporté les freins magnétiques, les foursà induction, les amortisseurs de

galvanomètres et même le fouràmicro-ondes. Nous lui devons bien d'autres applications techniques, inspirées par ses découvertes ou ses recherches, comme le compas gyroscopique des avions de ligne.

3. BRÈVE ANALYSE MATHÉMATIQUE

On aurait pu intituler ce texteRotation du plan d'oscillation d'un long pendule simple sous l'effet de la force de Coriolis. Dans la suite, nous allons définir des termes comme oscillations sinusoïdales, pendule simple ou mathématique, pendule physique, pendule sphérique etforce de Coriolis.

On montre en mathématique que, lorsque la dérivée seconde d'une variable (par rapport au temps, par exemple) est proportionnelleàl'opposé de la variable elle-même (la variable changée de signe)

x" = -kx,

la solution de cette équation différentielle de la variable x peut toujours être ramenéeàune fonction oscillante du temps t du type ci-dessous, la fonction sinusoïdale, avec

xa

x=xQ sin ('Vk)t

En physique, cela correspond à quelque chose de toutà fait particulier. Chaque fois que l'on peut établir que la dérivée temporelle seconde d'une grandeur variant avec le temps test proportionnelle à l'opposé de cette grandeur, on peut constater une oscillation sinusoïdale de cette grandeur.

Si cette grandeur est un courant électrique, cela signifie que ce dernier sera forcément alternatif et de forme sinusoïdale, si la grandeur est un écart de pression dans un gaz, par rapportàla pression moyenne, on observera une vibration sonore, si la grandeur représente la position d'un corps liéeà une trajectoire (autour d'une position d'équilibre) le corps prendra un mouvement oscillant sinusoïdal sur cette trajectoire.

Dans ce dernier cas, en multipliant l'équation par m (la masse), on aura: mx"

=

On remarquera que le membre de gauche mx" a cette fois les dimensions d'une force F (Loi de Newton) et que le membre de droite n'est autre qu'une constante -k(=-cm) multipliant l'élongation x, mesurée par rapportà un point correspondant à la position d'équilibre, et l'on voit bien que cette force estopposéeàx et lui est proportionnelle. Pour cette raison, on la nomme force de rappel:

F= -kx

Cela explique que toutes les masses suspendues à des ressorts et, plus généralement, que toutes les masses plus ou moins liéesàdes substances élastiques ont des mouvements oscillants, puisque cela nous ramène à la même forme d'équation qu'au début de ce paragraphe. Même si la proportionnalité n'est pas parfaite et si d'autres forces apparaissent, comme les frottements, la conséquence sera toujours un mouvement de va-et-vient, comme la nature nous en offreàfoison.

Dans le cas du pendule simple, appelé aussi pour cette raison pendule mathématique, on a aussi une masse (supposée ponctuelle) qui se meut cette fois sur une trajectoire circulaire, imposée

par la longueur 1constante du fil inextensible sans masse qui le la supporte. Cette masse est soumise à une force de rappel due à la pesanteur et pratiquement proportionnelle à l'éloignement de la masse par rapport à son point d'équilibre, c'est-à-dire le point le plus bas dans le champ de la pesanteur. Ici, la force agissante est, pour les faibles éloignements du point d'équilibre, une composante de la pesanteur dirigée tangentiellement à la trajectoire, mais aussi dans le sens négatif! Sa période (la durée d'une oscillation aller-retour) vaut: T=2n-.JI /

-.Jg.

Lependule physique, lui, est constitué d'un corps de forme quelconque et suspendu par l'un de ses points. Il se comporte à peu près de la même façon que le pendule mathématique, sauf qu'il faut, pour calculer d'avance sa période, lui associer une longueur réduite de"fil"L, tenant compte de la masse réelle répartie dans toute le corps oscillant et au long de son support, mais qui serait concentrée en un point unique, le centre de percussion, d'ailleurs différent du centre de gravité.

C'est un pendule de ce genre que Galilée avait observé dans la cathédrale de Pise. Le grand lustre était une grande masse non ponctuelle et la chaîne qui l'attachait n'était pas infiniment mince, mais le système se balançait régulièrement. En se servant du rythme de son pouls, il en avait déjà observé l'isochronisme, ou l'indépendance de lapériode (T) quant à l'amplitude du mouvement (XO)·

Juste un mot en passant sur lependule du radiesthésiste. Ce n'est qu'un pendule physique qui, s'il était attaché à un point fixe, oscillerait à peu près dans le même plan avant de s'arrêter suite au frottement de l'air. Tout autre mouvement qu'on lui voit faire est habilement imprimé par la main qui le tient. Les plus honnêtes radiesthésistes disent alors qu'ils ne sont que l'intermédiaire (médium) entre d'autres forces mystérieuses et le pendule. D'autres sont de purs mystificateurs qui parlent d'influences directes sur le pendule d' "énergies" non encore découvertes par la Science traditionnelle...

Mais revenons à nos grands pendules. Nous avons admis jusqu'à présent, implicitement, que le mouvement du pendule avait lieu sur une trajectoire déterminée, contenue dans un plan fixe, ce que suggère justement la loi d'inertie qu'a proposé Galilée dans son traité parlant des mouvements des objetsàla surface de la Terre. En réalité, la trajectoire d'une boule suspendueàunfilpeut être située dans une grande sphère de rayon L, L étant la longueur du fil jusqu'aucentre de percussion de la boule.Ils'agit alors d'un pendule sphérique, à deux degrés de liberté, dont la résolution complète de l'équation différentielle est très complexe, car les conditions initiales influencent toute la suite du mouvement. (Par exemple, au départ, lorsque la boule est lâchée, elle a déjà une certaine vitesse initiale, dueàla rotation de la Terre!)Pour les petites oscillations, le calcul montre que le mouvement est une ellipse aplatie dont l'axe principal tourne, en l'absence de toute autre cause, à une vitesse angulaire propre Ulp (rotation naturelle) qui vaut

3 ab -.Jg

8 L2 -.JL

Si l'on ne prend pas certaines précautions, c'est cette rotation que l'on observe, qui n'a rien à voir avec la rotation de la Terre. Si l'on veut montrer l'influence de cette dernière, il faut faire appel, en plus à une force d'inenie, la force de Coriolis. Mais pour que cette dernière force soit observable, on a pu montrer qu'il faut absolument que le rapport des vitesses de la rotation naturelle et celle de la Terre

fiJp /0 =3a2 / 8 L2

soit beaucoup plus petit que 1 (0 étant la vitesse angulaire de rotation de la Terre). Dans le cas du Pendule du Panthéon, cette valeur est plus petite que 1/1000, pour celui de Chamonix de l'ordre de 1%.

À présent, si l'on voulait expliquer la force faisant dévier un objet quelconque en mouvement uniforme à la surface de la Terre autrement qu'en se plaçant en pensée à l'extérieur du référentiel lié à La Terre en rotation (donc dans un repère supposé fixe, attaché à un système d'étoiles fixes par exemple), mais bien dans le système entraîné par la rotation de la Terre, duquel justement on est en mesure d'observer réellement le phénomène, il est nécessaire d'introduire (en mécanique newtonienne) cette force apparente, fictive, mais très utile, qu'est la Force de Coriolis, dont la forme mathématique est donnée (avec v la vitesse vectorielle du mobile de masse m) par le produit vectoriel:

Fcor= -2 m ( 12 x v)

La démonstration de cette relation est simple, mais trop longue pour trouver place ici. Grâce à la force de Coriolis, on peut expliquer, quantitativement, l'usure plus grande sur le rail droit des chemins de fer Nord-Sud de notre Hémisphère, la déviation des vents alizés, etc.

"Et pourrant elle tourne" avait dit Galilée, sans deviner l'influence que cette rotation avait sur les mouvements à la surface de la Terre. C'est que justement, si elle tourne, cela veut dire qu'à chaque instant, chaque point de la surface de la terre change de vitesse (non pas en grandeur, mais en direction), donc qu'il est accéléré! Ainsi la sphère d'un pendule aussi est accélérée autrement que par la seule pesanteur. Dans le cas du Pendule de Foucault placé dans l'Hémisphère Nord, le calcul vectoriel montre bien, pour chaque va-et-vient, une déviation vers la droite, maximale au Pôle, sans effet à l'Équateur, quel que soit le plan dans lequel il oscille.À Chamonix, pour une vitesse du pendule de 1 rn/s, la force de Coriolis est de l'ordre de 4 mN, et dirigée vers la droite du mouvement.

4. EXPLICATION INTUITIVE DU MOUVEMENT DU PENDULE DE FOUCAULT

D'une façon plus facile, en suivant les pas de Léon Foucault, nous allons nous placer ici, en revanche, en pensée, dans un système dit "fixe", attaché à un système de coordonnées passant par des étoiles fixes par exemple, et ayant pour centre le soleil ou même simplement le centre de la Terre. On se représente alors facilement la situation telle que l'imaginait Foucault au XIXe siècle. Implicitement, nous admettons que nous nous trouvons dans un référentiel galiléen, c'est-à-dire non

~

"

u

accéléré,à l'''extérieur'' de la Terre. Quelle est alors la conséquence de ce fait dans l'observation du mouvement d'un grand pendule, oscillant assez longtemps sans s'amortir ?

C'est la question que Foucault s'est poséeàla suite de l'observation fortuite d'une verge d'acier qu'il avait fixée dans le mandrin d'un tour et qui oscillait dans un plan fixe alors que le mandrin, lui, tournait, ainsi que la tige elle-même; mais la rotation de celle-ci n'entraînait pas la rotation du plan d'oscillation de la verge! En remplaçant la tige par un grand pendule et le mandrin par la Terre, on devrait pouvoir observer, au moins au Pôle, la rotation de la Terreàpartir du "plan fixe" d'oscillation du pendule. C'est alors que Foucault a entrepris ses recherches expérimentales destinées à prouver directement la rotation de notre planète, malgré les sarcasmes de plusieurs de ses contemporains.

En effet, comme nous l'avons évoqué plus haut, la résolution des équations théoriques du pendule sphérique rendaient cette observation précaireaprioriet l'effet des forces d'inertie dues à la rotation de la Terre semblaient négligeables pour un pendule court. Il a fallu toute la persévérance de Foucault pour prouver le contraire. C'est cette expérience historique que nous avons voulu renouveler ici, dans le cadre des Journées de Chamonix. Un modèleàl'usage des écoles fait mieux apparaître le principe: Le petit pendule oscille dans un plan fixe, bien que le plateau et la potence soient en

mouvement de rotation uniforme(V.ci-dessous). /';

... :

Pour comprendre plus intuitivement le Pendule de /'" : ..../ .../ 0 1

Foucault, nous nous laisserons guider par la Loi d'inertie de r /

"'_""_-1"

Galilée, qui suggère (à l'instar de l'expérience de la verge

vibrante ou du modèle pour école) la stabilité du plan ~[' d'oscillations d'un pendule. S'il était accrochéàun point fixe,

J

i

!

fait, ilya toujours du frottement, ne serait-ce que celui de ~

i

o.: l'air. D'autre part, le point fixe n'existe pas (la Terre tourne l /

autour de son axe !). plaleau

Si le pendule était installé exactement au-dessus de Pôle Nord géographique, sur l'axe de rotation de la Terre, le plan d'oscillation étant admis fixe par rapport aux étoiles lointaines, la Terre devrait évidemment tourner au-dessous du penduleàraison de un tour par jour sidéral (la durée d'une rotation par rapport aux étoiles, soit 23 h 56 min 04 s ou 86164 s). Mais un observateur placéàcôté du pendule et entraîné lui aussi dans le mouvement tournant de la Terre, verrait le plan d'oscillation du pendule tourner dans le sens contraireàla rotation de la Terre!!

Si le pendule était installéàl'Équateur, son plan d'oscillation ne changerait pas par rapportà l'observateur (vitesse de rotation nulle du plan d'oscillation). Entre ces deux positions extrêmes, on trouve toutes les valeurs possibles, supérieuresà 24 heures.ÀParis, on a une rotation complète en T=31 h 47 mn, à Chamonix, en un peu plus de 33 h. Dans l'hémisphère Sud, pour les mêmes latitudes, le sens de rotation esr opposé!

En général, on a, selon la latitude<pdu lieu d'installation:

86164s Durée d'une rotation complète T

sin<p Ce qui nous donne bien, pour Chamonix(<p=460_{environ), environ 33 h 20 mn.}

5. LA RÉALISATION PRATIQUE DU PENDULE

Le pendule installé pour les Journées de Chamonix a été réalisé dans les ateliers de l'École d'Ingénieurs de Bienne (E.I.B.).

La sphère est constituée d'une boule pleine en laiton, tournée, travaillée et polie dans nos ateliers. Elle a une masse d'environ 36 kg et est suspendueàun fil d'acier de 12/10 mm (cordeà piano) d'environ 5,7 m de longueur(à Bienne 14,8 ml. Allongement sous l'effet du poids : 10 mm, valeur qui avait été prévue par la mesure en laboratoire, par un groupe d'étudiants, du module E d'élasticité de notrefild'acier, ceci grâce à la propagation des ondes sonores sur un échantillon de la cordeà piano. Enfin une flèche d'environ 40 cm a été rapportée à la partie inférieure de la sphère, dans le prolongement du fil, et permet de suivre mieux ses mouvements(V.ci-contre).

Les problèmes techniques et théoriques de cette réalisation n'ont pas manqué! Cependant, grâce aux compétences de nos collaborateurs de l'École d'ingénieurs de Bienne (MM. Reutter, Molinaro et Froidevaux, assistants), nous avons pu menerà bien la mise au point de toutes sortes de pièces mécaniques, le tournage de la sphère d'un seul tenant, la coordination des travaux et le mon tage final.

Nous nous devons d'ailleurs de rendre hommage aussià la maison Dornach S.A., qui a fourni la barre géante de laiton de 200 mm de diamètre, et de remercier tout spécialement la Maison Estoppey-Addor&Cie, de Bienne, qui a effectué le microbillage et le dorage galvanique de la lourde boule de laiton, afin de limiter au maximum le frottement de l'air.

À Chamonix, c'est M. Philippe Dupuy qui a organisé la pose de notre pendule. Une pièce spéciale de fixation a été vissée au plafond du gymnase par un moniteur de varappe bien entraîné!

Aux premiers essais, le plan d'oscillation de notre pendule a tourné environ de Il degrés d'angle en une heure, ce qui correspond aux prévisions du calcul. La déviation du plan serait donc suffisante pour afficher sur le sol l'heure sidérale à 5 minutes près ! Pendant ce même temps, l'amplitude d'oscillation n'avait diminué que de moitié, la période T= 4,84 s. (temps d'un aller-retour) étant restée constante. L'appareil a très bien fonctionnéà Chamonix, bien que la longueur de

la corde à piano à laquelle il avait été accroché fût sensiblement plus courte que dans le hall de l'E.LB. à Bienne, ce qui d'ailleurs, après quelques jours de fonctionnement, a entraîné une ruptureà la fatigue (due à un angle trop vif au niveau du support de plafond dans le Gymnase). Semblable avatar est survenu d'ailleurs plusieurs fois à Foucault lui-même au cours de ses expériences. Ajoutons que ce frottement exagéré dans le cône d'attache du fil au sommet a eu l'avantage d'amortir l'oscillation latérale et de réduire très considérablement l'ellipticité de la trajectoire. L'observation fut ainsi rendue presque trop parfaite!

6. CRITIQUE DE LA DÉMONSTRATION ET CONCLUSION

Foucault n'a guère su répondre à ses détracteurs, qui jugeaient d'avance cette démonstration impossible, l'influence de la rotation de la Terre devant être imperceptible selon leurs calculs. D'autres affirmaient que ce que l'on voyait (la rotation du plan) ne montrait pas formellement la révolution de la Terre sur elle-même car, de plus, il fallait supposer à l'avance l'existence de la rotation pour administrer la preuve a posteriori. De grands esprits comme Laplace, Lagrange, Poisson, Poinsot, Poncelet s'étaient déjà penchés théoriquement sur le problème à propos d'autres mouvements (chute des corps, tirs balistiques). Des expériences avaient même été faites, mais sans beaucoup de succès. Pourtant, l'intuition physique de Foucault a été la plus forte. Il a poursuivi ses travaux malgré tout, en se basant, lui, sur le seul principe d'inertie de Galilée, peut-être mal digéré: l'idée d'un plan fixe lié aux étoiles fixes, en d'autres termes à un repère absolu. Cette notion ne résiste pas à une critique sérieuse. Il n'y a aucun repère absolu! Enfin, Foucault n'a donné de son expérience aucun autre argument théorique. Il semble qu'il n'ait même pas eu connaissance des travaux de Coriolis en cinématique (1856).

Cependant, l'approche expérimentale de Foucault, en dépit de ses raccourcis parfois peu rigoureux, même dans son repère de Copernic, a réellement aidé des générations d'étudiants à se faire des mouvements de notre système solaire des représentations cohérentes et efficaces. En même temps, ces représentations avaient l'avantage d'être accessibles aussiàun plus large public. L'époque de Foucault ne marque-t·elle d'ailleurs pas la recrudescence d'une certaine science mise en spectacle!

BIBLIOGRAPHIE

BOLL (M.),La mécanique du visible et de l'invisible, Paris: Larousse, 1949. DELIGEORGES (S.), Foucault et ses pendules, Paris: Carré, 1990.

ECO(O.),Le Pendule de Foucault,Paris: Grasset, 1990, traduction de Jean-Noël Schifano. KAMERLINGH (O.), Thèse sur le Pendule, Groningen, 1879.